T R I G O N O M E T R I A

T R

I G O N O M E

T R

I

A

TRIGONOMETRIA

I. CONCEPTES BÁSICS : - Angle.

- Angle oriental - Angle central.

- Arc.

- Mesura d’angles.

- Operacions amb angles

II. RAONS TRIGONOMÈTRIQUES D’UN ANGLE : 1. RAONS TRIGONOMÈTRIQUES D’UN ANGLE AGUT:

- Definició de les raons trigonomètriques d’un angle agut.

- Igualtat fonamental de la trigonometria.

2. RAONS TRIGONOMÈTRIQUES D’UN ANGLE QUALSEVOL : - Quadrants d’una circumferència.

- Definició de les raons trigonomètriques d’un angle qualsevol.

- Reducció d’un angle al primer quadrant.

- Relació entre les RT d’angles equivalent situats en diferents quadrants.

III. APLICACIONS DE LA TRIGONOMETRIA : - La trigonometria i la geometria.

- Resolució de triangles.

- Resolució de polígons regulars.

TRIGONOMETRIA

Mesura d'angles

Relació entre les RT d'un angle

Raons Trigonomètriques d'un angle Reducció al 1r Quadrant

Signes de les RT en els 4 Quadrants

Resolució de triangles

Tma del Sinus Tma del Cosinus

Tma de Pitàgores

BREU RESENYA HISTÒRICA:

La Trigonometria va néixer com a eina auxiliar de l'astronomia.

- D'una banda la creença que els astres eren déus als quals s'havia de complaure i reverenciar crea la necessitat de fixar les festes religioses.

- D'altra la necessitat de conèixer els cicles de la naturalesa per saber amb precisió l'època de la sembra i de la collita determina la confecció del calendari que ve donat per les posicions del dol, de la lluna i de les estrelles.

L'any, el mes i el dia són mesures astronòmiques que cal obtenir acuradament i és aleshores quan sorgeix la Trigonometria com a instrument dels càlculs astronòmics ( trigonometria esfèrica).

◦ Babilònia: Introducció del SISTEMA SEXAGESIMAL (fixen la posició dels planetes respecte de les estrelles.

◦ Grècia: Confeccionen el calendari i apliquen la Trigonometria a la Geografia i la navegació.

Treballen en trigonometria esfèrica però donen les bases per a la trigonometria plana.

◦ 1450: Gran embranzida de la trigonometria plana (contraposició de la teoria geocentrista d'Aristòtil, mantinguda per l'església i els filòsofs i físics de l'època, i la teoria heliocentrista defensada per Copèrnic i Kepler).

◦ S. XV - XVI: Alemanya → Mecenatge de mercaders rics que donen treball a alguns homes:

- Adopció de la definició hindú del sinus; confecció de les primeres taules de sinus, cosinus i tangents i definició actual de les RT.

- Pitiscus "inventa" el nom de TRIGONOMETRIA (mesura dels tres angles) - Separació de l'astronomia Branca pròpia dins les matemàtiques.

◦ S. XVII - XVIII: Simplificació dels càlculs i esquematització i sistematització de la forma de treballar per part de Vieta.





EXERCICIS:

1) Tenint en compte que dues figures són semblants si tenen els angles iguals i els costats proporcionals, digueu quines de les següents afirmacions són certes:

a) Tots els triangles són semblants.

b) Tots els triangles rectangles són semblants.

c) Tots els triangles equilàters són semblants.

d) Tots els quadrats són semblants.

e) Tots els quadrilàters són semblants.

f) Totes les circumferències són semblants

2) Un pati té forma de quadrilàter, ABCD, amb dos costats paral·lels. Mesurem i resulta que el costat AB mesura 5 m i el costat AD en mesura 12. Si sabem també que OA = 13 m i que OB amida 16 m. Quant mesuren BC i DC?

D 12

A 13 5

O 16 B C 3) Substitueix les lletres pels valors numèrics corresponents:

23

118º

30 a  20

 45º 

60 b

4) Dibuixeu els següents triangles i polígons:

a) Un hexàgon inscrit en una circumferència de radi 8 cm.

b) Un trangle de costats: 6 , 8 i 10 cm.

c) Un triangle de costats: 5 , 7 i 12 cm.

d) Un triangle de costats: 4 , 10 i 15 cm.

e) Un triangle amb un costat de 10 cm i dos angles de 30º i 45º.

f) Un triangle amb un costat de 10 cm i dos angles de 100º i 45º

g) Un triangle amb dos costats de 6 i 8 cm i l’angle comprès entre ells de 50º h) Un triangle rectangle.

i) Un triangle equilàter.

j) Un triangle amb angles de 50ª , 60º i 70º k) Un triangle rectangle isòsceles.

l) Un triangle rectangle en el qual un catet mesura 5 cm i la hipotenusa 13 cm.

I.- CONCEPTES BÀSICS:

• ANGLE: Porció del pla determinada per dues semirectes (costats de l’angle), amb origen comú (vèrtex de l’angle).

• ANGLE ORIENTAT: Dibuixem una circumferència i situem-nos en qualsevol dels seus punts.

Seguint la corba, podrem tornar a ell de dues maneres:

Si anem en sentit contrari a les agulles del rellotge, l’angle serà positiu.

Si anem en el mateix sentit de les agulles del rellotge, l’angle és negatiu.

• ANGLE CENTRAL: És el que té el vèrtex en el centre de la circumferència.

• ARC: Part de la circumferència determinada per dos punts de la corba.

B

AOB , Ô , α → angle +

A AB → arc

–

• MESURES D’ANGLES:

UNITATS PER A MESURAR ANGLES:

• Volta: Mesurant l’angle en voltes indiquem quants girs sencers donem a la circumferència i la part incompleta de l’últim gir (v).

• Sistema sexagesimal: S’assigna a una volta sencera el valor de 360 graus sexagesimals (°).

1 volta ↔ 360°

Les subdivisions del grau sexagesimal no són pas decimals:

1° = 60’ ( ’ → minut) i 1’ = 60’’ ( ’’ → segon)

• Radiant: És la mesura de l’angle central al que correspon un arc de la mateixa longitud que el radi de la circumferència (rad).

1 volta ↔ 2π rad La longitud de l’arc i l’angle es relacionen mitjançant:

Longitud d’arc = angle (en rad) · radi ↔ L_arc = α · r

• Sistema centesimal: S’assigna a una volta sencera el valor de 400 graus centesimals (g).

