Inversi´ on de la transformada de Fourier
Definici´on 1 (puntos de Lebesgue de una funci´on). Sea f ∈ L1(R). Denotemos por Leb(f ) al conjunto de los puntos de Lebesgue de f :
Leb(f ) :=
x ∈ R : lim
δ→0
1 2δ
x+δ
Z
x−δ
|f (y) − f (x)| dy = 0
.
La utilidad de los puntos de Lebesgue se muestra en el siguiente resultado simple.
Proposici´on 2. Sea f ∈ L1(R) y sea x ∈ Leb(f ). Entonces f (x) = lim
δ→0
1 2δ
Z
(x−δ,x+δ)
f (y) dy.
Demostraci´on. Notamos que 1
2δ Z
(x−δ,x+δ)
f (y) dy − f (x) = 1 2δ
Z
(x−δ,x+δ)
(f (y) − f (x)) dy.
Acotamos el valor absoluto de la integral por la integral del valor absoluto:
1 2δ
Z
(x−δ,x+δ)
f (y) dy − f (x)
≤ 1 2δ
Z
(x−δ,x+δ)
|f (y) − f (x)| dy.
La condici´on x ∈ Leb(f ) implica que la ´ultima integral tiende a cero, cuando δ tiende a cero.
Proposici´on 3. Sea f ∈ L1(R) y sea x ∈ R. Supongamos que f es continua en x.
Entonces x ∈ Leb(f ).
Demostraci´on. Sea ε > 0. Elegimos δ1 > 0 tal que
∀y ∈ (x − δ1, x + de1) |f (y) − f (x)| ≤ ε.
Si δ ∈ (0, δ1), entonces 1 2δ
x+δ
Z
x−δ
|f (y) − f (x)| dy ≤ 1 2δ
x+δ
Z
x−δ
ε dy = ε.
Hemos demostrado que x ∈ Leb(f ).
Inversi´on de la transformada de Fourier, p´agina 1 de 4
Proposici´on 4. Sea f ∈ L1(R) y sea x ∈ Leb(f ). Entonces f (x) = lim
t→0(Ht∗ f )(x).
Demostraci´on. Para cada r > 0 pongamos
Φ(r) =
x+r
Z
x−r
(f (y) − f (x)) dy.
De manera equivalente,
Φ(r) =
x+r
Z
x
f (y) dy +
x
Z
x−r
f (y) dy − 2r f (x).
Como f es Lebesgue-integrable, podemos aplicar el primer teorema fundamental de c´alcu- lo. Para casi todo r > 0 se tiene que
Φ0(r) = f (x + r) + f (x − r). (1)
La hip´otesis que x ∈ Leb(f ) implica que limr→0
1 rΦ(r)
= 0.
Por consecuencia, Φ(r) → 0 cuando r → 0. Adem´as, |Φ(r)| ≤ kf k1+ 2r|f (x)|, as´ı que el cociente |Φ(r)|/r es acotado por alguna constante M :
|Φ(r)|
r ≤ M.
Consideremos la diferencia (Ht∗ f )(x) − f (x):
(Ht∗ f )(x) − f (x) = Z
R
f (x − y)Ht(y) dy − Z
R
f (x)Ht(y) dy
= Z
R
(f (x + y) − f (x)) Ht(y) dy
=
+∞
Z
0
f (x − y)Ht(y) dy +
+∞
Z
0
f (x + y)Ht(y) dy
=
+∞
Z
0
(f (x − y) + f (x + y)) Ht(y) dy
=
+∞
Z
0
Φ0(r)Ht(r) dr.
Inversi´on de la transformada de Fourier, p´agina 2 de 4
Integramos por partes usando los hechos que Φ(r)Ht(r) → 0 cuando r → 0 y cuando r → +∞:
(Ht∗ f )(x) − f (x) = −
+∞
Z
0
Φ(r)Ht0(r) dr =
+∞
Z
0
Φ(r)r e−r2/(4t) 2t√
4πt dr.
Acotamos por arriba haciendo el cambio de variable r = s√ t:
|(Ht∗ f )(x) − f (x)| ≤
+∞
Z
0
|Φ(s√ t)|
s√ t
s2e−s2/4 2√
4π ds.
Notamos que la funci´on t 7→ |Φ(s
√t)|
s√
t es acotada por una constante M y tiende a cero cuando t tiende a cero. La familia de las funciones bajo el signo de integral se puede acotar por una funci´on integrable:
|Φ(s√ t)|
s√ t
s2e−s2/4 2√
4π ≤ M
2√
4πs2e−s2/4.
Por el teorema de convergencia dominada de Lebesgue, podemos calcular el l´ımite de la familia de integrales como la integral de la funci´on l´ımite, pero la ´ultima es cero:
limt→0
|Φ(s√ t)|
s√ t
s2e−s2/4 2√
4π = 0.
Teorema 5 (f´ormula de inversi´on de Fourier en un punto de Lebesgue, suponiendo que la funci´on y su transformada de Fourier son integrables). Sea f ∈ L1(R) tal que bf ∈ L1(R), y sea x ∈ Leb(f ). Entonces
f (x) = Z
R
f (ξ) eb 2π i ξx dx.
Demostraci´on. Como ya hemos visto, (Ht∗ f )(x) =
Z
R
f (ξ) eb −4π2tξ2e2π i ξx dξ.
Vamos a pasar al l´ımite cuando t tiende a 0. Por la Proposici´on 4, (Ht∗ f )(x) → f (x).
La familia de funciones bajo la integral del lado derecho se puede acotar por la funci´on integrable | bf |:
| bf (ξ) e−4π2tξ2e2π i ξx| = | bf (ξ)| e−4π2t|ξ|2 ≤ | bf (ξ)|,
por eso podemos aplicar el teorema de convergencia dominada de Lebesgue:
limt→0
Z
R
f (ξ) eb −4π2t|ξ|2e2π i ξx dξ = Z
R
limt→0
f (ξ) eb −4π2tξ2e2π i ξx
= bf (ξ) e2π i ξx.
Inversi´on de la transformada de Fourier, p´agina 3 de 4
Teorema 6 (la f´ormula de inversi´on de Fourier para las funciones integrables continuas cuyas transformadas de Fourier son integrables). Sea f ∈ L1(R) ∩ C(R). Supongamos que f ∈ Lb 1(R). Entonces para cada x en R se tiene
f (x) = Z
R
f (ξ) eb 2π i ξx dx.
La f´ ormula de inversi´ on de Fourier sin pedir la continuidad
Aceptamos sin demostraci´on el siguiente resultado de an´alisis real avanzado.
Teorema 7 (el teorema de diferenciaci´on de Lebesgue, sin demostraci´on). Sea f ∈ L1(R).
Entonces la medida de Lebesgue del conjunto R \ Leb(f ) es cero. En otras palabras, casi todos los n´umeros reales son puntos de Lebesgue de f .
Teorema 8 (la f´ormula de inversi´on de Fourier). Sea f ∈ L1(R) tal que bf ∈ L1(R).
Entonces para casi todo x en R,
f (x) = Z
R
f (ξ) eb 2π i ξx dx.
Inversi´on de la transformada de Fourier, p´agina 4 de 4
