Sistemas de Ecuaciones Lineales

´

Algebra

Araceli Guzm´

an y Guillermo Garro

Facultad de Ciencias UNAM

Semestre 2018-1

Referencias

1. David C. Lay,Algebra lineal y sus aplicaciones. 2012. Bajar´ aqu´ı.

2. Stanley I. Grossman,Algebra lineal. 2012. Bajar´ aqu´ı.

3. Carmen G´omez Laveaga,Algebra superior. 2014. Bajar´ aqu´ı.

Otras referencias

1. Hugo A. Rinc´on. Algebra lineal. 2015. Bajar´ aqu´ı.

2. S. H. Friedberg, A. J. Insel, L. E. Spence. 1979. Linear algebra. Bajaraqu´ı.

3. Steven Roman. Advanced Linear Algebra, 2008. Bajaraqu´ı.

Software

1. Octave.

¿Cu´

anto importan las ecuaciones lineales?

Leontief, galardonado en 1973 con el Premio Nobel de Econom´ıa, abri´o la puerta a una nueva era en la elaboraci´on de modelos matem´aticos en econom´ıa. Sus esfuerzos en Harvard, en 1949, representaron uno de los primeros usos significativos de las computadoras para analizar lo que, en esa ´epoca, era un modelo matem´atico de gran escala. Desde entonces, investigadores en muchos otros campos han empleado computadoras para analizar modelos matem´aticos. Debido a las enormes cantidades de datos implicados, los modelos, por lo regular, son lineales; es decir, se describen mediante sistemas de ecuaciones lineales.

La importancia del ´algebra lineal para diversas aplicaciones ha crecido en proporci´on directa al incremento de la capacidad de las computadoras, y cada nueva generaci´on de hardware y software dispara la demanda de capacidades aun mayores. Por ello, la ciencia de la com-putaci´on est´a fuertemente vinculada con el ´algebra lineal a trav´es del explosivo crecimiento de los procesamientos en paralelo y el c´alculo a gran escala.

Sistemas de Ecuaciones Lineales

¿Qu´

e son los sistemas de ecuaciones lineales?

Unaecuaci´on linealen las variablesx1, ..., xnes una ecuaci´on que puede escribirse en la forma

a1x1+a2x2+· · ·+anxn=b, dondeby los coeficientesa1, ..., anson n´umeros reales o complejos.

Un sistema de ecuaciones linealeses una colecci´on finita de ecuaciones lineales que implican las mismas variables (o inc´ognitas):

(I)











a11x1+a12x2 +· · ·+a1nxn =b1 a21x1+a22x2 +· · ·+a2nxn =b2

. . . . . . . . . am1x1+am2x2+· · ·+amnxn=bm Decimos que(I)es unsistema demecuaciones conninc´ognitas.

Una soluci´on del sistema (I) es un vector (s1, ..., sn) ∈ Rn tal que satisface simult´aneamente cada una de las ecuaciones del sistema(I), esto es,

ai1s1+· · ·+ainsn=bi, ∀1≤i≤m.

Un sistema con al menos una soluci´on ser´acosistente. En caso contrario ser´ainconsistente.

Sia1, ..., anson n´umeros reales, entonces unacombinaci´on linealde los n´umeros a1, ..., anes una expresi´on de la forma

a1x1+a2x2+· · ·+anxn dondex1, ..., xnson tambi´en n´umeros reales.

En general, sia1, ...,anson vectores deRm(o de un espacio vectorial arbitrario),

entonces unacombinaci´on linealde los vectoresa1, ...,anes una expresi´on de la forma

a1x1+a2x2+· · ·+anxn dondex1, ..., xnson tambi´en n´umeros reales.

¿Qu´

e son los sistemas de ecuaciones lineales?

Unaecuaci´on linealen las variablesx1, ..., xnes una ecuaci´on que puede escribirse en la forma

a1x1+a2x2+· · ·+anxn=b, dondeby los coeficientesa1, ..., anson n´umeros reales o complejos.

Un sistema de ecuaciones linealeses una colecci´on finita de ecuaciones lineales que implican las mismas variables (o inc´ognitas):

(I)











a11x1+a12x2 +· · ·+a1nxn =b1 a21x1+a22x2 +· · ·+a2nxn =b2

. . . . . . . . . am1x1+am2x2+· · ·+amnxn=bm Decimos que(I)es unsistema demecuaciones conninc´ognitas.

Una soluci´on del sistema (I) es un vector (s1, ..., sn) ∈ Rn tal que satisface simult´aneamente cada una de las ecuaciones del sistema(I), esto es,

ai1s1+· · ·+ainsn=bi, ∀1≤i≤m.

