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MATEMÁTICAS APLICADA
MSc. Ennio Jesús Mérida Córdova
Carrera:
Grupo: APE9/10
SISTEMA DE HABILIDADES:
FUNDAMENTACIÓN DE LA ASIGNATURA: El estudio de las Matemáticas Financiera aporta herramientas teóricas y prácticas las cuales permiten desarrollar habilidades y destrezas para la toma de decisiones que argumentan la viabilidad económica y/o financiera de los diferentes proyectos de inversión en los campos y niveles donde influye el valor del dinero en el tiempo.
.- Identifica los elementos teóricos y prácticos que permitan comprender el concepto de interés simple.
.- Reconoce las fórmulas de valor presente y futuro, interés, tiempo, tasa de interés.
.- Representa gráficamente los flujos del dinero en el
tiempo.
1. Conceptos
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Interés: es la cantidad que debe pagar una persona por el uso del dinero tomado en préstamo. La cantidad del interés depende de las siguientes variables:
✓ Capital: cantidad que se da en préstamo.
✓ Plazo: tiempo durante el cual se presta el capital.
✓ Tasa de interés
Fórmula general del interés:
I: Interés
C: Capital, principal, valor actual o valor presente.
i: Tasa de interés por unidad de tiempo.
T: Tiempo o plazo.
Nota: para aplicar la fórmula anterior, los datos de tiempo (t) y tasa de interés (i) deben referirse a una misma unidad de tiempo.
Usualmente se convierte las unidades de tiempo a las unidades
que hace referencia la tasa de interés.
Ejercicios
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Ejercicio 1. ¿Qué interés produce un capital de $ 40.000 en 1 año 7 meses y 21 días, al 24% anual? I = $15.760 Ejercicio 2. ¿Qué capital, con tasa de interés del 12% anual produce intereses de $ 15.000 en 10 meses? C = $150.000 Ejercicio 3. ¿Cuál es la tasa de interés a la que ha estado invertido un capital de $110.000 que durante dos años y 5 meses produjo $ 39.875 de interés? i = 15% anual Ejercicio 4. ¿Qué tiempo habrá estado invertido un capital de $
85.000 que produjo un interés $35.700 a una tasa anual de 21%?
t = 2 años
Ejercicios
Ejercicio. Roberto solicitó prestado $6.300.000 para pagar en 4 meses. Si la tasa de interés es de 30% anual simple, ¿Qué cantidad debe pagar por concepto de intereses?. Resp. $630.000
Ejercicio. Una inversión de $14.400.000 gana $2.092.800 de interés
en 8 meses. Calcule: a) la tasa de interés simple anual. Resp. 21,8%
Monto de un capital utilizando interés simple
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Se conoce por monto (M) a la suma del capital (C) más el interés (I).
También se le denomina valor futuro, valor acumulado o valor nominal.
Como,
Entonces,
Ejercicios
Ejercicio 5. ¿Cuál es el capital que produjo un monto de $135.000 a una tasa de 14% anual durante nueve meses? C = $122.171,94 Ejercicio 6. ¿Durante que tiempo (en meses) un capital de
$122.171,94, impuesto a 14% anual, se convierte en un valor futuro
de $135.000? t = 9 meses
Ejercicio 7. Hallar el monto de una inversión de $200.000, en 5 años,
al 25% anual. M = $450.000
Ejercicio 8. Dentro de 2 años y medio se desean acumular la suma de
$3.500.000 a una tasa del 2,8% mensual. ¿Cuál es el valor inicial de
la inversión? C = $1.902.173,91
Ejercicio 9. Hallar el valor presente de $800.000 en 4 años y medio,
al 3% mensual. C = $305.343,51
Ejercicios
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Ejercicio 10. Una persona le prestó a un amigo la suma de
$2.000.000 y paga después de 8 meses la suma de $2.400.000. ¿Qué tasa de interés mensual simple le cobraron? i = 2,5%
Ejercicio 12. ¿En cuánto tiempo se duplica un capital invertido al
20% de interés anual simple? t = 5 años
Ejercicio 13. ¿En cuánto tiempo se acumularían $8.000.000, si se depositan hoy $2.500.000 en un fondo que paga al 3% simple
mensual? t = 73,3 meses
Tipos de Interés
Interés Simple: ocurre cuando los intereses que debe pagar el acreedor por cada lapso convenido no es incorporan al capital. Es simple porque el capital que lo produce siempre es el mismo.
