Desarrollo de un estimador algebraico para la frecuencia fundamental de las olas

Texto completo

(1)Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas Facultad de Ingenierı́a Eléctrica Departamento de Automática y Sistemas Computacionales. Trabajo de Diploma. Desarrollo de un estimador algebraico para la frecuencia fundamental de las olas.. Autor: Jorge Peña Martı́n Tutor: M.Sc. Delvis Garcı́a Garcı́a. Santa Clara 2016 “Año 58 de la Revolución”.

(2) Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas Facultad de Ingenierı́a Eléctrica Departamento de Automática y Sistemas Computacionales. Trabajo de Diploma. Desarrollo de un estimador algebraico para la frecuencia fundamental de las olas.. Trabajo de Diploma presentado en opción al Tı́tulo Académico de Ingeniero en Automática. Autor: Jorge Peña Martı́n email: [email protected]. Tutor: M.Sc. Delvis Garcı́a Garcı́a Prof. Auxiliar Dpto. de Automática, Facultad de Ing. Eléctrica, UCLV email: [email protected]. Santa Clara 2016 “Año 58 de la Revolución”.

(3) Hago constar que el presente Trabajo de Diploma fue realizado en la Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas como parte de la culminación de estudios de la especialidad de Ingenierı́a en Automática, autorizando a que el mismo sea utilizado por la Institución, para los fines que estime conveniente, tanto de forma parcial como total y que además no podrá ser presentado en eventos, ni publicados sin autorización de la Universidad.. Jorge Peña Martı́n Autor. Fecha. Los abajo firmantes certificamos que el presente trabajo ha sido realizado según acuerdo de la dirección de nuestro centro y el mismo cumple con los requisitos que debe tener un trabajo de esta envergadura referido a la temática señalada.. Jorge Peña Martı́n Autor. Fecha. Iván Santana Ching, Dr.C Jefe del Departmento. Fecha. Responsable ICT o J’ de Carrera, (Dr.C., M.Sc. o Ing.) Responsable de Información Cientı́fico-Técnica. Fecha.

(4) PENSAMIENTO. “Ni siquiera un dios puede cambiar en derrota la victoria de quien se ha vencido a sı́ mismo”.. i.

(5) DEDICATORIA. Quisiera dedicarle el esfuerzo de estos 24 años a aquellas personas que me han educado, comprendido y amado a pesar de todo. A mi mamá y a mi abuela, a Tatá (Mima), a Ova y Xiomara, a Tati, a Joel, a Ailet, Félix, Felito, Maribel, Lourdes, el Chino, Martica, Pipo, Estrella, Alexis, Mailyn, Mamita, Josefa y Tita. También a mis primos por querernos como hermanos. Y a todas aquellas personas que un dı́a estuvieron ahı́ para mi y hoy ya no están.. ii.

(6) AGRADECIMIENTOS A las primeras personas que quisiera agradecer por su apoyo es a mi familia y amistades, especialmente a Yeiter. También a los profesores que me han educado durante el transcurso de la vida, especialmente a José Abreu y Delvis Garcı́a. A los amigos del aula y estudio quienes hemos enfrentado junto numerosas vicisitudes, especialmente al club avileño: Yasell, Idelı́n, Anniel, Relman, Tonito, Ernesto; y a la gente del Condado: Sean Loan. A todos aquellos que alguna vez me han tendido su mano.. iii.

(7) RESUMEN. El oleaje generado por el viento es un fenómeno totalmente aleatorio y constituye una de las principales perturbaciones que afectan el funcionamiento de los Vehı́culos Autónomos Subacuáticos (AUV) que operan a poca profundidad. Con el objetivo de atenuar el efecto indeseable de esta perturbación sobre el sistema de control de estos AUV se filtran las mediciones obtenidas de los sensores haciendo uso de la frecuencia fundamental del oleaje. Desarrollar un estimador capaz de brindar el valor de la frecuencia fundamental del oleaje en tiempo real, mediante el método de Identificación Algebraica, constituye la finalidad de este trabajo. Para ello se han tenido en consideración las diferentes aproximaciones que se hacen del oleaje, obteniéndose varios estimadores de los cuales el basado en la función diferencial brinda, mediante simulaciones, mejores resultados. Esta investigación deja planteada la posibilidad de evaluar dichos estimadores con datos reales, y la necesidad de contar con modelos matemáticos que describan con mayor exactitud el comportamiento del oleaje.. iv.

(8) TABLA DE CONTENIDO Página PENSAMIENTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. i. DEDICATORIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ii. AGRADECIMIENTOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. iii. RESUMEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. iv. INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1. 1.. ESTUDIO DE MÉTODOS DE ESTIMACIÓN DE LA FRECUENCIA DEL OLEAJE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6. 1.1.. Vehı́culos autónomos subacuáticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6. 1.1.1. El HRC-AUV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8. Sistema de Control de Movimiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10. 1.2.1. Observadores de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11. Disturbios medioambientales.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 12. 1.3.1. Oleaje generado por el viento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 12. 1.3.2. Análisis del oleaje en el dominio del tiempo . . . . . . . . . . . .. 13. 1.3.3. Análisis del oleaje en el dominio de la frecuencia. . . . . . . . . .. 14. Espectros del oleaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 15. 1.4.1. Aproximación lineal del espectro del oleaje . . . . . . . . . . . .. 16. 1.5.. Filtrado del oleaje en el HRC-AUV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 18. 1.6.. Técnicas empleadas para la estimación de la frecuencia del oleaje . . . .. 19. 1.6.1. Identificación Algebraica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21. Consideraciones finales del capı́tulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23. IDENTIFICACIÓN ALGEBRAICA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 24. 2.1.. Procedimiento para la identificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 24. 2.2.. El oleaje como una sinusoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26. 1.2. 1.3.. 1.4.. 1.7. 2.. v.

(9) 2.3.. El oleaje similar a una ecuación diferencial . . . . . . . . . . . . . . . .. 34. 2.4.. Aspectos generales para la identificación . . . . . . . . . . . . . . . . .. 40. 2.5.. Consideraciones finales del capı́tulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 41. SIMULACIÓN Y ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS . . . . . . . . . . . . .. 42. 3.1.. Simulaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 42. 3.1.1. Generando el oleaje mediante la ecuación diferencial . . . . . . .. 43. 3.1.2. Generando el oleaje mediante otras herramientas . . . . . . . . .. 48. 3.1.3. Consideraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 51. 3.2.. Análisis económico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 52. 3.3.. Consideraciones finales del capı́tulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 53. CONCLUSIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 54. RECOMENDACIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 55. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 58. 3.. vi.

(10) INTRODUCCIÓN El mar constituye una fuente de inagotables riquezas e imaginación para los seres humanos. Aunque este planeta es conocido como el “Planeta Tierra”, en muchas ocasiones se le refiere también como el “Planeta azul”, debido a la hermosa vista que observada desde el espacio exterior, y en presencia del magnı́fico contraste entre sus mares y su atmósfera, aparece deslumbrante ante los ojos afortunados de quienes han presenciado majestuoso acto. Y no es de extrañar, si numerosos estudios se han atrevido a calcular la masa de agua presente en el planeta; llegando a la conclusión de que más de las dos terceras partes de este están constituidas por dicho componente, el cual en su mayorı́a se concentra en los océanos. Pueden percatarse entonces los habitantes de este “globo terráqueo”de la necesidad de explorar y conocer a fondo los mares y océanos, ¡si al final hay más agua que tierra!; pero no ha sido ası́. Las investigaciones marinas se han encontrado a la sombra de muchas otras, como la espacial o la nuclear, y se le han dedicado menos recursos a su desarrollo. Actualmente, lejos del umbral de desconocimiento existente en la exploración espacial y marı́tima, muchos se atreven a aseverar que se conoce y se está más cerca de encontrar a los extraterrestres que a la ciudad perdida de Atlántida o las sirenas del Rey Tritón. Quizás uno de los factores que ha influido en esta situación ha sido la imposibilidad de operar en zonas donde, por diversos motivos, no pueden operar vehı́culos tripulados por personas. Es por ello que en las últimas décadas la industria marı́tima ha visto revitalizada su fuerza de investigación y han fructificado numerosos proyectos para la exploración y aprovechamiento de los recursos existentes en los dominios de Poseidón. Una de las ramas que ha alcanzado un gran avance y ha visto multiplicada sus potencialidades es la del diseño y control de vehı́culos sumergibles, especialmente los Vehı́culos Autónomos Subacuáticos (AUV, por sus siglas en inglés). Un AUV es aquel que puede manejarse por sı́ mismo, pues tiene la capacidad de comportarse de manera autónoma durante el cumplimiento de misiones sin intervención humana (Gorset, 2010), debido a que portan consigo una fuente de energı́a y unidades de cómputo para ejecutar programas y soluciones de control que le permiten la autonomı́a (Antonelli, 2006).. 1.

