Solución de Ecuaciones Simultáneas por el Método de Matrices

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Soluci´

on de Ecuaciones Simult´

aneas por

el M´

etodo de Matrices

Universidad de San Carlos de Guatemala

Facultad de Ciencias Qu´ımicas y Farmacia Matem´atica IV

(2)

´

_Indice

1. Matrices 1

1.1. Resoluci´on de Sistemas de Ecuaciones . . . 2

1.1.1. Operaciones de Rengl´on . . . 2

1.1.2. M´etodo de Gauss-Jordan . . . 3

1.2. Matrices Singulares . . . 4

2. El Programa 5 2.1. Funciones con Listas . . . 5

2.2. Resoluci´on . . . 6

2.3. Interfaz e Interacci´on con el Usuario . . . 6

2.4. Conclusiones . . . 6

3. Bibliograf´ıa 6 3.1. Libros . . . 6

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1 MATRICES

1. Matrices

Cuando se trata de las ciencias exactas, son muchas las ocaciones en que nos encontramos con sistemas de ecuaciones. Sea para balancear una reacción qu´ımica o para determinar la masa de un cuerpo estático en un sistema, calcular el ángulo entre dos objetos rotando alrededor de uno, etc. Sea cual sea el caso, siempre se reduce a un sistema de ecuaciones que en muchos casos represen-tamos por matrices.

Y qu´e es una matriz? Una matriz es un arreglo de dos dimensiones en el que se han ordenado las variables de un sistema de ecuaciones en columnas y en donde cada ecuaci´on individual es representada por una fila. Para poder representar esto de mejor forma, tomemos un ejemplo.

Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones

x−y= 1

y+x= 3 (1)

Para obtener una matriz de este sistema, es necesario ordenar primero las ecuaciones de tal forma en que las variables que sean iguales puedan encontrarse en columnas. Entonces, el sistema toma la forma siguiente

x−y= 1

x+y= 3 (2)

Ahora, ya teniendo un sistema ordenado, se procede a mostrar los coeficientes de cada una de las variables de la siguiente forma

1·x + (−1)·y = 1

1·x + 1·y = 3 (3)

Aprovechando la forma del sistema y su similitud a vectores en R2

, se toma a los coeficientes como vectores y la ecuaci´on se puede reescribir como una ecuaci´on vectorial

x 1 1 +y −1 1 = 1 3 (4) Por último, se hará la convención de que x y y quedarán impl´ıcitos en la primera y segunda columna y que el signo = utilizado en las ecuaciones, será sustitu´ıdo por una barra. Después de todo esto, el sistema de ecuaciones terminará como un arreglo al que se le llamará matriz.

1 −1 1 1 1 3 (5) Generalizando ya, un sistema de ecuaciones como el siguiente

a11x1 +a12x2+. . . +a1nxn=b1 a21x1 +a22x2+. . . +a2nxn=b2

...

am1x1+am2x2+. . . +amnxn =bm

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Se puede representar por una matriz

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     a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n .. . ... . .. ... am1 am2 . . . amn b1 b2 .. . bm      (7)

1.1. Resoluci´

on de Sistemas de Ecuaciones

Ya dispuestas las ecuaciones en forma de matriz, se procede a resolver el sistema con el fin de saber el valor de cada variable. Para esto existen varios métodos anal´ıticos. Uno de ellos es el método de Cramer, que utiliza determinantes. Otro método es el de Gauss (publicado en 1809), aunque este requiere muchos cáculos posteriores a la resolución de la matriz. El método perfeccionado por Wilhelm Jordan (publicado en 1887) nos provee de una solución indmediatamente al terminar las operaciones en la matriz. Se procederá ahora a explicar las operaciones de renglón que permiten el uso de estos métodos para resolver el sistema de ecuaciones.

1.1.1. Operaciones de Rengl´on

Para los métodos de Gauss y Gauss-Jordan, se busca que la matriz adopte una forma trian-gular (forma de renglón escalonado) o de forma reducida de renglón escalonado solo realizando operaciones de renglón. Estas operaciones son:

Suma

Multiplicaci´on por un Escalar Intercambio de Renglones

Consideremos un ejemplo de cada una. Sea M una matriz de m filas y n columnas y c un

escalar. M =   a1,1 a1,2 a1,3 a2,1 a2,2 a2,3 a3,1 a3,2 a3,3   (8) Suma

La suma de renglones se define de la siguiente forma: Se dice que a un rengl´on fi se le suma otro

si cada uno de los elementos del rengl´on fi se le suman los elementos de un rengl´on fj. Si a M

decimos que sumamos los elementos def1 a f2 entonces el resultado de ver´a de la forma siguiente:

  a1,1 a1,2 a1,3 a2,1 a2,2 a2,3 a3,1 a3,2 a3,3   f2:f2+f1 −→   a1,1 a1,2 a1,3 a2,1+a1,1 a2,2+a1,2 a2,3+a1,3 a3,1 a3,2 a3,3   (9)

Multiplicaci´on por un Escalar

La multiplicación de un renglón por un escalar es lo mismo que multiplicar ambos lados de una ecuación del sistema por un escalar también. Esta operación se lleva a cabo de la siguiente forma:

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1.1 Resoluci´on de Sistemas de Ecuaciones 1 MATRICES   a1,1 a1,2 a1,3 a2,1 a2,2 a2,3 a3,1 a3,2 a3,3   f2:c·f2 −→   a1,1 a1,2 a1,3 c·a2,1 c·a2,2 c·a2,3 a3,1 a3,2 a3,3   (10) Intercambio de Renglones

Esta es probablemente la operación más sencilla de todas. Esta consta de un intercambio de renglones. La finalidad de esta operación es obvia en el caso de encontrar matrices que parezcan singulares. Más adelante se detallará esto. Por ahora, esta operación se lleva a cabo de la siguiente forma:   a1,1 a1,2 a1,3 a2,1 a2,2 a2,3 a3,1 a3,2 a3,3   f1↔f2 −→   a2,1 a2,2 a2,3 a1,1 a1,2 a1,3 a3,1 a3,2 a3,3   (11) 1.1.2. Método de Gauss-Jordan

A continuación se describirá el método de Gauss-Jordan, ya que este es el utilizado por el programa adjunto. El objetivo del método de Gauss-Jordan es de dejar la matriz con todos sus coeficientes iguales a cero excepto los de la diagonal principal. Estos se busca que sean 1 para que cada uno dé el valor de cada variable buscada. El algoritmo para una matriz de 3×4 se puede

resumir as´ı:

1. Convertir aa1,1 en 1.

2. Convertir a todos los elementos debajo dea1,1 en 0 por medio de a1,1.

4. Convertir a todos los elementos debajo dea2,2 en 0 por medio de a2,2.

6. Convertir a todos los elementos enima de a3,3 en 0 por medio de a3,3.

7. Convertir a todos los elementos enima de a2,2 en 0 por medio de a2,2.

Para fines didácticos se trabajará únicamente con un sistema de 3 ecuaciones y 3 incógnitas. Queda al lector el trabajo de extrapolar este método para cualquier matriz dem×n.

Comencemos pues con las 3 ecuaciones.

3x+ 5y−2z =−5 (12) 7x−3y+z 2 = 9 (13) −11x+ y 2 + 6z = 13 (14) 3

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Esto se conviernte entonces en una matriz A de 3×4 de la forma A=   3 5 −2 7 −3 12 −11 12 6 −5 9 13   (15)

Procedamos a llevarla a la forma reducida de rengl´on escalonado siguiendo los 7 pasos del algoritmo antes visto.

f1:1 3·f1 −→   1 5 3 − 2 3 7 −3 12 −11 12 6 −53 9 13   (16) f2:f2−7·f1 f3:f2+11_·f1 −→   1 5/3 −2/3 0 −44/3 31/6 0 113/6 −4/3 −5/3 62/3 −16/3   (17) f2:₋3 44·f2 −→   1 5/3 −2/3 0 1 −31/88 0 113/6 −4/3 −5/3 −31/22 −16/3   (18) f3:f3₋113 6 ·f2 −→   1 5/3 −2/3 0 1 −31/88 0 0 933/176 −5/3 −31/22 933/44   (19) f3:176 933·f3 −→   1 5/3 −2/3 0 1 −31/88 0 0 1 −5/3 −31/22 4   (20) f2:f2+31 88·f3 f1:f1+2 3·f3 −→   1 5/3 0 0 1 0 0 0 1 1 0 4   (21) f1:f1−53·f2 −→   1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 4   (22)

De la ecuación 22 entendemos nosotros que x = 1, y = 0 y que z = 4 ya que los demás coe-ficientes se han vuelto 0. Nótese que el método de Gauss sigue el mismo procedimiento hasta el paso 5, por lo que la solución del sistema por medio del método de Gauss hubiera terminado en la ecuación 20.

