© 2013,
Antonio
González
Fernández
Tema 2: Cinemática de la partícula
Antonio González Fernández
Departamento de Física Aplicada III
Universidad de Sevilla
Parte 1/4
Cinemática del
movimiento rectilíneo
© 2013, Antonio González Fernández¿De que va la cinemática en 1D?
2
Partícula material: cuerpo con masa pero de tamaño nulo Se aplica cuando los desplazamientos son mucho mayores que el tamaño de la partícula
Movimiento rectilíneo (1D) Movimiento plano (2D) Caso general (3D)
© 2013,
Antonio
González
Fernández
La posición de la partícula se puede
tabular y representar frente al tiempo
3 ݐሺሻ ݔሺሻ 0.00 0 1.85 10 2.87 20 3.78 30 4.65 40 5.50 50 6.32 60 7.14 70 7.96 80 8.79 90 9.69 100 (Bolt, 2008)
Dado que Usain Bolt no se
desmaterializa, podemos admitir una función continua ݔሺݐሻ
© 2013,
Antonio
González
Fernández
En un movimiento rectilíneo puede
haber avances y retrocesos
4 ݐሺሻ ݔሺሻ 0.00 0.000 0.25 6.125 0.50 9.750 0.75 11.250 1.00 11.000 1.25 9.375 1.50 6.750 1.75 3.500 2.00 0.000 2.25 -3.375 2.50 -6.250 2.75 -8.250 3.00 -9.000
ݔሺݐሻ puede ser cualquier función continua ݔ ൌ Ͳ es un punto
de referencia ݔ Ͳa un lado u otroo ݔ ൏ Ͳsegún esté La recta no tiene por qué ser horizontal
© 2013,
Antonio
González
Fernández
Desplazamiento y distancia recorrida no
son la misma cosa
5
El desplazamiento ȟݔ es la diferencia entre la posición final y la inicial
ȟݔ ൌ ݔଶ െ ݔଵ
© 20
13,
Antonio
Gonz La distancia recorrida
ȟݏ es la suma de todos los desplazamientos en valor absoluto
Es siempre positiva
Depende de lo que pase en medio (función del camino)
ndez
Puede tener cualquier signo
ál
ez
Fernán
z
nde
No depende de lo que pase
en medio (función de estado) ȟݔ ൌ െͻ െ Ͳ ൌ െͻ ȟݔ ȟݏ ȟݏ ൌ ͵ͳǤͻ © 2013, Antonio González Fernández
Velocidad media: desplazamiento
dividido por el intervalo
6
La velocidad media se define como:
Desplazamiento realizado Intervalo de tiempo empleado ݒ ൌ ݔଶ െ ݔଵ ݐଶ െ ݐଵ ൌ ȟݔ ȟݐ Puede ser >0, <0 o =0 Se anula si no hay desplazamiento neto En el SI se mide en m/s
Es la pendiente de la secante en la gráfica de ݔሺݐሻ ݒ ൌ Ͳ
© 2013,
Antonio
González
Fernández
La velocidad instantánea es el límite de
la velocidad media
7
¿Qué significa ir a 120km/h?
Se van eligiendo intervalos cada vez más pequeño
࢚ଵ ݐଶ ઢ࢚ ࢞ଵ ࢞ଶ ઢ࢞ ઢ࢞Ȁઢ࢚ 1.000 2.000 1.000 11.00 0.000 -11.00 -11.00 1.000 1.100 0.100 11.00 10.494 -0.506 -5.06 1.000 1.010 0.010 11.00 10.9589 -0.0411 -4.110 1.000 1.001 0.001 11.00 10.9960 -0.0040 -4.011 ... ... ... ... ... ... ... 1.000 1.000 0.000 11.00 11.00 0.000 -4.000 ݒ ൌ ௧՜ ȟݔ ȟݐ ൌ ݔ ݐ Diferencial de tiempo, ݐ:
intervalo muy, muy
breve (ȟݐ ՜ Ͳ) ... 0 0000.000 Diferencial de posición, ݔ: desplazamiento minúsculo (ȟݔ ՜ Ͳ) ... 0 0.000 ͵Ǥ͵͵ ͲǤͳ ͵͵Ǥ͵ ͳ ʹ ͳ ͳʹͲ ͳ ȟݐ ՜ Ͳ © 2013, Antonio González Fernández
La velocidad instantánea es la derivada
de la posición respecto al tiempo
8 ݒ ൌ ௧మ՜௧భ ݔଶ െ ݔଵ ଶ െ ଵ ൌ ௧՜ ȟݔ ȟݐ ൌ ݔ ݐ ൌ ݔ ݐ Notación de Leibniz de la derivada
ݒ ൌ ሶݔሶݔ El punto solo se usa para derivadas respecto al tiempo
zá
lez F
erná
ndez La velocidad puede ser positiva,
negativa o nula ݒ ൌ Ͳ: reposo Instantáneo Permanente Gráficamente es la pendiente de la tangente a la curva ݔሺݐሻ Una derivada no es más que una división ݒ ൏ Ͳ ݒ ൌ Ͳ ݒ Ͳ ݒ ൌ Ͳ
© 2013,
Antonio
González
Fernández
La velocidad también es una función del
tiempo
9 Hallando la velocidad en cada instante obtenemos la función ݒ ൌ ݒሺݐሻ ݔ ݐ ൌ ͵Ͳݐ െ ʹ͵ݐʹ Ͷݐ͵ dez (SI) ݒ ݐ ൌ ͵Ͳ െ Ͷݐ ͳʹݐʹ © 20 13, Anton © 20 13AntoLos instantes en que ݒ ൌ Ͳ
corresponden a extremos de ݔሺݐሻ ݒ ൏ Ͳ ݒ Ͳ ݔሺݐሻ ݒሺݐሻ ݒ Ͳ: ݔ ՛ ݒ ൏ Ͳ: ݔ ՝ © 2013, Antonio González Fernández
A partir de la posición obtenemos la
velocidad... y viceversa
10
Conocida la velocidad en un instante puede hallarse un desplazamiento pequeño ȟݔ ݒȟݐ ݔଶ ݔଵ ݒ ݐଶ െ ݐଵ Solo si ȟݐ ا El desplazamiento total es la suma de los pequeños desplazamientos
la suma de los pequeños desplazamientos 1 ȟݔ ൌ ȟݔଵ ȟݔଶ ȟݔଷ ڮ ൌ ݒଵȟݐଵ ݒଶȟݐଶ ڮ ൌ ୀଵ ݒȟݐ tonio Gonz Tomando el límite , Tomando el límite ȟݔ ൌ න ௧ ௧ ݒ ݐ 0 ȟݔଶ ȟݔଷ ڮ ଶȟݐଶ ڮ ൌ ୀଵ ݒȟݐ 0 ݔ ݐ ൌ ݔ න ௧బ ௧ ݒ ݐ ݔ ൌ ݒݐ ݐଶ ݐଵ ݔଵ ݔଶ ݔଶ ȟݐ ȟݔ Una integral no es más que una suma
© 2013,
Antonio
González
Fernández
Una integral equivale a una suma de
áreas (con signo)
11 El desplazamiento elemental equivale al área de un rectángulo ȟݔ ݒ ȟݐȟݐ Base ݒݒ ȟ Altura ȟݐ ݒ ݒ ݐ ݐ © 20 13, Anto © 20 13,
Anto Cuando ȟݐ ՜ Ͳ se aproxima
al área bajo la curva
11
Si ݒ ൏ Ͳ, la partícula retrocede: el área se resta El desplazamiento total es la suma
© 2013,
Antonio
González
Fernández
Rapidez y distancia recorrida: tomando
valores absolutos
En el habla cotidiana la “velocidad” no tiene signo
ݒ : rapidez (o celeridad)
A partir de la rapidez se halla la distancia recorrida © 20 13, Antonio González Fernández A partir de la rapidez la distancia recorrida ȟݏ ൌ න ௧ ௧ ݒ ݐ ȟݏ ൌ න ௧ න න ௧ ݒ ݐ ݏ ݐ ൌ ݏ න ௧బ ௧ ȁݒȁ ݐ ݏ ൌ ݒ ݐ ݒ ൌ ݏ ݐ ൌ ሶݏ 12 Todo suma
© 2013,
Antonio
González
Fernández
A partir de la velocidad instantánea se
puede hallar la velocidad media
13
Una partícula se mueve con ݒ ൌ ݒܶ ݐΤ ¿Cuál es la velocidad media entre ݐ ൌ ܶ y ݐ ൌ ͵ܶ?
