Integración múltiple (Ampliación)
Abraham Rueda Zoca
Hallar el valor de las siguientes integrales múltiples:
1. R
Ad(x,y), A:={(x,y)∈R2: x
2
a2 +
y2
b2 ≤1}, dondea,b>0 son fijos.
Indicación:Buscar un cambio de variableφ:R2−→R2que transforme el conjunto Aen la bola de centro cero y radio 1.
Solución. Consideramosφ:R2−→R2por la ecuación
φ(x,y) = (ax,ay) =
a 0
0 b
!
x
y
!
.
φasí definida se encuentra en las hipótesis del teorema del cambio de variable. De
hecho, no es difícil ver queJφ(x,y) = a 0 0 b
!
, de donde
|Jφ(x,y)|=ab.
Para aplicar el teorema del cambio de variable hemos de ver quién esφ−1(A)(dicho
de otra forma, describir el recinto de integración en términos del cambio inverso).
Para ello tomamos(x,y)∈R2. Entonces
φ(x,y)∈A⇔(ax,by)∈A⇔(ax) 2
a2 + (by)2
b2 ≤1⇔x
2+y2≤ 1.
Por tantoφ−1(A) =B(0,1) ={(x,y)∈R2:x2+y2≤1}. Por el teorema del cambio de variable tenemos que
Z
A
d(x,y) = Z
B(0,1)
abd(x,y) =ab Z
B(0,1)
d(x,y) =abπ,
donde recordemos que el volumen de la bola de centro cero y radiorya se calculó
en clase y se vió que valíaπr2. †
2. R
Axyd(x,y), A:={(x,y)∈R2:x≥0,y≥0,1≤x2+y2≤2}.
Solución. Seguimos la indicación y aplicamos el cambio a coordenadas polares.
Para ello tomamos ρ>0 y α∈]−π,π[, y procedemos a ver cómo transforma el cambio inverso al conjuntoA. De hecho,
(ρcos(α),ρsen(α))∈A⇐
ρcos(α)≥0, ρsen(α)≥0 1≤ρ≤
√
2.
.
Ahora las dos primeras condiciones implican que ambos valores cos(α),sen(α)son
positivos, lo cual ocurre paraα∈]−π,π[si, y sólamente si,α∈]0,π2[. Entonces
(ρcos(α),ρsen(α))∈A⇔1≤ρ≤
√
2 y 0<α< π 2.
Llamamos f(x,y) =xy, que es nuestra función a integrar. Entonces, el teorema del
cambio de variable nos dice que
Z
A
f(x,y)d(x,y) = Z π2
0 Z
√
2
1
f(ρcos(α),ρsen(α))ρdρdα.
Ahora nuestro integrando es justamenteρ3cos(α)sen(α). Sustituyendo
Z π
2
0 Z
√
2
1
ρ2cos(α)sen(α)dρdα= Z π
2
0
cos(α)sen(α) ρ 4
4
ρ=
√
2
ρ=1 dα.
Una sustitución sencilla nos conduce a que ρ44
iρ=
√
2
ρ=1 = 3
4. Entonces, nuestra integral anterior queda
3 4
Z π2 0
sen(α)cos(α)dα.
Ahora analizamos la integral anterior. Al tener sen(α)(sen(α))0 nos sugiere una
primitiva del tipo sen2(α)salvo dividir por 2. Entonces, la integral anterior resulta
ser inmediata y vale
3 8
Z π
2
0
2 sen(α)cos(α)dα= 3 8sen
2( α)]α=
π
2
α=0 = 3 8.
En resumen
Z
A
xyd(x,y) =3 8.
†
3. R
Ax2yd(x,y), A:={(x,y)∈R2: 1≤x2+y2≤4,x≥0}.
Solución. Siguiendo la indicación aplicamos un cambio a coordenadas polares,
para lo cual tomamos ρ>0 y α ∈]−π,π[. Entonces pasamos a describir A en términos del cambio de variable inverso:
(ρcos(α),ρsen(α))∈A⇔
(
1≤ρ2≤4, ρcos(α)≥0.
)
.
Ahora, dado que ρ>0 la primera condición es equivalente a 1≤ρ≤ 2. Por la misma razón, la segunda condición es equivalente a que cos(α)≥0, lo cual ocurre paraα∈]−π,π[ si, y sólamente si,α∈]−π2,π2[. Finalmente resta escribir nuestra función a integrar en términos de las coordenadas polares, para lo que definimos
f(x,y) =x2y. Entonces f(ρcos(α),ρsen(α)) =ρ3cos2(α)sen(α). Entonces, por
el teorema del cambio de variable deducimos que1
Z
A
x2yd(x,y) = Z π2
−π
2
Z 2
1
ρ4cos2(α)sen(α)dρdα= Z π2
−π
2
cos2(α)sen(α)ρ 5
5
ρ=2
ρ=1 dα.