1.2. Matrices Singulares

Existe un caso en el algoritmo anterior falla. Este caso es cuando la matriz analizada es singu-lar o aparenta serlo. En este caso pueden haber dos opciones: una en donde, con un intercambio de renglones, el problema se puede arreglar (Matriz No Singular) y uno donde no (Matriz Singular).

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2 EL PROGRAMA

Un ejemplo en donde una matriz que parece singular se arregla es este:

  2 2 4 5 5 8 3 6 9  −→   1 1 2 0 0 −2 0 3 3   (23)

En este caso, con una simple operaci´on de rengl´on (intercambio de renglones) el sistema de ecuaciones se puede seguir resolviendo.

−→   1 1 2 0 3 3 0 0 −2   −→   1 1 2 0 1 1 0 0 1   (24)

En el caso de una matriz singular, la resoluci´on del sistema de ecuaciones ya no se puede continuar. Veamos un ejemplo de este caso.

  2 2 4 5 5 8 3 3 9  −→   1 1 2 0 0 −2 0 0 3   (25)

2. El Programa

El programa para resolver sistemas de ecuaciones utiliza un algoritmo basado en el descrito en la sección anterior. Este fue esrito en el lenguaje de programción Python. Se puede interpretar en cualquier plataforma y no tiene l´ımites para el tamaño de la matriz ingresada más que el tamaño de la memoria de trabajo del ordenador donde se esté ejecutando el programa. Otra ventaja de este lenguaje y este programa es que se puede agregar como rutina a otro tipo de programas ya sea de forma expl´ıcita, de manera que el usuario vea la rutina funcionar, o impl´ıcita, en donde la rutina es utilizada por el programa y el usuario nunca la ve.

A continuación se describirá brevemente la estructura general del programa, la forma de resol-ver los sistemas de ecuaciones y la forma en que este interactúa con el usuario.

2.1. Funciones con Listas

El lenguaje de programación utilizado no permite la creación de un arreglo como lo es una ma-triz. Es por ello que dentro del programa, la matriz está definida como un arreglo unidimensional de varios arreglos unidimensionales de varias variables llamados listas.

En la ausencia de operaciones entre listas, se tuvo que definir funciones o métodos para cada operación de renglón. Como se describió en la sección anterior, las operaciones sonsuma, multi-plicación por un escalareintercambio de renglones. Las dos primeras están definidas dentro del programa. La última operación está definida como una función que además de intercambiar

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renglones, busca los adecuados para no caer en un problema de matrices singulares.

2.2. Resoluci´

on

La forma en que el programa resuelve la matriz es exactamente igual al algritmo descrito en la sección anterior. La única diferencia apreciable es que en el programa, el algoritmo de resolución es una función basada en otras funciones. EL programa solo hace uso de esta una vez, ingresando la matriz original y obteniendo una matriz completamente resuelta si esta no es singular.

Es justo en este punto en el programa que este puede ser utilizado como rutina en otros pro-gramas. Lo dem´as en el programa es para la interfaz e interacci´on con el usuario.

2.3. Interfaz e Interacci´

on con el Usuario

La interfaz con el usuario se decidió hacer en l´ınea de comando, ya que el programa puede tra-bajar con matrices de dimensiones muy grandes. El problema con tener una matriz de dimensiones muy grandes es que es un poco dif´ıcil representarla con una interfaz gráfica. Además, una interfaz gráfica limitar´ıa al programa si este corriera como rutina.

Por último, vale la pena mencionar que dentro del programa se incluyó algunas funciones para programación defensiva. El programa no le permite al usuario cometer errores al ingresar los datos de la matriz. Esto evita errores en la interpretación del programa por parte del ordenador donde se esté trabajando.

2.4. Conclusiones

En conclusión, esta solo fue una idea general sobre el programa para resolver matrices utilizando el método de Gauss-Jordan. Para más información se recomienda leer la documentación interna del código fuente del programa.

3. Bibliograf´ıa

3.1. Libros

Grossman S. 1984. Elementary Linear Algebra. 2 ed. Wadsworth

Poole D. 2004. Algebra Lineal: Una Introducci´´ on Moderna. Thomson

3.2. Herramientas

TexMaker: Free LA_{TEX Editor}_{. Version 1.7. 2008.}

http://www.xm1math.net/texmaker/

Python: Interactive, High-Level Object-Oriented Language. Version 2.5.2.