Un sistema con al menos una soluci´on ser´acosistente. En caso contrario ser´ainconsistente.

Combinaciones Lineales

Sia1, ..., anson n´umeros reales, entonces unacombinaci´on linealde los n´umeros a1, ..., anes una expresi´on de la forma

a1x1+a2x2+· · ·+anxn dondex1, ..., xnson tambi´en n´umeros reales.

En general, sia1, ...,anson vectores deRm(o de un espacio vectorial arbitrario),

entonces unacombinaci´on linealde los vectoresa1, ...,anes una expresi´on de la forma

a1x1+a2x2+· · ·+anxn dondex1, ..., xnson tambi´en n´umeros reales.

Ejemplo: Una trivialidad (sustituci´

on hacia atr´

as)

x−y− z= 2 (1)

y+ 3z= 5 (2)

5z= 10 (3)

Soluci´

on.

De la ecuaci´on(3)despejamoszpara obtener z= 2. Sustituimosz= 2en(2), para despu´es despejary,

y+ 3(2) = 5

y= 5−6

y=−1. Sustituimosy=−1yz= 2en(1)para luego despejarx,

x−(−1)−2 = 2

x= 2 + 1

Ejemplo: Algunas veces es f´

acil

No es necesario implementar m´etodos generales para resolver ciertos casos particulares. Por ejemplo, sea el sistema

3x + 2z= 10 (1)

2x+ y = 0 (2) −x+ 5y+ z= 5 (3)

De la ecuaci´on(1)despejamosz, y de(2)despejamosy:

z= 5−3

2x y y=−2x.

Sustituimos en(3)y resolvemos la ecuaci´on enx,

−x+ 5(−2x) + 5−3

2x= 5

−25

2x= 0

x= 0. De dondez= 5yy= 0.

Ejemplo: Puede haber

muchas

soluciones

Sea el sistema

x+ 3y+ 2z= 2 (1)

x+ 4y+ z= 2 (2)

2x+ 5y+ 5z= 4 (3)

De las ecuaciones(1)y(2),

x+ 4y+z=x+ 3y+ 2z

4y−3y= 2z−z y=z.

Sustituyendoy=zen(1)y despejandoxen t´erminos dez, x= 2−5z. La ecuaci´on(3)se cumple inmediatamente:

2(2−5z) + 5z+ 5z= 4−10z+ 10z= 4. As´ı que todas las soluciones del sistema son de la forma

Ejemplo: Quiz´

a no hay soluciones

Sea el sistema

2y+ 3z= 4 (1)

2x−6y+ 7z= 15 (2)

x−2y+ 5z= 10 (3)

Una idea que parece prometedora, es depejarxde las ecuaciones(2) y(3), para obtener la igualdad

15 2 + 3y−

7

2z= 10 + 2y−5z,

de donde

y+3 2z=

5 2,

o equivalentemente

2y+ 3z= 5. Pero esta igualdad entra en conflicto con la ecuaci´on(1).

Existencia y unicidad de las soluciones

Los ejemplos anteriores muestran fehacientemente que en todo sistema de ecuaciones lineales puede suceder que

(1) Hay una sola soluci´on,

(2) Hay una infinidad (no numerable) de soluciones,

(3) No tiene soluci´on.

La pregunta es si estos son los ´unicos casos posibles.

Es decir, nos interesa saber si hay sistemas que tengan m´as de una soluci´on, pero “menos” que una infinidad no numerable.

Observe que este es el ´unico caso posible adem´as de los ya se˜nalados.

M´as adelante vamos a dar respuesta a esta pregunta afirmando que solo los tres casos se˜nalados son los ´unicos.

Una observaci´

on meticulosa

Se ha mostrado que el sistema

2y+ 3z= 4 (1)

2x−6y+ 7z= 15 (2)

x−2y+ 5z= 10 (3)

no tiene soluci´on.

Debe haber en ´este algo distintivo.

