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Tema 2: Cinemática de la partícula. Parte 1/4 Cinemática del movimiento rectilíneo

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(1)

© 2013,

Antonio

González

Fernández

Tema 2: Cinemática de la partícula

Antonio González Fernández

Departamento de Física Aplicada III

Universidad de Sevilla

Parte 1/4

Cinemática del

movimiento rectilíneo

© 2013, Antonio González Fernández

¿De que va la cinemática en 1D?

2

Partícula material: cuerpo con masa pero de tamaño nulo Se aplica cuando los desplazamientos son mucho mayores que el tamaño de la partícula

Movimiento rectilíneo (1D) Movimiento plano (2D) Caso general (3D)

(2)

© 2013,

Antonio

González

Fernández

La posición de la partícula se puede

tabular y representar frente al tiempo

3 ݐሺ•ሻ ݔሺሻ 0.00 0 1.85 10 2.87 20 3.78 30 4.65 40 5.50 50 6.32 60 7.14 70 7.96 80 8.79 90 9.69 100 (Bolt, 2008)

Dado que Usain Bolt no se

desmaterializa, podemos admitir una función continua ݔሺݐሻ

© 2013,

Antonio

González

Fernández

En un movimiento rectilíneo puede

haber avances y retrocesos

4 ݐሺ•ሻ ݔሺሻ 0.00 0.000 0.25 6.125 0.50 9.750 0.75 11.250 1.00 11.000 1.25 9.375 1.50 6.750 1.75 3.500 2.00 0.000 2.25 -3.375 2.50 -6.250 2.75 -8.250 3.00 -9.000

ݔሺݐሻ puede ser cualquier función continua ݔ ൌ Ͳ es un punto

de referencia ݔ ൐ Ͳa un lado u otroo ݔ ൏ Ͳsegún esté La recta no tiene por qué ser horizontal

(3)

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Antonio

González

Fernández

Desplazamiento y distancia recorrida no

son la misma cosa

5

El desplazamiento ȟݔ es la diferencia entre la posición final y la inicial

ȟݔ ൌ ݔ െ ݔ

© 20

13,

Antonio

Gonz La distancia recorrida

ȟݏ es la suma de todos los desplazamientos en valor absoluto

Es siempre positiva

Depende de lo que pase en medio (función del camino)

ndez

Puede tener cualquier signo

ál

ez

Fernán

z

nde

No depende de lo que pase

en medio (función de estado) ȟݔ ൌ െͻ െ Ͳ ൌ െͻ ȟݔ ȟݏ ȟݏ ൌ ͵ͳǤ͸ͻ © 2013, Antonio González Fernández

Velocidad media: desplazamiento

dividido por el intervalo

6

La velocidad media se define como:

Desplazamiento realizado Intervalo de tiempo empleado ݒ ൌ ݔଶ െ ݔଵ ݐ െ ݐ ൌ ȟݔ ȟݐ Puede ser >0, <0 o =0 Se anula si no hay desplazamiento neto En el SI se mide en m/s

Es la pendiente de la secante en la gráfica de ݔሺݐሻ ݒ ൌ Ͳ

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© 2013,

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González

Fernández

La velocidad instantánea es el límite de

la velocidad media

7

¿Qué significa ir a 120km/h?

Se van eligiendo intervalos cada vez más pequeño

࢚ଵ ݐଶ ઢ࢚ ࢞ଵ ࢞ଶ ઢ࢞ ઢ࢞Ȁઢ࢚ 1.000 2.000 1.000 11.00 0.000 -11.00 -11.00 1.000 1.100 0.100 11.00 10.494 -0.506 -5.06 1.000 1.010 0.010 11.00 10.9589 -0.0411 -4.110 1.000 1.001 0.001 11.00 10.9960 -0.0040 -4.011 ... ... ... ... ... ... ... 1.000 1.000 0.000 11.00 11.00 0.000 -4.000 ݒ ൌ Ž‹୼௧՜଴ ȟݔ ȟݐ ൌ †ݔ †ݐ Diferencial de tiempo, †ݐ:

intervalo muy, muy

breve (ȟݐ ՜ Ͳ) ... 0 0000.000 Diferencial de posición, †ݔ: desplazamiento minúsculo (ȟݔ ՜ Ͳ) ... 0 0.000 ͵Ǥ͵͵ ͲǤͳ• ͵͵Ǥ͵ ͳ• ʹ ͳ‹ ͳʹͲ ͳŠ ȟݐ ՜ Ͳ © 2013, Antonio González Fernández