1 volta ↔ 400 g

Les subdivisions del grau centesimal si són decimals:

1 g = 100 minuts i 1 minut = 100 segons

α

O

O

De les definicions anteriors deduïm

1 volta ↔ 360° ↔ 2π rad ↔ 400 g

CONVERSIÓ D’UNITATS:

Nosaltres només treballarem en grau sexagesimals i radiants.

Com: 360° ↔ 2π rad , farem servir aquesta equivalència per a passar d’unes a les altres unitats, mitjançant factors de conversió

IGUALTAT ENTRE ANGLES:

Considerem que dos angles són iguals quan als dos els correspon el mateix arc.

Partim del fet que:

0° ↔ 360° 0 rad ↔ 2π rad

I tenim en compte que només treballem amb angles positiu i inferiors a 1 volta.

Ara bé, com no sempre les dades de l’exercici verificaran, inicialment, aquestes condicions, caldrà, a vegades, transformar l’angle donat en un altre de la mateixa amplitud amb el que si puguem treballar.

EXERCICIS:

5) En una circumferència de 0’60 m de radi, calcula la longitud dels arcs corresponents a un angle de:

a) 0’15 rad. b) 2’5 rad. c) π/4 rad. d) 1’3 rad.

6) Expressa en graus els següents angles:

a) 2 π / 5 rad b) 3 π / 2 rad c) π / 4 rad d) 3 π / 10 rad e) 5 rad f) 0’6 rad g) 1 rad

7) Expressa en radiants els següents angles:

a) 100° b) 1470° c) 0° d) 225° e) 30° f) 2525° g) 120° h) 330°

8) Troba, conservant les unitats, l’equivalent positiu i inferior a una volta de:

a) 18425° b) - 75° c) - 4130° d) - 7 π / 6 rad e) – 427 π / 4 rad f) 13 π / 5 rad

9) Compara els següents parells d’angles i indica quin és el major:

a) 50° i π / 4 rad b) 7 π / 45 rad i 5 π / 36 rad

10) a) L’arc d’un angle determinat mesura 12 cm i s’ha dibuixat en una circumferència de 4cm de radi.

Quants radiants mesura l’angle?

b) El radi d’una circumferència mesura 18 cm. Quina longitud correspon a un angle de 75° ?

11) a) Dos angles d’un triangle mesuren 70° i π/5 rad. Calcula quant mesura el tercer angle?

b) L’angle desigual d’un triangle isòsceles mesura 7 π / 9 rad. Calcula, en graus, la mesura dels altres dos angles.

12) Dibuixa, en una circumferència de 4 cm de radi, un angle de:

a) 1 rad b) 150° c) π rad d) 3 rad e) 90°

13) Aquí teniu l’esquema del traçat d’una carretera curvilínia que uneix dos pobles A i B. A partir de les dades que es donen, quants quilòmetres haurem de recórrer per anar del poble A al poble B. Si portem una velocitat mitjana de 60 Km/h, quant trigarem ?

14) El pèndol d’un rellotge fa 0’6 m i oscil·la al llarg d’un arc de 20 cm. Trobeu l’angle central.

SOLUCIONS:

5) a) 0’09 m = 9 cm b) 1’5 m c) 0’15  m 0’47 m d) 0’78 m = 78 cm

6) a) 72º b) 270º c)45º d)54º e) (900/) º = 286º 28’ 44’’

f) (108/)º = 34º 22’ 38’’ g) 1 rad 57º 17’ 44’’

7) a) rad b) rad c) 0 rad d) rad

e) rad f) rad g) rad h) rad

8) a) 65º b) 285º c) 190º d) rad e) rad f) rad

9) a) 50º > rad b) rad > rad

10) a)  = 172º b) 23’5 cm

11) a) 74º b) 20º cadascun

13) 150 km.

14) 19º

A 40 km

170º

15 km 120º

B





9 π 5

6 π 49

4 π 5

6 π

36 π 505

3 π 2

6 π 11

6 π 5

4 π 5

5 π 3

4 π

45 π 7

36 π 5





OPERACIONS AMB ANGLES: CONCEPTE

Els angles es poden sumar i restar. També es poden multiplicar o dividir per un nombre enter i, combinant aquestes operacions, fer parts fraccionàries d’angles.

En fer càlculs amb angles, es poden obtenir resultats que continguin decimals:

L’angle que surt en dividir un angle de 87º en quatre parts iguals és de 87 : 4 = 21’75º.

Ara bé 21’75º no són 21º i 75’ (minuts) : Són 21º i “setanta-cinc centèsimes de grau”. Setanta-cinc centèsimes són ¾. Així que aquest 0’75º representa 3/4 de grau = 3/4 de 60’ = 45’ (També pots fer: 0’75·60’ = 45’).

Per convertir en graus, minuts i segons un nombre decimal N’abc...º es separa la part decimal, abc..., i es converteix en minuts multiplicant-la per 60. I si queda una part decimal dels minuts, es converteix en segons de la mateixa forma.

SUMA D’ANGLES

La suma de dos angles és un altre angle l'amplitud del qual és la suma de les amplituds dels dos angles inicials.

DIFERÈNCIA D’ANGLES

La resta de dos angles és un altre angle l'amplitud del qual és la diferència entre l'amplitud de l'angle major i la de l'angle menor.

Gràficament: Es col·loquen consecutius (fent coincidir el segon costat de l’un amb el primer de l’altre) i “s’uneixen”.

Gràficament: Es superposen fent coincidir el primer costat de tots dos, i “retallem del primer la part del segon”

Numèricament: Es col·loquen els graus sota els graus, els minuts sota els minuts i els segons sota els segons; i se sumen:

Si els segons sumen més de 60, es divideix aquest nombre entre 60; la resta seran els segons i el quocient s'afegiran als minuts:

Es fa el mateix per als minuts:

Numèricament: Es col·loquen els graus sota els graus, els minuts sota els minuts i els segons sota els segons

Es resten els segons. Cas que no sigui possible, convertim un minut del minuend en 60 segons i l’afegim als segons del minuend. Ara continuació restem els segons.

Es fa el mateix amb els minuts:

PRODUCTE D’UN ANGLE PER UN NOMBRE La multiplicació d'un nombre per un angle és un altre angle l'amplitud és la suma de tants angles iguals al donat com indiqui el nombre.

DIVISIÓ D’UN ANGLE PER UN NOMBRE La divisió d'un angle per un nombre és un altre angle tal que multiplicat per aquest nombre doni com a resultat l'angle original.

Gràficament: Multiplicar un angle per 3 és sumar-lo tres vegades amb sí mateix

Gràficament:

: 4 =

La divisió de l’angle complet en parts iguals serveix per construir polígons regulars

(Cinc parts: Un pentàgon) Numèricament: Multipliquem els segons, minuts

i graus pel nombre.

