12. En un hospital local, 48% de los recién nacidos son varones. En un día particular nacen cinco ni-ños. ¿Qué probabilidades existen de que cuatro o más de ellos sean varones? ¿Cuál es la media de esta distribución cuando n = 5? ¿Cuál es la desviación estándar?
13. Encuesta política Para las próximas elecciones del senado de Estados Unidos, las encuestas de opinión indican que 50% de la población apoya al candidato demócrata, 40% apoya al candida-to republicano y 10% se encuentra indeciso. Si se selecciona una muestra de cinco personas al azar, ¿cuál será la probabilidad de que al menos cuatro personas sean simpatizantes del candida-to demócrata? ¿Y que menos de dos personas apoyen a este mismo candidacandida-to?
14. Tabaquismo Un hospital local lleva a cabo un programa experimental para ayudar a personas que desean dejar el hábito de fumar. Después de completar el programa, los participantes infor-man una tasa de éxitos de 60%. Si se selecciona una muestra aleatoria de cuatro participantes, ¿cuál es la probabilidad de que todos ellos hayan dejado de fumar? ¿Y de que por lo menos tres hayan dejado ese hábito?
15. Recesión económica Una encuesta de opinión reveló que 80% de las personas en un estado de Nueva Inglaterra consideran que el área está sufriendo recesión económica. Si se selecciona una muestra aleatoria de seis personas en ese estado, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente la mitad de ellas crea que existe dicha recesión?
Distribución de la probabilidad normal
En las distribuciones de probabilidad continua, el número de valores posibles de la varia-ble aleatoria es infinito. En ellas, las probabilidades se asignan exclusivamente a intervalos de valores de la variable aleatoria. Para dar un ejemplo de ello, imagine la variable aleato-ria X que representa las lluvias anuales en una región, medidas en pulgadas. El número de la posible precipitación pluvial es infinito. Por ejemplo, un valor posible de X es 24.000056 pulgadas. En un número infinito de valores posibles de X, la probabilidad de cada valor es sumamente pequeña. Por lo tanto, en las distribuciones de probabilidad continua no se ha-cen afirmaciones respecto de la probabilidad de que la variable aleatoria adopte un valor específico. Por lo contrario, casi siempre se hacen en cuanto a la probabilidad de que la va-riable aleatoria asuma un valor dentro de un intervalo definido. En el ejemplo de la preci-pitación pluvial, quizá se desee conocer la probabilidad de que la precipreci-pitación anual fluctúe entre 24 y 25 pulgadas.
En la presente sección se trata de una de las distribuciones continuas más conocidas y de mayor aplicación: la distribución de la probabilidad normal.
Distribución de la probabilidad normal
Este tipo de distribución es uno de los más importantes en la teoría moderna de la proba-bilidad. La distribución de la probabilidad normal se representa mediante la clásica curva en forma de campana, llamada también curva normal, que aparece en la figura 14.4.
La curva de la figura 14.4 es representativa de una familia de curvas en forma de cam-pana que indican las distribuciones de probabilidad normal, todas ellas distintas en relación con su media y su desviación estándar. La figura 14.5 muestra las gráficas de dos distribu-ciones normales que tienen la misma media pero diferentes desviadistribu-ciones estándar. La figu-ra 14.6 ilustfigu-ra las gráficas de dos distribuciones normales que tienen diferentes medias pero una misma desviación estándar.
La curva normal es simétrica alrededor de una línea vertical imaginaria que pasa por la media µ. Esta simetría significa que la curva es la misma si el espectador recorre distan-cias iguales a la derecha e izquierda de la media. Las “colas” de la curva se van acercando cada vez más al eje horizontal sin tocarlo nunca, por mucho que el espectador se desplace a la derecha o la izquierda.
Las áreas bajo la curva que representan una distribución de la probabilidad son equi-valentes a las probabilidades. Si el área total bajo una curva normal se considera igual a 1, la probabilidad de que la variable aleatoria asuma un valor entre a y b equivale al área si-tuada debajo de la curva y limitada a la derecha e izquierda por las líneas verticales X = a y X = b. Esto se muestra en la figura 14.7.
f (X) X µ X µ f (X ) X µ1 µ2 f (X )
Figura 14.4 Curva normal.