La velocidad instantánea es la derivada

de la posición respecto al tiempo

8 ݒ ൌ Ž‹ ௧՜௧ ݔ െ ݔ – െ – ൌ Ž‹୼௧՜଴ ȟݔ ȟݐ ൌ †ݔ †ݐ ൌ †ݔ †ݐ Notación de Leibniz de la derivada

ݒ ൌ ሶݔሶݔ El punto solo se usa para derivadas respecto al tiempo

lez F

erná

ndez La velocidad puede ser positiva,

negativa o nula ݒ ൌ Ͳ: reposo Instantáneo Permanente Gráficamente es la pendiente de la tangente a la curva ݔሺݐሻ Una derivada no es más que una división ݒ ൏ Ͳ ݒ ൌ Ͳ ݒ ൐ Ͳ ݒ ൌ Ͳ

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Antonio

González

Fernández

La velocidad también es una función del

tiempo

9 Hallando la velocidad en cada instante obtenemos la función ݒ ൌ ݒሺݐሻ ݔ ݐ ൌ ͵Ͳݐ െ ʹ͵ݐʹ ൅ Ͷݐ͵ dez (SI) ݒ ݐ ൌ ͵Ͳ െ Ͷ͸ݐ ൅ ͳʹݐʹ © 20 13, Anton © 20 13

AntoLos instantes en que ݒ ൌ Ͳ

corresponden a extremos de ݔሺݐሻ ݒ ൏ Ͳ ݒ ൐ Ͳ ݔሺݐሻ ݒሺݐሻ ݒ ൐ Ͳ: ݔ ՛ ݒ ൏ Ͳ: ݔ ՝ © 2013, Antonio González Fernández

A partir de la posición obtenemos la

velocidad... y viceversa

10

Conocida la velocidad en un instante puede hallarse un desplazamiento pequeño ȟݔ ؄ ݒȟݐ ݔ ؄ ݔ ൅ ݒ ݐ െ ݐ Solo si ȟݐ ا El desplazamiento total es la suma de los pequeños desplazamientos

la suma de los pequeños desplazamientos 1 ȟݔ ൌ ȟݔ ൅ ȟݔ ൅ ȟݔ ڮ ൌ ݒȟݐ ൅ ݒȟݐ ൅ ڮ ൌ ෍ ௜ୀଵ ௡ ݒȟݐ tonio Gonz Tomando el límite , Tomando el límite ȟݔ ൌ න ௧ ݒ †ݐ 0 ȟݔ ൅ ȟݔ ڮ ଶȟݐଶ ൅ ڮ ൌ ෍ ௜ୀଵ ௡ ݒȟݐ 0 ݔ ݐ ൌ ݔ ൅ න ௧ ௧ ݒ †ݐ †ݔ ൌ ݒ†ݐ ݐ ݐ ݔ ݔ ‡š ݔ ƒ’ ȟݐ ȟݔ Una integral no es más que una suma

(6)

© 2013,

Antonio

González

Fernández

Una integral equivale a una suma de

áreas (con signo)

11 El desplazamiento elemental equivale al área de un rectángulo ȟݔ ؄ ݒ ȟݐȟݐ Base ؄ ݒݒ ȟ Altura ȟݐ ݒ ݒ ݐ ݐ © 20 13, Anto © 20 13,

Anto Cuando ȟݐ ՜ Ͳ se aproxima

al área bajo la curva

11

Si ݒ ൏ Ͳ, la partícula retrocede: el área se resta El desplazamiento total es la suma

© 2013,

Antonio

González

Fernández

Rapidez y distancia recorrida: tomando

valores absolutos

En el habla cotidiana la “velocidad” no tiene signo

ݒ : rapidez (o celeridad)

