series de fourier

(1)

Series Funcionales.

Series de Fourier.

Problemas resueltos

Salv

Salvador ador VVera era BallesterosBallesteros www.satd.uma.es/matap/svera www.satd.uma.es/matap/svera

7.

7.1 1 S

Seri

eries

es d

de

e fun

funcciione

oness

7.

7.2 2 sseri

eries

es de

de pot

poten

enci

cia

ass

De¯nici¶

De¯nici¶on 7.1on 7.1 Se llama serie de potencia a la serie de funciones del tipoSe llama serie de potencia a la serie de funciones del tipo

1 1

X

n n=0=0 a annxxnn == aa00 ++ aa11xx ++ aa22xx22++

¢¢ ¢¢ ¢¢

++ aannxxnn++

¢¢ ¢¢ ¢¢

o del tipo o del tipo 1 1

X

n n==00 a ann((xx

¡

xx00))nn == aa00 ++ aa11((xx

¡

xx00) +) + aa22((xx

¡

xx00))22 ++

¢¢ ¢¢ ¢¢

++ aann((xx

¡

xxnn))nn ++

¢¢ ¢¢ ¢¢

donde los coe¯cientes

donde los coe¯cientes aa00;; aa11;; aa22;;

¢¢ ¢¢ ¢¢

;; aann;;

¢¢ ¢¢ ¢¢

son constantes.son constantes.

Teorema 7.1

Teorema 7.1 Para laPara la converconvergencia de la serie de potencgencia de la serie de potencias ias

1 1

X

n n=0=0 a annxxnns¶ s¶ olamenteolamente

caben las tres posibilidades siguientes caben las tres posibilidades siguientes

(2)

22 CAP CAP ¶¶IITUTULO LO 7. 7. SSERIERIES ES FUFUNNCICIONAONALLES. ES. SERSERIEIES DS DE FE FOUROURIEIER.R.

1. La serie converge ¶

1. La serie converge ¶ unicamente en el puntounicamente en el punto xx = 0= 0 2. La serie converge en toda la recta real

2. La serie converge en toda la recta real ((

_¡1

;;

₁

))

3. La serie converge en un intervalo centrado en el origen

3. La serie converge en un intervalo centrado en el origen ((

_¡

R;R; ++RR)) y y diver

diverge ge fuerfuera a de ¶de ¶el. el. Pudiendo Pudiendo ser converser convergente o gente o no en no en los extremos delos extremos de dicho intervalo.

dicho intervalo. De¯nici¶

De¯nici¶on 7.2on 7.2 Al intervalo donde converge la serie se le llama intervalo deAl intervalo donde converge la serie se le llama intervalo de convergencia y a R radio de convergencia

convergencia y a R radio de convergencia Teorema 7.2

Teorema 7.2 El radio de convergencia de una serie de potencias puede cal-El radio de convergencia de una serie de potencias puede cal-cularse por cualquiera de las dos f¶

cularse por cualquiera de las dos f¶ ormulas siguientes ormulas siguientes R R = lim= lim n n!1!1

jj

aann

jj

aann+1+1

jj

RR = lim= limnn!1!1 11 n n

p

_jj

aann

jj

Teorema 7.3 (Continuidad uniforme)

Teorema 7.3 (Continuidad uniforme) La serie de potencias converge ab-La serie de potencias converge ab-solutamente y de manera uniforme en cualquier intervalo cerrado totalmente solutamente y de manera uniforme en cualquier intervalo cerrado totalmente comprendido en el intervalo de convergencia

comprendido en el intervalo de convergencia [[

_¡

a;a; aa]]

_½

((

_¡

R;R; RR)) Teorema 7.4

Teorema 7.4 11. . LLa a susuma ma de la de la serserie ie de de ppoteotencias ncias S S ((xx)) es continua en es continua en cada punto

cada punto xx de su intervalo de convergencia de su intervalo de convergencia ((

_¡

RR;;RR))

2. La serie de potencias puede derivarse e integrarse dentro del intervalo 2. La serie de potencias puede derivarse e integrarse dentro del intervalo

de convergencia,conserv¶

de convergencia,conserv¶ andose el radio de convergencia.andose el radio de convergencia. Ejemplo 7.1

Ejemplo 7.1 Halla el campo de convergencia de la serieHalla el campo de convergencia de la serie

1 1

X

n n=1=1 x xnn n n!! Soluci¶

Soluci¶on:on: Podemos elegir entre aplicar el criterio del cociente o calcular elPodemos elegir entre aplicar el criterio del cociente o calcular el radio d

radio de convee convergencia directamente. rgencia directamente. TTeenemosnemos a ann == 11 n n!! aann+1+1== 11 ((nn +1)!+1)! de donde de donde R R = lim= lim n n!1!1

¯¯¯¯

a ann a ann+1+1

¯¯¯¯

= lim= limnn!1!1 ((nn +1)!+1)! n n!! = lim= limnn!1!1 ((nn + 1)+ 1)

_¢¢

nn!! n n!! = lim= limnn!1!1((nn ++ 11) =) =

1

Por consiguiente, el intervalo de convergencia es (

_¡1

;;

₁

), es decir, la serie), es decir, la serie converge en toda la recta real.

(3)

Ejemplo 7.2

1 1

X

n n=1=1 n n!! xxnn Soluci¶

radio de convergene convergencia dircia direectamenctamente. te. TTenemenemosos a ann == nn!! aann+1+1 = (= (nn + 1)!+ 1)! de donde de donde R R = lim= lim n n!1!1

¯¯¯¯

a ann a ann++11

¯¯¯¯

= lim = lim n n!1!1 n n!! ((nn + 1)!+ 1)! = = lliimnn!1!1m n n!! ((nn + 1)+ 1)

_¢¢

nn!! = lim= limnn!1!1 11 n n + 1+ 1 = 0= 0 Por consiguiente, la serie converge s¶

Por consiguiente, la serie converge s¶olo en el puntoolo en el punto xx = = 0.0. Ejemplo 7.3

1 1

X

n n==11 ((

_¡

1)1)nn¡¡11 n n

_¢¢

33nn ((xx ++ 1)1) n n Soluci¶

radio de convergene convergencia dircia direectamenctamente. te. TTenemenemosos a ann == ((

_¡

1)1)nn¡¡11 n n

_¢¢

33nn aann+1+1 == ((

_¡

1)1)nn ((nn ++ 1)1)

_¢¢

33nn+1+1 de donde de donde R R = lim= lim n n!1!1

¯¯¯¯

a ann a ann+1+1

¯¯¯¯

= lim = lim n n!1!1 ((nn ++ 1)1)

_¢¢

33nn+1+1 n n

_¢¢

33nn = lim= lim_n_n!1!13(1 +3(1 + 11 n n) = ) = 33 Por consiguiente, la serie converge absolutamente en el intervalo

Por consiguiente, la serie converge absolutamente en el intervalo

_jj

xx ++11

_jj

<< 3,3, y eliminando el valor absoluto tenemos

y eliminando el valor absoluto tenemos

jj

xx + 1+ 1

_jj

<< 33

_!

_{! ¡}

_¡

33 < x< x ++ 11 << 33

_{! ¡}

44 < < x <x < 22

Tenemos que comprobar la convergencia de la serie en los extremos del Tenemos que comprobar la convergencia de la serie en los extremos del in-tervalo

tervalo Cuando

Cuando xx ==

_¡

4, obtenemos la serie num¶4, obtenemos la serie num¶ericaerica

1 1

X

n n==11 ((

_¡

1)1)nn¡¡11 n n

_¢¢

33nn ((

¡

3)3) n n ₌₌ 1 1

X

n n==11 ((

_¡

1)1)nn¡¡11 n n ((

¡

1)1) n n ₌₌ 1 1

X

n n==11 ((

_¡

1)1)22nn¡¡11 n n ==

¡

1 1

X

n n=1=1 11 n n que es la serie armonica divergente.

que es la serie armonica divergente. Cuando

Cuando xx = 2, = 2, obtenemos obtenemos la la seriserie e num¶num¶ericaerica

1 1

X

n n==11 ((

_¡

1)1)nn¡¡11 n n

_¢¢

33nn (3)(3) n n ₌₌ 1 1

X

n n=1=1 ((

_¡

1)1)nn¡¡11 n n

(4)

que es una serie alternada condicionalmente convergente. que es una serie alternada condicionalmente convergente. Por lo tanto el campo de convergencia de la serie es

Por lo tanto el campo de convergencia de la serie es

_¡

44 < < xx

_·

2.2. Ejemplo 7.4

1 1

X

n n==11 ((

_¡

1)1)nn n nnn ((xx + 1)+ 1) n n Soluci¶

Soluci¶on:on: Podemos elegir entre aplicar el criterio de la raiz o calcular elPodemos elegir entre aplicar el criterio de la raiz o calcular el radio d

radio de convee convergencia directamente. rgencia directamente. TTeenemosnemos a a_n_n == ((

¡

1)1) n n n nnn de donde de donde R R = lim= lim n n!1!1 n n

s

11

jj

aann

jj

= = lliimm n n!1!1 n n

p

_n_nnn _{= lim}_{= lim} n n!1!1nn ==

1

Por consiguiente, la serie converge absolutamente en el intervalo (

_¡1

;;

₁

),), es decir, la serie converge para todos los valores de

es decir, la serie converge para todos los valores de xx..

