Fundamentos de las operaciones
financieras
1.5- Problemas Préstamos (Prof. González Catalá)
Parte 3 (del problema 41 al final)
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Indice
1
PROBLEMAS PRÉSTAMOS
¡ERROR! MARCADOR NO DEFINIDO.
1.1 Problemas préstamos (Universidad de Granada) ¡Error! Marcador no definido.
1.2 Problemas préstamos (Universidad de Albacete) ¡Error! Marcador no definido.
1.3 Problemas préstamos (Universidad de León) ¡Error! Marcador no definido.
1.4 Problemas préstamos (Universidad de Sevilla) ¡Error! Marcador no definido.
5
Problemas préstamos
5.3
Problemas préstamos (V. González Catalá)
Problema 5.3-1
Una entidad bancaria concede un préstamo, con garantía personal, de 500.000 € para ser amortizado en 5 años por el método francés al tipo de interés legal que en el momento de concesión es el 7 %. Si suponemos que los impuestos en este tipo de operaciones son:
- El 1,10 % en el momento inicial y a cargo del prestatario sobre la cuantía del préstamo
- El 24 % de los intereses a cargo del prestamista y si, además, dentro de dos años el tipo de interés pasa a ser el 7,5 % se pide:
1) Cantidades anuales que el prestatario tiene que entregar para cancelar la deuda. 2) Tanto efectivo a que le resulta la operación al prestatario.
3) Cantidades anuales netas de impuestos que recibirá el prestamista.
La redacción del enunciado es un tanto confusa porque no explicita claramente si la variación del tipo de interés al 7’5% se refiere al impuesto sobre intereses o a la tasa efectiva de la operación. La resolución del libro lo refiere a la tasa efectiva. Sin embargo, no aclara si esta variación de la tasa efectiva es conocida desde el principio o no. Se supone que esta variación se produce en el transcurso de la operación.
1.- Se supone que, en el momento de la firma, se conoce el cambio de la tasa de interés Se determina la expresión funcional de la tasa de interés
aplicable durante toda la duración.
𝑖[ℎ] ≔ 𝑊ℎ𝑖𝑐ℎ[1 ≤ ℎ ≤ 2,0′7,3 ≤ ℎ ≤ 5,0′075] 𝑎[ℎ] ≔ 𝐶𝑡𝑒 para toda la operación
2.- Se supone que el cambio de tasa de interés se conoce en el transcurso de la operación La operación completa queda determinada en dos fases A y B. En la primera fase A se opera desconociendo que va haber una segunda fase B.
1 4 0 1 2 iA1 iB1 x x x x x x y y y C0 CpA[2] A B Fase A
El término amortizativo constante se obtiene el resolver la ecuación de equivalencia respecto al inicio:
Las expresiones funcionales de los parámetros interesantes son: C0 500 000;nA 5;iA1 0.07; xx x . First NSolve C0 j1 nA x k1 j 1 iA1 1,x 121 945.
La tabla de amortización resultante antes de notificar el nuevo valor de la tasa de interés sería:
Fase B
Después de conocer el valor de la nueva tasa de interés, el capital pendiente de amortizar sería como el principal en esta fase:
Nótese que el monto que se amortiza es igual al capital pendiente de amortizar de la fase anterior. Las expresiones funcionales de ambas fases son:
aA h : xx; CpA h : jh1 nA aA j kh1 j 1 iA1 1; IA h : CpA h 1 iA1; AA h : aA h IA h ; MA h : j1 h AA j ;
TableForm Table h,aA h ,IA h ,AA h ,CpA h ,MA h , h,nA , TableHeadings None, "Año", "a h ", "I h ", "A h ", "Cp h ", "M h "
Año a h I h A h Cp h M h 1 121 945. 35 000. 86 945.3 413 055. 86 945.3 2 121 945. 28 913.8 93 031.5 320 023. 179 977. 3 121 945. 22 401.6 99 543.7 220 479. 279 521. 4 121 945. 15 433.6 106 512. 113 968. 386 032. 5 121 945. 7977.73 113 968. 0 500 000. nB 3;iB1 0.075;
yy y . First NSolve CpA 2
j1 nB y k1 j 1 iB1 1,y 123 061. aB h : yy; CpB h : jh1 nB aB j kh 1 j 1 iB1 1; IB h : CpB h 1 iB1; AB h : aB h IB h ; MB h : j1 h AB j ; TableForm Table h,aB h ,IB h ,AB h ,CpB h ,MB h , h,nB , TableHeadings None, "Año", "a h ", "I h ", "A h ", "Cp h ", "M h "
Año a h I h A h Cp h M h 1 123 061. 24 001.7 99 059.2 220 964. 99 059.2 2 123 061. 16 572.3 106 489. 114 475. 205 548. 3 123 061. 8585.65 114 475. 0 320 023. a h : If 1 h 2,xx,yy ; Cp h : If 1 h 2,CpA h ,CpB h 2 ; h : If 1 h 2,IA h ,IB h 2 ; A h : If 1 h 2,IA h ,IB h 2 ; M h : If 1 h 2,MA h ,MA 2 MB h 2 ; TableForm Table h,a h , h ,A h ,Cp h ,M h , h, 2 nB , TableHeadings None, "Año", "a h ", "I h ", "A h ", "Cp h ", "M h "
Año a h I h A h Cp h M h 1 121 945. 35 000. 35 000. 413 055. 86 945.3 2 121 945. 28 913.8 28 913.8 320 023. 179 977. 3 123 061. 24 001.7 24 001.7 220 964. 279 036. 4 123 061. 16 572.3 16 572.3 114 475. 385 525. 5 123 061. 8585.65 8585.65 0 500 000.
El tanto efectivo para el prestatario (deudor) resulta:
El tanto efectivo para el prestamista (acreedor) resulta:
G0 0.011 C0; NSolve C0 G0 j1 nA a j k1 j
1 ideudor 1,ideudor, Reals
ideudor 0.0760534 ImpI h : 0.24 h ; NSolve C0 j1 nA a j ImpI j k 1 j
1 iacreedor 1,iacreedor, Reals
Problema 5.3-2
Un particular solicita un préstamo de cierta financiera por un valor de dos millones de €. Dicho señor quiere amortizarlo así:
a) Entregando una renta perpetua que disfruta cuyo importe mensual es de 5.000 €
b) La cantidad que falta la abonará mediante diez anualidades vencidas, comenzando el periodo de pagos una vez transcurridos los dos primeros años de la formalización del contrato.