(11) 2 El Grupo de Automatización, Robótica y Percepción (GARP) de la Universidad Central de Las Villas (UCLV) conjuntamente con el Centro de Investigaciones y Desarrollo Naval (CIDNAV) han desarrollado un AUV empleando sensores y una arquitectura de hardware de bajo costo (Valeriano, 2013), al cual han denominado HRC-AUV. En este proyecto, el GARP ha asumido la tarea de desarrollar el Sistema de Control de Movimiento (SCM), componente que rige el funcionamiento del sistema, mientras que el diseño y construcción de la parte mecánica ha quedado en manos del CIDNAV. Uno de los aspectos esenciales a tener en cuenta cuando se diseña un SCM para este tipo de aplicaciones es el filtrado del oleaje provocado por el viento; con el objetivo de cancelar el comportamiento oscilatorio del movimiento inducido por las olas en el sistema de control (Garcı́a, 2014). Para llevar a cabo un adecuado filtrado de esta importante perturbación se necesita un conocimiento preciso de la frecuencia fundamental de las olas y de esta manera ajustar adecuadamente los algoritmos de filtrado. El oleaje es un proceso aleatorio que no se repite de igual manera en tiempo y espacio (Dalrymple, 2000; Ochi, 1998), donde la mayor parte de la energı́a asociada a este fenómeno se encuentra ubicada alrededor de una frecuencia a la cual se denomina frecuencia fundamental del oleaje. Para determinar el valor de esta frecuencia, mientras el HRC-AUV se encuentra navegando, se utilizan ecuaciones que dependen de parámetros fı́sicos medibles (Valeriano, 2013) los cuales no se registran continuamente, haciendo este método vulnerable ante condiciones cambiantes del medio ambiente y provocando ası́ que no se conozca en todo momento el valor real de dicha variable. Actualmente los mecanismos de filtrado implementados en el HRC-AUV, los cuales dependen de la frecuencia fundamental del oleaje e influyen grandemente en el funcionamiento adecuado del vehı́culo, se encuentran sujetos a frecuencias de corte fijas. Si se tiene en cuenta que las condiciones del oleaje presentes cuando navega el HRC-AUV pueden variar, provocando que a su vez se modifique el valor de esta frecuencia, entonces el desempeño del sistema puede no ser el más adecuado en ciertas ocasiones. Tener conocimiento en todo momento de cómo se comporta la frecuencia fundamental del oleaje puede ser de gran utilidad para poder ajustar en tiempo real los algoritmos de filtrado existentes; muestra de esto es la importancia que reviste el desarrollo de un algoritmo para la estimación de dicha frecuencia en lı́nea. Debido a esta situación, el problema cientı́fico y la hipótesis que se plantean en la presente investigación son:.

(12) 3 Problema cientı́fico: No se pueden ajustar los mecanismos de filtrado del oleaje ante condiciones cambiantes del medio ambiente pues no se dispone del valor real de la frecuencia fundamental del oleaje continuamente. Hipótesis: La realización de un estimador para monitorizar, en el transcurso del tiempo, como se comporta la frecuencia fundamental del oleaje permite ajustar los mecanismos de filtrado ante condiciones cambiantes del medio ambiente. Llevar a cabo una adecuada estimación de la frecuencia fundamental del oleaje constituye la finalidad de este trabajo. Teniendo en consideración las ideas presentadas anteriormente se pueden establecer entonces los objetivos de la investigación: Objetivo general: Desarrollar un estimador para la frecuencia fundamental de las olas mediante el método de Identificación Algebraica. Objetivos especı́ficos: - Realizar una revisión bibliográfica de las técnicas reportadas en la literatura para la estimación de la frecuencia fundamental del oleaje. - Realizar un estudio del método de Identificación Algebraica en señales y sistemas similares al oleaje. - Modelar los parámetros principales relacionados con la perturbación en estudio. - Validar en MatLab/Simulink los resultados alcanzados mediante la implementación de los estimadores realizados. Con la finalidad de organizar la investigación y de esta manera dar cumplimiento a cada uno de los objetivos planteados, se propone llevar a cabo las siguientes tareas. Tareas de investigación: 1. Revisión bibliográfica de las técnicas reportadas en la literatura para la estimación de los parámetros del oleaje, estableciendo el marco teórico de la investigación. 2. Estudiar las caracterı́sticas del método Identificación Algebraica aplicado en señales con caracterı́sticas similares al oleaje. 3. Seleccionar la metodologı́a a seguir, con base en la literatura consultada, para el diseño de los estimadores. 4. Modelación de los parámetros principales relacionados con la perturbación en estudio. 5. Implementación y validación en MatLab/Simulink de los estimadores desarrollados. 6. Elaboración y presentación del informe final de la investigación con la calidad requerida, donde se describan los detalles de la implementación y los principales resultados alcanzados..

(13) 4 Con la realización de esta investigación se pretende contribuir al mejoramiento del SCM del HRC-AUV desarrollado por el GARP y el CIDNAV. Se pretende dotar al grupo de robótica de la UCLV de una herramienta, sin necesidad de adquirir equipamiento adicional del ya existente, que tenga la posibilidad de estimar la frecuencia fundamental del oleaje con el propósito de cancelar el efecto perturbador provocado sobre el vehı́culo. Los resultados de la investigación poseen una aplicación práctica y teórica de gran trascendencia para todos los especialistas e investigadores que necesiten determinar la frecuencia fundamental del oleaje, debido a que este fenómeno marino afecta a otros sistemas o, simplemente, para la recolección y el estudio de datos del oleaje con el objetivo de aplicarlos para otros fines. Estructura del trabajo: El trabajo cuenta con una estructura que se encuentra conformada primeramente por la Introducción, donde se deja definida de manera breve y concisa la situación del problema existente, necesidad e importancia de la investigación en el tema, ası́ como los objetivos que se persiguen en el presente trabajo. La estructura a continuación de esta queda establecida de la siguiente manera: Capı́tulo I: Se realiza un análisis del problema en estudio. Se menciona una breve reseña del desarrollo de los AUV. Se abordan las caracterı́sticas principales del HRC-AUV y la importancia del filtrado de las olas en los SCM. Se ilustra, de manera breve, cómo se genera el oleaje provocado por el viento, las principales tendencias para su análisis y trabajos que se han realizados en diversas partes del mundo para determinar la frecuencia fundamental de este. Al final se brinda información sobre diversos trabajos donde han aplicado el método de Identificación Algebraica para la estimación de parámetros de sistemas y señales, algunas de las cuales pueden ser consideradas similares al comportamiento del oleaje. Capı́tulo II: Se presentan las generalidades de la base matemática del proceso de la Identificación Algebraica, necesarias a tener en consideración cuando se implementa dicho método en la obtención de parámetros desconocidos; ası́ como la metodologı́a a seguir. Posteriormente, tomando como base las diferentes aproximaciones que se utilizan para describir el oleaje, se muestra de manera concreta el proceso de realización de los estimadores algebraicos. Finalmente se mencionan algunas consideraciones para la utilización de los mismos. Capı́tulo III: Se dedica a la validación y comparación de los diferentes estimadores algebraicos obtenidos en el Capı́tulo 2 a través de simulaciones llevadas a cabo en la.

(14) 5 herramienta Simulink del software Matlab. Para ello se generan, mediante diversas fuentes, señales que se asemejan a la fluctuación de la superficie oceánica con el objetivo de tener varios criterios de comparción. Se brindan además varias consideraciones prácticas para el uso de dichos estimadores en lı́nea. Al final se presenta un breve informe económico de la realización del presente trabajo de investigación..

(15) CAPÍTULO 1 ESTUDIO DE MÉTODOS DE ESTIMACIÓN DE LA FRECUENCIA DEL OLEAJE En este capı́tulo se introducen los conceptos básicos para poder comprender la importancia de la investigación que se expone en este trabajo. Primeramente se brinda una breve descripción del desarrollo de los AUV y sus posibles aplicaciones, con especial énfasis en el proyecto HRC-AUV desarrollado por el GARP. A continuación se mencionan las principales perturbaciones medioambientales que afectan el funcionamiento de estos vehı́culos, profundizando en el oleaje pues este constituye la base del objetivo de esta investigación. De este fenómeno se menciona como influye en la navegación del HRC-AUV y sus principales caracterı́sticas y parámetros. Finalmente se abordan diferentes técnicas y trabajos reportados en la literatura para la estimación de la frecuencia del oleaje, y de señales sinusoidales o armónicas similares al comportamiento de este mediante el método de Identificación Algebraica . 1.1.. Vehı́culos autónomos subacuáticos.. Desde tiempos de antaño el hombre utilizó los mares para diferentes actividades, y tuvo siempre la necesidad de explorarlo y conocerlo al máximo para su mejor aprovechamiento. Innumerables fueron los beneficios, y en algunas ocasiones percances, que arrojaron las travesı́as marinas; e increı́ble fue el progreso que sufrieron las embarcaciones marinas, las cuales con el decursar del tiempo pasaron de ser simples canoas hasta convertirse en sofisticados portaaviones y submarinos. En la actualidad se centran muchos recursos e intelecto en desarrollar vehı́culos submarinos que sean capaces de cumplir misiones que les son asignadas de manera autónoma, para ser utilizados en diferentes tareas, la mayorı́a con objetivos de investigación. Es ası́ como han surgido diferentes tipos de vehı́culos subacuáticos, los cuales pueden ser identificados en dos grupos principales: los Vehı́culos Operados Remotamente (en inglés ROV: Remotely Operated Vehicles) y los Vehı́culos Autónomos Subacuáticos (en inglés AUV: Autonomous Underwater Vehicles) (Antonelli, 2006). Entre ambos grupos existen sus diferencias notables: mientras que los ROV necesitan ser guiados y alimentados por un 6.