7.2.

7.2.1 1 De

Desa

sarro

rroll

llo de

o de fun

funccion

iones en seri

es en serie

es

s de pote

de potenci

ncias

as

Para hallar el desarrollo de una funci¶

Para hallar el desarrollo de una funci¶on en serie de potencias se suele segiron en serie de potencias se suele segir uno de los dos procedimientos siguientes:

uno de los dos procedimientos siguientes: 1. Mediante la serie geom¶

1. Mediante la serie geom¶etricaetrica 2.

2. MedianMediante la serie te la serie de Tde Taylor.aylor.

Des

Desararrorollo llo de de fufuncncioniones es en en seseries ries de de potepotencincias as memediadiannte te la la seriseriee geom¶

geom¶etricaetrica T

Teniendo en eniendo en cuenta que cuenta que la suma la suma de de la serila serie geom¶e geom¶eetrica trica viene de¯nida viene de¯nida porpor 11

11

_¡

rr = 1 += 1 + rr ++ rr

2

2 ₊_{+ rr}33₊₊

¢¢ ¢¢ ¢¢

y que la convergencia en este caso viene determinada por

_jj

rr

_jj

<< 1.1.

Resulta que aquellas funciones que puedan expresarse en la forma del primer Resulta que aquellas funciones que puedan expresarse en la forma del primer mie

miembro mbro podr¶podr¶aan n desdesarrarrolollarlarse se een n serserie ie dde e popotenctencia ia memediandiante te la la serserie ie ge- ge-om¶

om¶etretricaica, , sisin mn m¶¶as que sustituiras que sustituir rr por la expresi¶por la expresi¶on correspondiente, y el inter-on correspondiente, y el inter-valo de convergencia vendr¶

valo de convergencia vendr¶a determinado por la raz¶a determinado por la raz¶on correspondion correspondienente. te. (en(en este caso la convergencia en los extremos no ser¶

este caso la convergencia en los extremos no ser¶a necesaria veri¯carla, ya quea necesaria veri¯carla, ya que la s

(5)

Ejemplo 7.5

Ejemplo 7.5 Desarrollar en serie de potencias, indicando el intervalo deDesarrollar en serie de potencias, indicando el intervalo de convergencia, la funci¶

convergencia, la funci¶ on on

f

f ((xx) ) == 11 1 + 1 + xx Soluci¶

Soluci¶on:on: TTenieneniendo edo en n cuenta cuenta la la suma suma geom¶geom¶etricaetrica 11 11

_¡

xx = = 1 +1 + xx ++ xx 2 2₊_{+ x}_x33 ₊₊

¢¢ ¢¢ ¢¢

Cambiando

Cambiando xx porpor

_¡

xx obtenemos el desarrollo pedidoobtenemos el desarrollo pedido 11 1 + 1 + xx == 11 11

_¡

((

_¡

xx)) = = 11

¡

xx ++ xx 2 2

¡

xx33 ++

_{¢¢ ¢¢ ¢¢}

Ejemplo 7.6

Ejemplo 7.6 Desarrollar en serie de potencias, indicando el intervalo deDesarrollar en serie de potencias, indicando el intervalo de convergencia, la funci¶

convergencia, la funci¶ on on

f

f ((xx) ) == 55 33

_¡

xx Soluci¶

Soluci¶on:on: TTenieneniendo edo en n cuenta cuenta la la suma suma geom¶geom¶etricaetrica 11

11

_¡

rr = 1 = 1 ++ rr ++ rr

2

2 ₊_{+ rr}33 ₊₊

¢¢ ¢¢ ¢¢

Tratamos de expresar la funci¶

Tratamos de expresar la funci¶on en la forma del primer miembro y sustitu-on en la forma del primer miembro y sustitu-imos

imos rr por la expresi¶por la expresi¶on correspondienteon correspondiente f f ((xx) ) == 55 33

_¡

xx == 55 3(1 3(1

_¡

xx₃₃)) == 55 33 11 11

_¡

xx₃₃ == 55 33

µ

_{1 +}_{1 +} xx 33 ++ x x22 3322

¢¢ ¢¢ ¢¢

¶

El intervalo de convergencia viene dado por

_jj

rr

_jj

==

_jj

xx₃₃

_jj

<< 1, de donde1, de donde

_jj

xx

_jj

<< 3,3, es decir

es decir IC IC = (= (

_¡

33;; 3)3) Ejemplo 7.7

Ejemplo 7.7 Desarrollar en serie de potencias, centrada en Desarrollar en serie de potencias, centrada en xx00 = = 11, indi-,

indi-cando el intervalo de convergencia, la funci¶ cando el intervalo de convergencia, la funci¶ on on

f

f ((xx) ) == 55 33

_¡

xx Soluci¶

Soluci¶on:on: TTenieneniendo edo en n cuenta cuenta la la suma suma geom¶geom¶etricaetrica 11

11

_¡

rr = 1 = 1 ++ rr ++ rr

2

2 ₊_{+ rr}33 ₊₊

¢¢ ¢¢ ¢¢

Tratamos de expresar la funci¶

Tratamos de expresar la funci¶on en la forma del primer miembro, intentandoon en la forma del primer miembro, intentando que

que rr sea del tipo (sea del tipo (xx

_¡

1), y sustituimos rr por la expresi¶1), y sustituimos por la expresi¶on correspondienteon correspondiente f f ((xx) ) == 55 33

_¡

xx == 55 33

_¡

((xx

_¡

1 + 1)1 + 1) == 55 33

_¡

((xx

_¡

1)1)

_¡

11 == 55 22

_¡

((xx

_¡

1)1) ==

(6)

66 CAP CAP ¶¶IITUTULO LO 7. 7. SSERIERIES ES FUFUNNCICIONAONALLES. ES. SERSERIEIES DS DE FE FOUROURIEIER.R. = = 55 22 11 11

_¡

xx

¡

11 22 = = 55 22

µ

_{1 +}_{1 +} xx

_¡

11 22 ++ ((xx

_¡

11))22 2222 ++ ((xx

_¡

1)1)33 2233

¢¢ ¢¢ ¢¢

¶

El

El inintervtervaalo lo de de conconververgengencia cia viviene ene dado dado porpor

_jj

rr

_jj

==

_jj

xx¡¡11

2

jj

<< 1, de donde1, de donde

jj

xx

_¡

11

_jj

<< 2, y quitando el valor absoluto resulta2, y quitando el valor absoluto resulta

_¡

22 < < xx

_¡

11 << 2, de donde2, de donde

¡

11 < x < x << 3, es decir3, es decir IC IC = (= (

_¡

11;; 3)3)

Desarrollo de funciones en series de potencias mediante la serie de Desarrollo de funciones en series de potencias mediante la serie de Taylor

Taylor Toda funci¶

Toda funci¶on in¯nitamente derivable en un intervalo (on in¯nitamente derivable en un intervalo (xx00

¡

r;r; xx00 ++ rr) puede) puede

desarrollarse en este intervalo mediante una serie in¯nita de potencias de la desarrollarse en este intervalo mediante una serie in¯nita de potencias de la forma: forma: f f ((xx) ) == f f ((xx00)) ++f f 00 ((xx00)) 1! 1! ((xx

¡

xx00)) ++ f f 0000 ((xx00)) 2! 2! ((xx

¡

xx00)) 2 2₊₊

¢¢ ¢¢ ¢¢

++f f ((nn))_((x_x 0 0)) n n!! ((xx

¡

xx00)) n n₊₊

¢¢ ¢¢ ¢¢

Cuando

Cuando xx = 0 obtenemos la llamada serie de Mac Laurin.= 0 obtenemos la llamada serie de Mac Laurin. f f ((xx) =) = f f (0) +(0) + f f 00 (0) (0) 1! 1! xx ++ f f 0000 (0) (0) 2! 2! xx 2 2 ₊₊

¢¢ ¢¢ ¢¢

++ f f ((nn))₍₀₎₍₀₎ n n!! xx n n₊₊

¢¢ ¢¢ ¢¢

Teorema 7.5 (Convergencia de la serie de Taylor)

Teorema 7.5 (Convergencia de la serie de Taylor) Para que sea posi-Para que sea posi-ble desarrollar la funci¶

ble desarrollar la funci¶ on on f f ((xx)) en serie de Tailor en un intervaloen serie de Tailor en un intervalo I I es nece-es nece-sario

sario y y su¯cientsu¯ciente que que el e el tt¶¶ermino complemenermino complementariotario RR_n_n((xx)) tienda a cero, cuandotienda a cero, cuando n

n

_!

