• No se han encontrado resultados

Análisis de las características dispersivas de medios heterogéneos a partir de la coherencia

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2020

Share "Análisis de las características dispersivas de medios heterogéneos a partir de la coherencia"

Copied!
70
0
0

Texto completo

(1)

Tesis de Maestr´ıa

An´

alisis de las caracter´ısticas dispersivas

de medios heterog´

eneos a partir de la

coherencia

Autor:

Andres Barajas

Supervisor:

Germ´an A. Prieto

Una tesis presentada para cumplir los requisitos necesarios

para ser M´aster en F´ısica

en el

Grupo de Geof´ısica

Departamento de F´ısica

Facultad de Ciencias

(2)

Resumen

An´alisis de las caracter´ısticas dispersivas de medios heterog´eneos a partir

de la coherencia

por Andres Barajas

El an´alisis de medios heterog´eneos es un ´area que ha suscitado gran inter´es en las ´ultimas

d´ecadas gracias a las variadas evidencias provenientes principalmente de la sismolog´ıa,

que demuestran que la tierra a diferentes escalas y grados, es de naturaleza dispersiva.

Esto ha generado a su vez un rango muy diverso de estudios y planteamientos te´oricos

cuya aplicabilidad dependen de la relaci´on entre variables como lo son la longitud de

onda, la distancia de propagaci´on, la distancia de correlaci´on del medio, entre otras.

Por este motivo, es posible encontrar en la literatura planteamientos muy variados y

distintos para un problema que tiene su g´enesis en el mismo mecanismo, la interacci´on

de una onda con el medio, pero con formas muy distintas de manifestarse.

En el presente trabajo se realiz´o una exhaustiva serie de simulaciones las cuales,

gra-cias a su capacidad de controlar por completo muchos par´ametros involucrados en el

fen´omeno de dispersi´on, permiten analizar el problema en un amplio rango de

situa-ciones. El procesamiento de los datos se realiza por medio del c´alculo de la coherencia,

una t´ecnica de procesamiento de se˜nales ampliamente utilizada en las ´areas de ruido

s´ısmico y variaci´on espacial del movimiento s´ısmico. Posteriores comparaciones de los

resultados debidamente procesados con planteamientos te´oricos, permite afirmar que

es-te m´etodo de an´alisis posibilita la caracterizaci´on de diferentes reg´ımenes de dispersi´on

simult´aneamente. Esto significa que ´esta es una herramienta con gran potencial, no solo

para el estudio te´orico general de la dispersi´on, sino para la estimaci´on de los par´ametros

(3)

Deseo agradecerles a mis padres por su incondicional apoyo y por supuesto al profesor

German pues sin su gu´ıa, intuici´on e ideas nada de esto habr´ıa sido posible.

(4)

Resumen I

Agradecimientos II

List of Figures V

1. Introducci´on 1

1.1. Coherencia . . . 1

1.1.1. Datos aleatorios estacionarios y erg´odicos . . . 1

1.1.2. Homogeneidad e isotrop´ıa . . . 3

1.1.3. Coherencia . . . 4

1.1.4. M´etodo Multitaper . . . 9

1.1.5. Comportamiento de la coherencia con par´ametros f´ısicos . . . 12

1.2. Dispersi´on s´ısmica . . . 14

1.2.1. Fracci´on perdida de energ´ıa . . . 14

1.2.2. Primera Zona de Fresnel y l´ımite entre medios homog´eneos y he-terog´eneos . . . 17

1.2.3. Reg´ımenes de dispersi´on . . . 18

2. Simulaci´on y Procesamiento de datos 21 2.1. Simulaci´on. . . 21

2.1.1. M´etodo . . . 21

2.1.2. Configuraciones . . . 22

2.2. Procesamiento de datos . . . 23

2.2.1. Procedimiento general de an´alisis . . . 23

2.2.2. Relaci´on entre el tama˜no de la ventana y la se˜nal . . . 24

2.2.3. Alineamiento de las se˜nales . . . 28

3. Resultados 30 3.1. An´alisis de estabilidad . . . 30

3.1.1. Efecto de la remoci´on del pulso inicial . . . 34

3.2. Comportamiento de la coherencia . . . 35

3.2.1. Efecto de la remoci´on del pulso inicial . . . 36

3.2.2. Dependencia a gran escala de la coherencia con la frecuencia . . . 42

(5)

4. Conclusiones 51

A. Error relativo por frecuencia 53

A.1. Medio gaussiano . . . 53

A.2. Medio exponencial . . . 55

A.3. Medio autosimilar . . . 57

(6)

1.1. Autocorrelaci´on. . . 2

1.2. Magnitud de la coherencia en funci´on de la fracci´on aleatoria de la fase. . 7

1.3. Transformada de Fourier de la funci´on rectangular. . . 10

1.6. Radio de Fresnel. . . 17

1.7. Diagrama de dispersion. . . 19

2.1. Dise˜no general del terreno para las simulaciones. . . 22

2.3. Coherencia cuadrada promediada sobre se˜nales similares pero desplazadas 25 2.4. An´alisis del procedimiento realizado con los tapers. . . 26

2.6. Coherencia a distintas frecuencias para diferentes tama˜no de las ventanas, 27 3.1. Error relativo para medios gaussianos . . . 31

3.2. Error relativo para medios exponenciales. . . 32

3.3. Error relativo para medios autosimilares . . . 32

3.4. Sismogramas para el medio gaussiano cona= 10 km,ε= 16 % . . . 33

3.5. Error relativo por frecuencia. . . 34

3.6. Efecto de la remoci´on del pulso inicial en el error relativo . . . 35

3.7. Coherencia para medios gaussianos . . . 37

3.8. Coherencia para medios exponenciales . . . 38

3.9. Coherencia para medios autosimilares . . . 39

3.10. Coherencia para medios gaussianos utilizando la coda de las se˜nales . . . 41

3.11. Coherencia en funci´on de la frecuencia . . . 43

3.12. Diagrama de dispersi´on para medios gaussianos . . . 44

3.13. Diagrama de dispersi´on para medios exponenciales . . . 45

3.14. Diagrama de dispersi´on para medios autosimilares . . . 46

3.15. Diagrama continuo para medios gaussianos . . . 47

3.16. Diagrama continuo para medios exponenciales. . . 48

3.17. Diagrama continuo para medios autosimilares . . . 49

(7)

gracias a todos sus esfuerzos me pudieron dar el mejor de los

regalos: la educaci´

on

(8)

Introducci´

on

El estudio de la estructura interna de la tierra tiene una relaci´on estrecha con la

natu-raleza heterog´enea de diferentes escalas, de cada una de sus capas. Dadas las muchas

dificultades que plantea registrar de forma directa las caracter´ısticas de cada lugar, se

han venido desarrollando en las pasadas d´ecadas una gran variedad de m´etodos que

analizan de forma indirecta par´ametros relacionados con la dispersi´on, basados en la

propagaci´on de ondas s´ısmicas. Uno de estos m´etodos, que actualmente es ampliamente

utilizado en ruido s´ısmico y en el an´alisis de la variaci´on espacial de movimientos s´ısmicos

es el uso de la coherencia.

El objetivo del presente trabajo es caracterizar a trav´es de la coherencia, la distancia de

correlaci´on y la desviaci´on est´andar de un medio. Esto se enmarca dentro de los an´alisis

que buscan determinar las caracter´ısticas f´ısicas de un medio con base en los registros

de las ondas producidas por eventos s´ısmicos.

En la primera parte de esta introducci´on se desarrollara el concepto de la coherencia

y se dar´a un recuento breve de los estudios desarrollados a partir de esta, y en la

segunda parte se proporcionaran algunas bases sobre el an´alisis te´orico del fen´omeno de

la dispersi´on.

1.1.

Coherencia

1.1.1. Datos aleatorios estacionarios y erg´odicos

El estudio de las se˜nales s´ısmicas ha mostrado desde el principio una caracter´ıstica

particular: todos los registros obtenidos muestran rasgos que los hacen diferentes entre

s´ı. M´as all´a del car´acter aleatorio e impredecible de los eventos s´ısmicos, una de las

(9)

razones para que esto sea un rasgo com´un en los registros, es justamente el car´acter

heterog´eneo del medio en el cual se propagan las ondas s´ısmicas. Con base en esto, se

plantean dos conceptos alrededor de los cuales se desarrolla el an´alisis espectral de las

se˜nales: que estas sean estacionarias y erg´odicas.

