guia01

GUIA 1: La derivada y sus aplicaciones

Asignatura: Ecuaciones Diferenciales Docente: Rafael Bastidas

UNIVERSIDAD AUTONOMA DE NARI ˜

NO

San Juan de Pasto Agosto de 2010

Logros

1. Empleo la definici´on de derivada para resolver ejercicios.

1.

VIVENCIA

De acuerdo a sus conocimientos adquiridos en otros semestres responda:

1. ¿Qu´e es la derivada de una funci´on?

2. ¿Qu´e se necesita para que una funci´on sea diferenciable?

3. ¿En qu´e procesos se puede emplear derivadas?

4. Una funci´on continua ¿Siempre es diferenciable?

5. ¿Cual es la importancia del calculo diferencial en el avance de la ciencia?

2.

FUNDAMENTACION CIENTIFICA

2.1.

LA DERIVADA

En el estudio del cambio de una funci´on cuando cambian sus variables independientes es de especial inter´es para el c´alculo diferencial el caso en el que el cambio de las variables es infinitesimal, esto es, cuando dicho cambio tiende a cero (se hace tan peque˜no como se desee). Y es que el c´alculo diferencial se apoya constantemente en el concepto b´asico del l´ımite. El paso al l´ımite es la principal herramienta que permite desarrollar la teor´ıa del c´alculo diferencial y la que lo diferencia claramente del ´algebra.

Desde el punto de vista matem´atico de las funciones y la geometr´ıa, la derivada de una funci´on en un cierto punto es una medida de la tasa en la cual una funci´on cambia conforme un argumento se modifica. Esto es, una derivada involucra, en t´erminos matem´aticos, una tasa de cambio. Una derivada es el c´alculo de las pendientes instant´aneas de f(x) en cada punto x. Esto se corresponde a las pendientes de las tangentes de la gr´afica de dicha funci´on en sus puntos (una tangente por punto); Las derivadas pueden ser utilizadas para conocer la concavidad de una funci´on, sus intervalos de crecimiento, sus m´aximos y m´ınimos.

Cociente Diferencial de Newton

Las derivadas se definen tomando el l´ımite de la pendiente de las rectas secantes conforme se van aproximando a la recta tangente.

Es dif´ıcil hallar directamente la pendiente de la recta tangente de una funci´on porque s´olo conocemos un punto de ´

esta, el punto donde ha de ser tangente a la funci´on. Por ello, aproximaremos la recta tangente por rectas secantes. Cuando tomemos el l´ımite de las pendientes de las secantes pr´oximas, obtendremos la pendiente de la recta tangente.

f0(x) = l´ım

h→0

f(x+h)−f(x)

h (1)

Para obtener estas pendientes, tomemos un n´umero arbitrariamente peque˜no que llamaremos h. h representa una peque˜na variaci´on en x, y puede ser tanto positivo como negativo.1

Se puede observar que: la derivada es la pendiente de la recta tangente, que est´a dada por la tangente trigonom´etrica del ´angulo que forma la recta tangente con el eje x en un punto dado.

Ejemplo: Para calcular la derivada de la funci´onf(x) = 3x2_{. Partimos de la ecuaci´on??}

f0(x) = l´ım

h→0

f(x+h)−f(x) h

Sustituyendo la funci´on

= l´ım

h→0

3(x+h)2_−3x2

h Desarrollando la potencia

= l´ım

h→0

3x2+ 6xh+ 3h2−3x2

h Al simplificar

= 6x

Pero este proceso no es necesario realizarlo siempre ya que conocemos una tabla de derivadas que nos permite calcular r´apidamente una derivada.