El tanto de valoración de estas cantidades es del 6 %.
Una vez realizados cuatro pagos, dicho señor, solicita pagar solamente los intereses durante dos años y prolongar dos años más la amortización. La financiera consiente en el pago de los intereses y en prolongar solamente un año más la amortización del préstamo y con la condición de que el tanto sea el 7 %.
Se pide:
1) Anualidad primera.
2) Cuota de amortización del cuarto pago. 3) Cuota de intereses del tercer pago. 4) Intereses del periodo de demora. 5) Nueva anualidad.
6) Tantos efectivos del prestamista y del prestatario para el total de la operación, si hubo unos gastos iniciales de 10.000 € a cargo del prestatario.
La totalidad de la renta perpetua se emplea en disminuir el importe del préstamo, por lo que el importe neto de dicho préstamo es:
𝐶𝑝= 𝐶0− 𝐶𝑅0
Esto es el importe solicitado 𝐶0 menos el valor actualizado de la totalidad de la renta perpetua.
1 2 4 5000 5000 5000 5000 Renta perpetua CR0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 x x x x x x x x x x Cp =C0-C0renta 7 8 10 12 13 No paga nada Cp[2] iA1 =0'06 iB1 =0'07 Cp[6] Se paga interesesCp[6] y y y y y C0 2 106;i1 0.06;i12 1 i1 1 12 1 0.00486755 Cp C0 j1 5000 k1 j 1 i12 1 972 789.
La cuota de amortización del cuarto pago (6º año) es:
La cuota de interés del 3º pago (5º año) es:
La cuantía del capital pendiente de amortizar al iniciar la segunda fase de la operación y los intereses que debe abonar cada uno de los dos años de demora son:
xx x . First NSolve Cp j1 2 10 2 x k1 j 1 i1 1,x 148 507. aA h : xx; CpA h : jh1 10 2 aA j k h1 j 1 i1 1; IA h : CpA h 1 i1; AA h : aA h IA h ; AA 6 98 765.8 IA 5 55 332. iB1 0.07; CpA 6 , CpA 6 iB1 730 258., 51 118.1
Problema 5.3-3
El Banco de Crédito Industrial concede préstamos con las siguientes características: Duración máxima 20 años.
Tipo de interés: 5 % para los primeros cinco años, 6 % para los siguientes cinco años y el 7 % para los últimos diez años.
Cuantía máxima veinte millones.
La devolución puede realizarse mediante una de las alternativas siguientes:
a) Mediante anualidades constantes abonando la primera a los dos años de concertada la operación. b) Abonando intereses anuales y reintegrando el principal en fecha del vencimiento.
c) No abonando intereses anuales y entregando el montante final del periodo estipulado, teniendo en cuenta que, en este caso, se computarán intereses del 6 % en los primeros 10 años y el 7 % en los 10 últimos.
Una empresa que solicita un préstamo de quince millones de € para reintegrarlo en 14 años, si tiene la oportunidad de abrir un fondo que le abona intereses del 6 % y teniendo que imponer la primera cuantía dentro de un año, ¿cuál de las opciones le pueden interesar más?
0 x x x x x x x No paga nada 1 2 4 5 0 x x 0'05 0'06 Cmax =20*106 6 7 9 10 19 20 0'07 x x
Elegir la mejor opción suele resultar, en la mayoría de los casos, un tanto complejo. Los parámetros que intervienen pueden ser clasificados en parámetros objetivos y parámetros subjetivos. Los parámetros objetivos suelen ser: tasa madia aplicada, importe total a desembolsar, impuestos, gastos de notaría, etc.
a) Mediante anualidades constantes abonando la primera a los dos años de concertada la operación. Comienza el pago al final del segundo año.
0 x x x x x x x No paga nada 1 2 4 5 0 x x 0'05 0'06 C0 =15*106 6 7 9 10 11 12 14 0'07 x x x x
Determinamos el flujo de capitales con el primer término nulo (un año de demora). C0 15 106; nA 14; xx Prepend Table x, k, 13 , 0 0, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x iA h : Which 1 h 5, 0.05, 6 h 10, 0.06, 11 h 20, 0.07 ;
Determinamos la expresión funcional de dicho flujo de capitales.
Aplicamos la ecuación de equivalencia respecto al inicio para obtener el valor de “x” constante.
Por consiguiente, la expresión funcional (con valores reales) del término amortizativo es
Para hallar el tanto efectivo constante, aplicamos la ecuación de equivalencia con valores reales.
b) Abonando intereses anuales y reintegrando el principal en fecha del vencimiento.
C0i[h] 1 2 4 5 0 0'05 0'06 C0 =15*106 6 7 9 10 11 12 14 0'07 C0i[h]+C0
c) No abonando intereses anuales y entregando el montante final del periodo estipulado, teniendo en cuenta que, en este caso, se computarán intereses del 6 % en los primeros 10 años y el 7 % en los 10 últimos.
X h : xx h ; XA xx . First NSolve C0 j1 nA X j k1 j 1 iA k 1,x 0, 1.73194 106, 1.73194 106, 1.73194 106, 1.73194 106, 1.73194 106, 1.73194 106, 1.73194 106, 1.73194 106, 1.73194 106, 1.73194 106, 1.73194 106, 1.73194 106, 1.73194 106 aA h : XA h ; NSolve C0 j1 nA aA j k1 j 1 i 1,i 0 ,i i 0.0546806 C0 15 106; nB 14; iB h : Which 1 h 5, 0.05, 6 h 10, 0.06, 11 h 20, 0.07 ; aB h : Which 1 h 13, C0iB h , h 14, C0 C0iB h ; NSolve C0 j1 nB aB j k1 j 1 i 1,i 0 ,i i 0.057615 C0 15 106; nC 14;
1 2 4 5 0 0'06 C0 =15*106 6 7 9 10 11 12 14 0'07 14 C0 i[k]) K=1 iC h : Which 1 h 10, 0.06, 11 h 14, 0.07 ; aC h : Which 1 h 13, 0, h 14, C0 k1 nC 1 iC k ; NSolve C0 j1 nC aC j k1 j 1 i 1,i 0 ,i i 0.0628476
Problema 5.3-4
Una sociedad contrae un préstamo de 100.000 € comprometiéndose a amortizarlo en 10 anualidades realizando el primer pago cuatro años después de concertada la operación. El tipo de interés pactado es el 6 % anual.