ͲǤݒ
ͲǤͷͲͲݒ
ͲǤͷͶͻݒ
No hay información suficiente para hallarla A nández B o González C © 20 13, An , D ݒ ൌ ȟݔ ȟݐ ൌ ͳ ȟݐන௧భ ௧మ ݒ ݐ ͳ ʹ ݒܶ ܶ ݒܶ ͵ܶ ൌ ʹ ͵ݒ ൌ ͲǤݒ ݒܶ ʹܶ ൌ ͲǤͷͲͲݒ ormación suficiente rla ȟݔ ȟݐ ͳ ȟݐ ௧భ ௧మ ݒܶ ൌ ͲǤͷͲͲݒ ͳ ʹܶන் ଷ்ݒ ܶ ݐ ݀ݐ ൌ ܣ ʹ ͵ܶ ܶ ൌ ͲǤͷͶͻݒ ͲǤͷͶͻݒ © 2013, Antonio González Fernández
Ejemplo de comparación entre
desplazamientos y distancias recorridas
14 ȟݔ ൌ ʹͲ െ ͷ ൌ ͳͷ ȟݏ ൌ ʹͲ ͷ ൌ ʹͷ ݒ ൌ ȟݔ ȟݐ ൌ ͳͷ ͳʹ ൌ ͳǤʹͷ ݒ ൌ ȟݏ ȟݐ ൌ ʹͷ ͳʹ ൌ ʹǤͲͺ
© 2013,
Antonio
González
Fernández
Ejemplo de comparación analítica
15 Sea ݒ ݐ ൌ ͵ݐଶ െ ݐ ʹͳ (ݐ en s, ݒ en m/s). ݔ Ͳ ൌ Ͳ ¿ȟݔ en Ͳ ൏ ݐ ൏ ʹͶ? ¿ȟݏ en Ͳ ൏ ݐ ൏ ʹͶ? ݒ ݐ ൌ Ͳ en ݐ ൌ Ͷy ݐ ൌ ͳͺ Sea ݒ ݐ ൌ ͵ݐଶ െ ݐ ʹͳ ൌ Ͳ ȟݔ ൌ න ଶସ ͵ݐଶ െ ݐ ʹͳ ݐ ൌ Ͳ ݒ ൌ Ͳ ʹͶ ൌ Ͳ © 20 13, An ©2 01 3 A nnntonio González Fernández Sea ݒ ݐ ͵ݐ ݐ ʹͳ (ݐ en s, ݒ en m/s). ݔ Ͳ ൌ erná nde e ez er e ȟݔ ൌ න න නଶସ ͵ݐଶ െ ݐ ʹͳ ntonio González Fe e ݒ ݐ ቐ Ͳ൏ Ͳ Ͷ ൏ ݐ ൏ ͳͺͲ ݐ ൏ Ͷ Ͳ ͳͺ ൏ ݐ ʹͶ 15 ݐ ൌ Ͳ ݒݒݒ ൌ ʹͶ ൌ Ͳ ȟݏ ൌ න ସ ݒ ݐ െ න ସ ଵ଼ ݒ ݐ න ଵ଼ ଶସ ݒ ݐ ൌ ʹͶͶ © 20 13, An nn ݒ ൌ ʹͶͶ ʹͶ ൌ ͳͳͶǤ͵ © 2013, Antonio González Fernández
Gráficas del ejemplo analítico
16 ݐሺܛሻ ࢞ሺܕሻ 0 0 4 400 19 -972 24 0 ȟݏ ൌ ͶͲͲ ͻʹ ͶͲͲ ͻʹ
© 2013,
Antonio
González
Fernández
¿Qué ocurre si lo que conocemos es la
velocidad como función de la posición?
17
Un coche recorre 12km a
120km/h y otros 12km a 60km/h, ¿cuál es su velocidad media?
¿90km/h? NO ȟݔ ൌ ȟݔଵ ȟݔଶ ൌ ʹͶ González Ferná ndez ȟݐ ൌ ȟݐଵ ȟݐଶ ൌ ȟݔଵ ݒଵ ȟݔଶ ݒଶ ൌ ͳʹ ͳʹͲ Τ ͳʹ Ͳ ݄Τ ൌ ͲǤͳ ͲǤʹ ൌ ͲǤ͵ ݒ ൌ ȟݔ ȟݐ ൌ ʹͶ ͲǤ͵ ൌ ͺͲ 3, A nto ni o , Antonio En general © 20 133 ݔ ൌ ݒ ݔ ݐ ݐ ൌ ݔ ݒ ݔ ݒ ݒݒ ൌ ȟݔ ȟݐ ൌ ʹͶ ͲǤ͵ ൌ ͺͲ ݐ ݔ ൌ න ௫బ ௫ ݔ ݒ ݔ 17 ݔ ൌ ݔሺݐሻ ݔሺሻ ݒ Τ ͳʹͲ Ͳ Ͳ ͳʹ ʹͶ © 2013, Antonio González Fernández
Un ejemplo no trivial de velocidad
dependiente de la posición
18
Una partícula se mueve de forma que ݒ ൌ ݒ െ ݇ݔ y ݔሺͲሻ ൌ Ͳ. ¿Llega a pararse? ¿Qué distancia recorre hasta que se para?
