9 CAPA LÍMITE. Re = [9.2.1] 9.1 Definición de la capa límite.

(1)

FUNDAMENTOS DE MECANICA DE FLUIDOS _ Ing Jorge Rosasco Mod 9 Capa límite

(versión preliminar)

9 CAPA LÍMITE.

9.1 Definición de la capa límite.

En 1904, el Dr. Ludwig Prandtl desarrolló y presentó poco después en las célebres conferencias de la Universidad de Gottingen el concepto de capa límite, el que permite la descripción completa del campo de flujo para flujos abiertos sobre objetos como la unión de dos campos separados en dos zonas diferenciadas, (separación del campo de flujo en dominios vinculados) por una parte, una región próxima al objeto, denominada capa límite, donde se produce un tipo de flujo dominado por la viscosidad, aún para los casos de fluidos de baja viscosidad como el aire, y otra zona exterior a ella sin predominio de la viscosidad, con características próximas a la red de escurrimiento de un flujo ideal o flujo potencial.

Para flujos con viscosidad pequeña entonces, el efecto del rozamiento interno es apreciable sólo en una pequeña región próxima a los límites entre el fluido y el objeto, llamada “capa límite”. El comportamiento del fluido dentro de esta zona dominada por las fuerzas viscosas se deduce para algunos casos simples, en forma exacta a partir de las ecuaciones generales de Navier Stokes , y en otros por una aproximación mientras que por encima de la capa límite el flujo puede considerarse ideal y ser tratado con las técnicas del flujo potencial (tratando las regiones separadas del flujo como parte del objeto sólido).

En la región exterior fuera de la capa límite las Ecuaciones de Conservación de masa o Continuidad y la Ecuación de cantidad de Movimiento para flujo inviscido o Ecuación de Euler se utilizan para calcular el campo de velocidades y presiones, la Ecuación de Euler deviene en la Ecuación de Bernuolli y permite calcular el Campo de presiones, como el flujo es irrotacional en esta región se aplican las soluciones de superposición de Flujo Potencial.

Para la región interior a la capa límite se aplican las Ecuaciones de la Capa Límite, que son una primera solución de las Ecuaciones de Navier Stokes sin considerar las fuerzas inerciales, lo que permite calcular las fuerzas de viscosidad o fuerzas de resistencia pelicular que el flujo aplica a la superficie, así como predecir el punto de separación de la capa límite para superficies curvadas que se producen en la región del gradiente adverso de presión.

En resumen, esto da un análisis más simple, respecto de la aplicación de las Ecuaciones NS en forma global para todo el campo, denominado aproximación de capa límite, (y son conocidas como las Soluciones de

Blasius - Von Karman), se obtienen a través de la aplicación de la ecuación de cantidad de movimiento

lineal, y permiten encontrar valores aproximados de espesor de capa límite, espesor de desplazamiento y de la resistencia por fricción pelicular en objetos como placas planas o cuerpos con superficies de pequeña curvatura: χ =(1/R) siendo R el radio de curvatura.

9.2.- Capa límite sobre placa plana.

Para superficies planas y lisas embestidas sobre su plano por una corriente, existe una región de pequeño espesor denominada Capa Límite próxima a la superficie en la que se observa un gradiente de velocidades entre la velocidad nula en la superficie (principio de no deslizamiento) y la velocidad exterior no perturbada a pequeña distancia por encima de la misma (Fig.9.2_1), este gradiente de velocidades define el espesor de la capa que se indica como δ(x) ya que varía con la posición longitudinal sobre la placa; en general observamos una variación no lineal creciente del gradiente, la capa límite comienza en el extremo frontal de la placa siendo laminar, o sea, las partículas se mueven en finas capas o láminas superpuestas; al aumentar la distancia desde el borde de la placa gradualmente las líneas de corriente se hacen inestables y la capa puede transformarse en turbulenta corriente abajo aumentando su espesor, pasando por una transición entre ambos regímenes. El espesor de las capas límites laminares depende del nº de Reynolds local , este se define como:

Re

ρ

U x

µ

(2)

en la cual x representa la distancia desde el borde de la placa, U representa la velocidad de la corriente libre fuera de la capa, las Ecuaciones de capa Límite demuestran como veremos luego que a mayor U menor será el espesor de la capa δ . Para una placa plana el espesor se mantiene bajo, con Reynolds moderados y altos lo cual significa δ << x o bien: δ / x << 1.

