Equacions i sistemes de segon grau

12  11  Descargar (0)

Texto completo

(1)

3

Equacions i sistemes

de segon grau

Equacions de segon grau. Resolució

1. a) L’àrea del pati d’una escola és quadrada i fa 20,25 m2. Per calcular el perímetre del pati segueix els passos següents:

Escriu l’equació que planteja aquest problema:

Quin grau té aquesta equació? ... Quina és la longitud d’un dels costats del pati?

Quin és el perímetre del pati?

Una equació de segon grau és una expressió del tipus ax2+ + =bx c 0 en què a, b, i c són nombres reals i a≠0. Si b≠0 i c≠0 es diu que l’equació és completa. Vegem la resolució d’equacions de segon grau incompletes, és a dir, quan b=0 o c=0. ax c ax c x c a c a 2 0 2 0 + = ⇒ = − ⇒ = ± − ⇒ − > Si té dues solucioons Si la solució és Si no té so . . c x c a = = − < 0 0 0 llució.        ax bx x ax b x ax b x b a 2 1 2 0 0 0 0 + = ⇒ + = ⇒ = + = ⇒ =−       ( )  

sempre tenen dues solucions.

b) Resol les equacions següents: 4x2−196 0= 3 5 4 0 2 x x − = (x− +1) 3(x+ =2) 3x+7 3 2

(2)

2. a) Considera l’equació de segon grau (x−3)2=25. Per resoldre aquesta equació segueix els passos següents:

Extreu l’arrel quadrada en els dos termes.

Has obtingut dues equacions de primer grau. Resol aquestes dues equacions.

Comprova que les dues solucions trobades són solucions de l’equació inicial.

Resolució d’equacions de segon grau particulars.

( )( ) ( ) ( ) px r qx s px r x r p qx s x + + = ⇒ + = ⇒ =− + = ⇒ =− 0 0 0 1 2 ss q      

sempre tenendues solucions.

(px r) q px r q x r q p q o + = ⇒ + = ± ⇒ = − ± ⇒ > 2 Si té dues solucioons. Si té una solució doble. Si no té soluci q q = < 0 0 óó.     b) Resol les equacions següents:

(5x−3 2)( x+ =1 0) 4 1 4 3 16 9 2 x− +     =

(3)

3. a) Considera l’equació següent: (x−2)(x+ =3) 6. Fes el producte del primer membre.

Escriu una equació equivalent a la trobada amb el segon membre igual a zero.

Quin grau té aquesta equació? ... És una equació completa o incompleta? ... Per què? ... . . . . Vegem la resolució d’equacions de segon grau completa, és a dir, ax2 + bx + c = 0, a, b, c ≠ 0.

Aplicarem la fórmula general: x b b ac a =− ± 2−4

2 .

El nombre de solucions d’una equació de segon grau depèn del signe del dis-criminant ∆∆ = −b2 4 .ac

Si ∆ > 0, l’equació té dues solucions diferents:

x b b ac a 1 2 4 2 =− + − x b b ac a 2 2 4 2 =− − − Si ∆ = 0, l’equació té una solució doble: x b

a =−

2 . Si ∆ < 0, l’equació no té solució.

b) Resol l’equació de segon grau obtinguda a l’apartat a).

c) Resol l'equació següent:

(4)

Suma i producte de les solucions

4. a) Resol les equacions de segon grau següents i completa la taula.

Equació Solucions x2− + =7x 10 0 x1= x2= x1+ =x2 x x1· 2= 8x2− − =2x 1 0 x1= x2= x1+ =x2 x x1· 2= x2+ − =2x 8 0 x1= x2= x1+ =x2 x x1· 2=

La suma i el producte de les dues solucions x1 i x2 d’una equació de segon grau ax2+ + =bx c 0 compleixen les propietats següents:

S x x b a = + =1 2P x x c a = 1· 2=

b) Resol mentalment les equacions de segon grau següents: Equació Solucions x2− − =2x 15 0 x 1= x2= x2+ + =7x 12 0 x 1= x2= x2− − =x 12 0 x 1= x2= x2+ − =x 12 0 x 1= x2=

(5)

Sistemes d’equacions de segon grau

5. a) Resol aquest sistema d’equacions: x y

x y + = + =    7 25

2 2 , seguint els passos indicats.

