Una introducción a los números P-ádicos

N ´

UMEROS

P

- ´

ADICOS

Sergio Carrillo Torres Carlos Hurtado Amaya Estudiante Universidad Sergio Arboleda Estudiante Universidad Sergio Arboleda

Bogot´a D.C, Colombia Bogot´a D.C, Colombia

sergio [email protected] [email protected]

Resumen

EL objetivo del presente art´ıculo es mostrar los n´umerosp-´adicos, obteni´endolos a partir de la completaci´on topol´ogica de los n´umeros racionalesQ, por medio de una m´etrica, que no coincide con la inducida por el valor absoluto, y describir el lema de Hensel que permite resolver ecuaciones en dicha estructura.

1.

Preliminares algebraicos y topol´

ogicos

N :R−→R+

se dice una norma sobre R si satisface: 1. N(x) = 0 si y s´olo si x= 0.

2. N(xy) =N(x)N(y) para todox, y en R. 3. N(x+y)≤N(x) +N(y) para todox, y en R. si adem´as tenemos que

N(x+y) ≤m´ax{N(x), N(y)} ∀x, y∈R

decimos que N es no arquimediana.

Definici´on 1.2. Sea x∈Zel ordinal p-´adico (o valuaci´on) dex es: ord_p(x) = m´ax{r:pr|x} ≥0 ahora, si a/b∈Qentonces

ord_{p a} b = ord_p(a)−ord_p(b) y definimos ord_p(0) =∞

Teorema 1.1. Six, y estan enQel ord_p satisface: 1. ord_p(x) =∞ si y s´olo si x= 0.

2. ord_p(xy) = ord_p(x) + ord_p(y).

Demostraci´on:

2) _{ordp(xy) = ordp(x·1/(1/y))} = ord_p(x)−ord_p(1/y)

= ord_p(x)−(ord_p(1)−ord_p(y)) = ord_p(x) + ord_p(y)

3) escribamos a x yy de la siguiente forma:

x=pra

b y x=p

sc

d

dondea, b, c, d∈Z conp |a, b, c, dyr, s∈Z. Ahora sir=s, tenemos que

x+y=pr _a b + c d =pr ad+bc bd

de donde ord_p(x+y)≥r porquep |bd. Sir=s, supongamos que s > r. entonces

x+y=pr _a b +p s−rc d =pr ad+ps−rbc bd como s−r >0 y p |ad, entonces

ord_p(x+y) =r = m´ın{ord_p(x),ord_p(y)}.

Definici´on 1.3. Sea x∈Qla normap-´adica de x se define como: |x|_p=

₁

pordp(x) si x= 0

0 si x= 0

Teorema 1.2. La funci´on | |_p :Q−→R+ satisface: 1. |x|_p= 0 si y s´olo si x= 0.

2. |xy|_p=|x|_p|y|_p;

3. |x+y|_p ≤m´ax{|x|_p,|y|_p} con la igualdad si|x|_p=|y|_p.

Luego | |_p es una norma no arquimedeana sobre Q. Tomemos p = 3, y evaluemos la norma 3-´adica de 12, 27, 14 y 68 |12|₃= 1 3ord3(12) = 1 3ord3(4·3) = 1 3ord3(4)+ord3(3) = 1 31 |27|₃= 1 3ord3(27) = 1 3ord3(33) = 1 33 = 1 27

|14|3= 1 3ord3(14) = 1 3ord3(2·7) = 1 30 = 1 |68|₃= 1 3ord3(68) = 1 3ord3(22·17) = 1 30 = 1

de los anteriores c´alculos y de la definiciones, observamos que ord_p(pn) =n

y como ord_p(xy) = ord_p(x)ord_p(y), en virtud del teorema fundamental de la aritm´etica, si consideramosn∈Zy sea n=papa1

1 pa22· · ·pann la descomposici´on en factores primos den, luego

ord_p(n) = ord_p(papa1

1 pa22· · ·pann)

= ord_p(pa)ord_p(pa1

1 )ordp(pa22)· · ·ordp(pann)

como p₁, p₂, . . . , p_n son diferentes dep, tenemos que ord_p(n) =a

dondeaes la potencia depque aparece en la descomposici´on prima den. Por otro lado calculemos las normas 3-´adicas de los n´umeros racionales 1/3, 8/9, 27/5

|1/3|₃= 1 3ord3(1/3) = 1 3ord3(1)−ord3(3) = 1 3−1 = 3 |8/9|₃= 1 3ord3(8/9) = 1 3ord3(8)−ord3(9) = 1 3−2 = 9 |27/5|₃= 1 3ord3(27/5) = 1 3ord3(27)−ord3(5) = 1 33 = 1 27

Con el fin de hacer una teor´ıa m´as general de aqu´ı en adelante, consideremos una norma N

sobreR,

Definici´on 1.4. La distancia entre x, y∈R con respecto a N es

d_N(x, y) =N(x−y)∈R+ la anterior funci´on satisface las siguientes propiedades:

1. d_N(x, y) = 0 si y s´olo si x=y. 2. d_N(x, y) =d_N(y−x).