Si la superficie es plana, un fenómeno denominado separación de capa límite no se produce, ya que una superficie plana no presenta gradientes adversos de presión naturales según su longitud, sin embargo, cuando la capa límite avanza a lo largo de la placa plana, la continua acción de las tensiones de corte tienden a frenar a las partículas fluidas en las inmediaciones de la placa, las líneas de corriente se hacen ligeramente inclinadas hacia arriba para mantener la continuidad, lo que hace que el espesor de la misma tienda a aumentar suavemente corriente abajo.

Tanto la capa límite laminar como la turbulenta presentan in su interior rotacionalidad, característica de la presencia del gradiente de velocidad; si la capa se transforma en turbulenta en esta región se producen núcleos macro con rotación completa (capa turbillonaria) que poseen mayor movilidad vertical y capacidad de mezclado con las regiones próximas, sin mantener el movimiento en capas superpuestas, ni el flujo bidimensional.

Después de la transición laminar a turbulenta, las partículas adoptan líneas independientes y variables pudiendo variar su posición en los tres ejes y aun retroceder formando rizos individuales o trayectorias aserradas diversas y entrecruzándose permanentemente unas con otras es decir en la capa límite turbulenta el flujo es 3D, aunque se establecen patrones de propiedades promedio sobre trayectorias en el plano x,y .

Fig.9.2_1

La transición entre capa límite laminar y turbulenta es una zona entre ambas regiones, en donde el flujo laminar tiende a oscilar, siendo su longitud y origen función de fenómenos a veces ajenos al patrón de flujo, como ser la aspereza de la superficie, o la vibración.

La Fig.9.2_1, muestra exageradamente los espesores de la capa límite sobre una placa plana, siendo en realidad los espesores pequeños en sus primeros tramos del orden de la décima de milímetro, y del orden de uno a unos pocos milímetros en la región turbulenta para aire. Una idea más aproximada del dibujo sería estirarlo en x y compactarlo en y unas 30 veces.

Se puede ver también que la pendiente de crecimiento de la capa límite turbulenta es menor que la laminar, debido esto al mayor intercambio de cantidad de movimiento que proviene de la zona exterior favorecida por el mezclado por intercambio de núcleos vorticosos mas grandes respecto a la simple difusión molecular de las zonas laminares.

También se observa en la figura anterior, una región grisada llamada sub-capa viscosa, que es una zona muy próxima a la superficie donde los efectos de superficie disipan los núcleos vorticosos, e imponen una ralentización abrupta de la velocidad con respecto a los patrones típicos de flujo turbulento.

(3)

La transición entre los regimenes laminar y turbulento, para flujos cerrados o bien confinados a superficie libre como en los canales, ocurre para valores de Re comprendidos entre 2300 y 4000, mientras que para flujos abiertos sobre placa plana, la transición se inicia aproximadamente para Re y finaliza

aproximadamente para Re .

Fig.9.2_2

En la Fig.9.2_2, se observa una distribución típica de velocidad para capa límite laminar, la línea punteada, marca la separación difusa entre la zona considerada viscosa y la zona considerada invícida, o de flujo potencial, se considera el límite de la capa límite, esto no es un límite material ni una línea de corriente, de hecho, las líneas de corriente atraviesan esta frontera punteada que define la capa límite, (vectores u) .La línea de límite difuso se toma en el lugar geométrico donde u = 0.99 U.