Primero se deben desarrollar algunos conceptos, siendo el primero de ellos el valor medio

µx(t1) = l´ım

N→∞ 1

N

N

X

k=1

xk(t1) (1.1)

y el segundo, la autocorrelaci´on (ilustrado en la figura 1.1), que a su vez es

Figura 1.1: Evaluaci´on de la autocorrelaci´on en dos puntos de un proceso aleatorio. Imagen tomada de Bendat y Piersol (2000)

Rxx(t1, t1+τ) = l´ım

N→∞ 1

N

N

X

k=1

xk(t1)xk(t1+τ), (1.2)

dondeτ representa el corrimiento temporal y el ´ındicekcorre sobre diferentes

realizacio-nes del mismo fen´omeno, en este caso, el evento s´ısmico; este conjunto de muestras es lo

que se entiende como el proceso aleatorio o estoc´astico. Se dice que el proceso aleatorio

es estacionario si el promedio y la autocorrelaci´on no cambian su valor, con la escogencia

del tiempo t1. Esto implica necesariamente que el valor medio es una constante, y que

la autocorrelaci´on es ´unicamente funci´on del corrimiento temporal

(10)

donde c representa una constante.

La definici´on sobre el car´acter estacionario de un proceso est´a sustentada en un

proce-so de promediaci´on sobre un conjunto de registros distintos. Aprovechando el car´acter

infinito y completamente aleatorio de cada una de estas muestras, tambi´en se puede

considerar plantear estas definiciones no sobre muestras distintas, sino sobre una sola.

De esta manera, el valor medio y la autocorrelaci´on quedar´ıan definidos de la siguiente

manera:

µx(k) = l´ım

T→∞ 1

T

Z T

0

xk(t)dt

Rxx(τ, k) = l´ım

T→∞ 1

T

Z T

0

xk(t)xk(t+τ)dt

(1.4)

Ahora, si este proceso es estacionario, yµx(k) yRxx(τ, k) no cambian con la muestra, se

dice que el proceso es erg´odico. Esto implica queµ=µx(k) y que Rxx(τ) = Rxx(τ, k).

Que un proceso sea erg´odico ofrece grandes ventajas pues permite determinar

carac-ter´ısticas generales de un sistema tomando ´unicamente una muestra.

Ambas condiciones enfrentan aspectos dif´ıciles de reconciliar con el estudio pr´actico de

se˜nales s´ısmicas: generalmente no se dispone de una cantidad ilimitada de muestras, y

´

estas a su vez no son tampoco de duraci´on indefinida. La condici´on matem´atica que

propone un n´umero infinito de muestras (N), de duraci´on infinita (T) se puede

inter-pretar como la necesidad de obtener un resultado con un numero finito de muestras

de duraci´on finita, que no cambia significativamente al agregar una muestra m´as o al

aumentar la duraci´on del segmento a analizar. Por otro lado, se puede argumentar que

aunque se analiza un segmento de la se˜nal (ya sea el asociado a la onda P o a la onda

S) este segmento mantiene sus propiedades a trav´es de toda su duraci´on.

En la pr´actica tambi´en es un hecho aceptado que cada registro obtenido es particular

en el sentido que es producido por eventos s´ısmicos en diferentes puntos o con diferentes

caracter´ısticas. Entonces, la ergodicidad es asumida para poder dar conclusiones

gene-rales sobre el medio estudiado, ya sea sobre un registro ´unico o sobre un promedio de

ensamble de alguna de las cantidades estudiadas.

1.1.2. Homogeneidad e isotrop´ıa

La homogeneidad del sistema hace referencia al hecho de que las cantidades analizadas

no dependen de la localizaci´on particular de cada estaci´on sino ´unicamente del vector que

indica la separaci´on entre cada dos estaciones (esta definici´on presupone el an´alisis por

(11)

de estacionariedad en el sentido de que esta implica que las variables no dependen

de un tiempo particular sino del retraso temporal. La homogeneidad necesariamente

lleva a que se asuma que el contenido en frecuencia de las se˜nales sea similar entre

diferentes estaciones; para efectos pr´acticos esta condici´on se relaja un poco al considerar

la posibilidad de presencia de peque˜nas fluctuaciones, pero con la necesidad de que las

estaciones utilizadas se encuentren todas sobre el mismo tipo de suelo. Si esto ´ultimo

no se cumple, tampoco lo hace la condici´on de homogeneidad (Liao, Zerva et al. s.f.;

Stephenson2000).

La isotrop´ıa de un sistema implica que ´este es invariante bajo rotaciones; es decir, que

los resultados entre dos estaciones no cambian si la direcci´on relativa entre estas es

cambiada, solo depende de la distancia absoluta entre las dos.

1.1.3. Coherencia

La correlaci´on cruzada entre dos se˜nales finitas se puede expresar de la siguiente manera

Rxy(τ) =

 

1

T

RT−|τ|

0 x(t)y(t+τ)dt, |τ| ≤T.

0, |τ|> T.

(1.5)

donde T representa la duraci´on de las se˜nales utilizadas. Si las se˜nales involucradas

en esta operaci´on son iguales, esta se denomina autocorrelaci´on. Bajo la condici´on de

estacionareidad es posible definir la densidad espectral cruzada (o sencillamente densidad

espectral), como

Gxy(f) =

Z ∞

−∞

Rxy(τ)e−i2πf τdτ; (1.6)

´

esta y la correlaci´on cruzada son parejas de la transformaci´on de Fourier, y por tanto se

cumple que

Rxy(τ) =

Z ∞

−∞

Gxy(f)ei2πf τdf. (1.7)

En el caso particular en el que la ecuaci´on (1.6) se calcula con dos se˜nales id´enticas,

es decir con la autocorrelaci´on Rxx, se obtiene lo que se denomina la densidad

auto-espectral Gxx

En este punto es importante desarrollar algunas propiedades importantes relacionadas

(12)

Sean X(f) y Y(f) las transformadas de Fourier de las se˜nales x(t) y de y(t)

respectivamente

X(f) =

Z ∞

−∞

x(t)e−i2πf tdt,

Y(f) =

Z ∞

−∞

y(t)e−i2πf tdt;

(1.8)

se cumple entonces que

Gxy =X(f)Y∗(f), (1.9)

donde∗ representa el complejo conjugado de la funci´on.

Sea h(t) el registro de un proceso que se desarrolla temporalmente y H(f) su

transformada de Fourier

h(t)−→F H(f), (1.10)

Al desplazar temporalmente la se˜nal original, se presenta un cambio en la

trans-formada de Fourier asociado a su fase,

x(t−t0)

F

−→X(f)e−i2πf t0; (1.11)

no obstante, es importante notar que un desplazamiento temporal de este tipo, no

genera ning´un cambio en la densidad auto-espectral

Gxx(f) =X(f)X∗(f)

desp. temp.

−−−−−−−→X(f)e−i2πf t0X(f)ei2πf t0

=X(f)X∗(f) =Gxx,

(1.12)

ni el cuadrado de la densidad espectral

Gxy(f) =X(f)Y∗(f)

desp. temp.

−−−−−−−→X(f)e−i2πf t0Y(f)ei2πf t1

=X(f)Y∗(f)e−i2πf(t0−t1)

⇒ |Gxy(f)|2 =|X(f)Y∗(f)|2

desp. temp.

−−−−−−−→ |X(f)Y∗(f)e−i2πf(t0−t1)|2

=|Gxy(f)|2.

(1.13)

A partir de estas propiedades es posible definir la coherencia, que se puede interpretar

como una densidad espectral normalizada:

γxy(f) =

Gxy(f)

p

Gxx(f)Gyy(f)

. (1.14)

La coherencia se puede escribir en t´erminos de su fase y magnitud como

(13)

de donde se deduce que la fase es

θxy(f) = tan−1

I[Gxy(f)]

R[Gxy(f)]

(1.16)

y donde I y R indican a la parte imaginaria y real del argumento. Dado el car´acter

normalizado de esta definici´on, la coherencia entre dos se˜nales id´enticas, ser´a igual a 1.

Considere una onda viajando entre dos estaciones sin sufrir ning´un tipo de

deforma-ci´on. Las se˜nales obtenidas en estaciones registrando el paso de la onda se diferenciaran

´

unicamente por un desplazamiento temporal. Es claro por las propiedades

desarrolla-das antes, que el denominador de la coherencia (1.14) no ser´a diferente en este caso al

calculado con se˜nales iguales. El numerador relacionado con la densidad espectral, en

cambio, presentar´a una fase asociada a la diferencia absoluta entre los tiempos. Es por

este motivo que la fase de la coherencia esta asociada a los retrasos temporales de las

se˜nales lo cual suele ser denominado como el efecto del paso de la onda.

La magnitud de la coherencia est´a relacionada con la similaridad espectral entre las

se˜nales. En un sentido mas t´ecnico, indica el grado en el que las dos se˜nales se pueden

relacionar por medio de una funci´on de transferencia lineal (Brillinger 1981), y puede

tomar valores entre 0 (cuando las se˜nales no est´an relacionadas, o por la presencia de

ruido) y 1 (similaridad completa).