Figura 14.5 Distribuciones normales con medias iguales.
Figura 14.6 Distribuciones nor-males con desviaciones estándar iguales.
Pongamos el caso en que se observa que las calificaciones conseguidas en una prueba estandarizada de aptitudes está normalmente distribuida con una media de 70 y una des-viación estándar de 7.5. Suponga que se quiere determinar la probabilidad de que un estu-diante obtenga una calificación de 70 a 85 en la prueba. Con objeto de calcular esa probabilidad, se recurre a la utilísima propiedad de las distribuciones normales. Cualquier distribución de la probabilidad normal con media
µ
y desviación estándarm
puede ser transformada en una distribución normal estándar (unitaria) equivalente que tenga una media igual a 0 y una desviación estándar de 1. La transformación redefine cada valor de la variable aleatoria X en función de su distancia respecto de la media, expresada como un múltiplo de la desviación estándar.La figura 14.8 ilustra esta transformación de X en función de otra variable z. Esta va-riable z expresa a X en términos de la distancia respecto de la media en múltiplos de la des-viación estándar. Adviértase que los valores z a la derecha de la media son positivos y que los de la izquierda son negativos. Un valor de X que sea una desviación estándar a la dere-cha de la media se definirá en forma equivalente por un valor de z igual a 1. Un punto si-tuado tres desviaciones estándar a la izquierda de la media se definirá de modo equivalente por un valor z de –3. P(a X b) X X 5 a X 5 b a b f (X )
Figura 14.7 El área bajo la curva normal representa la probabilidad.
X z µ – 3 µ – 2 µ – µ µ + µ + 2 µ + 3
–3 –2 –1 0 1 2 3
Variable aleatoria
Variable aleatoria transformada (número de desviaciones estándar a partir de la media)
La tabla 14.26 (de la siguiente página) contiene las áreas bajo la curva normal están-dar. Nótese que las áreas dadas son las que se encuentran debajo de las curvas entre la media y otro punto situado a z desviaciones estándar respecto de la media.La curva nor-mal es tal que 50% del área se encuentra a la izquierda de la media y 50% a la derecha. En otras palabras, existe una probabilidad de 50% de que el valor de la variable aleatoria X sea menor que la media y 50% de probabilidad de que sea mayor. La simetría de la curva nor-mal indica que la tabla 14.26 puede emplearse para determinar las áreas comprendidas en-tre la media y otro punto, cuando el segundo punto se halla a la izquierda o la derecha de la media. Un valor z de 1 en la tabla 14.26 significa que el área debajo de la curva entre z= 0 y z = 1 es de 0.3413. El área es la misma entre z = 0 y z = –1. La figura 14.9 mues-tra esas áreas. Obsérvese, asimismo, que se puede hacer la afirmación de que el área bajo la curva normal estándar entre z = –1 y z = 1 es 0.6826.
Volvamos ahora al problema original concerniente a la prueba estandarizada de apti-tudes. Se ha descubierto que las puntuaciones están normalmente distribuidas con una me-dia de 70 y una desviación estándar de 7.5. El problema radicaba en determinar la probabilidad de que un estudiante seleccionado en forma aleatoria obtuviese una puntua-ción comprendida entre 70 y 85. Para determinar esta probabilidad, hay que transformar la distribución original en la distribución normal estándar.
