Cap´
ıtulo 1
Conjuntos num´
ericos. N´
umeros reales.
En este tema comenzamos haciendo un repaso, r´apido, de qu´e eran los n´umeros naturales, enteros y racionales, para pasar a continuaci´on a los n´umeros reales, a los que est´a dedicado este tema, as´ı como a sus aplicaciones, entre las que destaco el manejo de intervalos, la notaci´on cient´ıfica, errores absolutos y relativos, aproximaci´on de n´umeros, y la
racionalizaci´on.
1.1.
N´
umeros naturales, enteros y racionales. Propiedades
1.1.1. Los n´umeros naturales, N.
Los n´umeros naturales son aquellos que sirven para contar cosas positivas y exactas;ning´un coche, un pueblo,dos barcos,tres alumnos, etc. Esto es, son los n´umeros 0,1,2,3,4,5... Tambi´en se les conoce comoenteros positivos. Al conjunto de los n´umeros naturales se designa por N.
En N el 0 es el elemento neutro para la suma, 2 + 0 = 2, y el 1 lo es para el producto, 8∗1 = 8, y adem´as se dan las propiedades conmutativa para la suma, 3 + 7 = 7 + 3, la conmutativa para el producto, 3∗7 = 7∗3, la propiedad asociativa para la suma, (3 + 7) + 1 = 3 + (7 + 1), la asociativa para el producto, (3∗7)∗1 = 3∗(7∗1), as´ı como la distributiva de la suma respecto el producto, (2 + 1)∗3 = (2∗3) + (1∗3).
Como no se verifica la existencia de elemento sim´etrico para la suma, a+x = 0 para1 a ∈ N conocido y para x ∈ N a encontrar, los n´umeros naturales salvo el 0 no tienen la propiedad de elemento sim´etrico. Lo mismo sucede para el producto, donde en general, dado a ∈ N es imposible encontrarx∈N de modo quea∗x= 1.
1.1.2. Los n´umeros enteros; Z.
Los n´umeros enteros surgen ante la necesidad de dotar a los n´umeros naturales de la propiedad de existencia de elemento sim´etrico para la suma. As´ı, dado a ∈N, ahora s´ı va a ser posible encontrar un x, eso s´ı, no natural, tal que a+x = 0, elemento neutro de la suma. Ello se consigue haciendo x=−a. Claro que ahora xno puede ser natural, ya quea ∈N, luego positivo, y−a, al ser el opuesto de un n´umero positivo, debe ser necesariamente negativo, y ning´un natural puede ser negativo.
As´ı, podr´ıamos decir que los n´umeros enteros son todos aquellos n´umeros que nos sirven para contar cosas exactas, ya sean positivas o negativas, pudiendo interpretarse el signo negativo como ‘deber algo a alguien’o‘que falte algo’, y el signo positivo como que‘nos lo deban a nosotros’ o que ‘exista algo’; ‘debo dos cromos’, ‘me falta por hacer una cuenta’, ‘todo est´a bien’, ‘hay una casa’, ‘me tienen que dar dos cromos’, etc.
Esto es, los n´umeros enteros son ...,−3,−2,−1,0,1,2,3, ..., y en matem´aticas se designan por Z. Como todos los n´umeros naturales son enteros, se dice que el conjunto de los n´umeros naturales est´a incluido en el de los enteros, y ello en matem´aticas se escribe como N ⊂ Z, y como existen
1El s´ımbolo ‘∈’ representa en matem´aticas lapertenencia, y la expresi´on ‘a∈N’ se traduce como ‘paraaperteneciente aN’, esto es,
‘paraaun n´umero natural’.
n´umeros enteros que no son naturales, por ejemplo el −1, la inclusi´on no es exacta, y por ello tambi´en puede escribirseN ( Z.
Todas las propiedades de los naturales se dan en los enteros. Como nuevas propiedades, adem´as de la existencia de elemento sim´etrico para la suma, existe una nueva para la multiplicaci´on, la regla de los signos, que nos dice que (+)∗(−) = (−)∗(+) = (−), y que (+)∗(+) = (−)∗(−) = (+).
1.1.3. Los n´umeros racionales; Q.
Los n´umeros racionales surgen ante la necesidad de dividir en un n´umero entero de trozos iguales una cantidad igualmente entera (por ejemplo, dividir una tarta en cuatro trozos iguales). Este objetivo se amplia a poder dividir un n´umero racional en una cantidad racional de trozos iguales (por ejemplo;
2 7÷
4 3 =
6
28), que es equivalente a resolver (dentro del conjunto de los n´umeros racionales) el problema
dedado un n´umero distinto de cero, encontrar su inverso(encontrar otro n´umero racional de modo que al multiplicar a ambos nos d´e el 1), problema que no ten´ıa soluci´on en el conjunto de los n´umeros enteros.
Con este planteamiento, podr´ıamos decir que los n´umeros racionales son aquellos que se pueden
escribir de la forma p
q, donde p ∈ Z (p es un n´umero entero al que se le llama numerador), y q ∈ Z, q 6= 0 (q es un n´umero entero distinto de cero al que se llama denominador). Con ello, cualquier n´umero entero es claramente un n´umero racional, por ejemplo el 3, ya que 3 = 31, y el 1 verifica ser un n´umero entero distinto de cero.
Existe otra definici´on equivalente para los n´umeros racionales, consistente en pasarlos a su forma decimal, esto es, dividir el numerador entre el denominador y ver como son las cifras decimales que aparecen. Los n´umeros racionales se corresponden con aquellos n´umeros cuyas cifras decimales poseen alguna regularidad, esto es, se repiten en alg´un momento, distingui´endose entre n´umeros exactos, 402,
peri´odicos puros 4023, o peri´b odicos mixtos, 3002112, siendo n´b umeros irracionales (lo contrario de ser
un n´umero racional) aquellos que tienen infinitas cifras no peri´odicas, o que no se repiten nunca, como pasa con π o con
√ 2.
Tenemos entonces dos posibilidades para expresar los n´umeros racionales, la forma de fracci´on (por ejemplo 125 ), y la forma decimal (por ejemplo 204). Para pasar de la primera a la segunda forma
nos basta dividir el numerador entre el denominador. Para pasar de la forma decimal a la forma racional, podr´ıamos usar las progresiones geom´etricas2, multiplicar por una adecuada potencia de 10, o bien usar la siguiente f´ormula3.
a1a2· · ·am0b1b2· · ·bn
periodo
z }| { c1c2· · ·ck =
a1a2· · ·amb1b2· · ·bnc1c2· · ·ck −a1a2· · ·amb1b2· · ·bn
99999· · ·99999 | {z }
(k nueves)
00000· · ·00000 | {z }
(n ceros)
Si no queremos aprendernos f´ormulas (algo muy recomendable), podemos deducir las expresiones en formas de fracci´on correspondientes a un decimal peri´odico puro planteando una ecuaci´on alge-braica de primer grado multiplicando por 10n, donde n es el n´umero de cifras que compone la parte
decimal. Veamos un ejemplo:
Pasar a decimal el n´umero 30c14
Sea x= 30c14 = 301414. Multiplicando por 10c 2 = 100 ambos miembros, 100x= 3140c14 = 314 + 00c14. Yo s´e quex= 30c14, y ya me aparece en el segundo miembro de la igualdad 00c14, as´ı que sumo 3 a ambos lados de la igualdad para tener 3 + 00c14 = 30c14 =x. As´ı, 100x+ 3 = 314 + 3 + 00c14 = 314 + 30c14 = 314 +x. Al
resolver la ecuaci´on de primer grado 100x+ 3 = 314 +xse deduce quex=311
99 , que es la soluci´on.
2Podemos ver esta nueva estrategia en un tema posterior, en los ejemplos??(p´agina??), y??(p´agina??). 3As´ı por ejemplo, aplicando dicha f´ormula tenemos que 20ˆ7 = 27−2
9 =
25
9, que 2
0c71 = 271−2
99 =
269
9 y que 5
02c14 =5214−52
990 =
5162
1.1.4. Resumen de las propiedades de los conjuntos de n´umeros naturales, enteros y racionales
Los n´umeros vistos anteriormente verifican las siguientes propiedades:
1. Los n´umeros naturales, N={0,1,2,3,4,5,· · ·}
Propiedad conmutativa respecto la suma;a+b=b+a
Propiedad asociativa respecto la suma; (a+b) +c=a+ (b+c)
Existencia de elemento neutro respecto la suma;a+ 0 =a
Propiedad conmutativa respecto el producto;a∗b=b∗a
Propiedad asociativa respecto el producto; (a∗b)∗c=a∗(b∗c)
Existencia de elemento neutro respecto el producto; a∗1 = a
Propiedad distributiva de la suma respecto el producto; (a+b)∗c= (a∗c) + (b∗c)
Nno est´a acotado superiormente (no existe el n´umero natural m´as grande)
2. Los n´umeros enteros, Z={· · ·,−3,−2,−1,0,1,2,3,· · ·} Todas las propiedades de los n´umeros naturales
N⊂Z, esto es, todos los n´umeros naturales son tambi´en enteros.
