GRADO: 11 GRUPO:____ JORNADA:________ DOCENTES: RAFAEL SANABRIA TAPIAS
NHORA LUZ COSSIO TAPIAS EVELIO GONZALES
ALUMNO:_____________________________FECHA_______ DOCUMENTO Nº 4. FUNCIONES.
FUNCION: dados dos conjuntos A y B una función F de A en B, denotada por: F: A B ó A B. es una relación que permite asignar a todo elemento x A uno y
solo un elemento y B.
De esta definición se concluye:
Las condiciones impuestas a una función debe cumplirlas solo el conjunto A (conjunto de partida) es decir:
1. en A no pueden sobrar elementos: El dominio de la función es igual al conjunto de partida (A).
2. cada elemento de A solo puede relacionarse con uno y solo uno de B Ejemplo: cuales de las siguientes relaciones son funciones?
A B A B A B
INYECTIVA SOBYECTIVA BIYECTIVA Solución
a. no es función porque 5 A, pero 5 al dominio (DR) F, o sea no está asociado a ningún elemento de B.
b. es función.
c. no es función porque el elemento 5 A, y está relacionado con dos elementos de
B.
d. es función INYECTIVA.
e. es función SOBREYECTIVA.
f.es función BIYECTIVA.
Ejemplo 2. Consideremos una relación R: Re Re. definida por:
R = {(x, y) / 4xy + 2y - 6 = 0}.
Es R una función? Si no lo es que condiciones podemos establecer para que lo sea?
Solución: como el conjunto de partida es Re entonces se verifica que el dominio también sea Re.
4xy + 2y - 6 = 0
4x + 2 0 4x - 2
x
−2
4 x
−1 2
DRe = Re - {- 1/2}.
El dominio no es igual al conjunto de partida, luego la primera condición de la
definición de función no se cumple, por lo tanto no hay función o sea que el elemento
- ½ del dominio no se relaciona con elemento del rango o conjunto de llegada para
que la relación R = {(x, y) / 4xy + 2y – 6 = 0} sea función hay que redefinirla así:
R: Re - {- 1/2}
Ejemplo 3. Indicar si la relación R: Re Re R = {(x, y) / 3x + y2 - 2= 0} es una
función. Solución:
3x + y2 - 2= 0
y2 = 2 – 3x
y =
Si Re, entonces
Multiplicando por – 1 tenemos
Solución en forma de intervalo: (- , ]
No se cumple la segunda condición puesto que a cada valor de X le corresponden dos valores en Y (por el +ó – de la raíz cuadrada).
Si queremos que R sea función debemos hacer lo siguiente:
1. definir la relaciona si: R: (- , 2/3] R
2. tomar en la raíz cuadrada solo uno de los signos, ya sea ó .
Un criterio útil para determinar si la gráfica de una función corresponde o no a una función es el siguiente: la gráfica de una relación R, representa una
función si y solo si, toda recta paralela al eje Y, corta la gráfica a lo sumo en un punto.
EJERCICIO Nº 1. . Indicar si la relación R: Re Re R = {(x, y) / y2 +7x -5 = 0} es
una función.
FUNCIONES REALES. Se Llaman funciones reales, a las que están
definidas de los reales en los reales, por ejemplo la función y = 3x + 1 es una función real ya que la variable independiente x toma valores reales y automáticamente a la variable dependiente y le corresponden valores reales.
DOMINIO, CODOMINIO Y RANGO DE FUNCIONES REALES.
que no se permite: a. División por cero
b. Raíces de índice par y radicando negativo c. Logaritmo de cero o de un real negativo. Por ejemplo en la función y=x+1
x , El dominio no son todos los reales
ya que la x no puede tomar el valor de 0 porque nos daría una forma indeterminada (división por cero), por lo tanto el dominio es los reales menos el cero; que se indica así R – {0}.
GRÁFICA DE FUNCIONES REALES.
Si una función y se define en términos de la variable x, decimos que y es una función de x, la cual se indica así Y = f(x) , se lee y es igual a f de x . Por ejemplo la función Y = 2x2 +3x-1 es una función de x porque y está definida en términos de x , entonces se puede escribir F(x), en lugar de y o sea F(X) = 2x2 +3x-1 para indicar la misma función.
GRAFICA DE LA FUNCIÓN LINEAL.
Recordemos que funciones lineales son las que al graficarlas nos dan una línea recta y son de forma Y = mx +b , donde m, b son números reales y m es la pendiente de la recta. Ejemplo.
Y = 3x + 4, Y = 2. Etc. EJERCICIOS.
Graficar la función Y= X (función idéntica) Graficar la función Y = 2 (función constante)
Determinar además en cada una de ellas el dominio, codominio y rango.
GRAFICA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA.
Recordemos que las funciones cuadráticas son aquellas de la forma y = ax2 +bx +c, donde a, b, c son números reales y a ≠ 0.
EJERCICIOS.
Graficar las funciones y=x2 ; Y = 2-x2 . Determinar además en cada una de ellas dominio, codominio y rango
GRAFICA DE LA FUNCIÓN CÚBICA
Graficar la función Y = x3
GRAFICA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
Funciones exponenciales son aquellas de la forma Y = ax donde a es
un número real.
Graficar las funciones y=(1
2) x
EJERCICIOS
Represente gráficamente cada una de las siguientes funciones y determine su dominio.
1. y = 2 2. y = -2 3. y = ¾ 4. y = 0 5. x = 0 6. x = −5 7. y = x 8. y = 2x 9. y = 2x − 1
10. y = −2x − 1 11. y = ½x − 1 12. y = (x − 1)² + 1 13. y = 3(x − 1)² + 1 14. y = 2(x + 1)² − 3 15. y = −3(x − 2)² − 5 16. y = x² − 7x −18 17. y = 3x² + 12x − 5 18. y = x² − 5x + 3 19. y = 2x² − 5x + 4 20. y = x² − 2x + 4 21. y = −x² − x + 3 22. y = −x² + 4x − 3 23. y = x² + 2x + 1 24. y=3x
25. y=(2
5) x
26. y=5−3x
27. 2y+3=5x−1
28. y=x2+4