A partir de la rapidez se halla la distancia recorrida © 20 13, Antonio González Fernández A partir de la rapidez la distancia recorrida ȟݏ ൌ න ௧ ݒ †ݐ ȟݏ ൌ න ௧ න න ೔ ௧ ݒ †ݐ ݏ ݐ ൌ ݏ ൅ න ௧బ ௧ ȁݒȁ †ݐ †ݏ ൌ ݒ †ݐ ݒ ൌ †ݏ †ݐ ൌ ሶݏ 12 Todo suma

(7)

© 2013,

Antonio

González

Fernández

A partir de la velocidad instantánea se

puede hallar la velocidad media

13

Una partícula se mueve con ݒ ൌ ݒܶ ݐΤ ¿Cuál es la velocidad media entre ݐ ൌ ܶ y ݐ ൌ ͵ܶ?

ͲǤ͸͸͹ݒ

ͲǤͷͲͲݒ

ͲǤͷͶͻݒ

No hay información suficiente para hallarla A nández B o González C © 20 13, An , D ݒ ௠ ൌ ȟݔ ȟݐ ൌ ͳ ȟݐන ݒ †ݐ ͳ ʹ ݒܶ ܶ ൅ ݒܶ ͵ܶ ൌ ʹ ͵ݒ଴ ൌ ͲǤ͸͸͹ݒ଴ ݒܶ ʹܶ ൌ ͲǤͷͲͲݒ଴ ormación suficiente rla ௠ ȟݔ ȟݐ ͳ ȟݐ ݒܶ ൌ ͲǤͷͲͲݒ ͳ ʹܶන ଷ்ݒ ଴ܶ ݐ ݀ݐ ൌ ܣ ʹŽ ͵ܶ ܶ ൌ ͲǤͷͶͻݒ଴ ͲǤͷͶͻݒ © 2013, Antonio González Fernández

Ejemplo de comparación entre

desplazamientos y distancias recorridas

14 ȟݔ ൌ ʹͲ െ ͷ ൌ ͳͷ ȟݏ ൌ ʹͲ ൅ ͷ ൌ ʹͷ ݒ ൌ ȟݔ ȟݐ ൌ ͳͷ ͳʹ• ൌ ͳǤʹͷ  • ݒ ௠ ൌ ȟݏ ȟݐ ൌ ʹͷ ͳʹ• ൌ ʹǤͲͺ  •

(8)

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Fernández

Ejemplo de comparación analítica

15 Sea ݒ ݐ ൌ ͵ݐଶ െ ͸͸ݐ ൅ ʹͳ͸ (ݐ en s, ݒ en m/s). ݔ Ͳ ൌ Ͳ ¿ȟݔ en Ͳ• ൏ ݐ ൏ ʹͶ•? ¿ȟݏ en Ͳ• ൏ ݐ ൏ ʹͶ•? ݒ ݐ ൌ Ͳ en ݐ ൌ Ͷ•y ݐ ൌ ͳͺ• Sea ݒ ݐ ൌ ͵ݐଶ െ ͸͸ݐ ൅ ʹͳ͸ ൌ Ͳ ȟݔ ൌ න ଴ ଶସ ͵ݐଶ െ ͸͸ݐ ൅ ʹͳ͸ †ݐ ൌ Ͳ ݒ ൌ Ͳ ʹͶ• ൌ Ͳ  • © 20 13, An ©2 01 3 A nnntonio González Fernández Sea ݒ ݐ ͵ݐ ͸͸ݐ ൅ ʹͳ (ݐ en s, ݒ en m/s). ݔ Ͳ ൌ erná nde e ez er e ȟݔ ൌ න ଴ න නଶସ ͵ݐଶ െ ͸͸ݐ ൅ ʹͳ͸ ntonio González Fe e ݒ ݐ ቐ൐ Ͳ൏ Ͳ Ͷ • ൏ ݐ ൏ ͳͺ•Ͳ • ൑ ݐ ൏ Ͷ • ൐ Ͳ ͳͺ • ൏ ݐ ൑ ʹͶ • 15 †ݐ ൌ Ͳ ݒݒݒ ൌ ʹͶ• ൌ Ͳ • ͸ ȟݏ ൌ න ଴ ସ ݒ †ݐ െ න ସ ଵ଼ ݒ †ݐ ൅ න ଵ଼ ଶସ ݒ †ݐ ൌ ʹ͹ͶͶ © 20 13, An nn ݒ ൌ ʹ͹ͶͶ ʹͶ• ൌ ͳͳͶǤ͵  • © 2013, Antonio González Fernández