ݔ ݒ ݔ ݐ ൌ ݒെ ݇ݔ ݔ ݒ െ ݇ݔ ൌ ݐ e ݒ ൌ ݒ െ ݇ݔ y ݔሺͲሻ ൌ Ͳ. rre hasta que se para?
ݐ න ௫ ݔ ݒെ ݇ݔ ൌ න ௧ ݐ െͳ ݇ ݒെ ݇ݔ ݒ ൌ ݐ ݔ ൌ ݒ ݇ ͳ െ ݁ି௧ Forma alternativa ݔ ൌ ݒ ݇ ݕ ݕ ݐ ൌ െ݇ݕ ݕ ൌ ܣ݁ି௧ Se para cuando ݔ ൌ ݒȀ݇ ݔ ൌݒ ݇ ܣ݁ି௧ ݔ Ͳ ൌ Ͳ ൌ ݒ ݇ ܣ ݔ ൌݒ ݇ ͳ െ ݁ି௧ ݐ ݔ ݒ න නනන ݔ ݇ 18 ݕ
© 2013,
Antonio
González
Fernández
La aceleración instantánea es la
velocidad con que varía la velocidad
19 A partir de la velocidad instantánea se define la aceleración ܽ ൌ ௧మ՜௧భ ݒଶ െ ݒଵ ݐଶ െ ݐଵ ൌ ௧՜ ȟݒ ȟݐ
Es la segunda derivada de la posición ܽ ൌ ݒ ݐ ൌ ଶݔ ݐଶ ܽ ൌ ሶݒ ൌ ሷݔ ݔ ݐ ൌ ͵Ͳݐ െ ʹ͵ݐʹ Ͷݐ͵ Ej. (SI) ݒ ݐ ൌ ͵Ͳ െ Ͷݐ ͳʹݐʹ ܽ ݐ ൌ െͶ ʹͶݐ ൌ ଶ ݐଶ Notación de Leibniz de la 2ª derivada
ሷݔ Doble punto: segunda
derivada Ͳ Ͷ © 2013, Antonio González Fernández ܽሺݐሻ ܽሺݐሻ ݒሺݐሻ ݔሺݐሻ
Interpretación geométrica de la
aceleración
2000 Pendiente de la curva ݒሺݐሻ Concavidad de ݔሺݐሻ ܽ Ͳ ܽ ൏ Ͳ ܽ ൏ Ͳ ܽ Ͳ© 2013,
Antonio
González
Fernández
Ejemplo de aceleración obtenida a
partir de la velocidad
21
De los cuatro instantes siguientes, ¿en cual la aceleración tiene el mayor valor absoluto?
0.0 s A 5.0 s B 9.5 s D 8.0 s C 8.0 s C © 2013, Antonio González Fernández
A partir de la aceleración puede
hallarse la velocidad y la posición
22
Las variaciones en la
velocidad pueden hallarse a partir de la aceleración ȟݒ ܽ ȟݐ ݒଶ ݒଵ ܽ ݐଶ െ ݐଵ Solo si ȟݐ ا ݒ ൌ ܽݐ ȟݒ ൌ ȟݒଵ ȟݒଶ ȟݒଷڮ ൌ ܽଵȟݐଵ ܽଶȟݐଶ ܽଷȟݐଷ ڮ ݒ ܽ ݐ ݐଵ ȟݐ ا ൌ ܽݐ ȟݒ ൌ න ௧ ௧ ܽ ݐ ݒଶ ଷ ܽ ȟݐ ڮ ݒଵ ܽ ݐଶ െ ȟݒ ൌ න ௧ ݒ ݐ ൌ ݒ න ௧బ ௧ ܽ ݐ ܽଷȟݐଷ ڮ නනන௧ ݒ ݐ ൌ ݒ න ௧ න න బ ௧ ܽ ݐ ݔ ݐ ൌ ݔ න ௧బ ௧ ݒ ݐ onio González
Fern Una vez hallada
ݒሺݐሻ puede calcularse ݔሺݐሻ Es necesario conocer ݔ y ݒ (condiciones iniciales)
© 2013,
Antonio
González
Fernández
¿Es lo mismo frenar que tener
aceleración negativa?
