Guía didáctica: Álgebra Curso de Extensión

NÚCLEO UNIVERSITARIO “ALBERTO ADRIANI”

Guía didáctica: Álgebra

Curso de Extensión

PARTE E SESIONES 17 - 19

Derechos reservados. Prohibida la reproducción parcial o total por cualquier medio, de este documento sin autorización del autor Contenidos desarrollados por: Francísco Carrera, José Luis García.

MATERIAL EN REVISIÓN

NÚCLEO UNIVERSITARIO “ALBERTO ADRIANI”

CURSO DE EXTENSIÓN

ÁLGEBRA

MODALIDAD: NO PRESENCIAL DURACIÓN: 5 SEMANAS

FACILITADORES

MARTES – MIÉRCOLES – JUEVES

Horario: 8:30 A.M. – 11:30 A.M.

2:00 P.M. – 5:00 P.M.

CONSULTAS

SEMANA 1: 05/11/2007 al 09/11/2007 SESIONES 1 - 4

SEMANA 2: 12/11/2007 al 16/11/2007 SESIONES 5 - 9

SEMANA 3: 19/11/2007 al 23/11/2007 SESIONES 10 - 13

SEMANA 4: 26/11/2007 al 30/11/2007 SESIONES 14 - 16

SEMANA 5: 03/12/2007 al 07/12/2007

SESIONES 17 - 19

Curso Básico de Nivelación en el área de Álgebra

Contenidos desarrollados por: Prof. Francisco Carrera Lic. José Luís García

Índice

Introducción……….. i

Objetivos……… ii

Estrategias……….. iv

Contenido Programático ………. vi

Tema 1 “Preliminares” Sesión 1: Preliminares ………. …..1

Problemas propuestos……… 22

Autoevaluación 1………... 24

Tema 2 “Operaciones notables” Sesión 2: Operaciones notables……….…. 26

Problemas propuestos……… 42

Autoevaluación 2………. 43

Sesión 3: Operaciones notables………..… 45

Problemas propuestos……… 53

Autoevaluación 3………

54

Sesión 4: Operaciones notables………..… 57

Problemas propuestos……… 66

Autoevaluación 4……… 67 Datos de Identificación

Ciclo: Introductorio Duración: 10 semanas Unidad Académica:

Correo electrónico:

Datos de Identificación

Profesores del área:

Tema 3 “Teorema del resto”

Sesión 5: Teorema del resto………….…… 69

Problemas propuestos………78

Autoevaluación 5 ………...79

Sesión 6: Teorema del resto………….…… 83

Problemas propuestos………91

Autoevaluación 6 ………...92

Tema 4 “Factorización” Sesión 7: Factorización ……….95

Problemas propuestos……….……107

Autoevaluación 7……….108

Sesión 8: Factorización ……….. 110

Problemas propuestos……….……

126

Autoevaluación 8……….

127

Sesión 9: Factorización ……….. 129

Problemas propuestos……….……

149

Autoevaluación 9……….

150

Tema 5 “Máximo común divisor y mínimo común múltiplo de polinomios” Sesión 10: Máximo común divisor y mínimo común múltiplo de polinomios …………152

Problemas propuestos……….……

182

Autoevaluación 10……… 183

Tema 6 “Expresiones racionales” Sesión 11: Expresiones racionales …..… 187

Problemas propuestos ……….….. 203

Autoevaluación 11………

205

Sesión 12: Expresiones racionales …..… 209

Problemas propuestos ……….….. 215

Autoevaluación 12………

217

Sesión 13: Expresiones racionales …..… 221

Problemas propuestos ……….….. 228

Autoevaluación 13………

230

Tema 7 “Ecuaciones” Sesión 14: Ecuaciones ………. …..… 234

Problemas propuestos ……….….. 250

Autoevaluación 14………

252

Sesión 15: Ecuaciones ………. …..… 256

Problemas propuestos ……….….. 263

Autoevaluación 15………

265

Tema 8 “Matrices, determinantes y sistema de

ecuaciones”

Sesión 16: Matrices, determinantes y sistema de ecuaciones ………...………..

268 Problemas propuestos ……….…. 280 Autoevaluación 16………..

282 Sesión 17: Matrices, determinantes y sistema de ecuaciones ………...………..

286 Problemas propuestos ……….…. 299 Autoevaluación 17………..

301 Sesión 18: Matrices, determinantes y sistema de ecuaciones ………...………...

305 Problemas propuestos ……….….. 310 Autoevaluación 18………..

312 Tema 9 “Números complejos”

Sesión 19: Números complejos………...

316

Problemas propuestos ……….….. 323

Autoevaluación 19………..

324

Introducción

Álgebra es el área de la matemática que estudia las cantidades en una forma abstracta, a través de símbolos, relacionándolas por medio de operaciones simbólicas que resumen operaciones aritméticas. Las asignaturas de las carreras de ingeniería requieren dominar con destreza dichas operaciones. Procurando cubrir esta necesidad, se ha elaborado el curso de nivelación en Álgebra, dirigido a estudiantes de nuevo ingreso de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Los Andes.

Esencialmente orientado a la apropiación de los conceptos básicos del Álgebra, el curso ofrece contenidos tales como: Operaciones Notables, Teorema del Resto, Factorización, Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo de Polinomios, Expresiones Racionales, Ecuaciones, Matrices, Determinantes y Sistemas de Ecuaciones. Así pues, se complementará la formación en el área, para lograr un nivel adecuado que facilite el proceso de enseñanza-aprendizaje de los estudiantes

Objetivos

Objetivo general

Capacitar al estudiante en la aplicación de las herramientas básicas del álgebra.

Objetivos específicos

Tema 1: Preliminares

Aplicar las propiedades de la potenciación, los productos y los cocientes notables en la solución de problemas.

Tema 2: Operaciones Notables

Resolver problemas relacionados con la división de polinomios.

Emplear los teoremas del resto y del factor.

Tema 3: Teorema del Resto

Resolver problemas utilizando todos los productos de dos o tres factores.

Tema 4: Factorización

Utilizar los conceptos de divisor, múltiplos, máximo y mínimo común.

Tema 5: Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo de Polinomios

Manejar expresiones racionales de todo tipo.

Tema 6: Expresiones Racionales

Resolver ecuaciones de primer grado.

Tema 7: Ecuaciones

Resolver ecuaciones de segundo grado con una incógnita.

