Sobre la axiomática de los espacios de Hilbert

UNIVERSIDAD DE SONORA

ESCUELA DE ALTOS ESTUDIOS

SOBRE LA AXIOMATICA DE LOS ESPACIOS

DE HILBERT

T

fi

Que para obtener el título de

LICENCIADO EN MATEMATICAS

P r e s e n

t

a

OSCAR MARIO RODRIGUEZ SANCHEZ

A MI MADRE.

A MI PADRE,

fEFANOS,

HEAMANAS.

A DOÑA LIcHA.

A MI ESPOSA

INDICE

INTRODUCCION.

1 DEFINICIONES Y TEOREMAS PRELIMINARES A) ESPACIO LINEAL NORMADO, ESPACIO

L.

AM4- •

Pil

OC HILBERT

L 10TEc

8) TEOREMA DEL ISOMORFISMO 6

C)

TEOREMA DE RIESZ 13

II ALGUNAS PROPIEDADES DE ESPACIOS DE PRODUCTOS INTERIORES 19 A) EQUIVALENCIA ENTRE EL. CASO COMPLEJO Y EL REAL. 19

s)

PROPIEDADES DE LA NOA INDUCIDA POR UN PRODUCTO

INTERIOR a)

c)

ISOTRIA ENTRE UN SUBESPACIO TRIDIMENSIONAL Y R3 22

III CARACTERIZACIONES DE ESPACIOS DE PRODUCTOS INTERIORES 28

A) LEY DEL PARALELOGRAMO 28

B) LEY DEL PARALELOGRAMO EN LA SOLA UNITARIA 33

c)

UNA RELACION FUNCIONAL ENTRE LOS LADOS Y LAS

DIAGONALES DEL PARALELOGRAMO 38

o)

RELACION FUNCIONAL ENTRE LAS NORMAS DE LAS DIAGONALES

CONSIDERANDO ELEMENTOS DE LA ESFERA UNITARIA 40

IV ORTOGONALIDAD 53

V ALQJNAS APLICACIONES 56

INTRODUCCION

David Ftilbert, al tratar con algunos problemas sobre ecuaciones integrales

fuá quien empezó a trabajar en estructuras que, posteriormente, llevarían

su nombre, los espacios de Hilbert. Varios matemáticos desarrollaron tra— bajos sobre estos espacios, siendo J. van Netunann quien los axiomatizó -

pidiendo, entro otras cosas, que fueran separables. Esta condición la con serven algunos autores; pero, en base a ella, puede considerarse que sólo existe un espacio de Hilbert (en vista de que des cualesquiera son isomor fos) el cual tiene a 1 ₂ (que será definido posteriormente) coso su - - -

"realización en coordenadas".

Un caso particular de esto: el isomorfismo entre

12 y L2 (el espacio -

de las funciones cuadrado integrables), está relacionado con la teoría de

la mecánica cuántica. La mecánica cuántica originalmente consistid de des

teorías superficialmente distintas: La mecánica de matrices de Heisenberg y la mecánica de ondas de Schródinger, este último mostrd posteriormente que las des teorías son equivalentes . Desde el punto de vista matemático la cttferencla entre las des teorías se reduce al hecho que la teoría de - Heisenberg usó el espacio ₁₂ , mientras que la teoría de Schródinger usó el espacio L2

La petición de separabilidad parece tener su fundamento en la seguridad -

de contar con una base ortogonal, en vista de que esa condición garantiza le existencia de dicha base.

Fuá también J. von Neumann quien descubrió una da las propiedades más -

transcendentales de estos espacios, la ley del paralelogramc que dió la -

-2-

Deliberadamente no se habla de dimensión en la definición ye que las propiedades les cumplen un mayor número de espacios.

Se analizan, principalmente, cuatro caracterizaciones que están inti-mamente ligadas y que se intuyen a partir de la primera (la ley del - paralelogramo). Inicialsente as trató de hacer un estudio sobra el - desarrollo de las propiedades que caracterizan los espacios de - - - Hilbert, yendo a las fuentes originales; pero, como se dice antes, la producción en este campo as abrumadora; además de que constantemente hay nueves aportaciones.

El presente trabajo puede ser un ejemplo de lo que pasa en repetidas ocasiones: El principio puede ser un problema o concepto fi sico, inge nieril, biológico, socioeconómico, etc, en fin humano (que de una prue be más de que en matemáticas se trabaja pare el óptimo aprovechamiento de los recursos) a partir del cual se pueden obtener resultados más o menos sofisticados, sin embargo, los resultados más transcendentales ocurren en los conceptos básicos que son los más susceptibles de cam-bio.

CAPITULO 1 - 3-

DEFINICIONES Y TEOREMAS PRELIMINARES.

A) ESPACIO LINEAL NORMADO. ESPACIO DE HILBERT.

Un espacio

'eetorial

(o lineal) consiste ¿e

un conjunto no

vacf o L

¿e

elementos t, g, h,..., un campo F ¿e escalares a, b, o,... y ¿os operaoio

neo + ,

que

satisfacen las

siguientes

propisEaEess

I.

f+g€L

para todo f,g€Lyes tal que.

i)

f+g.g+f

2) f+ (g+h)

-

(f+g) +h

3) existe O E L tal que Í

+ O

f

para

todo f E L

• 4) Para cada f E

L existe -f

E

L

tal

qué f

+ (-t) -

O

• II. Pera cualquier

escalar

a y cualquier elemento f E L

está ¿efini

¿o el elemento a! E L ¿e

manera

que*

i)

a(bf)

-

(ab)f

para todo a,b € F y toso f

E

L

2)

i.t.t

para todo fEL

III.

Las

operaciones están relacionadas mediante las leyes ¿istributivas

i) (a+b)f.af+bf

2) a(f+g)

af+ag

Si F es el campo real o complejo, so Lioo que L es un espacio vectorial

real o complejo, respectivamente.

Un esacio

métrico consiste ¿e un conjunto L y Io

La

distancia

¿,

es

decir, una función univalua..a real

y no

negativa a(f,g) defini-a para

:los

elementos cualesqui:a f,; E

L que verifica las

coniciones n

1) ¿(f,g) 3

0 y

¿(f,g)

. O

si y sIo si f

• g

2) ¿(f,g)

- &(g,f)

3) ¿(f,h) E

¿(f,g)

+

¿(g,h)

f,g,h E

L.

Una sucesión en un espacio métrico es ura función univaluaLi Fe llí -.

-4-

mentos del espacio. Se denote son

_{1 f}

a la sucesión

4

1

3h .•.L ...

5. dice que f

o E L •s Límite ¿e la sucesión kf si. ¿ado Ç. ) O exis te N(€.) E

m

tal que n > N implica que t(f5,f

0) <

Se tice que una sucesión es convergente si tiene límite.

la& sucesión

If es ¿e Caushy si dado

E

>

O existe N(E) 6 IN tel que ) 11 implica que ¿(f

1,f)

E..

Si una sucesión en un espasio métrico es convergente, su límite se dnico.

Toda sucesión convergente es de Cauoby.

Un esnacio métrico se llama completo, cuando toda sucesión de Cauehy en 61 converge.

Un subconjunto no vacío L' de un espacio lineal L es lisas subeepaoio, cuando es un espacio lineal con las operaciones de adición y multiplicación por escalares definidas en L. O sea, L' C. L es un subespacio, cuando de

f E L', g E L' se deduce que af + bg E L' cualesquiera que sean a y b.

Una norma en un espacio vectorial L es un napeo (f —stttU) de L en el conunto IR ¿e los números reales, con las siguientes propiedadess i)

flfl 3

O para todo f E L

2) Uffl o

es equivalente a f = o

3) Iaf% - tal

ttfll

para cualquier f E L y cualquier escalar a

4) U

+ g* I

Ifl

+flg para cualesquier f, L.

Un espacio normado es un espacio nctail .an na '::a ' = — es una listancia en L, -ir e,.aci linca' raa es siempre oonoiicraclo co,-.:o Ufl es cio rótrico.