Aïlla la variable x de la primera equació. Substitueix x en la segona equació.

Resol l’equació de segon grau que has trobat. Substitueix aquests valors en l’expressió aïllada de x.

Les solucions del sistema són: x1 = ..., y1 = ... i x2 = ..., y2 = ...

Un sistema és un sistema d’equacions de segon grau quan, en aplicar algun mètode algèbric, ens porta a resoldre una equació de segon grau.

Per resoldre sistemes de segon grau utilitzarem qualsevol dels mètodes algèbrics: substitució, reducció o igualació.

b) Resol aquest sistema d’equacions: x y

x y 2 2 2 2 13 4 3 24 + = − =  

 , seguint els passos indicats. Multiplica la primera equació per 3.

Suma aquesta equació amb la segona equació del sistema. Resol l’equació de segon grau que has trobat.

Substitueix aquests valors en la primera equació i resol les equacions de segon grau obtingudes.

Les solucions del sistema són:

x1 = ..., y1 = ..., x2 = ..., y2 = ... x3 = ..., y3 = ... i x4 = ..., y4 = ... c) Quin mètode de resolució has fet servir en l’apartat a)? ... I en l’apartat b)? ...

(6)

6. a) Resol aquest sistema d’equacions: x y x y 2 2 33 3 − = − + = −   

En general, el millor mètode algèbric per resoldre sistemes d’equacions de segon grau és el de substitució, encara que podem trobar-nos davant situacions par-ticulars en què resulta més ràpid utilitzar un dels altres dos mètodes.

b) Resol els sistemes d’equacions de segon grau següents:

x y x y + = − + = −    3 5 7 2 32 ( )( ) 2 103 4 677 2 2 2 2 x y x y − = + =    ( ) ( ) ( ) ( ) x y x y − + − = − − + = −    4 3 8 4 3 8 5 84 2 2

(7)

Equacions biquadrades

7. a) El producte de dos nombres és 75 i la diferència entre els seus quadrats és 616. Planteja el sistema per resoldre aquest problema:

Aïlla la variable x de l’equació de primer grau i substitueix-la a l’equació de segon grau:

Arregla l’equació obtinguda, eliminant el denominador i passant tots els termes al mateix costat de l’igual:

L’equació obtinguda és de . . . grau, els exponents de la variable x són ... i ...

Una equació de quart grau s’anomena biquadrada si té l’expressió algebraica: ax4+bx2+ =c 0, en què a, b i c són nombres reals i a ≠ 0.

Si fem el canvi d’incògnita x2 = t podem transformar aquesta equació biquadra-da en l’equació de segon grau at2+ + =bt c 0 i ens permet resoldre l’equació.

t b b ac a t b b ac a 1 2 2 2 4 2 4 2 =− + − , =− + − x1= ± t x1, 2= ± t2

b) Acaba de resoldre el sistema de l’apartat a):

c) Resol les equacions biquadrades següents:

(8)

Equacions irracionals

8. a) Resol l’equació següent: x− + =1 3 x, seguint els passos indicats. Aïlla l’arrel en el primer membre:

Per treure l’arrel eleva al quadrat els dos membres de la igualtat:

Resol l’equació de segon grau obtinguda:

Comprova si els valors obtinguts són solució de l’equació inicial:

Dels dos valors obtinguts, el valor ... és una solució real i el valor ... és una solució fi ctícia, és a dir, no compleix la igualtat.

Les equacions irracionals són aquelles que tenen la incògnita sota el signe radical. Per exemple: 1+ 25x2 =x.

Per resoldre aquestes equacions hem d’aïllar primer l’arrel en un dels termes i després elevem els dos termes al quadrat. Resolem l’equació de segon grau obtinguda.

Al fi nal s’haurà d’esbrinar si les solucions obtingudes són solucions de l’equació irracional, ja que, a vegades, en elevar al quadrat els dos membres s’hi pot intro-duir una equació fi ctícia.

b) Resol les equacions irracionals següents. En aquest cas hauràs d’elevar al quadrat l'equació dues vegades:

(9)

Altres tipus d’equacions

9. a) Observa les equacions següents, digues de quin grau són i aplica els passos indicats per resoldre-les:

4x3+ =32 0

Grau: ...

