3
Equacions i sistemes
de segon grau
Equacions de segon grau. Resolució
1. a) L’àrea del pati d’una escola és quadrada i fa 20,25 m2. Per calcular el perímetre del pati segueix els passos següents:
• Escriu l’equació que planteja aquest problema:
• Quin grau té aquesta equació? ... • Quina és la longitud d’un dels costats del pati?
• Quin és el perímetre del pati?
Una equació de segon grau és una expressió del tipus ax2+ + =bx c 0 en què a, b, i c són nombres reals i a≠0. Si b≠0 i c≠0 es diu que l’equació és completa. Vegem la resolució d’equacions de segon grau incompletes, és a dir, quan b=0 o c=0. ax c ax c x c a c a 2 0 2 0 + = ⇒ = − ⇒ = ± − ⇒ − > Si té dues solucioons Si la solució és Si no té so . . c x c a = = − < 0 0 0 llució. ax bx x ax b x ax b x b a 2 1 2 0 0 0 0 + = ⇒ + = ⇒ = + = ⇒ =− ( )
sempre tenen dues solucions.
b) Resol les equacions següents: 4x2−196 0= 3 5 4 0 2 x x − = (x− +1) 3(x+ =2) 3x+7 3 2
2. a) Considera l’equació de segon grau (x−3)2=25. Per resoldre aquesta equació segueix els passos següents:
• Extreu l’arrel quadrada en els dos termes.
• Has obtingut dues equacions de primer grau. Resol aquestes dues equacions.
• Comprova que les dues solucions trobades són solucions de l’equació inicial.
Resolució d’equacions de segon grau particulars.
( )( ) ( ) ( ) px r qx s px r x r p qx s x + + = ⇒ + = ⇒ =− + = ⇒ =− 0 0 0 1 2 ss q
sempre tenendues solucions.
(px r) q px r q x r q p q o + = ⇒ + = ± ⇒ = − ± ⇒ > 2 Si té dues solucioons. Si té una solució doble. Si no té soluci q q = < 0 0 óó. b) Resol les equacions següents:
(5x−3 2)( x+ =1 0) 4 1 4 3 16 9 2 x− + =
3. a) Considera l’equació següent: (x−2)(x+ =3) 6. • Fes el producte del primer membre.
• Escriu una equació equivalent a la trobada amb el segon membre igual a zero.
• Quin grau té aquesta equació? ... • És una equació completa o incompleta? ... Per què? ... . . . . Vegem la resolució d’equacions de segon grau completa, és a dir, ax2 + bx + c = 0, a, b, c ≠ 0.
Aplicarem la fórmula general: x b b ac a =− ± 2−4
2 .
El nombre de solucions d’una equació de segon grau depèn del signe del dis-criminant ∆∆ = −b2 4 .ac
Si ∆ > 0, l’equació té dues solucions diferents:
x b b ac a 1 2 4 2 =− + − x b b ac a 2 2 4 2 =− − − Si ∆ = 0, l’equació té una solució doble: x b
a =−
2 . Si ∆ < 0, l’equació no té solució.
b) Resol l’equació de segon grau obtinguda a l’apartat a).
c) Resol l'equació següent:
Suma i producte de les solucions
4. a) Resol les equacions de segon grau següents i completa la taula.
Equació Solucions x2− + =7x 10 0 x1= x2= x1+ =x2 x x1· 2= 8x2− − =2x 1 0 x1= x2= x1+ =x2 x x1· 2= x2+ − =2x 8 0 x1= x2= x1+ =x2 x x1· 2=
La suma i el producte de les dues solucions x1 i x2 d’una equació de segon grau ax2+ + =bx c 0 compleixen les propietats següents:
S x x b a = + =1 2 − P x x c a = 1· 2=
b) Resol mentalment les equacions de segon grau següents: Equació Solucions x2− − =2x 15 0 x 1= x2= x2+ + =7x 12 0 x 1= x2= x2− − =x 12 0 x 1= x2= x2+ − =x 12 0 x 1= x2=
Sistemes d’equacions de segon grau
5. a) Resol aquest sistema d’equacions: x y
x y + = + = 7 25
2 2 , seguint els passos indicats.
• Aïlla la variable x de la primera equació. • Substitueix x en la segona equació.
