´
Algebra
Araceli Guzm´
an y Guillermo Garro
Facultad de Ciencias UNAM
Semestre 2018-1
Referencias
1. David C. Lay,Algebra lineal y sus aplicaciones. 2012. Bajar´ aqu´ı.
2. Stanley I. Grossman,Algebra lineal. 2012. Bajar´ aqu´ı.
3. Carmen G´omez Laveaga,Algebra superior. 2014. Bajar´ aqu´ı.
Otras referencias
1. Hugo A. Rinc´on. Algebra lineal. 2015. Bajar´ aqu´ı.
2. S. H. Friedberg, A. J. Insel, L. E. Spence. 1979. Linear algebra. Bajaraqu´ı.
3. Steven Roman. Advanced Linear Algebra, 2008. Bajaraqu´ı.
Software
1. Octave.
¿Cu´
anto importan las ecuaciones lineales?
Leontief, galardonado en 1973 con el Premio Nobel de Econom´ıa, abri´o la puerta a una nueva era en la elaboraci´on de modelos matem´aticos en econom´ıa. Sus esfuerzos en Harvard, en 1949, representaron uno de los primeros usos significativos de las computadoras para analizar lo que, en esa ´epoca, era un modelo matem´atico de gran escala. Desde entonces, investigadores en muchos otros campos han empleado computadoras para analizar modelos matem´aticos. Debido a las enormes cantidades de datos implicados, los modelos, por lo regular, son lineales; es decir, se describen mediante sistemas de ecuaciones lineales.
La importancia del ´algebra lineal para diversas aplicaciones ha crecido en proporci´on directa al incremento de la capacidad de las computadoras, y cada nueva generaci´on de hardware y software dispara la demanda de capacidades aun mayores. Por ello, la ciencia de la com-putaci´on est´a fuertemente vinculada con el ´algebra lineal a trav´es del explosivo crecimiento de los procesamientos en paralelo y el c´alculo a gran escala.
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Algebra´¿Qu´
e son los sistemas de ecuaciones lineales?
Unaecuaci´on linealen las varaiblesx1, ..., xnes una ecuaci´on que puede escribirse en la forma
a1x1+a2x2+· · ·+anxn=b,
dondeby los coeficientesa1, ..., anson n´umeros reales o complejos.
Unsistema de ecuaciones linealeses una sucesion finita de ecuaciones lineales que implican las mismas variables (o inc´ognitas):
(I)
a11x1+a12x2 +· · ·+a1nxn =b1
a21x1+a22x2 +· · ·+a2nxn =b2
. . . . . . . . . am1x1+am2x2+· · ·+amnxn=bm
Decimos que(I)es unsistema demecuaciones conninc´ognitas.
Una soluci´on del sistema (I) es un vector (s1, ..., sn) ∈ Rn tal que satisface simult´aneamente cada una de las ecuaciones del sistema(I), esto es,
ai1s1+· · ·+ainsn=bi, ∀1≤i≤m.
Un sistema con al menos una soluci´on ser´acosistente. En caso contrario ser´ainconsistente.
Sia1, ..., anson n´umeros reales, entonces unacombinaci´on linealde los n´umeros
a1, ..., anes una expresi´on de la forma
a1x1+a2x2+· · ·+anxn
dondex1, ..., xnson tambi´en n´umeros reales.
En general, sia1, ...,anson vectores deRm(o de un espacio vectorial arbitrario),
entonces unacombinaci´on linealde los vectoresa1, ...,anes una expresi´on de la
forma
a1x1+a2x2+· · ·+anxn
dondex1, ..., xnson tambi´en n´umeros reales.
¿Qu´
e son los sistemas de ecuaciones lineales?
Unaecuaci´on linealen las varaiblesx1, ..., xnes una ecuaci´on que puede escribirse en la forma
a1x1+a2x2+· · ·+anxn=b,
dondeby los coeficientesa1, ..., anson n´umeros reales o complejos.
Unsistema de ecuaciones linealeses una sucesion finita de ecuaciones lineales que implican las mismas variables (o inc´ognitas):
(I)
a11x1+a12x2 +· · ·+a1nxn =b1
a21x1+a22x2 +· · ·+a2nxn =b2
. . . . . . . . . am1x1+am2x2+· · ·+amnxn=bm
Decimos que(I)es unsistema demecuaciones conninc´ognitas.
Una soluci´on del sistema (I) es un vector (s1, ..., sn) ∈ Rn tal que satisface simult´aneamente cada una de las ecuaciones del sistema(I), esto es,
ai1s1+· · ·+ainsn=bi, ∀1≤i≤m.
