Informe Técnico N 182 EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL EN MADERA. 2ª Edición

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EJEMPLOS DE CÁLCULO

ESTRUCTURAL EN MADERA

INSTITUTO FORESTAL

2014

Informe Técnico N° 182

2ª

Edición

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INSTITUTO FORESTAL

UNIDAD DE TÉCNOLOGÍA E INDUSTRIAS DE LA MADERA

EJEMPLOS DE CÁLCULO ESTRUCTURAL

EN MADERA

Autores

Mario Wagner M.

1

Marcelo González R.

2

Luís Vásquez V.

3

Gonzalo Hernández C.

4

Colaboradora

Javiera Padilla R.

5

1_{Ingeniero Civil. [email protected]} 2

Instituto Forestal. [email protected]

3

Instituto Forestal. [email protected]

4_{Instituto Forestal. [email protected]} 5

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INSTITUTO FORESTAL - Chile 2014

Ejemplos de Cálculo Estructural en Madera Informe Técnico N° 182

Primera edición 2011 Segunda edición 2014

Unidad de Tecnología e Industria de la Madera, INFOR, Sede Bio Bio.

Publicación financiada por el Contrato de Desempeño INFOR-MINAGRI 2013. ISBN N° 978-956-318-097-8

www.infor.cl

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PRÓLOGO

Estados Unidos (90/95%), Canadá (80/90%), Suecia, Noruega y Finlandia (75/85%) son los países que a nivel mundial más emplean la madera en la construcción de sus viviendas. Estos países promueven su uso en consideración a una serie de aspectos: los bosques contribuyen a mitigar el cambio climático (captura de carbono); la madera presenta bajos consumos de energía en su ciclo de vida (producción, transporte, construcción, operación de la vivienda y demolición); la madera es un material reciclable; biodegradable; presenta un buen comportamiento frente a los sismos; y los sistemas constructivos permiten fabricar viviendas en menos tiempo.

La realidad internacional está muy alejada de lo que sucede en Chile, donde las viviendas con estructura de madera rondan el 19%. El bajo consumo de madera en la construcción de viviendas en Chile se explica por una serie de factores: (a) La escasa disponibilidad de mano de obra calificada (carpinteros); (b) Número reducido de profesionales de Arquitectura, Ingeniería Civil y Construcción Civil con especialización en la especificación, construcción, y diseño de estructuras de madera (c) Oferta no estandarizada de madera para la construcción, aspecto que no incentiva su uso por parte de las empresas constructoras; (d) Falta de laboratorios de control de calidad de materiales de la construcción que certifiquen la calidad estructural de la madera, (e) Ausencia de un programa de difusión masivo del uso de la madera en la construcción; (f) Número reducido de empresas PYME dedicadas a la industrialización de componentes; (g) Falta de material técnico de apoyo para la formación de profesionales de la construcción en madera.

La publicación “Ejemplos de Cálculo Estructural en Madera”, financiada con recursos del Convenio de Desempeño 2011 suscrito entre la Corporación de Fomento de la Producción (CORFO) y el Instituto Forestal (INFOR), cubre una de las falencias detectadas que limitan el uso de la madera en la construcción, transformándose en un valioso material de apoyo para la formación de profesionales ligados a la construcción en madera.

El autor principal de esta publicación es el Ingeniero Civil Sr. Mario Wagner Muñoz, quien también participó en la elaboración de la norma chilena de construcciones en madera. Además participaron de este estudio los profesionales de la Unidad de Tecnología e Industrias de la Madera del INFOR, Ingenieros Srs. Gonzalo Hernández, Luis Vásquez y Marcelo González. Finalmente, esta publicación contó con la colaboración de la Srta. Javiera Padilla, estudiante de Ingeniería Civil de la Universidad Católica de la Santísima Concepción.

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INTRODUCCIÓN

La norma chilena NCh 1198: Madera – Construcciones en madera – Cálculo, establece los métodos y procedimientos de diseño estructural que determinan las condiciones mínimas que deben cumplir los elementos y las uniones en las construcciones con madera aserrada, laminada, y de sección circular.

La presente publicación pone a disposición de los estudiantes y profesionales relacionados con el diseño de estructuras, ejemplos prácticos de cálculo y diseño estructural en madera. En el desarrollo de ellos se expone la metodología y procedimientos de diseño basados en la última versión de la norma chilena de construcciones en madera NCh 1198 oficial 2006, cuyo texto se requiere para el adecuado desarrollo de los ejemplos.

En algunos ejemplos se incorpora información que no se encuentra contenida en la norma, ya sea porque considera materiales que a nivel nacional no han sido suficientemente caracterizados, o bien, porque con posterioridad a la última revisión del documento se dispuso de información que probablemente se incorporará al texto normativo en su próxima redacción.

En el caso específico de ejemplos que consideran uso de piezas de madera laminada encolada de Pino radiata, y con el propósito de no alargar excesivamente el desarrollo de los ejemplos, sus propiedades admisibles se han estimado en forma conservadora con respecto a la estricta aplicación de las especificaciones de la norma correspondiente, NCh 2165: Tensiones admisibles para la madera laminada estructural de Pino radiata. Se ha asumido una materialización híbrida cuando no se mencione específicamente algo distinto; es decir, láminas Grado A (NCh 2150) en los sextos extremos de la altura de la sección transversal y láminas Grado B (NCh 2150) en los dos tercios centrales de la altura. En el Anexo C se entrega un detalle de las situaciones consignadas.

Para los ejemplos que consideran uso de tableros contrachapados, y dado que los fabricados en el país no se encuentran aún caracterizados desde el punto de vista de las propiedades mecánicas requeridas para el cálculo estructural, se hace uso de los resultados obtenidos en el proyecto desarrollado en 1990 por la Corporación Chilena de la Madera, cofinanciado por CORFO a través del Fondo de Desarrollo Productivo, y cuyos resultados prácticos se resumen en el Anexo E.

Finalmente se incorpora en el Anexo K una serie de erratas al texto de la última versión de la norma de construcciones en madera, las que han sido consideradas en la reciente revisión del documento próximo a oficializarse como NCh 1198 Of.2014.

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ÍNDICE

EJEMPLO 1: Determinación de propiedades mecánicas de diseño ... 1

EJEMPLO 2: Criterio de especificación de especie maderera y grado estructural ... 2

EJEMPLO 3: Diseño de pie derecho de tabiquería ... 5

EJEMPLO 4: Carga de diseño de columna ... 9

EJEMPLO 5: Pieza Comprimida de sección transversal compuesta no espaciada ... 12

EJEMPLO 6: Columna de sección transversal compuesta espaciada ... 18

EJEMPLO 7: Puntal tripartito de columna ... 23

EJEMPLO 8: Columna bipartita ... 27

EJEMPLO 9: Capacidad de carga de vigas de piso ... 35

EJEMPLO 10: Viga de piso tipo cajón ... 40

EJEMPLO 11: Viga enrejada ... 46

EJEMPLO 12: Envigado maestro de techo con vigas clavadas de alma llena entablada y cordones de madera laminada encolada. ... 54

EJEMPLO 13: Diseño de pie derecho de una tabiquería exterior ... 69

EJEMPLO 14: Sistema de moldaje de muros ... 74

EJEMPLO 15: Moldaje losa ... 82

EJEMPLO 16: Diseño de unión con pasadores ... 92

EJEMPLO 17: Diseño de unión con tirafondos ... 98

EJEMPLO 18: Diseño de empalme clavado ... 104

EJEMPLO 19: Diseño de unión clavada ... 109

EJEMPLO 20: Unión con clavos lanceros ... 114

EJEMPLO 21: Diseño de uniones clavadas en una cercha ... 118

EJEMPLO 22: Diseño de uniones con placas dentadas en una cercha ... 133

EJEMPLO 23: Diseño de uniones con conectores dentados en una cercha ... 147

EJEMPLO 24: Diseño de unión de alero de estructura de techo construida con conectores anulares ... 163

EJEMPLO 25: Uniones de contacto: embarbillado ... 172

EJEMPLO 26: Unión de embarbillado en tracción ... 176

EJEMPLO 27: Diseño de sistema de techo con vigas rectas de madera laminada ... 179

EJEMPLO 28: Sistema de techo a dos aguas con vigas de madera laminada de canto inferior recto ... 184

EJEMPLO 29: Sistema de techo a dos aguas simétrico con vigas de madera laminada con bordes inclinados ... 192

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ANEXO C: Tensiones admisibles de piezas homogéneas e híbridas de madera laminada

encolada de pino radiata (estimación conservadora) ... 217 ANEXO D: Expresiones para la estimación de deformaciones verticales en vigas de madera laminada encolada de altura variable. ... 220 ANEXO E: Tensiones admisibles para tableros contrachapados estructurales ... 222 ANEXO F: Medios de unión (NCh 1198) ... 226 ANEXO G: Especificaciones de diseño y ejecución de uniones con clavos fabricados según norma NCh 1269. ... 228 ANEXO H: Propiedades de diseño placas dentadas GN 20 A (Gang Nail) ... 230 ANEXO I: Uniones con conectores. De presión Tipo C (EN 1995-1-1) ... 234 ANEXO J: Cargas inducidas por el hormigón fresco sobre los moldajes (American Concrete Institute EEUU) ... 245 ANEXO K: Erratas consideradas en la revisión de la norma a oficializarse como NCh 1198.Of 2014 ... 248

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EJEMPLO 1: Determinación de propiedades mecánicas de diseño

Determinar la tensión de diseño de flexión y el módulo elástico de diseño de vigas de lenga aserradas en bruto de sección 50 x 150 mm, Grado Estructural N°2 según NCh 1970 Parte 1, con un contenido de humedad 22 %, para un estado de carga con duración acumulada de 1 año durante la vida útil de la construcción.

Solución:

El contenido de humedad de las vigas es H = 22% ≥ 20 %

De NCh 1198, sección 5.2.4, Tabla 3, dado que H > 20% corresponde considerar condición verde para la determinación de las tensiones admisibles y del módulo de elasticidad.

Además, de acuerdo con NCh 1198 Anexo A, en condición verde la lenga se asigna al Agrupamiento E5.

De NCh 1198, sección 5.2.4, Tabla 6, a un Grado estructural N°2 y especies asignadas al Agrupamiento E5 le corresponde una Clase Estructural F8.

En Tabla 4 de NCh 1198 sección 5.2.4, a la Clase estructural F8 se asigna una tensión admisible de flexión 𝐹𝑓 = 8,6 𝑀𝑃𝑎 (Aplicable sobre piezas de altura h = 50 mm) y un módulo de elasticidad E = 6.900 Mpa.

Aplicación de factores de modificación.

i) Por duración de la carga, NCh 1198, sección 6.1.2

 𝐷 = 1 𝑎ñ𝑜 = 365 ∗ 24 ∗ 60 ∗ 60 = 31.536.000 𝑠 𝐾_𝐷= 1,747 𝐷0,0464+ 0,295 = 1,747 31.536.0000,0464+ 0,295 = 0,784 + 0,295 = 1,08 ii) Por altura, NCh 1198, sección 7.2.2.3

Como h =150 mm 𝑘_ℎ𝑓= √50 ℎ 9 = √50 150 9 = 0,885 Propiedades de diseño: 𝐹_{𝑓,𝑑𝑖𝑠}= 𝐹_𝑓∗ 𝐾_𝐷∗ 𝐾_ℎ𝑓= 8,6 ∗ 1,08 ∗ 0,885 = 8,2 𝑀𝑃𝑎 𝐸_𝑑𝑖𝑠= 𝐸 = 6.900 𝑀𝑃𝑎

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2 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L

EJEMPLO 2: Criterio de especificación de especie maderera y grado

estructural

Determinar una combinación aceptable de especie forestal (NCh 1990) y grado estructural (NCh 1970) que permita verificar una disposición regular de columnas de 4 m de largo, escuadría 145 x 145 mm, con un contenido de humedad H = 18 %, dispuestas según un reticulado en planta, módulo 3 m, y que deben soportar una densidad de carga q = 4,5 kN/m2. La duración acumulada del estado de carga condicionante del diseño es 6 meses.

