Fórmulas de trigonometría

Fórmulas de

trigonometría

Razones, identidades, teoremas y más

Álgebra e Introducción al Cálculo

Ignacio F. Garcés | Universidad de los Andes | 2017

Índice de contenidos

Prefacio ... 2

Material útil ... 2

1. Introducción ... 3

2. Relación entre medidas angulares ... 4

3. Ángulos notables ... 4

4. Cuadro de funciones trigonométricas ... 5

5. Círculo Unitario o Circunferencia Goniométrica... 5

6. Funciones hiperbólicas ... 6

7. Observaciones importantes de la funciones trigonométricas ... 7

7.1 Gráficos ... 7

7.2 Características del seno, coseno y tangente ... 8

8. Funciones trigonométricas inversas ... 8

9. Reducción de expresiones trigonométricas ... 8

10. Teorema del Área... 9

11. Teorema del Seno o Ley de los Senos ... 9

12. Teorema del Coseno o Ley de los Cosenos ... 10

13. Teorema de las Proyecciones ... 10

14. Fórmulas de identidades trigonométricas ... 11

15. Bibliografía ... 13

16. Ejercicios resueltos ... 13

Prefacio

No considere este documento totalmente como pedagógico (en el sentido de que no se pretende enseñar o demostrar todos los contenidos, además se omiten ciertos detalles y formalidades matemáticas).

El presente documento es sólo una ayuda complementaria para el estudiante, aún en desarrollo, incluso probablemente con algunos errores.

Material útil

OTROS RESÚMENES DE FÓRMULAS PARA INGENIERÍA

Álgebra Lineal → https://goo.gl/eruxah

Cálculo I (cálculo diferencial e integral en una variable) → https://goo.gl/uwF8NQ Cálculo II (cálculo diferencial e integral en varias variables) → https://goo.gl/XCytYd Cónicas → https://goo.gl/JL6gp8

Ecuaciones Diferenciales → https://goo.gl/nBikNA

1. Introducción

Básicamente, este documento es la recopilación de los aspectos más importantes de la trigonometría.

Hay algunas cosas importantes a mencionar:

o Debe estar claro que el seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante son todas funciones, solo sucede que se apellidan trigonométricas. Entonces, cada una posee un dominio y recorrido propios, y demás propiedades de toda función.

o En trigonometría, olvidaremos los grados sexagesimales (°). Se acostumbra a usar radianes.

o Los ángulos se miden positivamente en sentido antihorario ↺ y negativamente al revés ↻.

2. Relación entre medidas angulares

Los radianes no son otra cosa que números reales que representan a la razón entre la longitud del arco de un ángulo y su radio, en cualquier circunferencia. (ver figura)

Minutos (‘), segundos (“) y grados sexagesimales (°):

1^′ = 1°

60 1^′′= 1^′

60= 1°

3600

Entonces, tenemos que:

1° = 60’

1’ = 60’’

1° = 3600’’

Relación entre grados y radianes:

𝛼°

180=𝛼 𝑟𝑎𝑑 𝜋

3. Ángulos notables

𝛼

(radianes)

𝛼

(grados)

sin(𝛼) cos(𝛼) tan(𝛼)

𝜋

6 30° 1

2

√3 2

√3 3 𝜋

4 45° √2

2

√2

2 1

𝜋

3 60° √3

2

1

2 √3

0 0° 0 1 0

𝜋

2 90° 1 0 ∄

𝜋 180° 0 -1 0

3𝜋

2 270° -1 0 ∄

Es fundamental memorizar sobre todo el seno y el coseno de los ángulos 30°, 45° y 60. Otros ángulos de la tabla son más deducibles.

4. Cuadro de funciones trigonométricas

Seno (sin)

Coseno (cos)

Tangente (tg)

Cotangente (cotg)

Secante (sec)

Cosecante (cosec) Razón

trigonométrica[

¹

]

𝐶𝑂 ℎ𝑖𝑝

𝐶𝐴 ℎ𝑖𝑝

𝐶𝑂 𝐶𝐴

𝐶𝐴 𝐶𝑂

ℎ𝑖𝑝 𝐶𝐴

ℎ𝑖𝑝 𝐶𝑂 Descomposición 1

cosec

1 sec

sin cos

cos sin

1 cos

1 sin

ℎ𝑖𝑝: hipotenusa.

𝐶𝑂: cateto opuesto al ángulo.

