Tema 3: Una lógica para razonar sobre programas

Tema 3: Una lógica para razonar sobre programas

José Luis Ruiz Reina

Departamento de Ciencias de la Computación e Inteligencia Artificial Universidad de Sevilla

Razonamiento Asistido por Computador, 2013/14

Propiedades de las funciones

Algoritmo de ordenación

(defun inserta (a x) (if (consp x)

(if (<<= a (car x)) (cons a x)

(cons (car x) (inserta a (cdr x)))) (list a)))

(defun isort (x) (if (consp x)

(insert (car x) (isort (cdr x))) nil))

Propiedades de las funciones

¿Es correcta la definición?

I Propiedades que debería verificar:

F (isort l) debería tener los mismos elementos que l.

F (isort l) debería estar ordenada.

Comprobaciones con algunos valores:

ACL2 !>(isort ’(45 2 34 22/4)) (2 11/2 34 45)

ACL2 !>(isort ’()) NIL

ACL2 !>(isort ’(9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1)) (-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9)

ACL2 !>(isort ’(1/2 1/3 2/3 3/2 5/789)) (5/789 1/3 1/2 2/3 3/2)

Necesidad de una lógica

Podemos incluso definir perm y ordenada

(defun borra-uno (x l) (cond ((endp l) l)

((equal x (car l)) (cdr l))

(t (cons (car l) (borra-uno x (cdr l)))))) (defun perm (lst1 lst2)

(cond ((endp lst1) (endp lst2)) ((member (car lst1) lst2)

(perm (cdr lst1) (borra-uno (car lst1) lst2))) (t nil)))

(defun ordenada (l)

(cond ((endp l) (equal l nil)) (t (or (equal (cdr l) nil)

(and (<<= (first l) (second l)) (ordenada (cdr l)))))))

Necesidad de una lógica

Y comprobar:

ACL2 !>(let ((l ’(45 2 34 22/4)))

(and (perm (isort l) l) (ordenada (isort l)))) T

ACL2 !>(let ((l ’(9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1)))

(and (perm (isort l) l) (ordenada (isort l)))) T

ACL2 !>(let ((l ’(1/2 1/3 2/3 3/2 5/789)))

(and (perm (isort l) l) (ordenada (isort l)))) T

¿ Bastaría este método para concluir (perm (isort l)) y (ordenada (isort l))para cualquier l?

I Recurrimos a la lógica

La lógica de ACL2: sintaxis informal

Términos: expresiones Lisp (con variables)

(+ 1 x) (factorial n)

(isort (concatena l1 (cdr l2))) (perm (isort l))

Fórmulas: construidas a partir de los términos usando el símbolo

=y conectivas ∨, ∧, ¬, → y ↔.

En el sistema, escribimos:

(equal term1 term2) (or α₁ α₂) (and α1 α2) (not α)

(implies α₁ α₂) (iff α1 α2)

No hay cuantificadores (implícitamente, las fórmulas están universalmente cuantificadas)

La lógica de ACL2: sintaxis informal

Términos: expresiones Lisp (con variables)

(+ 1 x) (factorial n)

(isort (concatena l1 (cdr l2))) (perm (isort l))

Fórmulas: construidas a partir de los términos usando el símbolo

=y conectivas ∨, ∧, ¬, → y ↔.

En el sistema, escribimos:

(equal term1 term2) (or α₁ α₂) (and α1 α2) (not α)

(implies α₁ α₂) (iff α1 α2)

No hay cuantificadores (implícitamente, las fórmulas están universalmente cuantificadas)

La lógica de ACL2: sintaxis informal

Ejemplos de fórmulas

(implies (and (> x 0) (> y 0) (> z 0))

(equal (* x (+ y z)) (+ (* x y) (* x z)))) (and (perm (isort l) l) (ordenada (isort l)))

(equal (long (concatena l1 l2)) (+ (long l1) (long l2))) (implies (and (consp l) (member x (cdr l)))

(not (member x l)))

En notación estándar sería:

I ∀x∀y∀z[x > 0 ∧ y > 0 ∧ z > 0 → x · (y + z) = x · y + x · z]

I ∀l[perm(isort(l)) ∧ ordenada(isort(l))]

I ∀l₁∀l₂[long(concatena(l1,l2)) =long(l1) +long(l2)]

I ∀l[consp(l) ∧ x ∈ cdr (l) → x /∈ l]

Axiomas y reglas de inferencia

Axioma proposicional:

I Esquema de axioma proposicional: (¬φ ∨ φ).

Lo que sigue son cuatro reglas de inferencia para la parte proposicional de la lógica:

I Expansión: a partir de φ₂se deriva φ₁∨ φ₂.

I Contracción: a partir de φ ∨ φ se deriva φ.

I Asociatividad: a partir de φ₁∨ (φ₂∨ φ₃)se deriva (φ₁∨ φ₂) ∨ φ₃.

I Corte: a partir de φ1∨ φ2y de ¬φ1∨ φ3se deriva φ2∨ φ3.

Axiomas y reglas de inferencia

Los tres axiomas siguientes se refieren a la igualdad:

I Axioma de reflexividad: x = x.

I Esquema de axioma de la igualdad respecto a funciones:

(x1 = y1) ∧ . . . ∧ (xn = yn) → (f x1 . . . xn) = (f y1 . . . yn)

I Axioma de igualdad:

[(x1 = y1) ∧ (x2 = y2)] → [(x1 = x2) → (y1 = y2)]

Regla de instanciación:

I Instanciación: a partir de φ se deriva σ(φ), σ(φ) representa el resultado de aplicar la sustitución σ a la fórmula φ.

Axiomas y reglas de inferencia

Los cinco axiomas siguientes especifican el comportamiento de los valores booleanos y de las funciones predefinidas if y equal:

I t6= nil.

I x= nil → (if x y z) = z.

I x6= nil → (if x y z) = y.

I x= y → (equal x y) = t

I x6= y → (equal x y) = nil Axiomas para la aritmética

Axiomas y reglas de inferencia

Axiomatización consistente con la especificación estándar de las funciones Common Lisp

Los cuatro axiomas siguientes especifican el comportamiento de las funciones car, cons y cdr, y el tipo de dato par punteado:

I (consp (cons x y)) = t.

I (consp x) = t → (cons (car x) (cdr x)) = x.

I (car (cons x y)) = x.

I (cdr (cons x y)) = y.

De manera análoga, se axiomatizan los restantes tipos de datos y funciones primitivas.

Queda una regla de inferencia:inducción

I Dedicaremos todo el capítulo siguiente a esta regla de inferencia.

Deducción en la lógica de ACL2

Teorema ACL2:

I Toda axioma es teorema

I Aplicando una regla de inferencia cuyas premisas son teoremas, se obtiene un teorema

Formalmente, la fórmula φ es un teorema si existe una secuencia finita de fórmulas φ0, φ1, φ2, . . . , φn, tal que:

I ∀0 ≤ i ≤ n, la fórmula φ_i es un axioma o es la conclusión de aplicar una regla de inferencia cuyas premisas están en φ₀, . . . , φ_i−1.

I φ_n = φ