Un e3pacio ¿e 3arach es un eapacia 1nc.l rr a'o y car.plcto re

la nótrica lada or 'a crL.a.

-5-

complejo Cf,al _{, lianazio oroducto} interior (o producto escalar) ¿e f y

tal que valen las siientea rolaci

±)

[cf,g = oÇf,gl f,g r. L y c un escalar i) [f + g, h

]

_If,hl

+ Ig, h

l

f,g,h E L

ufl:'

fg,fl =

tf,cl ( ¿enota el conjugado complejo ¿e c iv)

1f,f TI 5

,

o para todo f € L

99

V)

_{f,f'1 =}

O solo si f = O De i) , ¿ii) se tiene

t,°1

=[f, f, g' + _{g't f,}gi +

En. el caso ¿e producto interior real, denotado por ₍ , ), se obtiene (g,f) =

(f,g).

La equivalencia entre las ¿os ¿efiniciones, real y comple

ja, es el tema ¿el siguiente capítulo.

Por iv-) podemos definir JIfil

,

la norma ¿el vector f E L, cono la ralz cua_

¿rada no negativa ¿e (f,f)

11f112

= (f,f)

Las tres primeras propiedades de una norma son consecuencia inmediata ¿e

iv), y), 1), iii). La cuarta, la deoigua1al del triángulo, se obtiene utj

lizanio la desigualdad ¿e Schwarz _\Vr,\

_flíl

9

.. se demuestra enseui.ia.

3ean A =

1,2

3 , c =

existe un numero complejo a tal :ue Jal 1 (a será de a forma

[f,¿: ) y ay

,

_,f1 = D. Para cuo.i.Iuicr real x +y

r, ' t'.

O f - • -r rnj\ ₌ - ra[g,f - + r a to es

- 23r + r20 O

ii C ontoncs 3 = O porque para una r suficientemente grande no se

- 6-

\1l\

Iwk

Todo espacio jo ;ro uctos jritorj L':3 ce noraio. Si aie:j O 3 3Ofl1lOtO !3G

le llama espacio de ililbcrt.

A1unoo autores 1i.r a oje oea :rb1c. Se vor5, ics;oo

r2s de fin

-

-

, , ojor)1oo y r 1taoo

soparablos cualo squiora son i or:orfoo,

B)

DEL Iss:ssiISIs

DIvS. Sean A y 5 &o5 oubconjctoo Je un e3paci) métrico E. Se dice

que A os denso en 5 mi [j\ D B (ione

_tAl

indica la cerradura 8e A, o sea, el conjunto ¿e todos los puntos ¿e contacto ¿e A). Bm particular so dice

que A es ¿enso donde quiera (en i) si ÇA

DiICI(T. Un espacio mé

tr

i

c

o 36 lice senarable si tiene un subconjunto

denso donde quiera numerable.

Los siuientoe son algunos ejemplos íle COfljUI.tO5 iensos.

1. El conjunto ¿e todos los puntos racionales es 1.roo en la linea real E1.

2. El conjunto le todos los puntos x (x1,x

29 . . . ,x) con coordenadas ra—

cionales es denso en cada uno ¿e los espacios R, R y R •iones

es el e'pacio métrico formado ¿e todas las n-oas orienaas x = (x17 x5 ..

...,x) ¿e nmerom reales x1,x2, ... ,x₀, con distancia

¿(x,y)

es el espacio métrico foroa&o por las n-a&as orlonada = (x1 ,a,, . ,x)

como en R pero con distancia

¿

-7-

el mismo conjunto como antes pero ahora la distancia está ¿ata por

¿1(x, y) -

3. El Conjunto te todos los puntos x _{(x%,xZ, ... ,xk,...)} con un número

finito ¿e coordenadas distintas ¿e cero, cata una un número raoional, es

tenso en el espacio 12 y ¿onte

12 es el conjunto ¿e todas las sucesiones infinitas

x •

¿e números reales que satisfacen la contición ¿a conver-

gencia

DO

¿oste la distancia entro tos puntos se define por

1'

¿(x,y)

-

V

(N,-'3') y el producto interior por

(x,y) -

x

xIk

4. El conjunto te todos los polinomios con coeficientes racionales es

tenso en los espacios Ca,b r

tá b1 tonto

C Va, b•1 ea el espacio métrico formato por iotas las funciones continuas

definidas en el intervalo cerrado ta,b'\ con distancia

¿(f,g) . max

_\

&) 2

C oomo el anterior solo cu- la ¿iotanca es definida -or 19, .r-

mu la

1 9

Los espacios anteriorc 11 , I,

ll,

R' l2

_:.,b1'

son sePara

bies, puesto que loo conjuntos en loo cuatro ejemplos son numerables.

Se enuncian enseguida algunos resultados en los que se basa el teorema

¿el isomorfismo.

-8-

DErn?IClor. Un conjunto ¿e vectores en se dice que es un sistema

ortogonal si

(x,x,) O para o(y

_fi

y un cisterna ortonornal si

/o

pra

para cc9 5 es un sistema ortogonal, entonces claranente

f x co un

UIX.0

J

Se ¿ice que los elementos x,y, ... ,w io un espacio vectorial L

son linealmente inepen.ientcs si y sclo si

a+by+... +cw=O

implica a=b=...=cO

TEOREI. Los vectores en un sistema ortoona1 son lineal-rente inclepetn

¿lentes.

(9).

Un sistona ortogonal {x se llama una hmoe ortogonal si es oonplcto,

esto es, mi el más pequeo subespmcio cerrado que contera a {x es el

espacio total R. Similarmente, un sistema ortonormal oo!npleto se lana una

base ortonormal.

TEOREMA. Toso sistema ortoonkl so un sco e :rúáuctos interio-

res separable R es -a lo sumo sunerable. (9)

La existencia ¿e una baso ortc:;a1 en -i--Iqu'r - •5 - : prs lo-

tenores opsrale esta garastios-la pr el

TEO:.k.

(r:

Sea

cualquier conjunto coraol) .e elu:. u i.na ust ieri

3)

Casa

elemento f es una combinación lineal

mu r

f

u (bmu

o)

tal que

-9

1) El sistema (&&) es ortonormal

2) Cada elemento

(f,

es una combinación lineal

nn fu (amu)

o)

¿e los elementos f1,f2, ...,f

elementos

C9,

_F2,".,

(&)

Además, _{oaa elemento ¿el sistema e&I esta ilnicamente ¿eterminado p01' es-}

tas coniiciones, con un factor ¿e t i • (9).

CO2OLA.RIO. Todo espacio ¿e proauotos interiores separable E tiene una base

ortonormal numerable.

n

Sean e1,e2,

_...

,e una base orton3rnal en R. Entonces cada vector x

e

puede escribirse en la forma

x = Ir o e k

donde

Ck = (x,ek)

veamos cono esto 3eneraliza al caso de un espacio 1e proiuotos interiores

infinito-dimensional R. Sea _, un sistema ortonormal en

E y sea f un elemento •sr1trz..-' 1 E. 2up6ngase o cor f ac.aos

l la ..icesi5n jo oro -

= _(f, = 1,2,.

.)

llao):: 1s - y :onentes o cocfiointeo Fourir

- lo -

Que la serie antcri.r converge y que la suma ¿e la serie coincide con f so vé ¿el siguiente

TEOREMA. Dato un sistema ortonormal

en un espacio ¡e productos interiores E, sea f un elemento arbitrario ¡e E. Entonoes,la expresión

- ak ck\\ alcanza su mínimo para

- (r, (k - l,2, ... ,n) Este mínimo es

Ilf -

A&sms

2

Este resultado se conoce como Desigualdad ¿e Bessel.