9.3. Definición de espesor de la capa límite:

Del análisis anterior deducimos que desde el borde de contacto de la pared sólida del objeto hacia el exterior de un flujo desarrollado, hay una zona cuya distribución de velocidad está afectada por las tensiones de corte debidas a viscosidad, y porque el fluido se adhiere a la pared, lo que define la velocidad U = 0 sobre la misma y, a partir de ahí, aparece un gradiente de velocidad que se prolonga una cierta distancia δ que asintóticamente se aproxima hasta la velocidad de corriente libre y a partir de allí los valores de distribución son aproximadamente los que indica la teoría de flujo potencial, este gradiente de velocidad para capa límite laminar, dentro de la zona de espesor δ, es el que origina las tensiones de corte, que de acuerdo a la ecuación de Newton es:

[9.3.1]

La zona afectada por las tensiones de corte se denomina “capa límite”. El perfil de velocidades típico de una capa límite viene dado de acuerdo a la figura 9.3_1, en general cuando en lugar de una placa plana se trabaja con objetos suavemente curvados, se acostumbra trabajar con la coordenada intrínseca s que sigue la superficie del objeto y los espesores relativos n respecto a la normal a s en cada punto.

Fi.9.3_1

n

(4)

En referencia a la figura:

U = velocidad del flujo libre desarrollado lejos del objeto, en la posición de coordenada intrínseca s. u = velocidad en proximidad del objeto, variable desde cero a 0.99 U.

= espesor de la capa límite

Por definición, el espesor de la capa límite, se define como

, [9.3.2]

es decir, la distancia desde la superficie, determina aproximadamente dos zonas de límite difuso: la capa límite por debajo de la línea de puntos, y el flujo abierto o desarrollado por encima de la línea.

Observe que se ha denominado la velocidad libre con la letra U, en el caso particular de los flujos abiertos y para placa plana, esta velocidad coincide con , sin embargo cuando consideramos flujos cerrados o cuerpos con superficies no planas en flujo externo, la velocidad de corriente libre U puede ser distinta de mayor o menor , por ejemplo dentro de un conducto convergente o divergente, la velocidad será diferente respecto a la de entrada, mayor o menor que ella, por eso en las formulaciones de capa límite se usa U en lugar de .

El flujo en la capa límite para objetos no planos o curvilíneos, está además influenciado por el gradiente de presiones del flujo potencial ideal fuera de la capa, (Fig.9.3_2), el gradiente aumenta la cantidad de movimiento si la velocidad aumenta y la presión disminuye corriente abajo, y recíprocamente, disminuye su cantidad de movimiento si la velocidad disminuye y la presión aumenta corriente abajo (gradiente de presiones adverso) estas transiciones se producen antes o después del punto del vértice o el hombro de los objetos curvilíneos inmersos en una corriente, e influyen en el espesor δ. Sin embargo una placa plana como dijimos, no se producen estos efectos por gradiente de presión.

Fig.9.3_2

En la figura se observa también, que para contornos curvilíneos hay un punto D, en el cual los gradientes adversos de presión van inclinando hacia la vertical la distribución de velocidad y se produce un punto de inflexión donde el gradiente [∂u / ∂y] = 0, en este punto los sentidos de la velocidad se invierten y se considera que comienza la separación.

La curva de distribución de velocidad dada en la figura 9.3_1 es una aproximación teórica que hace concordar los resultados de los cálculos aproximadamente con los valores experimentales. El número de Re para una placa plana o un objeto suavemente curvilíneo variará localmente con la distancia x tomada desde el borde de la placa o bien por el arco o coordenada intrínseca s tomada desde el punto de estancamiento de proa para el objeto curvilíneo.

(5)

De un punto a otro según s y antes de la separación si ocurre, el espesor de la capa límite varía, pero la curva en las distintas verticales a la superficie es de la misma familia (normalmente un polinomio cúbico para los fluidos típicos) y responde a los mismos parámetros como veremos más adelante.

Otra forma de indicar el espesor de la capa límite aparte de la fórmula [9.3.2], es por el denominado espesor de desplazamiento, y puede consultarse este tema en el final de este módulo en Notas de Aplicación.