Gráficas del ejemplo analítico

16 ݐሺܛሻ ࢞ሺܕሻ 0 0 4 400 19 -972 24 0 ȟݏ ൌ ͶͲͲ ൅ ͻ͹ʹ ൅ ͶͲͲ  ൅ ͻ͹ʹ

(9)

© 2013,

Antonio

González

Fernández

¿Qué ocurre si lo que conocemos es la

velocidad como función de la posición?

17

Un coche recorre 12km a

120km/h y otros 12km a 60km/h, ¿cuál es su velocidad media?

¿90km/h? NO ȟݔ ൌ ȟݔ ൅ ȟݔ ൌ ʹͶ González Ferná ndez ȟݐ ൌ ȟݐ ൅ ȟݐ ൌ ȟݔଵ ݒ ൅ ȟݔ ݒ ൌ ͳʹ ͳʹͲ ŠΤ ൅ ͳʹ ͸Ͳ ݄Τ ൌ ͲǤͳ ൅ ͲǤʹ Š ൌ ͲǤ͵Š ݒ௠ ൌ ȟݔ ȟݐ ൌ ʹͶ ͲǤ͵Š ൌ ͺͲ  Š 3, A nto ni o , Antonio En general © 20 133 †ݔ ൌ ݒ ݔ †ݐ †ݐ ൌ †ݔ ݒ ݔ ݒ ݒݒ ൌ ȟݔ ȟݐ ൌ ʹͶ ͲǤ͵Š ൌ ͺͲ ݐ ݔ ൌ න ௫బ ௫ †ݔ ݒ ݔ 17 ݔ ൌ ݔሺݐሻ ݔሺሻ ݒ  ŠΤ ͳʹͲ ͸Ͳ Ͳ ͳʹ ʹͶ © 2013, Antonio González Fernández

Un ejemplo no trivial de velocidad

dependiente de la posición

18

Una partícula se mueve de forma que ݒ ൌ ݒ െ ݇ݔ y ݔሺͲሻ ൌ Ͳ. ¿Llega a pararse? ¿Qué distancia recorre hasta que se para?

ݔ ݒ †ݔ †ݐ ൌ ݒ଴െ ݇ݔ †ݔ ݒ െ ݇ݔ ൌ †ݐ e ݒ ൌ ݒ െ ݇ݔ y ݔሺͲሻ ൌ Ͳ. rre hasta que se para?

†ݐ න ଴ ௫ †ݔ ݒെ ݇ݔ ൌ න ௧ †ݐ െͳ ݇Ž ݒെ ݇ݔ ݒ ൌ ݐ ݔ ൌ ݒ଴ ݇ ͳ െ ݁ି௞௧ Forma alternativa ݔ ൌ ݒ ݇ ൅ ݕ †ݕ †ݐ ൌ െ݇ݕ ݕ ൌ ܣ݁ି௞௧ Se para cuando ݔ ൌ ݒȀ݇ ݔ ൌݒ଴ ݇ ൅ ܣ݁ି௞௧ ݔ Ͳ ൌ Ͳ ൌ ݒ଴ ݇ ൅ ܣ ݔ ൌݒ଴ ݇ ͳ െ ݁ି௞௧ ݐ ݔ ݒ න නනන ݔ ݇ 18 ݕ

(10)

© 2013,

Antonio

González

Fernández

La aceleración instantánea es la

velocidad con que varía la velocidad

19 A partir de la velocidad instantánea se define la aceleración ܽ ൌ Ž‹ ௧՜௧ ݒ െ ݒ ݐ െ ݐ ൌ Ž‹୼௧՜଴ ȟݒ ȟݐ

Es la segunda derivada de la posición ܽ ൌ †ݒ †ݐ ൌ †ଶݔ †ݐଶ ܽ ൌ ሶݒ ൌ ሷݔ ݔ ݐ ൌ ͵Ͳݐ െ ʹ͵ݐʹ ൅ Ͷݐ͵ Ej. (SI) ݒ ݐ ൌ ͵Ͳ െ Ͷ͸ݐ ൅ ͳʹݐʹ ܽ ݐ ൌ െͶ͸ ൅ ʹͶݐ ൌ ଶ †ݐଶ Notación de Leibniz de la 2ª derivada