(16) 7 cable (utilizado también para el intercambio de datos) proveniente de otro medio fı́sico; los AUV son totalmente independientes: portan su propia fuente de energı́a y se comunican generalmente a través de la acústica o la comunicación inalámbrica. Se puede deducir entonces que la eficacia de los ROV disminuye con la profundidad debido, entre otras causas, al manejo del cable de alimentación: fundamentalmente por la extensión que este alcanza y la tensión en sus extremos (Fossen, 2011); por lo que innumerables organismos se han dado la tarea de desarrollar diversos AUV para evitar ası́ los inconvenientes presentes en los ROV. Hacia la década de 1970 comienzan a conocerse los primeros vehı́culos submarinos autónomos, construidos fundamentalmente con fines experimentales (Antonelli, 2006). El desarrollo de estos vehı́culos se ve fuertemente favorecido con el desarrollo sufrido por las computadoras, la electrónica y la informática en las décadas posteriores. Se crearon computadoras pequeñas, de bajo consumo energético y suficiente memoria; capaces de implementar complejos algoritmos. La utilización en los AUV de estas nuevas tecnologı́as trajo consigo una mejora indudable en todos los aspectos, debido a que la inteligencia de estos vehı́culos se encuentra en el sistema de cómputo que lleva a bordo; lo que le posibilita desarrollar diferentes tareas sin ser tripulados por operadores humanos (Gorset, 2010). Entre las tareas más comunes donde se pueden observar a los AUV se destacan las aplicaciones industriales, medioambientales y militares (Antonelli, 2006). Dentro de las aplicaciones medioambientales se encuentran los estudios geológicos del fondo marino, recolección de datos de temperaturas y variabilidad de las corrientes oceánicas, medición de la concentración de varios elementos o compuestos de las aguas, y la búsqueda de presencia de vida microscópica en las profundidades. En el ámbito industrial se pueden encontrar aplicaciones relacionadas con el mapeo detallado del lecho marino antes de realizar proyectos de colocación de cables de comunicación y tuberı́as submarinas; inspección y evaluación de los recursos oceánicos; y mantenimiento de plataformas petroleras en aguas de poca profundidad. En el contexto militar se utilizan en la detección de minas, supervisión de áreas protegidas y detección de otros submarinos (Gorset, 2010). Es de destacar que aunque la autonomı́a de estos vehı́culos es innegable, la acción del hombre se hace necesaria cuando existen diversas tareas que no se pueden realizar a partir de una inteligencia artificial programada previamente. El hombre con su experiencia, conocimientos, habilidades y juicio es un factor decisivo ante la necesidad de realizar actividades no previstas anteriormente o ante la ocurrencia de eventualidades. En la actualidad diversos modelos de AUV se han desarrollado. Algunos de los vehı́culos de este tipo más conocidos lo constituyen: el proyecto MARES (Modular Autonomous.

(17) 8 Robot for Environmment Sampling) diseñado en la Universidad de Oporto, en Portugal (Gorset, 2010), con el objetivo de seguir trayectorias predefinidas y llevar a cabo la recolección de datos relevantes del medio ambiente en que se encuentra, puede trabajar hasta una profundidad de 100 metros; el proyecto Hugin desarrollado por Kongsberg Maritime y Forvarets Forskning Institute (FFI) de Noruega, se emplea en el mapeo de alta precisión del fondo marino, y en la vigilancia y la detección de minas, capaz de operar a una profundidad lı́mite de 4500 m (Antonelli, 2006); y el R-One, utilizado por la Universidad de Tokio con fines cientı́ficos para el estudio y validación de estrategias de control(Kim, 2003). Otros ejemplos populares son el MARIUS desarrollado por Marine Science and Technology (MAST), Programme of the Commission of the European Communities con el objetivo de realizar mediciones medio-ambientales y la adquisición de datos oceanográficos en aguas costeras (Gorset, 2010); y el Remus (Remote Environmental Monitoring Units), el cual se diseñó bajo un programa cooperativo que involucrara a la Naval Oceanographic Office, al Office of Naval Research y la Woods Hole Oceanographic Institution (WHOI ) en E.E.U.U, y es empleado en el mapeo del fondo marino, el monitoreo ambiental y en operaciones de búsqueda y rescate hasta una profundidad de 6000 m (Antonelli, 2006). 1.1.1.. El HRC-AUV.. El HRC-AUV es un vehı́culo que presenta un diseño de forma tubular, semejante a los submarinos convencionales o “clásicos”. Presenta una longitud de aproximadamente 9.5 metros, y un peso máximo aproximado de 4100 kg. Posee una velocidad de crucero de 1.9 m/s y puede maniobrar en profundidades de hasta 10 m. Cuenta con un propulsor y dos timones de cola (Valeriano, 2013). El hardware que compone este sistema de navegación se encuentra compuesto por dos segmentos: uno a bordo del vehı́culo y otro remoto (ubicado generalmente en tierra o en un barco) (Garcı́a, 2014). El segmento que se encuentra a bordo se encuentra compuesto por una unidad de suministro de potencia y dos unidades de cómputo: una PC industrial (PC-104) y un sistema empotrado con un DsPIC 30F4013 que comparten las tareas de adquisición de los datos de los sensores, el control del vehı́culo y la navegación como se muestra en la Figura 1–1. El segmento remoto se dedica a la supervisión de las maniobras del vehı́culo, y se encuentra compuesto por una computadora portátil (laptop) donde se ejecuta un software de alto nivel el cual le brinda al operador una interfaz de monitoreo, control y tele-operación del vehı́culo. El sistema cuenta con una serie de sensores instalados para su correcto funcionamiento (Hernández, 2014). Esta arquitectura sensorial se le conoce como arquitectura de bajo costo, debido a la notable diferencia existente entre.

(18) 9. Figura 1–1: Arquitectura general del hardware y los sensores del HRC-AUV los precios y las prestaciones funcionales de los sensores que emplea el HRC-AUV y los empleados en otros de los proyectos mencionados anteriormente: - Unidad de Medición Inercial (IMU): MTi de la firma Xsens; esta unidad contiene arreglos 3D de acelerómetros, giróscopos y magnetómetros; y se utiliza para determinar con precisión la orientación del vehı́culo en tiempo real. - GPS: XL12 de la firma Garmin; sensor digital que brinda información precisa de la posición del vehı́culo dada en latitud, longitud y altura. Se emplea solamente durante la navegación en superficie. - Sensor de profundidad: Cerabar T PMP 131 de la firma Endress+Hauser; sensor analógico que es usado para determinar la profundidad a la que opera el AUV. - Sensor de nivel de baterı́as: sensor analógico que se emplea para realizar una estimación del estado de las baterı́as, basado en los niveles de voltaje y corriente entregados al sistema. - Sensores de fuga: sensor digital que es usado con el objetivo de detectar la presencia de agua en el vehı́culo. Estos sensores se encuentran localizados en el fondo del casco en proa y popa. - Ángulo de los timones: MLO-POT-225-TLF de la firma Festo; sensor analógico que mide la posición angular de los timones horizontal y vertical. - Revoluciones del motor: sensor digital mediante el cual se obtienen la velocidad del motor en rpm..