_{! 1}

₁

, para todos los , para todos los xx

₂₂

I I lim lim n n!1!1RRnn((xx) ) = = linnlim!1!1m f f ((nn+1)+1)((cc)) ((nn + 1)!+ 1)! ((xx

¡

xx00)) n

n++11 ₌_{= 00 para todos los}_{para todos los x}_x

22

I I Teorema 7.6 (Condici¶

Teorema 7.6 (Condici¶on su¯ciente de convergencia)on su¯ciente de convergencia) ParaPara que sea pque sea posi- osi-ble desarrollar la funci¶

ble desarrollar la funci¶ on on f f ((xx)) en el intervaloen el intervalo I I = = ((xx₀₀

_¡

R;R; xx₀₀ ++ RR)), en una , en una serie de Taylor, es su¯ciente que

serie de Taylor, es su¯ciente que f f ((xx)) tenga en este intervalo derivadas detenga en este intervalo derivadas de todos los ¶

todos los ¶ ordenes y que exista una constanteordenes y que exista una constante K K >> 00 tal quetal que

jj

f f ((nn))((xx))

_j·

K para K para nn = 0= 0;; 11;; 22;;

_{¢¢ ¢¢ ¢¢}

y para todos los xy para todos los x

₂₂

I I Series de taylor de las funciones elementales

Series de taylor de las funciones elementales eexx _{= 1 +}_{= 1 +} xx 1! 1! ++ x x22 2! 2! ++ x x33 3! 3! ++

¢¢ ¢¢ ¢¢

;;

¡1

< x < x <<

1

sen sen xx == xx

_¡

xx 3 3 3! 3! ++ x x55 5! 5!

¡ ¢ ¢ ¢

;;

¡1

< < x <x <

1

ccosos xx = = 11

_¡

xx 2 2 2! 2! ++ x x44 4! 4!

¡ ¢ ¢ ¢

;;

¡1

< < x <x <

1

(7)

(1+ (1+xx))mm ₌_{= 1+}₁₊mm 1! 1!xx++ m m((mm

_¡

1)1) 2! 2! ++

¢¢ ¢¢ ¢¢

;;

8

8 <

<

:

m m

_¸

00

_{! ¡}

11

_·

xx

_·

11

¡

11 < m < m << 00

_{! ¡}

11 < < xx

_·

11 m m

_·

_{· ¡}

_¡

11

_!

_{! ¡}

_¡

11 < x < x << 11 ln(1 + ln(1 + xx) =) = xx

_¡

xx 2 2 22 ++ x x33 33

¡ ¢ ¢ ¢

;;

¡

11 < < xx

·

11 arctan arctan xx == xx

_¡

xx 3 3 33 ++ x x55 55

¡ ¢ ¢ ¢

;;

¡

11

·

xx

·

11 Ejemplo 7.8

Ejemplo 7.8 Desarrollar en series de potencias las funciones Desarrollar en series de potencias las funciones f

f ((xx) ) == ee¡¡xx

y

y gg((xx) =) = ee¡¡xx22

Soluci¶

Soluci¶on:on: En el desarrollo deEn el desarrollo de eexx = = 1 +1 + xx 1! 1! ++ x x22 2! 2! ++ x x33 3! 3! ++

¢¢ ¢¢ ¢¢

;;

¡1

< < x <x <

1

sustituimos

sustituimos xx porpor

_¡

xx y obtenemosy obtenemos ee¡¡xx = = 11

_¡

xx ++ xx 2 2 2! 2!

¡

x x33 3! 3! ++

¢¢ ¢¢ ¢¢

;;

¡1

< < x <x <

1

y si sustituimos

y si sustituimos xx porpor

_¡

xx22 obtenemosobtenemos ee¡¡xx22 = = 11

_¡

xx22 ++ xx 4 4 2! 2!

¡

x x66 3! 3! ++

¢¢ ¢¢ ¢¢

;;

¡1

< < x <x <

1

7.2.

7.2.2 2 De

Desa

sarrol

rrollo de fu

lo de funci

ncio

ones en se

nes en serie

ries de poten

s de potenccias a

ias a

partir de otros desarrollos conocidos

Teorema 7.7

Teorema 7.7 Dos series de potencia se pueden sumar miembro a miembroDos series de potencia se pueden sumar miembro a miembro y multiplicar por la regla de multiplicaci¶

y multiplicar por la regla de multiplicaci¶ on de polinomon de polinomiosios. . LLa nueva sera nueva serieie obtenida,

obtenida, tendrtendr¶ ¶ a un intervalo de convergencia, que coincidir¶ a un intervalo de convergencia, que coincidir¶ a con el intervaloa con el intervalo com¶

com¶ un un de los de los inteintervalorvalos s de code convernvergencgencia ia de de las serielas series s prprimitivimitivasas. . PudiPudiendoendo ser o no convergente en los extremos de dicho intervalo.

ser o no convergente en los extremos de dicho intervalo. Teorema 7.8

Teorema 7.8 Las series de potencias se pueden derivar e integrar t¶ Las series de potencias se pueden derivar e integrar t¶ erminoermino a

a t¶ t¶ erminermino. o. El radio de conEl radio de convergvergencia de la encia de la seriserie e obtobtenida poenida por derivaci¶ r derivaci¶ on on oo integrai¶

integrai¶ on es el mismo que el de la serie original, sin embargo, el intervalo deon es el mismo que el de la serie original, sin embargo, el intervalo de convergencia puede cambiar, porque unas sean convergentes en los extremos convergencia puede cambiar, porque unas sean convergentes en los extremos y las otras no.

y las otras no. Ejemplo 7.9

Ejemplo 7.9 Desarrolla en serie de potencias la funci¶ Desarrolla en serie de potencias la funci¶ on on ln

ln1 +1 + xx 11

_¡

xx

(8)

Soluci¶

Soluci¶onon Aplicando las propiedades de los logaritmos tenemos queAplicando las propiedades de los logaritmos tenemos que ln

ln 1 +1 + xx

11

_¡

xx = ln(1 += ln(1 + xx))

¡

ln(1ln(1

¡

xx)) Teniendo en cuenta el desarrollo concolido de ln(1 + Teniendo en cuenta el desarrollo concolido de ln(1 + xx))

ln(1 + ln(1 + xx) ) == xx 11

¡

x x22 22 ++ x x33 33

¡

x x44 44 ++

¢¢ ¢¢ ¢¢

((

¡

11 < < xx

·

1)1) Cambiando

Cambiando xx porpor

_¡

xx tenemostenemos ln(1 ln(1

_¡

xx) =) =

_¡

xx 11

¡

x x22 22

¡

x x33 33

¡

x x44 44

¡ ¢ ¢ ¢

((

¡

11

·

x < 1)x < 1) Restando miembro a miembro ambas series resulta

Restando miembro a miembro ambas series resulta ln ln 1 +1 + xx 11

_¡

xx = = 22

µ

_x_{x +}₊ xx33 33 ++ x x55 55 ++

¢¢ ¢¢ ¢¢

¶

₍₍

¡

11 < < x <x < 11)) Ejemplo 7.10

Ejemplo 7.10 desarrolla en serie de potencias la funci¶ desarrolla en serie de potencias la funci¶ on on 11 x x22

¡

33xx ++ 22 Soluci¶

Soluci¶on:on: Descomponemos la fracci¶Descomponemos la fracci¶on en fracciones simpleson en fracciones simples 11 x x22

¡

33xx + 2+ 2 == 11 ((xx

_¡

1)(1)(xx

_¡

2)2) == 11 x x

_¡

22

¡

11 x x

_¡

11 T

Transfransformamos lormamos las fas fracciones bracciones buscando uscando la sla serie gerie geom¶eom¶etricaetrica 11 x x

_¡

22

¡

11 x x

_¡

11 == 11 11

_¡

xx

¡

11 22

_¡

xx == 11 11

_¡

xx

¡

11 22 11 11

_¡

xx₂₂ Desarrollamos en serie cada una de las fracciones

Desarrollamos en serie cada una de las fracciones 11 11

_¡

xx = 1 = 1 ++ xx ++ xx 2 2₊_{+ x}_x33 ₊₊

¢ ¢ ¢ !