Aïlla el terme amb x:

Aplica l’arrel cúbica als dos membres:

La solució és: ...

x4− =16 0

Grau: ...

Aïlla el terme amb x:

Aplica l’arrel quarta als dos membres:

Les solucions són: ... x32x=0

Grau: ...

Extreu el factor comú x:

Iguala cada factor del producte a zero i resol:

Les solucions són: ...

x416 5x2 405 0

(

)

(

)

=

Grau: ...

Iguala cada factor del producte a zero:

Soluciona cada equació obtinguda:

Les solucions són: ...

Per resoldre alguns tipus d’equacions que no són ni de primer ni de segon grau es poden utilitzar diferents mètodes algèbrics:

– Extracció de factor comú.

– Igualació dels factors d’un producte a zero. – Aïllament i aplicació d’arrels.

(10)

b) Resol les equacions següents: x34x2+3x=0 x5+5x314x=0 1 1 3 3 2 x x − = − (x2 5 4)( x 3) x 3 4 0 − −  + = (x23x)2− = −9 (x 3)(x+3) (x24)5= −32

(11)

Resolució de problemes

10. a) El jardí de la Paula té forma de rectangle. Per tancar-lo ha utilitzat 14 m de fi lat i la dia-gonal mesura 5 m. Quina és l’àrea del jardí? Per trobar-la segueix els passos següents: Fes un dibuix de la situació geomètrica que planteja el problema.

Identifi ca les incògnites: x és la longitud de ... y és la longitud de ...

 Planteja l’equació que et proporciona la condició del perímetre: Planteja l’equació que et proporciona la condició de la diagonal:

Resol el sistema de segon grau obtingut:

L’àrea del jardí és ... A vegades per resoldre problemes s’ha de plantejar i resoldre una equació de segon grau, un sistema de segon grau o bé altres tipus d’equacions.

Els passos per resoldre aquests problemes són:

– Lectura comprensiva del text, identifi cació de les incògnites.

– Traducció del text al llenguatge algèbric i plantejament de les equacions o sistemes d’equacions.

– Resolució de les equacions o sistemes.

– Comprovació que les solucions són coherents amb l’enunciat.

b) En Miquel compra per als seus fi lls llibretes per valor de 30 €. Si cada llibreta hagués costat 50 cèntims menys, n’hauria pogut comprar 3 més. Quantes llibretes ha com-prat? Quin és el preu de cada llibreta?

(12)

Activitats fi nals d’avaluació

1. Les solucions de l’equació 3

2 4 0 2 x x − = són: a) 8 3i 8 3 − b) 8 3i0 c) −8 3 i0 d) 4 3i 0 2. Els signes de les dues solucions de

l’equació x2+ − =x 20 0 són: a) Tots dos positius.

b) Tots dos negatius.

c) Un positiu i l’altre negatiu. 3. L’equació 3x28x+ =4 0 té:

a) Dues solucions. b) Una solució doble. c) No té solucions.

4. Les solucions de l’equació (x−5)2=49 són: a) 12 i –12 b) 2 i –2 c) 12 i –2 d) –12 i 2 5. El discriminant de l’equació −4x2−15x+ =2 0 és: a) ∆ = –193 b) ∆ = –257 c) ∆ = 193 d) ∆ = 257 6. L’equació que té com a solucions –4, 3,

i 2 és:

a) x2− + =5x 6 0 b) x35x2+6x=0

7. Les solucions del sistema següent són: xy x y = + =    2 4 2 2 2 33 a) x y x y x y x y 1 1 2 2 3 3 4 1 2 4 1 2 4 2 2 2 2 2 2 = = − =− = = =− = − , ; , , , 44 2 2 = b) x y x y x y x y 1 1 2 2 3 3 4 4 1 2 4 1 2 4 2 2 2 2 2 2 = = =− = − = = = − , ; , , , ==− 2 2

8. Comprova si x = 20 és solució de les equacions següents:

Sí/no x− − =4 5 1

13+ 4+ x+ =5 4

3x− 2x+ =9 x+ +5 48

9. Quina és l’àrea d’un rectangle si sabem que un dels costats mesura 1 cm més que l’altre i la diagonal fa 2 cm més que el costat petit?

a) 3+ 3 cm2 b) 12 cm2 c) 14 cm2 d) 2 3 cm2

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...