1. El dominio de la funci´on f (x, y) = p

(1)

C´ alculo. 1 de julio de 2005

Cuestiones

1. El dominio de la funci´on f (x, y) = p

4x ² + y ² es

¥ a) R ² . ¤ b) {(x, y) ∈ R ² : y ≥ −2x}.

¤ c) R ² − {(x, y) ∈ R ² : 2x ≤ −y}. ¤ d) {(x, y) ∈ R ² : 2x ≥ y}.

2. La recta tangente a la curva y = 3x ³ − 6x + 1 en el punto (1, −2) es

¤ a) y = −x + 2. ¤ b) y + 2 = x − 1.

¥ c) y = 3x − 5. ¤ d) y − 1 = 3(x + 2).

3. Dado el campo escalar f (x, y) = x ³ + 3xy ² − 15x − 12y, ¿cu´al de los siguientes conjuntos est´a formado por puntos cr´ıticos de f ?

¤ a){(1, 1), (1, 2), (−1, −1)}. ¤ b) {(1, 2), (1, 1)}.

¤ c) {(1, 2), (−1, −2), (1, 1)}. ¥ d) {(−1, −2), (1, 2)}.

4. La serie num´erica X ∞ n=1

(−1) ⁿ 1 n

¥ a)converge condicionalmente . ¤ b) converge absolutamente.

¤ c) no converge. ¤ d)Ninguna de las anteriores.

Soluci´on :

Ver en el examen resuelto de la convocatoria de septiembre de 2003.

¦

Problemas

1. Calcula, si existe,

(x,y)→(0,0) lim

x − y

√ x − √ y .

Soluci´on :

Al tratarse de una función en cuya expresión aparecen radicales, se intenta hacer alguna manipulación algebraica a la misma (multiplicar y dividir por el conjugado del denominador):

(x,y)→(0,0) lim

x − y

√ x − √

y = lim

(x,y)→(0,0)

(x − y) · ( √ x + √

y) ( √

x − √

y) · ( √ x + √

y) = lim

(x,y)→(0,0)

(x − y) · ( √ x + √

√ y)

x ² − √

y ² =

(x,y)→(0,0) lim

(x − y) · ( √ x + √

y)

x − y = lim

(x,y)→(0,0)

√ x + √

y = 0

(2)

2. Calcula una aproximaci´on de 1

√

3

e mediante un polinomio de Taylor de grado 3. Da una cota del error cometido.

Soluci´on :

Lo primero que se puede hacer es buscar una función f y un punto x ₀ de forma que f (x ₀ ) sea igual al número que se pretende aproximar (no hay una única f ni un único x 0 que verifiquen ésto).

Se pueden considerar f (x) = e ^x , con x ₀ = −1/3 o bien tomar g(x) = e ^−x y x ₀ = 1/3. Ambas opciones presentan la misma dificultad pr´acticamente. Elegimos la primera.

El segundo paso es considerar un punto a cercano a x ₀ = −1/3 y calcular el polinomio de Taylor de f centrado en dicho a de orden 3. Parece claro que se puede tomar a = 0 como punto cercano a x ₀ = −1/3. El polinomio de Taylor de la funci´on e ^x de orden n es de sobra conocido:

e ^x = 1 + x + x ² 2! + x ³

3! + x ⁴

4! + · · · + x ⁿ n!

Entonces, tomando n = 3, para calcular la aproximaci´on basta con evaluar el correspondiente polinomio en x = −1/3

T _3,0,f µ

− 1 3

¶

= 1 − 1

3 + (−1/3) ²

2! + (−1/3) ³ 3! = 58

81 = 0.716.

Para acotar el error cometido al tomar 0.716 como aproximaci´on del n´umero 1

√

3

e , hay que utilizar el teorema de Taylor, que proporciona una expresi´on c´omoda para el error:

R n,a,f (x) = f

ⁿ

⁺¹⁾ (c)

(n + 1)! (x − a) ⁿ⁺¹ donde c es un n´umero comprendido entre a y x En este caso,

R 3,0,f (−1/3) = f ^iv) (c)

4! (−1/3 − 0) ⁴ donde c es un número comprendido entre 0 y −1/3 La derivada cuarta de la función exponencial f (x) = e ^x es la misma función, f îv) (x) = e ^x , por tanto la expresión del resto queda:

R _3,0,f (−1/3) = e ^c 4!