Un sistema con al menos una soluci´on ser´acosistente. En caso contrario ser´ainconsistente.
Combinaciones Lineales
Sia1, ..., anson n´umeros reales, entonces unacombinaci´on linealde los n´umeros
a1, ..., anes una expresi´on de la forma
a1x1+a2x2+· · ·+anxn
dondex1, ..., xnson tambi´en n´umeros reales.
En general, sia1, ...,anson vectores deRm(o de un espacio vectorial arbitrario),
entonces unacombinaci´on linealde los vectoresa1, ...,anes una expresi´on de la
forma
a1x1+a2x2+· · ·+anxn
dondex1, ..., xnson tambi´en n´umeros reales.
Ejemplo: Una trivialidad (sustituci´
on hacia atr´
as)
x−y− z= 2 (1)
y+ 3z= 5 (2)
5z= 10 (3)
Soluci´
on.
De la ecuaci´on(3)despejamoszpara obtener
z= 2.
Sustituimosz= 2en(2), para despu´es despejary,
y+ 3(2) = 5 y= 5−6
y=−1.
Sustituimosy=−1yz= 2en(1)para luego despejarx,
x−(−1)−2 = 2
x= 2 + 1
x= 3.
Ejemplo: Algunas veces es f´
acil
No es necesario implementar m´etodos generales para resolver ciertos casos particulares. Por ejemplo, sea el sistema
3x + 2z= 10 (1)
2x+ y = 0 (2)
−x+ 5y+ z= 5 (3)
De la ecuaci´on(1)despejamosz, y de(2)despejamosy:
z= 5−3
2x y y=−2x.
Sustituimos en(3)y resolvemos la ecuaci´on enx,
−x+ 5(−2x) + 5−3
2x= 5
−25
2x= 0 x= 0.
De dondez= 5yy= 0.
Ejemplo: Puede haber
muchas
soluciones
Sea el sistema
x+ 3y+ 2z= 2 (1)
x+ 4y+ z= 2 (2)
2x+ 5y+ 5z= 4 (3)
De las ecuaciones(1)y(2),
x+ 4y+z=x+ 3y+ 2z 4y−3y= 2z−z
y=z.
Sustituyendoy=zen(1)y despejandoxen t´erminos dez,
x= 2−5z.
La ecuaci´on(3)se cumple inmediatamente:
2(2−5z) + 5z+ 5z= 4−10z+ 10z= 4.
As´ı que todas las soluciones del sistema son de la forma
Ejemplo: Quiz´
a no hay soluciones
Sea el sistema
2y+ 3z= 4 (1)
2x−6y+ 7z= 15 (2)
x−2y+ 5z= 10 (3)
Una idea que parece prometedora, es depejarxde las ecuaciones(2) y(3), para obtener la igualdad
15 2 + 3y−
7
2z= 10 + 2y−5z, de donde
y+3 2z=
5 2, o equivalentemente
2y+ 3z= 5.
Pero esta igualdad entra en conflicto con la ecuaci´on(1).
Existencia y unicidad de las soluciones
Los ejemplos anteriores muestran fehacientemente que en todo sistema de ecuaciones lineales puede suceder que
(1) Hay una sola soluci´on,
(2) Hay una infinidad (no numerable) de soluciones, (3) No tiene soluci´on.
La pregunta es si estos son los ´unicos casos posibles.
Es decir, nos interesa saber si hay sistemas que tengan m´as de una soluci´on, pero “menos” que una infinidad no numerable.
Observe que este es el ´unico caso posible a dem´as de los ya se˜nalados.
M´as adelante vamos a dar respuesta a esta pregunta afirmando que solo los tres casos se˜nalados son los ´unicos.
Una observaci´
on meticulosa
Se ha mostrado que el sistema
2y+ 3z= 4 (1)
2x−6y+ 7z= 15 (2)
x−2y+ 5z= 10 (3)
no tiene soluci´on.
Debe haber en ´este algo distintivo.
Si s´olo tomamos en cuenta las combinaciones lineales que forman las ecuaciones del sistema, es decir, si s´olo nos fijamos en las expresiones
2y+ 3z (1’)
2x−6y+ 7z (2’)
x−2y+ 5z (3’)
Veremos que(10)se obtiene de restar(20)de
dos veces(30):
2x−4y+ 10z
−2x+ 6y− 7z
2y+ 3z
No obstante, si replicamos estas mismas operaciones pero con las ecuaciones del sis-tema, es decir, si restamos la ecuaci´on(2) a dos veces la ecuaci´on(3)entramos en conflicto con la ecuaci´on(1):
2x−4y+ 10z= 20
−2x+ 6y− 7z=−15
2y+ 3z= 5
Una observaci´
on meticulosa
Por otro lado, tamb´en se ha mostrado que el sistema
x+ 3y+ 2z= 2 (1)
x+ 4y+ z= 2 (2)
2x+ 5y+ 5z= 4 (3)
tiene una infinidad de soluciones, de hecho, son de la forma
(2−5t, t, t) t∈R.