Ejemplo 23
Dada una variable aleatoria X con µ = 10 y m = 2, existen las equivalencias siguientes entre valores específicos de X y los correspondientes valores de z.X z(número de desviaciones estándar desde la media)
0 –5.0 5 –2.5 8 –1.0 10 0 12 1.0 15 2.5 18 4.0 ❑ z Área 5 0.3413 Área 5 0.3413 0 1 –1 Figura 14.9
Y para ello es preciso identificar los valores de z para los valores pertinentes de X. La fórmula que permite convertir los valores de la variable aleatoria X en los valores equiva-lentes de z es
X – µ
z= (14.10)
m
El valor z correspondiente a la media siempre es 0. Para ilustrarlo, el valor de z corres-pondiente a una calificación de 70 es
Área bajo la curva normal estándar
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359 0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753 0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141 0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517 0.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.1879 0.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.2224 0.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2518 0.2549 0.7 0.2580 0.2612 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.2852 0.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.3133 0.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.3389 1.0 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.3621 1.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.3830 1.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.4015 1.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.4177 1.4 0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 0.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0.4319 1.5 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.4406 0.4418 0.4429 0.4441 1.6 0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.4545 1.7 0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608 0.4616 0.4625 0.4633 1.8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693 0.4699 0.4706 1.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750 0.4756 0.4761 0.4767 2.0 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.4817 2.1 0.4821 0.4826 0.4830 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0.4850 0.4854 0.4857 2.2 0.4861 0.4864 0.4868 0.4871 0.4875 0.4878 0.4881 0.4884 0.4887 0.4890 2.3 0.4893 0.4896 0.4898 0.4901 0.4904 0.4906 0.4909 0.4911 0.4913 0.4916 2.4 0.4918 0.4920 0.4922 0.4925 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.4936 2.5 0.4938 0.4940 0.4941 0.4943 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.4952 2.6 0.4953 0.4955 0.4956 0.4957 0.4959 0.4960 0.4961 0.4962 0.4963 0.4964 2.7 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 0.4970 0.4971 0.4972 0.4973 0.4974 2.8 0.4974 0.4975 0.4976 0.4977 0.4977 0.4978 0.4979 0.4979 0.4980 0.4981 2.9 0.4981 0.4982 0.4982 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.4985 0.4986 0.4986 3.0 0.49865 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989 0.4990 0.4990
Tabla 14.26
70 – 70
z = = 0
7.5 El valor de z correspondiente a un valor X de 85 es
85 – 70 z = 7.5 15 = = 2 7.5
Esta media tiene una puntuación de 85 y se encuentra a dos desviaciones estándar arriba (a la derecha de) la puntuación promedio de 70.
Así pues, la probabilidad de que un estudiante logre puntuaciones entre 70 y 85 es igual al área debajo de la curva normal estándar entre z = 0 y z = 2. Esta área, que aparece en la figura 14.10, se obtiene directamente de la tabla 14.26 como 0.4772. En consecuen-cia, la probabilidad de que un estudiante logre una puntuación de 70 a 85 es 0.4772. En la figura 14.10, nótese que se trazó una escala equivalente de X debajo de la escala de z para mostrar el valor correspondiente de X. Ello no es necesario, pero sirve para recordar los va-lores pertinentes de la variable aleatoria X.
Supóngase que se quiere conocer la probabilidad de que un estudiante reciba califica-ciones entre 0 y 85 en el examen. La probabilidad es igual a la de que z sea menor que 2 en la distribución normal estándar. La probabilidad es el área debajo de la curva normal
z X P(70 X 85) 5 P(0 z 2) 0 70 2 85 0.4772 Valores z equivalentes Puntuación del examen de aptitud Figura 14.10 z X P(X 85) 5 P(z 2) P(z 0) + P(0 ! z 2) 0.5000 5 0.4772 0.9772 0 70 2 85 0.4772 0.5000 5 5 5 Valores z equivalentes Puntuación del examen de aptitud
estándar, que se observa en la figura 14.11. Esta área consta de los 0.5000 a la izquierda de la media y de los 0.4772 que se identificaron antes, o sea
P(z # 2) 5 P(z # 0) 1 P(0 , z # 2) 5 0.5000 1 0.4772 5 0.9772
Una encuesta reveló que el ingreso anual per cápita de los habitantes de un estado tiene una distribu-ción normal con una media de $9 800 y una desviadistribu-ción estándar de $1 600. Si se selecciona una per-sona en forma aleatoria, ¿qué probabilidad hay de que sus ingresos anuales: a) sean mayores que $5 000, b) mayores que $12 200, c) fluctúen entre $8 520 y $12 200, y d) entre $11 400 y $13 000?