Realizados cuatro pagos la Sociedad quiere cancelar sus obligaciones pendientes para lo cual busca otra entidad que abonándole cierta cantidad se encargará ésta de su amortización. Si la operación se realiza sobre una base del 7 %, se pregunta:
1) Cuantía del pago a efectuar por la Sociedad. 2) Tanto efectivo a que resulta su operación.
Tomando como fecha de referencia la fecha de la firma del préstamo, se obtiene la siguiente gráfica:
1 2 4 5 7 8 9 10 11 12 13 0 x x x x x x x x x x iA1 No se paga nada C0 =100000
El término amortizativo, que se supone constante, se obtiene al resolver la ecuación de equivalencia respecto al inicio:
Las expresiones funcionales de los parámetros que interesan son:
xx x . First Solve C0 j1 3 nA x k 1 j 1 iA1 1,x 16 182.1 a h : Which 1 h 3, 0, 4 h nA, xx ; Cp h : jh 1 nA a j kh1 j 1 iA1 1; h : Cp h 1 iA1; A h : a h h ; M h : j1 h A j ; TableForm Table h, a h , h , A h , Cp h , M h , h, nA ,
TableHeadings None, "Año", "a h ", "I h ", "A h ", "Cp h ", "M h "
Año a h I h A h Cp h M h 1 0 6000. 6000. 106 000. 6000. 2 0 6360. 6360. 112 360. 12 360. 3 0 6741.6 6741.6 119 102. 19 101.6 4 16 182.1 7146.1 9036. 110 066. 10 065.6 5 16 182.1 6603.94 9578.15 100 487. 487.45 6 16 182.1 6029.25 10 152.8 90 334.6 9665.39 7 16 182.1 5420.08 10 762. 79 572.6 20 427.4 8 16 182.1 4774.36 11 407.7 68 164.9 31 835.1 9 16 182.1 4089.89 12 092.2 56 072.7 43 927.3 10 16 182.1 3364.36 12 817.7 43 254.9 56 745.1 11 16 182.1 2595.3 13 586.8 29 668.1 70 331.9 12 16 182.1 1780.09 14 402. 15 266.1 84 733.9 13 16 182.1 915.967 15 266.1 0 100 000.
1 2 4 5 7 8 9 10 11 12 13 0 iB1 No se paga nada C0 =100000 4 anualidades abonadas Vmercado
iB1 0.07; Tasa interés mercado ;
Vmercado j1 7 nA a j k 1 7 j 1 iB1 1 77 132.6 NSolve C0 1 ie 8 j4 7 16 182.09 k4 1 7 1 ie j1 7 nA a j k1 7 j 1 iB1 1,ie 0 ,ie ie 0.054652
Problema 5.3-5
Un señor X realiza un préstamo por un importe de un millón de €, a cierta S. A.
El préstamo será rembolsado mediante diez anualidades constantes vencidas y realizándose el pago de la primera a los tres años de concertada la operación.
El tanto de interés es del 6 %.
Después de percibida la tercera anualidad el prestamista vende su préstamo valorándolo a un tanto del 5,5 %. Con el importe de la nuda propiedad adquiere una finca rústica. Con el usufructo adquiere el derecho a una pensión mensual de duración quince años.
Se pide:
1) Valor de la finca.
2) Cuantía de renta que percibirá al principio de cada mes, si el tanto de valoración de ésta es el 5 %.
1 2 3 4 0 No se paga nada 6 7 8 9 10 11 12 x x x x x x x x x x i1
Admitiendo que todas las anualidades son constantes e iguales, su valor se obtiene al resolver la ecuación de equivalencia respecto al inicio
Las expresiones funcionales del resto de parámetros son:
Nótese el valor que toman los límites de los sumatorios y productorios al considerar como fecha de referencia la firma del préstamo.
Además, debe tenerse en cuenta que, al no pagar nada durante los dos primeros años, la amortización resulta negativa (aumenta el capital vivo por los intereses no abonados).
Para verificar la validez de las expresiones, conviene confeccionar la tabla de amortizaciones. C0 106;i1 0.06; n 12; xx x . First NSolve C0 j1 2 n x k1 j 1 i1 1,x 152 661. a h : Which 1 h 2, 0, 3 h 12, xx ; Cp h : jh1 n a j kh1 j 1 i1 1; h : Cp h 1 i1; A h : a h h ; M h : j1 h A j ;
Tabla de amortización
A tasa de mercado, el valor del préstamo, el usufructo y la nuda propiedad valen:
Al pagar tres anualidades (final del período 5), sus valores son:
La renta mensual prepagable que se obtendría del ususfructo vale:
TableForm Table h, a h , h , A h , Cp h , M h , h, n ,
TableHeadings None, "Año", "a h ", "I h ", "A h ", "Cp h ", "M h "
Año a h I h A h Cp h M h 1 0 60 000. 60 000. 1.06 106 60 000. 2 0 63 600. 63 600. 1.1236 106 123 600. 3 152 661. 67 416. 85 245.2 1.03835 106 38 354.8 4 152 661. 62 301.3 90 360. 947 995. 52 005.2 5 152 661. 56 879.7 95 781.5 852 213. 147 787. 6 152 661. 51 132.8 101 528. 750 685. 249 315. 7 152 661. 45 041.1 107 620. 643 065. 356 935. 8 152 661. 38 583.9 114 077. 528 987. 471 013. 9 152 661. 31 739.2 120 922. 408 065. 591 935. 10 152 661. 24 483.9 128 177. 279 888. 720 112. 11 152 661. 16 793.3 135 868. 144 020. 855 980. 12 152 661. 8641.2 144 020. 0 1. 106 im 0.055; V h : jh1 n a j kh1 j 1 im 1; U h : jh 1 n j kh1 j 1 im 1; Np h : jh 1 n A j kh1 j 1 im 1; z 5; V z , U z , Np z 867 569., 184266., 683 302. i12 1 0.05 1 12 1; NSolve U 5 j1 15 12 x k1 j1 1 i12 1,x x 1440.66
Problema 5.3-6
Hace diez años un inversor abrió en una entidad bancaria, una cuenta de ahorro comprometiéndose a imponer 5.000 €, al final de cada mes. El tanto de interés concertado en la operación fue el 5 % anual efectivo.