La ¿emostraci6n ¡e este teorema se realiza desarrollando

-

lo que lleva a

- a\ - f 112 - + 2

donde (f, (k 1,2,...,n)

la expresión anterior alcanza su mínimo cuanto su 1ltio término se anula, a sea, cuar.o

ak - (k - 1,2,...,n)

:i

su mínimo es

y, C).n

vi

2

\\r - _{\lf\12 1,}2 ₁

- ak CM

2

71

o . se sigue de lo ar1 erir :luo

11

- -

De donde la serie

00

k

es convergente, tomando limite cuanto n —e .o se tiene

esto indica que la suma ¿e los cuadrados ¿e las proyecciones ¿e un vector f sobre un conjunto ¿e ¿ireooiones mutuamente perpendiculares no pues - exeaer el cuadrado ¿o la longitud ¿el vector mismo.

DEPTNICION. Supóngase que vale la igualílaíl

f

- 1

2

para todo f E R. Entonces el sistema ortonormal (f1,

_q,...,

es tic, que es cerrado. (Eate es otro sentido ¿e la palabra oeraio). La ex— presi6n anterior se conoce como iivaLAaa ¿e Parseval.

TEOREMA. Un sistema ortonormal ?' ?2'

• '• ' en un espacio ¿e productos interiores R es oerraao si y sollo si toso elemento f r= R es la suma ¿e su* Serie* ¿e Fourier.

(9).

TEOREMA. (#). Un sistema ortonormal T_{19 47 29} ••• en un espacio ¿e productos interiores Res oornpleto si y sólo si ea c.rrao.(3). COROLARIO. Todo espacio ¿e pro&uctoa interiores separable E oontiene un

sistema ortonormal cerrado

(9).

TEOREMA. (iERZ_FI3CflER). Dato un cisterna ortonormal

kl en un espacio ¿e Hilbert R, sean los mineros C1,C2, ... ,O,... tal que

00

2 o

converge. Entonces existe un elemento f E R Con corno sus coeficientes e Fourier, o sea, tal que

2 2

- 12 -

donde _Ok = " (k 1,2,...) (9)

DEFIICIO1. Dos espacios ¿e productos interiores I y E' se ¿loe que son isomorfos si hay una corrosnoniercia uno a x' , y ~ y' entro los elomontos ¿e E y _{los ¿e E' (x,;f e 2} , x'

cssr-ro l.s operaciones lineales y producto escalar ea e7 ser.tiJc ue

X + y 4-P Z 1 + y' &x —x' (x,y) = (x',y')

TEOREMA. (DEL I$OPOEFr$2O). Cualesquier ¿os espacios ¿e hlllbert separables son isomorfos.

Se vera que todo espacio ¿e IIi1bert separable H os isomorfo a 12 Sea cualquier sistema ortonormal completo en 2 (existe por el corolario

¿el teorema ¿e ortogonalizaci6n) y con cada elemento f e E asóciese sus coeficientes ¿e Fourier con respecto a

VA . Como

00

por el teorema

_(f/',

la ucesión (c1,c29...,c,...) pertenoco a 12 . versamente, por el teorema ¿e Riose—Fischer, a tolo clemente

,c,,...) en 1

2 le corre3ponle un elomonto f € E sca lcc oroccly

a uno

com - sus coeficientes de 7ourier.

f 4- -

f + fi - c,....,c, + &f 4 0 (Qc,,. .,

Ii S

IULJ!U5

- 13 -

CA

(f,f) + 2(f,f1) + (ft_,ft) c')

+ _{2 r ckOt k +}

y ¿e aquí

y se preserva el producto interior.

C) TEOREML

DE

RIE3Z.

Una transfoz,maei6n lineal ¿o un espacio vectorial L en un espacio veoto—

rial M es un mapeo A: L ---a> M tal que

A(af + bg) aLt + bAg

para toso escalar a,b y todo vector f,g E L.

Si el espacio rango M coincide con el campo escalar F se les llama fun

cionales lineales.

L

:1

Suponamos que L es un espacio de productos interiores

un vector fijo en L, el mapeo

L

—

A. F (F ca po escalar),

. que es al-

representa una funcional lineal en L.

A(aft + bf'') (af' + bf'',g) = a(f',) +

c'

+

TICFrT:A.

TTr.a fuy.ci.,nal llnai A os a uno i -lo i

=

O

i'llcc. f = O

TEOA.

Sea A fu:ci:!.al

torcc, si A es

-

14

-

DITICIOIT. La 2inciona1 1i:i en el espacio lineal normao L so

¿ice acota&a si existe una constante real k, tal que, para todo f c L

kf

TEOREMA. La funcional lineal A elefinida en el espacio lineal norma&o L

es acotada si y 8g10 _{si es continua.}

Supongamos que A es continua pero no acotada. Esto es, para cualquier

natural n, por grari&e que sea, hay algun punto, @ligamos f

ny tal que

A(

r)\>

(n\\

consideremos los vectores f

-

nf

los cuales tienen norma

lis

-

y la sucesión

_g

O

soso cualquier funcional lineal zapea el vector cero en el escalar cero y

A es continua, se tiene

Á(g)

-

A(o O

como

A(g)

-

y \A(f)\ > 4nll

1

esto impide que A(g) se aproxime a cero. 5e tiene un

resultado contra

di.ctorio y la afirmación que A

fuera no acotada debe

ser

falsa cuanto A

en continua.

Si A es acotade

_k()

_k14

para

todo f € L. Si f -+0

hacemos

A(f)

-

A(f

-

o)

=

A(f)

-

A(o)

-

\A(f)

- A(0)\

-

o)t

-

0

-

l(')

-

A(0)l —P O

esto os

A(f)

--i

i(o)

- 15 -

Supongamos que A, B son funcionales lineales acotadas sobre el espacio

lineal normao L. A y B se olio* que son iguales, A B, si y solo si

A(f)

B(f)

para todo f € L. Se define A + B como la funcional lineal

cuyo valor en cualquier punto f, es A(f) + B(f) y para a un escalar

y A como antes, aA será &A(f) en cualquier punto f.

La clase ¿e tales funcionales lineales es un espacio lineal.

DEFflICION. Si A es una funcional lineal acotada en el espacio lineal

riormao L. definimos

u _{- up}

Uo

11 f 11

Como A es acotada, debe haber algun k tal que, para todo f

kfQ

¿e donde para f O

por lo que, el conjunto ¿e n1meros reales

tiene una cota superior y, ¿e aquí, una mínima cota superior

ma ¿e la mínima cota superior).

Si se denota por K el conjunto ¿o toas las ja satisfagan

IA(f)k ktlf\\

(por el axio

11 AJJ

€ K , puesto que, r rra toso f O

k(r

V f A

11

y se tiene, para todo f A(f)

_\

AJJ Ikfl

E

l espacio lineal que conotstc 1e toas las Cuncionaler 11cn1es

acotadas sobre L se llana ci espacio con 3uao y se denota L*.

es rea1nnto una n)rma

1) J

I

AJJ > O para cualquier fot 'in;a.

iJ,

J 11—

M-JO

ir r- #

Ú

1

- 16 -

*

3)

I

jaAU - Jal IJA11 para cualquier A € L y cualquier a_-calar a

IA(f) + 3(f 4) 1A + B

sfsP0

tf\

(f\

+ BIt O f +fSP0

Otras maneras equivalentes de expresar

UJ

son:

1) (JAfl - mf k k K

2)

flAt

=

sup

lif 1

3) ((AI sup

Urlt=i

Se enuncian los ¿os siguientes teoremas, sin incluir la ¿ernostración,

TEOREMA. Denotemos con L* el espacio lineal formado de todas las funcio

males lineales acotadas sobre el espacio lineal normado L • Entonces

it

es un espacio ¿. B anach.

TEOREMA. (RIESZ). A •s una funcional lineal acotada en el espacio ¿e Hil

bert L si y 5Ç10 si existe un vector tlnioo g L tal que

A(f)

-

(f,g) para todo f € L

Alternativamente, d.enotaio el espacio conjugado ¿e L por L se podría

decir que

Ç A

g(f) = (f,g)

\

g E

Veremos ciertas relaciones elementales entre cada espaoio lineal complejo

y un espacio lineal real asociado, de manera que, usando teoremas en el -

caso lineal real -se puedan derivar en el caso lineal complejo.