Si els segons sobrepassen els 60, es divideix aquest nombre entre 60, el residu seran els segons i el quocient s'afegiran als minuts.

Es fa el mateix per als minuts

Numèricament: 3 7 º 4 8 ' 2 5 ' ' : 5 Es divideixen els graus entre el nombre.

El quocient són els graus i el residu, multiplicant per 60, els minuts.

S'afegeixen aquests minuts als que tenim i es repeteix el mateix procés amb els minuts.

S'afegeixen aquests segons als que tenim i es divideixen els segons.

EXERCICIS:

15) Efectueu les següents operacions:

a) 3 5 º 3 3 ' 5 4 ' ' + 7 º 4 2 ' 2 5 ' ' = b) 25º 12' 4'' − 5º 19' 30'' = c) ( 3 5 º 3 3 ' 5 4 ' ') · 4 = d) ( 3 5 º 3 3 ' 5 4 ' ' ) : 3 =

16) El resultat de 1 6 º 5 ' 1 6 " + 5 º 5 7 ' 4 9 " és:

a) 2 1 º 6 2 ' 5 " b) 2 1 º 3' 6 5 " c) 2 1 º 6 3 ' 6 5 " d) 2 2 º 3' 5 "

17) El resultat de 1 6 º 5 ' 1 6 " – 5º 57' 49" és:

a) 1 0 º 7 ' 2 7 " b) 1 1 º 8' 2 7 " c) 1 1 º 7 ' 2 7 " d) 1 0 º 8 ' 2 7 "

1 8 ) Quins valors pot prendre un angle agut per tal que el seu doble sigui un angle obtús?

19) En un rellotge l’agulla gran i l’agulla petita es mouen a diferents velocitats. En una hora, quants graus mesura l’angle que recorre l’agulla gran? I en mitja hora? I en un quart?

En una hora, quants graus i quants minuts recorre l’agulla petita?

2 0 ) a ) L’expressió de 10 min en segons és:

I) 100 s II) 600 s III) 1 s IV) 6 s

b) L’expressió en graus de 7.200" és:

I) 72° II) 120° III) 720° IV) 2°

21) En el dibuix següent apareixen tres angles.

Calcula el valor de X

22) La Marta ha recorregut 8 km en 1 h 30 min 12 s. Quant temps ha trigat a fer cada quilòmetre si ha mantingut sempre el mateix ritme?

23) Els braços d’un gronxador mesuren 18 metres i poden descriure, com a màxim, un angle de 146º.

Quin és l’espai recorregut pel seient del gronxador quan l’angle descrit en el balanceig és el més gran possible?

24) La roda d’un camió fa 90 cm de radi. Quantes voltes dona mentre el camió recorre 45 km? Quina distància ha recorregut el camió si la roda ha fet 10000 voltes?

II. RAONS TRIGONOMÈTRIQUES D’UN ANGLE:

1. RAONS TRIGONOMÈTRIQUES D’UN ANGLE AGUT :

Donat un angle qualsevol ( ) , sempre podem construir un triangle rectangle en el qual un dels angles aguts sigui A.

Sempre es verifica que Aˆ  Bˆ Cˆ 180 º i d’aquesta manera relacionem els tres angles entre sí; i si ˆC= 90º  ˆA Bˆ = 90º, és a dir Aˆ i B són COMPLEMENTARIS. ˆ

Per altra banda, tractant-se d'un triangle rectangle, es verifica el teorema de Pitàgores: c ² = a² + b² amb la qual cosa podem relacionar els tres costats del triangle.

I, per tal de relacionar l’angle amb els costats del triangle, definim:

• Sinus d’ ˆA : sin  = longitud del catet oposat a l'angle  longitud de la hipotenusa del triangle

• Cosinus d’ ˆA : cos  = longitud del catet adjacent a l'angle  longitud de la hipotenusa del triangle

• Tangent d’ ˆA : tg A = longitud del catet oposat a l'angle Â

longitud del catet adjacent a l'angle Â

Evidentment: 0sin A 1 ; 0cos A 1 i tg A = sin A cos A El sinus i el cosinus són les RT fonamentals de l’angle, i s’acompleix sempre que:

sin ² A + cos ² A = 1 → IGUALTAT FONAMENTAL DE TRIGONOMETRIA

EXEMPLES:

1) Calculeu les raons trigonomètriques de l’angle  , sabent que: a = 8 cm i b = 6 cm.

c ² = a ² + b ² c ² = 8 ² + 6 ² = 100  c = 10.

Per tant tenim:

sin A = 8

10 = 4

5 cos A = 6

10 = 3

5 tg A = 8

6 = 4 3 ˆA < 90º



2) Calculeu les raons trigonomètriques de l’angle  , sabent que: tg A = 2‘5

2  a = 5 ; b = 2  c = 29 i per tant tenim:

sin A = 5

29 cos A = 2

29 tg A = 5

2 = 2‘5

Cadascuna d’aquestes raons trigonomètriques té la seva inversa, de manera que:

L’invers de sin  s’anomena cosecant de  : 1 cosec =

 sin

 L’invers de cos  s’anomena secant de  : 1

sec =

 cos



L’invers de tg  s’anomena cotangent de  : 1 cos ctg = =

tg sin

 

 

El sinus, cosinus, tangent, cosecant, secant i cotangent són les RT de l'angle  .

EXERCICIS:

25) Calcula les raons trigonomètriques de l’angle  , sabent que:

a) a = 12 cm ; b = 5 cm b) cos A = 1

2 c) tg A = 3

7 d) sin A = 2

3 e) b = 3 cm ; c = 10 cm f) a = 2 cm ; b = 2 cm g) b = 10 cm ; c = 4 cm h) cos A = 4 i) a = 1 cm ; c = 5 cm 26) Calcula les RT d’un angle agut si el catet adjacent a aquest angle mesura 4 cm i la hipotenusa

del triangle fa 5 cm.

27) Dibuixa un triangle rectangle en Â, sabent que sin B = ½ i b = 6 cm; calcula les raons trigonomètriques de l’angle ˆC .

28) Calcula les RT de l’angle  , sabent que el seu sinus val 3/5 i el catet adjacent a l’angle mesura 8 cm.

29) Servint-vos de la calculadora, doneu el valor de les raons trigonomètriques següents:

a) sin 74º b) cos 65º c) tg 27º

d) cosec 23º e) ctg 3

 f) sec

5



30) Amb l’ajuda de la calculadora, doneu el valor de l’angle agut tal que tingui la RT que s’indica a) cos A = 0’8921 b) tg A = 3’45 c) sin A = 0’3435

d) tg A = 1’3459 e) ctg A = 0’55 f) sec A = 1’23

31) En els triangles rectangles següents, calculeu la raó trigonomètrica que s’indica i, amb ajuda de la calculadora, el valor de l’angle agut corresponent.