Si s´olo tomamos en cuenta las combinaciones lineales que forman las ecuaciones del sistema, es decir, si s´olo nos fijamos en las expresiones

2y+ 3z (1’)

2x−6y+ 7z (2’)

x−2y+ 5z (3’)

Veremos que(10_{)se obtiene de restar(2}0_)de

dos veces(30):

2x−4y+ 10z

−2x+ 6y− 7z

2y+ 3z

No obstante, si replicamos estas mismas operaciones pero con las ecuaciones del sis-tema, es decir, si restamos la ecuaci´on(2) a dos veces la ecuaci´on(3)entramos en conflicto con la ecuaci´on(1):

2x−4y+ 10z= 20

−2x+ 6y− 7z=−15 2y+ 3z= 5

Una observaci´

on meticulosa

Por otro lado, tamb´en se ha mostrado que el sistema

x+ 3y+ 2z= 2 (1)

x+ 4y+ z= 2 (2)

2x+ 5y+ 5z= 4 (3)

tiene una infinidad de soluciones, de hecho, son de la forma

(2−5t, t, t), t∈R.

¿Qu´e tiene de especial este sistema?

Quiz´a es menos evidente, pero la ecuaci´on(3)

se obtiene de restar la ecuaci´on (2) de tres

veces la ecuaci´on(1):

3x+ 9y+ 6z= 6

−x−4y− z=−2 2x+ 5y+ 5z= 4

As´ı que en realidad es suficiente estudiar las soluciones del sistema de2 ecuaci´ones con3

inc´ognitas

x+ 3y+ 2z= 2 (1)

x+ 4y+ z= 2 (2)

Una observaci´

on meticulosa

En cuanto al sistema

3x + 2z= 10 (1)

2x+ y = 0 (2) −x+ 5y+ z= 5 (3)

Hemos probado que tiene una ´unica soluci´on, a saber,(0,0,5).

Si solo consideramos las combinaciones lin-eales

3x + 2z (1’)

2x+ y (2’)

−x+ 5y+ z (3’)

Veremos que ninguna de ellas puede obtenerse a partir de combinaciones lineales de las otras.

Por ejemplo, supongamos que −x+ 5y+z se obtiene de sumarα veces(10_{)con β} ve-ces(20), conαyβn´umeros reales. Es decir, supongamos que

−x+ 5y+z= (3α+ 2β)x+βy+ 2αz.

Deber´ıa cumplirse las igualdades entre coefi-cientes

−1 = 3α+ 2β, 5 =β, 1 = 2α.

No existencia de soluciones

Ya deber´ıamos intuir al menos este criterio de no existencia.

Teorema

Dado un sistema demecuaciones conninc´ognitas

(I)















a11x1+a12x2 +· · ·+a1nxn =b1 a21x1+a22x2 +· · ·+a2nxn =b2

. . . . . . . . . am1x1+am2x2+· · ·+amnxn=bm

supongamos que para ag´un1≤i≤mexisten escalaresβ1, ..., βi−1, βi+1, ..., βmtales que para todo1≤j≤n

aij=β1a1j+· · ·+βi−1ai−1,j+βi+1ai+1,j+· · ·+βmamj.

Esto es, los coeficientes de cada inc´ognitaxjde lai-´esima ecuaci´on, se obtienen como combinaciones lineales de los coeficientes dexjde las restantes ecuaciones.

Entonces el sistema(I)no tiene soluci´on si

Ejemplo

Sea el sistema

x1−2x2− x3+ 3x4= 0 (1)

−2x1+ 4x2+ 5x3−5x4= 3 (2)

3x1−6x2−6x3+ 8x4= 2 (3)

Es claro que los coeficientes de la ecuaci´on(1)se obtienen de sumar los coeficientes de las ecuaciones(2)y(3). No obstante,

3 + 2 = 56= 0. As´ı que el sistema es incosistente.

En la pr´actica, como ya hemos visto en una de las revisiones de uno de los ejemplos anteriores, esto se argumenta haciendo directamente la suma de las ecuaciones(2)y(3), y se˜nalando que la ecuaci´on resultante entra en conflicto con la ecuaci´on(1):

−2x1+ 4x2+ 5x3−5x4= 3

3x1−6x2−6x3+ 8x4= 2 x1−2x2− x3+ 3x4= 5

Ejemplo: A veces hay soluci´

on no trivial, de hecho, una infinidad

Sea el sistema

x1−2x2− x3+ 3x4= 0 (1)

−2x1+ 4x2+ 5x3−5x4= 0 (2)

3x1−6x2−6x3+ 8x4= 0 (3)

Es evidente que la primera ecuaci´on es el resultado de sumar la segunda y tercera ecuaci´on.

As´ı que s´olo tenemos que tratar las ecuaciones(2)y(3). De ´estas despejamosx1para obtener la igualdad

2x2+

5 2x3−

5

2x4= 2x2+ 2x3− 8 3x4.

De donde

x4=−3x3. Sustituimosx4 en la ecuaci´on(2)para obtener

x3=

1 10x1−

1

5x2 y x4=− 3 10x1+

3 5x2.