Si L so un espacio linsal complejo,

hay

asociado a 61 un espacio lineal real único M cuyos elementos son los ¿e L y cuya adición es la _

misma

que

que en L

-

17

-

(a

+

io)r

en L

Si JIfIl es una norma en L

,

entonces la

misma norma

se

usara en 1

Si B E

,

o sea, si B

es

una función,

lineal

compleja, son valores

complejos en L

,

definimos RB, la parte real ¿. B, por

A -

KB si

A(f)

-

R(B(f)) para todo f.

A

es

una

función

son

valores reales, por ¿efinición;

defini

d

a

en X. pues to que L

y

M

tienen los mismos

elementos y lineal real

Puse

para

f,g

ea L

y

1

,

a,b reales

L(af

+

bg)

=

R(af

+

be))

-

R(a3(f)

+

bB(g)) R(aB(f))

+

R(bB(g))

-

al(B(f))

+

bfl(3(g))

-

a.i(r)

+

bh(g)

KB

E m

.1 conjunto

¿e

funciones lineales

reales,

con

valores reales en

1, si BEL*.

Si hacemos

B(f) A(f)

-

IA(if)

se obtiene una relación para retornar

¿e A &

E

3(f)

-

A(f)

-

iA(if)

=

R(B(f))

-

iR(B(ir))

-

R(B(r))

-

iR(IB(r))

R(B(f))

-

IR(ijR(B(f))

+

iI(B(f)YÇ

₌

-

iR(iR(B(r))

-

I(B(f)))

R(B(f))

+

11(3(f))

EEflEEMP. La función

E defini

d

a por RB =

A si A(f)

=

R(B(f)) es

una

función uno a uno, lineal real, que prenerva norma entre todo M y tofo L

Es uno a uno. osca, R(B)

=

R(c) im:1ica B=C

si

=

E(c"

=

=

R(C)

y

B(f)

-

L(if)

-

iE(B(if))

R(c(r))

-

IR(C(if))

raro esto es

R(C(f))

+

iI(C(f))

=

(f)

Es lineal reali sean r,s reales; RB A

, =

Al

-

18

-

=

R(rR(B(f))

-

riR(B(if))

+

sR(C(f))

-

sjR(C(if)))

-

R(rR(B(f))

+

ril(B(f))

+

sR(C(f))

+

sil(C(f)))

rR(B(f))

+ sR(C(f))

Preserva

normas Si A RB

- para todo

f, así J

I

A11 <

IBII

si

B(f)

=

re, entonces

B(f• i) e

-91

re= r

como

B(f.)

es

real

-

\B(f.-1•)\

-

mientras que

-Uf 11

Así

- su

1A(fe1)t

- sup

-

19

-

CATITLC

II

ALUUAE PROPIEDADES

2AIOS

DE PRODUCTOS

IlTERIORES.

A) EJI7AilCTA rTDE EL

OAO

CPL2JO

y EL REAL.

Se verá e, ji

se

tiene un espacio ¿e productos interiores complejo

la parte real

(

,

)

nos iefine un espaoio ¿e productos interiores real y

v15c0v0r3a. So puele enunciar el i.ujente

TCREMti. Un e

s

pacio lineal noiai

r13jo L es un espacio ¿e pro

d

uctos

intorioros cDplejo si y zolo si el sopado lineal real asooiaío 9

es un

eGpacio ¿e proauctos interiores real. Cuando esto pasa los productos inte—

riores (f,g) en y

en L están relaciona

d

os por las ecuaciones

(f,g) R(f,g)

1,i1

.

(f,g)

+ i(f,ig)

(f,g)

-

i(if,g)

NECESIDAD.

iii') se simétrico (g,f)

(r,.)

y real (te iii))

(r,r)

¡ve) (f,f) es real

₃

0

VI )

(Í,f)

=

O si y solo si f O

u')

(f

+

g,h)

(f,)

+

(g,h)

(de u))

De

u)

(cf,g) +

7

Y

f

,

g

1

, en

particular

ij)

(rf,) r(f,g)

para

r real

i) (if,ig) (f,g)

(. í

if,ig

l

= lf"sl)

De oste fltio

(,

i) (if,ii5)

—(it',g)

suFIcI:IA.

De i) y i) s

e obtiçne Lii)

De ji') se obtiene ji)

-

20

-

rrolla Af,g y \iBf,g y se tiene i).

tr,íl

(t,r)

+

i(f,if) y por i) y

ij)

y la simetría ¿e

(f,ig)

-

_(g,if)

por lo que

(f,if)

-

-(t,it)

o sea

(r, ir)

-

o

y

[f,f

,

-

Cr, f)

y, ¿e y')

y iv') se tiene

y) y

iv).

Couosieno

el producto .ssalar ( , ) puede

expresarse la distancia

t(f,g)

-

tf -

£11

bajo la

forma

«f,g)

\J(r - g,f -

El producto escalar

puede

expresarse conocien

d

o la distancia

'V

.± « 11

- (

•

g,f

_±

g)

-

(f,f)

_±

_{(g,f) .t (f,g)}

+

(g,g)

-

-Ilfil + 114

±

2(f,g)

y

se

obtienen

(1)

(f,g)

-

..

9r

+ -Ilf 1

,

2

-

(2) (f,g) - 1

:i1f1I2

+

-qf -

g1i2

Se ¿ebs poder

traducir

en trminoa ¿e distancia las condiciones impuestas

a los productos escalares • inversamente.

B) PROPIEDADES DE LA NORA IflYJCIDA POR U1 PRODUCTO I1TEIIOR.

Partierio

de (i)

poieros hacer lo 3iiontet

O

= 2(f + g,h) - 2(f,h) - 2(g,h) -

= lf

+

g

+ h\\2

_{- l}

_f

+ g 2 - - +

h 2

+

11fl

2.11h112

- JIg

+ h 2 +

+

U11

+

b 112

y se tiene

iii) lir +

g

+

h 2

- Ilf

+

_gil

- JIf +

h

-

lih

+ _{g1 l2} + 11r112 +

g2

+

11h112

-o

li -fil - ittii

iv")

Ilf 1

y")

lifli= 0

-

21

Di i) y iii)

of,c1g\

-

_y

¿e

aqu!

ticft\2

-

t")

un

cano particular •s

lUfl\

-

(

(ií,ir)

(r,r) )

Para

s,r reales

(sf,rg)

rs(f,g)

aplican

d

o (i) en ambos lados

si tiene

11

nf

+

rgIl

2

11 O

+

22 - r 2 - e

2 2 2 •ef1,2 +rgg

-

r411f +

gil2

- -

Isfil

1142

+ ra(f +

g 2 -

10

2

- lg

t12

D.

iii)

para x,y,z

reales

%lff

+yg+shl .tllx+yg

2

2

+yg+

+

I

sh +

zf _11 xf1, 2 -

ygli2

- llzliil2

Por

i'j)

se

tiene,

2 2.

flxr

+

yg

+

zh

1

t2 - x 2

tlf II

+

y ilgil2

+

z2

jjhj'

+ yzÇg + -

11951

-

11h}

+zx

₊

_1t2

-

hil2

- jIffl

+ xy_{ílf +}

_g1

--

u")

M

u")

se obtienen

'ara iii'), iv')

y

ij)

y

u")

para e

real.

se tienen

(un caco--articular is

u")

es real >

O

si f0

se han

obtenjlo prDpioacn para la ¡lerna partinnio ¿e lao ¿al

pro-Jucto oca1ar.