IC IC = (= (

_¡

11;; 1)1) 11 11

_¡

xx₂₂ = = 1 +1 + x x 22 ++ x x22 44 ++ x x33 88 ++

¢ ¢ ¢ !

IIC C = (= (

¡

22;; 2)2) luego, las dos series

luego, las dos series convconvergen en el intervergen en el intervalo com¶alo com¶un (un (

_¡

11;; 1), y en es1), y en esee interintervvaloalo las

las popodemdemos os sumsumar ar t¶t¶erminermino o a a t¶t¶erminerminoo 11 x x22

¡

33xx ++ 22 = (1+= (1+xx++xx 2 2₊_+x_x33₊₊

¢¢ ¢¢ ¢¢

))

_¡

11 22

µ

_{1 +}_{1 +} xx 22 ++ x x22 44 ++ x x33 88 ++

¢¢ ¢¢ ¢¢

¶

₌₌ 11 22++ 33 44xx++ 77 88xx 2 2₊₊

¢¢ ¢¢ ¢¢

Ejemplo 7.11

Ejemplo 7.11 Desarrolla en serie de potencias la funci¶ Desarrolla en serie de potencias la funci¶ on on arctan

(9)

Soluci¶

Soluci¶onon Partimos de quePartimos de que

arctan arctan xx ==

Z

x x 0 0 dx dx 1 + 1 + xx22

Teniendo en cuenta el desarrollo de la serie geom¶ Teniendo en cuenta el desarrollo de la serie geom¶etricaetrica

11 11

_¡

xx = = 1 +1 + xx ++ xx 2 2 ₊_{+ x}_x33 ₊_{+ x}_x44 ₊₊

¢¢ ¢¢ ¢¢

Cambiando

Cambiando xx porpor

_¡

xx22 _{obtenemos el desarrollo de la funci¶}_{obtenemos el desarrollo de la funci¶on subintegral}_{on subintegral}

11 1 + 1 + xx22 == 11 11

_¡

((

_¡

xx22₎₎ = 1= 1

¡

xx 2 2 ₊_{+ x}_x44

¡

xx66 ++

_{¢¢ ¢¢ ¢¢}

E

E integrandintegrando o t¶t¶ermino ermino a a t¶t¶ermino ermino obtenemos obtenemos es es desarrodesarrollo llo pedipedidodo arctan arctan xx ==

Z

x x 0 0 (1 (1

_¡

xx22++ xx44

_¡

xx66++

_{¢¢ ¢¢ ¢¢}

))dxdx == xx

_¡

xx 3 3 33 ++ x x55 55

¡

x x77 77 ++

¢¢ ¢¢ ¢¢

(1(1

·

xx

·

1)1) Ejemplo 7.12

Ejemplo 7.12 Determinar el desarrollo en serie de potencias, alrededor del Determinar el desarrollo en serie de potencias, alrededor del punto

punto xx00 = 0= 0, de la funci¶ , de la funci¶ on on

f f ((xx) = ln) = ln

µ

1 +1 + xx 11

_¡

xx

¶

Estudiar el intervalo m¶

Estudiar el intervalo m¶ aximo de convergencia de la serie funcional resultanteaximo de convergencia de la serie funcional resultante y utilizarla para calcular

y utilizarla para calcular

1 1

X

n n=1=1 11 (2 (2nn + 1+ 1)) 3322nn+1+1 Soluci¶

Soluci¶on:on: Si intentamos aplicar el desarrollo de Taylor directamente a laSi intentamos aplicar el desarrollo de Taylor directamente a la funci¶

funci¶on dada resulta que las derivadas sucesivas son cada vez m¶on dada resulta que las derivadas sucesivas son cada vez m¶as compli-as compli-cada

cadas. s. PoPor r eso puede conveeso puede convenir descomponnir descomponer er el logariel logaritmo en tmo en una una difdiferencierenciaa ln ln

µ

1 +1 + xx 11

_¡

xx

¶

_{= ln(1 +}_{= ln(1 + x}_x))

¡

ln(1ln(1

_¡

xx)) Podemos ah

Podemos ahora aplicora aplicar el desar el desarrollo dearrollo de TTaaylorylor conjuntconjuntamenteamente a loa los dos t¶s dos t¶erminos,erminos, o bien desarrollar en serie cada t¶

o bien desarrollar en serie cada t¶ermino ermino por por separseparado ado y y despu¶despu¶ees s sumar sumar laslas seri

series es resultantes resultantes t¶t¶ermino ermino a a t¶t¶ermiermino. no. Sin embaSin embargo, en rgo, en este ceste caso podemos aso podemos oob- b-servar que

servar que al al derivderivar ar la la serie iniciserie inicial obtenemos ual obtenemos una serina serie geom¶e geom¶etrica de etrica de raz¶raz¶onon x x22. En efecto. En efecto f f 00 ((xx) ) == 11 1 + 1 + xx

¡

¡ ¡

¡

11 11

_¡

xx == 11

_¡

xx + 1 ++ 1 + xx (1 + (1 + xx)(1)(1

_¡

xx)) == 22 11

_¡

xx22

Con lo cual podemos obtener el desarrollo en serie de Con lo cual podemos obtener el desarrollo en serie de f f 00

((xx)) f f 00 ((xx) ) == 22 11

_¡

xx22 = 2+2= 2+2xx 2 2₊₂_+2x_x44₊₊

¢¢ ¢¢ ¢¢

+2+2xx22nn++

_{¢¢ ¢¢ ¢¢}

== 1 1

X

n n=0=0 22xx22nn parapara xx

₂₂

((

_¡

11;; 1)1)

(10)

10

10 CAP CAP ¶¶IITUTULO LO 7. 7. SSERERIES FIES FUUNCNCIONIONALALES. ES. SERSERIEIES DE S DE FOFOURURIEIER.R.

Ahora bien,

Ahora bien, f f ((xx) es una primitiva de) es una primitiva de f f 00

((xx) que podemos obtener integrando) que podemos obtener integrando t¶

t¶ermino a ermino a tt¶¶ermino la ermino la serie obtenida. serie obtenida. Para determiPara determinar nar la conla constantstante e de ide inte- nte-graci¶

graci¶on buscamos un punto dondeon buscamos un punto donde f f ((xx) = 0, y desde ¶) = 0, y desde ¶el integramos. Teniendoel integramos. Teniendo en cuenta que

en cuenta que f f (0) = 0 resulta(0) = 0 resulta f f ((xx) ) ==

Z

x x o o

Ã

11

X

n n=0=0 22xx22nn

!

dxdx == 1 1

X

n n=0=0

Z

xx o o 22xx22nndxdx == 1 1

X

n n=0=0 22 xx 2 2nn+1+1 22nn + 1+ 1 que es la serie buscada.

que es la serie buscada.

Para estudiar la convergencia de la serie podemos aplicar sobre la misma el Para estudiar la convergencia de la serie podemos aplicar sobre la misma el criterio del cociente, o bien utilizar el intervalo obtenido para su derivada, criterio del cociente, o bien utilizar el intervalo obtenido para su derivada, comprobando la convergencia en los extremos del mismo.

comprobando la convergencia en los extremos del mismo. f f (1) =(1) = 1 1

X

n n==00 22 11 22nn ++ 11 DivergenteDivergente f f ((

_¡

1) 1) == 1 1

X

n n=0=0 ((

_¡

1)1)22nn+1+1 22nn + 1+ 1 == 1 1

X

n n=0=0 22 ((

¡

1)1) 22nn ++ 11 = Divergente= Divergente

9

9 >

>

=

>

;

IIC C = = ((

_¡

11;; 1)1) La serie num¶

La serie num¶erica dada se obtiene de la inicial, paraerica dada se obtiene de la inicial, para xx = = 11==3, en efecto,3, en efecto,

f f ((11 33) = ln) = ln

0

0 B

B

@

1 + 1 + 11 33 11

_¡

11 33

1

1 C

C

A

= ln 2 = 2= ln 2 = 2 1 1

X

n n==00 x x22nn+1+1 22nn ++ 11 = = 22

Ã

11 33 ++ 1 1

X

n n=1=1 x x22nn++11 22nn + 1+ 1

!

de donde despejando la suma de la serie propuesta de donde despejando la suma de la serie propuesta

1 1

X

n n=1=1 x x22nn+1+1 22nn + 1+ 1 == ln 2 ln 2 22

¡

11 33

7.