ሷݔ Doble punto: segunda

derivada Ͳ Ͷ͸ © 2013, Antonio González Fernández ܽሺݐሻ ܽሺݐሻ ݒሺݐሻ ݔሺݐሻ

Interpretación geométrica de la

aceleración

2000 Pendiente de la curva ݒሺݐሻ Concavidad de ݔሺݐሻ ܽ ൐ Ͳ ܽ ൏ Ͳ ܽ ൏ Ͳ ܽ ൐ Ͳ

(11)

© 2013,

Antonio

González

Fernández

Ejemplo de aceleración obtenida a

partir de la velocidad

21

De los cuatro instantes siguientes, ¿en cual la aceleración tiene el mayor valor absoluto?

0.0 s A 5.0 s B 9.5 s D 8.0 s C 8.0 s C © 2013, Antonio González Fernández

A partir de la aceleración puede

hallarse la velocidad y la posición

22

Las variaciones en la

velocidad pueden hallarse a partir de la aceleración ȟݒ ؄ ܽ ȟݐ ݒ ؄ ݒ ൅ ܽ ݐ െ ݐ Solo si ȟݐ ا †ݒ ൌ ܽ†ݐ ȟݒ ൌ ȟݒ ൅ ȟݒ ൅ ȟݒڮ ൌ ܽȟݐ ൅ ܽȟݐ ൅ ܽȟݐ ڮ ؄ ݒ ൅ ܽ ݐ ݐ ȟݐ ا ൌ ܽ†ݐ ȟݒ ൌ න ௧ ܽ †ݐ ݒ ؄ ଷ ܽ ȟݐ ڮ ؄ ݒ ൅ ܽ ݐ െ ȟݒ ൌ න ௧ ݒ ݐ ൌ ݒ ൅ න ௧బ ௧ ܽ †ݐ ܽȟݐ ڮ නනන ݒ ݐ ൌ ݒ ൅ න ௧ න න బ ௧ ܽ †ݐ ݔ ݐ ൌ ݔ ൅ න ௧ ௧ ݒ †ݐ onio González

Fern Una vez hallada

ݒሺݐሻ puede calcularse ݔሺݐሻ Es necesario conocer ݔ y ݒ (condiciones iniciales)

(12)

© 2013,

Antonio

González

Fernández

¿Es lo mismo frenar que tener

aceleración negativa?

23

La aceleración puede tener cualquier signo

ܽ ൐ Ͳ: velocidad creciente ܽ ൏ Ͳ: velocidad decreciente Se refiere al cambio de la velocidad, no de la rapidez

“Frenar” y “acelerar” se refiere al cambio de la rapidez ܽ ൌ † ݒ †ݐ Aceleración

tangencial Frena Acelera

ܽ = cte

© 2013,

Antonio

González

Fernández

Ejemplo: El caso de un cuerpo que se

mueve por gravedad

24 ݔ ൌ ݔ଴൅ න ଴ ௧ ݒ଴െ ݃ݐ †ݐ ൌ ݔ଴൅ ݒ଴ݐ െ ͳ ʹ݃ݐଶ ݒ ൌ ݒ൅ න ଴ ௧ െ݃ †ݐ ൌ ݒെ ݃ݐ Si una piedra se lanza verticalmente hacia arriba ܽ ൌ െ݃ © 20 13, An ntonio Gonzá ݒ ൌ ݒ൅ න ଴ න න௧ െ݃ †ݐ ൌ ݒെ ݃ݐ © 20 13, An ݒ ൌ ݒെ ݃ݐ ൌ ቊݒ݃ݐ െ ݒ଴െ ݃ݐ ݐ ൏ ݒ଴Ȁ݃ ଴ ݐ ൐ ݒ଴Ȁ݃ ܽ ൌ േ݃ Frena Acelera