Por lo tanto, todas las soluciones del sistema son de la forma

x1, x2,

1 10x1−

1 5x2,−

3 10x1+

3 5x2

Ejemplo: A veces hay siempre hay soluci´

on no trivial, de hecho, una infinidad

Sea el sistema

x1−2x2− x3+ 3x4= 0 (1)

−2x1+ 4x2+ 5x3−5x4= 0 (2)

3x1−6x2−6x3+ 8x4= 0 (3)

Esto es, las soluciones del sistema tienen unaparametrizaci´onde la forma

x1, x2,

1 10x1−

1 5x2,−

3 10x1+

3 5x2

, x1∈R, x2∈R.

Eligiendo entonces unareparametrizaci´on

x1= 10s y x2= 5t, s∈R, t∈R,

las soluciones del sistema tienen la forma

Sistemas homog´

eneos

Decimos que un sistema de ecuaciones eshomog´eneosi es de la forma

(I)











a11x1+a12x2 +· · ·+a1nxn= 0 a21x1+a22x2 +· · ·+a2nxn= 0

. . . . . . . . . am1x1+am2x2+· · ·+amnxn= 0

Teorema

Un sistema homog´eneo tiene siempre soluci´on trivial (el vector nulo).

Demostraci´on.

Obvio.

Teorema

Prueba de un caso particular

No daremos una prueba, m´as bien probaremos el siguiente caso particular.

Proposici´on

Cualquier sistema homog´eneo de2ecuaciones y3inc´ognitas

(I)

a11x1+a12x2+a13x3= 0

a21x1+a22x2+a23x3= 0

tiene un n´umero infinito de soluciones.

Demostraci´on.

Si todos los coeficientes de la primera ecuaci´on son nulos, entonces las soluciones son todos los puntos del espacioR3, o bien los puntos de un plano enR3. En cualquier caso se cumple

la conclusi´on de la proposici´on.

Prueba de un caso particular

No daremos una prueba, m´as bien probaremos el siguiente caso particular.

Proposici´on

Cualquier sistema de2ecuaciones y3inc´ognitas

(I)

a11x1+a12x2+a13x3= 0

a21x1+a22x2+a23x3= 0

tiene un n´umero infinito de soluciones.

Demostraci´on.

De la primera ecuaci´on despejamosx1,

x1=− a12 a11

x2− a13 a11

x3

Sustituimosx1 en la segunda ecuaci´on para obtener,

a22− a21a12

a11

x2+

a23− a21a23

a11

Prueba de un caso particular

No daremos una prueba, m´as bien probaremos el siguiente caso particular.

Proposici´on

Cualquier sistema de2ecuaciones y3inc´ognitas

(I)

a11x1+a12x2+a13x3= 0

a21x1+a22x2+a23x3= 0

tiene un n´umero infinito de soluciones.

Demostraci´on.

La ecuaci´on

a22− a21a12

a11

x2+

a23− a21a23

a11

x3= 0

Prueba de un caso particular

No daremos una prueba, m´as bien probaremos el siguiente caso particular.

Proposici´on

Cualquier sistema de2ecuaciones y3inc´ognitas

(I)

a11x1+a12x2+a13x3= 0

a21x1+a22x2+a23x3= 0

tiene un n´umero infinito de soluciones.

Demostraci´on.

Para cualesquiera paresx2 yx3 de tales n´umeros basta elegir

x1=− a12 a11

x2− a13 a11

x3

para obtener una tripleta (x1, x2, x3)no trival por cierto que resuelve el sistema homog´eneo

Sistemas homog´

eneos asociados

Dado un sistema de ecuaciones lineales demecuaciones conninc´ognitas

(I)



















a11x1+a12x2 +· · ·+a1nxn =b1 a21x1+a22x2 +· · ·+a2nxn =b2

. . . . . . . . .

am1x1+am2x2+· · ·+amnxn=bm

definimos elsistema de ecuaciones lineales homog´eneo asociadoa(I)como el sistema

(H)



















a11x1+a12x2 +· · ·+a1nxn= 0 a21x1+a22x2 +· · ·+a2nxn= 0

. . . . . . . . . am1x1+am2x2+· · ·+amnxn= 0

Sistemas homog´

eneos asociados

Teorema

Si x0 = (x1, ..., xn) es una soluci´on de un sistema dem ecuaciones lineales con n inc´ognitas dado, entonces todas las soluciones de tal sistema son de la forma

x0+c= (x1+c1, x2+c2, ..., xn+cn), dondec= (c1, ..., cn)es soluci´on del sistema homog´eneo asociado.