Tema 8: Matrices, Determinantes y Sistema de Ecuaciones Discutir y resolver un sistema de ecuaciones lineales utilizando los principios básicos de matrices y determinantes y de hallar la inversa de una matriz.

Tema 9: Números Complejos

Reconocer y emplear los números complejos.

Estrategias

Realizar estudios a distancia es una tarea que requiere esfuerzo, voluntad y dedicación, pero que a su vez depara grandes satisfacciones, tanto de índole personal como profesional. Esta modalidad le permitirá.

1.- Estudiar a su propio ritmo y administrar su propio tiempo, en la comodidad de su domicilio.

2.- Disponer de Módulos Instruccionales Asistidos Por El Computador, M.I.A.C., que facilitan el proceso de enseñanza y aprendizaje.

Los Módulos Instruccionales Asistidos Por El Computador, M.I.A.C.

están estructurados de la siguiente manera dentro del PLAN DEL CURSO:

− Temas: comprendidas por sesiones de clases teóricas, las cuales abarcan todos los contenidos del curso.

− Sesiones: conformadas por temas que deben leerse, para ser analizados e interpretados y por actividades que deben realizarse en un tiempo determinado.

− Objetivos específicos por cada tema: muestran de manera clara los aprendizajes que lograrán durante la interacción con cada sesión.

− Contenidos: a través de éstos se puede interactuar con los diferentes temas que comprende cada sesión.

− Actividades: se plantea de forma sencilla los pasos que deben seguirse para el logro de los objetivos de enseñanza y aprendizaje de cada sesión. Como estudiante podrás descargar y/o revisar los contenidos en formato PDF, repasar los temas más importantes (críticos) a través de clases interactivas, realizar ejercicios prácticos y, al finalizar, podrás realizar una autoevaluación, la que te permitirá determinar el nivel de aprendizaje obtenido en cada sesión.

− Recursos: contienen los enlaces a páginas recomendadas por el autor, ejercicios propuestos y resueltos, bibliografía y vocabulario empleado.

− Autoevaluaciones: contiene un enlace, al que se accede después de finalizar las actividades de cada tema. Esta la realizarás cuando te sientas preparado para presentar la evaluación final.

− Respuestas a las autoevaluaciones: al final de cada tema se encuentran las respuestas a las autoevaluaciones.

− Respuestas a los ejercicios propuestos: al final de cada tema se encuentran las respuestas a los ejercicios propuestos.

Recomendaciones generales para cursar esta asignatura:

- Realizar todas las actividades propuestas en cada sesión

- Realizar dos sesiones semanales como mínimo durante el transcurso de 10 semanas.

- Leer pausadamente cada sesión de clase.

- Realizar cuidadosamente los ejercicios resueltos y propuestos y verificar las soluciones a los mismos, cuyas respuestas se encuentran al final de cada tema.

- Es indispensable realizar las autoevaluaciones de cada sesión con la finalidad de verificar individualmente el aprendizaje logrado en cada sesión de clases.

- No ver los resultados de las autoevaluaciones que se encuentran al final de la unidad, antes de realizar las mismas.

- Es importante consultar a través del correo electrónico [email protected] cualquier duda de los temas expuestos.

Tema 8: Matrices, Determinantes y Sistema de Ecuaciones Sesión 17

Objetivos específicos

*

Aplicar las propiedades de identificación de clase, operaciones de suma de producto, analizar y resolver un sistema de ecuaciones lineales.

Actividades

*

Leer el contenido de la sesión 17 sobre

“Determinantes”

*

Visitar las páginas recomendadas

*

Realizar ejercicios resueltos

*

Realizar la autoevaluación propuesta al final de la sesión

Recursos

*

Contenido de la sesión 17: “Determinantes”

*

Páginas Web recomendadas

*

La autoevaluación de la sesión 17

Determinantes

Asociado con cada matriz cuadrada A, de dimensión n × n, hay un número que llamamos determinante de A y que denotaremos por

|A|, el cual tendrá dimensión igual a "n".

Tendremos que:

A = |A| =

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

33 32 31

23 22 21

13 12 11

a a a

a a a

a a a

33 32 31

23 22 21

13 12 11

a a a

a a a

a a a

Matriz … Determinante

Dada la matriz A de dimensión n × n, entonces diremos que la dimensión u orden del determinante |A| es “n”.

Para calcular el número asociado a cada matriz que llamamos determinante, debemos tener en cuenta la dimensión de la matriz.

Para una matriz de un sólo elemento, es decir, de dimensión 1 × 1, A = [a11] definimos el |A| = a11.

1. Determinante de segundo orden

Cuando la matriz A = _⎥ tendremos la siguiente definición

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

22 21

12 11

a a

a a

para el determinante:

|A| =

22 21

12 11

a a

a

a = a11 a22 − a12 a21 (1)

Ejemplo 8.13

Hallar el determinante de las matrices A = _⎥ y B =

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡−

1 2

3

1 ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ − 4 5

2 3

Aplicando la fórmula (1), tendremos que:

|A| = 1 2

3 1

− = (−1)(1) − (3)(2) = −7

|B| = 4 5

2

3 − = (3)(4) − (−2)(5) = 22

2. Determinante de tercer orden

Para una matriz A de dimensión 3 x 3, el determinante de tercer orden (|A|) se calcula aplicando la Regla de Sarrús. Esta regla podemos verla como resultado de ampliar la matriz A, aunque originalmente no fue esta la justificación, con las dos primeras columnas de dicha matriz y luego se suman el producto de los

términos de las diagonales principales y se restan el producto de los términos de las diagonales secundarias.