1 3 ⁴ = e ^c 1

648 donde − 1/3 ≤ c ≤ 0

Para buscar una cota de la expresi´on anterior, en primer lugar es muy importante considerar el valor absoluto de la misma. En este caso, puesto que la funci´on exponencial siempre es positiva:

|R 3,0,f (1/3)| =

¯ ¯

¯ ¯e ^c 1 648

¯ ¯

¯ ¯ = e ^c 1 648

Ahora se tiene en cuenta que −1/3 ≤ c ≤ 0. La expresi´on en la que est´a involucrada el

par´ametro desconocido c es la funci´on exponencial evaluada en c. Si aplicamos la exponencial

en la desigualdad anterior, como la funci´on f (x) = e ^x es creciente, la desigualdad se

(3)

mantiene, por tanto e ^−1/3 ≤ e ^c ≤ e ⁰ = 1. De esta forma, hemos conseguido deducir que e ^c ≤ 1, por lo tanto,

|R 3,0,f (1/3)| = e ^c 1

648 ≤ 1 · 1

648 = 0.0015.

3. Halla los extremos relativos de la funci´on f (x, y) = −x ³ + 4xy − 2y ² + 1.

Soluci´on :

En primer lugar, se calculan los puntos cr´ıticos de f que son aquellos que anulan al mismo tiempo las dos derivadas parciales de la funci´on:

∂f

∂x (x, y) = −3x ² + 4y = 0

∂f

∂y (x, y) = 4x − 4y = 0

 

 



 

 

De la segunda ecuaci´on, se deduce:

4(x − y) = 0 ⇔ x = y

Sustituyendo en la primera ecuaci´on:

−3x ² + 4x = x(−3x + 4) = 0 de donde x = 0 y − 3x + 4 = 0 ⇔ x = 4/3 Como anteriormente se hab´ıa obtenido la relaci´on entre las componentes x e y, a saber, x = y, los puntos cr´ıticos de la funci´on f son (0, 0) y (4/3, 4/3).

Ahora hay que calcular la matriz hessiana para ambos puntos

∂ ² f

∂x ² (x, y) = −6x ∂ ² f

∂x∂y (x, y) = ∂ ² f

∂y∂x (x, y) = 4 ∂ ² f

∂y ² (x, y) = −4 y se colocan en la posici´on correspondiente

Hess(x, y) =

µ −6x 4

4 −4

¶

• Como el determinante de Hess(0, 0) =

µ 0 4

4 −4

¶

es igual a −16 < 0, entonces, el punto (0, 0) es punto de silla.

• Como el determinante de Hess(4/3, 4/3) =

µ −8 4

4 −4

¶

es igual a 16 > 0, entonces, el punto (4/3, 4/3) es extremo de la funci´on. Para determinar si es m´aximo o m´ınimo, hay que fijarse en el signo de ∂ ² f

∂x ² (4/3, 4/3) = −8 < 0, de donde se deduce que el punto (4/3, 4/3)

es un m´aximo relativo de la funci´on.

(4)

4. Calcula F ⁰ (x) para la funci´on definida por F (x) =

Z _x

x

³

√

3

t − 5 dt

Soluci´on :

Utilizando las propiedades de la integral, expresamos la funci´on F como suma de dos fun- ciones:

F (x) = Z _x

x

³

√

3

t − 5 dt = Z ₁

x

³

√

3

t − 5 dt + Z _x

1 √

3

t − 5 = − Z _x

³

1 √

3

t − 5 dt + Z _x

1 √

3

t − 5 dt Como la funci´on f (t) = √

³

t − 5 está definida y es continua en todo R , por el teorema fundamental del Cálculo Infinitesimal, la función G(x) =

Z _x

1 √

3

t − 5 dt es derivable en todo R y adem´as G ⁰ (x) = √

³

x − 5. Con ´esto, ya tenemos solucionado la derivada del segundo sumando de la expresi´on de F .

