PA2 MATE

Producto Academico Nº 02 Asignatura Matemática II USS

Pensamiento Lógico (Universidad Señor de Sipán)

Producto Academico Nº 02 Asignatura Matemática II USS

Pensamiento Lógico (Universidad Señor de Sipán)

MATEMÁTICA II

UNIVERSIDAD SEÑOR DE SIPAN

FACULTAD DE INGENIERIA, ARQUITECTURA Y URBANISMO

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA INDUSTRIAL

MATEMATICA II

PRODUCTO ACADEMICO 2 Autor:

Salazar Morales Augusto Neill Alexander.

Docente:

Oblitas Diaz, Yober

Chiclayo – Perú

2020

RESUMEN

El presente trabajo consiste en aplicar los conocimientos adquiridos de los temas de las sesiones 2, 3 y 4 de dicha asignatura. Para eso es importante recordar algunos conceptos fundamentales de las propiedades que se requiere para resolver correctamente los problemas propuestos. El informe también nos ayudara a reforzar nuestros conocimientos de los temas

“Limites de funciones reales” y “Continuidad de funciones reales”, los cuales fueron adquiridos en las sesiones mencionadas.

En este informe encontraremos las propiedades fundamentales, los diferentes tipos de discontinuidad; también aprenderemos a evaluar la continuidad respecto de una función, aplicando las tres reglas fundamentales de limites laterales.

INTRODUCCION

Este trabajo se ha realizado con los conocimientos previos respecto a “Limites y Continuidad de funciones reales”. El propósito del presente informe es aplicar y/o poner en práctica nuestros conocimientos para resolver satisfactoriamente problemas teóricos-prácticos.

El objetivo de esta investigación es estudiar y dar a conocer todo lo relacionado sobre el tema tratado, con ejercicios prácticos, en los cuales haremos uso de las propiedades y reglas que mencionaremos a continuación:

- Continuidad gráfica:

Una función

y=f (x)

x=a

1. Existe la función en ese punto, existe

f (a ).

2. Existe el límite de la función en dicho punto:

lim

x→ a

f

(x )

El límite por la derecha debe coincidir con el limite por la izquierda para que exista dicho límite.

3. El valor de la función en dicho punto coincide con el límite:

f (a )=lim

x→ a

f (x )

- Tipos de discontinuidad:

a) Evitable: Es cuando existe el límite, pero el valor de la función en el punto no.

f ( x )= lim

x→ a^+¿f(x)=L

¿ x → a

¿

lim

¿

¿

f (a)≠ L

b) Inevitable: Es cuando no existe el límite, al no coincidir el límite derecho con el izquierdo.

DESARROLLO

1. Se estima que en un terreno si se plantan 200 árboles de paltas, la producción estimada será de 300 por árbol y que por cada árbol que se deje de plantar la producción aumentará en 3 por árbol.

a) ¿Cuál es el número de árboles que debe plantarse en el terreno a fin de obtener la máxima cosecha posible en el terreno? ¿Cuál es este valor máximo?

Solución

Número de árboles sin plantar: x ; 0 < x < 200 Producción por árbol: 300 + 3x

Entonces la función seria:

P (x )=(200−x ) (300+3 x) P (x ) =6000+300 x−3 x

Derivamos la función y la igualamos a cero para conseguir los puntos críticos:

P

( x)=300−6 x 300 −6 x=0 6

x=50

Reemplazamos el valor critico y los extremos del intervalo en

x

P (0)=60000

( ⁵⁰ ) =67500 P (200 )=0

Rpta: Para obtener la máxima cosecha debe plantarse 50 árboles menos, ósea 200 - 50 = 150 árboles. La máxima cosecha posible en el terreno es: 67 500 kg.

2. Si disponemos de 1 500 dólares para construir un tanque de agua para riego que tendrá forma cilíndrica. Se estima que la construcción de los laterales costará 2 dólares el � 2 y el fondo 1 dólar. a) ¿Cuáles deben ser las dimensiones del tanque de mayor capacidad que se puede construir con estos recursos? Asuma que el tanque no tiene tapa.