3. d_N(x, z)≤d_N(x, z) +d_N(z, y) con z∈R. SiN es no arquimediana.

d_N(x, y)≤m´ax{d_N(x, z), d_N(z, y)}

Definici´on 1.5. La sucesi´on (a_n) tiende al limitea∈R con respecto a N si: ∀ >0∃M ∈N :n > M =⇒ d_N(a_n, a)< y usamos la notaci´on l´ım n→∞ (N)_a n=a

Definici´on 1.6. La sucesi´on (a_n) es de Cauchy con respecto aN si ∀ >0∃M ∈N :n, m > M =⇒ d_N(a_n, a_m)<

Teorema 1.3. Si l´ım

n→∞(N)an existe, entonces la sucesi´on es de Cauchy. Demostraci´on:

Sea a= l´ım

n→∞(N)an, entonces podemos encontrarM1 tal que

n > M₁=⇒d_N(a_n, a)< 2 si m, n > M₁ entonces d_N(a_m, a)< ₂ luego d_N(a_m, a_n)≤d_N(a_m, a) +d_N(a_n, a) < 2 + 2 =

Ejemplo 1.1. Sea R=Q,N =| |_p,a_n= 1 +p+· · ·+pn−1, luego |a_n+k−a_n|_p=|pn+pn+1+· · ·+pn+k−1|_p

=|pn(1 +p+· · ·+pk−1)|_p = 1

pn

entonces para cada >0, tomamosM talque pM ≥1/. As´ın > M tenemos que |a_m−a_n|_p< 1

pM ≤.

Consideremosa= 1/(p−1)∈Q, entoncesa_n= (pn−1)/(p−1), luego |a_n−a|_p = p n 1−p p = 1 pn

as´ı para >0, tenemos

|a_n−a|_p <

usando nuestra notaci´on.

l´ım

n→∞

(p)_{1 +p+· · ·+p}n−1 ₌ 1

p−1 Definici´on 1.7. Una sucesi´on (a_n) es llamada sucesi´on nula si

l´ım

Veamos que l´ım

n→∞(N)an= 0 es equivalente a l´ımn→∞N(an) = 0

∀ >0∃M ∈N :n > M =⇒d_N(a_n,0) =N(a_n)<

∀ >0∃N ∈N :n > N =⇒ |N(a_n)|<

Como|N(a_n)|=N(a_n) porqueN(a_n)≥0, entonces tenemos la equivalencia. Definamos los siguientes conjuntos:

CS(R, N) = El conjunto de las sucesiones de Cauchy

N ull(R, N) = El conjunto de las sucesiones nulas

Por el teorema 3,N ull(R, N)⊆CS(R, N). Podemos dotar de estructura de anillo aCS(R, N) definiendo

(a_n) + (b_n) = (a_n+b_n) (a_n)×(b_n) = (a_n×b_n)

Los elementos 0_CS = (0) y 1_CS = (1) son los elementos neutro para la suma y el producto de

CS(R, N).

Teorema 1.4. N ull(R, N) es un ideal a derecha e izquierda de CS(R, N) Demostraci´on:

Sean (a_n)∈CS(R, N) y (b_n)∈N ull(R, N). Luego l´ım

n→∞(N)bn= 0

Como (a_n) es de Cauchy entonces existen k > 0 y M tales que para n > M, N(a_n) < k. Tomemos M tal que N(b_n)< _k. Sea M = m´ax{M, M}. Luego

N(a_nb_n) =N(a_n)N(b_n)< kN(b_n)< k_k =

Por tanto l´ım

n→∞(N)anbn= 0, es deciranbn∈N ull(R, N)

Definici´on 1.8. El anillo cociente CS(R, N)/N ull(R, N) =R_N es llamado la completaci´on de

R respecto a la normaN y notamos{a_n} la clase de equivalencia de la sucesi´on (a_n) Teorema 1.5. |N(x)−N(y)| ≤N(x−y)

Demostraci´on:

Tenemos _{N(x) =N((x−y) +y)≤N(x−y) +N(y)}

N(x)−N(y)≤N(x−y) De manera an´aloga

N(y)−N(x)≤N(x−y) Luego

|N(x)−N(y)| ≤N(x−y)

Teorema 1.6. El anilloR_N con la suma + y el producto ×dados por {a_n}+{b_n}={a_n+b_n}, {a_n} × {b_n}={a_n×b_n}

tiene una norma N tal que N({a}) = N(a) para todas las sucesiones de Cauchy constantes, (a_n) =a, con a∈R, esta norma definida por:

N({c_n}) = l´ım

n→∞N(cn) FinalmenteN es no arquimediana si y s´olo siN lo es.

Demostraci´on:

Como (a_n) es de Cauchy con respecto a N entonces (N(a_n)) es de Cauchy respecto a| |, porque |N(a_n)−N(a_m)| ≤N(a_n−a_m)<

como Res completo respecto a| |entonces existel tal que l´ım

n→∞N(an) =l

luego hay unM tal que paran > M tenemos que|l−N(a_n)|< . Veamos queN es una norma

N({a_n}) = 0⇐⇒ l´ım

n→∞N(an) = 0

⇐⇒(a_n) es una sucesi´on nula ⇐⇒ {a_n}= 0 dadas {a_n},{b_n}tenemos N({a_n}{b_n}) =N({a_nb_n}) = l´ım n→∞N(anbn) = l´ım n→∞N(an)N(bn) = l´ım n→∞N(an) l´ımn→∞N(bn) =N({a_n})N({b_n}) finalmente N({a_n}+{b_n}) = l´ım n→∞N(an+bn) ≤ l´ım n→∞N(an) +N(bn) = l´ım n→∞N(an) + l´ımn→∞N(bn) =N({a_n}) +N({b_n}),

luego N es una norma.

Teorema 1.7. SeaRun anillo con norma no arquimedianaN, suponga que (a_n) es una sucesi´on de Cauchy y b∈R es tal que b= l´ım

n→∞(N)an. Entonces existe un M tal que m, n > M

N(a_n−b) =N(a_m−b) Demostraci´on:

Notemos que como (a_n) es de Cauchy con respecto aN

|N(a_m−b)−N(a_n−b)| ≤N(a_n−a_m)<

luego (N(a_n−b)) es de Cauchy en R. Sea l= l´ım_n→∞N(a_n−b). Luego existeM₁ tal que para

n > M₁ se tiene que

N(a_n−b)> l

tambi´en existe un M₂ tal que param, n > M₂ se tiene

N(a_m−a_n)< l

2

Tomemos M = m´ax{M₁, M₂}y consideremos m, n > M. Entonces

N(a_m−b) =N((a_n−b) + (a_m−a_n)) = m´ax{N(a_n−b), N(a_m−a_n)} =N(a_n−b)

Porque N(a_m−a_n)< ₂l < N(a_n−b).

Si (a_n) no es una sucesi´on nula, entonces la sucesi´on (N(a_n)) es constante.

Este teorema muestra que desde cierto M, N({a_n}) = N(a_n), es eventualmente constante. Volviendo al teorema 6. Tomemos {a_n} y{b_n} tales que

N({a_n})= N({b_n});

si tomamosb= 0 en el teorema anterior podemos encontrar enterosM, M tales que

n > M ⇐⇒N(a_n) =N({a_n}) y

n > M ⇐⇒N(b_n) =N({b_n}) Paran >m´ax{M, M}tenemos

N(a_n+b_n) = m´axN(a_n), N(b_n) = m´axN({a_n}),N({b_n})

En este punto, podemos desarrollar este procedimiento con cualquier anillo conmutativo con unidad, en particular con un campo, en el presente articulo desarrollaremos la teor´ıa anterior-mente expuesta para el campo de numeros racionalesQ

2.

Campo de los n´

umeros

p

-´

adicos

Consideremos la completaci´on deQrespecto a la norma||_p, luego aQ se le denomina el campo de los n´umeros p-´adicos y los notaremos como Q_p, como consecuencia de la completaci´on tenemos una copia de Qen Q_p.