(13)

© 2013,

Antonio

González

Fernández

Ejemplo de aceleración variable en el

tiempo

25 ܽ ݐ ൌ ͸ െ ݐ ݒ ݐ ൌ Ͳ ൅ න ଴ ௧ ͸ െ ݐ †ݐ ൌ ͸ݐ െݐଶ ʹ , ݔ ݐ ൌ Ͳ ൅ න ଴ ௧ ͸ݐ െݐଶ ʹ †ݐ ൌ ͵ݐ െ ݐଷ ͸ ܽ ݐ ez z ¿ݒ entre ݐ ൌ Ͳ• y ݐ ൌ ͳʹ•? ݒ Ͳ ൌ Ͳ ݔ ͳʹ• ൌ ͳͶͶ ݒ ͳʹ• ൌ Ͳ • 5 ݒ ൌ ͳͶͶ ͳʹ• ൌ ͳʹ  • ¿ݒ ൌ Ͳ? ¿ݒ ൌ ͻȀ•? © 2013, Antonio González Fernández

Si conocemos la velocidad como función de

la posición

ݒ ൌ ݒሺݔሻ

, ¿cómo hallamos

ܽ

?

26 La aceleración es la derivada de ݒ respecto al tiempo ܽ ് †ݒ †ݔ ܽ ൌ †ݒ †ݐ Regla de la cadena ܽ ൌ †ݒ †ݔ †ݔ †ݐ ൌ †ݒ †ݔݒ ൌ † †ݔ ͳ ʹݒଶ rná ndez Ej.: ݒ ൌ ݇ݔ ܽ ൌ ݇ ʹ ݇ݔ NO ܽ ൌ ݇ ʹ ݇ݔݒ ൌ ݇ ʹ ݇ݔ ݇ݔ ൌ ݇ ʹ ͳ ʹݒଶ ൌ ݇ݔ ʹ † †ݔ ͳ ʹݒଶ ൌ ݇ ʹ 26 26 El resultado es la aceleración como función de la posición

o bien

?

Movimiento uniformemente acelerado miento

(14)

© 2013,

Antonio

González

Fernández

Si lo que se conoce es ܽሺݔሻ

tenemos una

ecuación diferencial

27

En muchos problemas físicos lo que se conoce es la

aceleración como función de la posición y/o de la velocidad ܽ ൌ െ߱ଶݔ ܽ ൌ െܩ݉ ݔଶ Oscilador armónico Campo gravitatorio Esto son ecuaciones diferenciales ܽ ൌ െ߱ଶݔ െ ߛݒ Oscilador con rozamiento ez

Fernánd No existe fórmula general para resolverlas

Métodos analíticos Métodos numéricos Aproximaciones 3, A nto ni o G o Técnicas de solución ...o una combinación de ellas Es un arte ሷݔ ൌ ݂ ݔǡ ሶݔǡ ݐ © 2013, Antonio González Fernández

Ejemplo de método numérico: el

método de Euler

28 Datos: ܽ ൌ ܽ ݔǡ ݒǡ ݐ ݔ ݐ ൌ Ͳ ൌ ݔ ݒ ݐ ൌ Ͳ ൌ ݒ ¿Podemos hallar ݔሺݐሻ y ݒሺݐሻ? En un ȟݐ muy corto ݔଵ ؄ ݔ଴ ൅ ݒ଴ȟݐ ݒ ؄ ݒ ൅ ܽȟݐ ܽ ൌ ܽሺݔǡ ݒǡ ݐሻ ndez

Con la nueva posición y velocidad podemos hallar la nueva aceleración y así sucesivamente

ݐ ൌ ݐ௡ିଵ ൅ ȟݐ ݔ ൌ ݔ௡ିଵ ൅ ݒ௡ିଵȟݐ ݒ ൌ ݒ௡ିଵ ൅ ܽ௡ିଵȟݐ ܽ ൌ ܽ ݔܽ ൌǡ ݒǡ ǡ ݐ © 20 13, A ,

Es muy poco preciso por la acumulación de errores

ݐ଴ ൌ Ͳ

Referencias

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