Cosec C cos B sin C

32) Calcula la distància marcada amb l’interrogant:

a) b)

33) L’obelisc més gran del mon és el del monument a G. Washington, amb 169’3 m d’alçada.

A quina distància del seu peu ens hauríem de col·locar per tal d’observar el seu extrem superior amb un angle d’elevació de 60º?

34) En Víctor i en Ramon volen saber l’alçària del campanar de l’església del seu poble. A tal fi, en Víctor puja al campanar i llança l’extrem d’una corda de 65 metres, cap a fora. Com el peu de la torre no és accessible, en Ramon se n’allunya amb la corda fins que la tensa i la clava a terra. En mesurar l’angle veu que és un angle de 42º. Quant mesura el campanar? A quin distància es troba en Ramon de la base del campanar?

35) Una antena de radio està subjecta a terra amb dos tirants de cable d’acer formant amb el terra dos angles de 60º i 45º, si la distància entre les fixacions al terra del cable és de 126 m.

Calculeu

a) L ’alçada de l’antena.

b) La longitud dels cables.

c) El valor de l’angle entre els dos cables en les fixacions al cim del pal.

cosec C C

8

5

B

6

5 cos B

4

15

C sin C

36) Per mesurar l’amplada d'un riu s'han pres les mides de la figura; des de dos punts d'una vora distants 160 m. Quina amplada té el riu?

37) En una circumferència de 5 cm de radi, una recta la talla a una distància de 4 cm del centre.

Calculeu la longitud de la corda que determinen la circumferència i la recta.

38) Un ciclista puja per un pendent que té una inclinació de 25º respecte a l’horitzontal. Quan arriba al cim ha recorregut 1200 metres. A quina alçada es troba el cim?

39) Una avioneta s’enlaira d'un aeròdrom elevant-se amb un angle d'inclinació de 7º. A 2 km de l'aeroport, en línia recta amb la pista, hi ha una torre de 250 metres d'altura. Justifica si l'avioneta ha fet un bon enlairament o si pel contrari s'estavellarà contra la torre.

40) Un vaixell emet un senyal d'auxili i apareix en els radars de dues estacions de rescat tal com es mostra en la figura. Si se sap que la distància horitzontal entre les dues estacions és de 177,6 km:

A quina distància es troba el vaixell de cada estació? i si l'ajuda per aire es fa a una velocitat mitjana de 296 km/h, Quant temps trigarà en arribar l'ajuda de l'estació més propera?

41) Els espeleòlegs utilitzen un rodet per a amidar la profunditat. Deixen anar fil del rodet i amiden la longitud i l'angle que forma amb l'horitzontal. A quina profunditat es troba el punt B?

42) Una línia d'alta tensió passa per dos transformadors, T i T’ Aquest és un plànol de la línia. Quant cable s'ha utilitzat?

43) El sonar d'un vaixell de salvament localitza les restes d'un naufragi en un angle de depressió de 12°. Un bus és baixat 40 metres fins al fons del març Quant necessita avançar el bus pel fons per trobar les restes del naufragi?

2. RAONS TRIGONOMÈTRIQUES D’UN ANGLE QUALSEVOL:



Quadrants d’una circumferència:

Considerem els eixos de coordenades i amb centre a l’origen, dibuixem una circumferència de radi r.

r O

Els eixos divideixen aquesta circumferència en 4 zones, anomenades QUADRANTS que s’ordenen i numeren com indica la figura:

3r Q. 4t Q.

Per a dibuixar un angle central orientat positiu, col·loquem el vèrtex al centre de la circumferència i el primer costat de l’angle en el semieix positiu d’abscisses. El quadrant on quedi situat el 2n costat, ens dirà de quin quadrant “és” o a quin quadrant pertany l’angle.



Definició de les raons trigonomètriques d’un angle qualsevol:

Les definicions que coneixem de les diferents raons trigonomètriques d’un angle, només serveixen per a angles aguts. Per a calcular les raons trigonomètriques d’un angle qualsevol hem de generalitzar- les:

Considerem una circumferència centrada a l’origen i de radi r.

Qualsevol punt d’aquesta circumferència té unes coordenades P(x, y) ; és a una distància r del centre de la circumferència i forma un angle  amb el semieix positiu d’abscisses.

Sempre podrem dibuixar un triangle rectangle determinat per:

o Les coordenades del punt , P (x , y).

o El radi , r , de la circumferència.

o Un semieix d’abscisses , el positiu o el negatiu.

I definim:

sin A = y

r cosec A = r

y

cos A = x

r sec A = r

x

tg A = y

x ctg A = x

y

Aquesta nova definició coincideix amb la que coneixíem per a angles aguts, però té l’avantatge de que és vàlida per a qualsevol angle.

Els signes de les diferents raons trigonomètriques d’un angle depenen, per tant, del quadrant al que pertany l’angle, ja que sabem que:

y⁺

x → – x → +

2n Q y → + y → + 1r Q

r → + r → +

x^–

x

x → – x → +

3r Q y → – y → – 4t Q

r → + r → +

y^–

x y

x y

x y

I per tant tindrem: y⁺

sin A = 



= +



= +

cos A = 



= –



= +

tg A = 



= –



= +

x^– x⁺

sin A = 



= –



= –

cos A = 



= –



= +

tg A = 



= +



= –

y^–

I lògicament: sign(sin A) = sign(cosec A) sign(cos A) = sign(sec A) sign(tg A) = sign(ctg A)

EXERCICIS:

44) Indiqueu el quadrant al que pertany l’angle i els signes de les seves raons trigonomètriques:

a) Â = 820º b) Â = 1500º c) Â = 16π

3 rad d) Â = – 880º

e) Â = – 75º f) Â = – 11π

7 rad g) Â = 83π

6 rad h) Â = – 7π

6 rad SOLUCIONS:

45) a) Â = 100º 2n Q + , – , – , + , – , – b) Â = 60º 1r Q + , + , + , + , + , + c) Â = 240º 3r Q – , – , + , – , – , + d) Â = 200º 3r Q – , – , + , – , – , + e) Â = 285º 4t Q – , + , – , – , + , – f) Â = 3π

7 1r Q + , + , + , + , + , + g) Â = 11π

6 4t Q – , + , – , – , + , – h) Â = 5π

6 2n Q + , – , – , + , – , –

   

   

   

   

EXERCICIS:

46) A quin quadrant pertany un angle si les seves raons trigonomètriques tenen els següents signes:

a) + , – , – , + , – , – b) + , – , – , – , – , + c) – , – , + , – , – , + d) – , + , – , – , + , – e) + , – , + , – , + , – f) + , + , + , + , + , + g) sin A = + i cos A = – h) tg A = – i cosec A = – i) sin A = – i π

2  A  3 π

2 j) cos A = + i sec A = – k) cosec A = – l) ctg A = – i π A 2π

47) A quina o quines raons trigonomètriques corresponen les següents successions de signes:

a) + , + , + , + b) + , – , + , – c) + , + , – , – d) – , + , – , + e) + , – , – , + f) – , – , – , –

Una vegada ha quedat clara la qüestió dels signes podem plantejar el problema del càlcul de les raons trigonomètriques d’un angle qualsevol i ho farem amb un parell d’exemples.