Existencia de elemento sim´etrico respecto la suma; dado a ∈Z, existe b∈ Z de modo que a+b= 0. T´omese para ello b=−a.
A diferencia de los n´umeros naturales, acotados inferiormente por el 0, los n´umeros enteros no est´an acotados inferiormente, esto es, no existe el n´umero entero m´as peque˜no (tampoco el m´as grande).
Estas propiedades hacen que el conjunto de los n´umeros enteros sea grupo conmutativo o abeliano para la suma, y tambi´en para el producto.
3. Los n´umeros racionales, Q=
p
q de modo quep, q ∈Z, q6= 0
Todas las propiedades de los n´umeros naturales y enteros.
Z⊂Q, esto es, todos los n´umeros enteros son tambi´en racionales, y como los naturales eran todos enteros, tambi´en ser´an racionales.
Existencia de elemento inverso respecto el producto para cualquier racional distinto de cero; Dado pq ∈Q distinto de cero, existe rs ∈Qde modo que
p q
r
s = 1. T´omese para ello r s =
q p.
Estas propiedades hacen que el conjunto de los n´umeros racionales sea un cuerpo conmu-tativo o abeliano para las operaciones suma y producto.
Q no est´a acotado ni inferior ni superiormente (no existe el n´umero racional mas peque˜no ni el m´as grande).
Q es separable; entre cada dos racionales a y b distintos, por cerca que est´en uno de otro, existe otro n´umero racional c(t´omese c= a+2b). En realidad existen infinitos n´umeros.
Q es infinito, pero numerable; esto es, existe una correspondencia biun´ıvoca que puede asignar a cada n´umero racional un elemento de la sucesi´on {0,1,2,3,4,· · ·}, o lo que es lo mismo, podr´ıamos decir4 que existen tantos n´umeros racionales como n´umeros naturales.
4Esto te resultar´a dif´ıcil de entender una propiedad de los conjuntos infinitos,Qlo es, es queel todo no es mayor que alguna de sus
1.2.
Los n´
umeros reales,
R
.
1.2.1. La recta real.
Consideremos la llamada recta real, que nos ayudar´a a comprender cada uno de los puntos que la componen, los n´umeros reales. Situemos una recta horizontal como la de la parte inferior de la figura siguiente. Marquemos un punto cualquiera de la misma a la que vamos a llamar el cero, 0. Marquemos otro punto cualquiera distinto del cero, al que llamaremos el uno, 1. Diremos que la distancia del 0 al 1 es una unidad.
A continuaci´on, tomando la misma distancia que separa el 0 del 1, marcamos infinitos pun-tos a la izquierda del 0 (−3,−2,−1,· · ·) y a la derecha del 1 (2,3,4,· · ·). Ya tenemos situa-dos en la recta real los n´umeros enteros, que en particular son n´umeros racionales. A con-tinuaci´on, vamos a usar la propiedad de se-parabilidad deQvista en el punto 1.1.4, esto es, que entre dos n´umeros racionales distintos cualesquiera podemos insertar otro n´umero racional.
As´ı, cada uno de los intervalos entre dos n´umeros enteros, por ejemplo el que est´a entre el 0 y el 1, lo dividimos en diez partes iguales, cada una de las cuales est´a separada de la siguiente por una d´ecima parte de la distancia original unidad, esto es, 1÷10 = 001. A cada una de las divisiones,
separadas por 001, las denotamos por 000, 001, 002, · · ·,008, 009,100. A su vez, volviendo a usar la
separabilidad, cada subintervalo de tama˜no 001 puede volver a ser dividido en 10 trozos de longitud
0001, y as´ı hasta el infinito.
Ello nos permite representar cada n´umero decimal en la recta, tenga o no finitas cifras decimales, ya que cada cifra decimal, de izquierda a derecha tras la coma, nos dice a qu´e subdivisi´on va dicho n´umero. Por ejemplo, el 30421 lo situar´ıamos entre el 3 y el 4, entre su cuarta y quinta subdivisi´on (entre 304 y 305), fijada ´esta entre su segunda y tercera subdivisi´on (entre 3042 y 3043), y fijada ´esta,
en la primera de las 10 subdivisiones (entre 30420 y 30421). Al tener el ejemplo anterior, una cantidad
finita de cifras decimales, el n´umero va exactamente a una divisi´on de la recta real, a 30421, pero este proceso podr´ıa repetirse indefinidamente gracias a la propiedad de la separaci´on deQ.
De acuerdo... todo n´umero decimal, tenga o no infinitas cifras, puede representarse en la recta real, que se llamaR, e igualmente, todo punto de la recta real se corresponde con un n´umero decimal, tenga o no infinitas cifras, sin m´as que ir leyendo las diferentes subdivisiones en las que se sit´ua el n´umero, e ir escribiendo sus cifras.
1.2.2. Necesidad de R; existen n´umeros reales no racionales.
Sabemos que todos los n´umeros decimales, tengan o no infinitas cifras, se sit´uan en la recta real, e igualmente todos los puntos de la recta real se corresponden con n´umeros decimales, tengan o no infinitas cifras. Sabemos tambi´en que todos los n´umeros racionales se corresponden a n´umeros decimales caracterizados por tener cifras decimales exactas, peri´odicas o peri´odicas mixtas. Por ello, todos los n´umeros racionales se sit´uan en la recta real. Hag´amonos una pregunta ¿dejan huecos en la recta? Esto es ¿existen n´umeros reales que no sean racionales?
Ejemplo 1.1 (importante) Probemos que √2 es irracional:
•Razonemos al absurdo, supongamos que√2 = pq irreducible; esto es,pyqprimos entre s´ı).
• Si √2 = pq no fuese irreducible o insimplificable, lo reducir´ıamos sin m´as que dividir numerador y denominador por su m´aximo com´un divisor (de 68 se pasa a 34 dividiendo arriba y abajo por 2).
•De
√
2 = pq se deduce, sin m´as que elevar al cuadrado que 2 = pq22 ⇒p 2= 2q2
•De aqu´ı se deduce que p2 es par, y como los cuadrados de los n´umeros impares son impares, se deduce quepno puede ser impar, sino que es par, esto es,p2= 2mpara alg´unmentero.
•Como 2q2=p2= (2m)2= 4m2, se deduce que 2q2= 4m2⇒q2= 2m2, yq2 tambi´en es par
•Pero siq2 es par, es queq es tambi´en par, pues el cuadrado de un n´umero impar es impar, luegoq es
par,q= 2npara alg´unnentero.
•Y acabamos de llegar a la buscada contradicci´on; pues tendr´ıamos entonces una fracci´on irreducible en la que numerador y denominador son pares, pq = 22mn, lo que permitir´ıa reducirla dividiendo arriba y abajo por dos, en contradicci´on con que pq era irreducible.
•Como la contradicci´on surge de suponer que
√
2 = pq racional, la conclusi´on es que
√
2 no puede ser racional.
1.2.3. ¿Cu´antos n´umeros irracionales hay?
De acuerdo,√2 es irracional, por lo que es necesario ampliar el conjunto de los n´umeros racionales y ya nos han aparecido los n´umeros irracionales, de modo que los n´umeros reales son la uni´on de los racionales y los irracionales. Ahora bien ¿hay muchos irracionales?
Antes (p´agina 3) vimos que Q era numerable, o que pod´ıamos decir que hab´ıa tantos n´umeros racionales como n´umeros naturales, esto es infinitos. Los n´umeros irracionales tambi´en est´an en un n´umero infinito, pero no tienen nada que ver. Hay una cantidadno numerablede n´umeros irracionales, por lo que no se pueden poner en correspondencia con los n´umeros naturales. Decir no numerable supone una aut´entica monstruosidad. Equivale a una bestialidad de infinito, y si no, veamos un ejemplo muy instructivo.
Ejemplo 1.2 Lo escasos que son los n´umeros racionales respecto los irracionales.
Como sabemos, podemos expresar los n´umeros reales por medio de n´umeros decimales, o aquellos que tienen una parte entera, seguida de una coma y una parte decimal, por ejemplo, 2021, 1281720c13 ´o 30141592· · ·
Sabemos tambi´en que los n´umeros racionales son aquellos que poseen cierta periodicidad en su parte decimal, esto es, que existe un momento tras la coma en la que una o una cantidad finita de cifras, no dejan de repetirse jam´as, mientras los n´umeros irracionales son aquellos donde las cifras no se repiten nunca.