¿Qu´e tiene de especial este sistema?
Quiz´a es menos evidente, pero la ecuaci´on(3) se obtiene de restar la ecuaci´on (2) de tres
veces la ecuaci´on(1):
3x+ 9y+ 6z= 6
−x−4y− z=−2
2x+ 5y+ 5z= 4
As´ı que en realidad es suficiente estudiar las soluciones del sistema de2 ecuaci´ones con3 inc´onitas
x+ 3y+ 2z= 2 (1)
x+ 4y+ z= 2 (2)
Una observaci´
on meticulosa
En cuanto al sistema
3x + 2z= 10 (1)
2x+ y = 0 (2)
−x+ 5y+ z= 5 (3)
Hemos probado que tiene una ´unica soluci´on, a saber,(0,0,5).
Si solo consideramos las combinaciones lin-eales
3x + 2z (1’)
2x+ y (2’)
−x+ 5y+ z (3’)
Veremos que ninguna de ellas puede obtenerse a partir de combinaciones lineales de las otras.
Por ejemplo, supongamos que −x+ 5y+z se obtiene de sumarα veces(10)con β ve-ces(20), conαyβn´umeros reales. Es decir, supongamos que
−x+ 5y+z= (3α+ 2β)x+βy+ 2αz.
Deber´ıa cumplirse las igualdades entre coefi-cientes
−1 = 3α+ 2β, 5 =β, 1 = 2α.
No existencia de soluciones
Ya deber´ıamos intuir al menos este criterio de no existencia.
Teorema
Dado un sistema demecuaciones conninc´ognitas
(I)
a11x1+a12x2 +· · ·+a1nxn =b1
a21x1+a22x2 +· · ·+a2nxn =b2
. . . . . . . . . am1x1+am2x2+· · ·+amnxn=bm
supongamos que para ag´un1≤i≤mexisten escalaresβ1, ..., βi−1, βi+1, ..., βmtales
que para todo1≤j≤n
aij=β1a1j+· · ·+βi−1ai−1,j+βi+1ai+1,j+· · ·+βmamj.
Esto es, los coeficientes de cada inc´ognitaxjde lai-´esima ecuaci´on, se obtienen como
combinaciones lineales de los coeficientes dexjde las restantes ecuaciones.
Entonces el sistema(I)no tiene soluci´on si
Ejemplo
Sea el sistema
x1−2x2− x3+ 3x4= 0 (1)
−2x1+ 4x2+ 5x3−5x4= 3 (2)
3x1−6x2−6x3+ 8x4= 2 (3)
Es claro que los coeficientes de la ecuaci´on(1)se obtienen de sumar los coeficientes de las ecuaciones(2)y(3). No obstante,
3 + 2 = 56= 0.
As´ı que el sistema es incosistente.
En la pr´actica, como ya hemos visto en una de las revisiones de uno de los ejemplos anteriores, esto se argumenta haciendo directamente la suma de las ecuaciones(2)y(3), y se˜nalando que la ecuaci´on resultante entra en conflicto con la ecuaci´on(1):
−2x1+ 4x2+ 5x3−5x4= 3
3x1−6x2−6x3+ 8x4= 2
x1−2x2− x3+ 3x4= 5
Ejemplo: Aveces hay siempre hay soluci´
on no trivial, de hecho, una infinidad
Sea el sistema
x1−2x2− x3+ 3x4= 0 (1) −2x1+ 4x2+ 5x3−5x4= 0 (2)
3x1−6x2−6x3+ 8x4= 0 (3)
Es evidente que la primera ecuaci´on es el resultado de sumar la segunda y tercera ecuaci´on.
As´ı que s´olo tenemos que tratar las ecuaciones(2)y(3). De ´estas despejamosx1para obtener la igualdad
2x2+5 2x3−
5
2x4= 2x2+ 2x3− 8 3x4. De donde
x4=−3x3.
Sustituimosx4 en la ecuaci´on(2)para obtener
x3= 1 10x1−
1
5x2 y x4=− 3 10x1+
3 5x2.