Solución:

Área tributaria que descarga sobre cada columna. 𝐴_{𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑎𝑟𝑖𝑎}= 3 ∗ 3 = 9 𝑚2

Fuerza de compresión que solicita cada columna. 𝑁 = 𝑞 ∗ 𝐴𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑎𝑟𝑖𝑎= 4,5 ∗ 9 = 40,5 𝑘𝑁 = 40.500 𝑁 Tensión de trabajo por compresión paralela.

𝑓_𝑐= 𝑁 𝑏𝑥ℎ=

40.500

145 ∗ 145= 1,93 𝑀𝑃𝑎

La condición óptima establece la igualdad de la tensión de trabajo con la tensión de diseño de compresión paralela (Ver NCh 1198, Sección 7.3.2:

𝑓_𝑐= 𝐹_{𝑐𝑝,𝜆,𝑑𝑖𝑠}= 𝐹_𝑐𝑝∗ 𝐾_𝐷∗ 𝐾_𝐻∗ 𝐾_𝜆

Factor de modificación por duración de carga, NCh 1198, Sección 6.1.2 𝐷 = 6 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 = 6 ∗ 30,5 ∗ 24 ∗ 60 ∗ 60 = 15811.200 𝑠

𝐾_𝐷= 1,747

𝐷0,0464+ 0,295 =

1,747

15.811.2000,0464+ 0,295 = 0,810 + 0,295 = 1,105

Factor de modificación por contenido de humedad. NCh 1198, Sección 6.1.1, Tabla 8. Gradiente de humedad con respecto a la condición seca

Δ𝐻 = 𝐻 − 12 = 18 − 12 = 6%

𝐾_𝐻,𝐹_𝑐𝑝= (1 − Δ𝐻 ∗ Δ𝑅𝑐𝑝) = 1 − 6 ∗ 0,043 = 0,742 𝐾𝐻,𝐸= (1 − Δ𝐻 ∗ Δ𝐸) = 1 − 6 ∗ 0,0148 = 0,911

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I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 3 El factor de modificación por pandeo se estimará tentativamente asumiendo una Clase Estructural F8.

De NCh 1198, Sección 5.2.4, Tabla 4, para F8, Fcp=6,6 MPa ; E=6.900 MPa y conservadoramente

se asumirá un factor de proporcionalidad c=0,80.

𝐹_{𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠}= 𝐹_𝑐𝑝∗ 𝐾_𝐷∗ 𝐾_𝐻 = 6,6 ∗ 1,105 ∗ 0,742 = 5,41 𝑀𝑃𝑎 𝐸𝑑𝑖𝑠= 𝐸 ∗ 𝐾𝐻= 6.900 ∗ 0,911 = 6.287 𝑀𝑃𝑎

Factor de modificación por esbeltez, NCh 1198, Sección 7.3.2.3 Esbeltez reguladora del diseño

𝜆 =𝐿𝑝∗ √12

𝑏 =

4.000 ∗ √12

145 = 95,6

Tensión crítica de pandeo para elementos sometidos a compresión 𝐹𝑐𝐸= 3,6 ∗ 𝐸_𝑑𝑖𝑠 𝜆2 = 3,6 ∗ 6.287 95,62 = 2,48 𝑀𝑃𝑎 𝐹_𝑐𝐸 𝐹_{𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠}= 2,48 5,41= 0,458 𝐴 = 𝐹_𝑐𝐸 𝐹_{𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠}∗ (1 +200) + 1𝜆 2 ∗ 𝑐 = 0,458 ∗ (1 +95,6_{200) + 1} 2 ∗ 0,8 = 1,048 𝐵 = 𝐹_𝑐𝐸 𝐹_{𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠} 𝑐 = 0,458 0,8 = 0,573 𝐾_𝜆 = 𝐴 − √𝐴2_{− 𝐵 = 1,048 − √1,048}2_{− 0,573 = 0,323}

Planteando la condición óptima

𝑓_𝑐= 𝐹_𝑐𝑝∗ 𝐾_𝐷∗ 𝐾_𝐻∗ 𝐾_𝜆 ⇒ 1,93 = 𝐹_𝑐𝑝∗ 1,105 ∗ 0,742 ∗ 0,323

⇒ 𝐹_𝑐𝑝 ≥ 1,93

1,105 ∗ 0,742 ∗ 0,323= 7,28 𝑀𝑃𝑎

Examinando Tabla 4 de NCh 1198, Sección 5.2.4, se requiere una Clase Estructural F11, que brinda

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4 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 𝐹_𝑐𝑝 = 8,3 𝑀𝑃𝑎 > 7,28 𝑀𝑃𝑎 𝑦 𝐸 = 7.900 𝑀𝑃𝑎 Comprobación: 𝐹_{𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠}= 𝐹_𝑐𝑝∗ 𝐾_𝐷∗ 𝐾_𝐻 = 8,3 ∗ 1,105 ∗ 0,742 = 6,8 𝑀𝑃𝑎 𝐸_𝑑𝑖𝑠= 𝐸 ∗ 𝐾_𝐻= 7.900 ∗ 0,911 = 7.198 𝑀𝑃𝑎 𝐹𝑐𝐸= 3,6 ∗ 𝐸_𝑑𝑖𝑠 𝜆2 = 3,6 ∗ 7.198 95,62 = 2,84 𝑀𝑃𝑎 𝐹_𝑐𝐸 𝐹_{𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠}= 2,84 6,8 = 0,417 𝐴 = 𝐹𝑐𝐸 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠∗ (1 + 𝜆 200) + 1 2 ∗ 𝑐 = 0,417 ∗ (1 +95,6_{200) + 1} 2 ∗ 0,8 = 1,01 𝐵 = 𝐹_𝑐𝐸 𝐹_{𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠} 𝑐 = 0,417 0,8 = 0,521 𝐾_𝜆 = 𝐴 − √𝐴2_{− 𝐵 = 1,01 − √1,01}2_{− 0,521 = 0,304} 𝐹_{𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠}= 𝐹_{𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠}∗ 𝐾_𝜆= 6,8 ∗ 0,303 = 2,07 𝑀𝑃𝑎 > 𝑓_𝑐 = 1,93 𝑀𝑃𝑎

Para cumplir con la exigencia de F11 en condición seca, de acuerdo con Tabla 7 de NCh 1198, 5.2.6; se requiere un Grado 4 del Agrupamiento de especies ES4, o un Grado 3 del Agrupamiento ES5. Es alternativa válida con mayor razón un Grado 2 del Agrupamiento ES6. De NCh 1198, Anexo A y mencionando solo 2 alternativas de especies por agrupamiento: ES4: coigue, lenga

ES5: Pino oregón, olivillo

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EJEMPLO 3: Diseño de pie derecho de tabiquería

Diseño de pie derecho de tabiquería de pared interior (no expuesta al viento) de una vivienda de 1 piso que soporta la estructura de techo.

Determinar la escuadría y grado estructural adecuados para un pie derecho de espesor nominal de 2 pulgadas, asumiendo condiciones de servicio secas (H ≤ 12 %). El pie derecho tiene un largo de 2,44 m, se encuentra simplemente apoyado en sus extremos y resiste cargas de peso propio: 2,12 kN y sobrecarga de servicio de techo: 1,18 kN. El revestimiento brinda apoyo lateral completo a los pies derechos en el plano de la tabiquería. Verifique el aplastamiento ejercido por los pies derechos sobre la solera basal de la misma escuadría de los pies derechos.

Solución:

Determinación de la combinación de cargas crítica.

Para la componente de estado de carga de naturaleza permanente KD = 0,90 (ver NCh 1198,

anexo G)

Para la componente de estado de carga de sobrecarga de techo KD = 1,25 (ver NCh 1198, anexo

G) 𝐶_𝑝𝑝 𝐾_𝐷 = 2,12 0,9 = 2,36 𝑘𝑁 𝐶_𝑝𝑝+ 𝐶_𝑠𝑐 𝐾_𝐷 = 2,12 + 1,18

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6 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L Tanteo con pieza de escuadría nominal 2x3 de Pino radiata Grado G2:

Largo : 2,44 m

Ancho : 65 mm (NCh 2824) Espesor : 41 mm (NCh 2824)

Área sección (S) = ancho * espesor = 65*41 = 2.665 mm2

Propiedades mecánicas asociadas, NCh 1198, Sección 5.2.4, Tabla 4 b. 𝐹𝑐𝑝 = 6,5 𝑀𝑃𝑎

𝐸 = 8.900 𝑀𝑃𝑎 (Aplicable sobre piezas de altura ≥ 180 mm) 𝐹_𝑐𝑛 = 2,5 𝑀𝑃𝑎

𝑐 = 0,80

Factores de modificación:

𝐾_𝐻= 1,0 (Condición de servicio seca H ≤ 12 % , NCh 1198, Sección 6.1.1) 𝐾_𝐷= 1,25 (Factor de duración de la carga, NCh 1198, Anexo G)

𝐾_ℎ,𝐸= √ ℎ 180 4 = √65 180 4 = 0,775 (NCh 1198, Sección 7.2.4.2) 𝐾𝑐𝑛= √150_𝑙 4 = √4 150₄₁ = 1,38 (NCh 1198, Sección 7.5.3.2)

Determinación del factor de modificación por esbeltez, NCh 1198, Sección 7.3.2.3: Tensión de diseño en compresión paralela, NCh 1198, Sección 7.3.2.2

𝐹_{𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠}= 𝐹_𝑐𝑝∗ 𝐾_𝐻∗ 𝐾_𝐷= 6,5 ∗ 1,0 ∗ 1,25 = 8,13 𝑀𝑃𝑎

Módulo de elasticidad de diseño, NCh 1198 Sección 7.1.1 y 7.2.4.2 𝐸_𝑑𝑖𝑠= 𝐸 ∗ 𝐾_𝐻∗ 𝐾_ℎ,𝐸 = 8.900 ∗ 1,0 ∗ 0,775 = 6.898 𝑀𝑃𝑎

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I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 7 Longitud efectiva de pandeo, NCh 1198 Sección 7.3.1.2

𝐿𝑝= 𝑘 ∗ 𝐿 = 1 ∗ 2,44 = 2,44 𝑚

Esbeltez reguladora del diseño, NCh 1198, Sección 7.3.2.2 𝜆 =𝐿𝑝∗ √12

ℎ =

2.440 ∗ √12

65 = 130

Tensión crítica de pandeo para elementos sometidos a compresión 𝐹_𝑐𝐸=3,6 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠 𝜆2 = 3,6 ∗ 6.899 1302 = 1,47 𝑀𝑃𝑎 𝐹𝑐𝐸 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠= 1,47 8,13= 0,181 𝐴 = 𝐹𝑐𝐸 𝐹_{𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠}∗ (1 +200) + 1𝜆 2 ∗ 𝑐 = 0,181 ∗ (1 +130_{200) + 1} 2 ∗ 0,8 = 0,811 𝐵 = 𝐹𝑐𝐸 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 𝑐 = 0,181 0,8 = 0,226 𝐾𝜆 = 𝐴 − √𝐴2− 𝐵 = 0,811 − √0,8112− 0,226 = 0,154 𝐹_{𝑐𝑝,𝜆,𝑑𝑖𝑠}= 𝐹_{𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠}∗ 𝐾_𝜆= 8,13 ∗ 0,154 = 1,25 𝑀𝑃𝑎 Verificación:

Tensión de trabajo por compresión paralela, NCh 1198, Sección 7.3.2.1 𝑓_𝑐𝑝=𝑁

𝑆 =

(2,12 + 1,18) ∗ 1.000

2.665 = 1,24 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑐𝑝,𝜆,𝑑𝑖𝑠 Verificación aplastamiento basal:

Tensión de diseño en compresión normal a la fibra, NCh 1198, Sección 7.5.2 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 = 𝐹𝑐𝑛∗ 𝐾𝐻∗ 𝐾𝑐𝑛 = 2,5 ∗ 1,0 ∗ 1,38 = 3,46 𝑀𝑃𝑎

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8 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L Tensión de trabajo por aplastamiento

𝑓_𝑐=𝐶𝑐𝑟𝑖𝑡 ℎ ∗ 𝑙 =

(2,12 + 1,18) ∗ 1.000

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EJEMPLO 4: Carga de diseño de columna

Estimar la carga de diseño máxima que puede soportar un cuartón de escuadría nominal 4 x 4, y largo 4,20 m, de madera aserrada en bruto de Pino radiata Grado G2. El contenido de humedad de la pieza es 20 %, y la solicitación que condiciona el diseño la originan el peso propio del sistema y una sobrecarga de servicio con una duración acumulada de 1 año. Los extremos del cuartón se encuentran impedidos de desplazarse lateralmente.