Olvid´emonos de la parte entera para formar un n´umero real. Tomemos por ejemplo la parte entera igual a cero. Tomemos un dado que tenga diez caras numeradas del 0 al 9. Y lanc´emoslo infinitas veces. Si el primer lanzamiento es un 4, la parte decimal empezar´a como 004, si el siguiente lanzamiento es un 7, el n´umero contin´ua 0047, si despu´es viene el 2, el n´umero comenzar´a por 00472... As´ı infinitas veces, hasta obtener todas las cifras decimales del n´umero real.
Ahora bien, los n´umeros racionales son aquellos donde hay una parte com´un que se repite infinitas veces, o sea, que si lanzamos ese dado infinitas veces, esa parte com´un que se repite hasta el infinito sea una realidad y de verdad aparezca en los lanzamientos de mi dado, y ahora viene lo bueno.
¿Es por ejemplo probable que aunque lancemos un dado infinitas vecessiempresalga un 1 para formarse el n´umero decimal 00b1 = 00111111....? ¿O quesiemprese repita la secuencia 67 para formar la parte decimal
00c67? ¿O que siempre salga cero para formar un n´umero exacto? ¿a que no? ¿A que lo m´as probable es
que las cifras decimales, si lanzamos el dado infinitas veces, no se repitan nunca y sea pr´acticamente un milagro encontrar un n´umero en el que s´ı haya alg´un tipo de repetici´on?
1.3.
Tipos de intervalos.
En la recta real, pueden encontrarse diferentes intervalos, o conjuntos de puntos conexos5, los cuales pueden ser de la siguiente forma para a y bn´umeros reales que verifiquena < b.
[a, b] Intervalo cerrado [a, b]. Lo forman todos los n´umeros a ≤ x ≤ b, esto es, todos los n´umeros x mayores o iguales que a, y al mismo tiempo menores o iguales queb. (a, b) Intervalo abierto (a, b). Lo forman todos los n´umeros a < x < b, esto es, todos los
n´umeros x mayores estrictos que a, y al mismo tiempo menores estrictos que b. [a, b) Intervalo semiabierto o semicerrado [a, b). Lo forman todos aquellos n´umeros reales
a ≤x < b, esto es, todos los n´umerosx mayores o iguales quea, y al mismo tiempo menores estrictos que b.
(a, b] Intervalo semiabierto o semicerrado (a, b]. Lo forman todos aquellos n´umeros reales a < x≤b, esto es, todos los n´umeros x mayores estrictos que a, y al mismo tiempo menores o iguales que b.
(−∞, b] Intervalo semiabierto o semicerrado (−∞, b]. Lo forman todos los n´umeros x ≤ b, esto es, todos los n´umeros x menores o iguales que b.
(−∞, b) Intervalo abierto (−∞, b). Lo forman todos los n´umeros x < b, esto es, todos los n´umeros x menores estrictos queb.
[a,+∞) Intervalo semiabierto o semicerrado [a,+∞). Lo forman todos los n´umeros a ≤ x, esto es, todos los n´umeros x mayores o iguales que a.
(a,+∞) Intervalo abierto (a,+∞). Lo forman todos los n´umeros a < x, esto es, todos los n´umeros x mayores estrictos que a.
[a] ={a} Intervalo cerrado [a]. Cuando hablamos de un s´olo punto a, podr´ıa escribirse como el intervalo cerrado [a], si bien en matem´aticas se utiliza entonces la notaci´on de conjuntos, las llaves, dici´endose que dicho intervalo es {a}, esto es, el conjunto formado por un s´olo elemento, en este caso, a.
Adem´as de estos tipos de intervalos, habr´a que tener en cuenta los siguientes conceptos:
Uni´on de dos o m´as intervalos es el conjunto formado por todos los n´umeros reales que est´an en alguno de los intervalo, no necesariamente en m´as de uno a la vez. La operaci´on de unir se representa con el signo S. La uni´on de dos o m´as intervalos no tiene por qu´e ser un intervalo.
Intersecci´on de dos o m´as intervalos es el conjunto formado por todos los n´umeros reales que est´an a la vez en todos los intervalos. La operaci´on de unir se representa con el signo T. La intersecci´on de dos o m´as intervalos no tiene por qu´e ser un intervalo. Si en la intersecci´on no hay ning´un punto, el conjunto final es el conjunto vac´ıo o ∅.
Ejemplo 1.3 Considerar las siguientes uniones e intersecciones de intervalos. Cuidado con los puntos extremos de los mismos.
(−∞,3)∪(2,8) = (−∞,8)
(2,8)∪(−3,5] = (−3,8)
[−6,8]∪(0,15) = [−6,15)
[−3,6)∪[6,7) = [−3,7)
[−5,3)∪(5,12] = lo mismo
(−∞,3]∪(3,+∞) = (−∞,+∞) =R (−4,8)∪(−2,15)∪(−8,10) = (−8,15)
(−∞,3)∩(2,8) = (2,3)
(2,8)∩(−3,5] = (2,5]
[−6,8]∩(0,15) = (0,8]
[−3,6)∩[6,7) =∅
[−5,3)∩(5,12] =∅
(−∞,3]∩(3,+∞) =∅
(−4,8)∩(−2,15)∩(−8,10) = (−2,8)
5En matem´aticas, cuando dentro de un espacio se puede ir de un punto a otro sin salirse del espacio, se dice que el espacio es conexo,
Nota 1.1 A la hora de trabajar con uniones e intersecciones de intervalos, una buena estrategia es la siguiente; dibujar la recta real, y los sucesivos intervalos como segmentos horizontales a diferente altura sobre la misma. Imaginemos entonces que llueve, la uni´on ser´ıan todos aquellos puntos donde no nos mojar´ıamos, no importa que haya m´as de un techo. La intersecci´on de dos, tres, cuatro... intervalos no s´olo no ser´ıa donde no nos mojamos, sino en que zonas estamos bajo dos, tres, cuatro... techos.
Ejemplo 1.4 Calcular la intersecci´on [−2,1)∩(−2,+∞), as´ı como la uni´on [−2,1)∪(−2,+∞)
Lo primero que hacemos es dibujar la recta real, situar los puntos ex-tremos finitos−2 y 1, y dibujar los dos intervalos, respetando que los ex-tremos sean abiertos o cerrados. Una vez hecho esto, la uni´on es all´ı donde no nos mojar´ıamos en caso de lluvia, o sea, en todo [−2,+∞), si bien el extremo cerrado de la izquierda lo coge del intervalo [−2,1), y no del (−2,+∞). La intersecci´on de dos intervalos ser´ıan los puntos que est´an bajo doble techo, en este caso (−2,1), y t´engase en cuenta de que ninguno de los dos extremos entra, ya que para esos puntos extremos uno de los dos techos no llega hasta ´el, al ser abierto.
Ejemplo 1.5 Calcular (−∞,0]∩[−2,1)∩(−2,+∞), as´ı como la uni´on (−∞,0]∪[−2,1)∪(−2,+∞)
De nuevo comenzamos dibujando la recta real, y los distintos intervalos como segmentos sobre la misma, a distinta altura y respetando el tipo de extremos. La uni´on ser´ıan todos aquellos puntos bajo techo, ya sea de un intervalo o de otro, en este caso toda la recta real queda ‘cubierta de la lluvia’. La intersecci´on de los tres intervalos ser´ıan los puntos de la recta real que est´an bajo triple techo, en este caso (−2,0]. El extremo de la izquierda queda abierto por el intervalo (−2,+∞), que no cubre a dicho extremo. Con el de la derecha no hay problema, est´a cubierto por los tres intervalos, y por ello est´a en la intersecci´on y se pone cerrado.
Ejemplo 1.6 Calcular (−∞,0)∩(−2,1)∩(1,+∞), as´ı como la uni´on (−∞,0)∪(−2,1)∪(1,+∞)
1.4.
Trabajo con ra´ıces en la recta real.
1.4.1. La ra´ız generalizada
Hasta ahora, en la ESO nos han aparecido las ra´ıces cuadradas, y quiz´as tambi´en las c´ubicas, conoci´endose por ejemplo que 3
√
8 = 2 ya que 23 = 8. Las ra´ıces cuadradas y c´ubicas admiten en
matem´aticas una generalizaci´on natural, que se llama ra´ız de ´ındice n o ra´ız n-´esima (se lee ‘ra´ız ene´esima’), cuya definici´on es √na = b si bn = a, donde a ‘a’ se le llama radicando, a ‘n’´ındice de
la ra´ız, y a √na ra´ız n-´esima. Como en general no sabemos calcular cu´anto vale una ra´ız de ´ındice
n, para trabajar con comodidad con ellas las pasaremos a potencias, ya que √n
am =am/n. Antes de
seguir, repasemos las propiedades de las potencias:
a0 = 1, para a6= 0. Cualquier n´umero distinto de cero elevado a 0 es igual a 1.
a1 =a Cualquier n´umero elevado a 1 es igual a ´el mismo.. 1n= 1 El 1 elevado a cualquier n´umero es igual a 1.
an·am =am+n Producto de potencias de misma base; se deja la misma base
y se suman los exponentes.