Ahora, por un lado, una sencilla evaluación concluye que ρ55iρ=2
ρ=1= 31
5. Por otro lado, pensando en la integral en α restante identificamos un integrando del tipo
cos2(α)(cos(α))0, salvo una cierta constante. Por tanto reescribimos la integral
an-terior como
31 5
(−1) 3
Z π2
−π
2
3 cos2(α)(−sen(α))dα= 31
15(−1)cos 3
(α)]α= π
2
α=−π
2
=0,
teniendo en cuenta que cos(π
2) =cos(−
π
2) =0. En resumen
Z
A
x2y d(x,y) =0.
†
Nota:El resultado anterior no debe sorprendernos porque la funciónα7−→cos2(α)sen(α) es una función impar y, en el ejercicio anterior, la estábamos integrando en un
in-tervalo simétrico respecto al 0.
4. R
Ad(x,y,z),A:={(x,y,z)∈R3: 0≤z≤1−x2−y2}. Indicación:Realizar un cambio a coordenadas cilíndricas.
1No hay que olvidar el factorρque aparece del valor absoluto del determinante Jacobiano del cambio
Solución. Siguiendo la indicación proponemos realizar un cambio a coordenadas
cilíndricas por la forma del recinto de integración. Para ello tomamos ρ>0,α∈ ]−π,π[yz∈R. Entonces
(ρcos(α),ρsen(α),z)∈A⇔0≤z≤1−ρ2.
La condición anterior impone dos condiciones, a saber, como 0≤1−ρ2, entonces 0≤ρ≤1. Además, impone la restricción 0≤z≤1−ρ2. Por tanto
(ρcos(α),ρsen(α),z)∈A⇔
0≤ρ≤1, 0≤z≤1−ρ2,
−π≤α≤π.
.
Además la función a integral es constante, luego no hay necesidad de expresarla en
función del cambio a cilíndricas. Por el teorema del cambio de variable
Z
A
d(x,y,z) = Z π
−π
Z 1
0
Z 1−ρ2 0
ρdzdρdα
= Z π
−π
Z 1
0
ρz]z=1−ρ
2
z=0 dρdα
= Z π
−π
Z 1
0
ρ(1−ρ2)dρdα.
Ahora la integral anterior es inmediata enρal tratarse de una integral polinómica
enρ. De hecho
Z π
−π
Z 1
0
ρ(1−ρ2)dρdα= Z π
−π
ρ2 2 −
ρ4 4
ρ=1
ρ=0
dα= 1 4
Z π
−π
dα= π 2.
En resumen
Z
A
d(x,y,z) =π 2.
†
5. R
Azd(x,y,z),A:={(x,y,z)∈R3:x2+ y2
4 + z2
9 ≤1,z≥0}.
Indicación:Buscar un cambio de variableφ:R3−→R3que transforme el conjunto A(elipsoide) en la bola de centro 0 y radio 1.
Solución. Definimosφ:R3−→R3dada por
φ(x,y,z) = (x,2y,3z) =
1 0 0
0 2 0
0 0 3
x
y
z
φse encuentra en las hipótesis del teorema del cambio de variable. Además, puede
comprobarse sin dificultad que |Jφ(x,y,z)|=6. Expresemos el conjuntoAa través del cambio inverso (dicho de otra forma, calculamos φ−1(A)). Dado(x,y,z)∈R3, tenemos que
φ(x,y,z)∈A⇔(x,2y,3z)∈A⇔x2+(2y) 2
4 +
(3z)2
9 ≤1 yz≥0⇔x
2+y2+z2≤1 yz≥0.
Por tanto, por el teorema del cambio de variable
Z
A
zd(x,y,z) = Z
B(0,1)∩{z≥0}
(3z)6d(x,y,z). (1)
Llamamos B:={(x,y,z)∈R3 :x2+y2+z2≤1,z≥0, y lo que pretendemos es calcular
18 Z
B
zd(x,y,z).
Para nuestra integral, por la naturaleza esférica del conjunto, aplicamos el cambio a
coordenadas esféricas. Para ello tomamosρ>0,−π<α<π,0<ϕ<π, y tenemos
(ρcos(α)sen(ϕ),ρsen(α)sen(ϕ),ρcos(ϕ))∈B⇔ρ2≤1 yρcos(ϕ)≥0.