Otra de las caracter´ısticas m´as interesantes e importantes de la coherencia, se deriva de

la propiedad de linealidad de la transformada de Fourier; suponga que se realiza una

amplificaci´on (o reducci´on) en la amplitud de cada una de las se˜nales originales

x0(t) =Ax(t)−→F AX(f)

y0(t) =By(t)−→F BY(f)

(1.17)

Esto cambiara la densidad espectral

Gx0y0(f) =ABX∗(f)Y(f) =ABGxy(f) (1.18)

y las densidades auto-espectrales

Gx0x0(f) =A2X∗(f)X(f) =A2Gxx(f)

Gy0y0(f) =B2Y∗(f)Y(f) =B2Gyy(f)

(1.19)

pero dejara invariante el valor de la coherencia

γx0y0(f) =

|Gx0y0(f)|

p

Gx0x0(f)Gy0y0(f)

= p |ABGxy(f)|

A2G

xx(f)B2Gyy(f)

(14)

La independencia de la coherencia con la amplitud de las se˜nales representa, en algunos

casos, una gran ventaja en comparaci´on con la densidad espectral, pues permite analizar

la transferencia de potencia entre los dos receptores (o emisor-receptor) de forma

gene-ralizada. Es claro, sin embargo, que esta interpretaci´on solo se puede dar si la respuesta

del sistema no depende de la amplitud de cada evento; como se ver´a m´as adelante, este

es el caso de los registros s´ısmicos obtenidos como resultado del fen´omeno de dispersi´on.

Haciendo uso de esta independencia, N.A. Abrahamson (1992) encontr´o una relaci´on

entre la magnitud de la coherencia y la diferencia de fases de las se˜nales: removiendo el

efecto del paso de la onda, esta diferencia entre dos estaciones j y k puede ser escrita

de la siguiente manera

φj(f)−φk(f) =βjk(f)εjk(f) (1.21)

donde εjk(f) son n´umeros aleatorios distribuidos aleatoriamente en el rango [−π, π], y

βjk es un numero entre 0 y 1 que determina qu´e parte de la diferencia puede interpretarse

como determinista o estoc´astica; si βjk = 0 entonces no hay componentes aleatorios en

esta diferencia, y si es igual a 1 entonces es completamente aleatoria. A partir de esto,

Abrahamson encontr´o que el valor esperado de la magnitud de la coherencia se puede

escribir como

E[|γjk(f)|] =

sen(βjk(f)π)

βjk(f)π

(1.22)

esta relaci´on implica que cuando el factor de aleatoriedad entre las fases es alto, el valor

absoluto de la coherencia es baja y viceversa, como se puede observar en la figura 1.2.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

|

γ

|

β

Figura 1.2:Valor esperado de la magnitud de la coherencia en funci´on de la fracci´on de la fase que es aleatoria.

(15)

Este resultado permite entender de manera directa el valor que tomar´a la magnitud de

la coherencia en cada frecuencia, y provee un resultado que de otra manera parecer´ıa

contraintuitivo porque ´esta en realidad depende de las fases de las se˜nales y no de sus

amplitudes.

Otro aspecto importante de la coherencia es el hecho de que su varianza depende del

valor de la coherencia misma; al aumentar una, disminuye la otra (Jenkins y Watts

1969), comportamiento que es de esperarse ya que una baja coherencia implica un alto

nivel de ruido. Sin embargo, la transformaci´on arctanh[|γjk(f)|] tiene varianza constante

y distribuci´on normal, por lo que suele ser usada al momento de realizar promedios o

ser ajustada a modelos param´etricos. Es importante tener en cuenta que en la pr´actica

es de esperar sesgos en bajas frecuencias debido a los instrumentos utilizados (Hoshiya

e Ishii 1983) y a altas frecuencias por el hecho de que la coherencia presentar´a valores

distintos de 0 ya sea por coincidencias generadas por la aleatoriedad o por el uso de las

ventanas utilizadas en el an´alisis (N. Abrahamson, J.F. Schneider et al.1991).

Por otro lado, haciendo uso de la propiedad1.9, se puede demostrar que la ecuaci´on que

define la coherencia (1.14) provee el siguiente resultado

γxy(f) =

X∗(f)Y(f)

p

X∗(f)X(f) Y(f)Y(f) = 1 (1.23)

Esto significar´ıa que el valor de la coherencia es siempre igual a 1 sin importar las

caracter´ısticas particulares de las se˜nales utilizadas. Esto sucede porque para poder

calcular la coherencia adecuadamente es necesario la utilizaci´on de m´ultiples funciones

que sirvan como ventanas o tapers. Es ´unicamente bajo esta condici´on que se puede

relacionar de forma efectiva la coherencia con el contenido espectral de cada se˜nal. Esto

ser´a desarrollado con m´as detalle en la siguiente subsecci´on.

Es com´un encontrar la estimaci´on del valor de la coherencia al cuadrado, cuyo valor esta

entre el rango [0,1]

γxy2 (f) = |Gxy(f)|

2

Gxx(f)Gyy(f)

(1.24)

Esta cantidad tiene la ventaja de eliminar cualquier posible dependencia te´orica son

respecto a un desfase temporal entre las se˜nales. No obstante, como se ver´a m´as adelante,

el uso de esta funci´on no basta para asegurar la ausencia total de sesgos producidos por

(16)

1.1.4. M´etodo Multitaper

En el lado pr´actico del an´alisis de se˜nales, se presenta un dificultad relacionada con la

transformada de Fourier: tomar un segmento de la se˜nal a transformar implica realizar

impl´ıcitamente la multiplicaci´on de la se˜nal con una funci´on. El caso en el que

senci-llamente se corta la se˜nal puede interpretarse como la multiplicaci´on de esta con una

funci´on rectangular o boxcar. En general, a estas funciones se les denomina ventanas o

tapers.

Denominemosx(t) la funci´on que se da como producto de la multiplicaci´on entre el taper

v(t) y la se˜nalu(t)

x(t) =v(t)·u(t) (1.25)

SeanX(f),V(f) yU(f) sus respectivas transformadas de Fourier. Es por tanto posible

demostrar por medio del teorema de convoluci´on (Arfken et al.2005) que se debe cumplir

que

X(f) =

Z ∞

−∞

U(α)V(f −α)dα (1.26)

El valor de la transformada en determinada frecuencia es el ´area bajo la curva de la

multiplicaci´on entre las transformadas de la se˜nal y del taper; determinar el valor en la

siguiente frecuencia se logra desplazando el espectro del taper y repitiendo el proceso,

recordando que se esta asumiendo una descripcion discreta de la se˜nal. Esto es

equi-valente a haber pasado el espectro de la se˜nal a trav´es de un filtro usando la ventana

como la funci´on de respuesta a impulso (Jenkins y Watts 1969). No obstante, este

pro-cedimiento tiene problemas intr´ınsecos. Uno de ellos se puede comprender a trav´es de la

transformada de Fourier de la funci´on rectangular (usada como taper), la cual se puede

ver en la figura 1.3: Al multiplicar las transformada de la funci´on, por la transformada

del taper, el l´obulo principal de esta ´ultima a´ısla la frecuencia que se desea analizar en la

funci´on; sin embargo, los l´obulos laterales del taper terminan sumando a la integral

con-tribuciones de frecuencias adyacentes a la frecuencia principal, las cuales son claramente

indeseadas. Este fen´omeno, conocido como fugado espectral (que se presenta en general

en todas las posibles funciones utilizadas como tapers), sumado a otros problemas como

perdidas en la estimaci´on de la potencia a determinadas frecuencia por scalloping, y en

general, desbalances entre el rango din´amico y la resoluci´on del resultado, genera sesgos

en el c´alculo del espectro de la se˜nal (Bendat y Piersol2000; Carlson 1986; Lyons 2004;

(17)

f |V(f)|

−2/T −1/T 1/T 2/T

Figura 1.3: Transformada de Fourier de la funci´on rectangular. Se toma el valor absoluto para poder visualizar su efecto en las densidades espectrales.

Con el ´animo de encontrar ventanas que minimizaran estos inconvenientes se plante´o el

problema de concentraci´on espectral, el cual consiste en encontrar las funciones o

se-cuencias temporales finitas, cuya transformada de Fourier tenga la mayor concentraci´on

espectral posible en determinado rango [−W, W]: esto asegura que los picos de potencia

a determinadas frecuencias no se fuguen o extiendan a frecuencias vecinas. La soluci´on

a este problema son los vectores propios de la ecuaci´on de valores propios de Toeplitz

N−1

X

m=0

sen(2πW(n−m))

π(n−m) ν

(k)

m (N, W) =λ(N, W)νm(k)(N, W), (1.27)

donde N es la longitud de los vectores propios, W un medio del ancho de banda, λ

los valores propios que dan la fracci´on de energ´ıa dentro del ancho de banda, y νk los

vectores propios que son conocidos como las secuencias de Slepian (D Slepian 1978;

D. Slepian y Pollak 1960). Una caracter´ıstica de estas secuencias que es sumamente

importante, es que estas son ortogonales entre si, lo que matem´aticamente da bases para

una representaci´on completa de una funci´on.