En el momento actual, con los dos tercios del montante constituido concede un préstamo a una entidad, a un tanto del 6,5 % anual y para ser amortizado mediante diez anualidades constantes comenzando a realizar los pagos durante el cuarto año de concertada la operación y al final de cada año.
Con el tercio restante del montante, adquiere el derecho a una renta, que percibirá al principio de cada trimestre teniendo lugar el primer cobro dentro de tres meses y siendo su duración 15 años. El tanto de valoración de esta renta es el 5 % anual efectivo.
Se pide:
1.° Cuantía constante de renta que se percibirá cada trimestre.
2.° Si después de cobrada la cuarta anualidad del préstamo decide vender éste a un tanto del 5,5 % determinar el valor del préstamo, el valor del usufructo y el valor de la nuda propiedad.
Vamos a desarrollar este ejercicio desde el punto de vista del inversor en el sentido de que desea comprobar la evolución de su inversión a lo largo del tiempo.
En síntesis, la operación en su conjunto consiste en tres acciones: A.- Una constitución de capital que dura 10 años.
B.- La compra de un préstamo, que dura 13 años: 3 años de demora inicial y 10 años de amortizaciones. C:- Una renta temporal que dura 15 años.
Para poder estudiar estos procesos, de unidades temporales diferentes (mensual, anual, trimestral), de forma conjunta conviene unificar las unidades temporales en una sola. Se toma la de menor duración: el mes.
1 120
121 156 157 276
294 0
A.- Constitución capital
meses iA1 B.- Préstamo meses meses iB1 iC1 36 meses de demora No se paga nada 121 122 124 C.- Renta 3 meses de demora No se paga nada Anualidades pospagables Trimestralidades prepagables
A.- Constitución de capital
Tiene una duración total de 10 años (120 meses), con una tasa anual constante de interés 𝑖𝐴1= 0′05 y aportaciones anuales constantes prepagables. Al considerar la unidad temporal el mes, debemos referenciar todos los parámetros a esta unidad temporal.
1 11 12 0 0 5000 13 23 24 0 0 5000 1 119 120 0 0 5000 0 iA12 Constitución de capital
Por ello, las imposiciones mensuales prepagables son todas nulas, excepto la del último mes que vale 5000 €.
Con lo descrito anteriormente, determinamos la expresión funcional del término constitutivo o imposición, en función del mes “h”.
La expresión funcional del capital constituido es:
B.- Compra de un préstamo
La gráfica del préstamo, con amortizaciones anuales pospagables y tres años de demora, es:
121 iB12 2/3 CcA[120] 36 meses de demora (3 años) No se paga nada 157 168 156 265 276 0 y 0 y 120 meses (10 años) Se paga anualmente Préstamo
Del gráfico se infiere la expresión general del término amortizativo, cuyo valor se ha de calcular:
Resolvemos la ecuación resultante de aplicar la equivalencia financiera respecto al inicio del préstamo:
Sustituyendo el valor obtenido se obtiene:
C.- Renta 121 122 124 125 126 127 128 129 z 0 0 3 meses de demora (1 trimestre) No se paga nada 1/3 CcA[120] z 0 0 301 302 z 0 0 iC12 Renta prepagable Se paga trimestralmente 15 años – trimestres – meses
Renta iA1 0.05;iA12 1 iA1 1 12 1;nA 120; meses aA h : If IntegerQ h 12 && 1 h 120, 5000, 0 ; CcA h ; 1 h 120 : j1 h aA j k j 1 h 1 iA12 ; CcA 120 771 816. ab h : If 121 h 156 Mod h, 12 0, 0,y ; iB1 0.065;iB12 1 iB1 1 12 1; Solve 2 3CcA 120 j 121 276 ab j k121 j 1 iB12 1,y y 86 459.6 aB h : If 121 h 156 Mod h, 12 0, 0, 86 459.6 ;
Teniendo en cuenta que la periodicidad es mensual y que los reembolsos son prepagables, determinamos la expresión genérica funcional del término de renta:
Resolvemos la ecuación de equivalencia:
iC1 0.05;iC12 1 iC1 1 12 1; ac h : If 121 h 123 Mod h, 3 1, 0,z ; Solve 1 3CcA 120 j 121 303 ac j k121 j 1 1 iC12 1,z z 6083.63
Problema 5.3-7
Un propietario de una finca urbana de la que percibe unos alquileres de 30.000 € mensuales, cuyos gastos mensuales son el 10 % de los ingresos y las contribuciones son 20.000 € por semestre, vende dicha finca a un tanto del 6 %. Con el dinero obtenido concede un préstamo a cierta S. A. para ser amortizado en 15 años abonándose intereses semestrales del 3,5 % y siendo la amortización anual (mediante método francés).
Transcurridos cinco años dicho señor vende el préstamo sobre la base de un interés del 6,5 % anual. Con el valor del usufructo adquiere acciones de cierta entidad bancaria cuyo nominal es de 500 € y se cotizan a 400 enteros. Con el valor de la nuda propiedad adquiere una finca rústica evaluada al 5 %.
Determinar:
1) Valor finca urbana.
2) Valor del préstamo al vender.
3) Número de acciones que puede adquirir. 4) Rendimientos anuales de la finca rústica.
A.- Venta finca urbana Ingresos Alquiler: 30000 €/mes Gastos Generales: 10% de ingresos. Contribuciones: 20000 €/trimestre Valoración finca
La finca se valora a una tasa que se hace coincidir con la tasa de mercado o venta, aunque, en la realidad, no suele ser así. Esta tasa de valoración/venta se aplica a los ingresos netos (supuestos constantes) de una cierta unidad temporal. En este caso, tomamos como unidad temporal el año.
Los ingresos netos capitalizados al año son:
Nótese que las características de los conceptos implicados son:
Los alquileres son prepagables, mientras que los gastos se consideran pospagables. El valor de venta se asemeja a una renta perpetua con valores iguales a los ingresos netos.