TABLA DE DERIVADAS

(cte)0= 0

(xn)0=nxn−1

(ex)0=ex

(ax)0=axlna

(ln(x))0= 1 x

(logax)0=

1 x.ln(a)

(sen(x))0=cos(x)

(cos(x))0=−sen(x)

(tan(x))0 =sec2(x)

(cot(x))0 =−csc2(x)

(sec(x))0=sec(x).tan(x)

(csc(x))0 =−csc(x).cot(x)

(arcsen(x))0= √ 1

1−x2

(arccos(x))0=−√ 1

1−x2

(arctan(x))0= 1 1 +x2

(arccot(x))0 =− 1

1 +x2

(arcsec(x))0 =± 1

x√x2₋₁

siendo

_{+ si x >1}

− si x <−1

(arccsc(x))0=∓ 1

x√x2₋₁

siendo

− si x >1 + si x <−1

REGLAS DE DERIVACION

T IP O OP ERACION DEF IN ICION

Suma (f + g)’= f’ + g’ La derivada de una suma de dos funciones es la suma de las derivadas de estas funciones

Resta (f - g)’= f’ - g’ La derivada de una diferencia de dos funciones es la diferencia de las derivadas de estas funciones

Producto (f . g)’= f’.g + f.g’ La derivada de un producto de dos funciones es igual a la derivada de la primera funci´on por la segunda sin derivar mas la primera funci´on sin derivar por la derivada de la segunda

Cociente

_f

g

= f

0_.g−f.g0

g2 La derivada de un cociente de dos funciones es igual a la derivada

de la primera funci´on por la segunda sin derivar menos la primera funci´on sin derivar por la derivada de la segunda, todo eso dividido por el denominador al cuadrado

Composici´on [g(f(x))] =g0(f(x)).f0(x) Regla de la cadena

EJERCICIOS RESUELTOS:

Encontrar la derivada respecto a x de las siguientes funciones compuestas

1. f(x) = (sen(2x) +cos2(x₅))3

f0(x) = 3sen(2x) +cos2x 5

2

.

cos(2x)(2) + 2.cosx 5

(−senx 5 ).1 5 Ordenando

= 3sen(2x) +cos2x 5

2

.

2cos(2x)−2

5.cos

x

5

senx 5

= 3sen(2x) +cos2x 5

2

.

2cos(2x)−1

5.sen

_2x

5

2. f(x) =log10(x).

p

ln(3x)

f0(x) = 1 x.ln(10).

p

ln(3x) +log10(x).

1 2(ln(3x)) −1 2_. 1 3x (3) Simplificando = 1 x.ln(10). p

ln(3x) + log10(x). 2xpln(3x)

3. f(x) =

3

√

3sen(x2_)+5cos(8x)

cos2_(2x)

f0(x) = (

3 p

3sen(x2_{) + 5cos(8x))}0_(cos2_(2x))−(p3

3sen(x2_{) + 5cos(8x))(cos}2_(2x))0

(cos2_(2x))2

=

1

3√3 _(3sen(x2_)+5cos(8x))2(6x.cos(x

2_{)−40sen(8x))(cos}2_(2x))−p3 _3sen(x2_{) + 5cos(8x).(2cos(2x).(−2sen(2x)))}

Simplificando

= (6x.cos(x

2_{)−40sen(8x))cos}2_{(2x) + 3 3sen(x}2_{) + 5cos(8x)}

.(8cos(2x).sen(2x)))

(3p3

(3sen(x2_{) + 5cos(8x))}2_)cos4_(2x)

= 6x.cos(x

2_).cos2_{(2x)−40sen(8x).cos}2_{(2x) + 36cos(2x).sen(2x).sen(x}2_{) + 60.cos(2x).sen(2x).cos(8x)}

(3p3

(3sen(x2_{) + 5cos(8x))}2_)cos4_(2x)

= 6x.cos(x

2_).cos2_{(2x)−40sen(8x).cos}2_{(2x) + 18.sen(4x).sen(x}2_{) + 30.sen(4x).cos(8x)}

(3p3 _(3sen(x2_{) + 5cos(8x))}2_)cos4_(2x)

2.2.