𝐶𝐴: cateto adyacente al ángulo.

5. Círculo Unitario o Circunferencia Goniométrica

Consiste en una circunferencia de radio 1 y con centro en el origen, y que sirve mucho para estudiar las

funciones trigonométricas. Esta vital herramienta ayuda a determinar el signo de la operación trigonométrica de algún ángulo, junto con la observación de las periodicidades[²], paridades y más.

El eje 𝑥 (la abscisa) corresponde al coseno del ángulo dado.

El eje 𝑦 (la ordenada) corresponde al seno del ángulo dado.

¿Cómo acordarse de eso? Asocia el sonido de 𝒙 (equiss) con cosseno.

Entonces, en vez de existir un punto cualquiera (𝑥, 𝑦), sus coordenadas son ( cos(𝛼), sin(𝛼) ), con 𝛼 un ángulo dado.

Entonces, se aplica todas las reglas del plano cartesiano, pero reemplazando por coseno y coseno. Por ejemplo, en el cuarto cuadrante sabemos que 𝑥 es positivo e 𝑦 negativo; aquí, cos(𝛼) sería positivo y sin(𝛼) negativo.

Entonces, si tengo al ángulo ²

3

𝜋

, se encontrará en el 2° cuadrante, lo que implica que su coseno sea negativo y su seno positivo.

[¹] Tener muy en cuenta que las razones trigonométricas de allí sólo aplican en un triángulo rectángulo.

[²] Ejemplo: con el círculo unitario se evidencia que sin(𝜋 − 𝛼) = sin(𝛼), o que cos(8𝜋) = cos(𝜋) = 0

6. Funciones hiperbólicas

Todas las funciones trigonométricas tienen su análoga hiperbólica.

Tal como con las funciones trigonométricas, todas las hiperbólicas se construyen con el seno y coseno hiperbólicos, a pesar de que se construyen con exponenciales:

sinh(𝑥) =𝑒^𝑥− 𝑒^−𝑥

2 cosh(𝑥) =𝑒^𝑥+ 𝑒^−𝑥

2 tgh(𝑥) =sinh(𝑥)

cosh(𝑥) cotgh(𝑥) =cosh(𝑥)

sinh(𝑥) sech(𝑥) = 1

cosh(𝑥) cosech(𝑥) = 1 sinh(𝑥)

7. Observaciones importantes de la funciones trigonométricas

7.1 Gráficos

Es importante tener claro el gráfico de estas funciones, ya que de su análisis se pueden inferir algunas

propiedades importantes, como la relación entre una función y otra, la paridad, puntos relevantes, etc. Aunque esto también puede deducirse del círculo unitario.

Seno

Coseno

Tangente

Cotangente

Secante

Cosecante

Seno hiperbólico Coseno hiperbólico

Evidentemente, todas las funciones trigonométricas son infinitas y presentan periodicidad. No así las hiperbólicas.

7.2 Características del seno, coseno y tangente

SENO

Solución[³]: sin(𝑥) = 𝑎, 𝑎 ∈ [−1, 1] → 𝑥 = 𝑘𝜋 ± (−1)^𝑘∙ arc sin(𝑎) , 𝑘 ∈ ℤ Periodicidad de la función seno y arco seno: 𝝅

La función seno es impar ⟺ sin(−𝛿) = −sin(𝛿)

COSENO

Solución: cos(𝑥) = 𝑎, 𝑎 ∈ [−1, 1] → 𝑥 = 2𝑘𝜋 ± arc cos(𝑎) , 𝑘 ∈ ℤ Periodicidad de la función coseno y arco coseno: 2𝜋

La función seno es par ⟺ cos(−𝛿) = cos(𝛿)

TANGENTE

Solución: tg(𝑥) = 𝑎, 𝑥 ∈ ℝ − {^{(2𝑘+1) • 𝜋}

2 } → 𝑥 =𝑘𝜋± arc tg(𝑎) , 𝑘 ∈ ℤ Periodicidad de la función tangente y arco tangente: 𝜋

La función tangente es impar ⟺ sin(−𝛿) = −sin(𝛿)

8. Funciones trigonométricas inversas

Las funciones arco seno (arc sin), arco coseno (arc cos) y arco tangente (arc tg) son impares, es decir:

𝑓

_𝑘

(−𝑥) = −𝑓

_𝑘

(𝑥)

Donde 𝑓_𝑘 representa a cualquiera de estas tres funciones.