B.- Concesión préstamo
Duración: 15 años; Devengos de intereses: semestrales al 3’5%; Amortización anual (sistema francés).
iA1 0.06;iA2 1 iA1 1 2 1;iA12 1 iA1 1 12 1; in j1 12 30000 k j 12 1 iA12 j1 12 3000 k j 1 12 1 iA12 j 1 2 20 000 k j1 2 1 iA2 294 025. Vventa j 1 in k1 j 1 iA1 1 4.90042 106
Como los intereses y la amortización están referidos a distintas unidades temporales: semestre y año, respectivamente, hemos de unificar ambas en la unidad año.
iB2 0.035;iB1 1 iB2 2 1
Problema 5.3-8
Un préstamo francés de 3.000.000 de € concedido hace 5 años para ser amortizado en 15 años y siendo el tipo de interés el 6 % anual es vendido hoy a un tanto del 7 % adquiriéndose con el usufructo acciones de cierta S. A. de nominal 500 € cuya cotización es de 27,5 enteros, y con la nuda propiedad una finca urbana que produce un rendimiento del 7,5 % anual.
Determinar:
1.° Número de acciones que es posible adquirir
2º Alquiler mensual que se percibe de la finca al principio de cada mes
1 2 3 4 5 6 15 0 iA1 =0'06 x x x x x x x C0 =3*106 Hoy Se vende Cp[5] 15 6 iv1 =0'06 V[5]
Término amortizativo constante del préstamo:
Expresiones funcionales de los parámetros relevantes:
Valor del préstamo, usufructo y nuda propiedad al final del quinto año:
Comprobamos la validez de los resultados (los del libro son incorrectos)
Número de acciones. Como resulta un número no entero, se obtiene la cuantía sobrante: C0 3 106; n 15;i1 0.06;iv 0.07; xx x . First NSolve C0 j1 n x k1 j 1 i1 1,x 308 888. a h : xx; Cp h : jh1 n a j kh1 j 1 i1 1; h : Cp h 1 i1; A h : a h h ; M h : j1 h A j ; V h : jh1 n a j kh1 j 1 iv 1; V 5 2.1695 106 U h : jh1 n j kh 1 j 1 iv 1; U 5 623 656. Np h : j h1 n A j kh1 j 1 iv 1; Np 5 1.54585 106 U 5 Np 5 2.1695 106
Renta mensual de la finca. Se trata como una renta perpetua. U 5 500 2.75 453.568 NSolve 453 U 5 z 500 2.75,z z 780.674 i12 1 0.075 1 12 1 0.00604492 NSolve Np 5 j1 z k1 j1 1 i12 1,z z 9288.37
Problema 5.3-9
Un préstamo de 2.500.000 €, tiene que amortizarse en 20 años por el método de cuotas de amortización constantes venciendo la primera a los cinco años de concertada la operación. Los intereses se abonarán anualmente a un tanto del 6 % anual.
El acreedor a los seis años y medio del comienzo de la operación vende la nuda propiedad a un tanto del 6,5 % adquiriendo con el dinero obtenido, una finca urbana. En ese momento el acreedor decide imponer, en lo sucesivo los intereses del préstamo en una entidad bancaria que capitaliza el 4 % anual.
Se pide:
1.° Calcular la renta anual de la finca sabiendo que su tanto interno de rendimiento coincide con el de venta de la nuda propiedad.
2.° Montante constituido con los intereses en la entidad bancaria al final de la amortización del préstamo.
Para un préstamo de cuotas de amortización constantes, las expresiones funcionales de los parámetros más interesantes son:
La tabla de amortización para los períodos más importantes, que nos permitan verificar las expresiones fuincionales anteriores, es
Para calcular un valor correspondiente a una fecha diferente al inicio o al final de un período, es conveniente pactar, previamente, entre los dos agentes (prestamista y prestatario) la forma de hacerlo. Por ello, modificar las condiciones de cancelar o modificar el préstamo en mitad de un período es producto de un acuerdo. Como el enunciado no indica nada al respecto, voy a calcular la nuda propiedad en h=6’5 como la semisuma entre las nudas propiedades entre los períodos 6 y 7.
Por tanto, el rendimiento anual de la finca sería: C0 2.5 106; n 20;iA1 0.06; AA h : If 1 h 4, 0, C0 n 4 ; MA h : j1 h AA j ; CpA h : C0 MA h ; IA h : CpA h 1 iA1; aA h : IA h AA h ;
TableForm Table h, aA h , IA h , AA h , CpA h , MA h , h, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 19, 20 , TableHeadings None, "Año", "a h ", "I h ", "A h ", "Cp h ", "M h "
Año a h I h A h Cp h M h 1 150 000. 150 000. 0 2.5 106 0 2 150 000. 150 000. 0 2.5 106 0 3 150 000. 150 000. 0 2.5 106 0 4 150 000. 150 000. 0 2.5 106 0 5 306 250. 150 000. 156 250. 2.34375 106 156 250. 6 296 875. 140 625. 156 250. 2.1875 106 312 500. 19 175 000. 18 750. 156 250. 156 250. 2.34375 106 20 165 625. 9375. 156 250. 0. 2.5 106 iv 0.065; Np h : jh1 20 AA j k h1 j 1 iv 1; Np 6 Np 7 2 1.37606 106
El monto de las imposiciones bancarias procedentes de los intereses del préstamo es: iB1 iv; RtoFinca Np 6 Np 7 2 iB1 89 444. iC1 0.04; MI j7 20 IA j k j1 n 1 iC1 1.3949 106
Problema 5.3-10
Un ahorrador concedió a una Sociedad, hace 3 años un préstamo de 1.000.000 de € para ser amortizado en 10 años por el método francés a un tanto del 7 % anual. Las anualidades vencidas hasta estos momentos han sido colocadas, a medida que se han recibido en una entidad bancaria que capitaliza al 6 % anual.
Determinar:
1.° Anualidad que amortiza el préstamo.
2.° Cantidad que se tiene en la entidad bancaria.
3.° En el supuesto que el ahorrador entregara hoy como entrada en la compra de un piso, cuyo precio al contado es de 800.000 € la cantidad del apartado anterior y el resto fuera amortizado mediante el número de anualidades del préstamo que fueran suficientes determinar el número de éstas si la constructora trabaja a un tipo de interés del 8 % anual. 1 2 3 4 5 6 7 8 10 0 iA1 =0'07 1 2 iB1 =0'06 x x x x x x x x x x x x x 1 2 x x x iC1 =0'08 A Préstamo B Imposiciones C Piso Hoy C0 =106 M[3] 800000-M[3]
Las anualidades del préstamo son:
Las imposiciones realizadas en una entidad bancaria, procedentes de las anualidades del préstamo, están destinadas a constituir un capital. Dichas imposiciones son de igual cuantía que los términos amortizativos del préstamo. Además, se considera que, al igual que éstos, son pospagables.