La elecci´on de la ventana adecuada para el an´alisis de una se˜nal puede ayudar a obtener

un resultado con sesgos espectrales m´ınimos. Sin embargo, hacerlo de esta manera

im-plica obtener un resultado que tiene una varianza alta. Esta a su vez puede ser reducida

dividiendo la se˜nal, aplicando la transformada de Fourier a cada segmento (multiplicado

por la ventana) y luego promediando todos los resultados. Sin embargo, si se dispone

con una limitada cantidad de informaci´on, lo cual suele ser el caso, necesariamente se

tendr´a que que escoger entre reducir el sesgo espectral, o reducir la varianza. Con el

objeto de lograr un balance entre estos dos extremos Thomson (1982) sugiri´o usar un

(18)

se˜nal, para luego promediarlas. El conjunto de ventanas id´oneo para este objetivo son

justamente las secuencias de Slepian, no s´olo por sus caracter´ısticas relacionadas con el

ancho de banda, sino porque al ser ortogonales entre si ofrecen estimados independientes

de la frecuencia de la se˜nal.

El procedimiento para determinar el espectro de una se˜nal por medio del m´etodo de

multitapers es el siguiente

1. Especificar tanto N como W. En general,W se escoge dependiendo del valor que

se desee del producto ancho de banda-tiempoN W. Es importante mencionar que

si este valor es muy peque˜no el espectro estimado ser´a inestable con un rango

din´amico muy bajo, pero si es muy largo la resoluci´on en frecuencias puede verse

afectada (Thomson2007).

2. Haciendo uso de la ecuaci´on1.27se determina el valor de los valores (λk) y vectores

propios (νk). En este punto se debe determinar el n´umero de tapers a usar K.

Generalmente, se escoge esta cantidad para que cumpla K= 2N W −1.

3. Se multiplica cada taper por la se˜nal a analizar x(n), y este producto es pasado

por la transformada de Fourier

Xk(f) = N−1

X

n=0

x(n)vk(n)e−2πif n (1.28)

4. Se promedia entre los espectros obtenidos para cada taper, pesando cada cantidad

con los valores propios

b

G(f) = 1

K

K−1

X

k=0

1

λk

|Xk(f)|2 (1.29)

Por lo general los primeros valores propios son muy cercanos a 1 por lo que pueden

omitirse de esta ecuaci´on.

De forma an´aloga se puede calcular la densidad espectral (1.9)

b

Gxy(f) =

1

K

K−1

X

k=0

Xk(f)Yk∗(f) (1.30)

y por tanto la coherencia cuadrada

γxy2 (f) =

K−1

P

k=0

Xk(f)Yk∗(f)

2

K−1

P

k=0

|Xk(f)|2 K−1

P

k=0

|Yk(f)|2

(19)

El presente trabajo se desarrolla basado en la estimaci´on de la coherencia cuadrada, por

medio del m´etodo de multitaper.

1.1.5. Comportamiento de la coherencia con par´ametros f´ısicos

El comportamiento registrado de la coherencia ha sido atribuido a diferentes factores

f´ısicos, siendo uno de ellos los aspectos relacionados con la fuente como lo son la distancia

de ´esta a los receptores, la magnitud del evento s´ısmico y la posibilidad de que ´este se

haya producido por un falla extendida y no puntual.

Inicialmente se consider´o que tener una fuente extendida modificar´ıa el comportamiento

de la coherencia, ya que esta ser´ıa equivalente a tener fuentes provenientes desde

dife-rentes puntos (Norman Abrahamson et al.1991). Sin embargo, estudios m´as exhaustivos

demostraron que este no era el caso, (N. Abrahamson, J.F. Schneider et al. 1991; JF

Schneider et al.1992) y que era independiente no solo de esto sino de la distancia entre

la fuente y los receptores. Uno de los posibles motivos de esto es que el fen´omeno de

dispersi´on es predominante en las fluctuaciones y comportamientos que se presentan en

la coherencia.

Es tambi´en objeto de estudio la isotrop´ıa del campo aleatorio ya es que es bastante com´un

tener arreglos s´ısmicos cuyas estaciones se disponen en direcciones diferentes entre si.

Sin embargo, se ha encontrado dependencia en el comportamiento de la coherencia con

la direcci´on a analizar (Hao et al.1989; Loh y Lin1990).

En general los trabajos basados en la coherencia presuponen la existencia de tres ejes

espaciales principales los cuales no est´an relacionados entre s´ı y por lo tanto son tratados

independientemente. Cuando el intervalo de an´alisis de las se˜nales es lo suficientemente

largo, estos ejes coinciden con la direcci´on al epicentro del sismo, la direcci´on

perpen-dicular a esta en la horizontal, y por ´ultimo la direcci´on vertical (Penzien y Watabe

1974).

Gran parte del desarrollo que ha tenido el estudio de la variaci´on espacial del movimiento

s´ısmico se ha basado en el an´alisis de datos obtenidos en terreno. En general se ha

encontrado una gran variabilidad en los resultados obtenidos. Por ejemplo el que los

sitios tengan base rocosa o no, genera una gran diferencia en los resultados obtenidos

(JF Schneider et al. 1992), debido posiblemente a que en estos medios la dispersi´on se

genera de diferentes maneras (Menke et al. 1990; Toks¨oz et al. 1991), o a que algunos

suelos amplifican u opacan ciertas frecuencias de las ondas s´ısmicas (Steidl et al.1996).

Dos caracter´ısticas que cualitativamente se esperan de la coherencia son:a)que decaiga

(20)

perder´a sus rasgos espectrales caracter´ısticos, y b) qu´e tambi´en lo haga con frecuencias

altas que son las que experimentan una interacci´on m´as prolongada con el medio. No

obs-tante, una caracter´ıstica particular encontrada de forma emp´ırica en diversos estudios,

es la existencia de una distancia que demarca un cambio cualitativo en el

comporta-miento de la coherencia. Este l´ımite se ubica, seg´un algunos estudios alrededor de los

100 m (Norman Abrahamson et al.1991; Riepl et al.1997). Por debajo de este limite la

coherencia se comporta independientemente de la longitud de onda y decae m´as r´apido

con la longitud de onda (N. Abrahamson, J. Schneider et al. 1990; JF Schneider et al.

1992; Vernon et al.1991), mientras que por encima se ve cierta simetr´ıa entre la forma

del decaimiento con la frecuencia y con la distancia (Novak 1987; Toks¨oz et al. 1991);

se encontr´o tambi´en que al renormalizar la distancia entre estaciones con la longitud de

onda, todas las coherencias a diferentes frecuencias deca´ıan de forma similar.

Una gran diversidad de modelos se han planteado para definir el comportamiento de la

coherencia con la distancia entre estaciones y con la frecuencias: estos se pueden

cate-gorizar como los modelos emp´ıricos, que son ajustados mediante regresiones estad´ısticas

a registros s´ısmicos obtenidos en terreno (N.A. Abrahamson1992; Hao et al.1989;

Ha-richandran y Vanmarcke 1986; Loh 1985; Loh y Lin1990), los modelos semi-emp´ıricos

los cuales usan un modelo basado en consideraciones anal´ıticas pero que usan registros

de terreno para ajustar sus diferentes par´ametros (Kiureghian1996; Luco y Wong1986;

PG et al.1988) y los modelos anal´ıticos que intentan explicar los patrones observados en

la coherencia (Kausel y Pais1987; Liao y J. Li 2002; Somerville et al. 1991). Una

reco-pilaci´on detallada de estos modelos puede ser encontrada en (Zerva 2009). Sin embargo,

la gran mayor´ıa de estos modelos, y el estudio de la coherencia en general, se enfoca en

las componentes horizontales del movimiento (ondaS), quedando el estudio de la

com-ponente vertical un poco relegada. Uno de los motivos para esto es de car´acter pr´actico:

el principal objetivo del estudio de la variaci´on espacial del movimiento s´ısmico es

deter-minar c´omo extensos proyectos de ingenier´ıa (como tuber´ıas, plantas nucleares, etc) se

ver´ıan afectados por un eventual temblor, y desde este punto de vista, las componentes

horizontales son las relevantes.

Ademas de esto, varios estudios de la componente vertical han resaltado algunas

carac-ter´ısticas que vale la pena mencionar: primero, se ha demostrado que ´esta tiene un muy

bajo margen de correlaci´on con las componentes horizontales las cuales guardan mayor

similitud entre si (N. Abrahamson 1985; Stewart W Smith et al. 1982; Zendagui y

Be-rrah 2002). Segundo, se han dado casos en los que la coherencia vertical arroja valores

mayores que la coherencia horizontal (Hanamura et al. 1996; Stewart W Smith et al.

1982) y casos en las que esta ha sido menor (Chiu et al. 1995; Harichandran, Hawwari

et al.1996). Por ´ultimo, tambi´en hay reportes de un aumento de la coherencia vertical

(21)

ha sido desestimado por otros autores (Ye et al. 2011), aun a pesar de que registros

particulares en este ´ultimo trabajo muestran aumentos a ciertas frecuencias.

1.2.