APLICACIONES DE LA DERIVADA

El calculo diferencial tiene varias aplicaciones, a continuaci´on se dar´a una breve definici´on y unos ejemplos para recordar cada uno de los siguientes tipos de aplicaci´on:

1. Aplicaciones geom´etricas de la derivada

2. Raz´on de Cambio

3. M´aximos y m´ınimos

4. Trazado de Gr´aficos de Funciones

5. Incrementos Diferenciales y Aproximaci´on Lineal

Descripci´on de las Aplicaciones

2.2.1. Aplicaciones geom´etricas de la derivada

De acuerdo a la definici´on geom´etrica de la derivada como: la tangente trigonom´etrica del ´angulo que forma la recta tangente a la curva con el eje x. Se puede emplear la derivada para:

1. Tangente a una curva

2. Direcci´on de una curva

3. Recta Normal a una curva

4. Angulo entre dos curvas

Ejemplos:

1. Hallar las Ecuaciones de las rectas tangente y normal a la par´abola de ecuaci´onf(x) =x2_{+ 2 en el punto P(2,6)}

Luego la ecuaci´on de la tangente a la curva en el punto (2,6)es:

y−6 =f0(2)(x−2) y−6 = 4(x−2)

y= 4x−2

Y la ecuaci´on de la recta normal es:

y−6 = −1

f0₍₋₂₎(x−2)

y−6 =−1

44(x−2)

y=−1

4x+− 13

2

2. Hallar el ´angulo que forman las curvas de las ecuacionesf1(x) =ln(2−x) yf2=x−1

El punto de intersecci´on entre las curvas es P(1,0), Las derivadas:

f20(x) = 1;f20(1) = 1

f₁0(x) = −1 2−x;f

0

1(1) =

−1 2−1 =−1

el ´angulo ser´a:

tanφ= f

0

2(x)−f10(x)

1 +f0

2(x).f10(x)

tanφ= 1−(−1) 1 + (1)(−1) =∞

φ=arctan(∞) = 90◦

Las dos curvas son ortogonales entre si en el punto (1,0) esto es, forman un ´angulo de 90◦

2.2.2. Raz´on de Cambio

Si y = f(x) es una funci´on, la raz´on de cambio instantanea de y por unidad de cambio de x en x1, es f’(x1), si la

derivada existe en ese punto.

Si la variable independiente de la funci´on es el tiempo, entonces y = f(t). Por ejemplo, podr´ıa ser: - El Tama˜no de una poblaci´on

- La cantidad de dinero de una cuenta de ahorros

- La distancia recorrida t horas despues del comienzo de un viaje - La cantidad de agua de una represa con flujo variable

- El volumen de un globo que est´a siendo inflado

Hay gran variedad de problemas relacionados con raz´on de cambio de dos o m´asvariables afines con respecto al tiempo t. Para estos casos es necesario aplicar, en el proceso de diferenciaci´on, la regla de la cadena.2

Ejemplo: Se est´a vaciando arena sobre un mont´on de forma c´onica a raz´on de 12 _minm3 . La altura del mont´on es siempre igual al radio de la base. Cuando el mont´on tiene 2,5 mt de altura, ¿Con que rapidez est´a aumentando su altura?

Soluci´on: El volumen de un cono de altura h y radio r viene dado por la expresi´on:

V = 1 3.π.r

2_.h

Como r = h, entonces:

V = 1 3.π.h

3

Derivando respecto a t

dV dt =π.h

2dh

dt

Seg´un los datos del problema dV_dt = 12_minm3 cuando h= 2,5 m. Reemplazando:

12 =π.(2,5)2dh dt

Despejando dh_dt:

dh dt =

12_minm3

π.(6,25)m2 = 0,611

m min

En consecuencia, la altura est´a aumentando a una tasa de 0,611 m/min

2.2.3. M´aximos y m´ınimos

Para la resoluci´on de problemas que involucran la determinaci´on de m´aximos y m´ınimos, se aconseja seguir los siguientes pasos:

1. Formulaci´on de la funci´on cuyos m´aximos y/o m´ınimos se desea calcular. Se debe expresar esta funci´on en t´erminos de una sola variable

2. Determinaci´on de la primera derivada de la funci´on

3. Calculo de las raices que hacen nula la primera derivada (puntos cr´ıticos)

4. Determinaci´on de la segunda derivada de la funci´on

5. Sustituci´on de las raices reales (puntos cr´ıticos) en la expresi´on de la segunda derivada de la funci´on

Si el valor num´erico de esta sustituci´on es negativo, entonces, para esta raiz existir´a un m´aximo de la funci´on. Si el valor num´erico de la sustituci´on es positivo, entonces, para esta raiz existir´a un m´ınimo de la funci´on.