Al final del 3º año, el monto acumulado es:
Esta es la cantidad entregada inicialmente para la compra del piso. El resto se pagará con las anualidades percibidas del préstamo. C0 106;n 10;iA1 0.07; xx x . First NSolve C0 j1 n x k1 j 1 iA1 1,x 142 378. iB1 0.06; aB h : xx; MB h : j1 h aB j k j1 h 1 iB1 ; MB 3 453 273.
Es decir, se pagará el resto aportando dos anualidades y algo más.
Importe inicial deudor, dos anualidades y resto deudor.
iC1 0.08; FindRoot 800 000 MB 3 j1 z aB j k1 j 1 iC1 1, z, 3 z 2.81559 800 000 MB 3 , 2 aB 1 , 800 000 MB 3 2 aB 1 346 727., 284 755., 61 972.
Problema 5.3-11
La empresa constructora COMPSA solicita un préstamo de cinco millones de € para realizar la edificación de 25 viviendas, al organismo oficial correspondiente. Dicha entidad concede los préstamos para comenzar a ser reintegrados a partir de los dos años de concertada la operación mediante pagos constantes trimestrales vencidos sobre la base de un interés del 6 % anual efectivo y una duración total de 10 años.
Teniendo en cuenta que el solar en el cual se va a realizar la construcción ya era propiedad de la Empresa y su coste se evalúa en 1.200.000 €, que la Empresa determina el precio de venta incrementando el coste en un 20 % y que está prevista la terminación de las obras y entrega de llaves para dentro de dos años, se pide:
1.-Las mensualidades que habrán de abonar los compradores en las distintas modalidades de venta que practica, teniendo en cuenta que la firma de los contratos tiene lugar en el momento actual, si las cantidades aplazadas llevan un tipo de interés de 8 % anual, y los tipos de contratos son:
a) El 25 % a la firma del contrato y el resto a la entrega de llaves (En esta modalidad no se cargan intereses a la cantidad aplazada).
b) Un 25 % a la firma del contrato, otro 25 % a la entrega de llaves y el resto en mensualidades vencidas durante 8 años, a partir de la entrega de llaves.
c) Un 15 % a la firma del contrato, un 15 % a la entrega de llaves y el resto en mensualidades vencidas durante 5 años, a partir de la firma del contrato.
d) Un 20 % a la firma del contrato y el resto en mensualidades vencidas durante 6 años abonando la primera dentro de un mes.
2.- Cantidades que ha de entregar trimestralmente la empresa para amortizar el préstamo.
3 - En el supuesto que la empresa vendedora concertara con una entidad bancaria los pagos del préstamo y los cobros de las cantidades aplazadas de la venta de las viviendas ¿qué saldo habría en la entidad al final de la amortización del préstamo si el tipo de interés concertado es el 5 % anual, si se han vendido 2 viviendas con el tipo de contrato a, 8 con el tipo de contrato b, 8 con el tipo de contrato c y 7 con el tipo de contrato d?
0 1 2 A Préstamo Costes obra B Solar C Venta pisos C0 =5*106 1 5 6 8 37 38 40 x x x x iA1= 0'06 iA4 =0'01467 trimestres 1 2
Diversas modalidades de pago
2 años de demora (8 trimestres) 8 años de demora (32 trimestres) pagos iguales
CS=1200000
iB1 =0'08
El precio de coste de la vivienda al finalizar las obras es:
El precio de venta al finalizar las obras es:
C0 5 106; n 10 4;iA1 0.06;iA4 1 iA1 1 4 1; Csolar 1200000 ; iC1 0.08; Pcoste C0 1 iC1 2 C solar 1 iC1 2 25 289 267.
El precio de venta al inicio de las obras (venta sobre plano) es
Modalidad de pago a)
Al inicio de las obras Al final de las obras Este segundo pago no se capitaliza porque, en esta modalidad, no se cobran intereses.
Modalidad de pago b)
Al inicio de las obras
Al final de las obras En 96 mensualidades (8 años) a partir del final de obras
Pventa Pcoste1.2 347 121. P0 Pventa 1 iC1 2 297 600. Pa1 0.25P0 74 400. Pa2 0.75P0 223 200. 12 13 24 25 120 0 Inicio obras Fin obras P0=297600 8 años=96 meses x x Pb1=0'25P0 Pb2=0'25P0 iC1 =0'08 iC1 =0'08 Pb1 0.25P0 74 400. Pb2 0.25P0 74 400. iC12 1 iC1 1 12 1; NSolve P0 0.25P0 0.25P0 1 iC1 2 j1 8 12 x k1 j 24 1 iC12 1,x x 2602.27
Problema 5.3-12
La sociedad X necesita adquirir unos equipos industriales para ampliar su producción, cuya vida útil se calcula en 10 años al cabo de los cuales se ha de proceder a su renovación. El coste de los equipos es de 20.000.000 de € y su valor residual se estima en el 10 % de su coste.
Para financiar esta compra se obtiene el préstamo necesario con arreglo a las siguientes características: -Tipo de interés anual el 7,5 %.
- Duración 10 años.
- Abono únicamente de intereses durante los dos primeros años y abono, durante los restantes, de la anualidad constante necesaria para extinguir la deuda.
Para las siguientes adquisiciones de equipos decide ingresar al final de cada semestre las cantidades necesarias en una cantidad que capitaliza al 6,5 % anual efectivo.
Determinar
1) - Anualidades de amortización del préstamo. 2) - Semestralidades de la operación de constitución. 3) - Situación de las dos operaciones a los seis años y medio
1 2 3 4 5 7 8 10 0 x x x x x x x x iA1 =0'075 C0 =20*106 Se paga intereses C0
Planteamos un término amortizativo genérico, de forma que las dos primeras cuantías sean los intereses anuales. Posteriormente, resolvemos la ecuación de equivalencia respecto al inicio:
Determinamos las expresiones funcionales del resto de parámetros:
Nótese que hemos tomado como punto de referencia el origen de la operación financiera y y que debemos expresar que las dos primeras cuantías (las de los dos primeros años) son los intereses de los mismos.