Interés Compuesto: se da cuando el deudor no paga los intereses a
su vencimiento. De este modo, se cuenta en realidad con un capital: al
acumularse los intereses al capital, éstos producen un nuevo y mayor
capital sobre el cual se acumularán los intereses por el siguiente
periodo. Y aunque siempre hay una misma tasa, el capital se va
incrementando sucesivamente junto con los intereses. Dicho de otro
modo, el interés produce a su vez más intereses.
Descuento
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Descuento bancario o simple: es la disminución que se hace a una cantidad que se paga antes de su vencimiento. Es decir, es el cobro hecho con anticipación a una cantidad con vencimiento futuro; esto significa que la persona compra el derecho de cobrar esa cantidad futura efectúa un préstamo por el cual exige un interés, ya que debe transcurrir el tiempo anticipado para recuperar su inversión. A ese interés se le llama descuento: cuando el inversionista (quien compra el documento que ampara la cantidad futura) adquiere en una cantidad menor un valor nominal que vence en el futuro.
Se aplica sobre el valor nominal del documento. El interés se cobra
por adelantado en lugar de esperar la fecha de vencimiento, los
intereses cobrados anticipados se llaman descuento. Por lo tanto, el
desc simple es aquel en que la cantidad descontada se calcula sobre el
nominal de la operación.
Descuento
Descuento comercial: se calcula sobre el valor nominal (M).
Consiste en calcular el interés entre el vencimiento de la deuda y la fecha del descuento a cierta tasa sobre el valor nominal.
Dc: Descuento comercial Dr: Descuento real o justo
M: Valor nominal o valor futuro
d = i: tasa de descuento o de interés que se aplica en la operación.
t: tiempo por el cual se aplica el descuento. Es el periodo
que falta para poder cobrar el valor nominal.
Descuento comercial
Como,
Entonces,
Descuento real o justo
Como,
Entonces,
Es la diferencia entre el valor nominal y el valor actual.
Se aplica sobre el capital
Ver: http://videonm.info/onlain/tvidcVMyMWJBalBOYWs=
Ejercicios
Ejercicio 14. ¿Cuál es el valor presente de un pagaré con un valor al vencimiento de $100 que se va a descontar 20 días antes de la fecha de vencimiento, si la tasa de descuento es del 25% anual?
DATOS:
C= ?
M = $100 t = 20 días d= 25%
C = M(1 – dt)
Descuento comercial
C = 100(1 – 0,25*20/360)
C = 100(1 – 0,25*20/360)
C = $98,61
Ejercicios
Ejercicio 15. Se tiene un documento con valor nominal de $50.000 y una tasa de descuento del 2,5% mensual. Calcular el descuento comercial y real para: 1, 2, 4, 6 y 12 meses.
Ejercicio 16. ¿Cuál es el valor descontado de un documento con valor nominal de $50.000 y una tasa de descuento del 2,5% mensual, si se descuentan 6 meses antes de su vencimiento?
Con Descuento comercial C = $42.500 Con Descuento real C = $43.478,60 Ejercicio 17. Indica con qué tiempo de anticipación se descontó un documento cuyo valor nominal es de $50.000 (M). Se recibió un valor descontado (C) de $42.500 con descuento comercial; y
$43.478,60, con descuento real o justo . Y la tasa de descuento es de
2,5% mensual. t = 6 meses
Ejercicios
Ejercicio 18. ¿ A qué tasa de descuento mensual se aplicó un documento con valor nominal de $50.000, si se descontó faltando 6 meses para su vencimiento y por el cual se obtuvo un valor descontado de $42.500, con descuento comercial; y $43.478,60, con descuento real o justo?
d = 2,5%
i = 2,5%
Ejercicio 19. Calcula el valor nominal de un documento que se descontó 6 meses antes de su vencimiento. Se aplicó una tasa de descuento del 2.5% y se obtuvo un valor descontado de $42.500, con descuento comercial; y de $43.478,60, con descuento real.