23
La aceleración puede tener cualquier signo
ܽ Ͳ: velocidad creciente ܽ ൏ Ͳ: velocidad decreciente Se refiere al cambio de la velocidad, no de la rapidez
“Frenar” y “acelerar” se refiere al cambio de la rapidez ܽ௧ ൌ ݒ ݐ Aceleración
tangencial Frena Acelera
ܽ = cte
© 2013,
Antonio
González
Fernández
Ejemplo: El caso de un cuerpo que se
mueve por gravedad
24 ݔ ൌ ݔ න ௧ ݒെ ݃ݐ ݐ ൌ ݔ ݒݐ െ ͳ ʹ݃ݐଶ ݒ ൌ ݒ න ௧ െ݃ ݐ ൌ ݒെ ݃ݐ Si una piedra se lanza verticalmente hacia arriba ܽ ൌ െ݃ © 20 13, An ntonio Gonzá ݒ ൌ ݒ න න න௧ െ݃ ݐ ൌ ݒെ ݃ݐ © 20 13, An ݒ ൌ ݒെ ݃ݐ ൌ ቊݒ݃ݐ െ ݒെ ݃ݐ ݐ ൏ ݒȀ݃ ݐ ݒȀ݃ ܽ௧ ൌ േ݃ Frena Acelera
© 2013,
Antonio
González
Fernández
Ejemplo de aceleración variable en el
tiempo
25 ܽ ݐ ൌ െ ݐ ݒ ݐ ൌ Ͳ න ௧ െ ݐ ݐ ൌ ݐ െݐଶ ʹ , ݔ ݐ ൌ Ͳ න ௧ ݐ െݐଶ ʹ ݐ ൌ ͵ݐ െ ݐଷ ܽ ݐ ez z ¿ݒ entre ݐ ൌ Ͳ y ݐ ൌ ͳʹ? ݒ Ͳ ൌ Ͳ ݔ ͳʹ ൌ ͳͶͶ ݒ ͳʹ ൌ Ͳ 5 ݒ ൌ ͳͶͶ ͳʹ ൌ ͳʹ ¿ݒ ൌ Ͳ? ¿ݒ ൌ ͻȀ? © 2013, Antonio González FernándezSi conocemos la velocidad como función de
la posición
ݒ ൌ ݒሺݔሻ
, ¿cómo hallamos
ܽ
?
26 La aceleración es la derivada de ݒ respecto al tiempo ܽ ് ݒ ݔ ܽ ൌ ݒ ݐ Regla de la cadena ܽ ൌ ݒ ݔ ݔ ݐ ൌ ݒ ݔݒ ൌ ݔ ͳ ʹݒଶ rná ndez Ej.: ݒ ൌ ݇ݔ ܽ ൌ ݇ ʹ ݇ݔ NO ܽ ൌ ݇ ʹ ݇ݔݒ ൌ ݇ ʹ ݇ݔ ݇ݔ ൌ ݇ ʹ ͳ ʹݒଶ ൌ ݇ݔ ʹ ݔ ͳ ʹݒଶ ൌ ݇ ʹ 26 26 El resultado es la aceleración como función de la posición
o bien
?
Movimiento uniformemente acelerado miento© 2013,
Antonio
González
Fernández
Si lo que se conoce es ܽሺݔሻ
tenemos una
ecuación diferencial
27
En muchos problemas físicos lo que se conoce es la
aceleración como función de la posición y/o de la velocidad ܽ ൌ െ߱ଶݔ ܽ ൌ െܩ݉ ݔଶ Oscilador armónico Campo gravitatorio Esto son ecuaciones diferenciales ܽ ൌ െ߱ଶݔ െ ߛݒ Oscilador con rozamiento ez
Fernánd No existe fórmula general para resolverlas
Métodos analíticos Métodos numéricos Aproximaciones 3, A nto ni o G o Técnicas de solución ...o una combinación de ellas Es un arte ሷݔ ൌ ݂ ݔǡ ሶݔǡ ݐ © 2013, Antonio González Fernández
Ejemplo de método numérico: el
método de Euler
28 Datos: ܽ ൌ ܽ ݔǡ ݒǡ ݐ ݔ ݐ ൌ Ͳ ൌ ݔ ݒ ݐ ൌ Ͳ ൌ ݒ ¿Podemos hallar ݔሺݐሻ y ݒሺݐሻ? En un ȟݐ muy corto ݔଵ ݔ ݒȟݐ ݒଵ ݒ ܽȟݐ ܽ ൌ ܽሺݔǡ ݒǡ ݐሻ ndezCon la nueva posición y velocidad podemos hallar la nueva aceleración y así sucesivamente
ݐ ൌ ݐିଵ ȟݐ ݔ ൌ ݔିଵ ݒିଵȟݐ ݒ ൌ ݒିଵ ܽିଵȟݐ ܽ ൌ ܽ ݔܽ ൌǡ ݒǡ ǡ ݐ © 20 13, A ,
Es muy poco preciso por la acumulación de errores
ݐ ൌ Ͳ