Inversi´ on de la transformada de Fourier

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(1)

Inversi´ on de la transformada de Fourier

Definici´on 1 (puntos de Lebesgue de una funci´on). Sea f ∈ L1(R). Denotemos por Leb(f ) al conjunto de los puntos de Lebesgue de f :

Leb(f ) :=

x ∈ R : lim

δ→0

1 2δ

x+δ

Z

x−δ

|f (y) − f (x)| dy = 0

 .

La utilidad de los puntos de Lebesgue se muestra en el siguiente resultado simple.

Proposici´on 2. Sea f ∈ L1(R) y sea x ∈ Leb(f ). Entonces f (x) = lim

δ→0

1 2δ

Z

(x−δ,x+δ)

f (y) dy.

Demostraci´on. Notamos que 1

2δ Z

(x−δ,x+δ)

f (y) dy − f (x) = 1 2δ

Z

(x−δ,x+δ)

(f (y) − f (x)) dy.

Acotamos el valor absoluto de la integral por la integral del valor absoluto:

1 2δ

Z

(x−δ,x+δ)

f (y) dy − f (x)

≤ 1 2δ

Z

(x−δ,x+δ)

|f (y) − f (x)| dy.

La condici´on x ∈ Leb(f ) implica que la ´ultima integral tiende a cero, cuando δ tiende a cero.

Proposici´on 3. Sea f ∈ L1(R) y sea x ∈ R. Supongamos que f es continua en x.

Entonces x ∈ Leb(f ).

Demostraci´on. Sea ε > 0. Elegimos δ1 > 0 tal que

∀y ∈ (x − δ1, x + de1) |f (y) − f (x)| ≤ ε.

Si δ ∈ (0, δ1), entonces 1 2δ

x+δ

Z

x−δ

|f (y) − f (x)| dy ≤ 1 2δ

x+δ

Z

x−δ

ε dy = ε.

Hemos demostrado que x ∈ Leb(f ).

Inversi´on de la transformada de Fourier, p´agina 1 de 4

(2)

Proposici´on 4. Sea f ∈ L1(R) y sea x ∈ Leb(f ). Entonces f (x) = lim

t→0(Ht∗ f )(x).

Demostraci´on. Para cada r > 0 pongamos

Φ(r) =

x+r

Z

x−r

(f (y) − f (x)) dy.

De manera equivalente,

Φ(r) =

x+r

Z

x

f (y) dy +

x

Z

x−r

f (y) dy − 2r f (x).

Como f es Lebesgue-integrable, podemos aplicar el primer teorema fundamental de c´alcu- lo. Para casi todo r > 0 se tiene que

Φ0(r) = f (x + r) + f (x − r). (1)

La hip´otesis que x ∈ Leb(f ) implica que limr→0

 1 rΦ(r)



= 0.

Por consecuencia, Φ(r) → 0 cuando r → 0. Adem´as, |Φ(r)| ≤ kf k1+ 2r|f (x)|, as´ı que el cociente |Φ(r)|/r es acotado por alguna constante M :

|Φ(r)|

r ≤ M.

Consideremos la diferencia (Ht∗ f )(x) − f (x):

(Ht∗ f )(x) − f (x) = Z

R

f (x − y)Ht(y) dy − Z

R

f (x)Ht(y) dy

= Z

R

(f (x + y) − f (x)) Ht(y) dy

=

+∞

Z

0

f (x − y)Ht(y) dy +

+∞

Z

0

f (x + y)Ht(y) dy

=

+∞

Z

0

(f (x − y) + f (x + y)) Ht(y) dy

=

+∞

Z

0

Φ0(r)Ht(r) dr.

Inversi´on de la transformada de Fourier, p´agina 2 de 4

(3)

Integramos por partes usando los hechos que Φ(r)Ht(r) → 0 cuando r → 0 y cuando r → +∞:

(Ht∗ f )(x) − f (x) = −

+∞

Z

0

Φ(r)Ht0(r) dr =

+∞

Z

0

Φ(r)r e−r2/(4t) 2t√

4πt dr.

Acotamos por arriba haciendo el cambio de variable r = s√ t:

|(Ht∗ f )(x) − f (x)| ≤

+∞

Z

0

|Φ(s√ t)|

s√ t

s2e−s2/4 2√

4π ds.

Notamos que la funci´on t 7→ |Φ(s

t)|

s

t es acotada por una constante M y tiende a cero cuando t tiende a cero. La familia de las funciones bajo el signo de integral se puede acotar por una funci´on integrable:

|Φ(s√ t)|

s√ t

s2e−s2/4 2√

4π ≤ M

2√

4πs2e−s2/4.

Por el teorema de convergencia dominada de Lebesgue, podemos calcular el l´ımite de la familia de integrales como la integral de la funci´on l´ımite, pero la ´ultima es cero:

limt→0

|Φ(s√ t)|

s√ t

s2e−s2/4 2√

4π = 0.

Teorema 5 (f´ormula de inversi´on de Fourier en un punto de Lebesgue, suponiendo que la funci´on y su transformada de Fourier son integrables). Sea f ∈ L1(R) tal que bf ∈ L1(R), y sea x ∈ Leb(f ). Entonces

f (x) = Z

R

f (ξ) eb 2π i ξx dx.

Demostraci´on. Como ya hemos visto, (Ht∗ f )(x) =

Z

R

f (ξ) eb −4π22e2π i ξx dξ.

Vamos a pasar al l´ımite cuando t tiende a 0. Por la Proposici´on 4, (Ht∗ f )(x) → f (x).

La familia de funciones bajo la integral del lado derecho se puede acotar por la funci´on integrable | bf |:

| bf (ξ) e−4π22e2π i ξx| = | bf (ξ)| e−4π2t|ξ|2 ≤ | bf (ξ)|,

por eso podemos aplicar el teorema de convergencia dominada de Lebesgue:

limt→0

Z

R

f (ξ) eb −4π2t|ξ|2e2π i ξx dξ = Z

R

limt→0



f (ξ) eb −4π22e2π i ξx



= bf (ξ) e2π i ξx.

Inversi´on de la transformada de Fourier, p´agina 3 de 4

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Teorema 6 (la f´ormula de inversi´on de Fourier para las funciones integrables continuas cuyas transformadas de Fourier son integrables). Sea f ∈ L1(R) ∩ C(R). Supongamos que f ∈ Lb 1(R). Entonces para cada x en R se tiene

f (x) = Z

R

f (ξ) eb 2π i ξx dx.

La f´ ormula de inversi´ on de Fourier sin pedir la continuidad

Aceptamos sin demostraci´on el siguiente resultado de an´alisis real avanzado.

Teorema 7 (el teorema de diferenciaci´on de Lebesgue, sin demostraci´on). Sea f ∈ L1(R).

Entonces la medida de Lebesgue del conjunto R \ Leb(f ) es cero. En otras palabras, casi todos los n´umeros reales son puntos de Lebesgue de f .

Teorema 8 (la f´ormula de inversi´on de Fourier). Sea f ∈ L1(R) tal que bf ∈ L1(R).

Entonces para casi todo x en R,

f (x) = Z

R

f (ξ) eb 2π i ξx dx.

Inversi´on de la transformada de Fourier, p´agina 4 de 4

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