31 a1 - r, cc culona que o todo elemento f ¿e un espacio lineal se le acocia

un elemento

_%lffl

que verifique las condiciones

_/,

L

hLii 1

TM i

:fl1

Efl BLIOTECA

- 22 -

(1)

(f,g)

_I

lf

-flsl

So

verifica iii');

(f,g) ea

real

por iv"); por (1) y

haciendo

x-2, ysO su ji")

(r,r)

- -

2flf

As!, ¿o esto y ¿e (1),

i"),

iv"),

y") se deducen

ib),

Iv'), y').

Haciendo. z - O en ji") se obtiene

ii);

con r 1 se tiene

af

+

112

8211

f%l

+11

g + a

{ Il

f

₊ -

Def

+ g

flaÍ12

- a

{lr

+ - -

ligl

?, 11

2(af,g)

=

2a(f,g) =41

(sf,g) a(f,g)

(a real) esto es

ii).

C) ISo'PEIA ENTRE

w

SESPkCIO TRIDIIEI(»ZAL Y R3.

Se vera que a todo sistema ¡e cuatro puntos distintos f,g,h,k ¿e un e

pacio lineal noruaio,

se puede hacer corresponier cuatro puntos F,G,H,K

¿o R3. Y que todo subeapacio tri&imensional L' ¿el espacio abstracto L

ea isométrico a R3; siendo e

s

to

una oozÁición necesaria ,r suficiente para

que L sea

¿e productos interiores.

Coso todo

espacio

norma

d

o L se puede

considerar

cono un espacio métrico

con

«f,g) -

Uf

-

gli

por la ¿esigualia ¿el triángulo

«r,)

+

a tres elementos distintos f,g,h ie L leo L roopoiil. un tvnlo

euciiiano Fol!, con la

d

os e 1oniLi ¿(,h),

«h,f), «f,)

j

árju-

los, con medidas ¿e

o

a ,

oter.iraioo

por

-

23

-

De ji") tenernos, sustituyono

flf +

gt2

-I

_MI

_-

₁₁

₉₁

₁

por

+ liglf -

Ilf

-

y las

otras

Los correspondientes a g

+

h, h

+ f (3) x(f - k) +

y(g

- k) +

z(h

-

x2L(k,f)2 +y 2 41(k, g) y2L(k,g)2 + z2í(k,h)2 2 - ¡(k, g)2 _L(k,h)2 - L(k,h)2 -

¡(k, f)2

-

L(k,f)2

-

De nuevo, a tres elementos distintos g,h,k, 10 corresponden un triángulo

.uoliiano

UI, con lados Le longitud L(h,k), ¿(k,g), L(g,h) con Legu— lo ¿eterinaLo por

L(k,g)2

+

41(k,h)2

- 2L(k,g)L(k,h)eoe o

Del

mismo modo, para h,f,k, y f,g,k, se obtienen ¿os expresiones see-.

jan-tos, Le las cuales podemos despejar y

sustituir

en la

expresión

anterior

(3) y

obtener

flx(f -

k)

+

y(g

-

k)

+ z(h - k)I 2 - x2L(k,f)2 +

y2L(k,g)2

+

z2L(k,h)2

+

2&(k,g)&(k,h)yzoos

+

2d(k,h)(k,f)zxcos

+

2&(k,f).(k,)xycos

r

como el prior niornbro

c irprm 70, i

conoieramos el segundo miembro

corno un trino:o en i('.:,f::,

toreD in iacrimimante E O

' _'

₂

₂

₂

I(k,h)zco 3

+

&(k,coz

₎ - (.(k,) + z ¿(k,h) + + 2L(k,g)L(k,h)yzcosc() O si se ¿esarrolla, asocia y simplifica 30

llega

a

0

-

24

-

lo cual, si se considera corno trinomio en i(k,g)y, okebe tener un ¡isori

minante

O

«k,h)2z2(cos w,

-

cos

coa 1)2

-

«k,h)2Z2sn2P son

(0050 -

ooeooa')

2

-

son 2

2

son

o

Tomemos un sistema *le ejes rectangulares OX!Z. Veremos que so

puede

hacer

coinci

d

ir K con 0, F sobre el eje OX, O en el plano

XOY

;con coor—

enaas

0,0,0

para

K, a",O O

para

F, a',b',O para O y a,b,e pa

ra H.

x

Se vera

que se

pueden

determinar las coordenadas ¡e modo que

a"

=

(k,r)

a'2

+

b'2

t(k,g)2 ;

a +b +c

=

2

2

2

(k,h)2

(a'

-

a")2

+ by = (f,g)2

_;

(a

-

a")2

+

b2

+

o2

=

(a

-

a')2

+

(b

-

b')2

+ =

De las tres primeras, las tres últimas pueden reemplazarse por

2a'a"

=

d(k,g)2

+

d(k,f)2

-

2a&' =

a(k,h)2

+

d(k,f)2

-

d(f,h)2

2aat

+

2bb'

=

d(k,g)2

+ &(k,h)2 -

o también

a'a"

=

d(k,g)d(k,f)cos

aa'

d(k,h)d(k,f) cosfl

sal

+

bb'

=

d(k,g)d(k,h)

cos o

a'

=

d(k,g)cos

a

=

d(k,h)cosP

bb' = d(k,g)d(k,h)(coso(

-

coseos')

de las primeras ecuaciones

OE Mi

_Ii(Jm

Mg GfA7A -

LIIJ

=

d(k,g)2

-

a'2

=

d(k,g)2

-

d(k,g)2cos2

=

d(k,g)2

sen2 '

de donde*

= d(k,g)sen' _y

b

-

d(k,h)(cosoc

-

cospcosr)

son

r

a2

=

d(kh)2

-

a2

- = d(k,h)21 -003

21

_-

(coso(

-

cos

0

cos ')

sen2

2

son

d(k,h)22

V

son 2

p - -

cosa

coa

)2

son

1

2

que es O y se puede calcular o, teniéndose as todas las coordenadas. Enseguida consideremos ¿os puntos, m,n, del espacio abstracto que sean .ombina.ión lineal de loa cuatro anteriormente tomados f,g,h,k, y se verá que d(m,n) es igual a la longitud entre los correspondientes M,N en E3.

a

k

+ a1(f -

k)

+

b1(g

-

k) + 01(h

-

k)

n=k+a2 (f_k) +b2 (g—k) +.2(h—k)

a1,b1,01,a2,b2,e2, son reales, restando n de a y haciondo a1 —a2 =x, b1—b2=y, •lS2=Z , se tiene

m—nx(f_k)+y(g_k)+z(h_k) los correspondientes en R son:

=

K +

-

K) +

b1(G -

K) +

-

K)

N=K+a2(F-K) +b2(G-K)

--s2(H-K)

La correspondencia es vectorial; y, ¿e

u"),

se ve que se conservan las

-

26

-

De

(3)

se

tiene

=

x2d(k,f)2

+ +

-

yz[d(g,h)2

-

d(k,g)2

-

d(k,h)2]

-

zxd(h,f)2

-

d(k,h)2

_d(k,f)2

-

xy[d(f,g)2

- -

de

donde,

con

d1 distancia en R3 3

d(m,n)2

=

x2d1(K,F)2

+

y2d1(K,G)2

+

z21(K,H)2

-

yz[d1(G,H)2

-

d1(K,G)2

-

d1(K,H)2

-

z4a1(H,F)2

-

d1(K,H)2

-

— xyd.(F,G)2

-

d1(K,F)2

-

la expresi6n de la derecha es la correspondiente

del vector

ea

R3

N_M=x(F_K) +y(G—K)

+

z(H — K)

por lo que

d(m,n)

=

d1(M,N).

Inversamente, si

ahora

suponemos que el subespacio tridimensional L' de

L es isomtrioo a E3

se obtiene

11n)

_{y de ahí un espacio de productos}

interiores.