Para la otra derivada, obs´ervese que Z _x

3

1 √

3

t − 5 dt = G(x ³ ) por tanto, usando la regla de la cadena

d d x

ÃZ _x

3

1 √

3

t − 5

!

= G ⁰ (x ³ ) · 3x ² = √

³

x ³ − 5 · 3x ² .

Entonces, la derivada de F (x) queda:

F ⁰ (x) = −3x ² √

³

x ³ − 5 + √

³

x − 5 = (1 − 3x ² ) √

³

x ³ − 5.

5. Se considera la regi´on comprendida entre las gr´aficas de las funciones y = x ² e y = x.

Determina:

(a) El ´area de dicha regi´on.

(b) El volumen del sólido de revolución generado al girar dicha región alrededor del eje OX.

Soluci´on :

Para calcular los puntos de corte de las gr´aficas de ambas funciones, se ha de resolver la ecuaci´on x = x ²

0 = x ² − x = x(x − 1) ⇔ x = 0 y x = 1

(5)

1 1

(a) Según se observa en la figura anterior, la función y = x queda siempre por encima de y = x ² , en el intervalo [0, 1]. ´ Esto puede comprobarse sin utilizar la gráfica, evaluando ambas funciones en cualquier punto del intervalo; por ejemplo, 0.5 > (0.5) ² = 0.25. El área delimitada por ambas funciones se calcula por medio de la integral definida, cuyos l´ımites de integración son las abcisas de los puntos de corte entre ambas gráficas:

Z ₁

0 (x − x ² ) dx =

· x ² 2 − x ³

3 ¸ ₁

0 = 1 2 − 1

3 = 1 6 u ² .

(b) Para calcular el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje OX, utilizamos el método de discos. Como la región no toca al eje de giro, el sólido de revolución que se origina tiene un ”agujero”, con lo cual hay que hacer la diferencia de dos volúmenes: el del sólido que genera la gráfica de y = x, V ₁ , menos el del sólido que genera y = x ² , V ₂ . Por tanto,

V = V ₁ − V ₂ = Z ₁

0 π(x) ² dx − Z ₁

0 π(x ² ) ² dx = Z ₁

0 π x ² dx − Z ₁

0 π x ⁴ dx =

π

· x ³ 3 − x ⁵

5 ¸ ₁

0 = π µ 1

3 − 1 5

¶

= 2π 15 u ³ .

6. Estudia la convergencia de las siguientes series (a)

X ∞ n=0

cos (1/n ² ) n ² (b)

X ∞ n=1

5 ⁿ n!

Soluci´on :

(a) Cuando observamos el t´ermino general de la serie, al aparecer la funci´on coseno, pensamos

en los criterios de comparación: estándar y por paso al l´ımite. La función f (x) = cos (1/x ² )

no es un infinit´esimo cuando x tiende a infinito (porque lim cos (1/x ² ) = 1 6= 0) entonces

(6)

lo de utilizar el criterio de comparación por paso al l´ımite lo descartamos. Si tenemos en cuenta que la función coseno está siempre acotada (sea cual sea el argumento de la misma), obtenemos:

cos (1/n ² )

n ² ≤ 1 · 1 n ² La serie

X ∞ n=0

1 n ² es una p-serie para p = 2 > 1, por tanto, convergente. Según el criterio de comparación estándar, la serie

1. El dominio de la funci´on f (x, y) = p

C´ alculo. 1 de julio de 2005

Cuestiones

1. El dominio de la funci´on f (x, y) = p

4x 2 + y 2 es

¥ a) R 2 . ¤ b) {(x, y) ∈ R 2 : y ≥ −2x}.

¤ c) R 2 − {(x, y) ∈ R 2 : 2x ≤ −y}. ¤ d) {(x, y) ∈ R 2 : 2x ≥ y}.