Demostraci´on.

Para toda1≤i≤m,

ai1x1+ai2x2+· · ·+ainxn=bi y ai1c1+ai2c2+· · ·+aincn= 0, y por lo tanto,

Sistemas homog´

eneos asociados

Teorema

Si x0 = (x1, ..., xn) es una soluci´on de un sistema dem ecuaciones lineales con n inc´ognitas dado, entonces todas las soluciones de tal sistema son de la forma

x0+c= (x1+c1, x2+c2, ..., xn+cn), dondec= (c1, ..., cn)es soluci´on del sistema homog´eneo asociado.

Demostraci´on.

Ahora supongamos que

x00= (x 0 1, x

0 2, ..., x

0 n)

es cualquier otra soluci´on del sistema inhomog´eneo. Entonces definimos

cj=x0_j−xj, ∀1≤j≤n. Se tiene que

ai1c1+ai2c2+· · ·+aincn=ai1(x01−x1) +ai2(x02−x2) +· · ·+ain(x0n−xn)

=ai1x01+ai2x02+· · ·+ainxn0 −(ai1x1+ai2x2+· · ·+ainxn)

Sistemas homog´

eneos asociados

Teorema

Si x0 = (x1, ..., xn) es una soluci´on de un sistema dem ecuaciones lineales con n inc´ognitas dado, entonces todas las soluciones de tal sistema son de la forma

x0+c= (x1+c1, x2+c2, ..., xn+cn), dondec= (c1, ..., cn)es soluci´on del sistema homog´eneo asociado.

Demostraci´on.

Esto es, el vector

c= (x01−x1, x20 −x2, ..., x0n−xn) es soluci´on del sistema homog´eneo.

Y obervamos adem´as

Ejemplo

Recordemos que las soluciones del sistema

(I)







x+ 3y+ 2z= 2 (1)

x+ 4y+ z= 2 (2)

2x+ 5y+ 5z= 4 (3)

son de la forma

(2−5t, t, t), t∈R.

Pero de hecho, el vector(2,0,0)es una soluci´on del sistema(I), mientras que las soluciones del sistema homog´eneo asociado son de la forma

(−5t, t, t), ∀t∈R.

Se cumple entonces que todas las soluciones del sistema(I)son de la forma

Ejemplo

Recordemos que el sistema

3x + 2z= 10 2x+ y = 0

−x+ 5y+ z= 5

tiene una ´unica soluci´on dada por

x= (0,0,5). El sistema homog´eneo asociado

3x + 2z= 0 (1)

2x+ y = 0 (2) −x+ 5y+ z= 5 (3)

tambi´en tiene soluci´on ´unica, la trivial(0,0,0). En efecto, de(1) y(2) despejamosz y y, respectivamente

z=−3

2x y y=−2x,

sustituitmos en(3), para obtener

25 2x= 0.

Consecuencias importantes

El teorema siguiente tiene una demostraci´on casi obvia.

Teorema

Sic= (c1, c2, ..., cn)es una soluci´on del sistema homog´eneo asociado a un sistema de mecuaciones lineales de ninc´ognitas, entonces λc = (λc1, λc2, ..., λcn),λ ∈ R, es

tambi´en soluci´on del sistema homog´eneo asociado.

Como consecuencia se resuleve una de las interrogantes que hab´ıamos planteado anteriormente.

Corolario

En cualquier sistema demecuaciones conninc´ognitas, sucede una y s´olo una de las siguientes:

(1) Hay una sola soluci´on,

(2) Hay una infinidad (no numerable) de soluciones,

Otra consecuencia

Corolario

Si un sistema de ecuaciones lineales tiene soluci´on ´unica, entonces el sistema homog´eneo asociado tiene ´unicamente soluci´on trivial.

Demostraci´on.

Las soluciones del sistema inhomog´eneo son de la forma x0+c, dondex0 es una soluci´on particular del sistema yces una soluci´on del sistema homog´eneo asociado.

As´ı que si el sistema tiene soluci´on ´unica, el sistema homog´eneo asociado tendr´a tambi´en una ´

unica soluci´on.

No obstante...

Ejemplo

Sea el sistema homog´eneo

(I)







x+y= 0

x+y= 0

x−y= 0

Es claro que(I)tiene ´unicamente soluci´on trivialx= 0 =y.

No obstante, el sistema

(II)







x+y= 1

x+y= 0

x−y= 0

no tiene soluci´on.