EXEMPLES:

1) Si π  A  3π

2 i cos A = – 1

4 . Calculeu les raons trigonomètriques de l’angle Â.

π  A  3π

2  Â 3r Q ; cos A = x r

 

 

  = – 1

4 = 1 4

  x

y ?

r

  

  

 

 1

4

i com x ² + y ² = r ² , tenim: (– 1)² + y ² = 4 ²  1 + y ² = 16  y ² = 15  y = – . Per tant:

sin A = 15 4

 = – 15

4  cosec A = – 4 15 cos A = – 1

4  sec A = – 4

tg A = 15 1



 = 15  tg A = 1

15

2) Unim el punt P(– 3 , 4) amb l’origen de coordenades. Calculeu les raons trigonomètriques de l’angle, Â, determinat pel segment OP i el semieix positiu d’abscisses.

x ² + y ² = r ²  (– 3)² + 4 ² = r ²  9 + 16 = r ²  r = 25 = 5

Per tant tenim: sin A = 4

5 cos A = – 3

5 tg A = – 4

3 cosec A = 5

4 sec A = – 5

3 ctg A = – 3 4

 



15

EXERCICIS:

48) Calculeu les raons trigonomètriques de l’angle Â, sabent que:

a) sin A = – i  A  3π

2 b) ctg A = 4 i sin A = – c) A 3r Q i sin A =

d) sec A = – i 0  A  π e) cos A = i sec A > 0 f) tg A = 7 i  és agut

49) Calcula les raons trigonomètriques de l’angle A, determinat pel semieix positiu d’abscisses i la semirecta que uneix el punt P amb l’origen de coordenades, essent P:

a) P(– 4 , – 3) b) P(5 , –12) c) P(3 , 3) d) P(– 2 , 2) e) P(0, 8)

 Reducció d’un angle al primer quadrant:

Ja sabem que un angle pot estar situat en qualsevol dels quatre quadrants de la circumferència i que els valors de les seves raons trigonomètriques depenen de la seva posició.

Acabem de comprovar que quan un angle es troba situat en el segon, tercer o quart quadrant, sempre és possible relacionar-lo amb un altre, del primer quadrant, que tingui els mateixos valors absoluts en les raons trigonomètriques.

Precisament, entendrem per reducció al primer quadrant la transformació de qualsevol angle, que no sigui del primer quadrant, en aquell del primer quadrant que tingui (en valor absolut) les mateixes raons trigonomètriques.

Considerem  l’angle del 1r Q i B^ l’angle que volem reduir. El procés a seguir dependrà del quadrant al qual pertany l’angle que cal reduir.

I )

  2n Q ( 90º  B  180º π

2  B  π)  B = 180 – A B = ^π– A Per tant, Â i B



són SUPLEMENTARIS A + B = 180 A + B = π

II )

  3r Q ( 180º  B  270º ^π  B  3π

2 )  B = 180 + A B = ^π+ A Ara, Â i B

 són OPOSATS PEL VÈRTEX B – A = 180 B – A = π

III )

  4t Q ( 270º  B  360º 3π

2  B  2π)  B = 360 – A B = 2^π– A En definitiva, Â iB

 són OPOSATS B = – A A + B = 360 A + B = 2π

IV )

  360º o B negatiu . Calculem l’angle de la 1a volta equivalent i treballem amb aquest.

3 4

π 2

 2

5

3 4 4

7

 

 

 

 

 

  

EXEMPLES:

1) Reduïu al 1r Q cadascun dels següents angles:

a) B

 = 220º ; B

  3r Q  B = 180 + A 220 = 180 + A  A = 220 – 180 = 40º

b) B^ = 11π

6 rad ; B^  4t Q  B = 2π– A 11π

6 = 2π– A  A = 2^π– 11π 6 = π

6 c) ^B = – 3425º B^ = 175º  2n Q  B = 180 – A 75 = 180 – A  A = 180 – 175 = 5º

2) Trobeu l’equivalent al 2n , 3r i 4t quadrants d’un angle de 20º : a) 2n Q  B = 180 – A B = 180 – 20 = 160º

b) 3r Q  B = 180 + A B = 180 + 20 = 200º c) 4t Q  B = 360 – A B = 360 – 20 = 340º

EXERCICIS:

50) Reduïu al primer quadrant cadascun dels següents angles:

a) 105° b) 218° c) 347° d) 439° e) – 12°

f) – 547° g) – 19324° h) – 215° i) 7348° j) 3 π / 4 rad k) 7 π / 6 rad l) 12 π / 5 rad m) 14 π / 9 rad n) – π / 5 rad o) – 3 π / 5 rad p) – 19 π / 3 rad q) – 18 π rad r) 342 π / 9 rad

51) Passeu al 2n, 3r i 4rt quadrant, omplint el següent quadre, un angle de:

1r Q 2n Q 3r Q 4rt Q

0°

30°

45°

60°

90°

50°

20°

π / 6 rad π / 4 rad π / 3 rad π / 2 rad 2π / 5 rad

π / 9 rad 3π / 7 rad





 







Poder identificar angles equivalents i conèixer les relacions entre les raons trigonomètriques dels angles situats en els diferents quadrants era essencial quan no hi havia calculadores.

En aquella època es disposava d’unes taules amb els valors de les raons trigonomètriques del angles del primer quadrant; la resta dels angles no figuraven a les taules perquè no era necessari, era suficient reduir-lo al primer quadrant.

Avui dia el tema segueix sent d'interès a l’hora d’aplicar les raons trigonomètriques inverses (anomenades funcions arco), és a dir, a l’hora de determinar un angle coneguda una de les seves raons ja que la calculadora proporciona tan sols una solució i sabem que, en canvi, sempre hi ha dos angles inferiors a 360º amb el mateix valor per a una raó trigonomètrica determinada.