Dispersi´

on s´ısmica

El inter´es por el estudio de las heterogeneidades caracter´ısticas de algunos medios nace

con las observaciones en arreglos de sismogramas los cuales revelaban una gran

dispari-dad tanto en la amplitud como en los tiempos de llegadas de ondas P, los cuales no se

pueden explicar con el modelo de la tierra que considera un arreglo lateral de capas. Este

hecho revela la naturaleza irregular intr´ınseca de la tierra. Para estudiar este tipo de

fen´omenos se han planteado diferentes m´etodos que atacan el problema desde diferentes

´

angulos, y para esto se han desarrollado una gran variedad de acercamientos te´oricos.

En lo subsiguiente, se describir´an aspectos diferentes de la propagaci´on de ondas s´ısmica,

los cuales en su conjunto delimitan y ayudan a clasificar el tipo de dispersi´on que se

est´a presentando en un medio.

1.2.1. Fracci´on perdida de energ´ıa

La energ´ıa perdida por una onda al pasar por un medio heterog´eneo es una de las maneras

de clasificar las caracter´ısticas del problema de dispersi´on. Este l´ımite en particular se

determina a partir de la ecuaci´on del desplazamiento de un punto u para un medio

el´astico,

ρu¨i = (λ∇ ·u),i+ [µ(ui,j+uj,i)],j, (1.32)

en donde λ y µ representan los par´ametros de L´ame, y ρ la densidad. Los efectos del

medio heterog´eneo son incluidos de dos maneras: por un lado, se propone una peque˜na

fluctuaci´on en los tres par´ametros mencionados, y por otro lado, se considera la soluci´on

del problema como la suma de la parte de la onda relacionada a la onda directa, es decir

la que se obtendr´ıa en un medio homog´eneo, y la parte dispersa que se produce como

consecuencia de la interacci´on de la onda con las heterogeneidades. Asumiendo que la

amplitud de la onda dispersada registrada es menor que la producida por onda directa,

se obtienen dos ecuaciones, una asociada a cada parte de la onda.

Para analizar la dispersi´on debida a perturbaciones de velocidad, se niegan los efectos

de los gradientes en los par´ametros del medio, lo cual se justifica en la premisa de que

(22)

siguiente forma para la onda directa o primaria

Φ0 =Aexp[−iω(t−x/c0)] (1.33)

en donde ω es la frecuencia angular de la onda la cual se propaga en la direcci´on x a

una velocidadc0 con una amplitudA. A partir de esta, es posible hallar una expresi´on

del desplazamiento asociado a la parte dispersa de la onda

Φ1(x, t) = Aω

2

2πc2 0

Z

V

−δc

c0

exp

−iω

t− r

c0

−ξ1

c0

r dV(ξ); (1.34)

en esta ecuaci´on,δces la perturbaci´on de la velocidad,r=|x−ξ|yξ1 es la proyecci´on

de ξ en la direcci´on de la propagaci´on de la onda. Los vectores r yξ pueden verse en la

figura1.4

Figura 1.4: Un elemento de volumen dV(ξ), en la homogeneidadV, est´a ubicado en la posici´on ξ. La distancia entre el elemento de volumen y el receptor es r =|x−ξ|.

Tomado de K. Aki y Richards (1980).

Una forma de caracterizar la fluctuaci´on del medio es a trav´es de la funci´on de

autoco-rrelaci´on. Tomandoµ=−δc/c0, esta ser´a

N(r) = hµ(r

0)µ(r0+r)i

µ2 (1.35)

conociendo esto y con la ecuaci´on (1.34) se puede encontrar el promedio de ensamble

del espectro de potencia

h|Φ1|2i= A

2k4hµ2iV π|x|

Z

0

N(r0)sen(k|K|r 0)

k|K| r

0

(23)

k es el n´umero de onda y K es el vector que va del vector unitario en direcci´on al

receptor, al que demarca la direcci´on de la propagaci´on de la onda K=e−n. Este se

encuentra ilustrado en la figura 1.5.

n

e

K

Figura 1.5: Relacion entre los vectoresK,eyn.

Ahora bien, es posible determinar la fracci´on de la energ´ıa que se pierde al pasar la onda

primaria a trav´es de un volumen que contiene un medio heterog´eneo. Si se considera este

medio como un cubo de ladoL, la energ´ıa a trav´es de una de sus caras ser´aI =γL2|Φ0|

en donde γ es una constante de proporcionalidad. La fracci´on de la energ´ıa perdida se

puede calcular entonces as´ı

∆I =γ

Z

S

h|Φ1|2i, (1.37)

donde S representa la superficie esf´erica en la que se eval´ua la fracci´on de intensidad,

asumiendo que es un punto de observaci´on lejano. Utilizando la ecuaci´on (1.36) se obtiene

finalmente que la fracci´on de energ´ıa perdida es

∆I

I = 2Lk 2hµ2i

Z

0

N(r0)[1−cos 2kr0]dr0 (1.38)

Las funciones de autocorrelaci´on en general involucran el par´ametroadenominado

longi-tud de correlaci´on, el cual caracteriza el tama˜no de las inhomogeneidades en el medio.

Pa-ra un medio cuya funci´on de autocorrelaci´on sea una funci´on exponencialN(r) =e−r/a,

la fracci´on determinada por la ecuaci´on (1.38) da

∆I

I =

8hµ2i(ka)3(kL)

1 + 4k2a2 ; (1.39)

para un medio con autocorrelaci´on gaussianaN(r) =e−r2/a2, esto es

∆I

I =

πhµ2i(ka)(kL)(1−e−k2a2); (1.40)

y para un medio autosimilar construido con una forma particular de la funci´on von

(24)

modificada de segundo tipo, esto es

∆I

I =πhµ 2ik2aL

1−√ 1

1 + 4k2a2

. (1.41)

El desarrollo ac´a presentado ´unicamente resalta los aspectos importantes del desarrollo y

puede ser consultado en profundidad el texto desarrollado por K. Aki y Richards (1980)

o en el texto de Chernov (1960).

1.2.2. Primera Zona de Fresnel y l´ımite entre medios homog´eneos y

heterog´eneos

Dependiendo del camino que tome una onda entre el emisor y el receptor, llegar´a con

determinado desfase con respecto a una onda viajando en l´ınea recta entre estos dos

puntos; entre m´as se desvi´e la onda del camino recto, mayor ser´a su desfase. La primera

zona de Fresnel es la zona comprendida por los caminos m´as cercanos a este viaje en

l´ınea recta en la cual las ondas llegan al receptor creando una superposici´on constructiva

con esta ´ultima. Los caminos que son un poco m´as largos que los comprendidos dentro

de esta zona llegan desfasados al punto que generan superposici´on destructiva sobre la

onda directa. Es por este motivo que la frontera de la primera zona de Fresnel se podr´ıa

considerar como el punto en el cual se comienzan a observar efectos de interferencia.

Determinar esta primera zona de Fresnel se puede hacer siguiendo un sencillo an´alisis

geom´etrico suponiendo que la onda viaja en l´ınea recta, como se muestra en la figura

1.6.

Figura 1.6:Radio de Fresnel representado porRf. Los c´ırculos representan al emisor y al receptor.

Si se supone que d/λ1 es posible demostrar que este radio corresponde a

Rf =

s

d+ λ 4

2

−d2

r

(25)

En el estudio sobre las heterogeneidades s´ısmicas se toman algunas libertades

concep-tuales que facilitan el problema: por un lado el concepto del radio de Fresnel deja de ser

una cantidad variable y pasa a ser el punto de mayor apertura de la zona de Fresnel: esto

es justamente lo que se indica en la figura1.6. Esta cantidad es la que se compara con la

distancia de correlaci´on (a) bajo la condici´on de que ambas sean comparables, es decir

de queD= (Rf/a)2 = 1. El cuadrado no tiene ninguna implicaci´on sobre el significado

de la operaci´on y sirve para simplificar el resultado. Este l´ımite en dispersi´on s´ısmica

es importante en el sentido de que es la frontera bajo la cual varios an´alisis te´oricos se

desarrollan: para el caso en el que D >1, los efectos de difracci´on son fuertes y entran

en juego los desarrollos realizados por Chernov o Rytov. Sin entrar en detalles, es

im-portante mencionar que varios de estos desarrollos realizan aproximaciones matem´aticas

del tipo λ/a < 1 que son consecuencia de la condici´on sobre D. Algo an´alogo sucede

con el caso D < 1, que es el r´egimen de la ´optica geom´etrica. El que D sea utilizada

como comparaci´on de l´ımites, hace que su valor exacto sea susceptible de cambios seg´un

la construcci´on de cada autor: para K. Aki y Richards (1980) y Sato y Fehler (1997)

D= 4L/ka2, mientras que para Rytov et al. (1989)D= 2πL/ka2.

Por otro lado K. Aki y Richards (1980) indican que la condici´on a=L es el l´ımite que

divide los medios homog´eneos de los heterog´eneos. Esta afirmaci´on se sustenta en que si la

distancia de propagaci´on de una onda es menor que las inhomogeneidades caracter´ısticas

del medio en el que lo hace, no deber´ıa sufrir ning´un tipo de perturbaci´on. No obstante,

este razonamiento pasa por alto la desviaci´on de las ondas que se produce como producto

de los gradientes de velocidad, y que algunos medios como el autosimilar, presentan en

principio inhomogeneidades a todas sus escalas.