Definici´on 2.1. El disco unitario alrededor de 0∈Q_p es el conjunto de enteros p-´adicos Zp ={a∈Qp :|a|p≤1}

Teorema 2.1. Z_p es un subanillo deQ_p, adem´as Fr(Z_p) =Q_p

Teorema 2.2. Six∈Z_p, existe una sucesi´on a₀, a₁, . . . , a_n, . . .∈Z, 0≤a_n≤p−1 tal que

Tomemos a∈Q_p, entonces si|a|_p ≤1 por definici´on a∈Z_p, por otro lado si|a|_p >1 podemos suponer que |a|_p = pk con k > 0, y consideremos b = pka, de este modo |b|_p = 1 as´ı por la proposici´on anterior

b=b₀+b₁p+b₂p2+· · ·+b_kpk+· · · de lo que concluimos que

a= b0 pk + b₁ pk−1 +· · ·+ b_k−1 p +bk+bk+1p+· · ·

Teorema 2.3. Cada n´umerop-´adico a∈Q_p tiene una expansi´on ´unica

a= a−r pr + a_1−r pr−1 +· · ·+ a₋₁ p +a0+a1p+· · ·

cona_n∈Z y 0≤a_n≤(p−1), adem´asa∈Z_p si y s´olo si a_−r = 0 parar >0.

Estas ´ultima expansi´on es conocida como el desarrollo de Hensel de a, adem´as, es importante determinarren la expansi´onp-´adica de un n´umero arbitrario, esto se consigue con la desigualdad ultram´etrica.

3.

Aritm´

etica

p

-´

adica

Usaremos la siguiente notaci´on para no utilizar el desarrollo de Hensel en las operaciones de suma y multiplicaci´on.

a_n0. . . , a₀a₁a₂a₃ para ∞

i=n0

a_ipi

3.1. suma de dos n´umeros p-´adicos La suma x+y=∞_n=n 0cnp n _{de los n´umeros} ∞ n=n0 a_npn y ∞ n=n1 b_npn

se define recursivamente por:

_n= 0 para n≤n₀

y para los dem´as valores den

_n+a_n+b_n=c_n+e_n+1·p.

En esta definici´on _n es la cantidad que se lleva por cada potencia de p y la anterior expresi´on se puede entender como tomar clase residual m´odulo p y llevar el multiplo de p a su siguiente potencia

3.2. Multiplicaci´on

La multiplicaci´on se define como ∞ n=n0 a_npn· ∞ k=n1 b_kpk= ∞ j=n1+n0 c_jpj

dondec_j=j−n1

i=n0 aibj−i ycj = 0 paraj < n0+n1.

La diferencia con las operaciones definidas en los racionales y las anteriores es que se hacen de izquierda a derecha, no de derecha a izquierda, pese a que un n´umero p-´adico es una serie de Laurent, podemos obtener aproximaciones de sus sumas y multiplicaciones.

Ejemplo 3.1. Seanx= 111,21210. . .yy= 22,00101. . .elementos de Q₃, luego su suma es

1 1 1 , 2 1 2 1 0

+ 2 2₁ , 0₁ 0₁ 1 0₁ 1₁

1 0 1 , 0 2 0 2 1

esto se debe a que el desarrollo de Hensel m´as largo es el de x, entonces llamemos a x+y =

c₋₃c₋₂c₋₁, c₀c₁c₂c₃c₄c₅, as´ıc₋₃ = 1, c₋₂ = 1 + 2 ≡1·3 mod 3 y llevamos una potencia de 3,

c₋₁ = 1 + 2 + 1 ≡ 1 + 1·3 mod 3 y as´ı el proceso continua, hasta obtener la aproximaci´on deseada, en la tabla se escriben en subindice las cantidades que se llevan

La multiplicaci´on es de forma analoga, por ejemplox = 1,212. . .yy= 2,22. . .

1 , 2 1 2 . . . · 2 , 2 2. . . 2 4 , 2 4 . . . 2 , 4 2 . . . 0 , 2 4 . . . 0 , 0₂ 2₃ . . . 2 0 , 1 0 . . .

Ahora busquemos desarrollos de Hensel de numeros conocidos, por ejemplo de −1 y de 1/6, como 1−1 = 0 dado que Z⊆Z_p tenemos que si

−1 =a₀+a₁·3 +a₂·32+a₃·33+· · · es su desarrollo de Hensel

1

+ a₀ + a₁·3 + a₂·32 + a₃·33 +· · ·

0 0 0 0 0

por tanto a₀ + 1 ≡ 0 mod 3, es decir, a₀ = 2 y se lleva una potencia de 3, por otro lado

a₁+ 1 + 1≡0 mod 3 de este modoa₁ = 1 y siguiendo este procedimiento llegamos a que. −1 = 2 + 1·3 + 1·32+ 1·33+· · ·

en un caso m´as general si a∈Q_p, por lo visto anteriormente

a_−m pm + a_1−m pm−1 +· · ·+a0+a1p+a2p 2_{+· · ·} entonces −aes igual a p−a_−m pm + (p+ 1−a_1−m) pm−1 +· · ·+ (p−1−a0) + (p−1−a1)p+· · ·.