Relacions angulars i trigonomètriques entre quadrants:

Coneixent les raons trigonomètriques d’un angle   1r Quadrant, podem calcular les d’una sèrie d’angles relacionats, d’alguna manera, amb aquest.

Es tracta dels seus equivalents en els diferents quadrants o bé del seu complementari i dels equivalents al seu complementari

És a dir, coneixent les raons trigonomètriques de l’angle  també coneixem les de:

;

;

;

β = 90º – α

En definitiva, sabent les raons trigonomètriques de l’angle Â, podem saber les de:

B = 90 – A = π

2 – A 1r Q (V) (A i B complementaris) B = 90 + A = π

2 + A 2n Q (V)

B = 180 – A = π – A 2n Q (H) (A i B suplementaris) B = 180 + A = π + A 3r Q (H) (A i B oposats pel vèrtex) B = 270 – A = 3π

2 – A 3r Q (V) B = 270 + A = 3π

2 + A 4t Q (V)

B = 360 – A = 2π – A = – A 4t Q (H) (A i B oposats) B = 360 + A = 2π + A = A 1r Q (H) (A i B iguals)

Resumint, per a calcular les RT d’un angle (sense calculadora) farem:

a) Si l’angle és del PRIMER QUADRANT:

Buscar el valor corresponent a les taules.

b) Si l’angle NO és del PRIMER QUADRANT:

I) Identificar el quadrant al que pertany l’angle per a saber el signe de les seves RT.

II) Reduir l’angle al 1r Q per a saber el valor numèric de les raons.

RAONS TRIGONOMÈTRIQUES DELS ANGLES MÉS COMUNS:

EXEMPLES:

Calcula sense calculadora:

a) sin 36 = 0’588 36  1r Q  busquem el valor del seu sinus a les taules.

b) cos 65 = 0’423 52  1r Q  busquem el valor del seu cosinus a les taules.

c) cos 258 = – 0’208 258  3r Q  ● sign (cos ...) = –

● reducció al 1r Q: 258 – 180 = 78 En definitiva: cos 258 = – cos 78 = – 0’208

d) tg 120º = – 3 120  2n Q  ● sign (tg ...) = –

● reducció al 1r Q: 180 – 120 = 60 En definitiva: tg 120 = – tg 60 = – 3

e) arcctg 2’050 Â? Si ctg A = 2’050

sign (ctg A) = +  A  1r Q ó A  3r Q (és ha dir hi haurà 2 angles) Busquem a la taula quin angle és el que té ctg A = 2’050 i trobem A = 26º Per tant, les 2 sols són: A = 26º ( 1r Q ) i A = 206 (= 180+26  3r Q )

EXERCICIS:

52) Busqueu a les taules el valor de:

a) sin 69 b) cos 17 c) tg 34

d) ctg 18 e) sec 33 f) cosec 15

g) tg 87 h) cos 72 i) ctg 65

j) sin 135 k) cos 205 l) cosec 296

m) tg 200 n) sin 320 o) tg 137

(comproveu que heu fet bé l’exercici amb l’ajut de la calculadora)

53) Utilitzant la calculadora indiqueu quant val:

a) sin 350º b) cos 220º c) tg 17369º

d) ctg 110º e) sin 80º f) cosec 270º

g) sin 53 h) sec 29 i) cos – 18

(comproveu que heu fet bé l’exercici amb l’ajut de les taules)

54) Utilitzant les taules indiqueu quins angles corresponen a les següents informacions:

a) sin a = 0'1908 b) tg a = – 1'4826 c) cos a = – 0'4848 d) sin a = – 0'9976 e) ctg a = 19'0811 f) cos a = 2'5

g) acsin 0’951 h) arccos 0’966 i) arctg – 0’900

j) arcctg 0’052 k) arccos 0’423 l) arcsin 0’309

(comproveu que heu fet bé l’exercici amb l’ajut de la calculadora)



55) Utilitzant la calculadora calculeu:

a) arcsin 0'8347 b) arccos – 0'1329 c) arctg 4'78 d) arcsin – 0'1329 e) arccos 0'5638 f) arcctg 1

g) tg a = 57’290 h) ctg a = – 1’072 i) cos a = – 0’951 j) tg a = 2’904 k) cos a = 3’225 l) sin a = 0’839 (comproveu que heu fet bé l’exercici amb l’ajut de les taules)

56) Calcula les raons trigonomètriques dels següents angles, sense utilitzar ni la calculadora ni les taules:

a) A = 300° b) A = 210° c) A = 135°

d) A = 1665° e) A = – 35955°

f) A = 23 π / 6 rad g) A = – 16 π / 3 rad h) A = 13 π / 4 rad

57) Si sin 20º = 0,3420, calcula les RT dels següents angles:

a) 20º b) 70º c) 110º d) 160º

e) 200º f) 250º g) 290º h) 340º

58) Sabent que sin A = 2

3, i , 0 ≤ A ≤ 90 calcula, de manera exacta el valor de:

a) cos ( 90 – a ) b) sin ( – a ) c) tg ( 90 + a ) d) cosec ( 90 – a ) e) sec ( 270 – a ) f) ctg ( 90 + a )

59) Si cos A = – 1

3 i 180 ≤ A ≤ 270 , calcula, les raons trigonomètriques de:

a) A b) 180 + A c) 2 π – A d) π/2 – A

60) Quina relació hi ha entre les raons trigonomètriques de dos angles que es diferencien en:

a) una volta i quart ? b) tres voltes i mitja ? c) deu voltes ?

61) Calcula, sense calculadora, el valor numèric de:

a) sin² 20 + cos² 40 + sin² 70 + cos² 50 =

b) cos² 27 + sin² 51 + sin² 42 + cos² 63 + cos² 51 + sin² 48 = c) cos² 35 + cos² 55 + 1

2· (sin² 25 + sin² 65 + sin² 90 + 2) = d) 1

4 · ^_









e) 2 · (cos² 30 + sin² 60 + cos² 60 + sin² 30)² = f) Per a x = π / 2 rad , cos 2x – 5 · sin x + tg 4x =

g) Per a x = π rad , cos x² + sin² x + tg 3x + cos 2x =

h) Per a x = π / 4 rad , 1₂ 1₂ ² ₂1

5 · tg x

cos x  sin x   tg x=

i) cos 120 sin 240 tg 60 ctg 300

 

 j)

2 π 2 2π 2 3π

5 · tg cos sin

6 3 4

4π 11π

4 · sin · cos

3 6

       

     

     

     

     

 