Determinamos la tabla de amortización para verificar la validez de las expresiones obtenidas. C0 20 106; nA 10;iA1 0.075; a h : If h 2, C0iA1,x ; xx x . First NSolve C0 j1 nA a j k1 j 1 iA1 1,x 3.41454 106 aA h : If h 2, C0iA1, xx ; CpA h : If h 2, C0, jh1 nA xx kh 1 j 1 iA1 1 ; IA h : If h 2, C0iA1, CpA h 1 iA1 ; AA h : If h 2, 0, aA h IA h ; MA h : j1 h AA j ;
Operación de constitución
Deberán realizarse aportaciones tales que sus valores actualizados al inicio sean iguales al principal menos el porcentaje r4escatado:
Resolviendo la ecuación de equivalencia respecto al inicio, tomando períodos semestrales:
TableForm Table h, aA h , IA h , AA h , CpA h , MA h , h, nA , TableHeadings None, "Año", "a h ", "I h ", "A h ", "Cp h ", "M h "
Año a h I h A h Cp h M h 1 1.5 106 1.5 106 0 20 000 000 0 2 1.5 106 1.5 106 0 20 000 000 0 3 3.41454 106 1.5 106 1.91454 106 1.80855 107 1.91454 106 4 3.41454 106 1.35641 106 2.05813 106 1.60273 107 3.97267 106 5 3.41454 106 1.20205 106 2.21249 106 1.38148 107 6.18516 106 6 3.41454 106 1.03611 106 2.37843 106 1.14364 107 8.56359 106 7 3.41454 106 857731. 2.55681 106 8.8796 106 1.11204 107 8 3.41454 106 665970. 2.74857 106 6.13103 106 1.3869 107 9 3.41454 106 459827. 2.95471 106 3.17632 106 1.68237 107 10 3.41454 106 238224. 3.17632 106 0 2. 107 C0B C0 C00.1; iB1 0.065;iB2 1 iB1 1 2 1 0.0319884 yy y . First NSolve C0B j1 10 2 y k1 j 1 iB2 1,y 1.23223 106
Problema 5.3-13
Una Cofradía de Pescadores solicita al I.S.M. un préstamo de 51 millones de € para ser amortizadas mediante anualidades constantes durante 15 años y a un tipo de interés anual del 5 %. Los 51 millones de € los ha obtenido el I.S.M. mediante un préstamo de la Caja de Ahorros X para amortizarse en las siguientes condiciones:
- Duración 15 años.
- Tipo de interés anual el 6 %
- Comisión anual del 0,5 % sobre el saldo.
- Amortización mediante cuotas de amortización constantes. Obtener
1) Cuadros de amortización de cada préstamo.
2) Coste actualizado que la operación supone para el I.S.M. tomando como tanto de valoración el 6.25 % anual. Préstamo Cofradía pescadores
Término amortizativo: Expresiones funcionales Tabla de amortización CA0 51 106; nA 15;iA1 0.05; xx x . First NSolve CA0 j1 nA x k1 j 1 iA1 1,x 4.91346 106 aA h : xx; CpA h : jh1 nA aA j kh1 j 1 iA1 1; IA h : CpA h 1 iA1; AA h : aA h IA h ; MA h : j 1 h AA j ;
TableForm Table h, aA h , IA h , AA h , CpA h , MA h , h, nA , TableHeadings None, "Año", "a h ", "I h ", "A h ", "Cp h ", "M h "
Año a h I h A h Cp h M h 1 4.91346 106 2.55 106 2.36346 106 4.86365 107 2.36346 106 2 4.91346 106 2.43183 106 2.48163 106 4.61549 107 4.84509 106 3 4.91346 106 2.30775 106 2.60571 106 4.35492 107 7.4508 106 4 4.91346 106 2.17746 106 2.736 106 4.08132 107 1.01868 107 5 4.91346 106 2.04066 106 2.8728 106 3.79404 107 1.30596 107 6 4.91346 106 1.89702 106 3.01644 106 3.4924 107 1.6076 107 7 4.91346 106 1.7462 106 3.16726 106 3.17567 107 1.92433 107 8 4.91346 106 1.58784 106 3.32562 106 2.84311 107 2.25689 107 9 4.91346 106 1.42155 106 3.4919 106 2.49392 107 2.60608 107 10 4.91346 106 1.24696 106 3.6665 106 2.12727 107 2.97273 107 11 4.91346 106 1.06363 106 3.84982 106 1.74229 107 3.35771 107 12 4.91346 106 871144. 4.04231 106 1.33806 107 3.76194 107 13 4.91346 106 669028. 4.24443 106 9.13613 106 4.18639 107 14 4.91346 106 456807. 4.45665 106 4.67948 106 4.63205 107 15 4.91346 106 233974. 4.67948 106 0 5.1 107
Préstamo INM
Expresiones funcionales
Tabla de amortización
El coste actualizado de la doble operación para el I.S.M. viene dado por el valor actualizado al 6,25 % de los ingresos, que son las anualidades del primer préstamo, menos el valor actualizado de las anualidades del segundo préstamo CB0 51 106; nB 15;iB1 0.06; AB h : CB0 nB; MB h : j1 h AB j ; CpB h : CB0 MB h ; IB h : CpB h 1 iB1; aB h : IB h AB h ; Com h : 0.005 CpB h 1 ;
TableForm Table h, aB h , Com h , IB h , AB h , CpB h , MB h , h, nB , TableHeadings None, "Año", "a h ", "Comis.", "I h ", "A h ", "Cp h ", "M h "
Año a h Comis. I h A h Cp h M h 1 6.46 106 255 000. 3.06 106 3 400 000 47 600 000 3 400 000 2 6.256 106 238 000. 2.856 106 3 400 000 44 200 000 6 800 000 3 6.052 106 221 000. 2.652 106 3 400 000 40 800 000 10 200 000 4 5.848 106 204 000. 2.448 106 3 400 000 37 400 000 13 600 000 5 5.644 106 187 000. 2.244 106 3 400 000 34 000 000 17 000 000 6 5.44 106 170 000. 2.04 106 3 400 000 30 600 000 20 400 000 7 5.236 106 153 000. 1.836 106 3 400 000 27 200 000 23 800 000 8 5.032 106 136 000. 1.632 106 3 400 000 23 800 000 27 200 000 9 4.828 106 119 000. 1.428 106 3 400 000 20 400 000 30 600 000 10 4.624 106 102 000. 1.224 106 3 400 000 17 000 000 34 000 000 11 4.42 106 85 000. 1.02 106 3 400 000 13 600 000 37 400 000 12 4.216 106 68 000. 816 000. 3 400 000 10 200 000 40 800 000 13 4.012 106 51 000. 612 000. 3 400 000 6 800 000 44 200 000 14 3.808 106 34 000. 408 000. 3 400 000 3 400 000 47 600 000 15 3.604 106 17 000. 204 000. 3 400 000 0 51 000 000 iv 0.0625; j1 nA aA j k1 j 1 iv 1 j1 nB aB j Com j k1 j 1 iv 1 4.78967 106
Problema 5.3-14
Una sociedad dedicada a los transportes públicos se plantea la posibilidad de abrir una nueva línea cuyas características son:
1.-Se necesitan comprar 20 autobuses cuyo importe asciende a 2 millones de € por unidad. Se estima que: la vida rentable es de 5 años al cabo de los cuales su valor residual asciende al 40 % de su coste; los gastos de mantenimiento y personal en el primer año son de 4 millones de € con un incremento acumulativo en los siguientes años del 5 % anual. 2.- La financiación de la compra de autobuses se realiza mediante:
a) El 50 % con capital propio.