2. La recta tangente a la curva y = 3x 3 − 6x + 1 en el punto (1, −2) es

¤ a) y = −x + 2. ¤ b) y + 2 = x − 1.

¥ c) y = 3x − 5. ¤ d) y − 1 = 3(x + 2).

3. Dado el campo escalar f (x, y) = x 3 + 3xy 2 − 15x − 12y, ¿cu´al de los siguientes conjuntos est´a formado por puntos cr´ıticos de f ?

¤ a){(1, 1), (1, 2), (−1, −1)}. ¤ b) {(1, 2), (1, 1)}.

¤ c) {(1, 2), (−1, −2), (1, 1)}. ¥ d) {(−1, −2), (1, 2)}.

4. La serie num´erica X ∞ n=1

(−1) n 1 n

¥ a)converge condicionalmente . ¤ b) converge absolutamente.

¤ c) no converge. ¤ d)Ninguna de las anteriores.

Soluci´on :

Ver en el examen resuelto de la convocatoria de septiembre de 2003.

¦

Problemas

1. Calcula, si existe,

(x,y)→(0,0) lim

x − y

√ x − √ y .

Soluci´on :

Al tratarse de una función en cuya expresión aparecen radicales, se intenta hacer alguna manipulación algebraica a la misma (multiplicar y dividir por el conjugado del denominador):

(x,y)→(0,0) lim

x − y

√ x − √

y = lim

(x,y)→(0,0)

(x − y) · ( √ x + √

y) ( √

x − √

y) · ( √ x + √

y) = lim

(x,y)→(0,0)

(x − y) · ( √ x + √

√ y)

x 2 − √

y 2 =

(x,y)→(0,0) lim

(x − y) · ( √ x + √

y)

x − y = lim

(x,y)→(0,0)

√ x + √

y = 0

2. Calcula una aproximaci´on de 1

√

e mediante un polinomio de Taylor de grado 3. Da una cota del error cometido.

Soluci´on :

Lo primero que se puede hacer es buscar una función f y un punto x 0 de forma que f (x 0 ) sea igual al número que se pretende aproximar (no hay una única f ni un único x 0 que verifiquen ésto).

Se pueden considerar f (x) = e x , con x 0 = −1/3 o bien tomar g(x) = e −x y x 0 = 1/3. Ambas opciones presentan la misma dificultad pr´acticamente. Elegimos la primera.

El segundo paso es considerar un punto a cercano a x 0 = −1/3 y calcular el polinomio de Taylor de f centrado en dicho a de orden 3. Parece claro que se puede tomar a = 0 como punto cercano a x 0 = −1/3. El polinomio de Taylor de la funci´on e x de orden n es de sobra conocido:

e x = 1 + x + x 2 2! + x 3

3! + x 4

4! + · · · + x n n!

Entonces, tomando n = 3, para calcular la aproximaci´on basta con evaluar el correspondiente polinomio en x = −1/3

T 3,0,f µ

− 1 3

¶

= 1 − 1

3 + (−1/3) 2

2! + (−1/3) 3 3! = 58

81 = 0.716.

Para acotar el error cometido al tomar 0.716 como aproximaci´on del n´umero 1

√

e , hay que utilizar el teorema de Taylor, que proporciona una expresi´on c´omoda para el error:

R n,a,f (x) = f

+1) (c)

(n + 1)! (x − a) n+1 donde c es un n´umero comprendido entre a y x En este caso,

R 3,0,f (−1/3) = f iv) (c)

4! (−1/3 − 0) 4 donde c es un número comprendido entre 0 y −1/3 La derivada cuarta de la función exponencial f (x) = e x es la misma función, f iv) (x) = e x , por tanto la expresión del resto queda:

R 3,0,f (−1/3) = e c 4!