9.4- Aplicación de la teoría de cantidad de movimiento lineal a la capa límite laminar en placa plana.: La figura siguiente 9.4_1 representa un volumen de control ABCD, tomado alrededor del inicio de una capa límite de placa plana que comprende el fluido por encima de la placa., desde una posición adelantada al borde de la misma. La placa plana teórica tiene un borde afilado donde el flujo se detiene que es el punto de estancamiento y se considera de extensión infinita en la dirección de x positivo.

Fig.9.4_1

La placa se extiende desde 0 en la dirección x positiva, pero el volumen de control se toma de acuerdo a la figura desde una región de flujo libre hasta una posición genérica x = a.

En las figuras anteriores, los espesores de las capas límites dibujadas están muy exageradas según y para fines didácticos, siendo los espesores reales en particular para aire de unas pocas décimas de milímetro. Al aplicar la ecuación de cantidad de movimiento será:

(

)

S VC VC SC

D P

F

f dv

V dv

V V n dA

Dt

t

ρ

→ → →

_∂

→ → → →

=

+

=

+

∂

∫



[9.4.1]

en primera aproximación podemos despreciar las fuerzas másicas dentro del volumen de control por tratarse de volúmenes muy pequeños y también consideramos flujo permanente, por lo cual la anterior queda:

(

)

S SC

D P

F

V V n dA

Dt

ρ

→ → → → →

=

∫

_

[9.4.1b]

Las fuerzas superficiales se componen de las fuerzas de presión sobre los lados AB y CD que se anulan mutuamente por tratarse de un flujo abierto permanente a la presión atmosférica, y de las fuerzas viscosas o peliculares de dirección x, si el volumen de control pasa por afuera de la placa, las fuerzas viscosas están resumidas en la fuerza que la placa ejerce para mantener el equilibrio del volumen de control que llamamos como componente Fx.

(6)

Por otra parte, las integrales del segundo miembro sobre las superficies del v de c ABCD son :

2 2

(

)

0

0 h

h

F

_x

= −

ρ

∫

U dy

+

ρ

∫

U U

−

u dy

+

ρ

∫

u dy

[9.4.2]

La primeraintegral es la cantidad de movimiento en dirección x que entra por AB su signo es negativo porque el sentido del vector

n

→ es hacia la normal exterior de AB, y forma 180º con la dirección del vector velocidad dando un valor (-1) para los signos del producto escalar.

La tercera integral es la cantidad de movimiento en dirección x que sale del volumen de control por su lado

CD, la velocidad u es una función de la posición y que es la distribución de velocidades dentro de la capa

límite, su signo es positivo porque ahora la normal a la superficie CD es coincidente con el sentido del vector velocidad.

La segunda integral es la cantidad de movimiento en dirección x que sale por BC; aquí hay una diferencia entre el flujo másico que entra por AB del que sale por BC, y esta diferencia en masa

ρ

(

U

−

u dy

)

.

(unidad de profundidad) , solamente puede salir del volumen de control por BC, ya que por abajo tenemos la placa plana, y se incorpora al flujo a la velocidad de la corriente libre U , de donde obtenemos el valor indicado en la integral. Operando en [9.4.2] queda:

2

2 (

)

(

)

0

0 h

h

F

x

=

ρ

∫

−

U

+

U

−

uU

+

u

dy

= −

ρ

∫

u U

−

u dy

la fuerza activa que el flujo ejerce sobre la placa en la dirección del flujo entre la posición o y a ,es igual y opuesta a la fuerza reactiva para mantener quieto al volumen de control, también denominada fuerza de arrastre, que en este caso solamente tiene componente viscosa.

(

)

0 h

R

_oa

=

ρ

∫

u U

−

u dy

Aquí se aplica el concepto de relatividad del movimiento, es decir podemos considerar que la placa está quieta en una corriente libre que avanza desde la derecha con una velocidad U, o bien que la placa se mueve con la misma velocidad hacia la izquierda en una corriente quieta.