(a·b)m=am·bm Potencia de un producto, se elevan a la potencia ambas bases,
que se multiplican.
(an)m =amn Potencia de una potencia; se deja la misma base y se multi-plican los exponentes.
a−1 = 1
a Cualquier n´umero elevado a −1 es igual a su inverso
a−n = 1
an Cualquier potencia de exponente negativo equivale a escribir
dicha potencia en el denominador de una fracci´on, eso s´ı, aho-ra con exponente positivo.
an am =a
n−m
Una fracci´on donde tanto en numerador como denominador hay una potencia de una misma base es igual a esa potencia de esa misma base y exponente la diferencia de los mismos.
a b
n
= a
n
bm La potencia de un cociente equivale a elevar tanto en
numer-ador como el denominnumer-ador a ese cociente. a
m n
= √n
am Potencia de exponente racional; equivale a una ra´ız de grado
el denominador de la fracci´on, y de radicando la base de la potencia elevada al numerador de la fracci´on.
De las propiedades anteriores de las potencias se deducen r´apidamente las siguientes propiedades6
de las ra´ıces:
•n
q
a·b= n
q a· n
q
b •n
s a b =
n
q a
n
q b
•m
r
n
q
a= mn
q
a •
n
q a
m
= n
q
am •np
q
ap= n
q a
1.4.2. Racionalizar denominadores
A veces ser´a inevitable encontrarse con expresiones que tienen una ra´ız en el denominador, tal como le sucede a √1
2. Pero teniendo en cuenta que dicha expresi´on es id´entica a
√
2
2 , que no tiene
ra´ıces en el denominador, intentaremos pasar todas las expresiones con ra´ıces en el denominador a otras que sean equivalentes y que no las tengan, tal como hemos hecho en el ejemplo. A esto se le llama racionalizar.
6No las aprendas, s´olo tienes que saber c´omo pasar de las ra´ıces a las potencias, trabajar con las potencias y volver a pasar el resultado
a las ra´ıces; as´ı por ejemplo: n√apm=anp m
A la hora de racionalizar se presentan varios casos, cada uno de los cuales se va a resolver de una forma distinta, en general multiplicando numerador y denominador por una misma cosa, de modo que realmente no estamos tocando nada, pero conseguimos arreglar el denominador:
En el denominador hay una ra´ız cuadrada simple; a b√c.
En dicho caso se multiplica el numerador y el denominador por dicha ra´ız cuadrada √c, con lo que anulamos la ra´ız del numerador al tener ahora una ra´ız cuadrada al cuadrado (y el cuadrado de una ra´ız cuadrada es el propio radicando):
a b√c =
a b√c ·
√
c
√
c = a√c b√c√c =
a√c
b(√c)2 = a√c
bc
En el denominador hay una ra´ız cualquiera; a b√n
cm, donde suponemos
7 m < n.
En dicho caso se multiplica el numerador y el denominador por una ra´ız tambi´en de ´ındice nen cuyo radicando aparece lo que le falta acm para convertirse encn, esto es,cn−m, con lo que anulamos la ra´ız del numerador al
tener ahora una ra´ız cuadrada de ´ındicende algo a su vez elevado an(que es igual al propio radicando):
a
b√n cm =
a
b√n cm ·
n
√
cn−m
n
√
cn−m =
a√n cn−m
b√ncm√n
cn−m =
a√n cn−m
b
√
cm·cn−m =
a√n cn−m
b
√
cm+n−m =
a√n cn−m
b√n cn =
a√n cn−m
bc
En el denominador hay una suma o resta de una ra´ız cuadrada; a b+√c o
a b−√c.
En dicho caso se multiplican el numerador y el denominador por el conjugado del denominador8 para que en
el denominador nos aparezca el producto de un binomio por su conjugado, esto es, suma por diferencia, que equivale a diferencia de cuadrados ((a+b)·(a−b) =a2−b2), de donde desaparecer´ıa la ra´ız:
a b+√c =
a b+√c ·
b−√c b−√c =
a(b−√c) (b+√c)·(b−√c) =
a(b−√c)
b2−(√c)2 =
a(b−√c) b2−c
a b−√c =
a b−√c ·
b+√c b+√c =
a(b+√c) (b−√c)·(b+√c) =
a(b+√c)
b2−(√c)2 =
a(b+√c) b2−c
Ejemplo 1.7 Considerar las siguientes racionalizaciones resueltas. Hay dos de cada tipo. N´otese como al final ya no hay ra´ıces en el denominador. Simplificar al m´aximo las fracciones resultantes:
3 √ 5 = 3 √ 5 · √ 5 √ 5= 3√5
√
5·√5= 3√5 (√5)2 =
3√5 5 2− √ 2 √ 2 =
2−√2
√ 2 · √ 2 √ 2 =
(2−√2)√2
√
2· √
2 =
2√2−(√2)2
(
√
2)2 =
2√2−2
2 =
2(√2−1)
2 =
√
2−1
1
3
√
52 =
1
3
√
52 · 3 √ 5 3 √ 5= 3 √ 5 3 √
52·√3
5 = 3 √ 5 3 √
53 = 3
√
5 (√35)3 =
3 √ 5 5 2 + √ 3 4 √ 3 = 2 + √ 3 4 √ 5 · 4 √ 53 4 √
53 =
(2 + √ 3)4 √ 53 4 √
5·√4
53 =
24
√
53+√3√4
53 4
√
54 =
24
√
53+√4
3253
(√4
5)4 =
24
√
53+√4
3253
5 2 1− √ 7 = 2 1−√7 ·
1 +
√
7 1 +√7=
2(1 +
√
7) (1−√7)(1 +√7) =
2(1 +
√
7) 12−(√7)2 =
2(1 +
√
7) 1−7 =
2(1 +
√
7)
−6 = 1 + √ 7 −3 4− √ 2 1 +√2 =
4−√2 1 +√2 ·
1−√2 1−√2=
(4−√2)(1−√2) (1 +√2)(1−√2) =
4−4√2−√2 +√2√2 12−(√2)2 =
6−5√2 1−2 = 5
√
2−6
7Si fueran≤mning´un problema, sacar´ıamos fuera de la ra´ız lo que sobra;√3
57=√3
53·53·5 = 5·5√3
5 = 523
√
5
1.5.
Trabajo con n´
umeros aproximados
Todo trabajo cient´ıfico est´a expresado en un lenguaje propio que difiere, por ejemplo, del utilizado en revistas y peri´odicos usuales. Es m´as; no s´olo en la mayor´ıa de los trabajos cient´ıficos nos van a aparecer decimales, truncamientos, signos, magnitudes, escalas... sino que en muchos textos que a priori no tengan nada que ver con el mundo cient´ıfico podr´an aparecer los elementos anteriores.
A veces no es necesario conocer todas las cifras de un n´umero para que nos hagamos una idea del mismo. Es m´as, aunque perdamos parte de la informaci´on al aproximar, ello nos va a permitir trabajar con ´el de modo m´as r´apido. Por ejemplo, si nos dijeran que en un pantano hay 3526717271 litros de agua, deber´ıamos emplear un tiempo en conocer el n´umero, separando sus cifras en grupos de tres9. En este caso, el conocer todas las cifras no es relevante, y podr´ıamos efectuar la aproximaci´on
‘tres mil quinientos millones de litros’, que nos permite comprender el n´umero de un s´olo vistazo. Pero adem´as, en este ejemplo la unidad no est´a bien elegida, ya que nadie utiliza los litros para medir la capacidad de un pantano, que se suele medir en hect´ometros c´ubicos10. En nuestro caso,
nuestro pantano posee una capacidad de 35026 hect´ometros c´ubicos, cantidad m´as entendible.
