TEMA4_HOJA1_ECUACIONES_EJERCICIOS_SOLUCIONES_1_y_2
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(2) IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas. TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4º ESO Matemáticas B. 20( x − 4) − 12(3 x) − 60 x + 60 ⋅ (4) = 6(3 + 5 x) − 20 ⋅ (5) + 15 x ⇒. ⇒ 20 x − 80 − 36 x − 60 x + 240 = 18 + 30 x − 100 + 15 x ⇒ − 76 x + 160 = 45 x − 82 ⇒ ⇒ −76 x − 45x = −82 − 160 ⇒ −121 121x = −242 ⇒ x =. − 242 ⇒x=2 − 121. Solución: x = 2. e). x − 7 25( x − 2) 5 x + 35 5 x − 7 25 x − 50 5 x + 35 5 x 35 + = + (x − 7 ) ⇒ + = + − 4 3 4 2 4 3 4 2 2 3( x − 7) + 4(25 x − 50) 3(5 x + 35) + 6(5 x) − 6 ⋅ (35) = 12 12. m.c.m.(4,3,2) = 12. 3( x − 7) + 4(25 x − 50) = 3(5 x + 35) + 6(5 x) − 6 ⋅ (35) ⇒ 3x − 21 + 100 x − 200 = 15 x + 105 + 30 x − 210 ⇒. ⇒ 103x − 221 = 45 x − 105 ⇒ 103x − 45x = −105 + 221 ⇒ 58x =116 ⇒ x =. 116 ⇒x=2 58. Solución: x = 2 f) ( x + 4)( x − 2) = 2 − 3( x + 1) − ( x − 2)2 2 2 x 2 − 2 x + 4 x − 8 = 2 − 3x − 3 − ( x 2 − 4 x + 4) ⇒ x + 2 x − 8 = 2 − 3x − 3 − x + 4 x − 4 ⇒ x = 1 ⇒ x 2 + 2 x − 8 = − x 2 + x − 5 ⇒ 2 x 2 + x − 3 = 0 ⇒ x = − 1 ± 1 + 24 = − 1 ± 5 = 3 4 4 x = − 2. Soluciones: x = 1 y x = −. g). 3 2. 11 = x − ( x − 1) 2 9. 11 − 9 x 2 + 27x − 9 11 11 11 ⇒ = x − ( x 2 − 2 x + 1) ⇒ = x − x 2 + 2 x − 1 ⇒ = − x 2 + 3x − 1 ⇒ = 9 9 9 9 9 5 x= 27 ± 729 − 720 27 ± 3 3 = = ⇒ 11 = −9 x 2 + 27 x − 9 ⇒ 9 x 2 − 27 x + 20 = 0 ⇒ x = 18 18 x = 4 3 Soluciones: x =. 5 4 y x= 3 3. 2.
(3) IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas. TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4º ESO Matemáticas B. h) 2 x = 10 − ( x − 1)2. 2 x = 10 − ( x 2 − 2 x + 1) ⇒ 2x = 10 − x 2 + 2 x − 1 ⇒ 2 x = − x 2 + 2 x + 9 ⇒ x 2 − 9 = 0 ⇒ x 2 = 9 ⇒ x = 9 ⇒ ⇒ x = ±3 Soluciones: x = −3 y x = 3 i) − 2( x − 2)2 + 3x + 8 = 0 2 − 2( x2 − 4 x + 4) + 3x + 8 = 0 ⇒ − 2xx + 8x − 8 + 3x + 8 = 0 ⇒ − 2 x2 + 11x = 0 ⇒ x(−2 x + 11) = 0 ⇒ x = 0 ⇒ 11 − 2 x + 11 = 0 ⇒ x = 2. Soluciones: x = 0 y x =. j). 11 2. (1 + x )2 − 2 x − 8 = x 2 + 1 ⇒ 1 + 2 x + x 2 − 2 x − 8 = x 2 + 1 5. 25. 5. 5. 5. 25. 5(1 + 2 x + x 2 ) − 1(2 x − 8) 5 x 2 + 5 ⋅ (1) = 25 25. 5. 5. m.c.m.(5,25) = 25. 5(1 + 2 x + x 2 ) − 1(2 x − 8) = 5 x 2 + 5 ⋅ (1) ⇒ 5 + 10 x + 5 x 2 − 2 x + 8 = 5 x 2 + 5 ⇒ 5 x 2 + 8 x + 13 = 5 x 2 + 5 ⇒. ⇒ 8 x = 5 − 13 ⇒ 8 x = −8 ⇒ x =. −8 ⇒ x = −1 8. Solución: x = −1. k). (2 x − 1)(2 x + 1) = 3(4 x 2 + 1) − x ⇒ 4 x 2 − 1 = 12 x 2 + 3 − x 4. 12. 3(4 x 2 − 1) 1(12 x 2 + 3) − 12 x = 12 12. 4. 12. m.c.m.(4,12) = 12. 3(4 x 2 − 1) = 1(12 x 2 + 3) − 12 x ⇒ 12 x 2 − 3 = 12 x 2 + 3 − 12 x ⇒ 12 x = 3 + 3 ⇒ 12 x = 6 ⇒ x = Solución: x =. 6 1 ⇒x= 12 2. 1 2. 3.