Como la resistencia por unidad de ancho en profundidad, puede expresarse como una tensión multiplicada por una área, queda para un tramo genérico desde el origen a una posición x :

( ) 1

0 a

R x =

∫

τ

_oxdx⋅ por lo que podemos expresar:

dx x dR ox dx x dR( )=

τ

0 →

τ

= ( ) Reemplazando: 0

(

)

h

d

u U

u dy

ox

_dx

τ

=

ρ

∫

−

[9.4.3]

(7)

La distribución de velocidades para hacer la integración u= f( y) debe cumplir las condiciones de borde siguientes:

u = 0 en y = 0; u =U en y =

δ

; llamando

δ

η

= ; y

el perfil de velocidades puede expresarse como: )

( y

f Uu =

Con el cambio de variable:

δ

η

= y será: ) (η f Uu =

El Profesor Von Karman estableció soluciones aproximadas de las ecuaciones anteriores buscando una función genérica para el perfil de velocidad en una posición dada de la placa plana, que también puede considerarse válida para superficies de poca curvatura, de manera que esta función pudiera cumplir con las restricciones geométricas impuestas en forma general por las Ecuaciones de Navier Stokes.:

si 0 0 si si = 0

2

si = 0 0 (la función posee un mínimo en y = 0) 2 u y u U y u y y u y y δ δ = → = = → ≅ ∂ _→ ₌ ∂ ∂ _{→ =} ∂

la aproximación teórica1 de la distribución de velocidad dentro de la capa, se toma a través de una función de polinomio cúbico siguiente que con los valores adecuados de los factores cumple con las condiciones anteriores:

2 3

u

a b y c y d y

U = + + +

Los valores de los coeficientes a,b,c,d, son funciones del espesor de la capa en cada posición x , o sea δ(x) cumpliendo con: 0 3 2 0 1 3 2 a b c d δ δ = = = − = llamando

η

y

δ

=

queda para la función de vinculación:

(8)

(versión preliminar) y para 1 ) ( y 0 para 3 2 1 2 3 ) ( δ η δ η η η ≥ = ≤ ≤ − = f f _[9.4.4]

Esta función de vínculo satisface las condiciones de contorno anteriormente indicadas. Entonces, a partir de:

0

(

)

0 h

d

u U

u dy

dx

τ

=

ρ

∫

−

como:

δ

η

δ

η

= y → d =dy siendo además:

δ

=0,99 h=0,99 h

o bien:

δ

d

η

= dy; reemplazando, multiplicando y dividiendo por

U

2

, lo anterior queda:

2 0 1 2 1 2 0 2 0 0

(

)

0 (

)

(1

)

h

d

uU

u dy

dx

d

uU

d

u u

U

u d

U

d

dx

U

dx

U U

τ

ρ

δ

τ

ρ

η ρ

η

=

−

=

−

=

−

∫

[9.4.5]

Reemplazando ahora la función 3 2 1 2 3 ) (

η

= =

η

−

η

U u f queda: 1 3 3 2 2 0 0

3

3 (1

) (

)

0,139

2

2 d

d

U

d

U

dx

δ

η

δ

τ

=

ρ

_∫

−

η

+

η

−

η

=

ρ

[9.4.6]

En la pared es, como ( ) ( ) ( )( ) ( )[1]

δ

η

d f d U dy d d f d U dy du f U u f U u ₌ _→ ₌ _→ ₌ ₌ ] [ 2 3 ) 2 2 3 ( ) ( ) ( 3 0 0

µ

_δ

η

δ

µ

η

δ

µ

τ

U f U U dy du y = − ∂ ∂ = ∂ ∂ = = = [9.4.7]

Igualando las expresiones de τ0 queda:

U dx d dx d U U

ρ

µ

δ

ρ

δ

µ

[ ] 0,139 [ ] 10,78 2 3 ₌ 2 _→ ₌

(9)

(versión preliminar) C x U + =

ν

δ

78 , 10 2 2 con

ρ

µ

ν

= (viscosidad. cinemática)

Para x = 0

δ

=0  C = 0 , dividiendo en ambos miembros por

x

2

x x U v x . 2 / 1 Re 65 . 4 Re 65 , 4 65 , 4 = → = − =

δ

[9.4.8]

que nos da el espesor de la capa límite en función de la posición, y la tensión sobre la placa la obtenemos reemplazando en [9.4.7], para algunos autores el factor en la ecuación puede ser (4.62, o 4.91).