Por lo tanto, todas las soluciones del sistema son de la forma
x1, x2, 1 10x1−
1 5x2,−
3 10x1+
3 5x2
Ejemplo: Aveces hay siempre hay soluci´
on no trivial, de hecho, una infinidad
Sea el sistema
x1−2x2− x3+ 3x4= 0 (1) −2x1+ 4x2+ 5x3−5x4= 0 (2)
3x1−6x2−6x3+ 8x4= 0 (3)
Esto es, las soluciones del sistema tienen unaparametrizaci´onde la forma
x1, x2, 1 10x1−
1 5x2,−
3 10x1+
3 5x2
, x1∈R, x2∈R.
Eligiendo entonces unareparametrizaci´on
x1= 10s y x2= 5t, s∈R, t∈R,
las soluciones del sistema tienen la forma
(10s,5t, s−t,3(t−s)), s∈R, t∈R.
Sistemas homog´
eneos
Decimos que un sistema de ecuaciones eshomog´eneosi es de la forma
(I)
a11x1+a12x2 +· · ·+a1nxn= 0
a21x1+a22x2 +· · ·+a2nxn= 0
. . . . . . . . . am1x1+am2x2+· · ·+amnxn= 0
Teorema
Un sistema homog´eneo tiene siempre soluci´on trivial (el vector nulo).
Demostraci´on.
Obvio.
Teorema
Prueba de un caso particular
No daremos una prueba, m´as bien probaremos el siguiente caso particular.
Proposici´on
Cualquier sistema homog´eneo de2ecuaciones y3inc´onitas
(I)
a11x1+a12x2+a13x3= 0
a21x1+a22x2+a23x3= 0
tiene un n´umero infinito de soluciones.
Demostraci´on.
Si todos los coeficientes de la primera ecuaci´on son nulos, entonces las soluciones son todos los puntos del espacioR3, o bien los puntos de un plano enR3. En cualquier caso se cumple
la conclusi´on de la proposici´on.
Prueba de un caso particular
No daremos una prueba, m´as bien probaremos el siguiente caso particular.
Proposici´on
Cualquier sistema de2ecuaciones y3inc´onitas
(I)
a11x1+a12x2+a13x3= 0
a21x1+a22x2+a23x3= 0
tiene un n´umero infinito de soluciones.
Demostraci´on.
De la primera ecuaci´on despejamosx1,
x1=−a12
a11x2− a13 a11x3
Sustituimosx1 en la segunda ecuaci´on, para obtener,
a22−a21a12
a11
x2+
a23−a21a23
a11
Prueba de un caso particular
No daremos una prueba, m´as bien probaremos el siguiente caso particular.
Proposici´on
Cualquier sistema de2ecuaciones y3inc´onitas
(I)
a11x1+a12x2+a13x3= 0
a21x1+a22x2+a23x3= 0
tiene un n´umero infinito de soluciones.
Demostraci´on.
La ecuaci´on
a22−a21a12
a11
x2+
a23−a21a23
a11
x3= 0
tiene por representacion geom´etrica todo el plano R2 (si ambos coeficientes dex2 yx3 son
Prueba de un caso particular
No daremos una prueba, m´as bien probaremos el siguiente caso particular.
Proposici´on
Cualquier sistema de2ecuaciones y3inc´onitas
(I)
a11x1+a12x2+a13x3= 0
a21x1+a22x2+a23x3= 0
tiene un n´umero infinito de soluciones.
Demostraci´on.
Para cualesquiera paresx2 yx3 de tales n´umeros basta elegir
x1=−a12
a11x2− a13 a11x3
Sistemas homog´
eneos asociados
Dado un sistema de ecuaciones lineales demecuaciones conninc´ognitas
(I)
a11x1+a12x2 +· · ·+a1nxn =b1
a21x1+a22x2 +· · ·+a2nxn =b2
. . . . . . . . .
am1x1+am2x2+· · ·+amnxn=bm
definimos elsistema de ecuaciones lineales homog´eneo asociadoa(I)es el sistema
(H)
a11x1+a12x2 +· · ·+a1nxn= 0
a21x1+a22x2 +· · ·+a2nxn= 0
Sistemas homog´
eneos asociados
Teorema
Si x0 = (x1, ..., xn) es una soluci´on de un sistema dem ecuaciones lineales con n
inc´ognitas dado, entonces todas las soluciones de tal sistema son de la forma
x0+c= (x1+c1, x2+c2, ..., xn+cn),
dondec= (c1, ..., cn)es soluci´on del sistema homog´eneo asociado.
Demostraci´on.