Solución:

Condiciones geométricas Largo : 4,20 m

Ancho : 94 mm (NCh 2824) Espesor : 94 mm (NCh 2824)

Área Sección (S) = ancho * espesor = 94*94 = 8.836 mm2

Propiedades mecánicas admisibles asociadas al grado G2, NCh 1198, Tabla 4 b 𝐹_𝑐𝑝 = 6,5 𝑀𝑃𝑎

𝐸 = 8.900 𝑀𝑃𝑎 (Aplicable sobre piezas de altura ≥ 180 mm) 𝑐 = 0.80

Factor de modificación por contenido de humedad verde (H≥20%), NCh 1198, Sección 6.1.1, Tabla 9 (Ver anexo B de este publicación)

𝐾_𝐻,𝐹_𝑐𝑝=2,75 − 0,0833 ∗ 𝐻 1,75 = 2,75 − 0,0833 ∗ 22 1,75 = 0,524 𝐾𝐻,𝐸= 1,44 − 0,02 ∗ 𝐻 1,2 = 1,44 − 0,02 ∗ 22 1,2 = 0,833

Toda pieza con contenido de humedad H ≥ 20 % se asume en condición verde, la que para la aplicación de estas correcciones se refleja considerando H = 22 % en las expresiones de los factores de modificación.

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10 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L Factor de modificación por duración de carga, NCh 1198 Sección 6.1.2

D = 1 año =365*24*60*60 = 31.536.000 s 𝐾_𝐷= 1,747

𝐷0,0464+ 0,295 =

1,747

31.536.0000,0464+ 0,295 = 1,08

Factor de modificación por altura para módulo elástico, Nch 1198, Sección 7.2.4.2

𝐾_ℎ,𝐸= √ ℎ 180 4 = √94 180 4 = 0,85 Verificación

Determinación del factor de modificación por esbeltez, NCh 1198, Sección 7.3.2.2:

Longitud efectiva de pandeo, NCh 1198, Sección 7.3.1.2, Tabla 16, Caso 4 𝐿𝑝= 𝑘 ∗ 𝐿 = 1 ∗ 4,20 = 4,20 𝑚

Tensión de diseño en compresión paralela, NCh 1198, Sección 7.3.2.2 𝐹_{𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠}= 𝐹_𝑐𝑝∗ 𝐾_𝐻∗ 𝐾_𝐷= 6,5 ∗ 0,524 ∗ 1,08 = 3,68 𝑀𝑃𝑎

Módulo elástico de diseño, NCh 1198, Sección 7.1.1 y 7.2.4.2 𝐸_𝑑𝑖𝑠= 𝐸 ∗ 𝐾_𝐻∗ 𝐾_ℎ,𝐸 = 8.900 ∗ 0,833 ∗ 0,85 = 6.305 𝑀𝑃𝑎 NCh 1198 Sección 7.3.2.2 𝜆 =𝐿𝑝∗ √12 ℎ = 4.200 ∗ √12 94 = 154,8 𝐹_𝑐𝐸=3,6 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠 𝜆2 = 3,6 ∗ 6.302 154,82 = 0,947 𝑀𝑃𝑎 𝐹_𝑐𝐸 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠= 0,947 3,678= 0,258

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I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 11 𝐴 = 𝐹_𝑐𝐸 𝐹_{𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠}∗ (1 +200) + 1𝜆 2 ∗ 𝑐 = 0,258 ∗ (1 +154,8_{200 ) + 1} 2 ∗ 0,8 = 0,911 𝐵 = 𝐹_𝑐𝐸 𝐹_{𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠} 𝑐 = 0,258 0,8 = 0,322 𝐾_𝜆 = 𝐴 − √𝐴2_{− 𝐵 = 0,911 − √0,911}2_{− 0,322 = 0,198}

Tensión de diseño en compresión paralela considerando inestabilidad lateral, NCh 1198, Sección 7.3.2.2, parte b.

𝐹_{𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠}= 𝐹_{𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠}∗ 𝐾_𝜆= 3,68 ∗ 0,198 = 0,73 𝑀𝑃𝑎

𝐶_𝑑𝑖𝑠= 𝐹_{𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠}∗ 𝑆 = 0,73 ∗ 8.836 = 6.448 𝑁 = 6,448 𝑘𝑁

(22)

EJEMPLO 5: Pieza Comprimida de sección transversal compuesta no

espaciada

La diagonal interior DF de una cercha de techo de longitud internodal de 1,65 m (en el modelo reticular análogo), queda solicitada por una fuerza de compresión axial de 15 kN y consiste de una pieza central de sección 41 x 90 mmm y dos piezas laterales de sección 33 x 65 mm, de acuerdo con la estructuración indicada en la figura. Se debe diseñar una ligazón por medio de clavos de calibre 4,3 x 100 mm (4”). Se dispone de piezas de pino Radiata estructural del Grado C24 acondicionadas a un contenido de humedad H = 12 %.

Solución:

Propiedades mecánicas asociadas, NCh 1198, Sección 5.2.4, Tabla 4 b 𝐹_𝑐𝑝 = 8,0 𝑀𝑃𝑎

𝐸 = 10.200 𝑀𝑃𝑎 (Aplicable sobre piezas de altura ≥ 180 mm) 𝑐 = 0,85

Factor de modificación por contenido de humedad 𝐾𝐻= 1

(23)

I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 13 Factor de modificación por duración de carga

Por incorporar el estado de carga la sobrecarga de servicio del techo 𝐾_𝐷= 1,25

Análisis con respecto al eje x-x:

Factor de modificación por altura para módulo elástico

𝐾_ℎ,1= √ ℎ1 180 4 = √65 180 4 = 0,775 ⇒ 𝐸_{1,𝑑𝑖𝑠} = 𝐾_ℎ,1∗ 𝐸 = 0,775 ∗ 10.200 = 7.907 𝑀𝑃𝑎 𝐾ℎ,2= √ ℎ₂ 180 4 = √90 180 4 = 0,841 ⇒ 𝐸2,𝑑𝑖𝑠 = 𝐾ℎ,2∗ 𝐸 = 0,841 ∗ 10.200 = 8.577 𝑀𝑃𝑎 = 𝐸𝑟𝑒𝑓 𝑛₁= 𝐸1 𝐸_𝑟𝑒𝑓 = 7.907 8.577= 0,922 𝑛₂= 𝐸2 𝐸_𝑟𝑒𝑓= 8.577 8.577= 1,0

Longitud efectiva de pandeo cordón comprimido de estructura reticulada, NCh 1198, Sección K.2, Anexo K

𝐿𝑝𝑥 = 0,8 ∗ 𝐿 = 0,8 ∗ 1,65 = 1,32 𝑚 = 1.320 𝑚𝑚 Propiedades estáticas de la sección:

𝐴1= 𝑏1∗ ℎ1 = 33 ∗ 65 = 2.145 𝑚𝑚2 𝐴₂= 𝑏₂∗ ℎ₂= 41 ∗ 90 = 3.690 𝑚𝑚2 𝐴 = 2 ∗ 𝐴₁+ 𝐴₂= 2 ∗ 2.145 + 3.690 = 7.980 𝑚𝑚2 𝐼_1,𝑥 =𝑏1∗ ℎ13 12 = 33 ∗ 653 12 = 755.219 𝑚𝑚4 𝐼_2,𝑥=𝑏2∗ ℎ2 3 12 = 41 ∗ 903 12 = 2.490.750 𝑚𝑚4 𝐼𝑥 = 2 ∗ 𝐼1∗ 𝑛1+ 𝐼2∗ 𝑛2 = 2 ∗ 33 ∗ 653 12 ∗ 0,922 + 41 ∗ 903 12 ∗ 1 = 3.883.374 𝑚𝑚4 𝑖_𝑥= √𝐼𝑥 𝐴 = √ 3.883.374 7.980 = 22,1 𝑚𝑚 ⇒ 𝜆𝑥= 𝐿_𝑝,𝑥 𝑖_𝑥 = 1.320 22,1 = 59,8

(24)

14 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L Análisis con respecto al eje y-y:

Longitud efectiva de pandeo cordón comprimido de estructura reticulada, NCh 1198, Sección K.2, Anexo K 𝐿_𝑝𝑦 = 𝐿 = 1,65 𝑚 = 1.650 𝑚𝑚 𝑎₁ =𝑏1+ 𝑏2 2 = 33 + 41 2 = 37 𝑚𝑚

Se disponen los clavos en dos hileras espaciados a 100 mm en cada hilera (Clavado de a mitades desde ambos lados)

Clavos 4,3 x 100 mm:

Penetración efectiva de la punta del clavo en el último madero 𝑝_𝑒𝑓 = 𝐼_𝑐𝑙− 𝑏₁− 𝑏₂= 100 − 33 − 41 = 26 𝑚𝑚 𝑝𝑒𝑓 𝑑_𝑐𝑙 = 26 4,3= 6,04 > 4 ⇒ 𝐶𝑖𝑧𝑎𝑙𝑙𝑒 𝑑𝑜𝑏𝑙𝑒 ⇒ 𝐶 = 700 𝑁 𝑚𝑚 (𝑁𝐶ℎ 1198, 𝑇𝑎𝑏𝑙𝑎 14) 𝐾_ℎ,1= √ 𝑏1 180 4 = √33 180 4 = 0,654 ⇒ 𝐸_{1,𝑑𝑖𝑠} = 𝐾_ℎ,1∗ 𝐸 = 0,654 ∗ 10.200 = 6.674 𝑀𝑃𝑎 𝐾_ℎ,2= √ 𝑏2 180 4 = √41 180 4 = 0,691 ⇒ 𝐸_{2,𝑑𝑖𝑠} = 𝐾_ℎ,2∗ 𝐸 = 0,691 ∗ 10.200 = 7.047 𝑀𝑃𝑎 = 𝐸_𝑟𝑒𝑓

Momento de inercia eficaz 𝑛₁= 𝐸1 𝐸_𝑟𝑒𝑓 = 6.674 7.047= 0,947 𝑛₂= 𝐸2 𝐸_𝑟𝑒𝑓= 7.047 7.047= 1,0 𝑘₁ =𝜋 2_{∗ 𝐸} 1,𝑑𝑖𝑠∗ 𝐴1∗ (𝑠 𝑛⁄ ) 𝐶 ∗ 𝐿2𝑝,𝑦 = 𝜋2_{∗ 6.674 ∗ 2.145 ∗ (100 2}_{⁄ )} 700 ∗ 1.6502 = 3,707 ⇒ 𝛾₁= 1 1 + 𝑘= 1 1 + 3,707= 0,212 𝐼_1,𝑦=𝑏13∗ ℎ1 12 = 333_{∗ 65} 12 = 194.659 𝑚𝑚4 𝐼_2,𝑦 =𝑏2 3_{∗ ℎ} 2 12 = 413_{∗ 90} 12 = 516.908 𝑚𝑚4