M = $50.000
Ejercicio 21. ¿Qué tasa de descuento real anual se aplicó a un documento con valor nominal de $1000, si se descontó 45 días antes de su vencimiento y el descuento fue de $30,48? i= 25,15%
Ejercicio 20. ¿Qué tasa de descuento comercial anual se aplicó a un documento con valor nominal de $38500, si se descontó 15 días antes de su vencimiento y el descuento fue de $315? d= 19,63%
Otros Ejercicios
ECUACIONES DE VALOR
Por diversas razones, a veces el deudor decide cambiar sus obligaciones. Para que esto sea posible, deudor y acreedor deben llegar a un acuerdo en el cual se consideren las nuevas condiciones para realizar la operación, en función de una tasa de interés y de la fecha en que se va a llevar a cabo (a esta última se le conoce como fecha focal).
En la resolución de estos problemas, se utilizan gráficas (de tiempo valor) en las que se representan las fechas de vencimiento de las obligaciones originales y cuándo se realizarán los pagos.
Procedimiento:
Etapa 1. Calcular el monto a pagar para cada de una de las
obligaciones a su vencimiento.
ECUACIONES DE VALOR
Etapa 2. Hacer la gráfica de tiempo-valor que considere las fechas de vencimiento. Y se colocan, sobre la misma, los montos en la fecha de su vencimiento.
Etapa 3. Debajo de la gráfica tiempo, se ubican los pagos parciales con sus respectivas fechas.
Etapa 4. Se determina en la gráfica la fecha focal (de preferencia en
donde coincida con algún pago; es recomendable que sea una
incógnita, con el fin de realizar el menor número de operaciones).
ECUACIONES DE VALOR
Etapa 5. Se plantea una ecuación, para ello, se trasladan todas las cantidades a la fecha focal.
Etapa 6. Se despeja la incógnita
Tenga en cuenta:
ECUACIONES DE VALOR
Ejercicio 22. Una persona debe cancelar tres deudas así: $60.000 dentro de 5 meses, $80.000 en 8 meses y $120.000 dentro de 18 meses. Si pacta pagar hoy $40.000 y el resto en el mes 10.
Determinar el valor de pago, para que las deudas queden saldadas.
Tenga en cuenta una tasa de interés del 25% y la fecha focal en el
mes 8. Resp. $204.576,748
Ejercicio 23. Se compra un equipo a crédito por $120.000 el cual se pagará en 2 partes iguales, la primera dentro de 2 meses y la segunda dentro de 4 meses. Si la tasa es 0,18. ¿Cuál es el importe del pago?
Resp. $62.713,30
ECUACIONES DE VALOR
Ejercicio 24. Se tienen dos deudas determinadas así $70.000 con vencimiento en 8 meses e intereses del 20% y $120.000 con vencimiento en 20 meses e intereses del 30%. Si se van a cancelar con un pago de $50.000 hoy y $X en el mes 12. Determinar, el valor del pago si la tasa de interés para éste caso es del 28%. Fecha focal en
el mes 15. Resp. $173.817,89
Ejercicio 25. Por una deuda hoy de $80.000, se pagará $36.000 dentro de 9 meses, y de $55.000 dentro de 1 año. ¿Cuál es la tasa que
se cobra? Resp. 15,49% anual
Ejercicio 26. Se adquiere un auto que se pagará como sigue: $50.000 dentro de 3 meses, $150.000 dentro de 6 meses y de $250.000 dentro de 1 año. Si la tasa es de 0,24. ¿Cuál es el precio?. Fecha focal mes 6
Resp. 380.548,47
ECUACIONES DE VALOR
Ejercicio 27. Se necesita disponer de $40.000 dentro de 1 año, por lo que se harán dos depósitos iguales, el primero hoy, y el segundo dentro de 6 meses. Si la tasa es 0,12. ¿Cuál es el importe de estos depósitos?. Fecha focal mes 12
Resp. 18.340,62
Ejercicio 28. Por una deuda, hoy, de $80.000, se pagará $36.000 dentro de 9 meses, y $55.000 dentro de 1 año, ¿Cuál es la tasa que se cobra? Fecha focal mes 12
Resp. 15,49%
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