Sistemas equivalentes

Sean los sistemas

(I)











a11x1+a12x2 +· · ·+a1nxn =b1 a21x1+a22x2 +· · ·+a2nxn =b2

. .

. ... ...

am1x1+am2x2+· · ·+amnxn=bm

(II)











a011x1+a012x2 +· · ·+ a01n0xn0 =b0₁

a0₂₁x1+a022x2 +· · ·+ a0₂n0xn0 =b0₂

. . . . . . . . . a0_m0₁x1+a0m0₂x2+· · ·+a0m0_n0xn0=b0_m0

Decimos que(I)y(II)sonequivalentessi tienen las mismas soluciones. O m´as apropiada-mente, si tienen el mismoconjunto soluci´on. Observe que si(I)y(II)son equivalentes entonces n=n0_{(el n´umero de inc´ognitas es el mismo).}

Teorema

Operaciones elementales para sistemas de ecuaciones

Lasoperaciones elementalespara sistemas de ecuaciones son las siguientes:

I. Reemplazode una ecuaci´on por la suma de la mismo y un m´ultiplo de otra.

II. Intercambiode una ecuaci´on por otra.

III. Escalamiento (multiplicaci´on)de una ecuaci´on por un escalar no nulo.

Teorema

Si en un sistema se aplica cualquiera de las operaciones elementales, entonces el sistema resultante es equivalente al sistema original.

Corolario

Si aplicamos un n´umero finito de operaciones elementales sobre un sistema de ecuaciones dado, entonces el sistema resultante es equivalente al original.

Observaci´

on

Ejemplo

No daremos la prueba para no enredarnos con una notaci´on engorrosa. Vamos a estudiar en lugar de ello un caso muy simple.

Sea el sistema

(I1)

x+y= 3

x−y= 1

Es pr´acticamente evidente que la soluci´on ´unica de este sistema es el vector(2,1).

El mismo vector es soluci´on ´unica del sistema

(I2)

x−y= 1

x+y= 3

Ejemplo

No daremos la prueba para no enredarnos con una notaci´on engorrosa. Vamos a estudiar en lugar de ello un caso muy simple.

Sea el sistema

(I1)

x+y= 3

x−y= 1

Es pr´acticamente evidente que la soluci´on ´unica de este sistema es el vector(2,1).

Ahora, sices cualquier escalar no nulo, entonces(2,1)sigue siendo soluci´on de los sistemas

(I3)

cx+cy= 3c

x− y= 1 y (I4)

x+ y= 3

cx−cy=c

Ejemplo

No daremos la prueba para no enredarnos con una notaci´on engorrosa. Vamos a estudiar en lugar de ello un caso muy simple.

Sea el sistema

(I1)

x+y= 3

x−y= 1

Es pr´acticamente evidente que la soluci´on ´unica de este sistema es el vector(2,1).

Por ´ultimo, es tambi´en f´acil ver que(2,1)es soluci´on de los sistemas

(I5)

(1 +c)x+ (1−c)y= 3 +c

x− y= 1 y (I6)

x+ y= 3

(1 +c)x+ (−1 +c)y= 1 + 3c

Matriz de coeficientes y matriz aumentada

Dado el sistema

(I)



















a11x1+a12x2 +· · ·+a1nxn =b1 a21x1+a22x2 +· · ·+a2nxn =b2

. . . . . . . . .

am1x1+am2x2+· · ·+amnxn=bm

lamatriz de coeficientesde(I)es elarreglorectangular de losmncoeficientes







a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n

. . . . . . . .. ... am1 am2 · · · amn







Lamatriz aumentadade(I)es el arreglo dem(n+ 1)n´umeros







a11 a12 · · · a1n b1 a21 a22 · · · a2n b2

. . . . . . . .. ... . . . am1 am2 · · · amn bm



Matrices de

m

×

n

En general, unamatrizAdemrenglones yncolumnas (detama˜nom×n), es un arreglo de mnn´umeros

A=







a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n

. . . . . . . .. ... am1 am2 · · · amn







Con la finalidad de simplificar muchas de las pruebas, se usa tambi´en la notaci´on abreviada

A= (aij)m×n o bien A= (aij)1≤i≤m,1≤j≤n.

A veces decimos que los n´umerosaijson lasentradasocomponentesde la matrizA. El ´ındice irepresenta el rengl´on yjla columna.

Sin=m, es decir, el n´umero de renglones es igual al n´umero de columnas, entonces decimos queAes unamatriz cuadrada de tama˜non. Podemos escribir abreviadamenteA= (aij)n.