(19) 10 1.2.. Sistema de Control de Movimiento.. Un Sistema de Control de Movimiento (SCM) es el sistema que permite a un AUV operar realmente de manera autónoma en un medio desconocido, controlando de manera efectiva mediante actuadores los movimientos longitudinal y transversal de manera independiente (de la Cruz, 2012). Estos sistemas están compuestos de tres subsistemas básicos que interactúan entre sı́: el Sistema de Control, el Sistema de Guiado y el Sistema de Navegación, como se ilustra en la Figura 1–2.. Figura 1–2: SCM del HRC-AUV El Sistema de Guiado es el encargado de generar la trayectoria a seguir por el vehı́culo, para ello calcula continuamente la referencia de la posición, la velocidad y la aceleración deseada. Una función secundaria de este sistema es la de proporcionar señales de aviso de colisión o de proximidad a tierra u otros medios (Fossen, 2011). El Sistema de Control es el responsable de que el vehı́culo siga un objetivo deseado o se mantenga sobre una trayectoria definida, a su vez se divide en el controlador y en caso de sistemas sobreactuados de un sistema de distribución de las fuerzas en los actuadores. El controlador puede implementar distintos modos de trabajo dependiendo del tipo de operación que se vaya a realizar; entre los más utilizados están: el control de velocidad, autopilotos o controladores de rumbo, controladores dinámicos de la posición y los estabilizadores de alabeo y cabeceo (de la Cruz, 2012). El bloque de navegación es el encargado de determinar la posición real, el rumbo y la distancia recorrida, además de brindar otras variables como la velocidad del vehı́culo. Estos subsistemas interactúan entre sı́ intercambiando datos y señales para lograr el movimiento del vehı́culo (Fossen, 2002). Como se observa en la Figura 1–2 el oleaje, el viento y las corrientes marinas constituyen afectaciones medioambientales que pueden ocasionar que el funcionamiento del SCM no sea el más adecuado, provocando que se puedan transmitir datos incorrectos. Contrarrestar estos efectos es de vital importancia, por lo que en ese tipo de estructura el sistema.

(20) 11 de navegación cobra gran relevancia pues le brinda a los demás bloques funcionales las señales que necesitan ya filtradas. Sea cual sea el tipo de filtro empleado el objetivo es eliminar de las mediciones los efectos indeseables de los disturbios, brindando a los demás elementos del sistema señales suavizadas (Garcı́a, 2014). El HRC-AUV, para el filtrado de las señales, emplea actualmente técnicas basadas en observadores de estados; los cuales se diseñaron con el objetivo de atenuar únicamente el comportamiento indeseable provocado por el oleaje en dicho sistema. 1.2.1.. Observadores de estados. En el diseño de estas aplicaciones se considera que el movimiento total del sistema vehı́culo-oleaje es la suma de un componente denominado de baja frecuencia (BF) que representa el movimiento del vehı́culo y un componente llamado de alta frecuencia (AF) inducido por las olas como se representa en la Figura 1–3. De aquı́ la importancia del filtrado de las olas a tener en cuenta para el diseño de un SCM, con el objetivo de cancelar el comportamiento oscilatorio del movimiento (Fossen, 2002).. Figura 1–3: Movimiento del HRC-AUV en presencia de oleaje. Según (Fossen, 2011) el filtrado de las olas se define como la operación mediante la cual se atenúa el movimiento inducido por las olas de la señal de medición con el objetivo de evitar un comportamiento indeseable del sistema de control. En otras palabras, se trata de reconstruir el movimiento BF del vehı́culo utilizando las mediciones ruidosas (Bryne, 2015). Diferentes técnicas de filtrado con esta finalidad se han desarrollado en los últimos años; empleándose desde métodos sencillos de implementar, como los filtros convencionales, hasta la utilización de observadores de estados (Fossen, 1994). Precisamente, los observadores de estados han constituido el centro de diversas investigaciones con el propósito de ser usados con ese fin, pues son herramientas de control que permiten estimar las variables o estados de los sistemas en base a las señales de control y las salidas de los mismos. Estos observadores permiten enviar información estimada acerca del valor que toman dichos estados, permitiendo conocer un aproximado del valor real,.

(21) 12 además cuentan con muy poco margen de diferencia o error al estar diseñados con modelos matemáticos que describen a los sistemas (Garcı́a, 2014).. Figura 1–4: Filtrado de las mediciones utilizando observadores de estados. Actualmente, el HRC-AUV hace uso de este tipo de herramientas para estimar el comportamiento deseado de la señal de medición, pues implementa una técnica de observadores de estado (especı́ficamente variantes de observadores pasivos y filtros de Kalman (Garcı́a, 2014)) y filtros paso bajo, cuya configuración se selecciona mediante el software de supervisión y control. 1.3.. Disturbios medioambientales.. Para obtener resultados satisfactorios en la navegación de un AUV es necesario el estudio de las principales perturbaciones que lo afectan, y de esta manera realizar la búsqueda y propuesta de soluciones que permitan contrarrestar los efectos indeseables provocados por las mismas (Bryne, 2015; Fossen, 2011; Ochi, 1998). Los disturbios medio-ambientales que afectan la navegación del HRC-AUV son el efecto de las corrientes marinas y del oleaje producido por el viento (Garcı́a, 2014). En esta investigación se abordará solamente el tema referido al oleaje provocado por el viento. 1.3.1.. Oleaje generado por el viento. La fluctuación de la superficie oceánica generalmente se debe a la energı́a transferida por el viento al mar; y depende de la fuerza de este, su duración, la profundidad de la zona y la superficie del mar afectada por el viento (fetch) (Ochi, 1998). Los perfiles del oleaje generados por el viento que se observan en el océano cambian aleatoriamente en el tiempo, y no se repite de igual manera en tiempo y espacio (Dalrymple, 2000), es por ello que este tipo de oleaje es considerado como un proceso estocástico. Si se considera el oleaje como un proceso estocástico es posible evaluar sus caracterı́sticas periódicas en el dominio de la frecuencia y el probabilı́stico. El oleaje también se ve influenciado por la profundidad del agua en el lugar donde se está analizando: el oleaje.

(22) 13 en aguas profundas puede ser considerado como un proceso Gaussiano (media cero) independientemente de las condiciones del estado del mar (incluyendo las condiciones severas del mar asociado con los huracanes), mientras que en aguas donde la profundidad puede afectar las propiedades del oleaje no puede ser considerado como un proceso Gaussiano (Ochi, 1998). El proceso de generación de este tipo de olas es atribuida a la energı́a transferida del viento al mar al incidir el primero sobre el segundo (Dalrymple, 2000; Ochi, 1998). Comienza con pequeñas ondas en la superficie del mar; estas van evolucionando, incrementando la fuerza de arrastre y por lo tanto creciendo en amplitud, desplazándose, hasta que finalmente se quiebran y es entonces cuando disipan toda su energı́a (Fossen, 1994). El análisis y descripción de las caracterı́sticas del oleaje se puede realizar mediante teorı́as ya existentes que han demostrado ser efectivas. Estas se basan fundamentalmente en dos maneras de proceder: una en el dominio del tiempo y otra en el dominio de la frecuencia. 1.3.2.. Análisis del oleaje en el dominio del tiempo. Existe una teorı́a que, con una base matemática en el dominio del tiempo, representa el proceso del oleaje generado por el viento. Esta teorı́a se basa en series temporales (Dalrymple, 2000), la cual se puede decir que es la manera más apropiada de abordar las medidas de oleaje, sin embargo, hay factores que pueden ser contraproducentes y pueden llevar al fracaso: por un lado el análisis de series temporales puede ser desalentador e inferir el estado de mar a partir del espectro de las series temporales es complejo. Numerosos autores proponen este análisis como una sumatoria de funciones senos y/o cosenos de diferentes amplitudes, frecuencias y fase; ejemplo de ello se pueden ver en (Dalrymple, 2000; Fossen, 1994; Ochi, 1998). Según (Fossen, 1994), la elevación del oleaje en el transcurso del tiempo puede generarse como una suma de componentes de señales de ondas coseno. La Ecuación 1.1 representa dicho criterio, describiendo la elevación del oleaje ζ(x, t) que se propaga de forma irregular a lo largo de un eje x como una sumatoria de elementos lineales y otra de elementos cuadráticos: ζ(x, t) =. N X i=1. Ai cos(wi t − ki x + φi ) +. N X 1 i=1. 2. A2i cos 2(wi t − ki x + φi ) + O(A3i ). (1.1). donde Ai es la altura de cada ola; wi es la frecuencia de cada componente; φi es un ángulo de fase aleatorio uniformemente distribuido y constante en el tiempo en el intervalo de.

(23) 14. Figura 1–5: Representación del análisis temporal del oleaje. [0, 2π]; ki representa el número de ola de cada componente y está dado por: ki =. 2π , λi. donde. λi es el largo de la ola. La Ecuación 1.1 se repite después de un perı́odo de tiempo de. 2π , ∆w. donde ∆w es una di-. ferencia constante entre frecuencias sucesivas; por lo que un largo número de componentes de olas deben ser usados para describir dicho proceso (Fossen, 1994). El análisis lineal de esta teorı́a (denominada también Airy theory) representa ζ(x, t) como una aproximación de primer orden correspondiente con el primer término de la Ecuación 1.1. En cambio, la teorı́a de segundo orden incluye el segundo término para describir dicha elevación; esta teorı́a de segundo orden es suficiente para describir la respuesta de la mayorı́a de los vehı́culos marinos en mar abierto (Fossen, 1994). Los disturbios provocados por el oleaje y descritos por la teorı́a de primer orden describe el movimiento oscilatorio del vehı́culo, mientras que el segundo término representa las fuerzas de deriva. 1.3.3.. Análisis del oleaje en el dominio de la frecuencia.. Otra forma, quizás la más difundida y utilizada para el análisis del oleaje, es el espectro frecuencial de este fenómeno. Las energı́as potenciales y cinéticas de las olas aleatorias pueden ser representadas por la función de densidad espectral del mismo (denominada simplemente “espectro del oleaje”, o en inglés: “wave spectrum”). El espectro del oleaje generalmente brinda como información la magnitud de la energı́a de este fenómeno en función de las frecuencias del mismo, y el área bajo la función de densidad representa el grado de severidad del mar (Ochi, 1998). La más usada de las definiciones de la severidad del mar es la función de la altura de las olas. La amplitud Ai de cada i componente de la Ecuación 1.1 se encuentra relacionada con la función de densidad espectral del oleaje S(Wi ) según (Fossen, 2011) como: A2i = 2 ∗ S(wi ) ∗ ∆w. (1.2). donde wi es la frecuencia de la i-ésima ola y ∆w es la diferencia constante entre dos frecuencias sucesivas..