7.2.

2.3 3 D

Deri

eriv

vac

aci¶

i¶

on e integraci¶

on de las series de poten-

on de las series de

poten-cias

cias

La suma de algunas series de potencias puede conseguirse manipul¶

La suma de algunas series de potencias puede conseguirse manipul¶andolasandolas mediante derivaci¶

mediante derivaci¶on, integraci¶on, integraci¶on o on o sasacando factor com¶cando factor com¶un, hasta conseguir unaun, hasta conseguir una serie conocida (normalmente la geom¶

serie conocida (normalmente la geom¶etrica), sumamos esta serie conocida yetrica), sumamos esta serie conocida y deshacemos las operaciones anteriores.

deshacemos las operaciones anteriores. Ejemplo 7.13

Ejemplo 7.13 Halla el intervalo de convergencia y la suma de la serie:Halla el intervalo de convergencia y la suma de la serie:

1 1

X

n n=1=1 x xnn n n

(11)

Soluci¶

Soluci¶on:on: LLamamosLLamamos f f ((xx) a la serie dada) a la serie dada f f ((xx) ) == 1 1

X

n n=1=1 x xnn n n T

Transformaransformamos lmos la serie a serie (deriva(derivando, ndo, integintegrando, rando, o sacando o sacando factfactor com¶or com¶un) has-un) has-ta conseguir una serie geom¶

ta conseguir una serie geom¶etrica.etrica. En

En este este caso, caso, derivanderivando do obtenemos uobtenemos una sna s erie erie geomgeom¶¶etrica.etrica. f f 00 ((xx) ) == 1 1

X

n n=1=1 nx nxnn¡¡11 n n == 1 1

X

n n=1=1 x xnn¡¡11 = =

_¡¡

1 +1 + xx ++ xx22+ x+x33++

_{¢¢ ¢¢ ¢¢}

_¢¢

== 11 11

_¡

xx Al tratarse de una serie geom¶

Al tratarse de una serie geom¶etrica de raz¶etrica de raz¶onon rr == xx, , el el inintetervrvaalo lo dde e cocon- n-vergencia viene de¯nido por

vergencia viene de¯nido por

_jj

xx

_jj

<< 11, , ees s decdecirir

_¡

11 < < x x << 11, , y por y por tatanntoto IC

IC = = ((

_¡

11;; 1), sin que sea convergente en los extremos del mismo, ya que las1), sin que sea convergente en los extremos del mismo, ya que las seri

series geoes geom¶m¶etricas netricas no convergen en o convergen en los los extremos dextremos del intervalo.el intervalo. La funci¶

La funci¶on buscadaon buscada f f ((xx) es una primitiva de) es una primitiva de f f 00

((xx) que adem¶) que adem¶as, en este caso,as, en este caso, ha de complir

ha de complir f f (0) = 0, en consecuencia:(0) = 0, en consecuencia: f f ((xx) =) =

Z

x x 0 0 f f 00 ((xx))dxdx ==

Z

x x 0 0 11 11

_¡

xxdxdx ==

¡

lnln

jj

11

¡

xx

jj

nota: Tambi¶

nota: Tambi¶en podemos hacer primero la primitiva y despues determinar laen podemos hacer primero la primitiva y despues determinar la constante, teniendo en cuenta cualquier valor concreto de la funci¶

constante, teniendo en cuenta cualquier valor concreto de la funci¶onon f f ((xx).). En consecuencia, En consecuencia, 1 1

X

n n=1=1 x xnn n n ==

¡

lnln

jj

11

¡

xx

jj

Para determinar el intervalo de convergencia s¶

Para determinar el intervalo de convergencia s¶olo tenemos que comprobolo tenemos que comprobar ar lala convergencia de la serie dada en los extremos del intervalo de convergencia convergencia de la serie dada en los extremos del intervalo de convergencia de su derivada. de su derivada. f f (1) =(1) = 1 1

X

n n==11 11 n n DivergenteDivergente f f ((

_¡

1) =1) = 1 1

X

n n=1=1 ((

_¡

1)1)nn n n ConvergenteConvergente

9

9 >

>

=

>

;

IC IC = = [[

_¡

11;;1)1) Ejemplo 7.14

1 1

X

n n=1=1 ne nenxnx Soluci¶

Soluci¶on:on: LLamamosLLamamos f f ((xx) a la serie dada) a la serie dada f f ((xx) =) = 1 1

X

n n==11 ne nenxnx

(12)

12

T

Transforransformamos lmamos la serie a serie (deriv(derivando, ando, inteintegrando, grando, o sacando o sacando factfactor com¶or com¶un) has-un) has-ta conseguir una serie geom¶

ta conseguir una serie geom¶etrica.etrica.

En este caso, integrando hacemos desaparecen el factor

En este caso, integrando hacemos desaparecen el factor nn y obtenemos unay obtenemos una serie geom¶

serie geom¶etrica. etrica. LlamemoLlamemoss F F ((xx) ) a a una una prprimitiimitiva cualquva cualquiera.iera. F F ((xx) ) ==

Z

f f ((xx))dxdx == C C ++ 1 1

X

n n=1=1 eennxx == C C + (+ (eexx ++ ee22xx ++ ee33xx++

_{¢¢ ¢¢ ¢¢}

) ) == C C ++ ee x x 11

_¡

eexx El

El inintervaltervalo do de e convconvergergencia encia de de esta esta serie serie geomgeom¶¶eetrica trica de de raz¶raz¶onon rr == eexx vieneviene dado por

dado por

_jj

eexx

_jj

<< 1, de donde1, de donde eexx << 1, luego1, luego x <x < 0, y por tanto0, y por tanto IC IC = (= (

_¡1

;; 0)0) La serie dada la obtenemos derivando la obtenida

La serie dada la obtenemos derivando la obtenida f f ((xx) ) == F F 00 ((xx) = 0 +) = 0 + ee x x₍₁₍₁

¡

eexx₎₎

¡

eexx₍₍

¡

eexx₎₎ (1 (1

_¡

eexx₎₎22 == eexx (1 (1

_¡

eexx₎₎22 en consecuencia, en consecuencia, 1 1

X

n n==11 ne nenxnx == ee x x (1 (1

_¡

eexx₎₎22

para determinar el intervalo de convergencia s¶

para determinar el intervalo de convergencia s¶olo tenemos que estudiar laolo tenemos que estudiar la convergencia en el extremo del intervalo obtenido.

convergencia en el extremo del intervalo obtenido. f f (0) =(0) = 1 1

X

n n==11 ne ne00 == 1 1

X

n n=1=1 n

n DivergenteDivergente

₎

IC IC = (= (

_¡1

;; 0)0) Ejemplo 7.15

1 1

X

n n=1=1 x x33nn+1+1 33nn Utiliza el resultado para calcular:

Utiliza el resultado para calcular: 11 33

¡

11 66 ++ 11 99

¡

11 12 12 ++ 11 15 15

¡ ¢ ¢ ¢

Soluci¶

X

n n=1=1 x x33nn+1+1 33nn T

En este caso, ni al derivar ni al integrar se elimina el 3

En este caso, ni al derivar ni al integrar se elimina el 3nn del denominador,del denominador, pero

pero ss¶¶³ ³ lo lo ppodemos odemos coconseguir nseguir eliminando eliminando previamenpreviamente te unauna xx del numerador.del numerador. En efecto, sacando

En efecto, sacando xx factor com¶factor com¶un, resulta:un, resulta: f f ((xx) ) == 1 1

X

n n=1=1 x x33nn+1+1 33nn == xx 1 1

X

n n=1=1 x x33nn 33nn

(13)

Llamando

Llamando gg((xx) a la serie obtenida, resulta:) a la serie obtenida, resulta: gg((xx) =) = 1 1

X

n n==11 x x33nn 33nn Que

Que se se conviconvierte en erte en una una serie serie geomgeom¶¶etrica poetrica por r derivaderivaci¶ci¶on, en efecto:on, en efecto: gg00 ((xx) ) == 1 1