(25)

I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 15 𝐼_{𝑒𝑓,𝑦} = 2 ∗ 𝐼_1,𝑦∗ 𝑛₁+ 𝐼_2,𝑦∗ 𝑛₂+ 2 ∗ 𝛾₁∗ 𝑛₁∗ 𝐴₁∗ 𝑎₁2 = 2 ∗ 194.659 ∗ 0,947 + 516.908 ∗ 1 + 2 ∗ 0,212 ∗ 0,947 ∗ 2.145 ∗ 372 = 368.754 + 516.908 + 1.181.773 = 2.067.434 𝑚𝑚4 𝑖_{𝑦,𝑒𝑓} = √2.067.434 7.980 = 16,1 𝑚𝑚 ⇒ 𝜆𝑦,𝑒𝑓= 1.650 16,1 = 102,5 > 𝜆𝑥

Factor de modificación por esbeltez, NCh 1198, Sección 7.3.2.2: 𝐹_𝑐𝐸𝑦 =3,6 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠 𝜆2 = 3,6 ∗ 7.047 102,52 = 2,41 𝑀𝑃𝑎 𝐹_{𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠}= 𝐹_𝑐𝑝∗ 𝐾_𝐻∗ 𝐾_𝐷= 8 ∗ 1,0 ∗ 1,25 = 10,0 𝑀𝑃𝑎 𝐹_𝑐𝐸 𝐹_{𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠}= 2,41 10 = 0,241 𝐴 = 𝐹𝑐𝐸 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠∗ (1 + 𝜆 200) + 1 2 ∗ 𝑐 = 0,241 ∗ (1 +102,5_{200 ) + 1} 2 ∗ 0,85 = 0,803 𝐵 = 𝐹_𝑐𝐸 𝐹_{𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠} 𝑐 = 0,241 0,85 = 0,284 𝐾_𝜆 = 𝐴 − √𝐴2_{− 𝐵 = 0,803 − √0,803}2_{− 0,284 = 0,202} 𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠= 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠∗ 𝐾𝜆= 10 ∗ 0,202 = 2,02 𝑀𝑃𝑎 𝑓_𝑐=𝐶 𝐴= 15.000 7.980 = 1,88 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠

Control ligazón elástica, NCh 1198, Sección 7.3.3.2: 𝑄_𝑖 = 𝐶 𝑘_𝜆∗ 60= 15.000 0,202 ∗ 60= 1.236 𝑁 ⇒ 𝑡_{𝑐𝑧,𝑒𝑓,𝑚á𝑥}=𝛾 ∗ 𝑄𝑖∗ 𝐴1∗ 𝑎1 𝐼_{𝑦,𝑒𝑓} = 0,212 ∗ 1.236 ∗ 2.145 ∗ 37 2.067.434 = 9,54 𝑁/𝑚𝑚

(26)

16 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L Verificación disposición de clavado

NCh 1198, Sección 9.6.1.6, d: Clavos calibre 4” : 100*4,3 mm

𝑏_𝑚í𝑛 = 7 ∗ 𝐷 = 7 ∗ 4,3 = 30,1 𝑚𝑚 < 𝑏_{𝑒𝑓,𝑚í𝑛}= 33 𝑚𝑚

Se analizará la situación de las uniones entre dos piezas laterales de espesor 33 mm con la pieza central de 41 mm.

Resistencia al aplastamiento en clavos, NCh 1198, Sección 9.6.3.3.3 𝜌_{0,𝑝𝑟𝑜𝑚}= 450 𝑘𝑔 𝑚_⁄ 3_{en todos los maderos}

𝑅_{𝑎𝑝,𝑐}= 𝑅_{𝑎𝑝,𝑙} = 115 ∗ (𝜌_{0,𝑝𝑟𝑜𝑚}/1000)1,84_{= 115 ∗ (450 1000)}_⁄ 1,84 _{= 26,5 Mpa} Tensión de fluencia en los medios de unión, NCh 1198, Sección 9.6.2.3

𝑏1= 𝑙𝑙 = 33 𝑚𝑚 𝑏_𝑐 = 𝑙_𝑐= 41 𝑚𝑚

D = 4,3 mm < 6,4 mm  𝐹𝑓𝑓 = 896 − 58 ∗ 𝐷 = 896 − 58 ∗ 4,3 = 647 𝑀𝑃𝑎

Por tratarse de clavos que trabajan en cizalle doble los modos de fluencia II y IIIc no son aplicables. La capacidad de carga admisible de los clavos se estimará sobre la base de la capacidad de carga admisible de un clavo solicitado en cizalle simple.

NCh 1198, sección 9.6.2.1, tabla 36 Kd=2,2 para D < 4,3 mm

Luego, para D < 6,4 mm ⇒ FA=Kd ⇒ FA=2,2 Modos de fluencia: Modo Ic: 𝑃_{𝑒𝑙,𝑎𝑑}=𝐷 ∗ 𝑙𝑐∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 𝐹𝐴 = 4,3 ∗ 41 ∗ 26,5 2,2 = 2.121 𝑁 Modo Il: 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑= 𝐷 ∗ 𝑙_𝑙∗ 𝑅_{𝑎𝑝,𝑙} 𝐹𝐴 = 4,3 ∗ 33 ∗ 26,5 2,2 = 1.707 𝑁

(27)

I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 17 Modo IIIl: 𝑅𝑒= 𝑅𝑎𝑝,𝑐⁄𝑅𝑎𝑝,𝑙 = 26,5 26,5⁄ = 1,0 𝑘3 = −1 + √ 2 ∗ (1 + 𝑅_𝑒) 𝑅_𝑒 + 2 ∗ 𝐹_𝑓𝑓∗ (2 + 𝑅_𝑒) ∗ 𝐷2 3 ∗ 𝑅_{𝑎𝑝,𝑐}∗ 𝑙2 = −1 + √2 ∗ (1 + 1) 1 + 2 ∗ 647 ∗ (2 + 1) ∗ 4,32 3 ∗ 26,5 ∗ 332 = 1,198 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑= 𝑘3∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑙∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 (2 + 𝑅𝑒) ∗ 𝐹𝐴 = 1,198 ∗ 4,3 ∗ 33 ∗ 26,5 (2 + 1) ∗ 2,2 = 681 𝑁 Modo IV: 𝑃_{𝑒𝑙,𝑎𝑑}= 𝐷2 𝐹𝐴∗ √ 2 ∗ 𝑅_{𝑎𝑝,𝑐}∗ 𝐹_𝑓𝑓 3 ∗ (1 + 𝑅_𝑒) = 4,32 2,2 ∗ √ 2 ∗ 26,5 ∗ 647 3 ∗ (1 + 1) = 635 𝑁 ∴ 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑 = 𝑚í𝑛(2.121; 1.709; 681; 635) = 635 𝑁

Capacidad de carga admisible de la superficie de cizalle adyacente a la punta del clavo: Penetración del clavo en el tercer madero

𝑝 = 𝐿 − (𝑏𝑙+ 𝑏𝑐) = 100 − (33 + 41) = 26 𝑚𝑚 De acuerdo con NCh 1198, 9.6.1.6.f): 𝑝_𝑚𝑚= 4 ∗ 𝐷 = 4 ∗ 4,3 = 17,2 𝑚𝑚 < 𝑝 < 8 ∗ 𝐷 = 8 ∗ 4,3 = 34,4 𝑚𝑚 = 𝑝_𝑚 ⇒ 𝑃′_{𝑒𝑙,𝑎𝑑 𝑐𝑑}= (0,75 ∗ 𝑝 𝑃𝑚) ∗ 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑= (0,75 ∗ 26 34,4) ∗ 635 = 360 𝑁

La capacidad de carga admisible promedio en cada junta de contacto asciende a: 𝑃_{𝑒𝑙,𝑝𝑟𝑜𝑚}= 0,5 ∗ (635 + 360) = 497𝑁

𝑃_{𝑒𝑙,𝑝𝑟𝑜𝑚,𝑑𝑖𝑠} = 𝑃_{𝑒𝑙,𝑝𝑟𝑜𝑚}∗ 𝑘_𝐷= 498 ∗ 1,25 = 622𝑁

Densidad media de clavado requerida para neutralizar el flujo de cizalle (𝑡𝑐𝑧,𝑒𝑓,𝑚á𝑥) inducido por la ligazón elástica:

𝑒′_𝑟𝑒𝑞 =𝑃𝑒𝑙,𝑝𝑟𝑜𝑚,𝑑𝑖𝑠 𝑡_{𝑐𝑧,𝑒𝑓,𝑚á𝑥} = 622 9,54= 65,1 𝑚𝑚 > 𝑒′𝑒𝑓 = 𝑒 2= 100 2 = 50 𝑚𝑚 La disposición de clavado permite neutralizar el flujo de cizalle.

(28)

EJEMPLO 6: Columna de sección transversal compuesta espaciada

Columna de sección transversal compuesta espaciada de madera laminada encolada de pino Radiata (constitución híbrida) con tacos de separación, que recibe una carga de techo de 100 kN. La madera se encuentra en condición seca (H ≤ 15%).

Solución:

𝐿_𝑝𝑥 = 𝐿_𝑝𝑦 = 4,50 𝑚

𝐴 = 2 ∗ 𝑏1∗ ℎ1= 2 ∗ 65 ∗ 225 = 29.250 𝑚𝑚2

Verificación respecto el eje x-x: La columna funciona como una columna de sección transversal simple de espesor 130 mm y altura 225 mm.

𝜆_𝑥 =𝐿𝑝𝑥∗ √12

ℎ1 =

4.500 ∗ √12

225 = 69,3 Verificación respecto del eje y-y: De Nch 1198, Sección 7.3.3.3 c 𝑏1= 65 𝑚𝑚 ⇒ 𝐿𝑝1,𝑚á𝑥 = 60 ∗ 𝑖1 = 60 ∗ 65 √12= 1.126 𝑚𝑚 Número de subdivisiones: N = _𝐿𝐿𝑝𝑦 𝑝1,𝑚á𝑥= 4.500 1.126= 4 N = 5

Se disponen tacos en los extremos y en los puntos cuartos del largo de columna

(29)

I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 19 Fijación de tacos a piezas mediante pernos PØ1/2” + 2 Conectores de hinca Tipo C, calibre 62 mm + 2 golillas Ø55*5 mm. De Anexo I, para este calibre Sbcp=Sp=120 mm y de acuerdo con

NCh 1198, Tabla 18, el factor de flexibilidad f = 2,5.