Para toda1≤i≤m,
ai1x1+ai2x2+· · ·+ainxn=bi y ai1c1+ai2c2+· · ·+aincn= 0,
y por lo tanto,
ai1(x1+c1) +ai2(x2+c2) +· · ·+ain(xn+cn) =bi.
Sistemas homog´
eneos asociados
Teorema
Si x0 = (x1, ..., xn) es una soluci´on de un sistema dem ecuaciones lineales con n
inc´ognitas dado, entonces todas las soluciones de tal sistema son de la forma
x0+c= (x1+c1, x2+c2, ..., xn+cn),
dondec= (c1, ..., cn)es soluci´on del sistema homog´eneo asociado.
Demostraci´on.
Ahora supongamos que
x00= (x 0 1, x
0 2, ..., x
0
n)
es cualquier otra soluci´on del sistema. Entonces definimos
cj=x0j−xj, ∀1≤j≤n.
Se tiene que
ai1c1+ai2c2+· · ·+aincn=ai1(x10 −x1) +ai2(x02−x2) +· · ·+ain(x0n−xn)
=ai1x01+ai2x02+· · ·+ainx0n−(ai1x1+ai2x2+· · ·+ainxn)
Sistemas homog´
eneos asociados
Teorema
Si x0 = (x1, ..., xn) es una soluci´on de un sistema dem ecuaciones lineales con n
inc´ognitas dado, entonces todas las soluciones de tal sistema son de la forma
x0+c= (x1+c1, x2+c2, ..., xn+cn),
dondec= (c1, ..., cn)es soluci´on del sistema homog´eneo asociado.
Demostraci´on.
Esto es, el vector
c= (x01−x1, x 0
2−x2, ..., x 0
n−xn)
es soluci´on del sistema homog´eneo.
Y obervamos adem´as
Ejemplo
Recordemos que las soluciones del sistema
(I)
x+ 3y+ 2z= 2 (1)
x+ 4y+ z= 2 (2)
2x+ 5y+ 5z= 4 (3)
son de la forma
(2−5t, t, t), t∈R.
Pero de hecho, el vector(2,0,0)es una soluci´on del sistema(I), mientras que las soluciones del sistema homog´eneo asociado son de la forma
(−5t, t, t), ∀t∈R.
Se cumple entonces que todas las soluciones del sistema(I)son de la forma
Ejemplo
Recordemos que el sistema
3x + 2z= 10
2x+ y = 0
−x+ 5y+ z= 5
tiene una ´unica soluci´on dada por
x= (0,0,5). El sistema homog´eneo asociado
3x + 2z= 0 (1)
2x+ y = 0 (2)
−x+ 5y+ z= 5 (3)
tambi´en tiene soluci´on ´unica, la trivial(0,0,0). En efecto, de(1) y(2) despejamosz y y, respectivamente
z=−3
2x y y=−2x, sustituitmos en(3), para obtener
25 2x= 0.
Consecuencias importantes
El teorema siguiente tiene una demostraci´on casi obvia.
Teorema
Sic= (c1, c2, ..., cn)es una soluci´on del sistema homog´eneo asociado a un sistema de
mecuaciones lineales de ninc´ognitas, entonces λc = (λc1, λc2, ..., λcn),λ ∈ R, es tambi´en soluci´on del sistema homog´eneo asociado.
Pero como consecuencia resuleve una de las interrogantes que hab´ıamos planteado anterior-mente
Corolario
En cualquier sistema demecuaciones demecuaciones conninc´ognitas, sucede una y s´olo una de las siguientes:
(1) Hay una sola soluci´on,
Sistemas equivalentes
Sean los sistemas
(I)
a11x1+a12x2 +· · ·+a1nxn =b1
a21x1+a22x2 +· · ·+a2nxn =b2
. .
. ... ... am1x1+am2x2+· · ·+amnxn=bm
(II)
a011x1+a012x2 +· · ·+ a01n0xn0 =b01
a021x1+a022x2 +· · ·+ a02n0xn0 =b02
. . . . . . . . . a0m01x1+a0m02x2+· · ·+a0m0n0xn0=b0m0
Decimos que(I)y(II)sonequivalentessi tienen las mismas soluciones. O m´as apropiada-mente, si tienen el mismoconjuntosoluci´on. Observe que si(I)y(II)son equivalentes entonces n=n0(el n´umero de inc´ognitas es el mismo).
Teorema
Operaciones elementales
Las tres operaciones b´asicas son las siguientes
Operaciones elementales para ecuaciones
I. Reemplazode una ecuaci´on por la suma de la mismo y un m´ultiplo de otra.
II. Intercambiode una ecuaci´on por otra.
III. Escalamientode una ecuaci´on por un escalar no nulo.
Teorema
Si en un sistema se aplica cualquiera de las operaciones elementales, entonces el sistema resultante es equivalente al sistema original.
