Movimiento en dos dimensiones
Tiro Parabólico
Objetivo
El objetivo de este experimento es encontrar la relación entre la distancia vertical y horizontal que una esfera recorre cuando es lanzada desde una mesa. Se pretende, además, comparar el ángulo de lanzamiento y la velocidad del objeto con los parámetros que arroja la grafica del movimiento en Excel.
Equipo
Lanzador con esfera
Tablero vertical
Fluxómetro
Tornillo micrométrico
Papel carbón. Interfaz LabGICM.
Pliego de papel blanco.
Interfaz gráfica Plomada. Nueces y soportes.
Interfaz Grafica
Introducción
Movimiento curvilíneo
El movimiento que vamos a estudiar tiene lugar en el plano XY, Situamos un origen, y unos ejes, y representamos la trayectoria del móvil, es decir, el
Vector posición r en un instante t.
Como la posición del móvil cambia con el tiempo. En el instante t, el móvil se encuentra en el punto P, o en otras palabras, su vector posición es r y en el instante t' se encuentra en el punto P', su posición viene dada por el vector r'. Diremos que el móvil se ha desplazado ∆r=r’-r en el intervalo de tiempo ∆t=t'-t. Dicho vector tiene la dirección de la secante que une los puntos P y P'.
Vector velocidad
El vector velocidad media, se define como el cociente entre el vector desplazamiento ∆r y el tiempo que ha empleado en desplazarse ∆t.
t r t t r r v v
El vector velocidad media tiene la misma dirección que el vector desplazamiento, la secante que une los puntos P y P1 cuando se
calcula la velocidad media <v1> entre los
instantes t y t1.
El vector velocidad en un instante, es el límite del vector velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero.
dt r d t r t t r r v t t lim0 lim0
Como podemos ver en la figura, a medida que hacemos tender el intervalo de tiempo a cero, la dirección del vector velocidad media, la recta secante que une sucesivamente los puntos P, con los puntos P1, P2..., tiende hacia la tangente a la
trayectoria en el punto P.
En el instante t, el móvil se encuentra en P y tiene una velocidad v cuya dirección es tangente a la trayectoria en dicho punto.
Vector aceleración
En el instante t el móvil se encuentra en P y tiene una velocidad v cuya dirección es tangente a la trayectoria en dicho punto.
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Instituto de Física. Universidad de Antioquia Manual de prácticas para el laboratorio de Física I. Elaborado por: Lucelly Reyes H
El móvil ha cambiado, en general, su velocidad tanto en módulo como en dirección, en la cantidad dada por el vector diferencia ∆v=v’-v.
Se define la aceleración media como el cociente entre el vector cambio de velocidad ∆v y el intervalo de tiempo ∆t=t'-t, en el que tiene lugar dicho cambio.
t v t t v v a a Y la aceleración a en un instante dt v d t v t t v v a t t lim0 lim0
Resumiendo, las ecuaciones del movimiento curvilíneo en el plano XY son
La primera fila corresponde, a las ecuaciones de un movimiento rectilíneo a lo largo del eje X, la segunda fila corresponde, a las ecuaciones de un movimiento rectilíneo a lo largo del eje Y, y lo mismo podemos decir respecto del eje Z. Por tanto, podemos considerar un movimiento curvilíneo como la composición de movimientos rectilíneos a lo largo de los ejes coordenados.
Componentes tangencial y normal de la aceleración
Las componentes rectangulares de la aceleración no tienen significado físico, pero si lo tienen las componentes de la aceleración en un nuevo sistema de referencia formado por la tangente a la trayectoria y la normal a la misma.
figura.
Se dibujan los ejes horizontal X y vertical Y.
Se calculan las componentes rectangulares de la velocidad y de la aceleración en dicho instante. Se representan los vectores velocidad y aceleración en dicho sistema de referencia.
Se dibujan los nuevos ejes, la dirección tangencial es la misma que la dirección de la velocidad, la dirección normal es perpendicular a la dirección tangencial.
Con la regla y el cartabón se proyecta el vector aceleración sobre la dirección tangencial y sobre la dirección normal.
Se determina el ángulo θ entre el vector velocidad y el vector aceleración, y se calcula el valor numérico de dichas componentes: at=a cosθ y an=a senθ
Radio de curvatura
En la figura, se muestra el radio de curvatura y el centro de curvatura de una trayectoria cualesquiera en el instante t. Se dibuja la dirección del vector velocidad v en el instante t, la dirección del vector velocidad vdv en el
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instante t+dt. Se trazan rectas perpendiculares a ambas direcciones, que se encuentran en el punto C denominado centro de curvatura. La distancia ente entre la posición del móvil en el instante t, y el centro de curvatura C es el radio de curvatura ρ.
En el intervalo de tiempo comprendido entre t y t+dt, la dirección del vector velocidad cambia un ángulo dθ. que es el ángulo entre las tangentes o entre las normales. El móvil se desplaza en este intervalo de tiempo un arco ds=ρ·dθ, tal como se aprecia en la figura.
Otra forma de obtener las componentes tangencial y normal de la aceleración, es la de escribir el vector velocidad v como producto de su módulo v por un vector unitario que tenga su misma dirección y sentido uˆt v v. La derivada de un producto se compone de la suma de dos términos
dt u d v u dt dv dt u v d dt v d a t t t ( )
El primer término, tiene la dirección de la velocidad o del vector unitario ut es la componente tangencial de la aceleración
El segundo término, vamos a demostrar que tiene la dirección normal un. Como vemos en la figura las componentes del vector unitario ut son
j sen i ut cos.ˆ .ˆ Su derivada es n n n t u v u dt ds u dt d dt d j i sen dt u d ( .ˆ cos .ˆ) 1 El vector aceleración es n t u v u dt dv dt v d a 2
Las componentes tangencial y normal de la aceleración valen, respectivamente
Como la velocidad es un vector, y un vector tiene módulo y dirección. Existirá aceleración siempre que cambie con el tiempo bien el módulo de la velocidad, la dirección de la velocidad o ambas cosas a la vez.