(24) 15. Figura 1–6: Análisis temporal y frecuencial del oleaje. La frecuencia alrededor de donde aparece concentrada la mayor parte de la energı́a se le conoce regularmente con el nombre de frecuencia modal (Fossen, 1994), y generalmente se encuentra situada en las frecuencias más bajas. En ciertas ocasiones, otro sistema de olas llamado mareas (swell, en inglés) se mezcla con el oleaje generado por el viento local. El oleaje swell se le llama a aquel oleaje que viaja fuera del área donde fue generado (Ochi, 1998). Cuando este tipo de oleaje se mezcla con el oleaje generado por el viento, no se puede identificar fácilmente en el dominio temporal, pero en el espectro se define de manera sencilla por la aparición de varios lóbulos. 1.4.. Espectros del oleaje. Durante años un gran número de investigadores se han dedicado al estudio del oleaje generado por el viento, los cuales han propuesto varios modelos para la generación del espectro a partir de diferentes fórmulas matemáticas. Estos espectros sirven para describir el comportamiento del oleaje generado por el viento en diversas situaciones. Ejemplo de ello son: el espectro propuesto por Neumann (año 1952) que depende únicamente de la velocidad del viento; el espectro Bretschneider (año 1959), el cual hace uso de la frecuencia modal y la altura del oleaje, y sirve para describir oleajes unidireccionales en el Océano Atlántico Norte donde la profundidad oceánica sea infinita, no halla mareas y el fetch sea ilimitado; el espectro Pierson-Moskowitz (PM) (año 1963) que fue creado para oleajes completamente desarrollados generados por el viento y el cual depende de la altura del oleaje o la velocidad del viento; el espectro Pierson-Moskowitz modificado (MPM), recomendado para la respuesta de vehı́culos marinos y estructuras ubicadas en el mar donde la profundidad sea infinita, no halla mareas y el fetch sea ilimitado, y que.

(25) 16 necesita conocer dos parámetros: la altura de las olas y el perı́odo promedio de cruce por cero de las mismas; y el espectro JONSWAP (año 1969) que describe el oleaje generado por el viento en aguas de profundidad finita y fetch limitado (Fossen, 1994). En investigaciones desarrolladas anteriormente por el GARP (Valeriano, 2013), se ha evidenciado el uso del espectro JONSWAP (Joint North Sea Wave Project) para describir el comportamiento del oleaje generado por el viento en las zonas donde navega el HRCAUV. Este espectro depende de valores fı́sicos que pueden ser medibles: la velocidad del viento (V ) y la longitud del fetch afectado por dicho viento (L) (Ochi, 1998; Valeriano, 2013). En (Valeriano, 2013) se plantea que la primera de estas variables se mide a una altura de 10 m sobre el nivel del mar, mientras que la segunda es la distancia geográfica hasta la costa; por lo que el espectro se puede calcular mediante la Ecuación 1.3: S(w) = α. g2 5 w exp[− ( 0 )4 ] ∗ Y 5 w 4 w. (1.3). con: α=. 0,076[ VgL2 ]−0,22. w0 =. 2π3,5 Vg. ( VgL2 )−0,33. Y =γ. exp[. −(w−w0 )2 ] 2(σw0 )2. y donde w0 es la frecuencia modal del oleaje, g es la constante de aceleración de la gravedad, σ = 0, 09 es una constante al igual que lo es γ = 3, 3 (Fossen, 1994). Es de resaltar que la frecuencia modal del oleaje, también conocida como frecuencia fundamental, queda descrita en función de parámetros fı́sicos que, una vez medidos, pueden variar debido a cambios en las condiciones ambientales; por lo que serı́a necesario realizar dichas mediciones de nuevo y recalcular los parámetros. 1.4.1.. Aproximación lineal del espectro del oleaje. En ocasiones aproximaciones más sencillas del comportamiento del oleaje son preferidas por los ingenieros en control, debido a la simplicidad y aplicabilidad de las mismas (Bryne, 2015; Fossen, 1994, 2011). Tomando en cuenta que el oleaje generado por el viento es considerado como un proceso aleatorio Gaussiano, se puede escribir una aproximación lineal de la función de densidad espectral S(w) escribiendo la salida y(s) del modelo del oleaje como (Fossen, 2011): y(s) = h(s) ∗ W (s). (1.4). donde W (s) es un ruido blanco Gaussiano que aporta al espectro de potencia: PW (w) = 1,0. (1.5).

(26) 17 y h(s) es una función de transferencia a determinar. Por ello, la función de densidad espectral para y(s) puede ser calculada como: 2. Py (w) = h(jw) PW (w) = h(jw). 2. (1.6). Un método práctico es diseñar Py (w) como una aproximación a S(w), tal que Py (w) describa la distribución energética de S(w) en el rango actual de frecuencias. La primera aproximación lineal del oleaje se reportó por Balchen, Jenssen y Srelid en 1976 donde se proponı́a modelar el movimiento de alta frecuencia mediante un sistema de posicionamiento dinámico de 3 osciladores armónicos sin amortiguamiento. Luego, estas mismas personas, introdujeron un término de amortiguamiento para cada grado de libertad de su modelo con el objetivo de obtener una mejor aproximación del espectro de las olas (Fossen, 1994). Este modelo se formuló como: h(s) =. s2. Kw s + 2ϕw0 s + w02. (1.7). donde Kw es una ganancia constante descrita por: Kw = 2ϕw0 σw. (1.8). donde σw es una constante que describe la intensidad del oleaje, ϕ es un coeficiente de amortiguamiento que generalmente es tomado como 0.1 (Fossen, 2011) y w0 es la frecuencia fundamental del oleaje. Esta aproximación ha demostrado ser bastante exacta alrededor de las frecuencias dominantes de dicho fenómeno natural. Ejemplo de ello se puede observar en (Fossen, 2011). Otros trabajos en este campo han arrojado funciones de transferencias de orden superior a la Ecuación 1.7 para h(s). Ejemplo de ello son las propuestas por Grimble, Patton and Wise en 1980 y Fung and Grimble en 1983 (Fossen, 1994), donde h(s) puede quedar definida como una función de cuatro parámetros a conocer, los cuales generalmente se reorganizan en función de los parámetros mencionados anteriormente. Triantafyllou, Bodson y Athans en 1983 propusieron una función de transferencia como aproximación al espectro Bretschneider, la cual queda conformada de sexto orden. Las funciones de orden superior, en comparación con la de segundo orden, brindan una aproximación más precisa del espectro del oleaje; pero traen como consecuencia que el modelo es más complejo y se necesita determinar mayor número de parámetros (Fossen,.

(27) 18 2011), lo que significa mayor tiempo de cálculo por parte del procesador encargado de esta tarea. 1.5.. Filtrado del oleaje en el HRC-AUV. En trabajos investigativos desarrollados anteriormente por el GARP se ha evidenciado y expuesto la necesidad de conocer las caracterı́sticas del oleaje cuando el HRC-AUV navega, debido a la importancia que resulta en el desempeño de los diferentes controladores del vehı́culo (Garcı́a, 2014). En el caso de la medición contaminada por las olas en cualquiera de las variables de navegación la respuesta del mismo se obtiene mediante el principio de superposición lineal (Fossen, 1994), debido a la naturaleza de las fuerzas actuantes, pues el movimiento del vehı́culo debido a las acciones de control es un movimiento de baja frecuencia (BF) y se ve afectado por el movimiento de alta frecuencia (AF) inducido por el oleaje; como se muestra en la Figura 1–7.. Figura 1–7: Ejemplo de afectación de las señales del HRC-AUV. Para la compensación del disturbio provocado por las olas, como se mencionó anteriormente, en el HRC-AUV se emplea la técnica de observadores de estados. Estos observadores para su correcto funcionamiento hacen uso de la frecuencia fundamental del oleaje, como se ilustra en la Figura 1–8. En esta estructura de observador se encuentran dos modelos: uno para rumbo y otro para profundidad. Dicho sistema cuenta con 4 variables de estado; 2 relacionadas con el modelo del vehı́culo (rumbo o profundidad, son las denominadas BF) y las otras 2 relacionadas con el modelo de las olas (AF), las cuales se generan como la función de transferencia de segundo orden expuesta anteriormente en la Ecuación 1.7. Todas esas.