1.5.1. Presentaci´on de resultados num´ericos; estudio de las cifras decimales.
Cualquier valor experimental, o te´orico pero ´util bajo un punto de vista pr´actico, deber´a expresarse mediante un determinado n´umero de cifras, que habr´a de estar limitado por el valor del error absoluto a cometer; por citar un par de ejemplos, si en clase de f´ısica queremos resolver un problema acerca de un movimiento de ca´ıda libre de un cuerpo, seguramente tomemos una aceleraci´on debida a la gravedad de g = 908m/s2; ahora bien, si formamos parte de una compa˜n´ıa de dise˜no aeron´autico
y estamos inmersos en la construcci´on de aviones m´as seguros, en nuestros c´alculos tomaremos g = 9080665m/s2; igualmente no es lo mismo una velocidad de la luz en el vac´ıo dec= 300 000km/s
que c = 299 7920458m/s. Si bien los resultados de ambos c´alculos ser´an similares, puede que ´estos
sean necesarios para obtener nuevos resultados, y claro, ser´a menor el error final cuanto menores vayan siendo los sucesivos errores, y ello se consigue arrastrando decimales en los sucesivos c´alculos. ¿Cu´antos decimales? A ello trataremos de dar una aproximaci´on en el presente apartado.
M´as concretamente, lo que haremos ser´a hablar de los decimales en s´ı, y cuales son m´as importantes que otros (obviamente, cuanto m´as cercanos a la coma ser´an m´as importante, pero ¿cu´ando podr´ıan comenzar a ser desechables?).
Un ejemplo, en cualquier calculadora si efectuamos la divisi´on 1÷3 nos aparece 1÷3 = 0033333333... (con tantos decimales como la precisi´on que est´e establecida en la propia calculadora). A continuaci´on (seg´un la calculadora, las cient´ıficas suelen hacerlo bien), si efectuamos 003333333+(2÷3) = 00999999,
en lugar del esperado 1. Ello nos hace reflexionar:
Si la calculadora funciona para una determinada precisi´on y no para otra superior, por ejemplo, si con cuatro cifras considera 003333 ∗ 3 = 009999 mientras con cinco
realiza 0033333∗3 = 1, deberemos tener claro qu´e precisi´on deseamos alcanzar, y si es
suficiente considerar diezmil´esimas (caso primero) o bien necesitamos afinar nuestros c´alculos hasta las cienmil´esimas (caso segundo).
Nuestra calculadora, independientemente de la precisi´on que est´e fijada, no entiende que (1 ÷3) + (2 ÷3) = 1 (ojo, no estoy diciendo que 003333333 + 006666666 = 1,
enti´endase ´esto11). En este caso, debemos asumir que si necesitamos efectuar c´alculos
demasiado precisos, nuestra calculadora posiblemente no responda.
La conclusi´on de nuevo es la misma; seg´un la precisi´on a alcanzar, podremos utilizar una calculado-ra u otcalculado-ra, una precisi´on u otra, podremos truncar en un paso u otro... y ello justifica el conocimiento de las cifras decimales.
93526717271 = 3 526 717 271; en este caso habr´ıa tres mil millones, quinientos veinteseis millones, setecientos diecisietemil doscientos
setenta y un litros.
10Un cubo de 100mde lado, o sea, 100∗100∗100 = 106m3. Teniendo en cuenta que un metro c´ubico alberga 100 litros de agua, un
hect´ometro c´ubico albergar´a 106∗100 = 108litros.
11Con (1÷3) + (2÷3) quiero decir que la calculadora obtiene esos 00
1.5.2. Cifras significativas
Definici´on 1.1 (d´ıgito m´as significativo) Sea un n´umero aproximado N = A0a
0a1a2a3a4· · ·an,
n <+∞ fijo. El d´ıgito m´as significativo de N es el primer d´ıgito no nulo; esto es, el primerak 6= 0.
Definici´on 1.2 (d´ıgito menos significativo.) Sea N = A0a
0a1a2a3a4· · ·an, n < +∞ fijo, un
n´umero aproximado. El d´ıgito menos significativo de N es el ´ultimo d´ıgito (el situado m´as a la derecha), sea nulo o no; esto es, an.
Definici´on 1.3 (d´ıgitos significativos) Dado un n´umero aproximado, se llaman d´ıgitos significa-tivos a todos aquellos que est´an situados entre el d´ıgito m´as significativo y el menos significativo.
Ejemplo 1.8 Establecer los d´ıgitos m´as significativos, menos significativos, y simplemente significa-tivos, en los siguientes n´umeros aproximados; 30141592, 60052614, 1208920, 16008869.
N´umero a m´as menos Cifras Notas
Considerar sign. sign. Significs. Varias
30141592 1 2 4,1,5,9 πaproximado con un error inferior a la millon´esima.
60052614 5 4 2,6,1
Al ser cero la cifra de las d´ecimas, la cifra m´as significativa es la de
las cent´esimas.
1208920 8 0 9,2 A pesar de ser cero la ´ultima cifra (diezmil´esimas), se considera la cifra menos significativa.
16008869 8 9 8,8,6
N´otese que en este ejemplo la cifra m´as significativa es la m´as
peque˜na posible (0), y la menos significativa la mayor posible (9).
Nota 1.2 Es indudable que la coma de un n´umero decimal puede correrse m´as hacia la derecha o hacia la izquierda sin m´as que cambiar de unidades que sean m´ultiplos decimales; por ejemplo, una distancia de 42019500km se convierte en 42195000m o 4219500cm, y todas esas distancias son la
misma. Eso s´ı, si bien es cierto que matem´aticamente 42019500 = 420195, en el marco en el que nos estamos moviendo no; por ejemplo, 420195km = 42195m nos est´a diciendo que se ha medido con una precisi´on de metros, mientras 42019500km = 42195000m= 4219500cm expresa que se ha medido con
una precisi´on de cent´ımetros.
Nota 1.3 As´ı, el expresar un resultado de una u otra manera no cambia el valor del resultado, pero s´ı la informaci´on de la precisi´on obtenida, y por ello se consideran como cifras significativas (eso s´ı, las menos significativas de todas) aquellas que ocupan el ´ultimo lugar. Otro ejemplo, si nos dicen que “la poblaci´on de Espa˜na es de 40 000 000 personas”, puede que haya ese n´umero exactamente (algo muy improbable), en cuyo caso todas las cifras sean significativas, o bien que se haya redondeado a esa cantidad, de donde s´olo ser´ıan significativos el 4 y el primer 0, resumi´endose la afirmaci´on anterior en otras iguales de cierta pero que describen mejor la precisi´on considerada; ‘la poblaci´on de Espa˜na es de 40 millones de personas’ o bien ‘en Espa˜na viven 40∗106 personas’.
Nota 1.4 Ya hemos visto porqu´e se consideran como cifras menos significativas aquellas que a´un siendo nulas, est´an m´as a la derecha de un n´umero aproximado (tras la coma, por supuesto). ¿Por qu´e no se considera como cifras m´as significativa al cero? La respuesta es f´acil, si bien ampliaremos la misma cuando veamos lo referente anotaci´on cient´ıfica, porque considerando unidades adecuadas, podemos prescindir de estos ceros, y eso s´ı, ahora la etiquetade la precisi´on alcanzada no var´ıa; por ejemplo, en el n´umero 1200345, la cifra m´as sigificativa es el 3, y no el 0, ello se debe a que puede
considerarse 1200345 = 1200345 ∗10−1 (notaci´on cient´ıfica), donde la cifra m´as significativa es de
nuevo el 3 (y no el cero). Otro ejemplo, 140003460 = 140003460∗10−2; n´otese que en ambos casos la
cifra m´as significativa es el 3, y la menos significativa el 0 (que no ha variado). Teniendo en cuenta que normalmente usamos sistemas decimales de medida, no hay problema con las unidades, pues por ejemplo se verifica 140003460km = 140003460∗10−2km = 140003460da m (dec´ametros).
1.5.3. Errores de medici´on relativos y absolutos
Ya hemos visto en el punto 1.5.2 qu´e son lascifras significativas, o aquellas con las que se expresa un n´umero aproximado. La idea es que s´olo manejemos aquellas con las que vayamos a trabajar. Por ejemplo, no tiene sentido al hablar decir que un edificio tiene 23105142 metros de largo. Como dato acad´emico est´a muy bien, pero las ´ultimas cifras decimales no aportan nada; no cambia mucho la informaci´on si en vez de decir que el edificio tiene 23105142 metros de altura decimos que tiene 231
metros, 230 o incluso unos 225.
Ahora bien, decir que el edificio tiene 200 metros, o quiz´as 250 metros, podr´ıa ser un alejamiento excesivo de la realidad. Si hablamos en general, dando la altura de un edificio en concreto, pudiera estar bien, pero si vamos a compararlo con otros edificios similares, ya no ser´a tan buena idea aproximar.