En efecto, sean f,g,h,k, cuatro puntos del subespacio tridimensional L'

de L y

supongamos que

les podemos

haser

corresponder cuatro puntos V,G,

H,K,

en

E3

y a dos puntos

m

=

k

+

a1(f

- k) +

b1(g

-

k)

+

.1(h

-

k)

a

=

k

+

a2(f

-

k)

+

b2(g k)

+

.2(h

-

k)

dos puntos

II=K+a1(F_K) +b1(C_K) +.1(H_K)

27

-

y que

d(m,n)

=

d1(M,N)

es tiene, e

n R3 1

= +

y2d1(K,G)2

+

z2d1(K,H)2

- - 1

(K,G)2

-

-

z4&1(H,F)2

-

- xy\1(F,C)2

- 1

(K,F)2

-

=

x2d(k,f)2

+

y2d(k,g)2

+

z2d(k,h)2

-

yz(g,h)2

- -

- - -

- xyd(f,g)2

- -

-

k)

+

y(g

-

k)

+

z(h

-

CAPITULO III

AjER O (S INPIRIOlv\ m i GrZAHOF7í4

ALT.

O1EC

£ Se analizarán cuatro condiciones que caracterizan a un espacio de

produc-tos interiores. De la primera (ley del paralelogramo) pueden intuirze las

siguientes* Ley del paralelogramo en la bola unitaria; Relaoi6n funcional

entre las normas de los lados y las diagonales del paralelogramo; y, con

siderando puntos de la bola unitaria, Relación funcional entre las normas

de las diagonales.

De la primera, se tiene que una condición necesaria y suficiente para que

un espacio morando sea de productos interiores es que todo subespasio

bi-dimensional L' de L sea isométrico a E2; lo que es un debilitamiento

de la vista anteriormente: que todo subespacio tridimensional sea

isonó--trioo a E3 y que nos permite, para las siguientes caracterizaciones, tra

bajar en subospacios bidiionsiosa1os. Mn (a) se v6 además un sopun&o teo—

rema del cual el primero es un caso especial.

A) LEY DEL PARALELOGRAMO

TEOREMA. (J.v.N.). Una condición necesaria y suficiente para que un

espa-cio lineal normado L sea de productos interiores es que se cumpla CARACTERIZACIOMES DE ESPACIOS DE PRODUCTOS

(J.v.N.) + ₊Ilf - g 2 = 2((fl\ 2 + g 2 ) f,g en L. MACESIDAD. Supoogamos que L es de productos interiores, entonces

[f + g,f ₊ + f - g,f -

al

= 2([f,f ₊

if + g,f + 91 - f - g,f - fl = 2([f, +

-

29

-

De la

segunda

ecuación

se obtiene:

, g1 2 -

II

-

gI)

De

=

•[f,g

para e

=

i

if,g7

=

if,g

y

=

Rif,j

Así,

_jlrlI

determina R[f,g y If,g

y [f,g es

inico.

SUFICIENCIA. Supongamos

que (J.v.N.) se .uple, definimos

J

R[f,gl

(flr

+

gIl2

-

1f

-

\

f,g\ Rf,g

+

iIf,g

RÇf,j

-

iRif,g1

esto es exacta

m

ente la correspondencia entre el producto real y el

_produe

to complejo, por lo que bastaría ver que la parte real

_cumple

las •ondi—.

siones

para un producto interior.

Reemplacemos f,g en (J.v.N.) por f1i9

_,

_f"

y restemos

Ur'

+ g +

f"

11 +

_U'

₊ -

f'12

-

11'

- g + - , -

g

f"2

=

=

2f'

+

112

₊

1tf,i112].

-

2\jf1

- _gi

l

2

+

1i 2

=

= 211If'

+

g

JJ -

\\f'

-

I\21 =

24Rf1 ,4

=

8R

el

reasomodando el primer miembro y considerando (1) se tiene

ft ₊

_f"

+ -

1\f'

+ -

sil

+

f'

fo

+ gil - 11 , - ffl

-911

=

4Rf'

+

f" ,g\

+

4R\f'

-

f",g

_{= 8}

Rft,g1

'

2)

R\f'

+

f"g

+

Rf'

- fIIg ₌

2Rf1 ,g =

_R2f',g

la iiltima igualdad de hacer f

=

_{O en (J.v.N.) (Iht 2 =}

_1-g\)

y de

aquí, al hacer

f

=

O

en

(i)

_(RIO,i\

=

O

_),

se

tiene,

en

la

ex—

presión anterior (2) para

fi ₌

R[2f1 ,g

=

2R[f1 ,g

Si ahora reemplazamos ft,f"

por

+

r"),

fi -

r")

en (2) obtenemos

R1f',g

+

R[f",g

=

Rif'

₊

y

de aquí, por (i)

— 30 —

+

f", g\

\f',g

+

Si en la desigualdad del triángulo para espacios floreados

\

f +

11

1 +

fi cfi

hacemos f

=

f", g

=

fC - f' tenemost

+

\

fC\\

_\\r"\'

< fi - fil

si intereambiamos ft,ful, o sea, hacemos f = _{f' g f"} - fi

Iff

+

f" - f'

\l 'I\

₊

fi

- f'

11

- \Ife\

¿e los dos resultados

fifi - \fICfi\<

tI

ft -

rieti

¿e aquí

+

il

- fibf ±

c\\

\\af ± g - _{(bf ~ g)\} = (a -

si reemplazamos la eorzdieión para un espacio floreado

fiarfi = \a\

11 f I\

por la condisión mas debil

1\aftl -8 O , si a —p O

vemos que si a —e b entonces a - b —# O

y

11 (a

- _b)f\l —'

o

esto iriplisa que

fi

af ± g

_{fi —e}

bf g 11

o sea, fiaf ± g\\ es continua en a y, por (1), Raf,g y af,g son

tambien continuas en a.

Consideremos el conjunto 5 de todas las a para las cuales vale i)

aff,g

1 é S ; a,b C 5 a -e- b IÉ 5, ya que, por u), si

af,g = af,g\ y bf,g7 = bf,g

- 31 -

ytodo a=O,+l,+2, ,S.

Si a,b E 5 y b O

=z

E

S

af,g\ = =

y todas las a racionales están en S

La continuidad ¡e taÍ,j en a implica que S es serrado, así todas

las a reales están en S.

De la segunda eouasi6n de (1) [if,g = ilf,g

1,

por lo que i e S. Así,

si a1,a2 son reales,

a1 - ja2 = a, +

2

ÉS

y todos los complejos están en S y se tiene

i) £

af,g

1

=

De la primera esuación de (1) se tienen

Rif,ij1 = RÇf,g

R ~f,gl =

combinando se tiene

Rif,j\ = R[iif,i1\ = R[-f,ig = _R\f,ig = -Rig,f\

de donde

iii) V

f,Cl

= Rf,g - iR(if,g\

= R\g,f\ + iRig,f

Rf,g - i(_R(ig,f) =

=

De i) y iii)

f,ag\

=

\Iag,f\

=

;4g,f•\

=

~

af,afl

= af,f =

+ = _17971f +

g",f'\

= f,g' +

De la primera ecuación

de (1)

= 110

RV1f,f

=

(ltif

+ -

nif

-

f12)

= + 1121112 -

Ii

1

a =

- 32 -

= *(211f2 - 2(1f2) =

o

iv), y) 1ff\ = ufe - O ₌ O y se tiene

=

Veamos ahora que una condición necesaria y suficiente para que un espacio

normado sea de productos interiores es que todo subespacio bidimensional

1' de L sea isométrico a R2.

Si L es de productos interiores tenemos , _{como en II.A.((l) y} (2)),

(f,g)

= +

CA

- -

(f,g) ₌ + - - g 2

y, procediendo como en II.B., podernos llegar a i) que es un *aso espe

ojal de ji") (cuando z =

o)

y la demostración se reduce a un caso

es-pecIal de II.C.. Sin embargo puede mencionarse la obviedad de la

necesi-dad necesi-dado que se cumple la ley del paralelogramo (corno en todo espacio

eu-clidiano) y, para la suficiencia, si f

0 , g0 e L, el espacio L' de

to-do af

0 + bg0 (a,b, nilmeros complejos arbitrarios) es de dimensión !~ 29

si suponemos que es isométrico a fi2 la condición (J.v.N.) vale, por lo

que vale en particular para f = f₀₉ g = 9₀ y, como f

0, g son

arbitra-rios, del teorema se tiene la existencia del producto interior.

