Instituto Tecnol´
ogico Metropolitano
Matem´aticas B´asicas
Conjuntos Num´ericos
Grupo de Docentes Matem´aticas B´asicas
1. Sabiendo quemes un n´umero par ynes impar, determine si el n´umero dado es par o impar
a) mm+nn
b) mm+mn
c) mn+nm
d) mn+nn
e) m+ 2n
f) 3m+n
g) 3mn
h) 3m+ 4n
1
2. Completar la siguiente tabla usando∈o ∈/ seg´un el n´umero pertenezca o no al conjunto dado
N Z Q Q∗ R
−8
−3/11
0 √
25
3
√ −64
5,75
121/11
π+ 3
Respuesta N Z Q Q∗ R
−8 ∈/ ∈ ∈ ∈/ ∈
−3/11 ∈/ ∈/ ∈ ∈/ ∈
0 ∈/ ∈ ∈ ∈/ ∈
√
25 ∈ ∈ ∈ ∈/ ∈
3
√
−64 ∈/ ∈ ∈ ∈/ ∈
5,75 ∈/ ∈/ ∈ ∈/ ∈
121/11 ∈ ∈ ∈ ∈/ ∈
π+ 3 ∈/ ∈/ ∈/ ∈ ∈
3. Determine si cada uno de los siguientes enunciados son falsos o verdaderos, justifique sus
afirma-ciones
a) El n´umero−6 es un n´umero compuesto porque
b) 2πes irracional porque
c) 0,46574353 es racional porque
d) Todo n´umero entero es racional porque
e) Todo n´umero racional es entero porque
f) 8
0 es un n´umero real porque
g) Ning´un n´umero natural es a la vez primo y compuesto porque
h) El n´umero 1 es el primo mas peque˜no porque
i) Todo n´umero decimal es racional porque
j) Algunos n´umeros racionales son irracionales porque
k) Sic6= 0 , entonces a+b c =
a c +
b
c porque
l) Sia6= 0, b6= 0 ya+b6= 0, entonces c a+b =
c a+
c
b porque
m) ab
a =b, sia6= 0 porque
n) a+b
a =b, cona6= 0 porque
4. Exprese la o las propiedades de los reales usadas en cada una de las expresiones siguientes.
a) (2 + 7)−13 = 2 + (7−13) Propiedad(es)
b) (4)[(−1)(9)] = [(4)(−1)](9) propiedad(es)
c) (a−b)5 = 5(a−b) propiedad(es)
d) a+b
3 =
a 3 +
b
3 propiedad(es)
e) (6 +a)(−5) = (−5)(6) + (−5)a propiedad(es)
f)
2
3 3 2
= 1 propiedad(es)
g)
1
7
+
−1
7
= 0 propiedad(es)
h)x−y(z+ 0) =x−yz propiedad(es)
i) Sia−7 =b−7 entoncesa=b propiedad(es)
j)√3(1) =√3 propiedad(es)
k) (x3)(y−1) = 3x(y−1) = 3xy−3x propiedad(es)
l)−π+ 0 =−π propiedad(es)
m)a(1 +b)−ab=a+ab−ab=a+ 0 =a propiedad(es)
n) [m(n−p) + 0] =m(n−p) = (n−p)m propiedad(es)
˜
n) (b−3)a+ 3a=ba−3a+ 3a=ba propiedad(es)
o) (ab)1 b =a
b1 b
=a1 =a propiedad(es)
p) (ab−ba)(π+√3121) = 0 propiedad(es)
q)a
b+1 a
=ab+
a1 a
=ab+ 1 propiedad(es)
r)a(b+ 0) =ab+a0 =ab+ 0 =ab propiedad(es)
s)a
1
ab
=
a1 a
b=b propiedad(es)
2
5. En cada uno de los siguientes ejercicios seleccione la respuesta correcta:
2Respuestas:a) Asociativa, b) Asociativa, c) Conmutativa, d) Distributiva, e) Distributiva y Conmutativa,
f) Inverso, g) Inverso, h) Modulativa, i) Cancelaci´on, j) Modulativa, k) Conmutativa y Distributiva,
l) Modulativa, m) Distributiva, Inverso y Modulativa, n) Modulativa y Conmutativa, ˜n) Distributiva e Inverso,
o) Asociativa, Inverso y Modulativa, p) Conmutativa y Modulativa q) Distributiva e Inverso, r) Distributiva, Mult
a) Al hacer 5 + (a+b) = (a+b) + 5, se aplic´o la propiedad