Cabr´ıa hacerse la pregunta ¿Cu´antas son las cifras significativas necesarias para expresar cualquier n´umero? Esto no tiene respuesta exacta, salvo las menos posibles, as´ı que depender´a de lo que estimemos en cada momento. Otra cosa distinta es medir el error cuando trabajamos con cifras aproximadas... ello s´ı es perfectamente posible. Al aproximar una magnitud en lugar de la cantidad original, cometeremos un error, el cual puede ser relativo o absoluto:
error absoluto; Se define el error absoluto como la diferencia entre la medida real y la que hemos tomado como aproximaci´on. Lo designaremos por Ea.
Ea = error absoluto =|Valor real−Aproximaci´on hecha por nosotros|
error relativo; Se define el error relativo como el cociente entre el error absoluto y la medida real. Esto es, se est´a midiendo el porcentaje del error cometido respecto el total, lo que nos permite comparar los errores a la hora de medir elementos similares. Lo designaremos por Er.
Er = error relativo =
Error absoluto Medida real del objeto
Ejemplo 1.9 Un cipr´es mide 1905m, y le asignamos (aproximaci´on) una medida de 20m. Con dicha medida estamos cometiendo un error absoluto de 1905−20 = 005m, y uno relativo de 005
20 = 1 40 = 0
0025,
esto es, un error del 205 %, o por cada 40 metros que posee el ´arbol, nos equivocamos en uno.
Ejemplo 1.10 Cierto compa˜nero nuestro de clase mide 107m, y le asignamos una medida de 108m.
Esto hace un error absoluto de 108−107 = 001m, o sea, 10cm, que es menor que el error absoluto anterior. El error relativo ser´ıa 010018 =
1 18 = 0
005.
Esto es, en el primer ejemplo tenemos un error relativo de medio metro, mayor que uno de 10cm del segundo, ahora bien, si tenemos en cuenta las longitudes de aquellos objetos que se miden, un ´
arbol y una persona, el error relativo del primer caso es menor que el del segundo, esto es, est´a mejor medido, y ello se puede hacer al poder comparar los errores relativos, que est´an expresados en la misma unidad; tantos por ciento o fracciones del total.
1.5.4. Truncamiento y redondeo
A continuaci´on vamos a ver nuevos t´erminos, como son el truncamiento (cortar a secas en un determinado momento) y el redondeo (aproximar por un n´umero de menos cifras significativas).
Definici´on 1.4 (truncar un n´umero) Sea un n´umero aproximado o exacto; truncarlo consiste en ir suprimiendo los sucesivos d´ıgitos menos significativos hasta que el nuevo n´umero, menos preciso, sea adecuado para tratarlo con calculadora, ordenador...
Ejemplo 1.11 Sabemos que π ' 30141592 653589 793238 462643 383279 502884, con 37 cifras signi-ficativas. Si deseamos truncar con tan s´olo 7 cifras significativas ser´a π ' 30141592, y si deseamos truncar con tan s´olo 5 cifras significativas ser´a12 π'301415.
Ejemplo 1.12 Siπ '30141592 653589, con 13 cifras significativas, al truncar con 7 cifras significs.,
π'30141592, cometemos un error:E
a =|30141592 653589 −30141592|=|00000000653589| <10−6.
Nota 1.6 En general, dado un n´umero N, al truncarlo por otro n´umero Np que mantenga p cifras
decimales exactas, se tiene que
Ea =|N −Np|<10−p
Definici´on 1.5 (redondear un n´umero) Sea un n´umero aproximado o exacto; redondearlo con-siste en suprimir algunos de sus ´ultimos d´ıgitos, y modificar (o dejar igual) el ´ultimo d´ıgito no suprimido de forma que se cometa el menor error absoluto posible.
Nota 1.7 (reglas de redondeo) Las tres reglas pr´acticas que se utilizan para redondear un n´umero van a depender del llamadod´ıgito de prueba, o aquel m´as situado a la izquierda de todos los que se suprimen (esto es, si vamos truncando sucesivamente, el d´ıgito de prueba es el ´ultimo que se suprime). Veamos las citadas reglas, as´ı como algunos ejemplos de las mismas.
Regla I - Redondeo por defecto. Si el d´ıgito de prueba es 0, 1, 2, 3 ´o 4 (esto es, menor que 5), las cifras anteriores a ´el no se cambian (esto es, redondear equivale a truncar).
N◦de partida 5013431; 4 cifras signifs. 50134]31; d´ıg.de prueba 3; N◦redondeado 50134;Ea <10−3.
N◦de partida 1010923; 4 cifras signifs. 10109]23; d´ıg.de prueba 2; N◦redondeado 10109;Ea <10−3.
N◦de partida 1021748; 4 cifras signifs. 10217]48; d´ıg.de prueba 4; N◦redondeado 10217;Ea <10−3.
Regla II - Redondeo por exceso. Si el d´ıgito de prueba es 5, 6, 7, 8 ´o 9 (esto es, mayor o igual que 5), se suma una unidad al ´ultimo d´ıgito no suprimido (el que est´a a la izquierda del d´ıgito de prueba), teniendo en cuenta que si fuese 9, pasa a ser 0, sum´andosele al n´umero precedente otra unidad; proceso que se repetir´ıa tantas veces como 9 hubiera en las ´ultimas cifras no suprimidas
N◦ inicial 7061871; 4 cifras signifs. 706181]71; d´ıg.de prueba 7; N◦ redondeado 70619;Ea<10−3.
N◦ inicial 3014159; 4 cifras signifs. 30141]59; d´ıg.de prueba 5; N◦redondeado 30142;E
a <10−3.
N◦ inicial 8001971; 4 cifras signifs. 80019]71; d´ıg.de prueba 7; N◦redondeado 80020;Ea <10−3.
N◦ inicial 1009968; 4 cifras signifs. 10099]68; d´ıg.de prueba 6; N◦redondeado 10100;E
a <10−3.
Regla III - El d´ıgito de prueba es 5 y est´a seguido de 0. Entonces (este caso tam-bi´en se aplica al caso de que la parte a despreciar s´olo est´e compuesta por el d´ıgito de prueba el cual es 5) se aplica el caso anterior, sum´andosele una unidad al d´ıgito anterior al de prueba si ´este es impar, no sum´andosele si es par; esto es, el ´ultimo digito del n´umero resultante ha de ser par.
N◦de partida 5013550; 4 cifras signifs. 50135]50; d´ıg.de prueba 5; N◦redondeado 50136;E
a <10−3.
N◦de partida 5013450; 4 cifras signifs. 50134]50; d´ıg.de prueba 5; N◦redondeado 50134;E
a <10−3.
Nota 1.8 Para que sea m´as f´acil comprender estos ejemplos, en todos ellos he tomado un n´umero de partida de 6 cifras significativas el cual ha sido redondeado por otro de tan s´olo 4 cifras significativas.
Nota 1.9 De las reglas anteriores se deduce que si un n´umero de partida N se redondea a otro Np
dep d´ıgitos decimales significativos, entonces el error absoluto est´a acotado mediante la f´ormula:
Ea =|N −Np|<
10−p
2 <10
−p
Nota 1.10 Se aprecia que el error de redondeo es menor que el de truncamiento (1210−p <10−p); pero
como para redondear un n´umero hay que efectuar una operaci´on adicional respecto un truncamiento, las calculadoras usualmente truncar´an un n´umero en lugar de redondearlo (si estad´ısticamente la mitad de las veces coincidir´an ambos procesos ¿para qu´e efectuar una operaci´on m´as?)
1.6.
La notaci´
on cient´ıfica.
la operaci´on 1273638178363∗943784626363 y la calculadora tan s´olo trabaje con 8 d´ıgitos). Ello lo pal´ıa, si bien se comete cierto error de truncamiento/redondeo, la llamadanotaci´on cient´ıfica.
La idea es trabajar con alg´un tipo de almacenamiento de n´umeros que permita, mediante un n´umero li-mi-ta-do de cifras, expresar n´umeros muy peque˜nos o muy grandes, por ejemplo, aquellos contenidos en el intervalo13 (10−100,10100), para despu´es operar con ellos adecuadamente.
Por ello podemos decir que la notaci´on cient´ıfica es una herramienta util´ısima para escribir n´umeros aproximados muy grandes o muy peque˜nos (muy cercanos a cero), aportando la ventaja de que en estos n´umeros escritos de modo cient´ıfico ya viene contado su orden de magnitud14 al usar oportunas potencias de 10.
Para ir concretando ¿en qu´e consiste dicho sistema de representaci´on? Obs´ervese que dado cualquier n´umero, por ejemplo 34616302519, ´este puede escribirse como 34616302519 = 34616032519 ∗101 =
34061632519∗104 = 003461632519∗106 = 0000003461632519∗1010, o bien como 34616320519∗10−1 =
3461632519∗10−4 = 34616325190000 ∗10−8, por citar s´olo unos ejemplos.