Dada A = , entonces la matriz ampliada es:

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

33 32 31

23 22 21

13 12 11

a a a

a a a

a a a

B =

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

32 31

22 21

12 11

33 32 31

23 22 21

13 12 11

a a

a a

a a

a a a

a a a

a a a

El producto de las diagonales principales es:

Primera diagonal = a11 a22 a33 Segunda diagonal = a12 a23 a31 Tercera diagonal = a13 a21 a32

Producto de las diagonales = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32

El producto de las diagonales secundarias es:

Primera diagonal = a13 a22 a31 Segunda diagonal = a11 a23 a32 Tercera diagonal = a12 a21 a33

Producto de las diagonales = a13 a22 a31 + a11 a23 a32 + a12 a21 a33

Si ahora restamos el primer producto del segundo producto, tendremos la fórmula para calcular el determinante de tercer orden:

|A| =

33 32 31

23 22 21

13 12 11

a a a

a a a

a a a

= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − (a13 a22 a31 + a11 a23 a32 + a12 a21 a33)

Ejemplo 8.14

Hallar el determinante de A =

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

− 1 1 2

1 0 2

1 1 3

Aplicando la Regla de Sarrús, tendremos que:

|A| =

1 1 2

1 0 2

1 1 3

−

−

= (3)(0)(−1) + (−1)(1)(2) + (1)(2)(1) − {(1)(0)(2) + (3)(1)(1) + (−1)(2)(−1)

= 0 − 2 + 2 − {0 + 3 + 2} = 0 − 5 = −5

3. Determinante de orden superior

Para una matriz A de dimensión n x n, superior a 3 x 3, el determinante de dicha matriz (|A|) se calcula aplicando el método de eliminación de Gauss-Jordan. Este método se utiliza par la resolución de sistemas de ecuaciones, sin embargo por extensión es aplicable a la solución de determinantes, para ello habrá que tener presente las propiedades que tienen los determinantes.

3.1. Propiedades de los determinantes

Las propiedades que daremos a continuación son aplicables para los determinantes de una matriz cuadrada de cualquier orden. En los casos en que se realice alguna transformación en la matriz original, si el determinante de la matriz resultante no varia, entonces diremos que ambas matrices son equivalentes.

1. Si se multiplican todos los elementos de una fila (ó columna) por un escalar c, entonces el valor del determinante queda multiplicado por c.

2. Si todos los elementos de una fila (ó columna) tienen un factor común, entonces éste se puede sacar fuera del determinante.

Ejemplo 8.15

Sea la matriz A = . Si multiplicamos los elementos de la

última fila por 3, tendremos la matriz B =

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

− 2 1 2

1 2 6

1 1 4

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

− 6 3 6

1 2 6

1 1 4

Podemos ahora comprobar que:

|A| = −16 + 2 + 6 − (4 − 4 + 12) = −20

|B| = −48 + 6 + 18 − (12 − 12 + 36) = −60

|B| = (3) |A|

Similarmente, vemos que la primera columna tiene 2 como factor común, entonces:

C =

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

− 2 1 1

1 2 3

1 1 2

Ahora comprobamos que:

|C| = −8 + 1 + 3 − (2 − 2 + 6) = −10 y

|A| = (2) |C|

3. Si todos los elementos de una fila (ó columna) son cero, entonces el determinante es nulo.

4. Si una matriz tiene dos filas (ó columnas) iguales o proporcionales, entonces el determinante es nulo.

Ejemplo 8.16

Sea la matriz A = . Vemos que la segunda fila es proporcional a la primera entonces |A| = 6 − (6) = 0.

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ 6 2

3 1

5. Cuando se intercambian dos filas (ó columnas), entonces el determinante cambia de signo.

Ejemplo 8.17

Sea la matriz A = . Si formamos la matriz, entonces:

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

4 1 1

2 2 0

1 3 1

B =

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

2 2 0

4 1 1

1 3 1

|A| = −8 + 6 + 0 − (2 + 2 + 0) = −6

|B| = 2 + 0 + 2 − (0 − 8 + 6) = 6

6. Si una de las filas (ó columnas) es linealmente dependiente, entonces el determinante es nulo.

Ejemplo 8.18

Sea la matriz A = . Podemos ver que la tercera fila es

linealmente dependiente de las otras dos, ya que es combinación lineal de la primera y segunda fila, es decir, f3 = f1 + f2 .

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

− 1 5 1

3 2 2

2 3 1

Entonces:

|A| = 2 − 9 + 20 − (4 − 6 + 15) = 0

7. Si una de las filas (ó columnas) se forma al sumar un múltiplo de una fila (ó columna) con otra fila (ó columna), entonces el

determinante no varía.

Ejemplo 8.19

Sea la matriz A =

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

− 3 4 2

1 4 3

2 3 1

Si ahora formamos una nueva matriz B, en donde la tercera fila f3 de esta matriz la formamos multiplicando la primera fila de A por (−2) y sumando la tercera fila de A.

Así,

B =

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

− 1 2 0

1 4 3

2 3 1

Ahora,

|A| = −12 − 6 + 24 − (−16 − 4 + 27) = −1

|B| = 4 + 0 − 12 − (0 + 2 − 9) = −1

8. Para una matriz triangular el determinante es el producto de los elementos de la diagonal.

Ejemplo 8.20

Sea la matriz triangular A =

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

3 0 0

4 2 0

2 3 5

El producto de los elementos de la diagonal es (−5)(2)(3) = −30.

Ahora si calculamos el determinante por el método tradicional, tendremos:

|A| = −30 + 0 + 0 − (0 + 0 + 0) = −30

3.2. Método de eliminación de Gauss-Jordan

El método consiste en transformar la matriz original en una matriz triangular superior. El proceso también se conoce como el escalonamiento de la matriz. La forma de aplicación del método la ilustraremos con una matriz 3 x 3, en el ejemplo siguiente:

Ejemplo 8.21

Sea la matriz triangular A =

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

− 5 0 2

2 4 3

2 3 1

Las bases para aplicar este método girar alrededor de las propiedades de los determinantes, principalmente las 5, 7 y 8.

Dado que la idea es formar una matriz triangular superior, comenzamos por buscar la combinación necesaria para que el elemento de la posición a21 se convierta en 0.

a. Convertir en 0 la posición a21:

Para ello multiplicamos la primera fila por (−3) y luego se la sumamos a la segunda fila, así:

nf2 = (−3)f1 + f2

Luego la nueva fila dos es:

[0 −5 4]

b. Convertir en 0 la posición a31:

Para ello multiplicamos la primera fila por (2) y luego se la sumamos a la tercera fila, así:

nf3 = (2)f1 + f3

Luego la nueva fila tres es:

[0 6 1]

De esta forma la matriz original A se convierte en la matriz A1

A1 =

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

− 1 6 0

4 5 0

2 3 1

Y continuamos el procedimiento de escalonamiento de la matriz, para ello buscamos colocar 0 en la posición a32.