TEOREMA. Res. L un espacio lineal formado. Definamos

1 ilf + 112

Cf g ₌ 2

II fil2

+l1f-i12

+

ll

gi

f. €L f. - O

Denotemos el sup de C f,

a por b, y su r a.

a 1 b 2

Los espacios de productos interiores representan el caso extremo

- 33 -

ya que

; de 11 f +

11

ilfil

+ 11 gjj

2

1 \f

+ gil + uf - 1

(llft

+

ligli

2

)

+

(Ufil

+ 2 Cf,

g =

f ₊

_gil2

II fl\

+

. 2

(11±11

+

gi)

II

fil

2

+

11gfl

2

+ 2

Ilfil flgli

+ 1lg1l

2

- 11

f1,2

+

2(11 f +

_{it gil )}

- 2

n4 2

+ 11 gil

2

211f1\ l\ gil<1 U

fil

2 +

ti gil

2 y b2.

Si en

Itofli =

icitifil

hacemos o = 2

- 1 f + g Cfg,f_g 2

+ f -

gil

₊ 11 f + g - f +

g2

2

11 f

112

+

It

g1l

2

..j._... tif+g\ 2 + f—g 2 C

f,g

2

2

11

uf

+

g\

+

tl

-

gil

de donde a = 1 _{ya que Cfgf...g} b b _C 1 <

f,g

f,g

a

Así, b2 z y ab , a1E.b

de ambos a1b2

Los espacios de productos interiores se caracterizan por a = b = 1

1

U

f

+

gil

2 +

Uf

- g(j2

201f112

+

g1l2 )

2 2 -

C

fg =

_Lifli

₊

_lhll

_2(11f112

₊

11g112 )

1

B) LEY DEL PARALELOCRMIO EN LA BOLA UNITARIA

Por lo anterior se tiene que un espacio nornado es de productos interiores

si y solo si todo subespacio bidinensional es un espacio de productos irite

riores, así, consideraremos espacios bidimensionales.

- 34 -

un espacio lineal normado sea de productos interiores, (J.v.N.), vista

en (A), basta que se cumpla en la bola unitaria. La demostración se ba

sa en que un espacio bidimensional real es de productos interiores si y

solo si el conjunto de puntos de norma uno es una elipse.

LEMA 1 • Un espacio normado bidimensional L es un espacio de productos

interiores si y solo si la esfera unitaria en L es una elipse.

NECESIDAD. Sea L un espacio de productos interiores bidimensional y

sean e1, e2, su base; sea f de la esfera unitaria

f = e1 + 1

(ve1 + e2 ,i

l

e, + e2 ) = 1

+ 21(e1,e2) + 2(e

29e2) = 1

+ 2B 'L + C 2 = 1

A (e1,e1) ,

a

(e,e) positivos

SUFICIENCIA. Sea L un espacio formado bidimensional con e1, e2 de

base; f = V1e1 + e2 , JJfJk= 1 _{y supongamos que se cumple}

+ BI1 +

c y2

= i

con fr1e1 +e2 , g=1 e1 + , h = l'e1 + _re2

hacemos

(3) (f,g) = 1YA +

(

el,e2 ) + 1(e2,e1) +

= \A+b +b +

iii') (f,g) = (g,f) (todo es conmutativo)

jt) _{desarrollando}

(af,g) = (a1e1 + e2 \, e1 +

(f + g, h) =

iVt), y')

Í 35

,. U ~ 1

1

11 ITOS E9TUD!ÜS

6LJOTECA

(ve +

f

e + el + 11e2, '- 'e1 + 511 e2)

17

(í,r)

(f\

flr\\

f

i )

\fY

'

)

u

1

(21-

++_i—c)

\f\

2 \f\\2

f\2 = \\f\(l) = f1\ 2

o

LEMA 2.

Si C es una curva convexa cerrada simétrica, existe una elipse

única de área mínima circunscrita a C

Sean E1, E2, elipses de área mínima circunsritas a C, hagamos una

transformación afín reduciendo ambas elipses a los ejes principales, de modo que las ecuaciones para ellas puedan escribirme en la forma

2

X

2

_{+y =1} ax 2 + by 2 u 1

como son de igual área y el área de una elipse es flabI, donde a',b'

son los semiejes, se tiene que el área de la primera es y de la se-

17 1 1

gunda (a = , b = -

)

y, por ser de igual área

-

iT

a

TE

4'

ab = 1

La condición de que contienen C muestra que

2 2 2 2

X ₊ y 1 ax + by 1 para (x,y) en

c

sumando se tiene que, para puntos de C,

(a+1) 2 (b+l) 2

2 + 2

y la elipse a+l 2 b+l 2

2 + 2 y =1 contiene a C.

El área de esta elipse es

1

'rr(a fi r)

- 36 -

a menos que a = b = _{1 y} la elipse mínima es ,lnica.

LEMA

_3.

La elipse mínima circunscrita a una curva C convexa cerrada simétrica, toca O a lo menos en cuatro puntos.

Si la elipse mínima E se escribe en la forma x2 + y2 1, donde (1,0)

es un punto de contacto de O y E, entonces las elipses EL con ecua—

ciones

2 1

1 + + (i + L) y2

tambien tienen área mínima y no contienen C.

Para cada

E>

O sea P un punto de O que no esté en EL; enton— ces hay una sucesión _{O tal que PL} converge a algun punto P.

Como todas las P están en C, P está en C; además PE está a poco

menos de C de E, así P está tambien en E.

Las intersecciones de E y EL tienen por segundas coordenadas (y)

1

±

(2

de aquí, el valor absoluto de la coordenada y de P es al menos

De aquí, P no es ninguno de los puntos

(i,o)

y está sobre O y E. Por

simetría hay al menos cuatro puntos de contacto de O y E.

TEORETA 1. Si L es un espacio real lineal bidimensional y C es el con

junto de puntos de norma uno, C es una elipse si y solo si

(D)

11

+ gil

+flf

- =

4

si

lfl=llell

= 1

Antes de pasar a la demostración del teorema veamos la definición siguientes

Sea E un conjunto convexo. Entonces

= inf{r\ E E, r >

es una funcional convexa finita, llamada fu.cional de Minkowski del con—

junto convexo E.

- 37 -

Para aplicar el lema 3, sea C el conjunto de puntos f para los cuales

JIfIS = 1 y E la elipse de área mínima circunscrita a C.

Definimos una nueva norma

_\

en L de modo que E es el conjunto de to- das las f para las cuales _\ f\ = 1. Esto puede hacerse por la funcional

de Mikowski

_fI

= inr\ E E, r> O . Es facil ver que si f € E,

entonces = 1.

Puesto que por lema 1, puede ser definida de un producto interior,

la relación (D) vale para . Como C está dentro de E _{, \\f kk )\f}

1

para toda f. Sean f y g dos puntos de contacto de C y E. Entonces

4

= f _{+ g\2 +} If - g 2 f + g

il 2 - =

4

y f_gl=\f_g\.

Es decir, si C y E se unen en dos puntos, entonces se unen en dos puntos

más aproximadamente a medio camino entre los puntos originales. Repitiendo

el proceso por inducción, C y E concuerdan en un conjunto denso de

pun-tos y O es E, y se tiene demostrada la suficiencia. La necesidad es por

el lema 1 y el teorema (J.v.N.). De lo anterior se tiene el debilitamiento

de la condición (J.v.N.)

TEOREMA. Un espacio normado L es un espacio de productos interiores si

y solo si satisface la condición

=4 si Uf 11 = 11 gll = 1.

Veamos un debilitamiento más en términos de propiedades de ortogonalidad;

esto se ampliará en el capítulo IV.