• Resol l’equació de segon grau que has trobat. • Substitueix aquests valors en l’expressió aïllada de x.
• Les solucions del sistema són: x1 = ..., y1 = ... i x2 = ..., y2 = ...
Un sistema és un sistema d’equacions de segon grau quan, en aplicar algun mètode algèbric, ens porta a resoldre una equació de segon grau.
Per resoldre sistemes de segon grau utilitzarem qualsevol dels mètodes algèbrics: substitució, reducció o igualació.
b) Resol aquest sistema d’equacions: x y
x y 2 2 2 2 13 4 3 24 + = − =
, seguint els passos indicats. • Multiplica la primera equació per 3.
• Suma aquesta equació amb la segona equació del sistema. • Resol l’equació de segon grau que has trobat.
• Substitueix aquests valors en la primera equació i resol les equacions de segon grau obtingudes.
• Les solucions del sistema són:
x1 = ..., y1 = ..., x2 = ..., y2 = ... x3 = ..., y3 = ... i x4 = ..., y4 = ... c) Quin mètode de resolució has fet servir en l’apartat a)? ... I en l’apartat b)? ...
6. a) Resol aquest sistema d’equacions: x y x y 2 2 33 3 − = − + = −
En general, el millor mètode algèbric per resoldre sistemes d’equacions de segon grau és el de substitució, encara que podem trobar-nos davant situacions par-ticulars en què resulta més ràpid utilitzar un dels altres dos mètodes.
b) Resol els sistemes d’equacions de segon grau següents:
x y x y + = − + = − 3 5 7 2 32 ( )( ) 2 103 4 677 2 2 2 2 x y x y − = + = ( ) ( ) ( ) ( ) x y x y − + − = − − + = − 4 3 8 4 3 8 5 84 2 2
Equacions biquadrades
7. a) El producte de dos nombres és 75 i la diferència entre els seus quadrats és 616. Planteja el sistema per resoldre aquest problema:
• Aïlla la variable x de l’equació de primer grau i substitueix-la a l’equació de segon grau:
• Arregla l’equació obtinguda, eliminant el denominador i passant tots els termes al mateix costat de l’igual:
• L’equació obtinguda és de . . . grau, els exponents de la variable x són ... i ...
Una equació de quart grau s’anomena biquadrada si té l’expressió algebraica: ax4+bx2+ =c 0, en què a, b i c són nombres reals i a ≠ 0.
Si fem el canvi d’incògnita x2 = t podem transformar aquesta equació biquadra-da en l’equació de segon grau at2+ + =bt c 0 i ens permet resoldre l’equació.
t b b ac a t b b ac a 1 2 2 2 4 2 4 2 =− + − , =− + − x1= ± t x1, 2= ± t2
b) Acaba de resoldre el sistema de l’apartat a):
c) Resol les equacions biquadrades següents:
Equacions irracionals
8. a) Resol l’equació següent: x− + =1 3 x, seguint els passos indicats. • Aïlla l’arrel en el primer membre:
• Per treure l’arrel eleva al quadrat els dos membres de la igualtat:
• Resol l’equació de segon grau obtinguda:
• Comprova si els valors obtinguts són solució de l’equació inicial:
• Dels dos valors obtinguts, el valor ... és una solució real i el valor ... és una solució fi ctícia, és a dir, no compleix la igualtat.
Les equacions irracionals són aquelles que tenen la incògnita sota el signe radical. Per exemple: 1+ 25−x2 =x.
Per resoldre aquestes equacions hem d’aïllar primer l’arrel en un dels termes i després elevem els dos termes al quadrat. Resolem l’equació de segon grau obtinguda.
Al fi nal s’haurà d’esbrinar si les solucions obtingudes són solucions de l’equació irracional, ja que, a vegades, en elevar al quadrat els dos membres s’hi pot intro-duir una equació fi ctícia.
b) Resol les equacions irracionals següents. En aquest cas hauràs d’elevar al quadrat l'equació dues vegades:
Altres tipus d’equacions
9. a) Observa les equacions següents, digues de quin grau són i aplica els passos indicats per resoldre-les:
4x3+ =32 0
Grau: ...
Aïlla el terme amb x:
Aplica l’arrel cúbica als dos membres:
La solució és: ...
x4− =16 0
Grau: ...