Soluci´on:Sea x la longitud en cm del lado del cuadrado que se debe cortar. Las dimensiones de la caja son: x, 12 -2x y 12 - -2x. Por lo tanto el volumen de la figura es:

V =x(12−2x)(12−2x)(cm3)

Si x=0, V=0 y si x=6, V=0.

Esto muestra que el lado del cuadrado x debe estar comprendido entre (0,6). Desarrollando las operaciones indicadas en la expresi´on anterior, se obtiene:

V = 4x3−48x2+ 144x

Derivando respecto a x

dV dx = 12x

2

−96x+ 144

igualando la derivada a cero

= 12x2−96x+ 144 = 0

= 12(x−2)(x−6) = 0

Entonces los puntos cr´ıticos son x=2 y x=6. Derivando una vez m´as la ecuaci´on

d2V

dx2 = 24x−96

Evaluando esta segunda derivada en los puntos cr´ıticos

d2_V

dx2_x=6= 24(6)−96 = 144−96 = 48>0

d2_V

dx2_x=2= 24(2)−96 = 48−96 =−48<0

Como d_dx2V2_x=2<0, entonces, para x=2, la funci´on V toma un valor m´aximo:

V = 4(2)3−48(2)2+ 144(2) = 128cm3

Las dimensiones de la caja son x, 12 - 2x y 12 - 2x, es decir 2, 8 y 8 cm.

2.2.4. Trazado de Gr´aficas de Funciones

Para trazar el gr´afico de una funci´on cuya ecuaci´on es y=f(x) se procede as´ı:

1. Se hallan las intersecciones de la gr´afica con los ejesx yy para lo cual se hace y=0 y x=0 respectivamente.

2. Se determina el dominio de definici´on de la funci´on

3. Se determina (si existen) as´ıntotas de la funci´on as´ı:

a) y = c es as´ıntota horizontal si l´ım

x→∞f(x) =c

c) si f(x) = p(x)_q(x) es funci´on racional, en la cual el grado p(x) es mayor en una unidad que el grado de q(x), entonces al dividir p(x) entre q(x) se obtiene:

f(x) = mx +b +r(x) donde l´ım

x→∞r(x) = 0

De esta manera y = mx + b es as´ıntota oblicua.

En general y =mx + b es as´ıntota oblicua si: l´ım

x→∞

0_{f racf(x)x=my l´ım}

x→∞[f(x)−mx] =b

4. Se hallan los m´aximos y m´ınimos de la funci´on. Determinando las regiones de crecimiento y decrecimiento de la misma. Six0 es punto cr´ıtico, se pueden presentar los siguientes casos

a) M´aximo Relativosi f´(x) cambia de positiva a negativa al pasar porx0 b) M´ınimo Relativosi f´(x) cambia de negativa a positiva al pasar porx0 c) Punto de Inflexi´onsi f´(x) es positivo o negativo de los dos lados dex0

5. La segunda derivada f”(x) igualada a cero, produce posibles puntos de inflexi´on. Adem´as, six0es punto cr´ıtico y:

f’(x0)¡0, entonces hay concavidad negativa y existe unM´aximo Relativo

f’(x0)¿0, entonces hay concavidad positiva y existe unM´ınimo Relativo

6. Conviene en algunos casos tabular algunos valores de x

Ejemplo:Trazar la gr´afica de la funci´ony=4x+3_3x−2

Soluci´on:Intersecciones: Si x=0,y=−3 2

Si y=0, x= - 3₄. Luego las intersecciones con los ejes son 0,3₂

y (-3,0). Campo de Definici´on: Todos los reales excepto x=2₃

As´ıntotas: Tiene una as´ıntota vertical en x=2₃ adem´as:

l´ım

x→∞

4x+ 3

3x−1 = l´ımx→∞

4x+ 3 3x−1 =

4 3 Luego, y = 4₃ es as´ıntota horizontal.