x U ox x U x . 2 / 1 Re 32 . 0 322 , 0 3 0

τ

µ

ρ

µ

τ

= → = [9.4.9]

y la resistencia de arrastre por unidad de ancho de la placa :

L U dx D x R l 3 0 0 0,644

µ

ρ

τ

= = =

∫

[9.4.10]

Siendo L la longitud de la placa, habitualmente, el coeficiente de arrastre CD se expresa en función de la

suma del coeficiente de resistencia pelicular o viscosa CV y del coeficiente de resistencia de las fuerzas de

presión o normales al objeto CP o sea: CD = CP +CV

Para una placa plana de espesor cero y ancho b, el CP es nulo como vimos, por tanto queda:

b

L

U

C

D

=

D

⋅

2

ρ

con: Re 328 . 1 = D C siendo: µ ρ ν UL U ₌ = L Re ; b: ancho de la placa.

Cuando el número Re alcanza un valor del orden de 5 x 10 5 < Re < 1 x 10 6, la capa límite en placa plana

inicia la transición laminar - turbulenta, pero podemos decir que a partir de Re≥3.107 la capa límite es netamente turbulenta. Esto se indica en la Fig. 9.4_2 para una placa plana, en la que se representa el CD en

ordenadas en función del nº Re. en abscisas.

Observe que las curvas se han representado llenas y los rangos se superponen, esto se debe a que el número crítico de Re en el cual se establecen las transiciones depende también de la rugosidad de la placa y de la forma del borde de ataque de la placa y de ruido ambiental o vibración, asimismo para placa plana la región laminar es normalmente muy corta para los rangos usuales de velocidades con aire o con agua, por lo cual un cálculo aproximado de la resistencia viscosa puede hacerse considerando toda la placa en flujo turbulento o de transición.

(10)

Fig.9.4_2

La transición finaliza donde la curva de transición se conecta con la línea que define la pendiente turbulenta, en la abscisa de Re ≈ 3.107 (no visible en la gráfica), y se dan las ecuaciones teóricas que manejan el valor del coeficiente de arrastre

C

D que para capa límite en placa plana solamente tiene una componente de

fricción viscosa, para cada uno de los rangos, ya que no hay variaciones naturales de presión sobre la placa: capa límite laminar:

1.328 1 / 2 Re

CD =

capa límite de transición:

0.074 1700

1 / 5 _Re

Re

CD = −

capa límite turbulenta: 0.074

1 / 5 Re

CD =

9.5.- Capa límite turbulenta:

La ecuación de la cantidad de movimiento puede usarse para determinar el crecimiento de la capa límite turbulenta y la tensión de corte, de manera análoga a lo ya hecho para capa límite laminar, la base que se sigue es usar la fórmula de distribución de velocidad típica para flujo turbulento dentro de tuberías, que es:

0 7 1 / ( ) ( ) mx u y u = r con: r₀ =D/2

y ensayar la fórmula para

f y

( )

u

( )

y

1 / 7

U

δ

η

=

(11)

(versión preliminar) 1 2 1/7 1/7 2 0

7 (1

)

72 d

d

U

dy

L

ox

x

dx

δ

τ

ρ

η η

ρ

δ

=

∫

−

=

[9.5.1]

Para capa límite laminar, al valor

τ

_ox

lo igualábamos con:

( ) 0 du ox _y dy

τ

=

µ

=

Para el caso turbulento, esta ley no es válida, por lo que la igualamos en este caso al valor empírico para la tensión en la pared embestida por un flujo turbulento:

2 0

1 / 4

0, 0228

U

(

)