=

62) Considerant â un angle del primer quadrant, completeu les següents igualtats:

a) cos ( π – a ) = b) ctg ( 2π + a ) =

c) sin ( 3π/2 + a ) = d) cos ( 3π/2 – a ) =

e) sec ( π + a ) = f) cosec ( π/2 + a ) = g) tg ( 2 π – a ) = h) sin ( 6 π + a ) =

i) tg (11 π – a ) = j) cos ( π/2 – a ) =

63) Justifiqueu si són certes o no les següents igualtats i corregeix les falses:

a) tg ( 2π + a ) = tg a b) sin ( π – a ) = sin a c) ctg ( π/2 – a ) = tg a d) sec ( π + a ) = sec a e) cos ( 2 π – a ) = cos a f) cosec ( π – a ) = – cosec a g) tg ( π + a ) = tg a h) sin ( π – a ) = – sin a

i) cos ( π + a ) = – cos a j) tg ( π – a ) = tg a k) sec ( 2 π – a ) = sec a l) sin ( π/2 + a ) = cos a

m) cos ( π/2 – a ) = cos a n) cosec ( π + a ) = cosec a o) ctg ( π + a ) = ctg a p) sin ( 2π – a ) = – sin a

q) cos (– a ) = cos a r) sin ( π + a ) = – sin a

s) tg ( π/2 – a ) = ctg a t) sec ( π - a ) = sec a u) cosec ( π/2 - a ) = cos a v) cos ( 2 π – a ) = – cos a w) ctg (– a ) = ctg a x) sin (– a ) = sec a

y) cos ( 2π + a ) = sin a z) tg ( 3π/2 – a ) = ctg a

64) Completeu les següents igualtats escrivint el resultat en funció d’un angle del primer octant:

a) cos ( 160 ) = b) ctg ( 370 ) =

c) sin ( 290 ) = d) cos ( 230 ) =

e) sec ( 200 ) = f) cosec ( 110 ) =

g) tg ( 350 ) = h) sin ( 1100 ) =

i) tg (1970 ) = j) cos ( 85 ) =

IV. APLICACIONS DE LA TRIGONOMETRIA :

La trigonometria té múltiples aplicacions pràctiques: la topografia, la cartografia, ... i tot allò que necessiti conèixer amb exactitud distàncies, troba un bon ajut en ella.

Utilitzarem els conceptes explicats en aquest tema per a resoldre problemes en els que ens caldrà calcular mesures d’angles i/o de costats d’un triangle o d’un polígon.

RESOLUCIÓ DE TRIANGLES I POLÍGONS:

Resoldre un triangle és calcular les mesures dels seus elements (costats i angles), coneixent-ne algunes.

Per a resoldre un triangle necessitem tenir com a dada la mesura d’un costat (com a mínim).

Sabem que en qualsevol triangle es verifica:

a) Els tres angles interiors al triangle sempre sumen 180º: A + B + C = 180º ↔ A + B + C = π rad.

b) Un costat és sempre més petit que la suma dels altres dos i més gran que la seva diferència:

a < b + c b < a + c c < a + b a → b → c →

a > c – b b > a – c c > a – b

c) L’angle més gran és l’oposat al costat més llarg i l’angle més petit és l’oposat al costat més curt:

A > C > B ↔ a > c > b

• Triangles rectangles:

- El Teorema de Pitàgoras : hip² = cat² + cat²

Es verifica : - Hi ha definides les raons trigonomètriques d’un angle agut.

- Els dos angles aguts són complementaris.

• Triangles no rectangles:

No es verifica : - El Teorema de Pitàgoras

- RT d'un angle agut.



 No podem aplicar les definicions de les

I en aquest cas, per a poder determinar els angles, necessitarem el TEOREMA DELS SINUS i/o el TEOREMA DEL COSINUS.

Teorema dels sinus:

Ens explica la relació de proporcionalitat existent entre les longituds dels costats d'un triangle i els sinus dels angles respectivament oposats

sin A = h h = c · sin A

c

sin A = h h = a · sin C a

  

 



c · sin A = a · sin C  c

sin C = a sin A

En definitiva:

Teorema dels cosinus:

És una generalització del teorema de Pitàgores.

Relaciona un costat del triangle amb els altres dos i amb el cosinus de l’angle format entre ells:

Anàlogament podríem comprovar que:

I que:

A la figura veiem que: x cos A =

c  x = c cos A , ara bé: c ² = x ² + h ² i també:

a ² = (b – x) ² + h ²  a ² = b ² – 2bx + x ² + h ² És a dir: a ² = b ² – 2bx + c ²  a ² = b ² + c ² – 2bx I tenint en compte que: x = c cos A , resulta:

a

= b

+ c

– 2 b c cos A

b

= a

+ c

– 2 a c cos B c

= a

+ b

– 2 a b cos C

sin A ⁼ b sin B ⁼

c sin C

• Polígons regulars:

Polígon regular és el que té els seus costats i els seus angles interiors iguals. Qualsevol polígon regular es pot triangular i llavors tenim:

Angle central:

^

A ₌

tats cos º n

360

Angles interior i exterior: suplementaris entre si Radi (r)

apotema (ap)

costat (c)

EXEMPLES:

1) Un camí recte va des d’una carretera fins una casa situada a 130 m sobre el pla horitzontal.

Quina és la longitud del camí si forma un angle de 15º amb el nivell de la carretera?

La situació del problema ens presenta un triangle rectangle, per tant, podrem calcular la longitud del camí mitjançant la definició del sinus d’un angle agut:

sin A =

. hipot . long

. opos . cat .

long  sin 15º =

camí

130  0’2588 = camí

130  camí =

2588 ' 0

130 

camí  502’32 m.

És a dir:

El camí fa 502’32 metres aproximadament.

2) Un submarinista baixa al fons d’un llac per tal de recollir un objecte seguint una trajectòria rectilínia i amb una inclinació de 35º. Compleix el seu objectiu i retorna a la superfície seguint una altra trajectòria en línia recta d’inclinació 52º. Si la distància en la superfície entre els punts d’entrada i sortida és de 200m, esbrina la profunditat del llac i quants metres ha nedat.

Representem el triangle i començarem calculant l’angle que ens falta:

A + B + C = 180 

35 + 52 + C = 180  C = 180 – 87 = 93º

Calculem ara, els metres nedats, costats a i b del triangle;

i com el triangle no és rectangle, els calcularem amb el Tma dels sinus: a

sin A ⁼ b sin B ⁼

c

sin C ^

a

sin 35 = b

sin 52 = 200 sin 93

a :

sin 35 = 200

sin 93

0 ' 5736 = 200

0 ' 9986

114’88

b :

sin 52 = 200

sin 93

0 ' 7880 = 200

0 ' 9986

157’82

Per tant, ha nedat

a + b

272’70 metres

Per acabar, hem d’esbrinar la profunditat del llac i aquesta vegada centrant-nos en un dels dos triangles rectangles continguts en el nostre, utilitzarem la definició de sinus d’un angle agut:

sin B =

a  sin 52 = h

114'88  0’7880 = h

114'88  h = 0’7880 · 114’88 

90’53

Resumint:

El submarinista ha nedat 272’70 metres, submergint-se 90’53 m.