M´aximos y M´ınimos:

dy dx =

−17 (3x−2)2

Al igualar a cero, se puede ver que no existen puntos cr´ıticos. Al tomar x=-1 y x=1 como puntos de prueba para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento se tiene:

dy dx(−1) =

−17 25 <0

Lo cual indica que: en el intervalo (−∞,2/3), la funci´on es decreciente

dy

dx(1) =−17<0

Lo cual indica que: en el intervalo (2/3,∞), la funci´on es decreciente

Adem´as, debe notarse que:

l´ım

x→2 3 +

_{4x+ 3}

3x−2

=−∞ y l´ım

x→2 3

−

_{4x+ 3}

3x−2

=∞

Figura 2: Gr´afica de la funci´ony=4x+3 3x−2

2.2.5. Incrementos Diferenciales y Aproximaci´on Lineal

Sea la funci´on y =f(x).

Si x se incrementa en ∆x, la funci´on se incrementa ∆y. Entonces el valor de ∆y es:

∆y=f(x+ ∆x)−f(x) (2)

Cuando ∆xes peque˜no (∆x→0), ∆y≈dy. La raz´on de incrementos, se puede expresar como:

dy dx =f

0_(x)

Por lo tanto:

dy=f0(x).dx (3)

considerando las aproimaciones de los incrementos a diferenciales e igualando las expresiones ??y??se tiene que:

f0(x)dx≈f(x+dx)−f(x) (4)

entonces...

f(x+dx)≈f(x) +f0(x)dx (5)

Esta ´ultima expresi´on es una buena aproximaci´on lineal de la funci´on f(x) cuando x se incrementa en ∆x, para ∆x→0.

Ejemplo: Calcular aproximadamente los valores de√64,1 y√63,9

Soluci´on: Partimos de la funcion y =√x. Diferenciando ambos miembros:

dy= 1

2√xdx (6)

dy= 1

2√64(0,1) = 0,1

16 = 0,00625

Luego:

p

64,1 =p64 + 0,1≈√64 + 0,00625

p

64,1≈8,00625

Para√63,9, si x= 64, dx =-0,1 entonces reemplazando en??, tenemos:

dy= 1

2√64(−0,1) =

−0,1

16 =−0,00625

Luego:

p

63,9 =p64−0,1≈√64−0,00625

p

3.

PRACTICA

Hallar la derivada de las siguientes funciones:

1. f(x)=

3

√

tan(8x) sen(8x)

2. f(x)= _sen2_(x3₎₋1_cos2_(3x)

3. f(x) =e3x2−2x+4_ln(3x2_{−2x+ 4)}

4. y =q3 (x2+7)4

x4₊₁

4.

APLICACION

1. Teniendo en cuenta una curva y=f(x).

La direcci´on de la curva en un punto est´a dado porα=arctan(f0(x0))

La ecuaci´on de la recta normal a la curva viene dada por la expresi´on:y−y0=_f0−_(x1

0)(x−x0)

El ´angulo entre dos curvas con punto com´unP(x0, y0) se puede calcular conφ=

f₂0(x0)−f10(x0)

1+f0

2(x0).f10(x0)

Solucionar los siguientes problemas

a) Hallar los ´angulos de corte entre las curvasf(x) =ln(x+ 3) yg(x) =ln(5−x2₎

Figura 3: Problema 1.a

b) El cable de suspensi´on de un puente colgante est´a anclado a dos pilares de soporte separados estre s´ı 300 m. El Cable cuelga en forma de par´abola, con su punto m´as bajo situado a 25 m de los puntos de suspensi´on. Hallar el ´angulo formado por el cable y uno de los pilares del soporte.

c) Mostrar que la ecuaci´on de la tangente a la elipse x_a22+

y2

b2 = 1 en el puntoP(x0, y0) es y =

−b2_x 0

a2_y 0

x+b_y2

0.

Utilizar el resultado anterior para encontrar la ecuaci´on de la tangente a la elipse x₉2 +y₄2 = 1 en el punto P 2,2

3

√

5

Figura 5: Problema 1.c

d) Hallar el ´angulo que forman la ecuacionesf(x) =ln(2−x) yg(x) =x−1

Figura 6: Problema 1.d

2. Teniendo en cuenta la raz´on de cambio solucionar:

Figura 7: Problema 2.a

b) Un avi´on vuela a 6 millas de altitud en l´ınea recta hacia la posici´on de un radar. Sea S la distancia en millas entre el avi´on y el radar. Si S est´a decreciendo a raz´on de 400 millas/hora cuando S es 10 millas, ¿cual es la velocidad del avi´on?