1.2.3. Reg´ımenes de dispersi´on

Con el ´animo de poder realizar comparaciones cuantitativas entre diferentes sistemas

con caracter´ısticas, a primera vista muy diferentes, se definen dos nuevas variables: La

primera de ellaskL, es el n´umero de ondak, multiplicado por la distancia de propagaci´on

L. Esta cantidad es en realidad una manera de medir la distancia de propagaci´onLcon

respecto a la longitud de onda s´ısmicaλy ayuda a cuantificar la interacci´on de la onda

con el medio; desde este punto de vista, una onda con longitud de onda corta, viajando a

trav´es de un medio heterog´eneo corto, sufrir´a una cantidad equivalente de perturbaci´on a

una onda con una longitud de onda larga viajando a trav´es de un medio extenso; ambas

tendr´an una distancia de propagaci´on efectiva similar. Dado que se pueden analizar

eventos que suceden muy cerca de un arreglo s´ısmico as´ı como otros que viajan una gran

distancia a trav´es de la tierra, esta variablekLpuede tomar una amplio rango de valores

(26)

La segunda variable a definir es ka, la multiplicaci´on entre el n´umero de onda k y la

distancia de correlaci´on a. Esta es tambi´en una forma de cuantificar una relaci´on entre

la longitud de onda y el tama˜no de las heterogeneidades, las cuales son representadas

por la distancia de correlaci´on. Se debe tener presente que a´un a pesar de tener valores

id´enticos de a, medios construidos con diferentes funciones de autocorrelaci´on ser´an

diferentes entre si. Se ha encontrado que de las tres funciones utilizadas com´unmente en

la construcci´on de estos medios (gaussiana, exponencial y autosimilar) la que recrea con

mayor precisi´on registros obtenidos en terreno, es la autosimilar.

Trabajar en t´erminos de estas dos variables ofrece grandes ventajas: ambas son

canti-dades adimensionales, lo que les permite caracterizar varias configuraciones

completa-mente dis´ımiles entre s´ı. Por otro lado, es notable el hecho de que en t´erminos de ´estas

pueden expresarse, expl´ıcita o impl´ıcitamente, los l´ımites te´oricos determinados en las

subsecciones anteriores que caracterizan la dispersi´on. Esto ´ultimo fue justamente lo que

propusieron K. Aki y Richards (1980) y el resultado de esta clasificaci´on puede verse en

la figura 1.7.

0.01 0.1 1 10 100 1000 10000

1 10 100 1000 10000

ka

kL Medio homogéneo

Medio homogéneo equivalente

Teoría de ondas para medios aleatorios

D=1 a=L

∆I/I

Figura 1.7: Diagrama de dispersi´on en t´erminos de las variables adimensionales ka ykL. El l´ımite relacionado con la fracciona de la energ´ıa perdida se determin´o usando ∆I/I = 0,1 y hµ2i= 0,001; este se compone de dos l´ıneas que representan los l´ımites

obtenidos cuando ka1 y cuandoka1.

La frontera hallada como la fracci´on de la energ´ıa perdida, es la ´unica que depende

(27)

cuando a > λ) el medio se acerca a la frontera en la que puede considerarse como

homog´eneo; en esta es com´un hacer uso de la ´optica geom´etrica basada en la ley de Snell

y de la teor´ıa de rayos (M¨uller et al.1992; Spetzler, Sivaji et al.2002). Por otro lado, para

valores deka bajos (a < λ), el medio se comporta con caracter´ısticas similares a las de

un medio homog´eneo. Esto sucede porque las irregularidades del medio son demasiado

peque˜nas como para interactuar con las largas longitudes de onda. Varios estudios se

desarrollan en esta ´area (O. Nishizawa 1982). Por ´ultimo, la regi´on delimitada arriba

por la primera zona de Fresnel y abajo por la fracci´on de energ´ıa perdida, es la zona

m´as dif´ıcil de analizar pues en esta la longitud de onda es comparable con el tama˜no

de las inhomogeneidades, y por tanto se presenta una dispersi´on fuerte. No obstante, en

esta ´area se suele desarrollar un estado difusivo el cual puede ser estudiado por m´etodos

(28)

Simulaci´

on y Procesamiento de

datos

2.1.

Simulaci´

on

2.1.1. M´etodo

Este estudio se basa en el an´alisis de una serie de simulaciones las cuales se

realiza-ron con el paquete de simulaci´on de ondas ac´usticas en dos dimensiones SPECFEM2D

(Komatitsch et al. 2010; Martin et al. 2008; Tromp et al. 2008), creado por Dimitri

Komatitsch y Jean-Pierre Vilotte en el IPG (Par´ıs, Francia), y luego desarrollado por

Dimitri Komatitsch y un extenso equipo en la universidad de Harvard University (USA),

Caltech (USA) y en la Universidad de Pau (Francia).

Este se basa en el m´etodo de elementos espectrales el cual se caracteriza por su alto

grado de precisi´on adem´as de su econ´omico uso de memoria. Este m´etodo tiene ciertas

ventajas frente a otros m´etodos como el de diferencias finitas, en que permite plantear

modelos con fronteras que delimitan fuertes irregularidades (Ohminato y Chouet1997);

aunque ha habido desarrollos orientados a solucionar este inconveniente (Zingg 2000),

este m´etodo a´un presenta inconvenientes para simular medios que no son suaves. Otros

m´etodos como el de elementos de frontera, pueden manejar interfaces fuertes, pero no

medios que no sean homog´eneos, adem´as de requerir m´as recursos computacionales.

Cada simulaci´on se basa en 3 etapas: la creaci´on de una red la cual se puede curvar

seg´un las caracter´ısticas topogr´aficas deseadas, la asignaci´on de los par´ametros f´ısicos a

cada punto de esta red y por ´ultimo la generaci´on de las ondas s´ısmicas en el medio. La

creaci´on de la red se puede realizar de dos maneras: por medio de programas externos

(29)

desarrollados espec´ıficamente para este fin como Gmsh o Cubit, los cuales ofrecen una

gran flexibilidad para perfilar fronteras entre medios irregulares o utilizando un m´odulo

interno del paquete de simulaci´on que ofrece esta posibilidad. En el presente trabajo

se generaron las redes con el paquete mismo ya que no se necesitaron interfaces con

irregularidades.

La condici´on de estabilidad de este tipo de m´etodos se suele determinar con el n´umero

de puntos sobre la red por longitud de onda (lo cual implica restricciones sobre la

velo-cidad del medio y la frecuencia de la fuente) y con el intervalo de tiempo entre c´alculos

consecutivos. Dado que las configuraciones generadas tendr´an un amplio rango de

ve-locidades, las condiciones generales para las simulaciones se establecieron siguiendo el

peor escenario posible.

2.1.2. Configuraciones

Cada terreno generado tiene una dimensi´on de 15 km de alto y 30 km de ancho, con

fronteras absorbentes excepto por la frontera superior que es libre. La mitad inferior del

terreno es homog´enea con una velocidad de 3,2 km/s, y la superior es el medio

hete-rog´eneo cuya velocidad promedio es tambi´en 3,2 km/s. El objetivo del medio homog´eneo

es lograr un rango restringido de ´angulos de incidencia de la onda al medio heterog´eneo.

Los puntos en donde se registra el movimiento s´ısmico se dividen en dos arreglos sobre

la superficie cada uno con 100 estaciones, que se extienden por 10 km, comenzando cada

uno a 1 km del l´ımite del terreno. La fuente s´ısmica es ubicada en el centro de la longitud

horizontal (a 15 km de cada lado) y a una profundidad de 14,95 km. De la simulaci´on

de cada uno de estos terrenos se obtienen dos series de datos independientes,

correspon-dientes a las se˜nales registradas en cada uno de los arreglos. La estructura ac´a descrita

puede observarse en la figura 2.1.

Medio homogéneo Medio heterogéneo

Fuente

Estaciones Estaciones

(30)

La serie de simulaciones llevadas a cabo pueden resumirse a continuaci´on:

Se generaron medios gaussianos, exponenciales y autosimilares.

Para cada una de estas funciones se crean medios con 6 longitudes de correlaci´on

distintas: 0,5 km, 1 km, 2,5 km, 5 km, 10 km y 25 km.

En cada situaci´on se producen medios que tienen distribuciones de velocidades con

desviaciones est´andar de 4 %, 8 %, 12 % y 16 %, alrededor de la velocidad promedio

de 3,2 m/s.

Para poder realizar an´alisis estad´ısticos, de cada una de estas configuraciones se

corren 6 simulaciones, lo cual genera un total de 12 resultados o versiones para

cada una.