(28) 19. Figura 1–8: Esquema de los observadores de estados implementados en el HRC-AUV. variables se estiman utilizando el mando (variable de control) como entrada y la medición real (contaminada con el oleaje). Hay dos formas de proceder para el filtrado de las mediciones. Una opción es tomar esa medición real y restarle el oleaje estimado (cuarto estado dentro del observador) para obtener el rumbo filtrado. La otra solución es tomar directamente la estimación de BF que proporciona el observador que está libre de componentes de AF. En ambos casos el comportamiento es similar pues se obtienen respuestas semejantes, y es esa señal más limpia de oscilaciones, la que se toma para el control y evitar con ello que el mando a los actuadores oscile. Una descripción más detallada del funcionamiento de esta técnica de filtrado se puede encontrar en (Garcı́a, 2014). Estas técnicas de filtrado del oleaje implementadas en el HRC-AUV se encuentran sometidas a frecuencias de corte fijas, lo que pudiera resultar un inconveniente si en el momento en que el HRC-AUV navega las caracterı́sticas medioambientales, especı́ficamente las del oleaje, cambian inesperadamente. Es por ello que la estimación de la frecuencia del oleaje en tiempo real puede ayudar a un mejor desempeño del HRC-AUV. 1.6.. Técnicas empleadas para la estimación de la frecuencia del oleaje. En el contexto investigativo mundial, numerosos autores se han dedicado al estudio de métodos que puedan ser utilizados para determinar las caracterı́sticas del oleaje generado por la acción de los vientos. Fundamentalmente estas investigaciones han perseguido, o necesitado en alguna ocasión, determinar la frecuencia fundamental de dicho fenómeno..

(29) 20 Algunos de los métodos que más se han empleado para la determinación de esta frecuencia lo constituyen los métodos del análisis espectral. También los observadores de estado han sido ampliamente usados con este fin. Los modelos para la generación del espectro mencionados anteriormente; tales como: el JONSWAP, el PM o el Bretschneider; brindan respuestas acertadas para diferentes condiciones del mar y del medioambiente. Estas formulaciones del comportamiento del oleaje tienen como ventaja que dependen de parámetros fı́sicos que pueden ser medibles y cuantificables. Su uso se puede apreciar en (Ochi, 1998). Desafortunadamente, ante condiciones cambiantes del medio ambiente es necesario rehacer el proceso de calcular y analizar el espectro. La mayorı́a de los estimadores de la frecuencia modal tratan de realizar una estimación eficiente a partir de datos observados y recolectados por diferentes instrumentos de medición, y emplean de algún modo las series de Fourier; ya sea la FFT (Fast Fourier Transform), DFT (Discret Fourier Transform), CFT (Continuos Fourier Transform). Ejemplo del uso de estas series se puede observar en (Dalrymple, 2000); aunque no son las únicas herramientas de estimación espectral usadas con este fin pues en (Cherneva, 2014) se puede evidenciar la utilización de los espectros de Welch y Wigner, para determinar las caracterı́sticas temporales y de frecuencia de un extraño fenómeno del oleaje denominado “Andrea”. Es necesario destacar que estas variantes de estimación espectral demandan gran tiempo y potencia de cálculo, por lo que su uso en sistemas de bajo costo, que de por sı́ se deben dedicar a otras tareas, es cuestionable; por lo que la mayorı́a de estos estimadores no se emplean en tiempo real. Otro método de estimación espectral, el Yule-Walker, es usado en (Lin, 2013) para desarrollar un estimador para la frecuencia fundamental de las olas. Este observador adaptativo paramétrico es implementado con el objetivo de ser usado en el control de barcos y se ejecuta mediante el algoritmo recursivo de Levinson-Durbin, que es el encargado de resolver las ecuaciones de Yule-Walker. La frecuencia pico del observador puede ser ajustada en lı́nea y se utilizan para ello mediciones de cabeceo y balanceo. Este método es ampliamente usado en el mundo por brindar, con secuencias de datos cortas, buenas estimaciones del espectro. En Cuba, especı́ficamente en la UCLV, se desarrolló una investigación dentro del trabajo desarrollado por el GARP la cual se expone en (Reyna, 2014). En este trabajo se realizó un análisis de diferentes espectros de oleaje, fundamentalmente mediante el periodograma de Welch y el método de Burg, haciendo uso de la herramienta ¨Signal.

(30) 21 Processing Tool¨ ofrecida por el software Matlab; utilizando datos obtenidos en diferentes experimentos y travesı́as realizadas por el HRC-AUV. En (Belleter, 2015) se propone un estimador no lineal de la frecuencia de encuentro de las olas basándose en las mediciones de cabeceo y balanceo ocurridas en un modelo a escala de un barco situado en un depósito donde se generan las olas. En este se considera que la frecuencia de las olas a estimar forma parte de una sinusoide con amplitud, frecuencia y fase desconocidas. Se introduce una matriz de ganancias para probar la estabilidad y convergencia del estimador en situaciones donde hallan pequeñas excitaciones. Con el objetivo de probar el desempeño de este estimador es implementado en lı́nea a bordo del buque “Clara Maersk”durante una tormenta en el Océano Atlántico Norte. Tiene como ventaja que es un estimador en tiempo real. 1.6.1.. Identificación Algebraica. En la actualidad existen varios métodos, discretos y continuos, que permiten realizar la estimación en lı́nea o estimación en tiempo real, como también se le suele llamar. La modelación de sistemas generalmente se basa en leyes y principios fı́sicos, de donde brotan un conjunto de parámetros en forma genérica que nos ofrecen información de cómo se desarrollan los procesos. Aunque dichos modelos se pueden convertir a su equivalente discreto, para una parte de los ingenieros del área la información percibida desde los coeficientes de estos modelos discretos no aporta la misma información fı́sica que sus contrapartes los continuos, es por ello que la estimación en tiempo continuo ha gozado en los últimos tiempos de gran auge (Becedas, 2010). Y es que, al realizar una estimación continua de los parámetros de un sistema, los cuales surgen de leyes fı́sicas que todas son ininterrumpidas en el tiempo, puede brindar mayor información y mejor interpretación que una identificación discreta (Trapero, 2008); pues, en el proceso de discretización de modelos, en ocasiones, se puede perder cierta información referente a los parámetros de los mismos (Becedas, 2009). En los últimos años una técnica novedosa de identificación en tiempo real ha demostrado ser muy efectiva, si de resultados satisfactorios y tiempo de convergencia de la estimación se habla. Este procedimiento se denomina Identificación Algebraica y a diferencia de otros métodos convencionales de estimación continua, no necesita de una función para minimizar el error (Trapero, 2008). Esta técnica hace uso del álgebra diferencial y el cálculo operacional para, a partir de las ecuaciones que describen los diferentes procesos, obtener los parámetros que conforman dichas ecuaciones mediante estimadores en lı́nea (Becedas, 2010)..

(31) 22 El uso de la Identificación Algebraica está presente en (Beltrán, 2010) donde se emplea para la estimación de parámetros en sistemas vibratorios, pues se determina la frecuencia y la amplitud de vibraciones exógenas que afectan a un sistema mecánico usando únicamente mediciones de posición. Dicha estimación se combina con un esquema de control adaptable por modos deslizantes para estabilizar asintóticamente la respuesta del sistema y, simultáneamente, cancelar las vibraciones armónicas. Se ofrecen además resultados numéricos y experimentales que muestran el desempeño dinámico y robusto de la Identificación Algebraica y del esquema de control. En (Feliu, 2015) aplican esta metodologı́a con el objetivo de determinar los parámetros desconocidos de las dos principales vibraciones que en forma sinusoidal pueden afectar a algunas estructuras flexibles. Para demostrar la validez de la investigación implementan el estimador en lı́nea y utilizan mediciones realizadas con galgas de esfuerzo y vibrómetros láser Doppler provenientes del desplazamiento de una viga voladiza flexible preparada en laboratorio. Similares trabajos se exponen en (Feliu, 2008) y (Dı́as, 2011) donde se persiguen los mismos objetivos que en la investigación anterior, pero la obtención de resultados se sustenta solo en simulaciones. En el segundo de estos trabajos se modifica el estimador algebraico propuesto en el primero con el objetivo de hacerlo más inmune a ruidos de altas frecuencias y se expone además una comparación con otros métodos que persiguen los mismos fines. En (Trapero, 2008) se presenta una metodologı́a a seguir para el diseño de estimadores algebraicos. Esta metodologı́a, a la vez que es descrita, es ejemplificada mediante el análisis de diversas señales. En este trabajo se pueden observar comparaciones entre este y otros métodos de identificación en tiempo continuo; además, el autor describe diversas aplicaciones de esta técnica en mecatrónica y economı́a. En (Fliess, 2006) y (Fuchshumer, 2005) se brinda la variante discreta de esta metodologı́a de estimación. En el primero de los casos se apoyan en la Transformada bilineal de Tutsin y ejemplifican dicho proceso aplicándolo a un tren de engranajes conectados a un motor de corriente directa (CD); y en el segundo se usa para el control de molinos de rodillos escalonados y en el control no lineal de embarcaciones. Esta metodologı́a ha gozado de gran aceptación en el campo del control de máquinas eléctricas. Ejemplo de ello se puede apreciar en (Becedas, 2010) donde se desarrollan una serie de estimadores para determinar parámetros inciertos, como pueden ser la fricción viscosa y la inercia, en motores de CD; además se exhibe una comparación con el método tradicional de los mı́nimos cuadrados recursivos. Otro ejemplo se puede observar en.