(4) IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas. l). TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4º ESO Matemáticas B. (x − 3)(x + 3) = 3(x − 1) + x 2 ⇒ x 2 − 9 = 3x − 3 + x 2 ⇒ −9 = 3x − 3 ⇒ −18 = 3x − 3 ⇒ −3x = −3 + 18 ⇒ 2. − 3x = 15 ⇒ x =. 2. 2. 15 ⇒ x = −5 −3. Solución: x = −5 x( x + 1) (2 x − 1) 3 x + 1 1 x 2 + x 4 x 2 − 4 x + 1 3x + 1 1 − = − ⇒ − = − 2 8 4 8 2 8 4 8 2. m). 4( x 2 + x) − 1(4 x 2 − 4 x + 1) 2(3 x + 1) − 1 = 8 8. m.c.m.(2,4,8) = 8. 4( x 2 + x) − 1(4 x 2 − 4 x + 1) = 2(3 x + 1) − 1 ⇒ 4 x 2 + 4 x − 4 x 2 + 4 x − 1 = 6 x + 2 − 1 ⇒ 8 x − 1 = 6 x + 1 ⇒. 8x − 6x = 1 + 1 ⇒ 2x = 2 ⇒ x =. 2 ⇒ x =1 2. Solución: x = 1. (3x − 2)(3x − 4) ( x + 2)2 ( x − 6)2 x(1 − x) − = − n) 15 3 5 15 9 x 2 − 12x − 6 x + 8 x 2 + 4 x + 4 x 2 − 12x + 36 x − x 2 − = − 15 3 5 15 2 2 2 1⋅ (9 x − 18x + 8) − 5 ⋅ ( x + 4 x + 4) 3 ⋅ ( x − 12x + 36) − 1 ⋅ ( x − x 2 ) = 15 15 2 2 2 1⋅ (9 x − 18x + 8) − 5 ⋅ ( x + 4 x + 4) = 3 ⋅ ( x − 12x + 36) − 1⋅ ( x − x 2 ). m.c.m.(15,3,5) = 15. 9 x 2 − 18x + 8 − 5x 2 − 20 x − 20 = 3x 2 − 36x + 108 − x + x 2 4 x 2 − 38x − 12 = 4 x 2 − 37 x + 108 ⇒ − x − 120 = 0 ⇒ x = −120 Solución: x = −120. 4.
(5) IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas. TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4º ESO Matemáticas B. 2. Resuelve las siguientes ecuaciones polinómicas:. Para resolver este ejercicio aplicamos que “un “un producto es nulo si y sólo si alguno de los factores es nulo”, nulo es decir, A1 = 0 A = 0 A1 ⋅ A2 ⋅ A3 ⋅ ... ⋅ An = 0 ⇔ 2 M An = 0. A continuación, se resuelve cada una de las ecuaciones Ai = 0 con i = 1,2,..., n de forma independiente.. a). x − 4 = 0 ⇔ x = 4 3 ( x − 4) ⋅ (2 x + 3) ⋅ (5 x + 7) = 0 ⇔ 2 x + 3 = 0 ⇔ 2 x = −3 ⇔ x = − 2 7 5 x + 7 = 0 ⇔ 5 x = −7 ⇔ x = − 5. Soluciones: x = 4; x = −. b). 3 7 y x=− 2 5. −4 4 4 − 5 x = 0 ⇔ −5 x = −4 ⇔ x = − 5 ⇔ x = 5 3 (4 − 5 x) ⋅ (4 x − 3) ⋅ (−14 x + 7) = 0 ⇔ 4 x − 3 = 0 ⇔ 4 x = 3 ⇔ x = 4 −7 1 − 14 x + 7 = 0 ⇔ −14 x = −7 ⇔ x = − 14 ⇔ x = 2 . 4 3 1 Soluciones: x = ; x = y x= 5 4 2. c). 0 − 4 x = 0 ⇔ x = − 4 ⇔ x = 0 6 − 4 x = 0 ⇔ −4 x = −6 ⇔ x = − 6 ⇔ x = 3 −4 2 − 4 x ⋅ (6 − 4 x) ⋅ (3x + 3) ⋅ (8 − 8 x) = 0 ⇔ 3x + 3 = 0 ⇔ 3x = −3 ⇔ x = − 3 ⇔ x = −1 3 −8 8 − 8 x = 0 ⇔ −8 x = −8 ⇔ x = ⇔ x =1 −8 . 3 Soluciones: x = 0 ; x = ; x = −1 y x = 1 2. 5.