Asumiendo se disponen 2 pernos alineados, la longitud de los tacos resulta 𝑙_𝑡 = 2 ∗ 𝑠_𝑏𝑐𝑝+ 𝑠_𝑝= 2 ∗ 120 + 120 = 360 𝑚𝑚 𝐿_𝑝1=𝐿 − 𝑙𝑡 𝑁 = 4.500 − 360 5 = 828 𝑚𝑚 𝜆₁=𝐿𝑝𝑙∗ √12 𝑏₁ = 828 ∗ √12 65 = 44,1 < 60 𝐼_𝑦=ℎ1∗ ((2 ∗ 𝑏1+ 𝑎)3− 𝑎3) 12 = 225 ∗ ((2 ∗ 65 + 135)3_{− 135}3₎ 12 = 302.798.438 𝑚𝑚4 𝑖𝑦= √ 𝐼_𝑦 𝐴 = √ 302.798.438 29.250 = 102 𝑚𝑚 𝜆_𝑦=𝐿𝑝𝑦 𝑖_𝑦 = 4.500 102 = 44,2

𝑚 = 2 (n° de piezas individuales que conforman la sección transversal)

𝜆_{𝑦,𝑒𝑓} = √𝜆_𝑦2_{+ 𝑓 ∗}𝑚

2 ∗ 𝜆12= √44,22+ 2,5 ∗ 2

2∗ 44,12= 82,6 > 𝜆𝑥 Madera laminada de pino Radiata:

Control del pandeo condicionado por laminación vertical. De Anexo C. 𝐹_𝑐𝑝 = 8,0 𝑀𝑃𝑎

𝐹𝑐𝑧 = 1,1 𝑀𝑃𝑎 𝐹_𝑐𝑛 = 2,5 𝑀𝑃𝑎 𝐸 = 7.700 𝑀𝑃𝑎 𝑐 = 0,9

Estado de carga peso propio + sobrecarga de techo: 𝑘_𝐷 = 1,25

(30)

20 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 𝐹_𝑐𝐸=5 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠 𝜆2 = 5 ∗ 7.700 82,62 = 5,64 𝑀𝑃𝑎 𝐹_{𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠}= 𝐹_𝑐𝑝∗ 𝐾_𝐻∗ 𝐾_𝐷= 8 ∗ 1,0 ∗ 1,25 = 10,0 𝑀𝑃𝑎 𝐹𝑐𝐸 𝐹_{𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠}= 5,64 10 = 0,564 𝐴 = 𝐹𝑐𝐸 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠∗ (1 + 𝜆 300) + 1 2 ∗ 𝑐 = 0,564 ∗ (1 +82,6_{300) + 1} 2 ∗ 0,9 = 0,955 𝐵 = 𝐹_𝑐𝐸 𝐹_{𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠} 𝑐 = 0,564 0,9 = 0,627 𝐾_𝜆 = 𝐴 − √𝐴2_{− 𝐵 = 0,955 − √0,955}2_{− 0,627 = 0,421} 𝐹_{𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠}= 𝐹_{𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠}∗ 𝐾_𝜆= 10 ∗ 0,421 = 4,21 𝑀𝑃𝑎 𝑓𝑐= 100.000 29.250 = 3,42 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠

Diseño fijación tacos de separación, Nch 1198, Sección 7.3.3.2, letra F 𝑄_𝑖 = 𝐶 𝐾_𝜆∗ 60= 100.000 0,421 ∗ 60= 3.961 𝑁 2 ∗ 𝑎₁= 65 + 135 = 200 𝑚𝑚 𝑇₁= 𝑄𝑖 2 ∗ 𝑎₁∗ 𝐿𝑝1= 3.961 200 ∗ 828 = 16.399 𝑁

Se disponen 2 conectores Tipo C D62 por junta de contacto: De Anexo I. Para conectores calibre 62: 𝑃_{𝑒𝑙,𝑎𝑑}= 7.000 𝑁 𝑁_𝑑𝑖𝑠= 𝑛 ∗ 𝑃_{𝑒𝑙,𝑎𝑑}∗ 𝐾_𝐷 = 2 ∗ 7.000 ∗ 1,25 = 17.500 𝑁 > 𝑇₁ 𝑓_{𝑐𝑧,𝑡𝑎𝑐𝑜} ≈1,5 ∗ 𝑇1 ℎ₁∗ 𝑙_𝑡 = 1,5 ∗ 16.399 225 ∗ 360 = 0,30 𝑀𝑝𝑎 < 𝐹𝑐𝑧,𝑑𝑖𝑠

(31)

I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 21 En la figura se plantea una distribución triangular de tensiones de compresión normal entre el taco separador y las piezas individuales. El efecto neto de estos aplastamientos debe neutralizar el momento inducido por las fuerzas de corrimiento T en los planos de contacto. Planteando la condición de equilibrio de momentos en el cuerpo libre constituido por el taco y para la distribución tensional de la figura:

𝑇 ∗ 𝑎 = 𝐶 ∗ 𝑍 Como 𝐶 =1 4∗ 𝑓𝑐𝑛∗ ℎ1∗ 𝑙𝑡 y 𝑍 =2 3∗ 𝑙𝑡

Despejando la tensión máxima de compresión normal, resulta: 𝑓_𝑐𝑛=6 ∗ 𝑇1∗ 𝑎

ℎ₁∗ 𝑙_𝑡2 =

6 ∗ 16.399 ∗ 135

225 ∗ 3602 = 0,456 𝑀𝑝𝑎 < 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 = 2,5 𝑀𝑝𝑎 Cada perno queda solicitado por una tracción Ft = C/2.

En los comentarios de la norma alemana de diseño de construcciones de madera DIN 1052 se recomienda incrementar esta fuerza en el 25% de la fuerza que traspasa cada conector, para incorporar la neutralización del momento volcante que induce el mecanismo de traspaso de fuerzas entre el taco y las piezas de madera por parte de los conectores.

(32)

22 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 𝐹𝑡 = 𝐶 2+ 0,25 ∗ 𝑇₁ 2 = 1 8∗ (𝑓𝑐𝑛∗ ℎ1∗ 𝑙𝑡+ 𝑇1) = 1 8∗ (0,456 ∗ 225 ∗ 360 + 16.399) = 6.662 𝑁 𝐴𝑛𝑒𝑡𝑎 = 0,8 ∗ 𝜋 ∗ 𝐷2 4 = 0,8 ∗ 𝜋 ∗ 12,72 4 = 101 𝑚𝑚2 𝑓𝑡 = 𝐹_𝑡 𝐴_{𝑛𝑒𝑡𝑎} = 6.662 101 = 65,7 𝑀𝑝𝑎 < 𝐹𝑡𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜= 100 𝑀𝑝𝑎

(33)

EJEMPLO 7: Puntal tripartito de columna

Verificar que el puntal tripartito AD de la columna de marco construido con madera laminada encolada de Pino radiata (constitución híbrida), esquematizada en la figura, tiene la capacidad de diseño para las solicitaciones originadas por el estado de carga : peso propio + sobrecarga de servicio de techo: Ctramo inferior = 140 kN y Ctramo superior = 45,4 kN. El punto C, que divide los dos

tramos del puntal, se encuentra apoyado fuera del plano del marco. La madera se encuentra en condición seca ( H ≤ 15%)

Solución:

Geometría sección transversal: 𝑏1= 65 𝑚𝑚

𝑏₂= 115 𝑚𝑚

ℎ₁ = ℎ₂= ℎ = 185 𝑚𝑚

𝑎 = 65 𝑚𝑚 (Separación entre piezas) Verificación con respecto eje x-x: 𝐿𝑝𝑥 = 3,4 𝑚 = 3.400 𝑚𝑚 𝐼_𝑥 =(2 ∗ 𝑏1+ 𝑏2) ∗ ℎ 3 12 = (2 ∗ 65 + 115) ∗ 1853 12 = 129.270.677 𝑚𝑚4 𝐴 = ℎ ∗ (2 ∗ 𝑏₁+ 𝑏₂) = 185 ∗ (2 ∗ 65 + 115) = 45.325 𝑚𝑚2

(34)

24 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 𝑖_𝑥= √𝐼𝑥 𝐴 = √ 129.270.677 45.325 = 53,4 𝑚𝑚 𝜆𝑥 = 𝐿𝑝𝑥 𝑖𝑥 = 3.400 53,4 = 63,7

Verificación con respecto eje y-y: 𝐼_𝑦= ℎ 12((2 ∗ (𝑏1+ 𝑎) + 𝑏2)3− (2 ∗ 𝑎 + 𝑏2)3+ 𝑏23) = 185 12 (3753− 2453+ 1153) = 609.715.677 𝑚𝑚4 𝑖_𝑦= √𝐼𝑦 𝐴 = √ 609.715.677 45.325 = 116 𝑚𝑚 𝜆_𝑦=𝐿𝑝𝑦 𝑖_𝑦 = 3.400 116 = 29,3 De Nch 1198, Sección 7.3.3.3 c 𝑏₁= 65 𝑚𝑚 ⇒ 𝐿_{𝑝1,𝑚á𝑥} = 60 ∗ 𝑖₁ = 60 ∗ 65 √12= 1.126 𝑚𝑚 Número de subdivisiones: 𝑁 = 𝐿 𝐿𝑝1,𝑚á𝑥= 3.400

1.126= 3,1 → 5 (se elige el impar inmediatamente mayor) ⇒ 𝐿_𝑝1≈3.400 5 = 680 𝑚𝑚 𝜆₁=𝐿𝑝1∗ √12 𝑏₁ = 680 ∗ √12 65 = 36,2

Los tacos separadores se fijan mediante P Ø1/2” + conectores Tipo C, calibre D50 (Ver Anexo I) ⇒ 𝑓 = 2,5 Columna tripartita: m = 3 𝜆𝑦,𝑒𝑓 = √𝜆𝑦2+ 2,5 ∗ 𝑚 2 ∗ 𝜆12= √29,32+ 2,5 ∗ 3 2∗ 36,22= 76,1 Crítica (Control del pandeo condicionado por laminación vertical)

(35)

I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 25 Madera laminada de pino radiata, fabricada combinando láminas Grado A y B según NCh 2150 (Ver anexo C): 𝐹𝑐𝑝 = 8,0 𝑀𝑃𝑎 𝐹_𝑐𝑧 = 1,1 𝑀𝑃𝑎 𝐹_𝑐𝑛 = 2,5 𝑀𝑃𝑎 𝐸 = 7.700 𝑀𝑃𝑎 𝑐 = 0,9

Estado de carga peso propio + sobrecarga de techo: 𝑘_𝐷 = 1,25 𝐸𝑑𝑖𝑠= 𝐸 ∗ 𝐾𝐻= 7.700 ∗ 1,0 = 7.700 𝑀𝑃𝑎 𝐹_𝑐𝐸=5 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠 𝜆2 = 5 ∗ 7.700 76,12 = 6,66 𝑀𝑃𝑎 𝐹_{𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠}= 𝐹_𝑐𝑝∗ 𝐾_𝐻∗ 𝐾_𝐷= 8 ∗ 1,0 ∗ 1,25 = 10,0 𝑀𝑃𝑎 𝐹_𝑐𝐸 𝐹_{𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠}= 6,66 10 = 0,666 𝐴 = 𝐹_𝑐𝐸 𝐹_{𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠}∗ (1 +300) + 1𝜆 2 ∗ 𝑐 = 0,666 ∗ (1 +76,1_{300) + 1} 2 ∗ 0,9 = 1,019 𝐵 = 𝐹_𝑐𝐸 𝐹_{𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠} 𝑐 = 0,666 0,9 = 0,740 𝐾_𝜆 = 𝐴 − √𝐴2_{− 𝐵 = 1,019 − √1,019}2_{− 0,740 = 0,472} 𝐹_{𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠}= 𝐹_{𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠}∗ 𝐾_𝜆= 10 ∗ 0,472 = 4,72 𝑀𝑃𝑎 𝑓𝑐= 140.000 45.325 = 3,09 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠

Diseño fijación tacos de separación, NCh 1198, sección 7.3.3.2, letra f 𝑄_𝑖 = 𝐶

𝐾_𝜆∗ 60=

140.000

0,472 ∗ 60= 4.940 𝑁 2 ∗ 𝑎₁= 65 + 0,5 ∗ (65 + 115) = 155 𝑚𝑚

(36)

26 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 𝑇₁=0,5 ∗ 𝑄𝑖∗ 𝐿𝑝1

2 ∗ 𝑎₁ =

0,5 ∗ 4.940 ∗ 680

155 = 10.837 𝑁 Se disponen 2 conectores Tipo C D50 por junta de contacto: 𝑃_𝑑𝑖𝑠= 2 ∗ 𝐾_𝐷∗ 𝑃_{𝑝,𝑎𝑑}= 2 ∗ 1,25 ∗ 5.000 = 12.500 𝑁 < 𝑇₁

(37)

EJEMPLO 8: Columna bipartita

Columna bipartita con ligazón transversal materializada con celosías. Debe resistir una compresión C = 20 kN, cubriendo una altura de 4,15 m. Sus extremos se encuentran impedidos de desplazarse lateralmente. La sección transversal consiste de 2 piezas de madera laminada encolada de pino radiata de sección: 115 x 210 mm. La vinculación estructural de ambas secciones se materializa con celosías diagonales, también bipartitas de madera aserrada de pino Radiata, Grados C24, de escuadría: 33 x 115 mm, fijadas con clavos de 3 ½”: 3,9 x 90 mm a las piezas principales, de acuerdo con el detalle que se indica en las figuras. El contenido de humedad de la madera durante la construcción y en servicio no supera el nivel H = 15%. El estado de carga condicionante del diseño tiene una duración acumulada de 10 años.