Corolario
Ejemplo
No daremos la prueba para no enredarnos con una notaci´on engorrosa. Vamos a estudiar en lugar de ello un caso muy simple.
Sea el sistema
(I1)
x+y= 3 x−y= 1
Es pr´acticamente evidente que la soluci´on ´unica de este sistema es el vector(2,1).
El mismo vector es soluci´on ´unica del sistema
(I2)
x−y= 1 x+y= 3
Ejemplo
No daremos la prueba para no enredarnos con una notaci´on engorrosa. Vamos a estudiar en lugar de ello un caso muy simple.
Sea el sistema
(I1)
x+y= 3 x−y= 1
Es pr´acticamente evidente que la soluci´on ´unica de este sistema es el vector(2,1).
Ahora, sices cualquier escalar no nulo, entonces(2,1)sigue siendo soluci´on de los sistemas
(I3)
cx+cy= 3c
x− y= 1 y (I4)
x+ y= 3 cx−cy=c
Ejemplo
No daremos la prueba para no enredarnos con una notaci´on engorrosa. Vamos a estudiar en lugar de ello un caso muy simple.
Sea el sistema
(I1)
x+y= 3 x−y= 1
Es pr´acticamente evidente que la soluci´on ´unica de este sistema es el vector(2,1).
Por ´ultimo, es tambi´en f´acil ver que(2,1)es soluci´on de los sistemas
(I5)
(1 +c)x+ (1−c)y= 3 +c
x− y= 1 y (I6)
x+ y= 3
(1 +c)x+ (−1 +c)y= 1 + 3c
Matriz de coeficientes y matriz aumentada
Dado el sistema
(I)
a11x1+a12x2 +· · ·+a1nxn =b1
a21x1+a22x2 +· · ·+a2nxn =b2
. . . . . . . . .
am1x1+am2x2+· · ·+amnxn=bm
lamatriz de coeficientesde(I)es elarreglorectangular de losmncoeficientes
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
. . . . . . . .. ... am1 am2 · · · amn
Lamatriz aumentadade(I)es el arreglo dem(n+ 1)
a11 a12 · · · a1n b1
a21 a22 · · · a2n b2
. . . . . . . .. ... . . . am1 am2 · · · amn bm
Matrices de
m
×
n
En general, unamatrizAdemrenglones yncolumnas (detama˜nom×n), es un arreglo de mnn´umeros
A=
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
. . . . . . . .. ... am1 am2 · · · amn
Con la finalidad de simplificar muchas de las pruebas, se usa tambi´en la notaci´on abreviada
A= (aij)m×n o bien A= (aij)1≤i≤m,1≤j≤n.
A veces decimos que los n´umerosaijson lasentradasocomponentesde la matrizA. El ´ındice
irepresenta el rengl´on yjla columna.
Sin=m, es decir, el n´umero de renglones es igual al n´umero de columnas, entonces decimos queAes unamatriz cuadrada de tama˜non. Podemos escribir abreviadamenteA= (aij)n.
Dos matrices A= (aij)m×n y B= (bij)m0×n0 son igualessi y s´olo sim = m0,n= n0,
es decir AyBtienen el mismo n´umero de renglones y columnas (son del mismo tama˜no), y aij=bijpara todas1≤i≤my1≤j≤n(es decir, dos matrices son iguales si son iguales
Notaci´
on matricial. M´
etodo general para determinar soluciones
Sea el sistema
x1−2x2+ x3= 0
2x2−8x3= 8
−4x1+ 5x2+ 9x3=−9
Matriz de coeficientes y matriz aumentada
Las matrices asociadas a este sistema son
1 −2 1
0 2 −8
4 5 9
!
y
1 −2 1 0
0 2 −8 8
4 5 9 9
!
,
Eliminaci´
on Gaussiana
La idea es transformar el sistema de ecuaciones original a unoequivalentepero que tenga forma escalonada, mediante operaciones elementales. Para ello partimos de la matriz aumentada:
Vamos a mantener el coeficiente de x1 en la pimera ecuaci´on y vamos a usarlo para eliminar (hacer cero) los coeficientes dex1 en las restantes ecuaciones.
Eliminaci´
on Gaussiana
Escribimos el resultado de esta operaci´on en el lugar de la ecuaci´on (3) original.