X

n n=1=1 33nxnx33nn 33nn == 1 1

X

n n=1=1 x x33nn == xx22 ++ xx55 ++ xx88++

_{¢¢ ¢¢ ¢¢}

== xx 2 2 11

_¡

xx33

El intervalo de convergencia de esta serie El intervalo de convergencia de esta serie gg00

((xx) al ser una serie geom¶) al ser una serie geom¶etrica deetrica de rr == xx33 viene dado porviene dado por

_jj

xx33

_jj

< 1, luego< 1, luego

_jj

xx

_jj

<< 1, y por tanto1, y por tanto IC IC = (= (

_¡

11;; 1)1) La funci¶

La funci¶onon gg((xx) la obtenemos integrando) la obtenemos integrando gg00

((xx) y teniendo en cuenta un valor) y teniendo en cuenta un valor concreto de

concreto de gg((xx) para determinar la constante, en este caso) para determinar la constante, en este caso gg(0) = 0 y, en(0) = 0 y, en consecuencia consecuencia gg((xx) ) ==

Z

x x 0 0 gg00 ((xx))dxdx ==

Z

x x 0 0 x x22 11

_¡

xx33dxdx ==

¡

11 33

Z

xx 0 0

¡

33xx22 11

_¡

xx33dxdx ==

¡

11 33 lnln

jj

11

¡

xx 3 3

jj

En consecuencia: En consecuencia: f f ((xx) ) == xx gg((xx) =) =

_¡

xx 33 lnln

jj

11

¡

xx 3 3

jj

luego la serie buscada es luego la serie buscada es

1 1

X

n n=1=1 x x33nn+1+1 33nn ==

¡

x x 33 lnln

jj

11

¡

xx 3 3

jj

Para calcular el intervalo de convergencia bastar¶

Para calcular el intervalo de convergencia bastar¶a con estudiar la convergen-a con estudiar la convergen-cia de la serie dada en los extremos del intervalo obtenido para

cia de la serie dada en los extremos del intervalo obtenido para gg00

((xx)) f f (1) =(1) = 1 1

X

n n==11 11 33nn DivergenteDivergente f f ((

_¡

1) 1) == 1 1

X

n n=1=1 ((

_¡

1)1)33nn+1+1 33nn ConvergenteConvergente

9

9 >

>

=

>

;

IIC C = = [[

_¡

11;; 1)1) La

La serie serie numnum¶¶erica dada erica dada se se obtiene obtiene de de la inicila inicial, paraal, para xx ==

_¡

1, por lo tanto,1, por lo tanto, 11 33

¡

11 66 ++ 11 99

¡

11 12 12 ++ 11 15 15

¡ ¢ ¢ ¢

== 1 1

X

n n=1=1 ((

_¡

1)1)33nn+1+1 33nn == f f ((

¡

1) =1) = 11 33 lnln 22 Ejemplo 7.16

1 1

X

n n==00 p pnnxxnn n n + 1+ 1 ccon on p >p > 00 Utiliza el resultado para calcular:

Utiliza el resultado para calcular:

1 1

X

n n=0=0 11 44nn_((n_{n + 1)}_{+ 1)}

(14)

14

Soluci¶

X

n n=0=0 p pnnxxnn n n + 1+ 1 T

En este caso, ni al derivar ni al integrar se elimina el

En este caso, ni al derivar ni al integrar se elimina el nn + 1 del denomi-+ 1 del denomi-nador,

nador, pero pero ss¶¶³ ³ lo polo po demos conseguir demos conseguir inintroduciendo troduciendo previamenpreviamente te unauna xx en elen el numerad

numerador. or. En efecto, muEn efecto, multiplicando y dividiendo porltiplicando y dividiendo por xx, resulta:, resulta: f f ((xx) =) = 1 1

X

n n==00 p pnnxxnn n n + 1+ 1 == 11 x x 1 1

X

n n=0=0 p pnnxxnn+1+1 n n ++ 11 Llamando

X

n n=0=0 p pnnxxnn+1+1 n n ++ 11 Que se convierte en una serie geom¶

Que se convierte en una serie geom¶etrica por derivaci¶etrica por derivaci¶on, en efecto:on, en efecto: gg00 ((xx) =) = 1 1

X

n n==00 p pnn((nn + 1)+ 1)xxnn n n + 1+ 1 == 1 1

X

n n==00 p pnnxxnn == 1 1

X

n n=0=0 (( px px))nn == = = 1 +1 + pxpx + (+ ( px px))22+ (( px+ px))33 ++

_{¢¢ ¢¢ ¢¢}

== 11 11

_¡

px px El intervalo de convergencia de esta serie

El intervalo de convergencia de esta serie gg00

((xx) ) al al ser unser una seria serie geoe geomm¶¶etrica etrica dede rr == ppxx viene dado porviene dado por

_jj

px px

_jj

< 1, luego< 1, luego

_jj

xx

_jj

<<_p_p11, y por tanto IIC , y por tanto C = (= (

_¡

_p_p11;;_p_p11)) La funci¶

concreto de gg((xx) para determinar la constante, en este caso) para determinar la constante, en este caso gg(0) = 0 y, en(0) = 0 y, en consecuencia consecuencia gg((xx) ) ==

Z

x x 0 0 gg00 ((xx))dxdx ==

Z

x x 0 0 11 11

_¡

px px==

¡

11 p p

Z

xx 0 0

¡

p p 11

_¡

px pxdxdx ==

¡

11 p p lnln

jj

11

¡

px px

jj

En consecuencia: En consecuencia: f f ((xx) =) = 11 x xgg((xx) ) ==

¡

11 px px lnln

jj

11

¡

px px

jj

luego la serie buscada es

1 1

X

n n=0=0 p pnnxxnn n n + 1+ 1 ==

¡

11 px pxlnln

jj

11

¡

px px

jj

cia de la serie dada en los extremos del intervalo obtenido para gg00

(15)

f f (1(1=p=p) ) == 1 1

X

n n=0=0 11 n n ++ 11 DivergenteDivergente f f ((

_¡

11=p=p) =) = 1 1

X

n n==00 ((

_¡

11))nn n n ++ 11 ConvergenteConvergente

9

9 >

>

=

>

;

IC IC = = [[

_¡

11=p;=p; 11=p=p)) La serie num¶

La serie num¶erica dada se obtiene de la inicial, paraerica dada se obtiene de la inicial, para pp = = 1 1 yy xx = 1= 1==4, por lo4, por lo tanto, tanto, 1 1

X

n n=0=0 11 44nn_((n_{n + 1)}_{+ 1)} ==

¡

11 11==44lnln

jj

11

¡

11 44

jj

==

¡

44 lnln 33 44 = 4(ln4= 4(ln4

¡

ln3)ln3) Ejemplo 7.17

Ejemplo 7.17 DeterDeterminmina a el el campcampo o de de cconveonvergrgencia encia y y susumar mar la la sigsiguieuientente serie de potencias: serie de potencias: 1 1

X

n n=1=1 11 n n + 2+ 2((xx

¡

3)3) n n Soluci¶

Soluci¶on:on: LlamamosLlamamos f f ((xx) a la serie dada) a la serie dada f f ((xx) ) == 1 1

X

n n=1=1 11 n n ++ 22((xx

¡

3)3) n n T

Transformaransformamos lmos la serie a serie (deriva(derivando, ndo, integintegrando, rando, o sacando o sacando factfactor com¶or com¶un) has-un) has-ta conseguir una serie geom¶

En este caso, ni al derivar ni al integrar se elimina el

En este caso, ni al derivar ni al integrar se elimina el nn ++ 2 del denomi2 del denominadornador,, pero

pero ss¶¶³ ³ lo plo podemos odemos conseguir introduciendo conseguir introduciendo previamenpreviamente un te un ((xx

_¡

3)3)22 en elen el num

numeradoerador. r. En efecto, multiEn efecto, multiplicaplicando ndo y dy divividiendo por idiendo por ((xx

_¡

3)3)22_{, resulta:}_{, resulta:}

f f ((xx) ) == 11 ((xx

_¡

3)3)22 1 1

X

n n=1=1 ((xx

_¡

3)3)nn+2+2 n n ++ 22 Llamando

X

n n==11 ((xx

_¡

3)3)nn+2+2 n n + 2+ 2 Que

Que se se conviconvierte en erte en una una serie serie geomgeom¶¶etrica poetrica por r derivaderivaci¶ci¶on, en efecto:on, en efecto: gg00 ((xx) =) = 1 1