U

ν

τ

ρ

δ

=

[9.5.2] igualando [9.5.1] y [9.5.2]: 1/ 4

1 / 4

0, 234 (

)

d

dx

U

ν

δ

=

Integrando suponiendo condiciones de flujo turbulento para toda la placa, o sea condiciones iniciales en

x = 0 ,

δ

=0 surge la distribución: ) x U ( Re con Re 0,37 ) ( 292 , 0 1/4 ₁_/₅ 4 / 1

υ

δ

ν

δ

= x → = x = U [9.5.3]

y para la tensión pelicular de resistencia, 5 / 1 ) ( 029 , 0 2 0 x U U

ν

ρ

τ

= [9.5.4]

y la resistencia al movimiento de la placa es:

1 2 1/5 2 5 0 1/5 0

9 0, 036

(

)

0, 036

valido para 5 10

Re 10

Re

U L

R

x

D

dx

U l

ν

ρ

τ

ρ

=

∫

=

⋅

<

[9.5.5]

y en función del coeficiente de Resistencia CD queda para la placa de largo L y ancho b::

5 / 1 Re 072 , 0 − = D C b L V C D x R = = D ⋅ 2 2

ρ

[9.5.6]

Aquí también el CD está compuesto solamente por la componente de fricción ya que estamos tratando con

(12)

Fig:9.5_1

La Fig. 9.5_1 da un comparativo entre los perfiles típicos adimensionalizados para capa límite laminar y turbulenta, se observa que para esta última las velocidades internas a la capa toman la asíntota más rápidamente que en el caso laminar, esto obedece como habíamos señalado, a un proceso de ecualización de velocidades fundamentado en el intercambio más intenso de la cantidad de movimiento para flujo turbulento. Las leyes de resistencia para placas vistas con las ecuaciones anteriores, dan lugar a la gráfica de la Fig.9.4_2 para la curva que representa en función de Re tanto para capa límite laminar como turbulenta, y el valor de Re de transición.

Notas Complementarias.

9.6.-Definición de espesor de desplazamiento.

Una definición útil para el procedimiento de resolución general del flujo en torno a objetos, es el de espesor de desplazamiento, que consiste en hacer un balance másico del flujo que pasa a través de una cota comprendida entre el objeto y la posición , llamada línea de desplazamiento, de manera que el flujo externo neto considerado “ideal” que embiste al objeto con un sobre espesor desplazado, sea igual al que pasa en la condición real cuando se incluye a la capa límite, de manera que podemos trabajar con el sistema desplazado y flujo ideal, a los efectos de conocer la distribución teórica de líneas de corriente sobre el objeto, su distribución de velocidades y presiones, y separadamente evaluar los aspectos de la capa límite en particular las tensiones debida a las fuerzas tangenciales, y el arrastre pelicular.

El desplazamiento lo denominamos con y lo medimos desde la superficie del objeto hacia el exterior, para flujos externos y recíprocamente para flujos internos.

(13)

esto significa que la igualdad de caudales volumétricos por unidad de profundidad daría:

0

_

V

u dy

U dy

δ

∞ ∞

=

∗

∫



Cambiando los límites de la segunda integral:

0 0

_

[

]

V

u dy

U dy

U

δ

∞ ∞

∗

=

∫

=

∫

−

→



entonces, despejando

δ

∗, queda:

0

[1

u

]

dy

U

δ

∗ =

∫

∞

−

[9.6.1]

En primera aproximación el límite superior, infinito de la integral, puede reemplazarse por el espesor de la capa límite sin cometer gran error, porque el valor de U en ese punto es 0.99 U, con lo cual quedará:

[1 ] 0 u dy U δ δ∗ ≅

∫

− [9.6.2]

Aplicando los resultados obtenidos anteriormente, el espesor de desplazamiento, puede ser evaluado para capa límite laminar y turbulenta dando como resultados:

1.72 Re

x

δ∗ =

laminar. [9.6.3]

1 / 7

0.020 x

[Re ]

_x

δ

∗ =

turbulento [9.6.4]

Rex representa el nº de Reynolds local.

Como puede verse en las ecuaciones anteriores, el espesor de desplazamiento no es constante y varía punto a punto con la posición, sin embargo, sus valores son aproximadamente 1/3 del espesor de la capa límite o sea muy bajos sobre todo en las zonas de capa límite laminar, una placa plana a los efectos de esta evaluación debería ser tratada como una especie de cuña de pendiente suave, como se indica en la Fig. 9.6_2..