Figura 8: Problema 2.b

c) Una l´amina met´alica en forma de tri´angulo equil´atero se calienta y cada lado se dilata a una velocidad de 1 cm/hora. ¿A que velocidad se dilata el ´area cuando los lados miden 40 cm?

Figura 9: Problema 2.c

d) Un tanque abierto por su parte superior tiene 6 mt de lado y sus tapas extremas tienen forma de trapecio de 4m de altura, base inferior 4m y base superior 6m. El agua entra en el tanque a raz´on de 1m3_{/min. ¿A}

que velocidad sube el nivel del agua cuando la altura es de 2m?

Figura 10: Problema 2.d

a) Hallar las dimensiones del cilindro recto circular, de m´aximo volumen que puede ser inscrito en un cono circular de radio 5cm y altura 12cm

Figura 11: Problema 3.a

b) Hallar las dimensiones del rect´angulo de mayor ´area que se puede inscribir en un tri´angulo equilatero de 20cm de lado, si la base del rect´angulo est´a sobre la base del tri´angulo.

Figura 12: Problema 3.b

c) Una caja cerrada con base cuadrada debe tener un volumen de 144 pul3_{. El material de la base y la tapa}

tiene un costo de $ 20 porpul2 _{y el material para los lados tiene un costo de $ 30 porpul}2_{. Se quiere que}

Figura 13: Problema 3.c

d) Se desea construir un envase met´alico cerrado de volumen espec´ıfico y de forma de cilindro circular recto. encontrar las dimensiones del radio y la altura del cilindro que permitan emplear la menor cantidad de material en su fabricaci´on.

Figura 14: Problema 3.d

4. Empleando el concepto de diferenciales y aproximaci´on lineal, Calcular aproximadamente el valor de:

Figura 15: Problema 4.a Figura 16: Problema 4.b Figura 17: Problema 4.c

a) tan (45◦ 15’)

b) (1,01)4−(1,01)3+ 8.(1,01)2

c) −√x3_+√1 x+ 20

Figura 18: Problema 4.d

5.

COMPLEMENTACION

Empleando el programa derive, compruebe los resultados de los ejemplos planteados en esta guia

1. La barra de formulas est´a ubicada en la parte inferior de la pantalla.

Figura 19: Barra de formulas de Derive

Las formulas se escriben de forma lineal, empleando par´entesis para agruparlas. Por ejemplo:

Para escribir la fracci´on _1+x3x2 se debe digitar:(3x)/(1+x^2)y luego presionar Enter.Observe como se agrupa

con par´entesis el n´umerador, el denominador. Si solo hay un n´umero o letra no hay necesidad de emplear par´entesis como en el caso del 2 como exponente de x, pero si x est´a elevado a 3y , se deber´ıa escribir la expresi´on como(3x)/(1+x^(3y))

A continuaci´on se va a digitar el ejemplo n´umero 3 de la guia 01. Para obtenerf(x) = 3

√

3sen(x2_)+5cos(8x)

cos2_(2x) ,

digite ((3sin(x^(2)) + 5cos(8x))^(1/3))/((cos(2x))^2) y presione Enter, va a obtener la ecuaci´on gr´aficamente de esta manera:

Figura 20: Ejemplo 3 Regla de la Cadena

2. Para derivar la expresi´on anterior de clic en el Men´u Calculus opci´on Differentiate, aparecer´a el siguiente cuadro de di´alogo:

Figura 21: Cuadro de dialogo Difereciar en Derive

Figura 22: Resultado Ejercicio 3 Regla de la Cadena

Para mayor informaci´on en el manejo de Derive, ingrese en la p´agina https://sites.google.com/site/edosaunarpasto/

en la secci´onDocumentospuede consultar un Manual inicial de manejo de Derive for Windows, o en la secci´on