X

n n=1=1 ((xx

_¡

3)3)nn+1+1 = (= (xx

_¡

33))22+(+(xx

_¡

3)3)33+(+(xx

_¡

3)3)44++

_{¢¢ ¢¢ ¢¢}

== ((xx

¡

3)3) 2 2 11

_¡

((xx

_¡

3)3) == x x22

¡

66xx + 9+ 9

¡

xx + 4+ 4 El intervalo de convergencia de esta serie

El intervalo de convergencia de esta serie gg00

((xx) al ser una serie geom¶) al ser una serie geom¶etrica deetrica de rr == xx

_¡

3 viene dado por3 viene dado por

_jj

xx

_¡

33

_jj

<< 1, luego1, luego

_¡

11 < < xx

_¡

33 << 1, y por tanto1, y por tanto IC

IC = = (2(2;; 4)4) La funci¶

(16)

16

consecuencia consecuencia gg((xx) ) ==

Z

x x 3 3 gg00 ((tt))dtdt ==

Z

x x 3 3 tt22

_¡

66tt ++ 99

¡

tt + 4+ 4 dt =dt=

Z

x x 3 3 ((

_¡

tt+2+2++ 11

¡

tt ++ 44))dtdt ==

··

¡

tt 2 2 22 + 2+ 2tt

¡

lnln

jj

44

¡

tt

jj

¸¸

xx 3 3 = = = =

_¡

xx 2 2 22 ++ 22xx

¡

lnln

jj

44

¡

xx

jj ¡

¡

33 22 En consecuencia: En consecuencia: f f ((xx) =) = 11 ((xx

_¡

3)3)22 gg((xx) ) == 11 ((xx

_¡

3)3)22

µ

¡

xx 2 2 22 + 2+ 2xx

¡

lnln

jj

44

¡

xx

jj ¡

¡

33 22

¶

luego la serie buscada es luego la serie buscada es

1 1

X

n n==11 11 n n + 2+ 2((xx

¡

3)3) n n ₌₌

¡

xx22 ++ 44xx

¡

2 ln2 ln

jj

44

¡

xx

jj ¡

¡

33 2( 2(xx

_¡

3)3)22

cia de la serie dada en los extremos del intervalo obtenido para gg00_((x_x))

f f (4) =(4) = 1 1

X

n n==11 11 n n + 2+ 2 DivergenteDivergente f f (2) =(2) = 1 1

X

n n==11 ((

_¡

1)1)nn+2+2 n n + 2+ 2 ConvergenteConvergente

9

9 >

>

=

>

;

IIC C = = [2[2;; 4)4) Ejemplo 7.18

Ejemplo 7.18 Determinar el campo de convergencia y sumar la serie:Determinar el campo de convergencia y sumar la serie:

1 1

X

n n=2=2 11 n n

_¡

11((xx ++ 5)5) n n Soluci¶

Soluci¶on:on: Para estudiar la convergencia aplicamos el criterio del cociente:Para estudiar la convergencia aplicamos el criterio del cociente:

¯¯¯¯

a a_n_n+₊₁₁ a ann

¯¯¯¯

==

¯¯¯¯

((xx + 5)+ 5)nn+1+1 n n :: ((xx + 5)+ 5)nn n n

_¡

11

¯¯¯¯

==

¯¯¯¯

n n

_¡

11 n n ((xx ++ 5)5)nn+1+1 ((xx ++ 5)5)nn

¯¯¯¯

! j

xx ++ 55

jj

Luego la serie ser¶ Luego la serie ser¶a:a:

Convergente cuando

_jj

xx + 5+ 5

_jj

<< 11

_{) ¡}

11 < < xx + 5+ 5 << 11

_{) ¡}

66 < < x <x <

_¡

44 Diver

Divergente gente cuandcuandoo

_jj

xx + 5+ 5

_jj

>> 11 y habr¶

y habr¶a duda cuandoa duda cuando

_jj

xx ++ 55

_jj

= = 11

₎

xx ==

_¡

66; ; xx ==

_¡

55 La duda la resolvemos sustituyendo los valores en la serie La duda la resolvemos sustituyendo los valores en la serie

x

x ==

_¡

66

₎

_P

_n_n¡¡11₁₁((

¡

1)1)

n

n _alternad_alternada_{a Converg}_Convergente_ente

x

x ==

_¡

44

₎

_P

_n_n¡¡1111(1)(1)

n

n _arm¶_{arm¶onica Divergente}_{onica Divergente}

¾

)

IC = IC = [[

¡

66;;

¡

4)4)

Para sumar la serie lo primero que hacemos es ponerle un nombre, llamarle Para sumar la serie lo primero que hacemos es ponerle un nombre, llamarle f f ((xx)) f f ((xx) ) == 1 1

X

n n=2=2 11 n n

_¡

11((xx + 5)+ 5) n n

(17)

y transformamos la expresi¶

y transformamos la expresi¶on hasta conseguir una serie geom¶on hasta conseguir una serie geom¶etrica. La serieetrica. La serie dada

dada no no es gees geom¶om¶etrica etrica debdebido ido al t¶al t¶ermino que aparece en el denominador. Siermino que aparece en el denominador. Si derivamos la serie, dicho t¶

derivamos la serie, dicho t¶ermino no desaparece, necesitariamos, para ello,ermino no desaparece, necesitariamos, para ello, que el exponente fuera

que el exponente fuera nn

_¡

1. Pero ¶1. Pero ¶esto lo podemos conseguir sacando factoresto lo podemos conseguir sacando factor com¶

com¶un. En efecto:un. En efecto: f f ((xx) =) = 1 1

X

n n==22 11 n n

_¡

11((xx + 5)+ 5) n n ₌_{= ((x}_{x + 5)}_{+ 5)} 1 1

X

n n=2=2 11 n n

_¡

11((xx ++ 5)5) n n¡¡11 Llamamos

Llamamos gg((xx) ) a la la nueva a nueva serie, serie, y ¶y ¶esta ya esta ya si si se se convierte convierte en en geom¶geom¶etrica petrica poror derivaci¶ derivaci¶on:on: gg((xx) =) = f f ((xx)) x x ++ 55 == 1 1

X

n n=2=2 11 n n

_¡

11((xx ++ 5)5) n n¡¡11 Y

Y derderivando ivando t¶t¶erminermino o a a t¶t¶erminermino o resuresulta:lta: gg00 ((xx) ) == 1 1

X

n n=2=2 n n

_¡

11 n n

_¡

11((xx + 5)+ 5) n n¡¡22 = = 1 1

X

n n==22 ((xx + 5)+ 5)nn¡¡22 = 1 + ( = 1 + (xx + 5+ 5)) + (+ (xx ++ 5)5)22++

_{¢¢ ¢¢ ¢¢}

que es una serie geom¶

que es una serie geom¶etrica de raz¶etrica de raz¶onon rr == xx ++ 5, cuy5, cuya suma esa suma es:: gg00 ((xx) =) = 11 11

_¡

((xx + 5)+ 5) == 11 11

_¡

xx

_¡

55 == 11

¡

xx

_¡

44 ==

¡

11 x x ++ 44 de donde: de donde: gg((xx) =) =

Z

¡

11 x x ++ 44dxdx ==

¡

lnln

jj

xx + 4+ 4

jj

++ C C La constante de integraci¶

La constante de integraci¶on la determinamos igual¶on la determinamos igual¶ando g(-5) en ambas ex-ando g(-5) en ambas ex-presiones:

presiones:

gg((

_¡

5) 5) ==

_P

0 = 0 = 00

gg((

_¡

5) 5) ==

_¡

ln 1 ln1 ++ C C == C C

¾

)

C C = 0= 0 Con lo cual resulta:

Con lo cual resulta: gg((xx) =) =

_¡

lnln

_jj

xx + 4+ 4

_jj

, y en consecuencia:, y en consecuencia: f

f ((xx) ) ==

_¡

((xx + 5+ 5)) lnln

_jj

xx + 4+ 4

_jj

7.

7.2.

2.4 4 Ap

Apli

lica

cacio

cion

nes

es de

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las

s sseri

eries de

es de po

pote

tenc

ncia

ias

s pa

para

ra e

ell

c¶

alculo

alculo de

de integ

integrales

rales de¯n

de¯nidas

idas

Para calcular el valor aproximado de la integral de¯nida de una funci¶

Para calcular el valor aproximado de la integral de¯nida de una funci¶onon f f ((xx),), se desarrolla la funci¶

se desarrolla la funci¶on en series de potenciason en series de potencias f f ((xx) ) == S S ((xx), se integra la serie), se integra la serie t¶

t¶ermino a ermino a t¶t¶eermino, rmino, y sy se toma e toma comcomo o vvalor aproximaalor aproximado do de de la ila integrntegral lal la sua sumama de los

de los nn primeros t¶primeros t¶erminos de la serie.erminos de la serie.