Solución

Volumen del cilindro = π . r². h

Costo de la base = $1 x Área del Circulo = π . r²

Costo de los laterales = $2 x Área de los laterales =

2 (2 π . r . h)

Por lo tanto, el costo total es =

π . r

+4 π . r . h

Ahora despejamos

h

π . r

+4 π . r . h=1 50 0 4

h= 1500 −π . r

4 π . r h= 375

π .r − r 4

Ahora sustituimos la variable en la función:

V (r)=π .r

( ³⁷⁵ π . r − r 4 )

V (r )=375 r− π .r

4

+¿

0, ∞

¿

A continuación, derivamos la función para conseguir los puntos críticos y luego buscaremos el máximo absoluto:

V

(r )=375− 3 π . r

4 375 − 3 π . r

4 =0

√ ^{1500 3}

^{=12.6 2 m}

Utilizamos el criterio de la segunda derivada para clasificar el valor critico encontrado:

V

(r)=−6π . r

V

( √ ^{1500 3 π ) =−6 π .} √ ^{1500 3 π} =−237,8 ;−237,8<0

Por el criterio de la segunda derivada en este valor se alcanza un máximo relativo y como hay

un único extremo relativo en el intervalo

+¿

0, ∞

¿

Reemplazamos el valor de

r en h

h= 375

π .r − r 4

h= 375

π (12,62) − 12,62

4 =6,30 m

Rpta: El tanque de agua debe tener un radio de:

r=12,62 m

h=6,30 m

3. Se va a tender un cable desde una planta eléctrica ubicada a un lado de un río de 800 metros de ancho hasta una industria que se encuentra al otro lado, 2000 metros río arriba de la planta. El costo de tender el cable por debajo del agua es 5000 dólares por kilómetro y sobre tierra es de 3000 dólares por kilómetro. El cable seguirá la orilla del río a partir de la planta una distancia de � kilómetro y luego cruzará diagonalmente el río en línea recta directamente hasta la industria. Determinar el valor de � que minimiza el costo total.

Solución

a)

f (3)=t

+7=3

+7=9+7=16

 Rpta: A los 3 minutos de ser introducida la toxina habrá 16 mil bacterias.

4. Un gimnasio tiene la cuota mensual en 100 soles. A ese precio se inscriben mensualmente un promedio de 550 clientes. Se quiere subir los precios y se estima que por cada aumento de 2 soles se pierden 5 clientes. ¿Qué precio se deberá fijar a fin de que el gimnasio obtenga el máximo ingreso?

Solución

x = veces de aumento de 2 soles ;

∈ [ ^{0, 110} ]

Cuota mensual = 100+ 2x Clientes = 550 – 5x

Ahora que tenemos estos datos, los reemplazamos en la función ingresos:

I

(

) = ( 550 −5 x ) ( 100 +2 x )

I ( x )=55000−500 x +1100 x−10 x

I ( x )=10(5500+60 x −x

)

Para determinar donde se alcanza el máximo se deriva la función ingreso:

I

( x )=10(60−2 x ) 600 −20 x=0 x= 600

20 =30

Ahora determinamos el máximo absoluto en [0, 110], en la función ingreso:

I (0 )=55000 I (30)=64000 I (110)=0

Rpta: Para adquirir el máximo de ingresos la cuota mensual tendría que ser de:

100 +2 ( ³⁰ ) =160 soles

5. La alcaldía de un municipio exige que el retiro de frente sea de al menos 7 metros, 5 metros al menos de fondo y de cada lado exista un retiro de al menos 4 metros. Entre todos los terrenos de forma rectangular con 600 2 de área.

a) ¿Cuáles son las dimensiones del terreno que tiene mayor área para construir?

Solución

Área total: x . y=600 m²

Área máxima del terreno para construir:

A =(x−12)( y−8)

CONCLUSIONES

 El límite existe cuando sus límites laterales existen y son iguales.

 Los puntos posibles de discontinuidad de una función son aquellos en los que la función no está definida.

 Una función se dice que es continua en todo su dominio cuando se es posible dibujarla de un solo trazo, sin levantar el lápiz.

REFERENCIAS

 Isamar. (2011). Formula general para ecuaciones cuadráticas. Recuperado de:

https://www.geogebra.org/m/GYXrzYEF

 Oblitas, Y. (2019). Limites de funciones reales. Chiclayo, Perú: Universidad Señor de Sipán.

 Anónimo. Continuidad de una función. Perú. Recuperado de:

https://www.matematicasonline.es/pdf/Temas/1BachCT/Continuidad.pdf.