(6) IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas. d). TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4º ESO Matemáticas B. 4 2 3x − 4 x = 0 ⇔ x ⋅ (3x − 4) = 0 ⇔ x = 0 ò x = 3 2 2 x − 36 = 0 ⇔ x = 36 ⇔ x = ±6 2 2 2 (3x − 4 x) ⋅ ( x − 36) ⋅ (−2 x − 1) ⋅ ( x − 6 x + 9) = 0 ⇔ − 2 x − 1 = 0 ⇔ −2 x = 1 ⇔ x = − 1 2 2 2 x − 6 x + 9 = 0 ⇔ ( x − 3) = 0 ⇔ x = 3 (doble). 4 1 Soluciones: x = 0 ; x = ; x = −6; x = 6; x = − y x = 3 (doble) 3 2. e). − 7 x 3 = 0 ⇔ x3 = 0 ⇔ x = 0 (triple) 2 2 x − 3 = 0 ⇔ x = 3 ⇔ x = ± 3 − 7 x 3 ⋅ ( x 2 − 3) ⋅ ( x 2 + 3) ⋅ (1 − 3 x) = 0 ⇔ x 2 + 3 = 0 ⇔ x 2 = −3 ⇔ x = − 3 ⇒ ∃/ solución real 1 − 3 x = 0 ⇔ −3 x = −1 ⇔ x = 1 3. Soluciones: x = 0 (triple) ; x = − 3; x = 3 y x =. f). 1 3. 3 x 3 ⋅ (4 x 2 − 4 x) ⋅ (− x 2 + 5 x − 4) ⋅ (8 − 9 x 2 ) = 0 ⇔. 3 x 3 = 0 ⇔ x 3 = 0 ⇔ x = 0 (triple) 2 4 x − 4 x = 0 ⇔ 4 x( x − 1) = 0 ⇔ x = 0 ò x = 1 x =1 ⇔ − x 2 + 5 x − 4 = 0 ⇔ x = − 5 ± 25 − 16 = − 5 ± 9 = − 5 ± 3 = −2 −2 −2 x = 4 8 − 9 x 2 = 0 ⇔ −9 x 2 = −8 ⇔ x 2 = 8 ⇔ x = ± 8 9 3. Soluciones: x = 0 (cuádruple); x = 1 (doble); x = 4 y x = ±. g). 8 3. 2 5 4 x − 5 x = 0 ⇔ x(4 x − 5) = 0 ⇔ x = 0 ò x = 4 2 2 2 2 ( 4 x − 5 x ) ⋅ ( 4 x + x ) ⋅ ( 2 + 3 x ) = 0 ⇔ 4 x + x = 0 ⇔ x ( 4 + x ) = 0 ⇔ x = 0 ò x = −4 2 + 3 x 2 = 0 ⇔ 3 x 2 = −2 ⇔ x 2 = − 2 ⇔ x = − 2 ⇒ ∃/ solución real 3 3 . Soluciones: x = 0 (doble) ; x =. 5 y 4. x = −4. 6.