La función inversa del seno, por ejemplo, es denotada como sin⁻¹ o arc sin. No confundir dicha denotación con la función cosecante, jamás.

sin⁻¹≠ ¹

sin sin⁻¹≠ cosec sin⁻¹= arc sin

9. Reducción de expresiones trigonométricas

Es posible obtener del Círculo Unitario que:

sin (^𝜋₂± 𝛼) = + cos(𝛼) sin (^3𝜋₂ ± 𝛼) = − cos(𝛼)

cos (^𝜋₂±𝛼) =∓ sin(𝛼) cos (^3𝜋₂ ±𝛼) =± sin(𝛼)

tg (^𝜋₂±𝛼) =∓ cotg(𝛼) tg (^3𝜋₂ ±𝛼) =∓ cotg(𝛼)

[³] Como se ve, se da la fórmula para obtener todas las soluciones existentes, cuando se resuelve una ecuación trigonométrica.

9

sin(𝜋±𝛼) =∓ sin(𝛼) sin(2𝜋 − 𝛼) = − sin(𝛼)

cos(𝜋 ± 𝛼) = − cos(𝛼) cos(2𝜋 − 𝛼) = cos(𝛼)

tg(𝜋±𝛼) =± tg(𝛼) tg(2𝜋 − 𝛼) = − tg(𝛼)

Para reducir expresiones de las funciones secante y cosecante, hay que recordar que sec(𝛼) = ¹

cos(𝛼) , y que cosec(𝛼) = ¹

sec(𝛼) .

10. Teorema del Área

El llamado Teorema del Área o Fórmula de Herón es de la siguiente forma:

Á = √𝑆(𝑆 − 𝑎)(𝑆 − 𝑏)(𝑆 − 𝑐) Donde:

Á es el área.

𝑎, 𝑏 y 𝑐 son los lados de un triángulo.

𝑆 es el semiperímetro, es decir, 𝑆 = ^{𝑎+𝑏+𝑐}₂

.

11. Teorema del Seno o Ley de los Senos

En un triángulo cualquiera, se cumple siempre que:

𝑎

sin(𝛼)= 𝑏

sin(𝛽)= 𝑐

sin(𝛾)= 2𝑅 𝑅: radio de la circunferencia circunscrita al triángulo.

También, como estamos hablando de proporciones, es válido decir:

sin(𝛼)

a =^sin(𝛽)

b =sin(𝛾) c

12. Teorema del Coseno o Ley de los Cosenos

En cualquier triángulo, se cumple que:

En forma general:

(ℓ₁)²= (ℓ₂)²+ (ℓ₃)²− 2 · ℓ₂· ℓ₃· cos(∢₁) ℓ₁ es el lado que se quiere calcular, ℓ₂ y ℓ₃son los otros lados del triángulo.

∢₁ es el ángulo opuesto que le corresponde al lado (ℓ₁).

13. Teorema de las Proyecciones

En forma general:

ℓ₁ = ℓ₂· cos(∢₃) + ℓ₃· cos(∢₂) ℓ₁ es el lado que se quiere calcular, ℓ₂ y ℓ₃ son los otros lados del triángulo.

∢₂ y ∢₃ son los ángulos opuestos a los lados ℓ₂ y ℓ₃, respectivamente.

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14. Fórmulas de identidades trigonométricas

Para resolver o demostrar identidades, es necesario aprenderse prácticamente todas las siguientes fórmulas.

IDENTIDADES FUNDAMENTALES

cos(𝛼)²+ sin(𝛼)²= 1 cosh²(𝜃) − sinh²(𝜃) = 1

SUMA Y DIFERENCIA DE ÁNGULOS

sin(𝛼±𝛽) = sin(𝛼) · cos(𝛽)±sin(𝛽) · cos(𝛼) cos(α±β) = cos(α) · cos(β) ∓ sin(α) · sin(β)

tg(α±β) = tg(𝛼) ± tg(𝛽) 1 ∓ tg(𝛼) · tg(𝛽) cotg(𝛼±𝛽) =cotg(𝛼) · cotg(𝛽) ∓ 1

cotg(𝛽) ± cotg(𝛼)