Ahora, para simplificar los c´alculos siguientes, vamos a multiplicar la ecuaci´on (2) por 12, para obtener un nuevo coeficiente parax2:
Eliminaci´
on Gaussiana
El nuevo sistema tiene ahora una formaescalonada:
Esto es suficiente para encontrar la soluci´on del sistema, tal y como se hizo en el primer ejemplo:
Sustituimosx3= 3en la segunda ecuaci´on para obtener
x2= 16.
Seguidamente, sustituimosx2= 16yx3= 3en la primera ecuaci´on para obtener
x1= 29.
Eliminaci´
on de Gauss-Jordan
No obstante, para algunos sistemas de ecuaciones grandes, conviene continuar reduciendo las ecuaciones hasta llevar el sistema a una formaescalonada reducida.
Eliminaci´
on de Gauss-Jordan
Combinamos estos dos resultados para obtener el nuevo sistema
Eliminaci´
on de Gauss-Jordan
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Algebra´Operaciones elementales
El ejemplo precedente muestra c´omo ciertas ecuaciones sobre las ecuaciones de un sistema de ecuaciones lineales corresponden a las mismas operaciones sobre los renglones de la matriz aumentada.
Las tres operaciones b´asicas por rengl´on son las siguientes
Operaciones elementales por rengl´
on para ecuaciones y matrices
I. Reemplazo. Reemplazo de una ecuaci´on (rengl´on) por la suma del mismo y un m´ultiplo de otro.
II. Intercambio. Intercambiar una ecuaci´on (rengl´on) por otra.
III. Escalamiento. Multiplicar una ecuaci´on (rengl´on) por un escalar no nulo.
Diremos que dos sistemas de ecuaciones (matrices) sonequivalentes (por rengl´on)si podemos transformar una en la otra mediante la aplicaci´on sucesiva de operaciones elementales.
Operaciones elementales
El ejemplo precedente muestra c´omo ciertas ecuaciones sobre las ecuaciones de un sistema de ecuaciones lineales corresponden a las mismas operaciones sobre los renglones de la matriz aumentada.
Las tres operaciones b´asicas por rengl´on son las siguientes
Operaciones elementales por rengl´
on para ecuaciones y matrices
I. Reemplazo. Reemplazo de una ecuaci´on (rengl´on) por la suma del mismo y un m´ultiplo de otro.
II. Intercambio. Intercambiar una ecuaci´on (rengl´on) por otra.
III. Escalamiento. Multiplicar una ecuaci´on (rengl´on) por un escalar no nulo.
Diremos que dos sistemas de ecuaciones (matrices) sonequivalentes (por rengl´on)si podemos transformar una en la otra mediante la aplicaci´on sucesiva de operaciones elementales.
Observaci´
on
Ejemplo: Consistencia
Sea el sistema
La matriz aumentada al sistema es
Intercambiamos los renglones 1 y 2,
Multiplicamos por−5
2 el rengl´on 1 y sumamos al tercer rengl´on
Multiplicamos por −1
2 el segundo rengl´on y sumamos al tercero
Resulta el sistema equivalente
Formas escalonadas
Una matriz est´a formaescalonada(por renglones) si tiene las siguientes propiedades
1. Todas las filas diferrentes de cero est´an arriba de cualquier fila con puros ceros
2. Cada entrada principal de una fila est´a en columna a la deracha de la entrada principal de una fila superior.
3. Todas las entradas de una columna que est´en debajo de una entrada principal son cero.
Si una matriz cumple adem´as las siguientes propiedades, entonces est´a en formaescalonada reducida(por renglones):
4. La entrada principal de cada fila diferente de cero es1.
5. Cada1principal es la ´unica entrada diferente de cero en su columna.
Ejemplo
Sea el sistema
Ejemplo
Sea el sistema
En otras palabras, hemos demostrado la equivalencia de las matrices
y
Se sigue que la soluci´on ´unica del sistema es
Ejemplo
Sea el sistema
Nuevamente, vamos a llegar a la forma escalonada reducida de la matriz aumentada
El sistema es equivalente al sistema Cuyas soluciones son de la forma
x1= 1 +x3, x2= 4−2x3, x3∈R
Formas escalonadas
Teorema : Unicidad de la Forma EscalonadanReducida
Toda matriz es equivalente a una ´unica matriz escalonada reducida
Teorema : Existencia y unicidad de las soluciones de un sistema
Un sistema de ecuaciones lineales es consistente (tiene soluci´on) si y s´olo si, la forma escalonada reducida de la matriz aumentadanotiene un rengl´on de la forma
(0 0 0 · · · 0 b), conb6= 0.