DEFLNICION. Sea L un espacio de productos interiores y sean f,g é L.

ilO ES 1UD113!

JOTECk

+ g\f - (ortogonalidad isosceles)

+ git =f ₊

_iil2

(ortogonalidad Pitagórica)

11 f

+ tg - tg\ (ortogonalida& de Roberts)

TEOREMA. Si la ortogonalidad isosceles implica la ortogonalidad Pitagó—

rica, esto es, si

uf

+

EA

=

l\f

- gil implica

11

f + gli =

1Ifii

+ II gil,

entonces L es un espacio de productos interiores.

Sup6gase que = 1, entonces f + g, f - g son ortogonales

isosceles, ya que

+ g + f - &jj

=il 2f\

= _{211f11= 2}

uf

+ - ' _+&

ll

= 1

1

2gjj = 2jigll = 2

¿e ambas

1

1

(f

+ g) + (f -

CA1 =lljf

+ g) - (f -

si esto implica que sean ortogonales pitagóricos, se tiene

4

=ii 2ffl + g) + (f -

g)112

= 11 f + gil

+iir

- que es la condición

(D);

así, es de productos interiores.

El inverso tambien es cierto, esto es, si L es de productos interiores

entonces la ortogonalidad isósceles implica la ortogonalidad pitagótica.

Si L es de productos interiores, se tiene

11

+ gjj ₊

11

-

i 2

para

it fil

=

Ugil

= 1

2\\f + g 2 =

4

(puesto que lkf +

gil

= Ilf - g\, ort. isosc.) y

11 f + g = 2 = 1 + i

=11

₊ i12

C)

U1Qk RELACION FtJNCICNAL ENTRE LOS LADOS Y LAS DIAO1:1LES DEL PARALELOGRAMO.

- 39 -

La condición (J.v.N.) puede debilitarse por otras condiciones

geométri-cas que pueden ser resumidas en una relación funcional de las normas de

dos elementos del espacio y las diagonales del "paralelogramo" formado

por ellos. Dos condiciones geométricas son las siguientest 1) Un

trián-gulo es isósceles s& y solo si dos de sus medianas son iguales. 2) Si -

los tres lados de un triángulo son iguales respectivamente a los tres -

lados de otro, sus medianas correspondientes son iguales. Podemos visua

lisarlos en las figuras siguientes y la condición respectiva.

i.

g

d

1)

fl=ll-3 U

l\-fl)

Podemos reemplazar la condición (J.v.N.) por la siguientes

(R.L.) Existe una función no trivial de tres variables reales

F(u,v,w) tal que, para todo f,g en L

lf

+ SI = -

llf

Esto establece que la longitud de la mediana está completamen-

te determinada por las longitudes de los tres lados 11 f _{gJ19 \l±} - gil

La demostración de la suficiencia de la condición anterior se basa en el

teorema que se enunciará enseguida del cual; aunque la necesidad es mme

diata, la sufici&ncia se demuestra con la ayuda de una serie de lemas que

llevan a la condición de que la bola unitaria es una elipse. No será

ana-lizada aquí.

TEORF2IA. Una condición necesaria y suficiente para que un espacio lineal

normado L sea de productos interiores es que exista una constante fija

4

0,1, taj. que f,g e L y

11 f +g1 = Uf - implica \\f+ y g\\=\f- _''g\.

- 40 -

Una formulación equivalente se obtiene haciendo

- "

aZZER DE MH2 341~

1 ₊

r

_44ÁÑA

Mt GRANOVIA

f i , g' =f - g rt =

Existe una constante 0,1 tal que f',g' E. L y

ALTOS E

S

TUDIO

S

3 1. 0 T C

lIf,ll = llg'\\ implica

\l

f' + g,lk = \\f' + La necesidad de (R.L.) se vó de (J.v.N.).

SUFICIENCIA. Consideremos f,g E L con

_{l fIl ltgl}

. Hagamos fi _{f, f" = g, g' g"} = f + g ; entonces g' - fi _{= g, g"}

- f" =

Así, se tiene

II

f' 11 =

It

f" t,,

fl

g

tt\ = g" tt

t

gt - ft!1 ₌ g" - Si aplicamos (R.L.) tenemos

+

f'lt =1k"

+

fil 11 _{o 112f+g\= 11 f+2g}

esto es,

jk

f 11 ₌

11

gjj implica _{jk 2f + gjj} = f + 2g\

Por &a segunda formulación del teorema, el espacio L es de productos

interiores.

D) RELACION FUNCIONAL ENTRE LAS NOENAS DE LAS .DIAEOEAJES

C:CI-DERANDO ELEETOS DE LA E2EDA TT?A'IA

De la condición (D)

ll f

+ i12 +\f - :l = 4, para =

\gfl

= 1, ce iré queci L es un espacio de nroiuctos interiorso, existe una fución

que manda flf + en

_\\

f

- y visceversa r co es Jo la :orr.:a 1/2

F(x) = (4 - x) . F ectd JefiniJa cobre el intervalo en vista

- 41 -

F(llf +-TI¡) =

uf

-. =e obtiene suetituyeno flf ₊ g\ por su igual

(4 —\f

-1/2

TEOREMA.

Una condición necesaria y suficiente para que un espacio lineal

normado L sea de productos interiores es que exista alguna función real

F de una variable real, definida sobre el intervalo numérico 10,2 tal

que, si P y Q son puntos de la esfera unitaria para L, entonces

(s)

FOIP

+ Q) =

I

P -

La NECESIDAD se vó en el párrafo anterior. La SUFICIENCIA se demostrará por inducción, haciendo ver que la esfera unitaria coincide con un cír—

culo _{de radio 1 y} centro en el origen. Se hace la consideración que L

es bi—dimensional.

Denotemos por M la esfera unitaria para L y sea P algún punto de M.

Consideremos un punto Pl de M y hagamos p + t(p - pl

G(t)

_JIP

+ - P5fl

con 0tl

Es una función continua de t que describe a N y que va de P a P'

sobre la esfera unitaria; así

p + t(p' - — p + t(p' -

Denotemos por a la G(t) tal que

_\

P - C(t) = 1. Establescarnos

un sistema coordenado con P en (1,0) y en (cos 1 -,sen). Deno—

ternos por C el círculo con radio 1 y centro el origen.

P y Z son comunes a C y M. Como 11p - Q\ =1\P -

Qjj

= 1, se tiene que

P - Q pertenece a C y M. Por la simetría de M, - P, —P, -, son

taebien comunes a C y N • De aquí

ui-

=fl-

(—p)\ =Q - P -

_{()=U-- (-)U=l\-- (-)t}

₌

11(P

-

Q) - Pil = 1

- 42 -

suma (diferencia) de dos puntos determina la norma de su diferencia (su-

ma); por lo que

jj P ₊

_QU

= 112Q - P11 = IIQ - _2PU

=

t-

P - 011 = \P - 2Q\\ = \\2P -

Q\1

(siendo P, Q, P - Q. de la esfera unitaria, por la ley del paralelogra-

mo se tiene que la illtirna igualdad es (3)

_).

Utilizando la condición,

-

denotemos

fl

+ por c. 2Q -P_o y -2P

o pertenecen a la esfera

unitaria. Veamos la norma de su diferencia y la norma éle su suma

2Q- P + Q -2P

=

3Q

- 3P

₌

3

esto implica que F(1)

=

, como P - y 11P+Qto _,

F(l)

=

o

y

c.(3)

1/2

2 (ír21

\ 1/2

como + Q

=

(i + cos-) + (sen)

=

_{l + 2oos-} + 11'2

1

31/2

se tiene P +

= 11

.P + P +Q pertenece

lip , por lo que el punto

+ QIk

a C y M . Por un argumento similar pertenece a C y M, y

pertenece a C y M pmra

n=l, 2, 3, ... ,12.

así para los demás; por lo que exp

2Q - P

11 - PU