(7) IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas. h). TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4º ESO Matemáticas B. 3 x 2 ⋅ ( x 2 − 5 x + 6) ⋅ (−2 x 3 + 16) ⋅ (8 − 2 x 2 ) = 0 ⇔. 3x 2 = 0 ⇔ x 2 = 0 ⇔ x = 0 (doble) x 2 − 5 x + 6 = 0 ⇔ x = 5 ± 25 − 24 = 5 ± 1 = x = 3 2 2 ⇔ x = 2 3 3 3 3 − 2 x + 16 = 0 ⇔ −2 x = −16 ⇔ x = 8 ⇔ x = 8 ⇔ x = 2 8 − 2 x 2 = 0 ⇔ −2 x 2 = −8 ⇔ x 2 = 4 ⇔ x = ±2 Soluciones: x = 0 (doble) ; x = 3; x = 2 (triple) y x = −2. i). (4 − 7 x) ⋅ (4 x 2 − 12 x + 16) ⋅ ( x 2 + 81) ⋅ (7 x − 5) = 0 ⇔. 4 4 − 7 x = 0 ⇔ −7 x = −4 ⇔ x = 7 3 ± 9 − 16 2 x 2 − 3x + 4 = 0 ⇔ x = ⇒ ∃/ solución real 4 x − 12 x + 16 = 0 ⇔ (:4 ) ⇔ 2 x 2 + 81 = 0 ⇔ x 2 = −81 ⇔ x = − 81 ⇒ ∃/ solución real 5 7 x − 5 = 0 ⇔ 7 x = 5 ⇔ x = 7 Soluciones: x =. j). 4 5 y x= 7 7. 2 3 x ⋅ ( x 2 + x + 1) ⋅ (7 x 2 + 3) ⋅ ( x 2 − 9) ⋅ (5 x 2 − 3 x ) = 0 ⇔ 3. 2 3 3 3 x = 0 ⇔ x = 0 ⇔ x = 0 (triple) −1± 1− 4 2 ⇒ ∃/ solución real x + x + 1 = 0 ⇔ x = 2 3 3 ⇔ 7 x 2 + 3 = 0 ⇔ x 2 = − ⇔ x = − ⇒ ∃/ solución real 7 7 2 2 x − 9 = 0 ⇔ x = 9 ⇔ x = 9 ⇔ x = ±3 5 x 2 − 3x = 0 ⇔ x(5 x − 3) = 0 ⇔ x = 0 ò x = 3 5 Soluciones: x = 0 (cuádruple); x = −3; x = 3 y x =. 3 5. 7.
(8) IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas. k). TEMA 4: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 4º ESO Matemáticas B. ( x 2 − 4 x + 4) ⋅ (1 + x 2 ) ⋅ (1 + x 3 ) ⋅ ( x + 1) ⋅ ( x 2 − 5) ⋅ (9 x 2 − 25) = 0 ⇔. x 2 − 4 x + 4 = 0 ⇔ ( x − 2) 2 = 0 ⇔ x = 2 (doble) 2 2 1 + x = 0 ⇔ x = −1 ⇔ x = − 1 ⇒ ∃/ solución real 1 + x3 = 0 ⇔ x 3 = −1 ⇔ x = 3 − 1 ⇔ x = −1 ⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = −1 2 x − 5 = 0 ⇔ x2 = 5 ⇔ x = ± 5 9 x 2 − 25 = 0 ⇔ 9 x 2 = 25 ⇔ x 2 = 25 ⇔ x = ± 5 9 3 Soluciones: x = 2 (doble); x = −1 (doble); x = ± 5 y x = ±. l). 5 3. 5 x 4 ⋅ ( 4 − 5 x ) ⋅ ( 4 x 2 + 12 x + 9) ⋅ ( x 2 + 7) ⋅ ( 2 x 5 + 64) = 0 ⇔. 5 x 4 = 0 ⇔ x 4 = 0 ⇔ x = 0 (cuádruple) 4 − 5 x = 0 ⇔ −5 x = −4 ⇔ x = 4 5 − 12 + 0 3 x= ;x = − − 12 ± 144 − 144 − 12 ± 0 8 2 ⇔ 4 x 2 + 12 x + 9 = 0 ⇔ x = = = 8 8 x = − 12 − 0 ; x = − 3 8 2 2 2 x + 7 = 0 ⇔ x = −7 ⇔ x = − 7 ⇒ ∃/ solución real 2 x 5 + 64 = 0 ⇔ 2 x 5 = −64 ⇔ x 5 = −32 ⇔ x = 5 − 32 ⇔ x = −2 4 3 Soluciones: x = 0 (cuádruple); x = ; x = − (doble) y x = −2 5 2. m) − 2 x 2 ⋅ (3 x 2 − 5 x + 2) ⋅ ( x 2 + 4 x + 9) ⋅ ( x 3 + 7) = 0. − 2 x 2 = 0 ⇔ x 2 = 0 ⇔ x = 0 (doble) 5 +1 x= ;x =1 2 5 ± 25 − 24 5 ± 1 6 = = 3x − 5 x + 2 = 0 ⇔ x = 6 6 x = 5 − 1; x = 2 ⇔ 6 3 2 − 4 ± 16 − 36 =⇒ ∃/ solución real x + 4 x + 9 = 0 ⇔ x = 2 x 3 + 7 = 0 ⇔ x 3 = −7 ⇔ x = 3 − 7 Soluciones: x = 0 (doble); x = 1; x =. 2 y x =3 −7 3 8.
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