b) El 50 % mediante un préstamo de 5 años de duración amortizable por semestralidades constantes vencidas y a un tipo de interés del 8 % anual efectivo.
3 - Se calcula utilizarán la línea diariamente 1.000 usuarios durante los tres primeros años y 1.200 en los sucesivos. 4.- Los objetivos de la inversión son:
- Cubrir los costes de mantenimiento y personal.
- Atender a las reposiciones de los autobuses en su día destinando anualmente el fondo constante necesario que se capitalizará al 7 % anual.
- Permitir unos beneficios anuales del 15 % del capital propio.
5.-El estudio económico se realizará para un período de 10 años utilizándose para la valoración un tipo de interés del 9 % anual.
Determinar:
1) El precio constante que deberá abonar el usuario por trayecto. 2) Beneficio actualizado de la inversión.
COSTES/GASTOS TOTALES
1. Entrega inicial para la compra de autobuses
Desembolso único, al inicio de la operación, para la compra de los autobuses por una cuantía
2. Préstamo para la compra de 20 autobuses, cuyo precio es de 2*106 €/u, pero la mitad se paga con dinero propio.
Por tanto, la cuantía del préstamo es:
1 2 3 4 5 7 8 10 0 x x x x x x x x iA2 =0'0392 C0 =20*106 x x semestres Cinicial 20 2 106 0.5 2. 107 C0 20 2 106 0.5;iA1 0.08;iA2 1 iA1 1 2 1 0.0392305
El término amortizativo es:
El coste del préstamo valorado al tanto de la operación es:
3. Reposición de autobuses
Los autobuses tienen una vida útil de 5 años. Como el estudio económico tiene un alcance de 10 años, deberá realizarse una compra inicial y una renovación de toda la flota. Como los autobuses tienen un valor residual del 40% al final de su vida útil, la cuantía (al 7% encarecimiento, IPC, etc) necesaria para reponerlos es:
Por tanto, deberá hacerse unas provisiones anuales:
El término constitutivo anual es:
El coste de la reposición de autobuses valorado al tanto de la operación es:
4. Mantenimiento y mano de obra
Responde al término general de una progresión geométrica de razón 𝑞 = 1′05 pagaderos anualmente al final de cada año.
El coste de mantenimiento y personal es:
xx x . First NSolve C0 j1 5 2 x k 1 j 1 iA2 1,x 2.45638 106 aA h : xx; semestral iv1 0.09;iv2 1 iv1 1 2 1; Cprestamo j1 5 2 aA j k 1 j 1 iv2 1 1.95296 107 Crep 20 2 106 0.6;ir1 0.07;
yy y . First NSolve Crep
j1 5 y k j 1 5 1 ir1 ,y 4.17338 106 aB h : yy; iv1 0.09; Creposicion j 1 10 aB j k1 j 1 iv1 1 2.67833 107 Gmp h : 4 106 1.05h1; iv1 0.09; Cmp j1 10 Gmp j k1 j 1 iv1 1 3.11937 107
INGRESOS/BENEFICIOS 1. Venta de billetaje
Según el enunciado, la recaudación es diaria, sin indicar el tanto de variación del precio del billete a lo largo del tiempo. El libro toma el tanto de interés del estudio total 𝑖𝑣1= 0′09. Considera un precio constante.
Problema 5.3-15
Se plantea el estudio económico, para un periodo de 10 años, de una inversión que viene determinada por las siguientes características: I – INMOVILIZADO Instalaciones Coste inicial Coste annual de mantenimiento Vida útil Valor residual Sector I 10000000 2000000 5 años 1000000 Sector II 20000000 3000000 5 años 2000000 Planta 10000000 Indefinida 8000000 (a los 10 años) II- COSTES VARIABLES:
a) Mano de obra: Durante el primer año ascenderán los salarios a 1.000.000 de € mensuales y en los sucesivos se espera una revalorización media acumulativa del 1 5 % anual.
b) Materias primas: El coste del primer año será de 10 millones de € y se espera un incremento acumulativo de sus precios del 8 % anual.
III - PRODUCCION
Ascenderá a 50.000 unidades de producto anuales. IV - FINANCIACION
a) Instalaciones: La instalación inicial se financiará con un préstamo de 30 millones para ser amortizado en 5 años mediante anualidades constantes y a un tipo de interés del 9 % anual. Las sucesivas renovaciones se realizarán con préstamos de análogas características.
b) Planta: El 50 % con capital propio y la cantidad restante con un préstamo de 10 años de duración amortizable mediante semestralidades constantes a un rédito semestral del 4 %.
V – OTRAS CARACTERISTICAS
El tipo de interés para evaluar el proyecto es del 10 % anual efectivo. Se pide:
1) Repercusión media de! inmovilizado en el precio de cada unidad producida.
2) El precio de venta de cada artículo producido en cada año sabiendo que sus componentes son: - Repercusiones de las instalaciones.
- Materias primas. - Mano de obra.
- Un incremento del 20 % de las tres partidas indicadas para atender los beneficios de la empresa. 3) Beneficio actualizado de la inversión.