Solución:

𝐼_𝑝𝑥= 𝐼_𝑝𝑦= 4,15 𝑚

Verificación con respecto al eje x-x: 𝐴₁= 𝑏₁∗ ℎ₁ = 115 ∗ 210 = 24.150 𝑚𝑚2 𝐴 = 2 ∗ 𝐴₁= 2 ∗ 124.150 = 48.300 𝑚𝑚2 𝐼_𝑥 =2 ∗ 𝑏1∗ ℎ13 12 = 2 ∗ 115 ∗ 2103 12 = 177.502.500 𝑚𝑚4

(38)

28 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 𝑖_𝑥= √𝐼𝑥 𝐴 = √ 177.502.500 48.300 = 60,6 𝑚𝑚 ⇒ 𝜆𝑥= 𝐿_𝑝𝑥 𝑖_𝑥 = 4.150 60,6 = 68,5

Verificación con respecto al eje y-y:

Esta verificación condiciona para las piezas laminadas una flexión en laminación vertical. Las piezas se amarran en ambos extremos con 2 piezas de 33 x 115 mm.

De acuerdo con figura: 𝑙𝑝𝑙≈ 𝐿 − 2 ∗ ℎ₁ 3 = 4.150 − 2 ∗ 115 3 = 1.307 𝑚𝑚 𝐴1= 𝑏1∗ ℎ1 = 115 ∗ 210 = 24.150 𝑚𝑚2 𝐼₁=ℎ1∗ 𝑏1 3 12 = 210 ∗ 1153 12 = 26.615.312 𝑚𝑚4 𝑖₁= √𝐼1 𝐴1 = √ 26.615.312 24.150 = 33,2 𝑚𝑚 ⇒ 𝜆1= 𝐿𝑝𝑙 𝑖1 = 1.307 33,2 = 39,4 < 60 𝑎1 = 𝐻 − ℎ₁ 2 = 965 − 115 2 = 425 𝑚𝑚 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 ( 965 1.307/2) = 55,9° ⇒ 𝑠𝑒𝑛(55,9) = 0,828 𝑠𝑒𝑛(2 ∗ 55,9) = 0,928

Se disponen en total 12 clavos funcionando en cizalle simple en los extremos de las diagonales, tal como se aprecia en la figura siguiente:

(39)

I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 29 𝑝_𝑒𝑓 = 𝐼_𝑐𝑙− 𝑏_𝐷= 90 − 33 = 57 𝑚𝑚

𝐶 = 600 𝑁/𝑚𝑚

𝑚 = 2 (la sección transversal se compone de 2 piezas) 𝐼_𝑦=210 12 (9653− 7353) = 8.777.418.125 𝑚𝑚4 𝑖_𝑦= √𝐼𝑦 𝐴 = √ 8.777.418.125 48.300 = 426 𝑚𝑚 ⇒ 𝜆𝑦= 4.150 426 = 9,74 𝜆_{𝑦,𝑒𝑓} = √𝜆_𝑦2+ 4 ∗ 𝜋2∗ 𝐸𝑦∗ 𝐴1 𝑎₁∗ 𝑛_𝑐𝑙∗ 𝐶 ∗ 𝑠𝑒𝑛(2𝛼)∗ 𝑚 2 = √9,742+ 4 ∗ 𝜋2_{∗ 7.700 ∗ 24.150} 425 ∗ 12 ∗ 600 ∗ 0,928∗ 2 2 = 51,8 < 𝜆_𝑥 Entonces, 𝜆_𝑚á𝑥 = 𝜆_𝑥= 68,5

Madera laminada de pino Radiata, fabricada combinando láminas Grado A y B según NCh 2150, considerando laminación horizontal (Ver anexo C):

𝐹_𝑐𝑝 = 8 𝑀𝑃𝑎 𝐸 = 9.000 𝑀𝑃𝑎 𝑐 = 0,9

(40)

30 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 𝐾𝐷= 1,00 𝐾_𝐻= 1,00 𝐹_{𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠}= 𝐹_𝑐𝑝∗ 𝐾_𝐻∗ 𝐾_𝐷= 8 ∗ 1,0 ∗ 1,0 = 8,0 𝑀𝑃𝑎 𝐸_𝑑𝑖𝑠= 𝐸 ∗ 𝐾_𝐻= 9.000 ∗ 1,0 = 9.000 𝑀𝑃𝑎 𝐹_𝑐𝐸=5 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠 𝜆2 = 5 ∗ 9.000 68,52 = 9,6 𝑀𝑃𝑎 𝐹𝑐𝐸 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠= 9,6 8,0= 1,20 𝐴 = 𝐹_𝑐𝐸 𝐹_{𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠}∗ (1 +300) + 1𝜆 2 ∗ 𝑐 = 1,2 ∗ (1 +68,5_{300) + 1} 2 ∗ 0,9 = 1,375 𝐵 = 𝐹𝑐𝐸 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠 𝑐 = 1,2 0,9= 1,334 𝐾𝜆 = 𝐴 − √𝐴2− 𝐵 = 1,375 − √1,3752− 1.334 = 0,629 𝐹_{𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠}= 𝐹_{𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠}∗ 𝐾_𝜆= 8 ∗ 0,629 = 5,03 𝑀𝑃𝑎 𝑓_𝑐=200.000 48.300 = 4,14 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠

Diseño uniones celosía:

Las uniones deben neutralizar el esfuerzo de corte Qi, condicionado por 𝜆𝑦,𝑒𝑓= 51,8. Por lo que se debe considera las piezas de madera laminada híbrida, considerando laminación vertical (ver anexo C):

𝐹𝑐𝑝 = 8 𝑀𝑃𝑎 𝐸 = 7.700 𝑀𝑃𝑎 𝑐 = 0,9 Dado que 𝐾𝐷= 1,00 y 𝐾𝐻 = 1,00 𝐹𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠= 𝐹𝑐𝑝∗ 𝐾𝐷∗ 𝐾𝐻= 8,0 ∗ 1 ∗ 1 = 8,0 𝑀𝑃𝑎 𝐸_𝑑𝑖𝑠= 𝐸 ∗ 𝐾_𝐻 = 7.700 ∗ 1 = 7.700 𝑀𝑃𝑎 𝐹_𝑐𝐸=5 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠 𝜆2 = 5 ∗ 7.700 51,82 = 14,37 𝑀𝑃𝑎

(41)

I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 31 𝐹_𝑐𝐸 𝐹_{𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠}= 14,37 8,0 = 1,797 𝐴 = 𝐹_𝑐𝐸 𝐹_{𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠}∗ (1 +300) + 1𝜆 2 ∗ 𝑐 = 1,797 ∗ (1 +51,8_{300) + 1} 2 ∗ 0,9 = 1,726 𝐵 = 𝐹_𝑐𝐸 𝐹_{𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠} 𝑐 = 1,797 0,9 = 1,996 𝐾_𝜆 = 𝐴 − √𝐴2_{− 𝐵 = 1,726 − √1,726}2_{− 1,996 = 0,735} 𝑄_𝑖 = 𝐶 0,735 ∗ 60= 200.000 0,735 ∗ 60= 4.537 𝑁 fuerza que solicita las diagonales:

⇒ 𝐹𝐷 = 𝑄𝑖 𝑠𝑒𝑛(55,9°)=

4.537

0,828= 5.479 𝑁

Derivación de la capacidad de carga de diseño de clavos 3,9 x 90 mm (3 ½”). Para pino radiata, de NCh 1198, Anexo E

𝜌_{0,𝑝𝑟𝑜𝑚}= 450 𝑘𝑔 𝑚_⁄ 3 𝑅_𝑎𝑝= 115 ∗ (𝜌0,𝑝𝑟𝑜𝑚 1000 ) 1,84 = 115 ∗ (450 1000) 1,84 = 26,5 MPa 𝐷 = 3,9 𝑚𝑚 𝐼_𝑐𝑙 = 90 𝑚𝑚 𝐹_𝑓𝑓 = 896 − 58 ∗ 𝐷 = 896 − 58 ∗ 3,9 = 670 𝑀𝑃𝑎 𝑙𝑙 = 𝑏𝐷= 33 𝑚𝑚 𝑙_𝑐 = 𝑝 = 𝑙_𝑐𝑙− 𝑏_𝐷= 90 − 33 = 57 𝑚𝑚 < 𝑒_𝑐 = 210 𝑚𝑚 Modos de fluencia: 𝑅_𝑒=𝑅𝑎𝑝,𝑐 𝑅_{𝑎𝑝,𝑙} = 26,5 26,5= 1 𝑅_𝑡 =𝑙𝑐 𝑙_𝑙 = 57 33= 1,727

(42)

32 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L NCh 1198, sección 9.6.2.1, tabla 36

Kd=2,2 para D < 4,3 mm

Luego, para D < 6,4 mm ⇒ FA=Kd ⇒ FA=2,2

𝐾₁=√𝑅𝑒+ 2𝑅𝑒 2_{∗ (1 + 𝑅} 𝑡+ 𝑅𝑡2) + 𝑅𝑡2∗ 𝑅𝑒3− 𝑅𝑒∗ (1 + 𝑅𝑡) 1 + 𝑅𝑒 =√1 + 2 ∗ 1 ∗ (1 + 1,727 + 1,7272) + 1,7272∗ 1 − 1 ∗ (1 + 1,727) 1 + 1 = 0,599 𝐾2= −1 + √2 ∗ (1 + 𝑅𝑒) + 2 ∗ 𝐹_𝑓𝑓∗ (1 + 2 ∗ 𝑅_𝑒) ∗ 𝐷2 3 ∗ 𝑅_{𝑎𝑝,𝑐}∗ 𝑙_𝑐2 = −1 + √2 ∗ (1 + 1) +2 ∗ 670 ∗ (1 + 2 ∗ 1) ∗ 3,92 3 ∗ 26,5 ∗ 572 = 1,058 𝐾3= −1 + √ 2 ∗ (1 + 𝑅_𝑒) 𝑅𝑒 + 2 ∗ 𝐹_𝑓𝑓∗ (2 + 𝑅_𝑒) ∗ 𝐷2 3 ∗ 𝑅_{𝑎𝑝,𝑐}∗ 𝑙_𝑙2 = −1 + √2 ∗ (1 + 1) 1 + 2 ∗ 670 ∗ (2 + 1) ∗ 3,92 3 ∗ 26,5 ∗ 332 = 1,17 Modo Ic: 𝑃_{𝑒𝑙,𝑎𝑑}=𝐷 ∗ 𝑙𝑐∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 𝐹𝐴 = 3,9 ∗ 57 ∗ 26,5 2,2 = 2.674 𝑁 Modo Il: 𝑃𝑒𝑙,𝑎𝑑= 𝐷 ∗ 𝑙𝑙∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑙 𝐹𝐴 = 3,9 ∗ 33 ∗ 26,5 2,2 = 1.548 𝑁 Modo II: 𝑃_{𝑒𝑙,𝑎𝑑}=𝐾1∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑙∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑙 𝐹𝐴 = 0,599 ∗ 3,9 ∗ 33 ∗ 26,5 2,2 = 927 𝑁 Modo IIIc: 𝑃_{𝑒𝑙,𝑎𝑑}=𝐾2∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑐∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 (1 + 2 ∗ 𝑅𝑒)𝐹𝐴 = 1,058 ∗ 3,9 ∗ 57 ∗ 26,5 (1 + 2 ∗ 1) ∗ 2,2 = 943 𝑁