Siguiendo con el procedimiento anterior buscamos colocar 0 en la posición a₃₂.

c. Convertir en 0 la posición a32:

Para ello multiplicamos la segunda fila de la matriz A1 por ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ 5 6 y

luego se la sumamos a la tercera fila, así:

nf3 = ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ 5

6 f2 + f3

Luego la nueva fila tres es:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

5 0 29 0

De esta forma la matriz original A se convierte en la matriz A2

A2 =

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

−

−

295 0 0

4 5 0

2 3 1

Ahora utilizando la propiedad 8 de los determinantes, tendremos que:

|A| = | A2| = (1) (−5) (29 / 5) = −29

Si observamos la matriz original:

A = entonces, el determinante calculado mediante la

Regla de Sarrús es:

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

− 5 0 2

2 4 3

2 3 1

|A| = 20 + 12 + 0 − (16 + 45 + 0) = −29

Lo cual confirma el método de eliminación de Gauss-Jordan.

Ejemplo 8.22

Sea la matriz A =

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

2 1 1 3

1 3 3 1

2 1 2 2

3 2 1 1

Ahora aplicaremos el método de eliminación de Gauss-Jordan en una forma mucho más práctica, colocando entre cada una de las matrices la transformación realizada.

Así:

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

2 1 1 3

1 3 3 1

2 1 2 2

3 2 1 1

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ +

−2f1 f2

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

2 1 1 3

1 3 3 1

8 3 4 0

3 2 1 1

⎯

⎯

⎯

⎯

⎯ →

⎯−f1 + f3

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

2 1 1 3

4 1 4 0

8 3 4 0

3 2 1 1

⎯

⎯

⎯

⎯

⎯

⎯ →

⎯−3f1 + f4

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

11 7 4 0

4 1 4 0

8 3 4 0

3 2 1 1

⎯

⎯

⎯

⎯

⎯ →

⎯−f2 + f3

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

−

11 7 4 0

4 4 0 0

8 3 4 0

3 2 1 1

⎯

⎯

⎯

⎯

⎯ →

⎯−f2 + f4

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

−

3 4 0 0

4 4 0 0

8 3 4 0

3 2 1 1

⎯

⎯

⎯

⎯ →

⎯f3 + 4f

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

−

1 0 0 0

4 4 0 0

8 3 4 0

3 2 1 1

Así, la matriz resultante es equivalente a la matriz original A y sus determinantes son iguales según la propiedad 7 de los determinantes, así |A| = −16.

Tema 8: Matrices, Determinantes y Sistema de Ecuaciones Sesión 17: Ejercicios Resueltos

Ejercicios: Resolución por determinantes Resolver por determinantes:

1.

7 z y 2 x 2

13 z 3 y x

11 z y x

=

− +

= +

−

= + +

Solución:

Hallemos el valor del determinante del sistema (aplicando la regla de Sarrus):

1 1 1

1 -1 3

2 2 -1 ⇔

1 1 1

1 -1 3

{

(1)( 1)(2) (3)(2)(1) ( 1)(1)(1)

}

) 3 )(

1 ( 2 ) 1 )(

2 )(

1 ( ) 1 )(

1 )(

1

( − − + + − − + + −

{

2 6 1

}

9 3 6 6

2

1+ + − − + − = − =

=

Hallemos el valor del numerador de la fracción de la x, aplicando la regla de Sarrus:

11 1 1

13 -1 3

7 2 -1 ⇔

11 1 1

13 -1 3

{

^{(1)( 1)(7) (3)(2)(11) ( 1)(1)(13)}

}

) 3 )(

1 ( 7 ) 1 )(

2 ( 13 ) 1 )(

1 (

11− − + + − − + + −

{

7 66 13

}

58 46 12 21

26

11+ + − − + − = − =

=

6 2 12

1 2 2

3 1 1

1 1 1

1 2 7

3 1 13

1 1 11

x = =

−

−

−

−

=

Hallemos el valor del numerador de la fracción de la y, aplicando la regla de Sarrus:

1 11 1

1 13 3

2 7 -1 ⇔

1 11 1

1 13 3

{

^{(1)(13)(2) (3)(7)(1) ( 1)(11)(1)}

}

) 3 )(

11 ( 2 ) 1 )(

7 )(

1 ( ) 1 )(

13 )(

1

( − + + − + + −

{

^{26 21 11}

}

^{60 36 24}

66 7

13+ + − + − = − =

−

=

6 4 24

1 2 2

3 1 1

1 1 1

1 7 2

3 13 1

1 11 1

y = =

−

−

= −

Hallemos el valor del numerador de la fracción de la z, aplicando la regla de Sarrus:

1 1 11

1 -1 13

2 2 7 ⇔

1 1 11

1 -1 13

{

11( 1)(2) 13(2)(1) 7(1)(1)

}

) 13 )(

1 ( 2 ) 11 )(

2 )(

1 ( ) 7 )(

1 )(

1

( − + + − − + +

{

^{22 26 7}

}

^{41 11 30}

26 22

7+ + − − + + = − =

−

=

6 5 30

1 2 2

3 1 1

1 1 1

7 2 2

13 1 1

11 1 1

z = =

−

−

−

=

Respuesta 5 z

4 y

2 x

=

=

=

2.

7 y 3 x 2

6 y 2 x

3 z y x

= +

= +

= + +

Solución:

Hallemos el valor del determinante del sistema (aplicando la regla Sarrus):

1 1 1 1 2 0

2 3 0 ⇔

1 1 1

1 2 0

{

(1)(2)(6) (0)(3)(3) (0)(1)(6)

}

) 0 )(

1 ( 2 ) 1 )(

3 )(

1 ( ) 0 )(

2 )(

1

( + + − + +

{

12 0 0

}

18 12 6 0

18 0+

= + − + + = − =

Hallemos el valor del numerador de la fracción de la x, aplicando la regla de Sarrus:

3 1 1

6 2 0

6 3 0 ⇔

3 1 1

6 2 0

{

^{(1)(2)(6) (0)(3)(3) (0)(1)(6)}

}

) 0 )(

1 ( 6 ) 1 )(

3 ( 6 ) 0 )(

2 (

3 + + − + +

{

^{12 0 0}

}

^{18 12 6}

0 18

0+ + − + + = − =

=

1 6 6

0 3 2

0 2 1

1 1 1

0 3 6

0 2 6

1 1 3

x =−

=−

=

Hallemos el valor del numerador de la fracción de la y, aplicando la regla de Sarrus:

1 3 1

1 6 0

2 6 0 ⇔

1 3 1

1 6 0

{

(1)(6)(2) (0)(6)(1) (0)(3)(1)

}

) 0 )(

3 ( 2 ) 1 )(

6 )(

1 ( ) 0 )(

6 )(

1

( + + − + +

{

12 0 0

}

6 12 6 0

6

0+ + − + + = − =−

=

1 6 6

0 3 2

0 2 1

1 1 1

0 6 2

0 6 1

1 3 1

y =

−

= −

=

Hallemos el valor del numerador de la fracción de la z, aplicando la regla de Sarrus:

1 1 3 1 2 6

2 3 6 ⇔

1 1 3 1 2 6

{

^{3(2)(2) 6(3)(1) 6(1)(1)}

}

) 6 )(

1 ( 2 ) 3 )(

3 )(

1 ( ) 6 )(

2 )(

1

( + + − + +

{

12 18 6

}

33 36 3 12

9

12+ + − + + = − =−

1 3 3

0 3 2

0 2 1

1 1 1

6 3 2

6 2 1

3 1 1

z =

−

= −

=

Respuesta 3 z

6 y

6 x

=

=

=

3.

2 0 z 8 y 2 x

1 2 z y 6 x

4 1 z 4 y 3 x

=

−

−

=

− +

= +

−

Solución

Multipliquemos cada ecuación por su m.c.d., con el objeto de eliminar los denominadores:

12 z 3 y 3 x 4 4 12

z 4 y 3 12 x 4 1

z 4 y 3

x ⎟= ⇔ − + =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ − +

⇔

= +

−

6 z 6 y 3 x 6 2 z

y 6 6 x 1 2 z y 6

x ⎟= ⇔ + − =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + −

⇔

=

− +

0 z 4 y x 2 4 z 8 y 2 8 x 2 0

z 8 y 2

x ⎟⇔ − − =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ − −

⇔

=

−

−

Hallemos el valor determinante del sistema (aplicando la regla de Sarrus)

4 -3 3

1 3 -6

4 -1 -4 ⇔

4 -3 3

1 3 -6

{

3(3)(4) ( 6)( 1)(4) ( 4)( 3)(1)

}

) 6 )(

3 ( 4 ) 3 )(

1 ( 1 ) 4 )(

3 (

4 − + − + − − − + − − + − −

{

^{36 24 12}

}

^{21 72 51}

72 3

48− + − + + = − =−

−

=

Hallemos el valor del numerador de la fracción de la x, aplicando la regla de Sarrus:

12 -3 3

6 3 -6

0 -1 -4 ⇔

12 -3 3

6 3 -6

{

^{3(3)(0) ( 6)( 1)(12) ( 4)( 3)(6)}

}

) 6 )(

3 ( 0 ) 3 )(

1 ( 6 ) 4 )(

3 (

12 − + − + − − − + − − + − −

{

0 72 72

}

162 144 306 0

18

144− + − + + =− − =−

−

=

51 6 306

4 1 4

6 3 1

3 3 4

4 1 0

6 3 6

3 3 12

x =

−

= −

−

−

−

−

−

−

−

−

=

Hallemos el valor del numerador de la fracción de la y, aplicando la regla de Sarrus:

4 12 3

1 6 -6

4 0 -4 ⇔

4 12 3

1 6 -6

{

^{3(6)(4) ( 6)(0)(4) ( 4)(12)(1)}

}

) 6 )(

12 ( 4 ) 3 )(

0 ( 10 ) 4 )(

6 (

4 − + + − − + − + −

{

72 0 48

}

384 24 408 288

0

96+ − − + − =− − =−

−

=

51 8 408

4 1 4

6 3 1

3 3 4

4 0 4

6 6 1

3 12 4

y =

−

= −

−

−

−

−

−

−

=

Hallemos el valor del numerador de la fracción de la z, aplicando la regla de Sarrus:

4 -3 12

1 3 6

4 -1 0 ⇔

4 -3 12

1 3 6

{

12(3)(4) 6( 1)(4) 0( 3)(1)

}

) 6 )(

3 ( 4 ) 12 )(

1 ( 1 ) 0 )(

3 (

4 + − + − − + − + −

{

^{144 24 0}

}

^{84 120 204}

72 12

0− − − − + =− − =−

=

51 4 204

4 1 4

6 3 1

3 3 4

0 1 4

6 3 1

12 3 4

z =

−

= −

−

−

−

−

−

−

=

Respuesta 4 z

8 y

6 x

=

=

=

Tema 8: Matrices, Determinantes y Sistema de Ecuaciones Sesión 17: Ejercicios Propuestos

1. Dadas las matrices A, B, C, D, realizar las siguientes operaciones:

a) A − 2B b) 2C − D c) AB − CD^t d) (B − 2A)D

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ −

= 4 5 3

A 2 , _⎥ , ,

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

−

= −

3 5

0

B 2 ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

−

= −

1 7 4

0 2

C 3 ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

−

= −

1 2 0

3 2 D 1

2. Calcular cada uno de los siguientes determinantes:

a) 11 5 4 3

−

−

b)

3 4 1

5 3 4

0 3 2

−

−

−

c)

1 1 6

5 2 0

4 8 3

−

−

−

−

3. Calcular cada uno de los siguientes determinantes:

a) 2x 1

7 x

4

2 = −

−

b) 3x

3 5 1

4 3 2

x 0 x 2

−

=

−

−

c) 0

5 x 1

2 1 1

7 3 x

=

4. Calcular cada uno de los siguientes determinantes:

a)

1 1 1 3

1 3 2 1

0 1 2 2

3 0 1 1

−

−

−

−

−

−

b)

1 0 1 0 3

0 4 3 2 1

1 0 0 1 1

4 1 2 1 0

3 0 1 1 2

−

−

−

−

−

−

−

5. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:

a)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

= +

=

−

= +

3 z 3 y

6 z x 2

2 y x

b)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

= +

=

−

=

− +

1 z 4 y

2 z 3 x

1 z 2 y x

c) ⎪

⎩

⎪⎨

⎧

= +

=

−

= + +

0 z 2 y 3

0 y

x 2

0 z y x

el sistema del caso (c) se conoce como un sistema homogéneo, el cual siempre tiene la solución trivial x = 0, y = 0, z = 0, pero cuando es compatible indeterminado es posible determinar otra solución distinta a la trivial.

6. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:

a)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−

=

−

− +

=

− + +

= +

− +

= + + +

1 w 4 z 3 y x

2 w 3 z 2 y 2 x 2

8 w z 2 y 6 x 3

5 w z 5 y x 2

b)

⎪

7

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

= +

−

=

−

− +

−

=

−

−

− +

= + +

− +

0 v z

3 y

2 v 4 w 2 z 2 y 2 x 2

3 v 9 w 3 z 4 y 2 x 3

1 v 3 w z 2 y x

. Determinar para que valores de a, el sistema es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−

=

−

−

=

−

= +

− +

=

− +

1 w z 2 y

2 w 2 ax

0 w z y x

1 z ay x

Tema 8: Matrices, Determinantes y Sistema de Ecuaciones Sesión 17

Autoevaluación 17

Pregunta Nº 1

Aplicando la regla de Sarrús calcular el siguiente determinante

4 5

2 2 1 2

1 0 3

a. 66 b. 6 c. 62 d. 2

Pregunta Nº 2

Resolver la siguiente ecuación

3 2 3

2 x x

1 5 0

−

−

−

−

a. x −= 4

b. 4

x −5

=

c. 4

x = 5 d. x =2

Pregunta Nº 3

Calcular el valor del siguiente determinante

0 3 0 3

1 1 1 2

2 2 4 0

3 0 3 1

−

−

−

a. −12 b. 24 c. 48 d. 42

Pregunta Nº 4

Resolver la siguiente ecuación 34 6 2

x 5 x

4 =

− a. x=2

b. x −= 1 c. x −= 2 d. x =1

Pregunta Nº 5

Resolver la siguiente ecuación 3 1 1 1 x

0 1 x 0

0 1 0 3

2 1 1 x

−

=

−

a. x2 1 2 1 x

−

=

=

b. x2 1 2 1 x

=

−

=

c. x2 1 2 1 x

−

=

−

=

d. x2 1 2 1 x

=

=

Una vez contestadas las preguntas, puede ver respuestas al final de la Unidad. Si sus respuestas han sido correctas, continúe con la sesión siguiente, de lo contrario se le recomienda repasar la sesión antes de continuar.

Tema 8: Matrices, Determinantes y Sistemas de Ecuaciones Sesión 17

Respuestas de la Autoevaluación 17

Pregunta Nº 1

Aplicando la regla de Sarrús calcular el siguiente determinante

4 5

2 2 1 2

1 0 3

a. 66

b. 6 Correcto

c. 62 d. 2

Pregunta Nº 2

Resolver la siguiente ecuación

3 2 3

2 x x

1 5 0

−

−

−

−

a. x −= 4

b. 4

x = 5 Correcto

c. 4

x −5

= d. x =2

Pregunta Nº 3

Calcular el valor del siguiente determinante

0 3 0 3

1 1 1 2

2 2 4 0

3 0 3 1

−

−

−

a. −12 b. 24 c. 42

d. 48 Correcto

Pregunta Nº 4

Resolver la siguiente ecuación 34 6 2

x 5 x

4 =

− a. x=2

b. x −= 1 c. x −= 2

d. x =1 Correcto

Pregunta Nº 5

Resolver la siguiente ecuación 3 1 1 1 x

0 1 x 0

0 1 0 3

2 1 1 x

−

=

−

a. x2 1 2 1 x

−

=

=

b. x2 1 2 1 x

=

−

=

c. x2 1 2 1 x

=

= Correcto

d. x2 1 2 1 x

−

=

−

=

Tema 8: Matrices, Determinantes y Sistema de Ecuaciones Sesión 18

Objetivos específicos

*

Aplicar las propiedades de sistemas de ecuaciones, analizarlos, clasificarlos y resolverlos empleando los métodos de eliminación de Gauss Jordan.

Actividades

*

Leer el contenido de la sesión 18 sobre “Sistemas de Ecuaciones”

*

Visitar las páginas recomendadas

*

Realizar ejercicios resueltos

*

Realizar la autoevaluación propuesta al final de la sesión

Recursos

*

Contenido de la sesión 18: “Sistemas de Ecuaciones”

*

Páginas Web recomendadas

*

La autoevaluación de la sesión 18

Sistema de ecuaciones

Un conjunto formado por varias ecuaciones se llama un sistema de ecuaciones, y el objetivo del mismo es hallar las soluciones que satisfagan a cada una de las ecuaciones del conjunto. Para determinar que varias ecuaciones forman un sistema se las escribe unidas por una llave, por ejemplo:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= +

+

= +

+

= + +

3 33

32 31

2 23

22 21

1 13 12 11

b z a y a x a

b z a y a x a

b z a y a x a

(2)

1. Solución de un sistema de ecuaciones

La solución de un sistema de ecuaciones es el valor de las incógnitas que satisfacen simultáneamente a todas las ecuaciones que forman el sistema. En el proceso para resolver el sistema de ecuaciones es posible que encontremos que el sistema tiene una solución, varias soluciones o ninguna solución.

1.1. Clasificación de un sistema de ecuaciones

Según si el sistema tiene o no solución, lo podemos clasificar en:

a. Compatible cuando el sistema tiene solución:

• Determinado si la solución es única.

• Indeterminado si hay varias soluciones.

b. Incompatible cuando no hay una solución común al sistema.

Los métodos para resolver un sistema de ecuaciones son: reducción, sustitución, igualación, Regla de Cramer y Eliminación de Gauss- Jordan. Nosotros estudiaremos el Método de eliminación de Gauss- Jordan para sistemas de ecuaciones, que está relacionado con el proceso que vimos en la (sesión 17) para el cálculo del determinante de una matriz. Para revisar los otros métodos se puede consultar los autores [3].

1.2. Métodos de eliminación de Gauss-Jordan para sistema de ecuaciones

Este método está basado en la asociación de un sistema de ecuaciones con un sistema matricial, de esta forma el sistema (2) lo podemos rescribir como:

AX = B (3)

Qué será un sistema matricial, donde A es la matriz de los coeficientes, X es la matriz de las incógnitas y B la matriz de los

términos independientes.