Fig.9.6_2

0 0 0

_

(14)

Esta consideración variará ligeramente las condiciones del valor U para el flujo teórico, el pequeño incremento del valor de velocidad al avanzar sobre la cuña obedece a que debe cumplirse la ecuación de continuidad para un flujo ideal; en particular este efecto debe ser tenido en cuenta en los flujos cerrados como tubos Vénturi, o túneles aerodinámicos.

A diferencia de la capa límite el objeto mas su desplazamiento definen un nuevo objeto con un nuevo límite físico aplicable a una corriente de fluido ideal, en la cual la velocidad sobre la nueva superficie límite no es nula, como es lógico para un fluido ideal.

9.7.- Resumen de procedimiento con capa límite.

1.- Calcular el espesor de desplazamiento, definir la nueva geometría de la sección en 2D y resolver el flujo de acuerdo al procedimiento de flujo potencial, suponiendo que el flujo es invicido en primera aproximación. Si el objeto es complejo, como la parte sumergida de una embarcación, se tomaran cortes horizontales (por ejemplo modelos tipo proa de Fuhrmann, o sea Fuente superpuesta con flujo uniforme), y se analizarán estas superficies laterales como objetos independientes, resolviendo separadamente para los patrones de flujo. Siempre se podrá resolver con las técnicas de flujo potencial, un corte complejo con una superposición de modelos matemáticos simples, como fuentes y sumideros lineales distribuidos, o bien un objeto de revolución como un elipsoide o paraboloide de revolución, y aplicar los procedimientos de flujo potencial en 3D (flujos axil simétricos); con esto se resuelve la distribución de campo de velocidades y presiones aproximada.

2.-Suponemos que existe una capa límite delgada en torno al objeto, pero descartamos otros fenómenos como la separación de capa límite, si la separación existe los resultados serán válidos para la zona previa a la separación pero no posterior a ella. En algunos casos la línea de separación y el objeto base unidos puede considerarse como un nuevo objeto sólido a modelizar con patrones e flujo potencial simple.

3.-Independientemente, resolver las ecuaciones de capa límite en varios puntos, considerando las condiciones de borde, u = 0, v = 0, en y = 0, el origen de cordeadas debe ser ubicado en el borde del objeto, normalmente en los puntos de estagnación de proa y trabajar con una coordenada de posición intrínseca s sobre la línea curva del objeto, el punto de estagnación separa el objeto con dos líneas curvas una superior y otra inferior.

Tomar la condición de convergencia de la capa límite, u → U(x) para y → ∞ , el modelo de perfil de velocidades a utilizar en cada posición dependerá si el Re local correspondiente a flujo laminar o turbulento.

4.- Calcular la tensión de corte pelicular y obtener la fuerza que provengan de las tensiones tangenciales de la capa límite, de esta forma junto con la data de las tensiones normales obtenida a través del análisis de flujo potencial, se obtendrá la resultante teórica de fuerzas y momentos que la corriente ejerce sobre el objeto.2

10.- Resumen de Regímenes de Flujo.

Cuando nos referimos a regímenes de flujo conviene distinguir entre número de Reynolds Local y número de Reynolds Global, cuando el número se mide aplicando como longitud característica la distancia desde el borde de ataque medido sobre una coordenada intrínseca (o sea según el largo de la superficie) por ejemplo en placas planas o con propósitos de calculo para capas límites, estamos definiendo nº de Re Local, por otra parte cuando se toma como longitud característica otra distancia representativa (como un diámetro o la cuerda de un perfil) tratamos con el nº de Re Global, es el caso de los Flujos externos e internos.

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El cuadro siguiente da una idea general de estos regímenes según el caso, las líneas verticales de frontera no son por supuesto valores absolutos, y es más real considerarlas como líneas difusas; los valores varían con frecuencia dependiendo de la forma de como se realice el ensayo, y puede variar con la rugosidad, el nivel de vibración ambiental, etc.