(43)

I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 33 Modo IIIl: 𝑃_{𝑒𝑙,𝑎𝑑}=𝐾3∗ 𝐷 ∗ 𝑙𝑙∗ 𝑅𝑎𝑝,𝑐 (1 + 2 ∗ 𝑅𝑒)𝐹𝐴 = 1,17 ∗ 3,9 ∗ 33 ∗ 26,5 (1 + 2 ∗ 1) ∗ 2,2 = 603 𝑁 Modo IV: 𝑃_{𝑒𝑙,𝑎𝑑}= 𝐷2 𝐹𝐴∗ √ 2 ∗ 𝑅_{𝑎𝑝,𝑐}∗ 𝐹_𝑓𝑓 3 ∗ (1 + 𝑅𝑒) = 3,92 2,2 ∗ √ 2 ∗ 26,5 ∗ 670 3 ∗ (1 + 1) = 531 𝑁 𝑃_{𝑒𝑙,𝑎𝑑}= 𝑚í𝑛(2.674; 1.548; 927; 943; 603; 531) = 531 𝑁 𝐾_𝐷= 1,0 𝐾𝐻𝑈= 1,0 𝑁_{𝑒𝑙,𝑑𝑖𝑠} = 𝑃_{𝑒𝑙,𝑎𝑑}∗ 𝐾_𝐷∗ 𝐾_𝐻𝑈= 531 ∗ 1 ∗ 1 = 531 𝑘𝑁

Capacidad de carga de diseño fijación de extremos diagonales celosía 𝐷𝑑𝑖𝑠= 𝑛 ∗ 𝑃𝑒𝑙,𝑑𝑖𝑠 = 12 ∗ 531 = 6.372 𝑁 > 𝐹𝐷 = 5.479 𝑁 Verificación diagonal: 𝑙_𝑝= 2 ∗ 𝑎1 𝑠𝑒𝑛(𝛼)= 2 ∗ 425 𝑠𝑒𝑛(55,9°)= 1.026 𝑚𝑚 𝐴_𝐷= 𝑏_𝐷∗ ℎ_𝐷= 33 ∗ 115 = 3.795 𝑚𝑚2 𝐼_{𝐷,𝑚í𝑛}=ℎ𝐷∗ 𝑏𝐷3 12 = 115 ∗ 333 12 = 344.396 𝑚𝑚4 𝑖_𝐷= √𝐼𝐷,𝑚í𝑛 𝐴_𝐷 = √ 344.396 3.795 = 9,53 𝑚𝑚 ⇒ 𝜆_𝐷=𝑙𝑝,𝐷 𝑖𝐷 = 1.026 9,53 = 107,8 Para pino radiata, grado C24: 𝐹_𝑐𝑝 = 8 𝑀𝑃𝑎

𝐸 = 10.200 𝑀𝑃𝑎 𝑐 = 0,85

(44)

34 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 𝐾𝐷= 1,00 𝐾_𝐻= 1,00 𝐹_{𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠}= 𝐹_𝑐𝑝∗ 𝐾_𝐷∗ 𝐾_𝐻 = 8,0 ∗ 1 ∗ 1 = 8 𝑀𝑃𝑎 𝐾_ℎ,𝐸= √ ℎ 180 4 = √33 180 4 = 0,65 ≥ 0,67 𝐸_𝑑𝑖𝑠= 𝐸 ∗ 𝐾_ℎ,𝐸 = 10.200 ∗ 0,67 = 6.834 𝑀𝑃𝑎 𝐹𝑐𝐸= 3,6 ∗ 𝐸_𝑑𝑖𝑠 𝜆2 = 3,6 ∗ 6.834 107,82 = 2,12 𝑀𝑃𝑎 𝐹_𝑐𝐸 𝐹_{𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠}= 2,12 8,0 = 0,265 𝐴 = 𝐹_𝑐𝐸 𝐹_{𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠}∗ (1 +200) + 1𝜆 2 ∗ 𝑐 = 0,265 ∗ (1 +107,8_{200 ) + 1} 2 ∗ 0,85 = 0,828 𝐵 = 𝐹_𝑐𝐸 𝐹_{𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠} 𝑐 = 0,265 0,85 = 0,312 𝐾_𝜆 = 𝐴 − √𝐴2_{− 𝐵 = 0,828 − √0,828}2_{− 0,312 = 0,216} 𝐹_{𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠}= 𝐹_{𝑐𝑝,𝑑𝑖𝑠}∗ 𝐾_𝜆= 8 ∗ 0,216 = 1,73 𝑀𝑃𝑎 𝑓_𝑐= 𝐶𝐷 𝐴_𝐷 = 5.479 3.795= 1,44 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑐𝜆,𝑑𝑖𝑠

(45)

EJEMPLO 9: Capacidad de carga de vigas de piso

Determinar la máxima luz que pueden cubrir vigas de piso de Pino radiata de escuadría nominal 2 x 8, Grado C24, espaciadas cada 610 mm, que deben resistir una carga de peso propio de 1,5 kN/m2 y una sobrecarga de servicio de 1,5 kN/m2. Las vigas sirven de apoyo de la base de piso consistente de tableros contrachapados de espesor 18 mm. Se acepta una deformación máxima de 1/300 avo de la luz para la acción combinada del peso propio y la sobrecarga, con un máximo de 15 mm y una deformación máxima inducida por la sobrecarga de servicio de 1/360 avo de la luz. Para la luz determinada estimar la longitud de apoyo requerida en los extremos de las vigas.

Solución:

Solicitación de peso propio: 𝑞_𝑝𝑝 = 1,5 𝑘𝑁 𝑚_⁄ 2 𝑞𝑝𝑝 ̅̅̅̅̅ = 𝑞𝑝𝑝∗ 𝑑 = 1,5 ∗ 0,61 = 0,915 𝑘𝑁 𝑚⁄ = 0,915 𝑁 𝑚𝑚⁄ 𝐾𝐷= 0,9 Sobrecarga de servicio: 𝑞𝑠𝑐 = 1,5 𝑘𝑁 𝑚⁄ 2 𝑞_𝑠𝑐 ̅̅̅̅ = 𝑞_𝑠𝑐∗ 𝑑 = 1,5 ∗ 0,61 = 0,915 𝑘𝑁 𝑚⁄ = 0,915 𝑁 𝑚𝑚⁄ 𝐾_𝐷= 1,0 Carga de diseño: 𝑞̅𝑝𝑝+𝑠𝑐 = 0,915 + 0,915 = 1,83 𝑘𝑁 𝑚⁄ = 1,83 𝑁 𝑚𝑚⁄ 𝐾_𝐷= 1,0 Condiciones geométricas: Ancho: 185 mm (NCh 2824) Espesor : 41 mm (NCh 2824)

(46)

36 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 𝑊 =𝑒𝑠𝑝𝑒𝑠𝑜𝑟 ∗ 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜2 6 = 41 ∗ 1852 6 = 233.871 𝑚𝑚3 𝐼 =𝑒𝑠𝑝𝑒𝑠𝑜𝑟 ∗ 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜3 12 = 41 ∗ 1853 12 = 21.633.052 𝑚𝑚4

Propiedades mecánicas asociadas al Grado C24, NCh 1198, Sección 5.2.4, Tabla 4 b 𝐹_𝑓 = 9,3 𝑀𝑃𝑎 (Aplicable sobre piezas de altura ≤90 mm)

𝐸 = 10.200 𝑀𝑃𝑎 (Aplicable sobre piezas de altura ≥180 mm) 𝐹𝑐𝑧 = 1,1 𝑀𝑃𝑎

𝐹_𝑐𝑛 = 2,5 𝑀𝑃𝑎

Factores de modificación:

Factor de modificación por contenido de humedad, NCh 1198, Sección 6.1.1 𝐾𝐻= 1,0 Condición de servicio seca H ≤ 12 %

𝐾_𝐷= 1,0 Factor de duración de la carga, NCh 1198, Anexo G

Factor de modificación por altura, NCh 1198, Sección 7.2.2.3

𝐾ℎ,𝑓 = √ 90 ℎ 5 = √90 185 5 = 0,866

Factor de modificación por altura para módulo elástico, NCh 1198, Sección 7.2.4.2 𝐾_ℎ,𝐸= 1,0 h ≥180 mm

Factor de modificación por trabajo conjunto en flexión, NCh 1198, Sección 6.1.3 𝐾_𝑐 = 1,15 Espaciamiento ≤ 610 mm y vinculación por medio de placa de piso

(47)

I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 37 Factor de modificación por volcamiento, NCh 1198, Sección 7.2.2.4

𝐾_𝜆𝑣= 1,0 Volcamiento impedido por la cubierta de piso

Factor de modificación por longitud de aplastamiento para el extremo de la viga, NCh 1198, Sección 7.5.3.3

𝐾_𝑐𝑛= 0,8

Factor de modificación por longitud de aplastamiento para solera basal, NCh 1198, Sección 7.5.3.2 𝐾_𝑐𝑛= √150 𝑙 4 = √150 41 4 = 1,383

Capacidad de momento de diseño:

𝐹_{𝑓,𝑑𝑖𝑠}= 𝐹_𝑓∗ 𝐾_𝐷∗ 𝐾_𝐻∗ 𝐾_ℎ∗ 𝐾_𝑐= 9,3 ∗ 1 ∗ 1 ∗ 0,866 ∗ 1,15 = 9,26 𝑀𝑃𝑎 𝑀_𝑑𝑖𝑠= 𝑊 ∗ 𝐹_{𝑓,𝑑𝑖𝑠}= 233.871 ∗ 9,26 = 2.165.645 𝑁 ∗ 𝑚𝑚 𝑀_𝑚á𝑥=𝑞̅𝑝𝑝+𝑠𝑐∗ 𝐿𝑚á𝑥 2 8 = 1,83 ∗ 𝐿2_𝑚á𝑥 8 = 0,2288 ∗ 𝐿2𝑚á𝑥 En el óptimo, 𝑀_𝑑𝑖𝑠= 𝑀_𝑚á𝑥 ⇒ 𝐿_𝑚á𝑥 = √2.165.645 0,2288 = 3.077 𝑚𝑚

Restricción por deformaciones

𝐸_𝑑𝑖𝑠= 𝐸 ∗ 𝐾_𝐻∗ 𝐾_ℎ= 10.200 ∗ 1 ∗ 1 = 10.200 𝑀𝑃𝑎 𝑔 𝑞 = 𝑞̅_𝑝𝑝 𝑞̅_{𝑝𝑝+𝑠𝑐} = 0,915 1,83 = 0,5

De acuerdo con NCh 1198, Sección 7.2.4.11, se desprecia efecto del creep en la estimación de la flecha.

(48)

38 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L Control deformación inducida por la carga total

𝛿 = 5 384∗ 𝑞̅𝑝𝑝+𝑠𝑐∗ 𝐿4𝑚á𝑥 𝐸_𝑑𝑖𝑠∗ 𝐼 ≤ 𝐿_𝑚á𝑥 300 ⇒ 𝐿𝑚á𝑥 ≤ √ 384 ∗ 𝐸_𝑑𝑖𝑠∗ 𝐼 1.500 ∗ 𝑞̅_{𝑝𝑝+𝑠𝑐} 3 = √384 ∗ 10.200 ∗ 21.633.052 1.500 ∗ 1,83 3 = 3.137 𝑚𝑚

Control deformación absoluta 𝛿 = 5 384∗ 𝑞̅_{𝑝𝑝+𝑠𝑐}∗ 𝐿4_𝑚á𝑥 𝐸_𝑑𝑖𝑠∗ 𝐼 ≤ 15 𝑚𝑚 ⇒ 𝐿_𝑚á𝑥 ≤ √384 ∗ 𝐸_{5 ∗ 𝑞̅}𝑑𝑖𝑠∗ 𝐼 ∗ 15 𝑝𝑝+𝑠𝑐 4 = √384 ∗ 10.200 ∗ 21.633.052 ∗ 15 5 ∗ 1,83 3 = 3.433 𝑚𝑚

Control deformación inducida por la sobre carga de servicio 𝛿_𝑠𝑐 = 5 384∗ 𝑞̅_𝑠𝑐∗ 𝐿4_𝑚á𝑥 𝐸𝑑𝑖𝑠∗ 𝐼 ≤ 𝐿_𝑚á𝑥 360 ⇒ 𝐿_𝑚á𝑥 ≤ √384 ∗ 𝐸𝑑𝑖𝑠∗ 𝐼 1.800 ∗ 𝑞̅_𝑠𝑐 3 = √384 ∗ 10.200 ∗ 21.633.052 1.800 ∗ 0,915 3 = 3.719 𝑚𝑚

Por lo tanto, la máxima luz que se puede cubrir queda condicionada por la tensión de diseño en flexión y asciende a 3,08 m.