As´ı, la idea es expresar cada n´umero como producto de otros dos, uno primero que es un n´umero usual, y un segundo que es potencia de 10, y si hiciera falta, se trunca/redondea el primero. Aho-ra bien, se aprecia que hay una peque˜na ambig¨uedad, consistente en la cantidad de posibilidades (infinitas) que se ofrecen para expresar cada n´umero, lo que obliga a adoptar un criterio com´un.
Antes de establecerlo, a la hora de trabajar con los n´umeros escritos en forma cient´ıfica, especial-mente a la hora de multiplicarlos, es fundamental manejar con soltura propiedades de las potencias, ya que se recuerda 10m·10n = 10m+n,∀m, n∈N. Se recuerda que en la p´agina ??est´an escritas las
propiedades de las potencias. Ahora s´ı, veamos c´omo escribir n´umeros en notaci´on cient´ıfica; digamos que la forma usual de escribir estos n´umeros ser´a:
a01b1b2b3b4· · · ×10
c1c2c3c4···
Donde mientras15 losb
i y losci son n´umeros naturales cualesquiera, a1 es un s´olo n´umero y distinto
de cero. As´ı, son n´umeros v´alidos y positivos escritos en forma cient´ıfica 20301×1012 y 70321×10−16,
y no lo son 002301×1013 ´o 73021×10−17.
En todos los casos, los n´umeros son positivos si a1 > 0, negativos si a1 < 0, eso s´ı, grandes si
c1 >0, peque˜nos si c1 <0, ya que se recuerda 10−1 = 1011 = 0
0
1, 10−2 = 1012 = 0
0
01, etc. Ve´amoslo de modo m´as riguroso:
Definici´on 1.6 (notaci´on cient´ıfica) Un n´umero decimal N se escribe en notaci´on cient´ıfica como
N = M ∗10p, esto es, como el producto de un n´umero M, llamado mantisa, por 10p, donde p se llama exponente, adopt´andose el criterio de que el punto decimal se sit´ua justamente a la izquierda de la primera cifra no nula de la mantisa, o equivalentemente, ´esta es un n´umero M ∈[001,1].
Nota 1.11 Como se aprecia, con este sistema de representaci´on, un n´umero grande puede ser escrito de forma distinta, ahorr´andose digitos de almacenamiento en algunos casos, como el de 00000000000000632353 = 00632353 ∗ 10−12. Ahora bien, en otros casos, har´a falta utilizar tantas cifras como d´ıgitos posee el n´umero inicial; 628492620562749 = 0062849262562749 ∗108. La idea es que las calculadoras trunquen la mantisa a su conveniencia, seg´un el n´umero de cifras significativas con el que puedan trabajar, y ahora (truncando/redondeando, eso s´ı), con un peque˜no n´umero de d´ıgitos, y cometiendo cierto error, puede expresarse cualquier n´umero.
Ejemplo 1.13 Escribir, en notaci´on cient´ıfica, y utilizando 6 cifras significativas en la mantisa, los siguientes n´umeros:
N = 726633803932003200 = 0072663383932003200∗107 '00726633∗107.
N = 734664302037253620673328 = 0073466430203725362673328∗1017'00734664∗1017.
N = 0000364365473 = 00364365473∗10−2 '00364365∗10−2.
N = 3643605473∗10−9 = 00364365473∗10−14 '00364365∗10−14.
13Por cierto, a 10100se le llamagugol, y a 10gugol= 1010100 se le llamagugolplex.
14Por ejemplo, con el n´umero 305×1012, al usar 1012, sabemos con s´olo echar un vistazo que el n´umero es del orden de los billones. 15En matem´aticas, para referirnos a la vez a muchos n´umeros que comparten una misma propiedad, como sucede conb
1, b2, b3,· · ·, se
1.7.
Prefijos de magnitud
En este breve punto vamos a considerar una tabla en la que mediante ciertos prefijos griegos pueden escribirse diferentes cantidades del Sistema Internacional de Medida16, o aquel que mide en metros, kilogramos, segundos, amperios, kelvins, candelas y moles, si bien usualmente se utiliza para medir cantidades relacionadas con la longitud (especialmente las inferiores a 1 kil´ometro).
Prejijos griegos del Sistema Internacional
Pref. S´ımb. Valor Ejemplos Pref. S´ımb. Valor Ejemplos
deci d 10−1 1 dec´ımetro = 10−1m deca da 101 1 dec´ametro = 101m
centi c 10−2 1 cent´ımetro = 10−2m hecto h 102 1 hect´ometro = 102m
mili m 10−3 1 mil´ımetro = 10−3m kilo k 103 1 kil´ometro = 103m
micro µ 10−6 1 micra o micr´ometro = 10−6m mega M 106 1 meg´ametro = 106m
nano n 10−9 1 nan´ometro = 10−9m giga G 109 1 gig´ametro = 109m
pico p 10−12 1 pic´ometro = 10−12m tera T 1012 1 ter´ametro = 1012m
femto f 10−15 1 femt´ometro = 10−15m penta P 1015 1 pent´ametro = 1015m
atto a 10−18 1 att´ometro = 10−18m exa E 1018 1 ex´ametro = 1018m
Ejemplo 1.14 ¿Cuanto valdr´ıa un mega-amperio? 106A
Ejemplo 1.15 ¿Y un femto-mol? 10−15mol
Ejemplo 1.16 ¿Podr´ıa expresar en micras un femt´ometro? 1f m= 10−15m= 10−9·10−6m= 10−9µ
Ejemplo 1.17 ¿Y un cent´ımetro? 1c m= 10−2m= 104·10−6m = 104µ
Ejemplo 1.18 ¿Cuantos gramos son un giga-kilogramo? 1G Kg = 109Kg = 109 ·103g = 1012g
Ejemplo 1.19 ¿Es esto ´ultimo un tera-gramo? No, pues los prefijos anteriores son v´alidos para el Sistema Internacional, que no se expresa en gramos (´estos pertenecen al sistema CGS o cegesimal; cent´ımetro, gramo, segundo).
1.8.
Letras Griegas
Poco hay que decir de ellas, salvo que si no se conoce las 24 letras griegas, esta es una excelente oportunidad para estudiarlas; como podemos ver, cada letra utiliza tres columnas; una primera que es la letra en min´uscula, una segunda que se corresponde a la letra en may´uscula, y una tercera en la que se escribe en caracteres latinos qu´e letra es, con una pronunciaci´on fon´etica id´entica o muy similar, y entre par´entesis, a qu´e letra latina se corresponder´ıa17.
Alfabeto griego
α A alpha (A) η H eta (E larga) ν N nu (N) τ T tau (T)
β B beta (B) θ, ϑ Θ theta (Z) ξ Ξ xi (X) υ Υ upsilon (U)
γ Γ gamma (G) ι I iota (I) o O omicron (O) φ, ϕ Φ phi (F)
δ ∆ delta (D) κ K kappa (K) π, $ Π pi (P) χ X chi (J)
, ε E epsilon (E breve) λ Λ lambda (L) ρ, % P rho (R) ψ Ψ psi (P)
ζ Z zeta (DS) µ M mu (M) σ, ς Σ sigma (S) ω Ω omega (O larga)
16No obstante, por extensi´on se han ampliado para poder describir cantidades relacionadas con otros campos, tal es el caso de la
inform´atica, donde la unidad de medida de informaci´on es elbit, y sus m´ultiplos usuales son elkilo-byte(1000 bytes), elmegaomega-byte (106bytes), elgigaogiga-byte(109bytes), y elteraotera-byte(1012bytes).
17Por supuesto, si bien en algunos casos est´a claro (α≡a), en otros con pinzas. Por cierto, algo que me llama mucho la atenci´on es la
1.9.
Contenidos puramente did´
acticos o de ampliaci´
on
1.9.1. Formas de obtener el n´umero π y una aproximaci´on milenaria
La idea de este punto es dar algunos ejemplos de formas de obtener, mediante aproximaciones (por supuesto), diferentes cifras de uno de los n´umeros trascendentes m´as famosos,π. La idea de dar estas f´ormulas no es que el alumno se las aprenda, sino que aprecie la complejidad y belleza de las matem´aticas.