La primera condición impone obviamente 0<ρ<1, mientras que la segunda
im-pone cos(ϕ)≥0⇔0<ϕ<π2. Obviamente no aparece ninguna restricción sobreα. Obviamente lo único que queda es expresar la función f(x,y,z) =zen términos del
cambio a cilíndricas, que no queda más que f(ρcos(α)sen(ϕ),ρsen(α)sen(ϕ),ρcos(ϕ)) =
ρcos(ϕ). Entonces, por el teorema del cambio de variable2
Z
B
zd(x,y,z) = Z π
−π
Z π2 0
Z 1
0
ρcos(ϕ)ρ2sen(ϕ)dρdϕdα
= Z π
−π
Z π
2
0
sen(ϕ)cos(ϕ) Z 1
0
ρ3dρdϕdα
= 1 4
Z π
−π
Z π
2
0
sen(ϕ)cos(ϕ)dϕdα.
Para resolver la integral enϕnotemos que el integrando es de la forma sen(ϕ)(sen(ϕ))0,
lo que nos sugiere una primitiva del tipo sen2(ϕ)salvo ajustar constantes. Entonces
la integral anterior queda
1 4
Z π
−π
Z π
2
0
sen(ϕ)cos(ϕ)dϕdα=1 8
Z π
−πsen
2( ϕ)]ϕ=
π
2
ϕ=0dα= 1 8
Z π
−π
dα= π 4. Por (1) deducimos finalmente que
Z
A
zd(x,y,z) =9π 2 .
†
2No hay que olvidarse del término
6. R Ayz
p
x2+y2d(x,y,z),A:={(x,y,z)∈
R3: 0≤z≤x2+y2,0≤y≤ √
2x−x2}.
Indicación:Hacer un cambio de coordenadas cilíndricas.
Solución. Siguiendo la indicación proponemos un cambio a coordenadas
cilíndri-cas, para lo cual tomamosρ>0,α∈]−π,π[yϕ∈]0,π[. Entonces
(ρcos(α),ρsen(α),z)∈A⇔
(
0≤z≤ρ2
0≤ρsen(α)≤p2ρcos(α)−ρ2cos2(α)
)
.
La primera condición es obvia, pero hemos de tratar de despejar qué significa la
segunda. Para ello, comenzamos notando que como ρsen(α) ≥0 se sigue que sen(α)≥0, de donde α∈[0,π]. Por otro lado, como ρsen(α)≥0, podemos to-mar cuadrados, es decir,
ρsen(α)≤
q
2ρcos(α)−ρ2cos2(α)⇔ρ2sen2(α)≤2ρcos(α)−ρ2cos2(α).
Ahora, pasando el último sumando de la derecha restando al otro miembro de la
desigualdad tenemos que
2ρcos(α)≥ρ2cos2(α) +ρ2sen2(α) =ρ2,
de dondeρ≤2 cos(α). Esto a su vez impone que cos(α)≥0, lo cual implica que α∈]0,π2[. Por tanto nuestro nuevo recinto de integración es
(ρ,α,z)∈R+×]−π,π[×R:
α∈]0,π2[, 0<ρ<2 cos(α),
0≤z≤ρ2.
.
Ahora describimos también el integrando en términos de las coordenadas
cilíndri-cas. Si definimos f(x,y,z) =yzpx2+y2, entonces
f(ρcos(α),ρsen(α),z) =ρsen(α)zρ=ρ2sen(α)z.
Ya podemos calcular la integral. Teniendo en cuenta el valor del determinante
Jaco-biano del cambio a coordenadas cilíndricas, el teorema del cambio de variable dice
que
Z
A
yzpx2+y2d(x,y,z) = Z π2
0
Z 2 cos(α)
0
Z ρ2
0
ρ3sen(α)zdz dρdα.
Ahora ejecutamos con paciencia la integral. Nos queda
Z π2 0
sen(α)
Z 2 cos(α)
0
ρ3 Z ρ2
0
z dz dρdα= Z π2
0
sen(α)
Z 2 cos(α)
0
ρ7
Ahora nos queda una integral enρinmediata (es de tipo polinómico). Indicamos a
continuación el resultado:
1 16
Z π
2
0
sen(α)(2 cos(α))8dα=2 8
24 Z π
2
0
cos8(α)sen(α)dα.
Esta integral parece pedir un cambio de variable de la formay=cos(α). Sin
embar-go, mirando un poco más de cerca el integrando, identificamoscos(α)8(cos(α))0,
salvo un ajuste de constantes, luego vemos que en realidad se trata de una primitiva
inmediata como una potencia de cos(α). Efectivamente, la integral anterior queda
16 Z π2
0
cos8(α)sen(α) =16cos 9(α)
−9
α=π2
α=0 = 16
9 .
En resumen
Z
A
yzpx2+y2d(x,y,z) = 16 9 .