Longitud de apoyo requerida:

Dado que en el caso de apoyo de vigas la superficie de aplastamiento sobre el canto inferior de las vigas limita con el borde de la pieza, por lo que de acuerdo con NCh 1198 Sección 7.5.3.3 𝐹_{𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠} = 𝐹_𝑐𝑛∗ 𝐾_𝐻∗ 𝐾_𝑐𝑛 = 2,5 ∗ 1,0 ∗ 0,8 = 2,0 𝑀𝑃𝑎

(49)

I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 39 𝐴_{𝑎𝑝,𝑟𝑒𝑞}= 𝑏 ∗ 𝑙_𝑟𝑒𝑞 = 41 ∗ 𝑙_𝑟𝑒𝑞 𝑓𝑐𝑛= 𝑉_{𝑎𝑝𝑜𝑦𝑜} 𝐴𝑎𝑝,𝑟𝑒𝑞 ≤ 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 ⇒ 𝑙𝑟𝑒𝑞 = 𝑉_{𝑎𝑝𝑜𝑦𝑜} 𝑏 ∗ 𝐹𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠 = 2.815 41 ∗ 2= 34,3 𝑚𝑚 ⟶ 35 𝑚𝑚

NOTA: desde el punto de vista de la solera basal, la tensión de diseño en compresión normal es 𝐹_{𝑐𝑛,𝑑𝑖𝑠} = 𝐹_𝑐𝑛∗ 𝐾_𝐻∗ 𝐾_𝑐𝑛 = 2,5 ∗ 1,0 ∗ 1,38 = 3,46 𝑀𝑃𝑎

(50)

EJEMPLO 10: Viga de piso tipo cajón

Viga de piso de una vivienda, armada mediante clavado según esquema de la figura.

Diseño de la ligazón elástica por medio de clavado y verificación estática de la viga compuesta, sección cajón, que debe cubrir una luz de 4,20 m y resistir una carga uniformemente distribuida de 3 kN/m, consistente de las cargas de peso propio y la sobrecarga de servicio. El descenso máximo de la viga no debe exceder el límite L/300, con L: luz.

Se dispone de piezas de madera aserrada Pino Radiata Grado G1 o mejor, según NCh 1207Of.2006, y clavos 4,3 x 100 mm (calibre 4”) con Pel,ad=635 N.

Solución:

Sección transversal viga armada clavada 𝑄_𝑚á𝑥 = 0,5 ∗ 𝑞 ∗ 𝐿 = 0,5 ∗ 3 ∗ 4,2 = 6,3 𝑘𝑁 𝑀_𝑚á𝑥=𝑞 ∗ 𝐿2 8 = 3 ∗ 4,22 8 = 6,615 𝑘𝑁 ∗ 𝑚 Propiedades estáticas 𝐴₁= 𝑏₁∗ ℎ₁ = 138 ∗ 41 = 5.658 𝑚𝑚2 𝑎1 = 0,5 ∗ (ℎ1+ ℎ2) = 0,5 ∗ (41 + 185) = 113 𝑚𝑚 𝐴₂= 2 ∗ 𝑏₂∗ ℎ₂= 2 ∗ 41 ∗ 185 = 15.170 𝑚𝑚2

(51)

I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 41 𝑎2= 0 𝑚𝑚 𝑆₁= 𝐴₁∗ 𝑎₁= 5.658 ∗ 113 = 639.354 𝑚𝑚3 𝑆₂=2 ∗ 𝑏2∗ ℎ22 8 = 2 ∗ 41 ∗ 1852 8 = 350.806 𝑚𝑚3

Propiedades mecánicas asociadas a pino radiata grado G1 o mejor, NCh 1198, Sección 5.2.4, Tabla 4 b:

𝐹_𝑓 = 9,5 𝑀𝑃𝑎 (Aplicable sobre piezas de altura ≤ 90 mm) 𝐹_𝑐𝑛 = 1,1 𝑀𝑃𝑎

𝐸 = 10.100 𝑀𝑃𝑎 (Aplicable sobre piezas de altura ≥180 mm)

Factores de modificación

𝐾_𝐻= 1,0 Condición de servicio seca H≤12% 𝐾_𝐷= 1,0 Carga de diseño de 10 años

𝐾_ℎ2,𝑓= √90 ℎ 5 = √90 185 5 = 0,866 𝐾ℎ,𝐸= 1,0

𝐾_𝜆𝑣= 1,0 Volcamiento impedido por la cubierta de piso

𝐾_{ℎ,𝐸,𝑝𝑖𝑒𝑧𝑎𝑠 𝑎𝑏𝑎𝑡𝑖𝑑𝑎𝑠}= √ ℎ1 180 4 = √41 180 4 = 0,691 𝐸₁= 𝐾_{ℎ,𝐸,í𝑒𝑧𝑎𝑎𝑏𝑎𝑡𝑖𝑑𝑎}∗ 𝐸 = 0,691 ∗ 10.100 = 6.979 𝑀𝑃𝑎 Verificación tensional: 𝐸_𝑟𝑒𝑓 = 𝐸₂= 10.100 𝑀𝑃𝑎 𝑛1= 𝐸_{1,𝑑𝑖𝑠} 𝐸2,𝑑𝑖𝑠 = 6.979 10.100= 0,691 𝑛₂=𝐸2,𝑑𝑖𝑠 𝐸_{2,𝑑𝑖𝑠}= 1,00

(52)

42 I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L Se considera un clavado con espaciamiento 80 mm entre clavos consecutivos.

𝑘 =𝜋 2_{∗ 𝐸} 1,𝑑𝑖𝑠∗ 𝐴1∗ (𝑠 𝑛⁄ ) 𝐶 ∗ 𝐿2 = 𝜋2_{∗ 6.979 ∗ 5.658 ∗ (80 2}_{⁄ )} 600 ∗ 4.2002 = 1,473 ⇒ 𝛾 = 1 1 + 𝑘= 1 1 + 1,473= 0,404 𝐼1= 𝑏₁∗ ℎ₁3 12 = 138 ∗ 413 12 = 792.592 𝑚𝑚4 𝐼2= 2 ∗ 𝑏₂∗ ℎ₂3 12 = 2 ∗ 41 ∗ 1853 12 = 43.266.104 𝑚𝑚4 𝐼_𝑒𝑓= 2 ∗ 𝐼₁∗ 𝑛₁+ 𝐼₂∗ 𝑛₂+ 2 ∗ 𝛾 ∗ 𝑛₁∗ 𝐴₁∗ 𝑎₁2 = 2 ∗ 792.592 ∗ 0,691 + 43.266.104 ∗ 1 + 2 ∗ 0,404 ∗ 0,691 ∗ 5.658 ∗ 1132 = 1.095.362 + 43.266.104 + 40.337.524 = 84.733.317 𝑚𝑚4 Tensiones de trabajo:

Dado que el clavado directo no debilita la sección transversal Ii= Iin, entonces:

𝑀_𝑚á𝑥 𝐼_𝑒𝑓 = 6.615.000 84.372.104= 0,0781 𝑓_𝑓1=𝑀𝑚á𝑥 𝐼_𝑒𝑓 ∗ (𝛾 ∗ 𝑎1+ ℎ₁ 2) ∗ 𝑛1= = 0,0781 ∗ (0,404 ∗ 113 +41 2) ∗ 0,691 = 3,57 𝑀𝑃𝑎 ≤ 𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠= 9,5 𝑀𝑃𝑎 𝑓_𝑡𝑔1 =𝑀𝑚á𝑥 𝐼_𝑒𝑓 ∗ 𝛾 ∗ 𝑎1∗ 𝑛1 = 0,0781 ∗ 0,404 ∗ 113 ∗ 0,691 = 2,46 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑡𝑝,𝑑𝑖𝑠 = 5,5 𝑀𝑃𝑎 𝑓_𝑓2= 0,0781 ∗185 2 = 7,22 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹𝑓,𝑑𝑖𝑠= 9,5 ∗ √ 90 185 5 = 8,2 𝑀𝑃𝑎

(53)

I N F O R M E T É C N I C O N° 1 8 2 I N S T I T U T O F O R E S T A L 43 𝑓_{𝑐𝑧,𝑚á𝑥} = 𝑄𝑚á𝑥 2 ∗ 𝑏₂∗ 𝐼_𝑒𝑓∗ (𝛾 ∗ 𝑛1∗ 𝑠1+ 𝑠2) = 6.300 2 ∗ 41 ∗ 84.372.104∗ (0,404 ∗ 0,691 ∗ 639.354 + 350.806) = 0,48 𝑀𝑃𝑎 < 𝐹_{𝑐𝑧,𝑑𝑖𝑠} = 1,1 𝑀𝑃𝑎

Capacidad admisible de carga para clavos de 4,3 x 100 mm (4”) Para el pino radiata, de NCh 1198, Anexo E

𝜌0,𝑝𝑟𝑜𝑚= 450 𝑘𝑔 𝑚⁄ 3 𝑅_𝑎𝑝= 115 ∗ (𝜌0,𝑝𝑟𝑜𝑚 1000 ) 1,84 = 115 ∗ (₁₀₀₀450)1,84 = 26,5 MPa 𝐷 = 4,3 𝑚𝑚 𝐹𝑓𝑓 = 896 − 58 ∗ 𝐷 = 896 − 58 ∗ 4,3 = 647 𝑀𝑃𝑎 𝑙_𝑙 = 𝑏₁= 41 𝑚𝑚 𝑙_𝑐 = 𝑃 = 𝑙_𝑐𝑙− 𝑏₁= 100 − 41 = 59 𝑚𝑚 𝑏𝑚𝑖𝑛 = 7 ∗ 𝐷 = 7 ∗ 4,3 𝑚𝑚 = 30,1 𝑚𝑚 < 𝑏𝑚𝑖𝑛,𝑒𝑓 = 41 𝑚𝑚 Modos de fluencia: 𝑅𝑒= 𝑅𝑎𝑝,𝑐 𝑅_{𝑎𝑝,𝑙} = 26,5 26,5= 1 𝑅_𝑡 =𝑙𝑐 𝑙_𝑙 = 59 41= 1,439 Nch 1198, sección 9.6.2.1, tabla 36 Kd=2,2 para D < 4,3 mm

Luego, para D < 6,4 mm ⇒ FA=Kd ⇒ FA=2,2

𝐾1= √𝑅_𝑒+ 2𝑅_𝑒2∗ (1 + 𝑅_𝑡+ 𝑅_𝑡2_{) + 𝑅} 𝑡 2_{∗ 𝑅} 𝑒3− 𝑅𝑒∗ (1 + 𝑅𝑡) 1 + 𝑅_𝑒 =√1 + 2 ∗ 1 ∗ (1 + 1,439 + 1,4392) + 1,4392∗ 1 − 1 ∗ (1 + 1,439) 1 + 1 = 0,519