Dos matrices A= (aij)m×n y B= (bij)m0_×n0 son igualessi y s´olo sim = m0,n= n0,

Notaci´

on matricial. M´

etodo general para determinar soluciones

Sea el sistema

x1−2x2+ x3= 0

2x2−8x3= 8

−4x1+ 5x2+ 9x3=−9

Matriz de coeficientes y matriz aumentada

Las matrices asociadas a este sistema son

1 −2 1 0 2 −8

−4 5 9

!

y

1 −2 1 0 0 2 −8 8

−4 5 9 −9

!

,

Eliminaci´

on Gaussiana

La idea es transformar el sistema de ecuaciones original a unoequivalentepero que tenga forma escalonada, mediante operaciones elementales. Para ello partimos de la matriz aumentada:

Vamos a mantener el coeficiente de x1 en la pimera ecuaci´on y vamos a usarlo para eliminar (hacer cero) los coeficientes dex1 en las restantes ecuaciones.

Eliminaci´

on Gaussiana

Escribimos el resultado de esta operaci´on en el lugar de la ecuaci´on (3) original.

Ahora, para simplificar los c´alculos siguientes, vamos a multiplicar la ecuaci´on (2) por 1₂, para obtener un nuevo coeficiente parax2, a saber, el1:

Eliminaci´

on Gaussiana

El nuevo sistema tiene ahora una formaescalonada:

Esto es suficiente para encontrar la soluci´on del sistema, tal y como se hizo en el primer ejemplo:

Sustituimosx3= 3en la segunda ecuaci´on para obtener x2= 16.

Seguidamente, sustituimosx2= 16yx3= 3en la primera ecuaci´on para obtener x1= 29.

Eliminaci´

on de Gauss-Jordan

No obstante, para algunos sistemas de ecuaciones grandes, conviene continuar reduciendo las ecuaciones hasta llevar el sistema a una formaescalonada reducida.

Eliminaci´

on de Gauss-Jordan

Combinamos estos dos resultados para obtener el nuevo sistema

Eliminaci´

on de Gauss-Jordan

Operaciones elementales por rengl´

on para matrices

El ejemplo precedente (y algunos otros que hemos resuelto) muestra c´omo las operaciones elementales sobre las ecuaciones de un sistema, corresponden a las mismas operaciones sobre los renglones de la matriz aumentada.

Definimos las tresoperaciones elementales por rengl´onpara matrices como las siguientes:

I. Reemplazo. Reemplazo de un rengl´on por la suma del mismo y un m´ultiplo de otro.

II. Intercambio. Intercambiar un rengl´on por otro.

III. Escalamiento. Multiplicar un rengl´on por un escalar no nulo.

Diremos que dos matrices son equivalentes (por rengl´on)si podemos transformar una en la otra mediante la aplicaci´on sucesiva de operaciones elementales.

Observaci´

on

Ejemplo: Consistencia

Sea el sistema

La matriz aumentada al sistema es

Intercambiamos los renglones 1 y 2,

Multiplicamos por−5

2 el rengl´on 1 y sumamos al tercer rengl´on

Multiplicamos por −1

2 el segundo rengl´on y sumamos al tercero

Resulta el sistema equivalente

Formas escalonadas

Una matriz est´a enforma escalonada (por renglones)si tiene las siguientes propiedades

1. Todas las filas diferrentes de cero est´an arriba de cualquier fila con puros ceros

2. Cada entrada principal de una fila est´a en columna a la deracha de la entrada principal de una fila superior.

3. Todas las entradas de una columna que est´en debajo de una entrada principal son cero.

Si una matriz cumple adem´as las siguientes propiedades, entonces est´a en forma escalonada reducida (por renglones):

4. La entrada principal de cada fila diferente de cero es1.

Ejemplo

Sea el sistema

Ejemplo

Sea el sistema

En otras palabras, hemos demostrado la equivalencia de las matrices

y

Se sigue que la soluci´on ´unica del sistema es

Ejemplo

Sea el sistema

Nuevamente, vamos a llegar a la forma escalonada reducida de la matriz aumentada

El sistema es equivalente al sistema Cuyas soluciones son de la forma

x1= 1 +x3, x2= 4−2x3, x3∈R

Formas escalonadas

Teorema : Existencia y Unicidad de la Forma Escalonada Reducida

Toda matriz es equivalente a una ´unica matriz escalonada reducida

Teorema : Existencia y unicidad de las soluciones de un sistema

Un sistema de ecuaciones lineales es consistente (tiene soluci´on) si y s´olo si, la forma escalonada reducida de la matriz aumentadanotiene un rengl´on de la forma

(0 0 0 · · · 0 b), conb6= 0.