Como fuente s´ısmica se utiliz´o una fuerza el´astica que se aplica como un pulso. La

duraci´on media del pulso corresponde a 1/f0 en donde f0 es la frecuencia dominante de

la fuente. En todos los casos la densidad se tom´o constante, y se fij´o una constante de

atenuaci´on despreciable.

2.2.

Procesamiento de datos

2.2.1. Procedimiento general de an´alisis

Todo el an´alisis presentado en este trabajo se basa en el c´alculo de las coherencias

cuadradas1.31. Sin embargo los t´erminoscoherenciaycoherencia cuadradase utilizar´an

en lo que resta del trabajo indistintamente para referirse a esta ´ultima.

El procesamiento de las se˜nales producto de la simulaci´on se realiza de la siguiente

manera:

Primero Se calcula la coherencia entre todas las parejas de sismogramas verticales de

cada estaci´on.

Segundo Se agrupan y promedian estas coherencias de acuerdo a la distancia que haya

entre cada par de estaciones; de esta manera, la coherencia promediada a peque˜nas

distancias utiliza un mayor n´umero de datos o parejas que la calculada a grandes

distancias.

Tercero Las coherencias obtenidas son promediadas para diferentes versiones del medio

(31)

Para calcular las coherencias se us´o la librer´ıa en Fortran 90 basada en el m´etodo de

multitaper y desarrollada por Prieto et al. (2009) la cual tiene una amplia cantidad

de opciones para la estimaci´on del espectro de se˜nales. Adem´as de esto, se aplic´o

zero-padding para cada se˜nal para lograr obtener un registro de frecuencias m´as detallado

y para minimizar cualquier posible fuga espectral. Este procedimiento se realiz´o de tal

manera que cada se˜nal quedara con el doble de su longitud original.

2.2.2. Relaci´on entre el tama˜no de la ventana y la se˜nal

La longitud de las ventanas (o tapers) utilizadas en el an´alisis determinan la resoluci´on

y el grado de fugado del espectro obtenido. En general, entre mayor sea la ventana

uti-lizada, mejor ser´a el resultado. Sin embargo, dado el car´acter temporal de la se˜nal, es

necesario analizar si se producir´ıan resultados sesgados al utilizar ventanas de mayor

longitud o duraci´on. A´un a pesar de que desde el punto de vista te´orico un

desplaza-miento temporal entre las se˜nales no debe afectar el resultado (1.12,1.13,1.14) se debe

considerar que el car´acter discreto y finito de las se˜nales puede terminar afectando los

resultados. Para probar esto, se cre´o de forma artificial un conjunto de 100 sismogramas

con las siguientes caracter´ısticas:

todos se componen de un ´unico e id´entico pulso (sin coda), el cual se encuentra

desplazado de una estaci´on a otra de forma uniforme.

El pulso tiene las mismas caracter´ısticas que el utilizado para las simulaciones.

La longitud del pulso (o visto de otra manera, la se˜nal significativa del

sismogra-ma) representa aproximadamente un 2 % del sismograma total, y por tanto de los

tapers.

Algunos sismogramas representativos pueden ser observados en la figura2.2:

Figura 2.2:Superposici´on de la localizaci´on y forma de los pulsos para las estaciones 1, 50 y 100 dentro de la ventana

Como se discuti´o en la secci´on anterior, la coherencia entre dos se˜nales id´enticas es

(32)

que este desplazamiento no corta ninguna parte significativa de la se˜nal). Sin embargo

la rutina de an´alisis realizada sobre el conjunto de sismogramas mencionado, presenta

un resultado inesperado como se muestra en la figura 2.3

Distancia (u.a.)

0 5 10 15 20

Frecuencia (Hz)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

γ

2

Figura 2.3:Coherencia promediada sobre se˜nales a similares pero desplazadas.

Para comprender este resultado es necesario considerar la relaci´on entre las ventanas y

las se˜nales a trav´es de la convoluci´on (1.26). Desde este punto de vista, el que el pulso

sea mucho m´as angosto que la ventana, hace que esta ´ultima no est´e completamente

representada en la multiplicaci´on entre ambas y el pulso termine influyendo ´unicamente

como un factor de amplificaci´on de la se˜nal

x(t) =v(t)u(t)≈v(t0)u(t)

F

−→v(t0)U(f) (2.1)

t0 representa la posici´on del pulso dentro de la ventana total. Desde este punto de vista,

el procedimiento de multitaper est´a tomando se˜nales distintas en amplitud pero con

un contenido espectral id´entico. Esto se manifiesta en el hecho de que para todas las

frecuencias, el valor de la coherencia es el mismo.

Siguiendo este razonamiento, es posible afirmar que las diferencias en las se˜nales son

debidas ´unicamente a la forma de los tapers y por tanto deber´ıa ser posible obtener el

patr´on observado en la figura 2.3 siguiendo el mismo procedimiento que se realiza con

las se˜nales, pero tomando como parte representativa de cada se˜nal el valor (la amplitud)

de cada uno de los tapers en cada punto. Esta funci´on se plantea entonces de forma

(33)

e

γij2 =

K−1

P

k=0

vk(i)vk∗(j)

2

K−1

P

k=0

|vk(i)|2 K−1

P

k=0

|vk(j)|2

(2.2)

En esta ecuaci´onvk(i) representa el valor de cada taper en una posici´on i. Esta funci´on

se calcula para todas las posibles posiciones dentro de cada ventana. Es tambi´en claro

que se excluy´o de esta ecuaci´on la se˜nal misma y por tanto no se puede llevar a cabo

la transformada de Fourier; no obstante, la transformada no afecta la informaci´on que

aporta cada una de las ventanas dada la linealidad de la misma. En la figura 2.4 es

posible observar el resultado de dicho procedimiento. Este patr´on depende de la forma

y del n´umero de tapers que se utilizan.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Amplitud (u.a.)

Distancia (u.a.)

Figura 2.4: Resultados de realizar un procedimiento an´alogo al de la ecuaci´on 1.31

pero usando ´unicamente los tapers.

Se puede observar que el patr´on es id´entico al obtenido por medio de la coherencia

lo cual prueba las conjeturas realizadas alrededor de su origen. Esto significa que se

est´a generando un sesgo en los resultados como resultado del peque˜no tama˜no que la

parte significativa de la se˜nal representa en las ventanas.

Es claro en este punto que se debe determinar la relaci´on de tama˜nos que debe haber

entre la se˜nal significativa y cada ventana para obtener coherencias sin sesgos. En este

caso eso significa obtener una coherencia de 1 para todas las frecuencias y para todas

las distancias, ya que todos los pulsos son iguales entre s´ı. Para esto se utiliza el

mis-mo conjunto de 100 se˜nales previamente descrito, pero disminuyendo el tama˜no de la

(34)

procurar una descripci´on completa de todas las distancias posibles dentro de los tapers.

La duraci´on del pulso tambi´en se mantiene constante para evitar introducir cambios en

la huella espectral del mismo. Este proceso se esquematiza en la figura 2.5

Figura 2.5:Superposici´on de los pulsos de las estaciones 1, 50 y 100, en el proceso de encogimiento de la ventana. El tama˜no de los pulsos y su posici´on relativa dentro de la

´esta, se mantiene constante.

Con este conjunto de se˜nales se realiza la rutina de an´alisis de las coherencias. Cada caso

se clasifica con el porcentaje que el pulso representa en el tama˜no total de la ventana.

Los resultados pueden ser observados en la gr´afica2.6

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 γ 2 Distancia (u.a.) 2.5% 7 Hz 14 Hz 21 Hz 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 γ 2 Distancia (u.a.) 20% 7 Hz 14 Hz 21 Hz 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 γ 2 Distancia (u.a.) 50% 6 Hz 14 Hz 22 Hz 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 γ 2 Distancia (u.a.) 71% 6 Hz 14 Hz 23 Hz 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 γ 2 Distancia (u.a.) 80% 6 Hz 13 Hz 22 Hz 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 γ 2 Distancia (u.a.) 90% 7 Hz 13 Hz 22 Hz

Figura 2.6:Valor de la coherencia promediada para distintas frecuencias. El porcentaje representa el tama˜no del pulso con respecto al de la ventana.

Aunque la coherencia va aumentando paulatinamente, el efecto producido por la

(35)

proceso se produce una diferenciaci´on para diferentes frecuencias; las m´as bajas

cohe-rencias se presentan sistem´aticamente a bajas frecuencias. Esto puede ser atribuido al

hecho de que las oscilaciones producidas por estas son las que toman m´as tiempo en

desarrollarse en los tapers y por tanto son las primeras afectadas cuando se multiplican

con se˜nales de duraci´on diferente. En definitiva, tener se˜nales que no llenan

completa-mente las ventanas va a generar comportamientos que se podr´ıan atribuir err´oneamente

al fen´omeno que se desea observar.

2.2.3. Alineamiento de las se˜nales

Los sesgos en el c´alculo de la coherencia evidenciados en la secci´on anterior se pueden

evitar alineando las se˜nales y ajustando la ventana para que tengan la misma longitud.