(32) 23 (Becedas, 2009) donde se propone un esquema de control adaptativo de posición para un motor CD basado en un identificador algebraico en tiempo real de lazo cerrado, el cual sirve para estimar los parámetros desconocidos y actualizar el controlador. En (Becedas, 2007b) se usa esta variante de estimación para implementar un observador de estados con la finalidad de ser introducidos en un esquema de control de posición para un motor CD. 1.7.. Consideraciones finales del capı́tulo. El oleaje es un proceso totalmente aleatorio que carece de una ecuación que represente fielmente su comportamiento en tiempo y espacio. Para el proceso de filtrado del efecto de las olas es necesario conocer la frecuencia fundamental del oleaje presente cuando el HRC-AUV navega. Actualmente los métodos de filtrado implementados en el SCM del submarino se encuentran sujetos a frecuencias de corte fijas, lo que resulta un inconveniente si las condiciones del oleaje generado por el viento varı́an. La técnica de Identificación Algebraica, ampliamente usada para la estimación de parámetros en señales similares al oleaje, pudiera resultar pertinente para estimar la frecuencia fundamental del oleaje en lı́nea..

(33) CAPÍTULO 2 IDENTIFICACIÓN ALGEBRAICA. En este capı́tulo se demuestra el procedimiento seguido para la Identificación Algebraica a partir de las diferentes alternativas consideradas para describir el oleaje generado por el viento, es aquı́ donde se evidencia el carácter innovador del presente trabajo. Para comenzar se introducen algunas ideas básicas relacionadas con el método a utilizar. Luego se realiza el procedimiento de Identificación Algebraica partiendo de que el oleaje se puede asemejar a una señal sinusoidal. Posteriormente se aplica este método teniendo en cuenta el criterio que expresa la semejanza de este fenómeno con una función diferencial derivada de la Ecuación 1.7. Por último se mencionan algunos aspectos prácticos para la implementación de estos estimadores. 2.1.. Procedimiento para la identificación. Como se ejemplificó en el capı́tulo anterior el oleaje es un proceso totalmente aleatorio, irrepetible en tiempo y espacio de igual manera, incluso para las mismas condiciones ambientales. Es por ello que este fenómeno natural carece de una ecuación matemática que represente verdaderamente su comportamiento en el dominio temporal y espacial, de ahı́ surge la necesidad de realizar diferentes aproximaciones para describir el mismo. Aunque numerosos autores confluyen para su estudio en dos vertientes, las cuales se mencionan en los epı́grafes siguientes, no representa ello que sea desacertado la idea de hacerlo mediante otros criterios que se pudieran titular “no convencionales”. Y aunque con dichas variantes de análisis se obtengan resultados que se pudieran calificar de satisfactorios por muchas personas interesadas en este tema, no significa que siempre estas vertientes vayan a brindar esos resultados. Se hace necesario esta aclaración porque el método que se va a utilizar con el fin de determinar la frecuencia fundamental del oleaje: Identificación Algebraica; como su nombre lo indica, se realiza a partir de las ecuaciones algebraicas que describen el comportamiento de los sistemas y las señales, apoyándose en el cálculo operacional y el álgebra diferencial para realizar una serie de estimadores paramétricos, por lo que el desarrollo de estos estimadores es puramente matemático (Becedas, 2010; Feliu, 2015). 24.

(34) 25 Es importante aclarar que este tipo de identificación es aplicable a sistemas donde los parámetros que se desean estimar son invariantes en el tiempo (Fliess, 2003b), es decir, si θ = (θ1 , ..., θr ) denota el vector de parámetros a estimar este debe cumplir que: dθi (t) =0 dt. i = 1, ..., r. De manera general, según lo observado en la bibliografı́a referente al tema de identificación propuesto, el desarrollo de este tipo de identificadores en tiempo real constan de una metodologı́a que simplificadamente se pude resumir en una serie de pasos a seguir (Trapero, 2008): 1. Realizar la Transformada de Laplace de las funciones que describen los sistemas. 2. Aplicar la diferenciación algebraica con el objetivo de eliminar las condiciones iniciales y evitar que las estimaciones sean dependientes de las mismas. 3. Aplicar la integración algebraica con el fin de eliminar las derivaciones implı́citas en las potencias de s, persiguiendo como objetivo evitar la diferenciación en el dominio del tiempo de las variables involucradas. 4. Despejar los parámetros a estimar. 5. Convertir al dominio del tiempo las expresiones obtenidas en el paso anterior. En numerosas ocasiones el cuarto paso de esta metodologı́a no es tan sencillo de aplicar, debido a que en muchos casos de estudio se cuenta con menos ecuaciones que con parámetros a estimar, por lo que este tipo de sistemas queda indeterminado. De esa situación se derivan diferentes clasificaciones de identificación que se exponen en (Fliess, 2003a,b). Es conocido que cualquier sistema de ecuaciones se puede expresar en forma matricial; de manera abreviada se puede decir que un sistema es identificable lineal si, y solo si, se cumple:. donde:. .  θ1  .  .  P  . =Q θr. (2.1). • P y Q son matrices de dimensiones r × r y r × 1 respectivamente; y representan la dinámica de las variaciones de las señales del sistema. • det(P ) 6= 0 Es por ello que tener un sistema que sea completamente determinado es de gran importancia, de otra manera se podrı́a tener un sistema donde los coeficientes a determinar no sean linealmente identificables; a este otro tipo se le conoce como identificable lineal.

(35) 26 débil y son merecedores de esta categorı́a si, y solo si, existe un número finito de parámetros desconocidos θ′ = (θ1′ , ..., θq′ ′ ) que cumplen: • Los componentes de θ′ son algebraicos con respecto a un número finito de las variaciones de las señales del sistema. • θ′ es identificable lineal. Es recomendable, como se observa en las investigaciones referentes al tema, tener sistemas que estén completamente determinados para que estos puedan ser linealmente identificables, y evitar con ello la identificación lineal débil. En los próximos epı́grafes se mostrará el desarrollo de diversos estimadores a partir de los pasos expuestos anteriormente, siempre partiendo del criterio de los especialistas del tema de realizar diferentes aproximaciones matemáticas para describir el comportamiento del oleaje. 2.2.. El oleaje como una sinusoide. De manera general, como se plantea mediante la Ecuación 1.1, se puede describir el oleaje generado por el viento como una sumatoria de elementos tipo coseno, correspondientes con el primer término de esa ecuación. Según (Fossen, 1994), para que dicha ecuación describa un comportamiento semejante al oleaje debe usarse un gran número de elementos en la sumatoria. El professor Thor I. Fossen, ampliamente conocido en el mundo de las investigaciones de los AUV, ha dedicado esfuerzos en la tarea de tratar de reproducir el comportamiento totalmente aleatorio del oleaje y del cual ha resultado un toolbox para la herramienta Simulink del software Matlab llamado Marine Systems Simulator (MSS), con el fin de ayudar a los investigadores en el tema para realizar simulaciones de navegación. Dentro de las opciones que brinda este toolbox se encuentran bloques, como los mostrado en la Figura 2–3, que generan señales que se pueden considerar similares a la fluctuación de la superficie oceánica; los cuales necesitan que la persona interesada en generar dicha señal defina la frecuencia fundamental y el espectro del oleaje que desea simular. A partir de ahı́, se genera la fluctuación de la superficie oceánica en el tiempo como una sumatoria de funciones tipo coseno. Esta sumatoria no se ejecuta de manera infinita, sino hasta una cantidad de armónicos n definida por los usuarios, o por el procesador de manera aleatoria. Ejemplo de estas generaciones de oleaje se pueden observar en la Figura 2–1. Para llegar a desarrollar de manera más real el comportamiento del oleaje, haciendo corresponder la elevación del las señales obtenidas con el rango de frecuencias empleadas en su generación, es necesario hacer uso de los coeficientes RAO (del inglés: Response.