Aïlla el terme amb x:
Aplica l’arrel quarta als dos membres:
Les solucions són: ... x3−2x=0
Grau: ...
Extreu el factor comú x:
Iguala cada factor del producte a zero i resol:
Les solucions són: ...
x4−16 5x2 405 0
(
)
(
−)
=Grau: ...
Iguala cada factor del producte a zero:
Soluciona cada equació obtinguda:
Les solucions són: ...
Per resoldre alguns tipus d’equacions que no són ni de primer ni de segon grau es poden utilitzar diferents mètodes algèbrics:
– Extracció de factor comú.
– Igualació dels factors d’un producte a zero. – Aïllament i aplicació d’arrels.
b) Resol les equacions següents: x3−4x2+3x=0 x5+5x3−14x=0 1 1 3 3 2 x x − = − (x2 5 4)( x 3) x 3 4 0 − − + = (x2−3x)2− = −9 (x 3)(x+3) (x2−4)5= −32
Resolució de problemes
10. a) El jardí de la Paula té forma de rectangle. Per tancar-lo ha utilitzat 14 m de fi lat i la dia-gonal mesura 5 m. Quina és l’àrea del jardí? Per trobar-la segueix els passos següents: • Fes un dibuix de la situació geomètrica que planteja el problema.
• Identifi ca les incògnites: x és la longitud de ... y és la longitud de ...
Planteja l’equació que et proporciona la condició del perímetre: • Planteja l’equació que et proporciona la condició de la diagonal:
• Resol el sistema de segon grau obtingut:
• L’àrea del jardí és ... A vegades per resoldre problemes s’ha de plantejar i resoldre una equació de segon grau, un sistema de segon grau o bé altres tipus d’equacions.
Els passos per resoldre aquests problemes són:
– Lectura comprensiva del text, identifi cació de les incògnites.
– Traducció del text al llenguatge algèbric i plantejament de les equacions o sistemes d’equacions.
– Resolució de les equacions o sistemes.
– Comprovació que les solucions són coherents amb l’enunciat.
b) En Miquel compra per als seus fi lls llibretes per valor de 30 €. Si cada llibreta hagués costat 50 cèntims menys, n’hauria pogut comprar 3 més. Quantes llibretes ha com-prat? Quin és el preu de cada llibreta?
Activitats fi nals d’avaluació
1. Les solucions de l’equació 32 4 0 2 x x − = són: a) 8 3i 8 3 − b) 8 3i0 c) −8 3 i0 d) 4 3i 0 2. Els signes de les dues solucions de
l’equació x2+ − =x 20 0 són: a) Tots dos positius.
b) Tots dos negatius.
c) Un positiu i l’altre negatiu. 3. L’equació 3x2−8x+ =4 0 té:
a) Dues solucions. b) Una solució doble. c) No té solucions.
4. Les solucions de l’equació (x−5)2=49 són: a) 12 i –12 b) 2 i –2 c) 12 i –2 d) –12 i 2 5. El discriminant de l’equació −4x2−15x+ =2 0 és: a) ∆ = –193 b) ∆ = –257 c) ∆ = 193 d) ∆ = 257 6. L’equació que té com a solucions –4, 3,
i 2 és:
a) x2− + =5x 6 0 b) x3−5x2+6x=0
7. Les solucions del sistema següent són: xy x y = + = 2 4 2 2 2 33 a) x y x y x y x y 1 1 2 2 3 3 4 1 2 4 1 2 4 2 2 2 2 2 2 = = − =− = = =− = − , ; , , , 44 2 2 = b) x y x y x y x y 1 1 2 2 3 3 4 4 1 2 4 1 2 4 2 2 2 2 2 2 = = =− = − = = = − , ; , , , ==− 2 2
8. Comprova si x = 20 és solució de les equacions següents:
Sí/no x− − =4 5 1
13+ 4+ x+ =5 4
3x− 2x+ =9 x+ +5 48
9. Quina és l’àrea d’un rectangle si sabem que un dels costats mesura 1 cm més que l’altre i la diagonal fa 2 cm més que el costat petit?
a) 3+ 3 cm2 b) 12 cm2 c) 14 cm2 d) 2 3 cm2