3) Classifiqueu i resoleu el triangle els costats del qual mesuren 8 , 12 i 6 cms.

Tenim: a = 8 cm ; b = 12 cm i c = 6 cm.

Sabem que es tracta d’un triangle escalè i hem de calcular : A

^

; B

^

i C

^

tenint en compte que l’angle que determinarà el tipus de triangle és el B

^

, per ser l’oposat al costat més llarg.

a) Comprovem que no és tracta d’un triangle rectangle: 12 ² ¹^{? 6 2 + 8 2} ; 144 ¹ 36 + 64 b) Aplicarem el Tma del cosinus per tal de determinar el valor de l’angle més gran:

b ² = a ² + c ² – 2accos B  12 ² = 8 ² + 6 ² – 2·8·6·cos B  144 = 64 + 36 – 96 cos B  cos B = – 44

96 @ – 0’4583 Þ

^

B = arccos (– 0’4583) @ ^117º Es tracta, per tant, d’un triangle obtusangle.

c) Ara ja podem aplicant el Tma del sinus, calcular els dos angles restants:

sin A ⁼ b sin B ⁼

c

sin C ^ 8

sin A = 12

sin 117 = 6

sin C  8

sin A = 12

sin 117  sin A = 8 sin 117

12 = 8· 0'8910

12 = 0’594 Þ

^

A @ ^37º

d) Per últim, com: A

^

+ B

^

+ C

^

= 180º  37 + 117 + C = 180 Þ

^

C @ ^26º

Per tant,

Es tracta d’un triangle escalè, obtusangle; amb angles de 37º ; 117º i 26º

4) Inscrivim un enneàgon regular de 6 centímetres de costat en una circumferència.

Determineu l’àrea compresa entre la corba i el polígon.

Ens demanen:

S = A

A

Hem de triangular la figura ja que per a poder calcular les àrees hem de saber el radi de la circumferència i l’apotema del polígon.

Un enneàgon és un polígon de 9 costats. Per tant l’angle central, al triangular la figura, mesurarà:

Angle central: A^{^} =

tats cos º n

360 

^

A = 360

9 = 40º És a dir, tenim 9 triangles isòsceles:

A

radi apotema

B costat = 6 C

Si A mesura 40º  cadascun dels altres dos angles fa 70º ; ja que triangulant, en resulten triangles isòsceles i per tant:

B = C i A + B + C = 180

I, en dividir aquests triangles en 2 triangles rectangle podrem calcular el que necessitem: apotema i radi.

Tg 70 = ap

3  3 · tg 70 = ap @ 8’24 ; cos 70 = 3

r  r @ _8’77

Per tant tenim:

A

=

A

2 = (6 · 9) · 8 ' 24

2 @ 222’48 I:

S = A

A

En definitiva,

L’àrea compresa entre la corba i el polígon fa 19’149 cm

EXERCICIS:

65) Volem penjar un llum a una certa distància del sostre d’una habitació. Per fer-ho, agafem una corda, hi lliguem el llum i la clavem pels extrems en dos punts del sostre separats per una distància de 140 centímetres, de manera que els angles entre la corda i el sostre són de 40º i 60º a cada un dels extrems.

a) Quina serà la longitud total de la corda?

b) A quina distància del sostre quedarà el llum?

66) Amb un compàs de 12 cm de longitud hem dibuixat una circumferència de 10 cm de radi. Quin angle formen els braços del compàs? Si dobléssim l’angle, doblaríem el radi de la circumferència?

67) La torre de Pisa té una inclinació de quasi 4º respecte de la vertical, i per tal de frenar la seva caiguda, volen subjectar-la amb un cable d’acer des d'un punt situat a 150 metres de la seva base.

Si l'angle d'elevació del cable és de 20º, calcula la longitud del cable i l'altura de la torre.

68) Una persona observa un avió i un vaixell des de la cúpula d'un far, tal com mostra la figura.

Quina és la distància que hi ha del vaixell a l'avió i del vaixell a l'observador?

69) Les diagonals d'un paral·lelogram mesuren 12 i 16 cm, i formen un angle de 40°. Quant mesura el perímetre de la figura?

70) En el moment de marcar el gol d'Espanya en la final del mundial, Iniesta es trobava a 5 m d'un dels pals de la porteria i a 8 m de l'altre. Sota quin angle veia la porteria des d'aquell punt i quina distància hi havia des del jugador a la línia de gol.

(NOTA: una porteria de futbol fa 7’32 m)

71) Per a localitzar una emissora clandestina, la policia orienta les antenes de dos receptors, A i B, que disten entre si 10 km, cap al punt on està l'emissora. Aquestes direccions formen amb AB angles de 40° i 65°. A quina distància dels receptors es troba l'emissora?

72) Quina és l’alçada de l’arbre?

73) Com mesuraries la distància entre els dos molins si et trobes a l’altre costat de l’autopista?

74) EL Golden Eye, la sínia de Londres, és una roda gegant de 135 metres d'altura. Té 32 cabines de vidre en les quals caben 25 persones, i dóna un recorregut de mitja hora. A quina distància (en línia recta) es troba una cabina d'una altra?

SOLUCIONS

65) La corda fa 214’5 cm i el llum es troba a gairebé 80 cm del sostre (79’2 cm).

66) Els braços del compàs formen un angle de 49º 14’ 55’’.

67) La torre de Pisa té 56 metres d’alçada, aproximadament, i el cable amb que pensen subjectar-la ha de mesurar 160’80 cm.

68) El vaixell es troba a 800 m de l’avió i a 712’5 metres de la cúpula del far.

69) Es tracta d’un quadrilàter de 36’62 cm de perímetre.

70) Veia la porteria sota un angle de 63º 43’ 21’’ i ell es trobava a 4’90 metres de la línea de gol.

71) L’emissora és a 9382’79 metres del receptor A i a 6654’63 metres del B.

72) Es tracta d’un arbre de, pràcticament, 80 metres (79’82 m) 73) Els molins són a gairebé 196 metres l’un de l’altre (195’92 m).

74) Al Golden Eye hi ha una distància de 13’23 metres entre cistella i cistella