SOLUCIÓN
a) El valor de z correspondiente a un ingreso de $5 000 es 5 000 2 9 800 z 5 1 600 24 800 5 5 23 1 600
Con base en la figura 14.12 es posible concluir que la probabilidad de que el sueldo de una persona sea mayor que $5 000 es igual a la de que z sea mayor que –3 en la distribución normal estándar. Se-gún la tabla 14.26
P(z . 23) 5 P(23 , z # 0) 5 P(z . 0)
5 0.49865 1 0.5000 5 0.99865 b) El valor de z correspondiente a un ingreso de $12 200 es
Ejemplo 24
NOTA
Para los problemas que requieren la identificación de las probabili-dades para una variable normalmente distribuida, se recomienda mucho que se haga un esquema que identifique el área o áreas equivalentes bajo la curva normal estándar.z X P(X 5 000) 5 P(z #23) P(23 ! z 0) + P( z # 0) 0.49865 + 0.5000 0.99865 0 –3 5 000 9 800 0.5000 0.49865 5 5 5 Valores z equivalentes Ingreso anual, en dólares Figura 14.12
12200 2 9800 z= 1600 2400 = = 1.5 1600
A partir de la figura 14.13 se llega a la conclusión de que la probabilidad de que el sueldo de una per-sona sea mayor que $12 200 es igual a la de que z sea mayor que 1.5. Según la tabla 14.26, puede de-terminarse que P(0 < z ) 1.5) = 0.4332. Dado que
P(z . 0) 5 0.5000
P(z . 1.5) 5 P(z . 0) 2 P(0 < z # 1.5)
5 0.5000 2 0.4332 = 0.0668 c) El valor de z correspondiente a un ingreso de $8 520 es
8 520 – 9 800 z = 1 600 21 280 = = –0.8 1 600
Conforme a la figura 14.14, la probabilidad de que el sueldo de una persona fluctúe entre $8 520 y $12 200 es igual a la de que z esté comprendida entre –0.8 y 1.5, es decir,
P(– 0.8 z 1.5) 5 P(–0.8 z ! 0) $P(0 z 1.5) 5 0.2881 + 0.4332 5 0.7213 z X P(X $12 200) 5 P(z 15) 0 1.5 12 200 9 800 0.4332 P(z 0) – P(0 z 1.5) 0.5000 – 0.4332 0.0668 5 5 5 Valores z equivalentes Ingreso anual, en dólares Figura 14.13 z X P(8 520 X 12 200) 5 P(–0.8 z 1.5) 0 9 800 8 520 –0.8 1.5 12 200 0.4332 P(–0.8 z 0) $ P(0 z 1.5) 0.2881 + 0.4332 0.7213 5 5 5 0.2881 Valores z equivalentes Ingreso anual, en dólares Figura 14.14
d) El valor de z correspondiente a un ingreso de $11 400 es
El valor de z correspondiente a un ingreso de $13 000 es
De acuerdo con la figura 14.15, la probabilidad de que el sueldo de una persona se encuentre entre $11 400 y $13 000 es igual a la de que z esté comprendida entre 1 y 2. Para calcular esa probabilidad, hay que encontrar el área entre z = 0 y z = 2, restándole después el área entre z = 0 y z = 1. En otras palabras, P(1 z 2) 5 P(0 z 2) 2P(0 z 1) 5 0.4772 2 0.3413 5 0.1359 13 000 2 9 800 1 600 z 5 3 200 1 600 z 5 5 2 11 450 2 9 800 1 600 z 5 1 600 1 600 5 5 1
Hay que hacer una aclaración respecto del uso de la tabla 14.26. Ya se señaló antes que, en el caso de variables continuas, la probabilidad de que ocurra un valor específico de la variable es 0. Es decir, para un punto cualquiera a,
P(X 5 a) 5 0
Por lo tanto, para dos constantes cualesquiera a < b,
P(a # X # b) 5 P(a , X # b) 5 P(a # X , b) 5 P(a , X , b) z X P(11 400 X 13 000) 5 P(1.0 z 2.0) P(0 z 2) 2 P(0 z 1) 0.4772 – 0.3413 0.1359 0 11 400 9 800 1.0 2.0 13 000 5 5 5 Valores z equivalentes Ingreso anual, en dólares Figura 14.15
En el ejemplo 24, ¿cuál es la probabilidad de que el ingreso anual de una persona sea: a) mayor que $8 200, b) menor que $15 800, y c) entre $9 000 y $13 000? Respuesta: a) 0.8413, b) 0.9878, y c) 0.6687.
