1. El dominio de la funci´on f (x, y) = p

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C´ alculo. 1 de julio de 2005

Cuestiones

1. El dominio de la funci´on f (x, y) = p

4x 2 + y 2 es

¥ a) R 2 . ¤ b) {(x, y) ∈ R 2 : y ≥ −2x}.

¤ c) R 2 − {(x, y) ∈ R 2 : 2x ≤ −y}. ¤ d) {(x, y) ∈ R 2 : 2x ≥ y}.

2. La recta tangente a la curva y = 3x 3 − 6x + 1 en el punto (1, −2) es

¤ a) y = −x + 2. ¤ b) y + 2 = x − 1.

¥ c) y = 3x − 5. ¤ d) y − 1 = 3(x + 2).

3. Dado el campo escalar f (x, y) = x 3 + 3xy 2 − 15x − 12y, ¿cu´al de los siguientes conjuntos est´a formado por puntos cr´ıticos de f ?

¤ a){(1, 1), (1, 2), (−1, −1)}. ¤ b) {(1, 2), (1, 1)}.

¤ c) {(1, 2), (−1, −2), (1, 1)}. ¥ d) {(−1, −2), (1, 2)}.

4. La serie num´erica X n=1

(−1) n 1 n

¥ a)converge condicionalmente . ¤ b) converge absolutamente.

¤ c) no converge. ¤ d)Ninguna de las anteriores.

Soluci´on :

Ver en el examen resuelto de la convocatoria de septiembre de 2003.

¦

Problemas

1. Calcula, si existe,

(x,y)→(0,0) lim

x − y

x − y .

Soluci´on :

Al tratarse de una funci´on en cuya expresi´on aparecen radicales, se intenta hacer alguna manipulaci´on algebraica a la misma (multiplicar y dividir por el conjugado del denominador):

(x,y)→(0,0) lim

x − y

x −

y = lim

(x,y)→(0,0)

(x − y) · ( x +

y) (

x −

y) · ( x +

y) = lim

(x,y)→(0,0)

(x − y) · ( x +

y)

x 2

y 2 =

(x,y)→(0,0) lim

(x − y) · ( x +

y)

x − y = lim

(x,y)→(0,0)

x +

y = 0

(2)

2. Calcula una aproximaci´on de 1

3

e mediante un polinomio de Taylor de grado 3. Da una cota del error cometido.

Soluci´on :

Lo primero que se puede hacer es buscar una funci´on f y un punto x 0 de forma que f (x 0 ) sea igual al n´umero que se pretende aproximar (no hay una ´unica f ni un ´unico x 0 que verifiquen ´esto).

Se pueden considerar f (x) = e x , con x 0 = −1/3 o bien tomar g(x) = e −x y x 0 = 1/3. Ambas opciones presentan la misma dificultad pr´acticamente. Elegimos la primera.

El segundo paso es considerar un punto a cercano a x 0 = −1/3 y calcular el polinomio de Taylor de f centrado en dicho a de orden 3. Parece claro que se puede tomar a = 0 como punto cercano a x 0 = −1/3. El polinomio de Taylor de la funci´on e x de orden n es de sobra conocido:

e x = 1 + x + x 2 2! + x 3

3! + x 4

4! + · · · + x n n!

Entonces, tomando n = 3, para calcular la aproximaci´on basta con evaluar el correspondiente polinomio en x = −1/3

T 3,0,f µ

1 3

= 1 − 1

3 + (−1/3) 2

2! + (−1/3) 3 3! = 58

81 = 0.716.

Para acotar el error cometido al tomar 0.716 como aproximaci´on del n´umero 1

3

e , hay que utilizar el teorema de Taylor, que proporciona una expresi´on c´omoda para el error:

R n,a,f (x) = f

n

+1) (c)

(n + 1)! (x − a) n+1 donde c es un n´umero comprendido entre a y x En este caso,

R 3,0,f (−1/3) = f iv) (c)

4! (−1/3 − 0) 4 donde c es un n´umero comprendido entre 0 y −1/3 La derivada cuarta de la funci´on exponencial f (x) = e x es la misma funci´on, f iv) (x) = e x , por tanto la expresi´on del resto queda:

R 3,0,f (−1/3) = e c 4!