La porci´on de la se˜nal que se desea analizar est’a limitada por dos eventos: las llegadas

de las ondas p y s a la estaci´on. La llegada de la onda p se determina localizando el

punto en el cual la se˜nal alcanza un nivel m´ınimo de amplitud inicial. El momento de

la llegada de la onda s no es f´acilmente reconocible, en especial para configuraciones

en las cuales el efecto de la dispersi´on es muy fuerte. Por este motivo, este instante se

determina anal´ıticamente teniendo en cuenta la distancia de la fuente de la estaci´on, la

desviaci´on est´andar del medio y el principio de Fermat en el peor escenario posible: que

la onda viaja a trav´es del medio heterog´eneo a la mayor velocidad posible permitida

por la distribuci´on. Esto se hace teniendo en cuenta que las desviaciones est´andar en

algunas configuraciones son particularmente altas. Aunque esta condici´on puede parecer

demasiado fuerte, es importante asegurarse de no tener registros de las ondas s ya que

estas suelen ser predominantes en la coda, dada la as´ımetria que existe en beneficio de

la conversi´on de ondasp a s (B. Y. K. Aki 1991).

Los simogramas son alineados de acuerdo con la llegada de la onda p. Sin embargo,

dada la asimetr´ıa del sistema, el tiempo de la llegada de la onda s es diferente entre

estaciones. Se podr´ıa considerar la posibilidad de multiplicar por cero la se˜nal desde

la llegada de la onda s hacia adelante, buscando as´ı conservar la m´axima cantidad

de informaci´on contenida en los sismogramas. Sin embargo, esto representa dos serios

problemas: un corte de este tipo implicar´ıa la intrusi´on artificial de frecuencias altas las

cuales no se ver´ıan subsanadas por la aplicaci´on de los tapers dado que su posici´on no es

un extremo de la se˜nal. Por otro lado, el sistema se volver´ıa vulnerable a los problemas

de an´alisis demostrados en la secci´on anterior. Por estos motivos, luego de la alineaci´on,

los sismogramas son cortados a la longitud de la estaci´on que presente la primera llegada

de la onda transversal, es decir, a la talla del sismograma m´as corto entre todos. Dado

que esta llegada se calcula anal´ıticamente, ´esta siempre corresponder´a a la estaci´on m´as

(36)

Es importante mencionar que la llegada de la ondap se determina como el momento en

el que la se˜nal cruza determinada amplitud umbral. Usar las correlaciones entre se˜nales

para alinearlas no se consider´o porque como se ver´a m´as adelante, las configuraciones

propuestas pasan por varios reg´ımenes de dispersi´on, a tal punto que es posible observar

para un mismo arreglo un fuerte retraso del pulso principal en algunas estaciones

mien-tras que en omien-tras no. Por tanto, alinearlas por la correlaci´on implicar´ıa cortar y perder

una gran parte de la se˜nal.

Finalmente, todas las coherencias obtenidas con los mismos par´ametros (distintas

ver-siones) se promedian entre s´ı. No obstante, un inconveniente similar al que se acab´o de

mencionar debe ser tenido en cuenta: es importante que estas coherencias hayan sido

calculadas con sismogramas de la misma longitud, pues de lo contrario, las frecuencias

a las cuales se calcula el espectro serian distintas complicando claramente el c´alculo del

promedio. As´ı, todos los sismogramas de versiones distintas con los mismos par´ametros,

(37)

Resultados

3.1.

An´

alisis de estabilidad

La caracterizaci´on de un medio dispersivo por medio del registro de eventos s´ısmicos

tiene como inconvenientes el car´acter temporal de las se˜nales a analizar, las

caracter´ısti-cas particulares del terreno y la posici´on del evento s´ısmico con respecto al arreglo de

sismogramas; estas variables tienen en com´un el que generan en la informaci´on obtenida

rasgos particulares los cuales claramente limitan cualquier interpretaci´on generalizada

sobre los resultados. Un m´etodo para eliminar el efecto que esto pueda tener, est´a en

promediar los resultados obtenidos para terrenos distintos pero que comparten en com´un

los par´ametros que se desean caracterizar, como lo son la distancia de correlaci´on y la

desviaci´on de la distribuci´on de las velocidades. Sin embargo, se debe tener en cuenta

que este procedimiento se basa en la premisa de que la informaci´on buscada se encuentra

subyacente al efecto de las caracter´ısticas particulares en las que se registr´o la

informa-ci´on. Es por tanto importante determinar en qu´e grado asumir esto es adecuado y una

forma de hacerlo es observando c´omo afecta a la coherencia final el n´umero de terrenos

utilizados en el an´alisis.

Para comparar la similitud entre coherencias de distintos terrenos, y en particular, en

qu´e grado se mejora el resultado con el n´umero de ´estos que son utilizados, se procede

de la siguiente manera: con 12 versiones de cada medio se calcula la coherencia global,

la cual ser´a referida de ahora en adelante como la coherencia de referencia. Luego, se

calcula la diferencia entre esta coherencia de referencia y la coherencia calculada con un

n´umero cada vez mayor de versiones involucradas, de la siguiente manera:

E(nv) = 1

N

fmax X

fi

xmax X

xi

γref2 (fi, xi)−γnv2 (fi, xi)

γ2ref(fi, xi)

, (3.1)

(38)

dondeγref2 es la coherencia de referencia yγnver2 la coherencia calculada con un numero

nvde versiones o terrenos distintos, ambas evaluadas a una frecuenciafiy a una distancia

entre estaciones xi. La cantidad xmax es 10 km, mientras que fmax tiene un valor de

21 Hz, el cual es el l´ımite en el que los resultados obtenidos mediante la simulaci´on son

relevantes. Dado que cada conjunto de simulaciones utiliza en general sismogramas de

diferente duraci´on, el n´umero de puntos contenidos en este rango (representado en la

ecuaci´on como N) va a ser diferente. Esta funci´on calcula el error relativo promedio

(as´ı ser´a referida en adelante) entre todos los valores pertinentes de la coherencia.

En la figuras3.1, 3.2y 3.3se puede observar el comportamiento del error relativo

pro-medio para los diferentes par´ametros utilizados en las simulaciones

0 0.1 0.2 0.3 0.4

Error relativo promedio

Número de versiones

a=0.5 km a=1 km a=2.5 km εε=4%=8%

ε=12%

ε=16%

0.0 0.1 0.2 0.3

2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 a=5 km

2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 a=10 km

2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 a=25 km

Figura 3.1: Comportamiento del error relativo en funci´on del n´umero de versiones utilizadas en el c´alculo de la coherencia para distintos valores de la distancia de co-rrelaci´on de un medio gaussiano (a) y de la desviaci´on est´andar de la distribuci´on de

(39)

0 0.1 0.2 0.3 0.4

Error relativo promedio

Número de versiones

a=0.5 km a=1 km a=2.5 km εε=4%=8%

ε=12%

ε=16%

0.0 0.1 0.2 0.3

2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 a=5 km

2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 a=10 km

2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 a=25 km

Figura 3.2:Igual que 3.1pero con un medio exponencial.

0 0.1 0.2 0.3 0.4

Error relativo promedio

Número de versiones

a=0.5 km a=1 km a=2.5 km εε=4%=8%

ε=12%

ε=16%

0.0 0.1 0.2 0.3

2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 a=5 km

2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 a=10 km

2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 a=25 km

Figura 3.3:Igual que 3.3pero con un medio autosimilar.

Se puede observar que la diferencia entre el resultado de referencia y la primera versi´on

es, salvo algunos casos, menor a 20 %, para luego disminuir a valores menores a 5 % y

m´as importante a´un, la variaci´on entre las ´ultimas versiones no es mayor a 2 % en su

gran mayor´ıa. Esto indica que la coherencia obtenida lleg´o efectivamente a un punto de

Referencias

Documento similar

Y tendiendo ellos la vista vieron cuanto en el mundo había y dieron las gracias al Criador diciendo: Repetidas gracias os damos porque nos habéis criado hombres, nos

Entre nosotros anda un escritor de cosas de filología, paisano de Costa, que no deja de tener ingenio y garbo; pero cuyas obras tienen de todo menos de ciencia, y aun

entorno algoritmo.

Habiendo organizado un movimiento revolucionario en Valencia a principios de 1929 y persistido en las reuniones conspirativo-constitucionalistas desde entonces —cierto que a aquellas

o Si dispone en su establecimiento de alguna silla de ruedas Jazz S50 o 708D cuyo nº de serie figura en el anexo 1 de esta nota informativa, consulte la nota de aviso de la

 Para recibir todos los números de referencia en un solo correo electrónico, es necesario que las solicitudes estén cumplimentadas y sean todos los datos válidos, incluido el

Las manifestaciones musicales y su organización institucional a lo largo de los siglos XVI al XVIII son aspectos poco conocidos de la cultura alicantina. Analizar el alcance y

Este acercamiento entre Roma y la Gran Bretaña lo atribuía Azara al Padre Ricci, general de los jesuítas (1758-73), quien, siempre ateniéndonos al juicio del agente, había