Ejercicio de práctica
La consecuencia o implicación práctica de lo anterior es que los valores de la tabla 14.26 representan las probabilidades de que z adopte valores entre dos puntos z1y z2, donde los valores exactos de z1y z2pueden estar o no incluidos. En el ejemplo 24a, las probabilida-des de que el sueldo de una persona sea mayor que $5 000 o bien mayor o igual a esa cifra son iguales: 0.99865.
Una última observación respecto de las variables aleatorias con distribución normal es que, entre todos los posibles resultados de la variable aleatoria X, se prevé que aproxima-damente 68% ocurrirá dentro de más o menos una desviación estándar respecto de la me-dia (es decir, µ± 1
m
), se prevé que más o menos 95% ocurrirá dentro de dos desviaciones estándar respecto de la media (µ± 2m
), y cerca de 99% dentro de tres desviaciones están-dar respecto de la media (µ± 3m). Éste es un conjunto útil de propiedades cuando se inten-ta hacer generalizaciones sobre las variables aleatorias con distribución normal. Dichas propiedades se describen en la figura 14.16.z z 0 1 2 –1 –2 3 –3 0 1 2 –1 –2 3 –3 0 1 2 –1 –2 3 –3 z m % 1s m % 2s m % 3s 68.26% 95.44% 99.73% Figura 14.16 Propiedades de las
variables aleatorias normalmente distribuidas.
Sección 14.4 Ejercicios de seguimiento
1. En una distribución normal donde µ = 50 y m = 8, determine los valores de z correspondientes a cada uno de los siguientes valores de la variable aleatoria respecto de la media: a) 56, b) 42, c) 66, d) 36 y e) 75.
2. En una distribución normal donde µ = 300 y m = 60, determine los valores de z correspondien-tes a los siguiencorrespondien-tes valores de la variable aleatoria respecto de la media: a) 320, b) 160, c) 365, d) 430 y e) 130.
3. Dada una distribución normal donde µ = 0.72 y m = 0.08, determine los valores de z correspon-dientes a cada uno de los valores siguientes de la variable aleatoria: a) 0.84, b) 0.62, c) 0.50, d) 0.90 y e) 0.48.
4. Dada una distribución normal donde µ = 18 y m = 4.0, determine los valores de z correspondien-tes a cada uno de los siguiencorrespondien-tes valores de la variable aleatoria: a) 25, b) 12.5, c) 22.5, d) 17.2 y e) 19.8.
5. Para la distribución normal estándar determine:
6. Para la distribución normal estándar determine:
7. Para la distribución normal estándar determine:
8. Para la distribución normal estándar determine:
9. Si se tiene una variable aleatoria X que tiene una distribución normal con una media de 15 y una desviación estándar de 2.5, determine:
10. Si hay una variable aleatoria X que tiene una distribución normal con media de 75 y desviación estándar de 5, determine:
11. Si hay una variable aleatoria X que tenga una distribución normal con media de 300 y desvia-ción estándar de 20, determine:
12. Si se tiene una variable aleatoria X que tiene una distribución normal con media de 160 y des-viación estándar de 8, determine:
13. Pesos de los recién nacidos El peso de los recién nacidos en un hospital muestra distribución normal con media de 3.5 kg y desviación estándar de 180 g. ¿Qué probabilidad existe de que un niño nacido en el hospital pese más de 3.6 kg? ¿Y de que pese menos de 3.1 kg?