F´ormula de Vi`ete: π= 2
s 1 2· v u u t1 2+ 1 2 s 1 2· v u u u t1 2+ 1 2 v u u t1 2+ 1 2 s 1 2· v u u u u t1 2+ v u u u t1 2+ 1 2 v u u t1 2+ 1 2 s 1 2· · ·
F´ormula de Wallis: π 2 =
2·2·4·4·6·6·8·8· · · ·
1·3·3·5·5·7·7·9· · · ·
F´ormula de Leibniz: π
4 = 1 1− 1 3+ 1 5− 1 7+ 1 9− 1 11+· · ·
F´ormula de Newton: π
24 = √ 3 32 + 2 3 1 23 −
1 2 2 5
1 25 −
1 2·4
2 7
1 27− · · ·
F´ormula de Lord Bruckner: π= 1
1 + 1
2
2 + 3
2
2 + 5
2
2 + 7
2
2 + 9
2
2 +· · ·
Primera serie de Reynolds: π
4 = 1 1− 1 3+ 1 5− 1 7+ 1 9− 1 11+· · ·
Segunda serie de Reynolds: π 2 8 = 1 1 2 + 1 3 2 + 1 5 2 + 1 7 2 + 1 9 2 +· · ·
Tercera serie de Reynolds: π 3
32 = 1
3− 1 3 3 + 1 5 3 − 1 7 2 + 1 9 2 +· · ·
por Series de Fourier: π 2
12 = 1 12 −
1 22 +
1 32 −
1 42 +
1 52 −
1 62 +· · ·
por Series de Fourier: π 4
96 = 1 14 +
1 34 +
1 54 +
1 74 +
1 94 +
1 114 +· · ·
por Series de Fourier: π 4
90 = 1 14 +
1 24 +
1 34 +
1 44 +
1 54 +· · ·
por Series de Fourier: π 6
945= 1 16 +
1 26 +
1 36 +
1 46 +
1 56 +· · ·
Ya que estamos hablando del maravilloso n´umero π, y para ir concluyendo el tema, vamos a dar una tabla con sus primeras 6498 cifras decimales18, en las que se puede ver que no existe ninguna regularidad. Podremos encontrar estructuras curiosas como los 999999 de la octava fila, pero aunque calculemos todas sus cifras, podremos encontrar n´umeros que nos sean familiares, quiz´as fechas de cumplea˜nos (por ejemplo el 23/07/81 de la primera fila) o aniversarios, pero no hallaremos nada que se repita, y por esoπ es un n´umero irracional.
18Por cierto, esas cifras se han calculado en un santiam´en con el apa˜nad´ısimo programa inform´atico-matem´atico MAPLE v10, mediante
Las primeras 6698 cifras decimales de
π
1.9.2. Irracionales algebraicos y trascendentes
Dentro de los n´umeros irracionales, que como es sabido se caracterizan por no poder ser escritos en forma de fracci´on entera, lo que se traduce en que tienen infinitas cifras que en su totalidad no siguen ning´un patr´on, se distinguen dos grandes familias de n´umeros:
irracionales algebraicos; son aquellos que a pesar de que tienen infinitas cifras no peri´odicas, hay una expresi´on sencilla que nos dice c´omo calcular el n´umero, como le pasa a
√ 2,
√ 3,
√ 5, √5
2,
7
√ 9,
√
2
3
√
5, etc. Si se quieren calcular todas las cifras, se empiezan a calcular las diversas ra´ıces y
se sigue hasta que uno se canse.
irracionales trascendentes; son aquellos que adem´as de tener infinitas cifras no peri´odicas, tam-poco tienen una expresi´on o funci´on sencilla que los represente, sino que si queremos calcular algunas de sus cifras debemos de partir de un proceso de tipo infinito que ser´a truncado en alg´un momento para calcular una aproximaci´on del n´umero; por ejemploπ, que puede calcularse por la primera serie de Reynonds como: π4 = 11−1
3+ 1 5−
1 7+
1 9−
1
11+· · ·. Dependiendo del momento
en que nos cansemos, y dejemos de sumar y restar tendremos una aproximaci´on u otra.
1.9.3. Los n´umeros irracionales de tipo cebra.
Hemos19visto que los n´umeros irracionales, como√2 ´oπ, se caracterizan por tener infinitas cifras
decimales que no se repiten nunca, lo que no quiere decir que las primeras no tengan cierta regularidad.
Por ejemplo, consideremos el n´umero 30000 (1000· · · ·ceros)00014159265358979323846264338327· · ·, cuyas
mil primeras cifras son cero, y a continuaci´on todas las cifras decimales de π. Dicho n´umero es irracional, ya que verifica tener infinitas cifras decimales que no se repiten nunca, en definitiva no es exacto ni peri´odico, aunque tiene cierta periodicidad al principio de todo, justo tras la coma decimal, mil ceros. Pero claro est´a, este curioso n´umero lo hemos dise˜nado nosotros, por lo que extra extra˜na mezcla de periodicidad a nuestro gusto e irracionalidad natural no tiene demasiado m´erito.
Por ejemplo, podr´ıamos considerar el llamado n´umero de Champernowne, n´umero irracional que se construye concatenando los sucesivos n´umeros enteros:
00123456789101112131415161718192021212324252627282930· · ·
O por ejemplo, tambi´en podemos considerar la llamada constante de de Copeland-Erd¨os, n´umero irracional que se construye concatenando los sucesivos n´umeros primos:
002357111317192329313741434753596167717379838997101103107· · ·
Estos n´umeros irracionales son curiosos, pero han sido constru´ıdos por nosotros, y cualquiera puede construir un n´umero tan raro como le de la gana, as´ı que no tienen demasiado m´erito.
Imaginemos que es posible encontrar una f´ormula que genere n´umeros irracionales de modo que ´estos tengan tambi´en al principio una parte m´as o menos peri´odica, incluso muy larga, y a contin-uaci´on la parte irracional. A este tipo de n´umeros irracionales que poseen una primera parte en la que se alternan expresiones peri´odicas y expresiones irracionales, para a partir de una cifra lejana acabar siendo irracionales, y muy importante, que no los dise˜namos nosotros, sino que proceden de alguna funci´on, se les llama irracionales de tipo cebra.
La citada f´ormula que genera n´umeros cebra es (y por ello todos estos n´umeros cebra son irra-cionales de tipo algebraico):
f(n) = s
9 121100
n
+ 112−44n 121
Para cada n generamos un n´umero cebra, algunos m´as vistosos que otros. Y as´ı por ejemplo, para n = 30 se obtiene el n´umero cebra que comienza con las siguientes cifras (las distintas l´ıneas de bloques regulares y no regulares ser´ıan las diversas bandas claras y oscuras de la cebra):
19Este interesant´ısimo apartado est´a recogido del cap´ıtulo 33 del genial libro‘las matem´aticas de Oz’, de Clifford A. Pickover. Uno de
2727272727272727272727272727270 2727272727272727272727272727
08
969696969696969696969696969696969696969696969696969696969 08
280134
680134 680134 680134 680134 680134 680134 680134 680134
676012928095772540216984661429105873550 3179947624392068836509823265737207465602
· · · ·
Como vemos, en las primeras cifras hay una serie de patrones que se repiten; 27, 63 o 99, para a continuaci´on, tras el ´ultimo 680134, empezar una parte ya no peri´odica, no en vano, nuestro n´umero es irracional.
Y as´ı por ejemplo, veamos las primeras 1850 cifras del n´umero irracional cebra que se obtiene para n = 50; si agrupamos las mismas, vemos que su escritura es as´ı mismo impresionantemente bella, ya que parece componerse de la fusi´on de una figura triangular de la parte no peri´odica (la base del tri´angulo abajo), con otra triangular de la parte peri´odica (la base arriba):
2727272727272727272727272727272727272727272727272702727272727272727272727272727272727272727272727
2695
636363636363636363636363636363636363636363636363636363636363636363636363636363636363636363636363 4528
7272727272727272727272727272727272727272727272727272727272727272727272727272727272727272727272 514423
2727272727272727272727272727272727272727272727272727272727272727272727272727272727272727272 69640955
636363636363636363636363636363636363636363636363636363636363636363636363636363636363636363 58624184680
727272727272727272727272727272727272727272727272727272727272727272727272727272727272727 1855153588991
9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999 841025139936255
99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999 70033238877984255
999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999 420642618307695615
9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999 8857507243302775754751
9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999 771085996749028887588491
63636363636363636363636363636363636363636363636363636363636363636363636363 17166820976416500544100165
81818181818181818181818181818181818181818181818181818181818181818181818 08644838195915185020757004660
363636363636363636363636363636363636363636363636363636363636363636363 43881190808421714426113535627
63636363636363636363636363636363636363636363636363636363636363636363 595114835498893630630815971481413
81818181818181818181818181818181818181818181818181818181818181818 09509257800006022203765421640330891
636363636363636363636363636363636363636363636363636363636363636 1801862040305017188728048226764324863
9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999 609862660571533655469498256225213087743
999999999999999999999999999999999999999999999999999999 999999999999999999999999999999999999999999999999999999
· · · ·