1) Asociativa 2) Conmutativa (X) 3) Distributiva 4) Cerradura
b) La propiedad que se aplic´o en la expresi´onx−y(z+ 0) =x−yz, fue
1) Distributiva 2) Conmutativa 3) Modulativa (X) 4) Asociativa
c) Si (3x−12)(−6) = 0, entonces:
1) 3x−12 = 6 Para que se cumpla la propiedad invertiva para la suma (a+ (−a) = 0)
2) 3x−12 = 1
6 Para que se cumpla la propiedad invertiva para el producto (a∗ 1 a = 1) 3) x= 4 para que se cumpla la propiedad modulativa para la suma (a+ 0 = 0)
4) 3x−12 = 0 Para que se cumpla la propiedad que siab= 0, entoncesa= 0 ob= 0 (X)
d) Al ordenar los n´umerose,√2,32, π,2,7,3 en orden decreciente se tiene:
1) π,3, e,2,7,3 2,
√
2 (X)
2) π,3,2,7, e,√2,3 2
3) π, e,3,2,7,√2,3 2 4) π,3, e,2,7,3
2,
√
2
e) De las siguientes la ´unica que es una propiedad de los reales es:
1) −(x−y) =y−x(X)
2) −(xy) = (−x)(−y)
3) x−(y−z) = (x−y)−z
4) a+c b+d =
a b +
c d
6. Realizar, sin utilizar calculadora, cada una de las siguientes operaciones:
a) −[(−3−7 + 12) + (−3−5)] + [−(11−33 + 4)−(−14−5)]−[(−4 + 6)−(−9 + 5)]
b) 2{4 (4 + 5) + 3 [3 (3 + 4)] + 3}
c) 20−2{3 [(2−8) + (6 + 2) (2−7)]−4} − {3 + 7 [2−5 (2−6)]}
d) 4 [2−3 (2 + 4) + 3]−4(3−4)
e) 9− {3−8 [4−3 + (5 + 2−10)−2 (4−5)−3] + 4−8}+ 2
f) 4 [3−4 (3 + 1)−28/2−5 + 8]−10
g) −4 (−2) + 3∗8− {−4 + 2 (−2) + [−(5−6) + 2]−3} −[4−2 (−3)]
3
7. Dado quex=−2, y= 3 yz= 12, sin utilizar calculadora, hallar el valor num´erico de:
a) 3 (x−2)3+ 10y2+ 6 (8z+ 3)
b) −2n3h(2−y) + (x+ 2)4(y−3z)i−4zo+ 3h7y2−(2−x)3i
c) x4h5 (2z)2
−4 (−y+ 4) +xi+ 3 [xz+ 2(5y−22z)]
4
8. Hallar mcd y mcm entre los siguientes n´umeros:
(36,40);
(180,280);
(86,430);
(189,275);
(300,360,400);
(176,363,504)
(117,136,175)
(525,3675,5675)
9. Andrea va al gimnasio cada 4 d´ıas y Juan va al gimnasio cada 5 d´ıas. Hoy es domingo y se
encon-traron Andrea y Juan en el gimnasio. ¿Cu´antos d´ıas pasar´an para que se encuentren nuevamente?
10. Mar´ıa tiene 540 claveles y 360 rosas y quiere hacer ramos con ambas flores, de forma que los ramos
sean id´enticos. ¿Cu´al es el n´umero m´aximo de ramos que puede hacer Mar´ıa?
11. Tres estudiantes visitan la biblioteca con la siguiente frecuencia: Miguel va cada 8 d´ıas, Marcos va
cada 2 d´ıas y Mario va cada 20 d´ıas. Si hoy es 16 de julio y se encontraron Miguel, Marcos y Mario
en la biblioteca, ¿en qu´e fecha volver´an a coincidir?
12. Margarita est´a enferma y debe tomar una pastilla azul cada 6 horas, una pastilla blanca cada 8
horas y un jarabe cada 10 horas. Si comienza su tratamiento el d´ıa lunes a las 8 : 00 am, ¿qu´e d´ıa
y a qu´e horas se debe tomar los medicamentos juntos?
13. Pedro tiene 180 pimpones azules, 120 rojos, 80 verdes y 60 blancos. Necesita empacarlos en cajas
que contengan el mismo n´umero de pimpones, sin que sobre ninguno. ¿Cu´antas cajas necesita?