14. Los ingresos anuales de los empleados de un estado de la Unión Americana presentan distribu-ción normal con media de $17 500 y desviadistribu-ción estándar de $2 000. Si se escoge a un empleado
a) P(X 150) b) P(148 X 154) c) P(162 X 184) d) P(154 X 172) a) P(X 255) b) P(275 X 345) c) P(316 X 346) d ) P(270 X 295) a) P(X 80) b) P(X 78.5) c) P(66 X 72.5) d) P(80 X 88.5) a) P(X 11.8) b) P(X 17.8) c) P(9.6 X 16.1) d) P(8.6 X 10.9) a) P(0.8 z 1.35) b) P( 1.35 z 1.25) c) P( 0.7 z 0.25) d) P( 0.45 z 0.05) a) P(z 0.25) b ) P(z 0.4) c ) P( 1.5 z 0.6) d) P( 1.3 z 0.45) a) P(z 1.6) b) P(z 1.3) c) P( 1.7 z 0.3) d) P( 1.4 z 0.9) a) P(z 2.4) b) P(z 1.2) c) P(0.8 z 3.0) d) P( 2.3 z 2.8)
de modo aleatorio, ¿qué probabilidad hay de que perciba más de $16 000? ¿Menos de $12 000? ¿Entre $15 000 y $20 000?
15. Un fabricante efectuó un estudio sobre la vida útil de determinado tipo de lámpara. El estudio llegó a la conclusión de que la vida útil, medida en horas, es una variable aleatoria con distribu-ción normal. La vida útil media es de 650 horas, con desviadistribu-ción estándar de 100 horas. ¿Qué probabilidad hay de que la lámpara seleccionada al azar tenga una vida útil que oscile entre 500 y 800 horas? ¿Más de 900 horas?
16. Se ha comprobado que las puntuaciones obtenidas en una prueba de aptitudes a nivel nacional tienen distribución normal con media de 480 y desviación estándar de 75. ¿Qué probabilidad hay de que un estudiante, seleccionado de modo aleatorio, reciba una calificación comprendida en-tre 450 y 540? ¿Mayor que 600?
17. En una gran ciudad, el número de llamadas en que se solicita el servicio de la policía en un perio-do de 24 horas parece ser aleatorio. Se ha descubierto que presentan distribución normal, con me-dia de 225 y desviación estándar de 30. ¿Qué probabilidad hay de que, en un día escogido en forma aleatoria, las llamadas no lleguen a 300? ¿Sean más de 180?
18. Las ventas anuales (en dólares) por vendedor en una fábrica de máquinas copiadoras tienen dis-tribución normal con media de $480 000 y desviación estándar de $40 000. Si se selecciona a uno de los vendedores en forma aleatoria, ¿qué probabilidades existen de que sus ventas anuales: a) excedan los $600 000, b) fluctúen entre $400 000 y $500 000, c) sean menores que $450 000 o d) oscilen entre $540 000 y $600 000?
19. Acondicionamiento físico Se ha aplicado una prueba de acondicionamiento físico a nivel na-cional. Un elemento de la prueba midió la cantidad de planchas (“lagartijas”) que una persona podría hacer. En el caso de los estudiantes de último año, esos ejercicios de “lagartijas” presen-taban distribución normal con una media de 12.5 y una desviación estándar de 5.0. Si se escoge en forma aleatoria a un estudiante del último año de enseñanza media, ¿qué probabilidad existe de que pueda hacer: a) más de 16 lagartijas, b) más de 20, c) entre 10 y 15, y d) menos de 25? 20. Sismografía Un sismólogo ha reunido datos en torno a la frecuencia de los terremotos en todo el mundo, en los cuales se miden los de 5.0 o más intensos en la escala de Richter. El sismólo-go estima que el número de terremotos por año muestra una distribución normal con una media de 24 y desviación estándar de 4.0. En un año cualquiera, ¿qué probabilidad hay de que ha-ya: a) más de 30 terremotos, b) menos de 18, c) más de 16 y d) entre 20 y 25 terremotos?
❑ TÉRMINOS Y CONCEPTOS CLAVE
curva normal 678 desviación estándar 665 distribución de la frecuencia 651 distribución de la probabilidad 653 distribución de la probabilidad binomial 669 distribución de la probabilidad normal 678 distribución de probabilidad discreta 654
distribución normal estándar (unitaria) 680 frecuencia 652 frecuencia relativa 653 histograma 655 intervalo (rango) 664 media 660 mediana 662 moda 662 procesos de Bernoulli 669 variable aleatoria 650
variable aleatoria continua 651 variable aleatoria discreta 651 varianza 665