1

3 4 = e c 1

648 donde − 1/3 ≤ c ≤ 0

Para buscar una cota de la expresi´on anterior, en primer lugar es muy importante considerar el valor absoluto de la misma. En este caso, puesto que la funci´on exponencial siempre es positiva:

4x ² + y ² es

¥ a) R ² . ¤ b) {(x, y) ∈ R ² : y ≥ −2x}.

¤ c) R ² − {(x, y) ∈ R ² : 2x ≤ −y}. ¤ d) {(x, y) ∈ R ² : 2x ≥ y}.

2. La recta tangente a la curva y = 3x ³ − 6x + 1 en el punto (1, −2) es

3. Dado el campo escalar f (x, y) = x ³ + 3xy ² − 15x − 12y, ¿cu´al de los siguientes conjuntos est´a formado por puntos cr´ıticos de f ?

(−1) ⁿ 1 n

x ² − √

y ² =

Lo primero que se puede hacer es buscar una función f y un punto x ₀ de forma que f (x ₀ ) sea igual al número que se pretende aproximar (no hay una única f ni un único x 0 que verifiquen ésto).

Se pueden considerar f (x) = e ^x , con x ₀ = −1/3 o bien tomar g(x) = e ^−x y x ₀ = 1/3. Ambas opciones presentan la misma dificultad pr´acticamente. Elegimos la primera.

El segundo paso es considerar un punto a cercano a x ₀ = −1/3 y calcular el polinomio de Taylor de f centrado en dicho a de orden 3. Parece claro que se puede tomar a = 0 como punto cercano a x ₀ = −1/3. El polinomio de Taylor de la funci´on e ^x de orden n es de sobra conocido:

e ^x = 1 + x + x ² 2! + x ³

3! + x ⁴

4! + · · · + x ⁿ n!

T _3,0,f µ

3 + (−1/3) ²

2! + (−1/3) ³ 3! = 58

⁺¹⁾ (c)

(n + 1)! (x − a) ⁿ⁺¹ donde c es un n´umero comprendido entre a y x En este caso,

R 3,0,f (−1/3) = f ^iv) (c)

4! (−1/3 − 0) ⁴ donde c es un número comprendido entre 0 y −1/3 La derivada cuarta de la función exponencial f (x) = e ^x es la misma función, f îv) (x) = e ^x , por tanto la expresión del resto queda:

R _3,0,f (−1/3) = e ^c 4!

3 ⁴ = e ^c 1

¯ ¯e ^c 1 648

¯ ¯ = e ^c 1 648

en la desigualdad anterior, como la funci´on f (x) = e ^x es creciente, la desigualdad se

mantiene, por tanto e ^−1/3 ≤ e ^c ≤ e ⁰ = 1. De esta forma, hemos conseguido deducir que e ^c ≤ 1, por lo tanto,

|R 3,0,f (1/3)| = e ^c 1

3. Halla los extremos relativos de la funci´on f (x, y) = −x ³ + 4xy − 2y ² + 1.

∂x (x, y) = −3x ² + 4y = 0

−3x ² + 4x = x(−3x + 4) = 0 de donde x = 0 y − 3x + 4 = 0 ⇔ x = 4/3 Como anteriormente se hab´ıa obtenido la relaci´on entre las componentes x e y, a saber, x = y, los puntos cr´ıticos de la funci´on f son (0, 0) y (4/3, 4/3).

∂ ² f

∂x ² (x, y) = −6x ∂ ² f

∂x∂y (x, y) = ∂ ² f

∂y∂x (x, y) = 4 ∂ ² f

∂y ² (x, y) = −4 y se colocan en la posici´on correspondiente

es igual a 16 > 0, entonces, el punto (4/3, 4/3) es extremo de la funci´on. Para determinar si es m´aximo o m´ınimo, hay que fijarse en el signo de ∂ ² f

∂x ² (4/3, 4/3) = −8 < 0, de donde se deduce que el punto (4/3, 4/3)

4. Calcula F ⁰ (x) para la funci´on definida por F (x) =

Z _x

F (x) = Z _x

t − 5 dt = Z ₁

t − 5 dt + Z _x

t − 5 = − Z _x

t − 5 dt + Z _x