14. En la oficina hay tres trabajadores, Pedro, Juan y Mar´ıa. Pedro va a tomar tinto cada 30 minutos,
Juan lo hace cada 45 minutos y Mar´ıa cada hora. ¿Cada cu´anto toman tinto los tres juntos? Rta:
cada 180 min o 3 horas
15. Pedro, Jaime y M´onica compraron cada uno varias bolsas id´enticas de chocolates. Pedro compr´o en
total 35 chocolates, Jaime compr´o 49 y M´onica 63. ¿Cu´al es el total de bolsas compradas por los
tres?
16. Tres ancianos salen a caminar alrededor de la urbanizaci´on donde viven. Para dar una vuelta
completa tardan diferentes tiempos: 20 minutos, 18 minutos y 15 minutos. Acuerdan interrumpir la
caminada cuando vuelvan a coincidir los tres. De acuerdo con esto responda las siguientes preguntas:
a) ¿Cu´antas vueltas dio cada uno?
b) ¿Cu´anto tiempo invirtieron en caminar?
17. Exprese, sin utilizar calculadora, cada uno de los siguientes n´umeros racionales en la forma a/b
dondea, bson n´umeros enteros, y simplifique:
a) 4 5∗ 215 12 b) 20 21÷ 15 28 c) 5 24+ 7 18
d) 9 10−
8 15
e) 7−15
8
f) 7 6 + 1
g) 4 5 ∗ 5 4 + 21 10 h) 21 10+ 4 5∗ 2 3 i) 21 10
4−11
9 j) 11 18− 5 12+ 7 15 k) 7 18+ 13 24− 31 36 l) x 9 +
x−2 5
m) 2x 9 −
y 5
n) 3 2∗
2x+ 2 3x − 5 6 ˜ n) 4x 5 ∗ 5 6y + 10 21 5
18. simplificar las siguientes expresiones, sin utilizar calculadora,
a) 1 12 1 8 − 1 9 b) 2−2
3 2 3 −2
c) 7 10+ 7 3 2 5 − 1 6 d) 3 7 − 7 15 11 10− 20 21 e) 7 20− 3 10∗ 4 9 7 20− 3 10 ∗ 4 9 f) 1 2 1 3 + 7 3 2−
2 3+ 1 9 6
19. Responda V o F seg´un la expresi´on sea verdadera o falsa para todos los n´umeros realesa, b, c, d,
siempre que las expresiones est´en bien definidas. Verifique con ejemplos num´ericos
a) x·(y·z) = (x·y)·(x·z)
b) x·(−x) = 0
c) ab+c
a =b+c
d) ab+ac
a =b+c
e) b+c a =
b a+
c a
f) a b+c =
a b +
a c
g) a+c b+d=
a b +
c d
h) a−b b−a=−1
i) (a−b)−c=a−(b−c)
j) (a÷b)÷c=a÷(b÷c)
k) 2a b+c =
a b +
a c
l) a+b c+b =
a c + 1
m) a+b bc =
a+ 1 c
7
20. Complete los espacios en blanco
a) 1 +1 2 +
1 3+
1
4 tiene por resultado
5Respuestas:
a) 43 3
b) 16 9
c) 43 72
d) 11 30
e) 41 8
f) 13 6
g) 67 25
h) 79 30
i) 35 6
j) 77 180
k) 5 72
l) 14x−18 45
m) 10x−9y 45
n) 4−x 4x
˜
n) 14x+ 10y 21y
6 a) 6, b)−1, c) 13, d) −8
31, e) 39
4, f) 27 208
b) Al aplicar las propiedades distributiva y conmutativa de la multiplicaci´on a la expresi´on
x(−√2 + 3) se obtiene
c) El inverso aditivo de 2−√3 es
d) El rec´ıproco de 2−√3 es
e) Sin∈Nentonces 2n+ 1 es un n´umero
f) En la ecuaci´ony−x= 5−x,y= y se utiliz´o la propiedad
g) El inverso de √1
2 es y su rec´ıproco es
h) Si (x+ 1)(−7) = 0 entoncesx+ 1 = porque
i) El valor de 0
x2+ 1 es porque
j) Al simplificar la expresi´on −(−b)
−b·c d´a como resultado
k) Si 2x−5
7 =
1
7 entonces 2x−5 = porque
l) El valor de la expresi´on (π−π)x
x−1 +y
es