1

3 4 = e c 1

648 donde − 1/3 ≤ c ≤ 0

Para buscar una cota de la expresi´on anterior, en primer lugar es muy importante considerar el valor absoluto de la misma. En este caso, puesto que la funci´on exponencial siempre es positiva:

|R 3,0,f (1/3)| =

¯ ¯

¯ ¯e c 1 648

¯ ¯

¯ ¯ = e c 1 648

Ahora se tiene en cuenta que −1/3 ≤ c ≤ 0. La expresi´on en la que est´a involucrada el

par´ametro desconocido c es la funci´on exponencial evaluada en c. Si aplicamos la exponencial

en la desigualdad anterior, como la funci´on f (x) = e x es creciente, la desigualdad se

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mantiene, por tanto e −1/3 ≤ e c ≤ e 0 = 1. De esta forma, hemos conseguido deducir que e c ≤ 1, por lo tanto,

|R 3,0,f (1/3)| = e c 1

648 ≤ 1 · 1

648 = 0.0015.

3. Halla los extremos relativos de la funci´on f (x, y) = −x 3 + 4xy − 2y 2 + 1.

Soluci´on :

En primer lugar, se calculan los puntos cr´ıticos de f que son aquellos que anulan al mismo tiempo las dos derivadas parciales de la funci´on:

∂f

∂x (x, y) = −3x 2 + 4y = 0

∂f

∂y (x, y) = 4x − 4y = 0

 

 

 

 

De la segunda ecuaci´on, se deduce:

4(x − y) = 0 ⇔ x = y

Sustituyendo en la primera ecuaci´on:

−3x 2 + 4x = x(−3x + 4) = 0 de donde x = 0 y − 3x + 4 = 0 ⇔ x = 4/3 Como anteriormente se hab´ıa obtenido la relaci´on entre las componentes x e y, a saber, x = y, los puntos cr´ıticos de la funci´on f son (0, 0) y (4/3, 4/3).

Ahora hay que calcular la matriz hessiana para ambos puntos

2 f

∂x 2 (x, y) = −6x 2 f

∂x∂y (x, y) = 2 f

∂y∂x (x, y) = 4 2 f

∂y 2 (x, y) = −4 y se colocan en la posici´on correspondiente

Hess(x, y) =

µ −6x 4

4 −4

• Como el determinante de Hess(0, 0) =

µ 0 4

4 −4

es igual a −16 < 0, entonces, el punto (0, 0) es punto de silla.

• Como el determinante de Hess(4/3, 4/3) =

µ −8 4

4 −4

es igual a 16 > 0, entonces, el punto (4/3, 4/3) es extremo de la funci´on. Para determinar si es m´aximo o m´ınimo, hay que fijarse en el signo de 2 f

∂x 2 (4/3, 4/3) = −8 < 0, de donde se deduce que el punto (4/3, 4/3)

es un m´aximo relativo de la funci´on.

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4. Calcula F 0 (x) para la funci´on definida por F (x) =

Z x

x

3

3

t − 5 dt

Soluci´on :

Utilizando las propiedades de la integral, expresamos la funci´on F como suma de dos fun- ciones:

F (x) = Z x

x

3

3

t − 5 dt = Z 1

x

3

3

t − 5 dt + Z x

1

3

t − 5 = − Z x

3

1

3

t − 5 dt + Z x

1

3

t − 5 dt Como la funci´on f (t) =

3

t − 5 est´a definida y es continua en todo R , por el teorema fundamental del C´alculo Infinitesimal, la funci´on G(x) =

Z x

1

3

t − 5 dt es derivable en todo R y adem´as G 0 (x) =

3

x − 5. Con ´esto, ya tenemos solucionado la derivada del segundo sumando de la expresi´on de F .