Un caso importante
Teorema
Si en un sistema de ecuaciones de tama˜nom×nse tiene quem < n, es decir, hay m´as inc´ognitas que ecuaciones, entonces el sistema tiene una infinidad de soluciones
Ejemplo
Sea el sistema
Un caso importante
Teorema
Si en un sistema de ecuaciones de tama˜no m×nse tiene quem < n, es decir, hay m´as inc´ognitas que ecuaciones, entonces el sistema tiene una infinidad (no numerable) de soluciones.
Ejemplo
Sea el sistema
Este sistema es equivalente al sistema
x1 + 19x3+ 7x4= −2
x2− 8x3− 2x4= 2 o bien
x1 =−2−13x3−7x4 x2 = 2 + 8x3+ 2x4
Uso de software: Octave
El programaOctave cuenta con la funci´on rref (reduced row echelon form), para calcular la forma escal´on reducida de (casi) cualquier matriz. Por ejemplo, sea
A=
0 3 −6 6 4 −5
3 −7 8 −5 8 9
3 −9 12 −9 6 15
!
El c´odigo para conocer la forma escalonada reducida es como sigue:
o c t a v e :1 > A =[0 3 -6 6 4 -5;3 -7 8 -5 8 9;3 -9 12 -9 6 15] A =
0 3 -6 6 4 -5 3 -7 8 -5 8 9 3 -9 12 -9 6 15
o c t a v e :2 > rA =r r e f( A ) rA =
1 . 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 - 2 . 0 0 0 0 0 3 . 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 - 2 4 . 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 1 . 0 0 0 0 0 - 2 . 0 0 0 0 0 2 . 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 - 7 . 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 1 . 0 0 0 0 0 4 . 0 0 0 0 0
Uso de software: Octave
Podemos usar esta funci´on para resolver sis-temas de acuerdo al m´etodo que ya hemos analizado. Sea el sistema
3x + 2z= 10 (1)
2x+ y = 0 (2)
−x+ 5y+ z= 5 (3)
Consideramos las matrices
A=
3 0 2
2 1 0
−1 5 1
!
, b= 10 0 5
!
, B=3 0 2 10
2 1 0 0
−1 5 1 5
!
Las matricesAyBson las matrices de coefi-cientes y aumentada, respectivamente.
o c t a v e :1 > A =[3 0 2;2 1 0; -1 5 1] A =
3 0 2 2 1 0 -1 5 1
o c t a v e :2 > b = [ 1 0 ; 0 ; 5 ] b =
10 0 5
o c t a v e :3 > B =[ A , b ] B =
3 0 2 10 2 1 0 0 -1 5 1 5
o c t a v e :4 > rB =r r e f( B ) rB =
1 . 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 - 0 . 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 1 . 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 - 0 . 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 1 . 0 0 0 0 0 5 . 0 0 0 0 0
Uso de software: Octave
Podemos saber con certeza si un sistema tiene o no soluci´on. Sea el sistema
2y+ 3z= 4 (1)
2x−6y+ 7z= 15 (2)
x−2y+ 5z= 10 (3)
Y sean las matrices
A=
0 2 3
2 −6 7 1 −2 5
!
, b= 4 15 10
!
, B=0 2 3 4
2 −6 7 15 1 −2 5 10
!
Las matricesAyBson las matrices de coefi-cientes y aumentada, respectivamente (como antes).
o c t a v e :1 > A =[0 2 3;2 -6 7;1 -2 5] A =
0 2 3 2 -6 7 1 -2 5
o c t a v e :2 > b = [ 4 ; 1 0 ; 1 5 ] b =
4 10 15
o c t a v e :3 > B =[ A , b ] B =
0 2 3 4 2 -6 7 10 1 -2 5 15
o c t a v e :4 > rB =r r e f( B ) rB =
1 . 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 8 . 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 1 . 0 0 0 0 0 1 . 5 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 1 . 0 0 0 0 0
Uso de software: Octave
¿Y qu´e pasa si el sistema tiene muchas solu-ciones?. Sea el sistema
x+ 3y+ 2z= 2 (1)
x+ 4y+ z= 2 (2)
2x+ 5y+ 5z= 4 (3)
Tecleamos directamente el c´odigo
o c t a v e :1 > A =[1 3 2;1 4 1;2 5 5] A =
1 3 2 1 4 1 2 5 5
o c t a v e :2 > b = [ 2 ; 2 ; 4 ] b =
2 2 4
o c t a v e :3 > B =[ A , b ] B =
1 3 2 2 1 4 1 2 2 5 5 4
o c t a v e :4 > rB =r r e f( B ) rB =
1 0 5 2 0 1 -1 0 0 0 0 0