Si solamente cambia el módulo de la velocidad con el tiempo, como en un movimiento rectilíneo, tenemos únicamente aceleración tangencial. Si solamente cambia la dirección de la velocidad con el tiempo, pero su
módulo permanece constante como en un movimiento circular uniforme, tenemos únicamente aceleración normal.
Si cambia el módulo y la dirección de la velocidad con el tiempo, como en un tiro parabólico, tendremos aceleración tangencial y aceleración normal..
Caso particular de un movimiento curvilíneo
El tiro parabólico: composición de dos movimientos
Movimiento rectilíneo y uniforme a lo largo del eje X Uniformemente acelerado a lo largo del eje Y
En el laboratorio se dispara un proyectil desde una altura h sobre un plano horizontal con velocidad inicial v0, haciendo un ángulo θ con la horizontal. Para describir el movimiento establecemos un sistema de referencia como se indica en la figura.
Las componentes de la velocidad del proyectil en función del tiempo son:
La posición del proyectil en función del tiempo es
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Estas son las ecuaciones paramétricas de la trayectoria, ya que dado el tiempo
t, se obtiene la posición x e y del proyectil. Combinando las ecuaciones 1 y 2
tenemos
El tiempo de vuelo T se obtiene poniendo y=0 en la segunda ecuación y despejando el tiempo t.
El proyectil llega al punto de impacto en el instante t=T. Sustituyendo t en la primera ecuación obtenemos el alcance, o distancia horizontal entre el origen y el punto de impacto, R.
La componente vy de la velocidad cuando el cuerpo llega al suelo es
La velocidad final vf del proyectil cuando llega al suelo y el ángulo que forma con la horizontal (véase la primera figura) es
Procedimiento
La velocidad inicial se medirá con la interfaz Lab_GICM usando la opción “ tiempo de oscuridad", tomando el diámetro de la esfera como la distancia recorrida en ese tiempo.
1. Sujete con la prensa el lanzador a uno de los bordes de la mesa de trabajo tal como se muestra en el montaje.
2. Ponga el papel sobre el tablero verifique previamente que este cubierto con papel carbón.
3. Ajuste el ángulo del lanzador entre 5 y 15 grados con respecto a la horizontal.
4. Ponga la fotocelda a la salida del lanzador de tal forma que la línea entre los fotodiodos esté totalmente vertical y sea interceptada por el punto medio del proyectil (para este propósito se puede ayudar con el embolo de madera).
5. Conecte el sistema LabGICM con el PC a través del cable serial y préndala.
6. Corra desde el escritorio la Interfaz “Física General “con el siguiente icono .
7. Corra la interface para “tiro parabólico”. Consignar todos los datos del experimento.
8. Mida el ángulo del lanzador y digítelo en la casilla “ángulo”.
9. Mida el diámetro de la esfera y digítelo en la casilla “Diámetro (cm)”. 10. Coloque la esfera dentro del lanzador en la posición que corresponde al
menor alcance.
11. Haga clic en “Inicia variable” hasta que este botón se ponga en verde, suéltelo inmediatamente y espere hasta que se active la función en el sistema LabGICM (Esperando…).
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13. Mida la distancia horizontal recorrida y la altura sobre el tablero ayudándose de la marca dejada en el papel por el papel carbón. Introduzca estos datos en las casillas “Xm” y “Ym” respectivamente.
14. Verifique que el dato tiempo que aparece en el sistema LabGICM es el mismo que aparece en la pantalla del PC. Si no es así repita la medida volviendo al paso 10.
15. Haga clic en “Dato válido para añadirlo a la tabla”
16. Repita (pasos 10 al 15) el procedimiento anterior para otras distancias del tablero incrementándolas de 10 en 10 cm hasta 150 cm.
17. Al terminar haga clic en “guardar datos”. Seleccione una carpeta en que pueda encontrar sus datos, ejemplo: tiro parabolico.xls.
18. Abra la interfaz grafica “ Simulaciones” y active “Tiro parabólico “
19. Genere una simulación de su experimento con la interfaz. Guarde sus datos
Análisis
a) Realice un histograma con las medidas de tiempo de oscuridad de la esfera. Calcule la media y la desviación estándar.
b) Exprese la velocidad de la esfera con su error teniendo en cuenta el error en la medida del diámetro y el error en los tiempos.
c) Lleve las distancias verticales y las distancias horizontales a Excel. Grafique y vs x, ajuste sus datos a un polinomio de grado 2. Para los datos experimentales y los simulados.
d) Escriba las ecuaciones de las curvas. Compare con la ecuación (3) teórica .¿Que concluye?
e) Extraiga de los coeficientes del polinomio, la velocidad horizontal y el ángulo. Compare estos valores con los directamente medidos.
a su punto más bajo de la trayectoria.
g) Dibuje sobre su grafica el desplazamiento neto del proyectil. h) Cual fue la velocidad media del proyectil en su experimento.
i) Tome dos puntos sobre su gráfica y dibuje la(s) aceleración(es) del sistema.
j) En todos sus cálculos haga propagación de error para sus medidas. k) ¿Con que ángulo hubiéramos tenido el alcance máximo?