(36) 27. (a) w0 = 0,3. (b) w0 = 0,95. (c) w0 = 1,5. (d) w0 = 1,9. Figura 2–1: Generación del oleaje a través del toolbox MSS. Amplitude Operator), los cuales no son más que un factor de corrección entre la salida brindada por los espectros del oleaje y la amplitud de cada componente de onda (Fossen, 2005), tal como se ilustra en la Figura 2–2. Los bloques mencionados anteriormente no hacen uso de estos coeficientes. Para simplificar el problema de la cantidad de elementos usados en la sumatoria, en la mayorı́a de los estudios se considera que la elevación del oleaje ζ(t) se describe como una única función seno o coseno, que involucre la frecuencia fundamental del oleaje, tal como se ilustra en la Ecuación 2.2. Diversos trabajos donde se evidencia esta tendencia se pueden observar en (Belleter, 2015; Dalrymple, 2000; de la Cruz, 2012; Fossen, 1994; Ochi, 1998), por solo citar algunos ejemplos..

(37) 28. Figura 2–2: Generación del oleaje haciendo uso de los coeficientes RAO.. Figura 2–3: Bloques generadores de oleaje del toolbox MSS. ζ(t) = A sin(w0 t + φ). (2.2). Los investigadores que realizan el análisis del oleaje en el dominio temporal, para simplificar y encontrar una descripción matemática acertada a dicho suceso utilizan ecuaciones semejantes a la Ecuación 2.2, con diferentes valores de amplitud (A), fase (φ) y frecuencia (w0 ). Para el desarrollo de esta investigación se puede plantear que la función utilizada para describir la fluctuación de la superficie oceánica puede ser tanto seno como coseno, debido a ciertas manipulaciones matemáticas que se realizan al aplicar el método de Identificación Algebraica a señales con estas caracterı́sticas, las cuales se explican a continuación. Cuando se va desarrollar un estimador algebraico para determinar la frecuencia de esta sinusoide, como se expresa en (Trapero, 2008), una manipulación muy acertada es derivar dos veces la Ecuación 2.2 respecto al tiempo; con el objetivo de que quede expresada en función de la misma variable medida ζ(t), como se muestra en la Ecuación 2.3. ζ̈(t) = −w02 A sin(w0 t + φ) = −w02 ζ(t). (2.3). Igual resultado se habrı́a obtenido si la elevación del oleaje generado por el viento fuese descrita por: ζ(t) = A cos(w0 t + φ)..

(38) 29 Prosiguiendo los pasos descritos en la metodologı́a, la Transformada de Laplace de la ecuación anterior queda: s2 ζ(s) − sζ(0) − ζ̇(0) = −w02 ζ(s). (2.4). Como se aprecia en (Fliess, 2003a,b; Ogata, 2003), dicha transformada, cuando se trata de ecuaciones diferenciales queda dada por: n n k−1 X d n n−k d L± f (t) = s ∗ F (s) + s f (t)|0± k−1 dtn dt k=1 Cuando se obtiene la Ecuación 2.4 aparecen las condiciones iniciales ζ(0), ζ̇(0); que no son más que la función del oleaje y su derivada evaluadas en el tiempo t=0. Con el objetivo de que el estimador sea independiente de estas condiciones iniciales se deriva n veces respecto a la variable compleja s de acuerdo a la mayor potencia de sn que aparece en la ecuación anteriormente descrita. En este caso se diferencia dos veces y luego se reorganiza resultando la Ecuación 2.5: s2. 2 dζ(s) d2 ζ(s) 2 d ζ(s) + 4s + 2ζ(s) + w =0 0 ds2 ds ds2. (2.5). Seguidamente se multiplica por s−v , donde v es la mayor potencia de s que aparece en la ecuación resultante del paso anterior, con el fin de eliminar las derivadas implı́citas en las potencias de s. El resultado de esta acción se muestra mediante la Ecuación 2.6. 2 d2 ζ(s) −1 dζ(s) −2 2 −2 d ζ(s) + 4s + 2s ζ(s) + w s =0 0 ds2 ds ds2. (2.6). Hasta este momento se cuenta con un parámetro desconocido (w02 ) y una ecuación, por lo que dicho factor es identificable lineal. Partiendo de la ecuación anterior se puede fácilmente despejar el parámetro w02, aislándolo en un miembro de la misma como se muestra en la Ecuación 2.7. . d2 ζ(s) −1 dζ(s) − + 4s + 2s−2 ζ(s) 2 ds ds w02 = 2 d ζ(s) s−2 ds2. . (2.7). La Ecuación 2.7 está dada en el dominio de la frecuencia. La Ecuación 2.8 representa la contraparte de la ecuación anterior en el dominio del tiempo y para su conformación se.

(39) 30 tuvo en cuenta otras propiedades de la Transformada de Laplace como: L [tn f (t)] = (−1)n. n1 (t) w0 = = d1 (t) 2. . 2. − t ζ(t) − 4. Z. dn F (s) dsn Z tZ. t. σ. σζ(σ) dσ + 2 ζ(β) dβ dσ 0 0 Z tZ σ β 2 ζ(β) dβ dσ 0. 0. . (2.8). 0. Las integrales que se obtuvieron anteriormente se pueden expresar de otra forma, pues como se muestra a continuación, cuando se integra respecto al tiempo numerosos autores deciden utilizar notaciones más sencillas. Z (n) Z tZ −1 −n L s F (s) = f (t) = 0. σ1 0. Z. σ2. ···. 0. Z. σn−1. f (σn ) dσn · · · dσ2 dσ1. 0. RtRσ. β 2 ζ(β) dβ dσ se hace referencia R (2) 2 a la integral doble con respecto al tiempo de t2 ζ(t), en otra notación: t ζ(t). Mayor Por solo citar un ejemplo, cuando se expresa:. 0. 0. información sobre esta y las demás propiedades de la Transformada de Laplace utilizadas en el presente trabajo se puede encontrar en (Fliess, 2003a,b; Ogata, 2003). Como se puede observar, la estimación de dicho parámetro en el tiempo involucra. únicamente integrales de la señal ζ(t), evitando con ello las derivadas de la señal de entrada para no introducir más ruido en la estimación. A partir del paso anterior se puede conocer el valor de frecuencia estimado we en el tiempo, pues no es más que la raı́z cuadrada del parámetro que se ha despejado desde la Ecuación 2.7. we =. q. w02. (2.9). Es necesario aclarar que en el tiempo t = 0 el cociente de la Ecuación 2.8 se encuentra indefinido, produciendo una indeterminación del tipo 0/0; aunque al pasar cierto intervalo de tiempo ε > 0 este queda bien definido, siendo ε un tiempo real suficientemente pequeño elegido en base a la precisión del procesador aritmético que procesa las señales del numerador y denominador de dicha ecuación (Feliu, 2006). De manera general, mediante la Ecuación 2.10 se puede conocer como se obtiene en el transcurso del tiempo la estimación de la frecuencia fundamental del oleaje que desea.

(40) 31 se hacer:.   arbitrario, t ǫ [0, ε]     s we =   n1 (t)   , t ǫ [ε, +∞]  d1 (t). (2.10). Como se mencionó previamente, una de las virtudes que posee la Identificación Algebraica y por lo cual ha sido muy usada en los últimos años, es la posibilidad de poderse implementar en tiempo real para la obtención de parámetros desconocidos. En ocasiones, cuando se trabaja en lı́nea, la capacidad de los dispositivos involucrados en la realización de las diversas tareas puede verse afectada y comprometida, sobre todo si se trata de sistemas complejos; por lo que no siempre se pueden almacenar largas cadenas de datos por tiempo indefinido. Si a esto se le añade que el sistema puede estar basado en arquitectura de bajo costo entonces resulta conveniente economizar los algoritmos que se implementan. La naturaleza del estimador involucra integrales de diversas señales (incluso integrales dobles y triples). Es por ello que en numerosas investigaciones donde se desean hallar parámetros inciertos y aplican esta metodologı́a, la forma más común de implementación de las señales de los estimadores en lı́nea es utilizando la forma canónica de Brunovsky, mediante filtros inestables (variantes) en el tiempo, en lugar de utilizar integraciones iteradas; con el objetivo de hacer la implementación del estimador en las plataformas de tiempo real más fácil (Becedas, 2007a). Si se persigue el objetivo de realizar la estimación en los dispositivos de cómputo en tiempo real, se pueden implementar entonces las señales del estimador mediante filtros en la forma de Brunovsky de la siguiente manera: n1 (t) = −t2 ζ(t) + na (t) n˙a (t) = 4tζ(t) + nb (t) ṅb (t) = 2ζ(t) d1 (t) = dc (t) d˙c (t) = dd (t) d˙d (t) = t2 ζ(t) El desarrollo mostrado anteriormente se realiza para una medición de oleaje que se asemeje a una sinusoide y se encuentre libre de ruidos. Por lo general se puede afirmar que en la vida cotidiana no hay ninguna medición libre de impurezas, casi siempre aparecen ruidos en los sistemas e instrumentos de medición, los cuales, en la inmensa mayorı́a de.