Para estimar el error del valor aproximado distinguiremos tres situaciones: Para estimar el error del valor aproximado distinguiremos tres situaciones:

(18)

18

1. Si la serie num¶

1. Si la serie num¶erica resultante es alternada, que satisface el criterio deerica resultante es alternada, que satisface el criterio de Leibniz, el error cometido vendr¶

Leibniz, el error cometido vendr¶a determinado por el primer t¶a determinado por el primer t¶erminoermino que no se suma, es decir:

que no se suma, es decir:

_jj

RRnn

jj

< t< tnn+1+1

2.

2. Si la serie resultante es de signo coSi la serie resultante es de signo constante ennstante entonces el error se puede de-tonces el error se puede de-terminar comparando el resto de la serie con una progresi¶

terminar comparando el resto de la serie con una progresi¶on geom¶on geom¶etricaetrica in¯nita decreciente.

in¯nita decreciente.

3. En cualquier otro caso acudimos a la f¶

3. En cualquier otro caso acudimos a la f¶ormula de resto de Taylor.ormula de resto de Taylor. Ejemplo 7.19

Ejemplo 7.19 Calcula, con un error menor que una mil¶ Calcula, con un error menor que una mil¶ esima:esima:

Z

11 0 0 ee¡¡xx22 dx dx Soluci¶

Soluci¶on:on: Desarrollamos la funci¶Desarrollamos la funci¶on subintegral en series de potencias. Paraon subintegral en series de potencias. Para ello utilizamos el desarrollo de

ello utilizamos el desarrollo de eexx eexx = 1 = 1 ++ xx 1! 1! ++ x x22 2! 2! ++ x x33 33!! ++

¢¢ ¢¢ ¢¢

++ x xnn n n!! ++

¢¢ ¢¢ ¢¢

Sustituyendo en esta serie

Sustituyendo en esta serie xx pporor

_¡

xx22, obtenemos:, obtenemos: ee¡¡xx22 = = 11

_¡

xx 2 2 1! 1! ++ x x44 2! 2!

¡

x x66 3! 3! ++

¢¢ ¢¢ ¢¢

+ (+ (

¡

1)1) n nxx22nn n n!! ++

¢¢ ¢¢ ¢¢

de donde de donde

Z

11 0 0 ee¡¡xx22 dx dx ==

Z

1 1 0 0

µ

₁₁

¡

xx 2 2 1! 1! ++ x x44 2! 2!

¡

x x66 3! 3! ++

¢¢ ¢¢ ¢¢

++ ((

¡

1)1) n nxx22nn n n!! ++

¢¢ ¢¢ ¢¢

¶

_dx_{dx =}₌ = =

··

xx

_¡

xx 3 3 33 ++ x x55 2! 2! 55

¡

x x77 3! 3! 77 ++ x x99 4! 4! 99

¡

x x1111 5!11 5!11 ++

¢¢ ¢¢ ¢¢

¸¸

11 0 0 = 1 = 1

_¡

11 33++ 11 2! 2! 55

¡

11 3! 3! 77++ 11 4! 4! 99

¡

11 5!11 5!11++

¢¢ ¢¢ ¢¢

Como hemos obtenido una serie alternada que cumple el criterio de Leibniz,

Como hemos obtenido una serie alternada que cumple el criterio de Leibniz, el

el eerror rror de de la aproxla aproximaimaci¶ci¶on vendr¶on vendr¶a determinado por el valor absoluto dela determinado por el valor absoluto del primer t¶

primer t¶ermino que no sumemos. Observamos que:ermino que no sumemos. Observamos que:

jj

tt66

jj

== 11 55!! 1111 == 11 1320 1320 << 11 1000 1000 Por consiguiente, para calcular la suma, con la precisi¶

Por consiguiente, para calcular la suma, con la precisi¶on requerida, bastar¶on requerida, bastar¶aa con sumar los cinco primeros t¶

con sumar los cinco primeros t¶erminos de la serie, es decir,erminos de la serie, es decir,

Z

11 0 0 ee¡¡xx22 dx dx

_¼

11

_¡

11 33 ++ 11 2! 2! 55

¡

11 3! 3! 77 ++ 11 44!! 99 = = 00 00 747 747 Ejemplo 7.20

Ejemplo 7.20 Calcula, con precisi¶ Calcula, con precisi¶ on de hasta 0'001:on de hasta 0'001:

Z

11==22 0 0 11

_¡

coscos xx x x22 dxdx

(19)

Soluci¶

Soluci¶on:on: Desarrollamos la funci¶Desarrollamos la funci¶on son subiubintegntegral en series de ral en series de potenpotenciascias. . ParaPara ello utilizamos el desarrollo de cos

ello utilizamos el desarrollo de cos xx cos cos xx = 1= 1

_¡

xx 2 2 2! 2! ++ x x44 4! 4!

¡

x x66 6! 6! ++

¢¢ ¢¢ ¢¢

+ (+ (

¡

1)1) n n xx22nn (2 (2nn)!)! ++

¢¢ ¢¢ ¢¢

Sustituyendo en la expresi¶

Sustituyendo en la expresi¶on subintegral obtenemos:on subintegral obtenemos: 11

_¡

coscos xx x x22 == 11

_¡

1 +1 + xx 2 2 2! 2!

¡

x x44 4! 4! ++ x x66 6! 6!

¡ ¢ ¢ ¢

x x22 == 11 2! 2!

¡

x x22 4! 4! ++ x x44 6! 6! ++

¢¢ ¢¢ ¢¢

de donde de donde

Z

11 0 0 11

_¡

cos xcosx x x22 dxdx ==

Z

1 1 0 0

µ

11 2! 2!

¡

x x22 4! 4! ++ x x44 6! 6! ++

¢¢ ¢¢ ¢¢

¶

_dx_{dx =}₌ = =

··

xx 2! 2!

¡

x x33 4! 4! 33 ++ x x55 6! 6! 55 ++

¢¢ ¢¢ ¢¢

¸¸

11==22 0 0 = = 11 2! 2!

_¢¢

22

¡

11 4! 4!

_¢¢

33

_¢¢

2233 ++ 11 6! 6! __55

_¢¢

2255

¡ ¢ ¢ ¢

Com

Como o hemos obtehemos obtenido nido una serie alternauna serie alternada qda que cumple el ue cumple el critericriterio o de Leibniz,de Leibniz, el error de la aproximaci¶

el error de la aproximaci¶oon n vendr¶vendr¶a determinado por el valor absoluto dela determinado por el valor absoluto del primer

primer tt¶¶ermino quermino que no se no sumemos. umemos. Observamos Observamos que:que:

jj

tt22

jj

== 11 4! 4!

_¢¢

33

_¢¢

2233 == 11 576 576 >> 11 1000 1000 yy

jj

tt33

jj

== 11 6! 6!

_¢¢

55

_¢¢

2255 == 11 115200 115200 << 11 1000 1000 Por consiguiente, para calcular la suma, con la precisi¶

Por consiguiente, para calcular la suma, con la precisi¶on requerida, bastar¶on requerida, bastar¶aa con sumar los dos primeros t¶

con sumar los dos primeros t¶erminos de la serie, es decir,erminos de la serie, es decir,

Z

11 0 0 11

_¡

coscos xx x x22 dxdx

¼

11 2! 2!

_¢¢

22

¡

11 4! 4!

_¢¢

33

_¢¢

2233 = = 00 00 25 25

_¡

0000 0017 = 0 0017 = 000 24831 24831 Ejemplo 7.21

Ejemplo 7.21 Calcula, con precisi¶ Calcula, con precisi¶ on de hasta 0'001:on de hasta 0'001:

Z

000011 0 0 ln(1 + ln(1 + xx)) x x dxdx Soluci¶

Soluci¶on:on: Desarrollamos la funci¶Desarrollamos la funci¶on son subiubintegntegral en series de ral en series de potenpotenciascias. . ParaPara ello utilizamos el desarrollo de ln

ello utilizamos el desarrollo de ln xx ln ln xx == xx

_¡

xx 2 2 22 ++ x x33 33

¡

x x44 44 ++

¢¢ ¢¢ ¢¢

Sustituyendo en la expresi¶

Sustituyendo en la expresi¶on subintegral obtenemos:on subintegral obtenemos: ln(1 + ln(1 + xx)) x x == x x