SUMA Y DIFERENCIA DE OPERACIONES TRIGONOMÉTRICAS (PROSTAFÉRESIS)

sin(𝑎)±sin(𝑏) = 2 · sin (𝑎±𝑏

2 ) · cos (𝑎∓𝑏

2 ) cos(𝑎)+cos(𝑏) =+2 ·cos(𝑎 + 𝑏

2 ) ·cos(𝑎 − 𝑏

2 )

cos(𝑎)−cos(𝑏) =−2 ·sin(𝑎 + 𝑏

2 ) ·sin(𝑎 − 𝑏

2 )

MULTIPLICACIÓN DE OPERACIONES TRIGONOMÉTRICAS (PROSTAFÉRESIS)

sin(𝐴) · cos(𝐵) =1

2[sin(𝐴 + 𝐵) + sin(𝐴 − 𝐵)]

cos(𝐴) · cos(𝐵) =1

2[cos(𝐴 + 𝐵) + cos(𝐴 − 𝐵)]

sin(𝐴) · sin(𝐵) =1

2[− cos(𝐴 + 𝐵) + cos(𝐴 − 𝐵)]

cos(𝐴) · sin(𝐵) =1

2[sin(𝐴 + 𝐵) − sin(𝐴 − 𝐵)]

ÁNGULO TRIPLE

Las identidades anteriores dan lugar a las dos siguientes:

sin(3𝜃) =3 sin(𝜃)− 4 sin³(𝜃) cos(3𝛿) =4 cos³(𝛿)− 3cos(𝛿)

MITAD DE UN ÁNGULO

sin (𝑥

2) = ±√1 − cos(𝑥)

2 cos (𝑥

2) = ±√1 + cos(𝑥)

2 tg (𝑥

2) = ±√1 − cos(𝑥) 1 + cos(𝑥)

En estas tres últimas fórmulas, el signo se desconoce (±). Se asigna el signo definitivo al analizar el ángulo con ayuda del círculo unitario.

Estas últimas fórmulas den origen a las identidades del cuadrado, muy importantes:

AL CUADRADO

sin²(𝜃) =1 − cos(2𝜃)

2 cos²(𝜃) =1 + cos(2𝜃)

2

OTRAS

sec²(𝜃) − tg²(𝜃) = 1 cosec²(𝜃) − cotg²(𝜃) = 1

RESUMEN DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS ESCENCIALES PARA INGENIERÍA

sin²(𝜃) + cos²(𝜃) = 1 sec²(𝜃) − tg²(𝜃) = 1

cosh²(𝜃) − sinh²(𝜃) = 1 cosec²(𝜃) − cotg²(𝜃) = 1 sin²(𝜃) =1 − cos(2𝜃)

2 cos²(𝜃) =1 + cos(2𝜃)

2

sin(𝛼 ± 𝛽) = sin(𝛼) cos(𝛽) ± cos(𝛼) sin(𝛼) cos(𝛼 ± 𝛽) = cos(𝛼) cos(𝛽) ∓ sin(𝛼) sin(𝛽) sin(𝛼) ± sin(𝛽) = 2 sin (𝛼 ± 𝛽

2 ) cos (𝛼 ∓ 𝛽

2 ) cos(𝛼) + cos(𝛽) = 2 cos (𝛼 + 𝛽

2 ) cos (𝛼 − 𝛽 2 ) cos(𝛼) + cos(𝛽) = 2 cos (𝛼 + 𝛽

2 ) cos (𝛼 − 𝛽 2 )

Para integración y otras muchas aplicaciones de ramos más avanzados de ingeniería civil, es importante memorizar la tablita. Las demás identidades se pueden formar mediante las que aparecen en ella.

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15. Bibliografía

↳ Libro Apuntes del Curso – Módulo 3 – Álgebra e Introducción al Cálculo. Universidad de los Andes, Facultad de Ingeniería y Ciencias Aplicadas.

↳ Varias páginas de Wikipedia. (http://es.wikipedia.org )

↳ El maravilloso graficador online Desmos (http://www.desmos.com/calculator ) fue usado para generar varios gráficos de este documento.

↳ Agradecimientos: profesor Luis Zegarra Agramont.

16. Ejercicios resueltos

Puede encontrar problemas de trigonometría resueltos en este excelente PDF:

http://www.luiszegarra.cl/moodle/pluginfile.php/140/mod_resource/content/1/Prob._Res._de_Trigon.pdf (crédito a profesor Luis Zegarra)

O este otro también es bueno:

http://luisgarrido.weebly.com/uploads/3/7/9/2/3792563/ejercicios_resueltos_trigonometria_ii.pdf (ejercicios hechos por Luis Garrido)