Ejemplo

Sea el sistema

Describimos este sistema con su matriz aumentada y reducimos a su forma escalonada reducida

Por lo que el sistema es equivalente al sistema

5x1 + 19x3+ 7x4=−2 x2− 8x3− 2x4= 2

o bien

x1 =−2−13x3−7x4 x2 = 2 + 8x3+ 2x4

Uso de software: Octave

El programaOctave cuenta con la funci´on rref (reduced row echelon form), para calcular la forma escal´on reducida de (casi) cualquier matriz. Por ejemplo, sea

A=

0 3 −6 6 4 −5 3 −7 8 −5 8 9 3 −9 12 −9 6 15

!

El c´odigo para conocer la forma escalonada reducida es como sigue:

o c t a v e :1 > A =[0 3 -6 6 4 -5;3 -7 8 -5 8 9;3 -9 12 -9 6 15] A =

0 3 -6 6 4 -5 3 -7 8 -5 8 9 3 -9 12 -9 6 15

o c t a v e :2 > rA =r r e f( A ) rA =

1 . 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 - 2 . 0 0 0 0 0 3 . 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 - 2 4 . 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 1 . 0 0 0 0 0 - 2 . 0 0 0 0 0 2 . 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 - 7 . 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 1 . 0 0 0 0 0 4 . 0 0 0 0 0

Uso de software: Octave

Podemos usar esta funci´on para resolver sis-temas de acuerdo al m´etodo que ya hemos analizado. Sea el sistema

3x + 2z= 10 (1)

2x+ y = 0 (2) −x+ 5y+ z= 5 (3)

Consideramos las matrices

A=

3 0 2 2 1 0

−1 5 1

!

, b= 10 0 5

!

3 0 2 10 2 1 0 0

−1 5 1 5

!

Las matricesAyBson las matrices de coefi-cientes y aumentada, respectivamente.

o c t a v e :1 > A =[3 0 2;2 1 0; -1 5 1] A =

3 0 2 2 1 0 -1 5 1

o c t a v e :2 > b = [ 1 0 ; 0 ; 5 ] b =

10 0 5

o c t a v e :3 > B =[ A , b ] B =

3 0 2 10 2 1 0 0 -1 5 1 5

o c t a v e :4 > rB =r r e f( B ) rB =

1 . 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 - 0 . 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 1 . 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 - 0 . 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 1 . 0 0 0 0 0 5 . 0 0 0 0 0

Lo que significa que la soluci´on del sistema es

Uso de software: Octave

Podemos saber con certeza si un sistema tiene o no soluci´on. Sea el sistema

2y+ 3z= 4 (1)

2x−6y+ 7z= 15 (2)

x−2y+ 5z= 10 (3)

Y sean las matrices

A=

0 2 3 2 −6 7 1 −2 5

!

, b= 4 15 10

!

0 2 3 4 2 −6 7 15 1 −2 5 10

!

Las matricesAyBson las matrices de coefi-cientes y aumentada, respectivamente (como antes).

o c t a v e :1 > A =[0 2 3;2 -6 7;1 -2 5] A =

0 2 3 2 -6 7 1 -2 5

o c t a v e :2 > b = [ 4 ; 1 0 ; 1 5 ] b =

4 10 15

o c t a v e :3 > B =[ A , b ] B =

0 2 3 4 2 -6 7 10 1 -2 5 15

o c t a v e :4 > rB =r r e f( B ) rB =

1 . 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 8 . 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 1 . 0 0 0 0 0 1 . 5 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 0 . 0 0 0 0 0 1 . 0 0 0 0 0

Uso de software: Octave

¿Y qu´e pasa si el sistema tiene muchas solu-ciones?. Sea el sistema

x+ 3y+ 2z= 2 (1)

x+ 4y+ z= 2 (2)

2x+ 5y+ 5z= 4 (3)

Tecleamos directamente el c´odigo

o c t a v e :1 > A =[1 3 2;1 4 1;2 5 5] A =

1 3 2 1 4 1 2 5 5

o c t a v e :2 > b = [ 2 ; 2 ; 4 ] b =

2 2 4

o c t a v e :3 > B =[ A , b ] B =

1 3 2 2 1 4 1 2 2 5 5 4

o c t a v e :4 > rB =r r e f( B ) rB =

1 0 5 2 0 1 -1 0 0 0 0 0