Para la otra derivada, obs´ervese que Z x

3

1

3

t − 5 dt = G(x 3 ) por tanto, usando la regla de la cadena

d d x

ÃZ x

3

1

3

t − 5

!

= G 0 (x 3 ) · 3x 2 =

3

x 3 − 5 · 3x 2 .

Entonces, la derivada de F (x) queda:

F 0 (x) = −3x 2

3

x 3 − 5 +

3

x − 5 = (1 − 3x 2 )

3

x 3 − 5.

5. Se considera la regi´on comprendida entre las gr´aficas de las funciones y = x 2 e y = x.

Determina:

(a) El ´area de dicha regi´on.

(b) El volumen del s´olido de revoluci´on generado al girar dicha regi´on alrededor del eje OX.

Soluci´on :

Para calcular los puntos de corte de las gr´aficas de ambas funciones, se ha de resolver la ecuaci´on x = x 2

0 = x 2 − x = x(x − 1) ⇔ x = 0 y x = 1

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1 1

1 1

(a) Seg´un se observa en la figura anterior, la funci´on y = x queda siempre por encima de y = x 2 , en el intervalo [0, 1]. ´ Esto puede comprobarse sin utilizar la gr´afica, evaluando ambas funciones en cualquier punto del intervalo; por ejemplo, 0.5 > (0.5) 2 = 0.25. El ´area delimitada por ambas funciones se calcula por medio de la integral definida, cuyos l´ımites de integraci´on son las abcisas de los puntos de corte entre ambas gr´aficas:

Z 1

0

(x − x 2 ) dx =

· x 2 2 x 3

3

¸ 1

0

= 1 2 1

3 = 1 6 u 2 .

(b) Para calcular el volumen del s´olido generado al girar alrededor del eje OX, utilizamos el m´etodo de discos. Como la regi´on no toca al eje de giro, el s´olido de revoluci´on que se origina tiene un ”agujero”, con lo cual hay que hacer la diferencia de dos vol´umenes: el del s´olido que genera la gr´afica de y = x, V 1 , menos el del s´olido que genera y = x 2 , V 2 . Por tanto,

V = V 1 − V 2 = Z 1

0

π(x) 2 dx − Z 1

0

π(x 2 ) 2 dx = Z 1

0

π x 2 dx − Z 1

0

π x 4 dx =

π

· x 3 3 x 5

5

¸ 1

0

= π µ 1

3 1 5

= 15 u 3 .

6. Estudia la convergencia de las siguientes series (a)

X n=0

cos (1/n 2 ) n 2 (b)

X n=1

5 n n!

Soluci´on :

(a) Cuando observamos el t´ermino general de la serie, al aparecer la funci´on coseno, pensamos

en los criterios de comparaci´on: est´andar y por paso al l´ımite. La funci´on f (x) = cos (1/x 2 )

no es un infinit´esimo cuando x tiende a infinito (porque lim cos (1/x 2 ) = 1 6= 0) entonces

(6)

lo de utilizar el criterio de comparaci´on por paso al l´ımite lo descartamos. Si tenemos en cuenta que la funci´on coseno est´a siempre acotada (sea cual sea el argumento de la misma), obtenemos:

cos (1/n 2 )

n 2 ≤ 1 · 1 n 2 La serie

X n=0

1

n 2 es una p-serie para p = 2 > 1, por tanto, convergente. Seg´un el criterio de comparaci´on est´andar, la serie

X n=0

cos (1/n 2 )

n 2 tambi´en lo es.

(b) Veamos si el criterio del cociente proporciona alguna informaci´on:

n→∞ lim a n+1

a n

= lim

n→∞

5 n+1 (n + 1)!

5 n n!

= lim

n→∞

5 n+1 n!

(n + 1)! 5 n = lim

n→∞

5

n + 1 = 0 < 1

por tanto, la serie X n=1

5 n

n! es convergente.

¦

Figure

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Referencias

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