Siguiendo con los ejemplos, hallemos el desarrollo de Hensel de 1/6 en Q₃, lo primero que se observa es que |1/6|₃= 3, luego 1/6∈Z_p, debemos determinar en que potencia de 3 comienza

su desarrollo de Hensel, por la desigualdad ultram´etica vemos que la potencia es−1. As´ı supon-gamos que 1 6 = a₋₁ 3 +a0+a1·3 +a2·3 2_{+· · ·} como 6·1/6 = 1 y como 6 = 2·3, 1 = 6·1 6 = 2a−1+ 2a0·3 + 2a1·3 2_{+ 2a} 2·33+· · ·

entonces 2a₋₁ ≡1 mod 3 por tanto a₁ = 1 y se lleva una potencia de 3, pasando al siguiente coeficiente 2a₀+ 1≡0 mod 3 luegoa₀ = 1 y siguiendo este razonamiento vemos que

1 6 =

2

3+ 1 + 1·3 + 1·3 2_{+· · ·}

por otro lado podemos estar interesados en obtener la ra´ız cuadra de un n´umero entero por ejemplo √5∈Q₃, supongamos en principio quex=√5∈Z₃. Sea

x=a₀+a₁·3 +a₂·32+a₃·33+· · ·,

como x2 = 5,

a2₀+ 2a₀(a₁·3 +a₂·32+a₃·33+· · ·) + (a₁·3 +a₂·32+a₃·33+· · ·)2= 5 si consideramos la anterior ecuaci´on en Z/Z (los enteros m´odulo 3), obtenemos

a2₀ ≡1 mod 3

luego a₀ es 1 o 2, si lo consideramos como 1 as´ı tenemos la relaci´on

1 + 2(a₁·3 +a₂·32+a₃·33+· · ·) + (a₁·3 +a₂·32+a₃·33+· · ·)2 = 5 si volvemos a considerar ´esta ecuaci´on en Z/Z tenemos que

1 + 2a₁·3≡5 mod 3 resolviendo esta congruencia

6 + 2a₁·3≡0 mod 9 3(2 + 2a₁)≡0 mod 9 2 + 2a₁ ≡0 mod 3

obtenemos que a₁ = 2 y as´ı consecutivamente logramos el desarrollo de Hensel de√5 en Q₃

4.

Existencia de raices cuadradas

Consideremos √p, si √p ∈ Q, entonces |(√p)2|_p = |p|_p = 1/p, eso significa que |√p|_p =

1

p

Teorema 4.1 (lema de Hensel). Sea F(x) = c₀ +c₁x +· · ·+c_nxn un polinomio cuyos coeficientes son enterosp-´adicos. SeaF(x) =c₁+ 2c₂x+ 3c₃x2+· · ·+nxn−1 la derivada formal de F. Sea a₀ un entero p-´adico tal que F(a) ≡ 0 modp y F(a) ≡ 0 modp. Entonces existe un ´unico enterop-´adico tal que

F(a) = 0 1 a≡a₀ mod p

Por tanto si consideramos Q₃ y los siguientes polinomios

f(x) =x2+ 2,

g(x) =x2−2,

h(x) =x3±1.

Luego por el lema de Hensel;

Comof(1) = 12+ 2≡3 mod 3 yf(x) = 2x|_x=1= 2≡3 mod 3 entonces tiene una raiz en Q₃, es decir,√−2∈Q₃

Como no existe entero a₀ tal que g(a₀) ≡0 mod 3, dado queg(1)≡2 mod 3 yg(2)≡2 mod 3 entonces no existe un enterop-´adico atal queg(a) = 0, por tanto√2∈Q₃. Calculando la derivada tenemosh(x) = (3)x2 ≡0 mod 3, luego no existen ra´ıces cubicas de la unidad.

Bibliograf´ıa

[1] Baker, A.J., An introduction to p-adic numbers and p-adic analysis. Departement of Mathematics, Glasgow university, 2005.

[2] Koblitz, Neal,p-adic numbers, p-adic analysis, and zeta-functions. Springer-Verlag, New York, 1977.

[3] Mathiak, K., Bewertungstheorie. Institut f¨ur Algebra und Zahlentheorie, Braunshwieg, 1977.