Así:

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

33 32 31

23 22 21

13 12 11

a a a

a a a

a a a

A , ,

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

= z y x X

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

3 2 1

b b b B

Los pasos a seguir son los siguientes:

1. Formar una matriz ampliada anexándole a la matriz A la matriz B.

A1 = [A:B] =

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

3 33 32 31

2 23 22 21

1 13 12 11

b a a a

b a a a

b a a a

2. Escalonar la matriz ampliada A1.

A1 =

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

2 1

3 2 1

1 13 12 11

0 0 0

b a a a

β β

α α α

3. Hallar la solución del sistema resultante:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

= +

= + +

2 1

3 2 1

1 13 12 11

z z y

b z a y a x a

β β

α α α

Ejemplo 8.23

Sea el sistema

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= +

−

=

− +

= +

−

8 z 2 y x 4

4 z y 2 x 3

2 z y x

Para hallar la solución por el método de Gauss-Jordan, comenzamos formando la matriz ampliada:

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

8 2 1 4

4 1 2 3

2 1 1 1

Ahora escalonamos dicha matriz, utilizando el método de eliminación anterior, así:

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

8 2 1 4

4 1 2 3

2 1 1 1

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ +

−3f1 f2

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

8 2 1 4

2 4 5 0

2 1 1 1

⎯

⎯

⎯

⎯

⎯

⎯ →

⎯−4f1 + f3

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

0 2 3 0

2 4 5 0

2 1 1 1

⎯

⎯

⎯

⎯

⎯

⎯ →

⎯

+

− f2 f3 5

3 ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

5 6 5 2 0 0

2 4 5 0

2 1 1 1

Ahora, el sistema resultante es

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

−

=

−

= +

−

5 z 6 5

24z 2 y

5

2 z y x

De la tercera ecuación podemos descubrir que el valor de z = 3.

Luego, sustituyendo en la segunda ecuación tendremos:

5y − 4 (3) = −2 ⇒ y = 2

De igual forma, sustituimos estos dos valores en la primera ecuación y tendremos:

x − (2) + (3) = 2 ⇒ x = 1

Así, la solución del sistema es x = 1, y = 2, z = 3.

Como la solución es única diremos que el sistema es compatible determinado.

Ejemplo 8.24

Sea el sistema

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

−

=

− +− − =

−

=

− +

= + +

−

3 w

z 3 x

5 4y z w 1

8 w 2 z 2 x

3

2 w z y 2 x

Comenzamos con la matriz ampliada:

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

−

−

−

3 1 3 0 5

1 1 1 4 0

8 2 2 0 3

2 1 1 2 1

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ +

− +

−

f4 f1 5f1 f2

3

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

−

−

−

−

−

13 6 2 10 0

1 1 1 4 0

14 5 1 6 0

2 1 1 2 1

⎯

⎯

⎯

⎯

⎯

⎯ →

⎯

+ 4f f2 3

−

− + 5

f3 f2 3

2

⎥⎥

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

−

−

313 73 13 0

0 313

73 13 0 0

14 5 1 6 0

2 1 1 2 1

⎯

⎯

⎯

⎯

⎯ →

⎯−f3 + f4

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

−− − −

−

0 0 0 0

0 313

73 13 0 0

14 5 1 6 0

2 1 1 2 1

Claramente el sistema que nos queda es el siguiente:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

= +

−

−

=

−

−

= + +

−

3 w 31 3 z 7 3

1z 5w 14 y

6

2 w z y 2 x

Podemos observar que en el proceso de escalonamiento la última fila de la matriz ampliada se convierte en solo ceros, esto indica que una de las ecuaciones es linealmente dependiente o que es combinación lineal de las otras, de esta forma la podemos suprimir y el sistema se reduce a tres ecuaciones y cuatro incógnitas. En este caso siempre diremos que el sistema tiene varias soluciones, es decir, es compatible indeterminado.

Para determinar una solución particular tenemos que asignarle un valor cualquiera a una de las incógnitas para poder determinar las otras. Así, para w = 1, tendremos:

( )

3 1 31 3 z 7 3

1 + =

− ⇒ z = 24

6y − (24) - 5(1) = −14 ⇒ y = 2 5

x − 2 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ 2

5 + (24) + (1) = 2 ⇒ x = −18

De esta forma la solución del sistema es:

x = −18, y = 2

5, z = 24, w = 1

Ejemplo 8.25

Sea el sistema

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= + +

= +

−

=

− +

20 z 3 y x 6

4 z 5 y x 4

7 z y x

Comenzamos con la matriz ampliada:

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

20 3 1 6

4 5 1 4

7 1 1 1

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ +

− +

−

f f 6

f2 f1 4

3 1

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

−

22 9 5 0

24 9 5 0

7 1 1 1

⎯

⎯

⎯

⎯

⎯ →

⎯−f2 + f3

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

2 0 0 0

24 9 5 0

7 1 1 1

Queda un sistema incompatible, ya que la última ecuación afirma que:

0x + 0y + 0z = 2

Esto es absurdo, luego el sistema no tiene solución.

Tema 8: Matrices, Determinantes y Sistema de Ecuaciones Sesión 18: Ejercicios Propuestos

1. Dadas las matrices A, B, C, D, realizar las siguientes operaciones:

a) A − 2B b) 2C − D c) AB − CD^t d) (B − 2A)D

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ −

= 4 5 3

A 2 , _⎥ , ,

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

−

= −

3 5

0

B 2 ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

−

= −

1 7 4

0 2

C 3 ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

−

= −

1 2 0

3 2 D 1

2. Calcular cada uno de los siguientes determinantes:

a) 11 5 4 3

−

−

b)

3 4 1

5 3 4

0 3 2

−

−

−

c)

1 1 6

5 2 0

4 8 3

−

−

−

−

3. Calcular cada uno de los siguientes determinantes:

a) 2x 1

7 x

4

2 = −

−

b) 3x

3 5 1

4 3 2

x 0 x 2

−

=

−

−

c) 0

5 x 1

2 1 1

7 3 x

=

4. Calcular cada uno de los siguientes determinantes:

a)

1 1 1 3

1 3 2 1

0 1 2 2

3 0 1 1

−

−

−

−

−

−

b)

1 0 1 0 3

0 4 3 2 1

1 0 0 1 1

4 1 2 1 0

3 0 1 1 2

−

−

−

−

−

−

−

5. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:

a)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

= +

=

−

= +

3 z 3 y

6 z x 2

2 y x

b)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

= +

=

−

=

− +

1 z 4 y

2 z 3 x

1 z 2 y x

c) ⎪

⎩

⎪⎨

⎧

= +

=

−

= + +

0 z 2 y 3

0 y

x 2

0 z y x

El sistema del caso (c) se conoce como un sistema homogéneo, el cual siempre tiene la solución trivial x = 0, y = 0, z = 0, pero cuando es compatible indeterminado es posible determinar otra solución distinta a la trivial.

6. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:

a)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−

=

−

− +

=

− + +

= +

− +

= + + +

1 w 4 z 3 y x

2 w 3 z 2 y 2 x 2

8 w z 2 y 6 x 3

5 w z 5 y x 2

Tema 8: Matrices, Determinantes y Sistema de Ecuaciones Sesión 18

Autoevaluación 18

Pregunta Nº 1

Resolver por la Regla de Cramer el siguiente sistema

110 z 4 y x 8

8 z y 8 x 4

8 z 8 y 4 x

=

−

−

−

=

− +

−

=

− +

a.

2 z

2 y

14 x

=

=

=

b.

4 z

2 y

16 x

=

=

=

c.

2 z

5 y

14 x

=

=

=

d.

1 z

2 y

14 x

=

=

=

Pregunta Nº 2

Resolver por el método de reducción el siguiente sistema de

ecuaciones

2 1 3 x 4 y

2 1 y 5 x

= −

−

−

= +

2 y

0 a. x

=

=

b. y 2

1 x

−

=

=

c. y 2

0 x

−

=

=

d. y 2 1 x

=

=

Pregunta Nº 3

Resolver por la Regla de Cramer el siguiente sistema

4 z x

4 2 3

5 z y x

9 z 6 y x

=

−

−

= +

−

= + − y

a.

2 z

2 y

4 x =

=

= −

b.

1 z

7 y

8 x

=

=

=

c.

1 z

2 y

8 x

=

=

=

d. y =7 2 z

4 x

−

=

=

Pregunta Nº 4

Resolver el sistema e ecuaciones empleando artificios de cálculo d

y 1 4 13 x 3

2 y 0 2

3 x 4

−

=

−

= +

a. y 2 8 x

=

−

=

b. y 2 8 x

=

−

=

c. y 3 8 x

=

−

=

d. y 2 8 x

=

−

=

Una vez contestadas las preguntas, puede ver respuestas al final de la Unidad. Si sus respuestas han sido correctas, continúe con la sesión siguiente, de lo contrario se le recomienda repasar la sesión antes de continuar.

Tema 8: Matrices, Determinantes y Sistemas de Ecuaciones Sesión 18

Respuestas de la Autoevaluación 18

Pregunta Nº 1

Resolver por la Regla de Cramer el siguiente sistema

110 z 4 y x 8

8 z y 8 x 4

8 z 8 y 4 x

=

−

−

−

=

− +

−

=

− +

a.

2 z

2 y

14 x

=

=

=

b.

2 z

5 y

14 x

=

=

=

c.

1 z

2 y

14 x

=

=

=

d. Correcto

4 z

2 y

16 x

=

=

=

Pregunta Nº 2

Resolver por el método de reducción el siguiente sistema de

ecuaciones

2 1 3 x 4 y

2 1 5

= −

−

−

= +y x

a. y 2

0 x =

−

= Correcto

b. y 2 0 x

=

=

c. y 2

1 x

−

=

=

d. y 2 1 x =

=

Pregunta Nº 3

Resolver por la Regla de Cramer el siguiente sistema

4z

−z 4 x 2 y 3

5 y

x

9 z 6 y x

=

−

= +

−

= + −

a.

2 z

2 y

4 x

=

=

= −

b.

1 z

7 y

8 x

=

=

=

Correcto

c.

1 z

2 y

8 x

=

=

=

d. y =7 2 z

4 x

−

=

=

Pregunta Nº 4

Resolver el siste a de ecuaciones empleando artificios de cálculo m

y 1 3

=

4 1 x 3

2 y 0 2

3 x 4

−

=

− +

2 y

8 x

=

− a. =

b. y 2 8 x

=

−

=

c. y 2 8 x

=

−

=

3 y

8 x

=

−

d. = Correcto

Tema 9: Números Complejos Sesión 19

Objetivos específicos

*

Aplicar las propiedades de representar gráficamente los números complejos.

Actividades

*

Leer el contenido de la sesión 19 sobre “Números complejos”

*

Visitar las páginas recomendadas

*

Realizar los ejercicios resueltos

*

Realizar la autoevaluación propuesta al final de la sesión

Recursos

*

Contenido de la sesión 19: “Números complejos”

*

Páginas Web recomendadas

*

La autoevaluación de la sesión 19

Números complejos

Para hallar las raíces del polinomio:

0 c bx

ax²+ + = (1)

Vimos en el Capítulo 7, (ver sesión 2) que usamos la fórmula (2):

a 2

ac 4 b x −b± ²−

= (2)

Que no tiene una solución real cuando el discriminante < 0.

En este caso, definiremos la unidad imaginaria:

ac b² −4

1

i = − (3)

Esta nos permite reescribir la expresión (2):

a 2

i ) b ac 4 ( b a

2

) b ac 4 ( ) 1 (

x b ^{2 2} − ± − ²

− =

−

±

= −

Las dos raíces de (1) serán:

a 2

i ) b ac 4 (

x₁ −b− − ²

= y

a 2

i ) b ac 4 (

x₂ −b+ − ²

= (4)

De esta forma definiremos un número complejo como aquél que incluye la unidad imaginaria como las raíces señaladas en (4).

Definición 1

Un número complejo es una expresión de la forma:

bi a

z= + (5)

Donde a y b son números reales. Así, los llamaremos: a la parte real de z, denotada por Re(z) y b la parte imaginaria de z y denotada por Im(z). Esta representación (5), se conoce como la forma binómica del numero complejo z.

Observación

Si la parte imaginaria del número complejo es cero, entonces el número complejo será un número real. Es decir, todos los números reales son números complejos con parte imaginaria cero. Entonces, podemos considerar a los números reales como un subconjunto de los números complejos.

Notemos que las raíces difieren sólo en el signo de la parte imaginaria.

2 1y x x

Definición 2

Sea el número complejo z=a+bi , entonces definimos el conjugado de z y denotaremos

" z "

al número complejo.

bi a

z = + (6)

Las operaciones ordinarias de suma, resta y multiplicación, se cumplen para los números complejos; sólo tendremos una diferencia para la división.