Ecuación de segundo grado

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Resolución de ecuaciones de pr

imer g rado

Funciones: afín y lineal Ecuación de segundo g rado

Función cuadr ática

Miniensa yo Álgebr

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- Ecuación de segundo grado.

CONTENIDOS ¿Qué aprenderemos hoy?

Determinaremos las raíces de una ecuación de segundo grado por dos métodos: factorización y fórmula general.

Además, podremos determinar el tipo de raíces que tiene una ecuación de segundo grado mediante el discriminante. También resolveremos problemas en contextos que impliquen la resolución de una ecuación de segundo grado. Finalmente, aplicaremos estos conceptos a la resolución de ejercicios tipo PSU.

sección 1: Ecuaciones de segundo grado

A lo largo de este curso has trabajado con el álgebra. En este sentido, en la clase 8 aprendimos lo que es una ecuación, los tipos de soluciones que estas tenían y resolvimos sistemas de ecuaciones lineales. Aplicando conocimientos de álgebra intenten resolver las ecuaciones que se presentan a continuación.

1

^x² + 2x – 15 = 0

(3)

2

^{x + 2}₃ ^{= 12}_{x – 3}

3

(x – 4) • (x – 2) = 6 • (4 – x)

4

^x² + 4x + 13 = 0

En relación con los procedimientos que han utilizado, respondan las siguientes preguntas.

1

Respecto a las ecuaciones presentadas, ¿qué estrategia utilizaron para obtener el o los valores de x?

______________________________________________________________________________________________

(4)

2

¿Es válida esta estrategia para resolver la ecuación 4? ¿Qué otro método puedes utilizar para despejarla?

______________________________________________________________________________________________

3

¿Qué es una ecuación de segundo grado? ¿Qué tipos de soluciones puede tener?

______________________________________________________________________________________________

4

¿Qué estrategia utilizarías para determinar que las raíces obtenidas son las correctas?

______________________________________________________________________________________________

Estrategia de Síntesis

Completa los siguientes recuadros con ayuda de tu profesor.

Una ecuación de segundo grado tiene la forma ax² + bx + c = 0, con a, b y c números __________ y a _____ 0.

En el caso de que la expresión no se pueda factorizar, o bien su factorización no sea sencilla de realizar, se puede utilizar la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado, dada por la expresión

x = ___________________

(5)

Sección 2: ¿Cómo determinar el tipo de raíces de una ecuación cuadrática?

En la actividad anterior, se tiene que las raíces de las ecuaciones 1, 2 y 3 eran reales y distintas entre sí y que las raíces de la ecuación 4 eran complejas conjugadas, pero ¿existirá alguna forma de determinar el tipo de soluciones que tendrá una ecuación sin necesidad de resolverla?

x = – b ±

�

^b²^{– 4ac}

2a

Basado en la fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado ax² + bx +c = 0, con a, b y c números reales tal que a es distinto de cero, respondan las siguientes preguntas.

1

Si la cantidad subradical es un número real positivo, ¿cómo deberían ser las soluciones de una ecuación de segundo grado que cumplan con esta condición?

______________________________________________________________________________________________

2

Si la cantidad subradical es cero, ¿cómo deberían ser las soluciones de una ecuación de segundo grado que cumplan con esta condición?

______________________________________________________________________________________________

3

Si la cantidad subradical es un número real negativo, ¿cómo deberían ser las soluciones de una ecuación de segundo grado que cumplan con esta condición?

______________________________________________________________________________________________

4

Si la cantidad subradical de la fórmula general se denomina discriminante, ¿qué conclusiones podríamos obtener en función de las respuestas anteriores?

______________________________________________________________________________________________

(6)

sección 3:

¡contextualizando!

A continuación se exponen dos situaciones en las que las ecuaciones de segundo grado son útiles para dar solución al problema que en ellas se presenta. Reúnanse en equipos de 4 a 5 personas y respondan las preguntas que se plantean en cada caso en un tiempo determinado. Finalmente, discutan como curso sus respuestas y conclusiones.

Patricio quiere ampliar el huerto que tiene en el patio de su casa, con el fin de cultivar una mayor variedad de hortalizas. Actualmente, las dimensiones de este huerto rectangular son 5 metros de ancho por 7 metros de largo y Patricio quiere aumentar cada lado de este en x metros, para obtener una superficie total de 99 metros cuadrados, como muestra la figura adjunta.

x

x 5 m

7m

1. ¿Cómo se calcula el área de un rectángulo?

2. ¿Cuál es el ancho del rectángulo después de aumentarlo, en términos de x?

3.1

(7)

3. ¿Cuál es el largo del rectángulo después de incrementarlo, en términos de x?

4. ¿Cuál es la expresión para determinar el área, en términos de x, después de aumentar la medida de los lados del huerto original?

5. Si se concoce el área, ¿cuál(es) es (son) la(s) solución(es) de la ecuación obtenida a partir de la expresión de la pregunta anterior?

6. De acuerdo a las soluciones de la ecuación, ¿en cuántos metros Patricio tuvo que aumentar cada lado del huerto? ¿Por qué seleccionaron este valor y no el otro?

(8)

Un grupo de amigos quiere ir al cine para ver una película de terror. Carolina es la encargada de cotizar el precio de las entradas y determina que el costo total de ellas es $ 40.000. Sin embargo, por ser cliente frecuente, le ofrecen un descuento de $ 500 por cada una de las entradas y gracias a esto puede invitar a 4 amigos más para que vean la película.

1. ¿Cuáles son las variables descritas en el caso anterior?

2. Considerando las variables del punto anterior, ¿qué ecuaciones pueden plantearse a partir de la situación descrita?

3. ¿Qué estrategia se puede utilizar para determinar la cantidad inicial de amigos con base en las ecuaciones que han planteado? ¿Cuál es la ecuación cuadrática que permite determinarlos?

4. ¿Cuál es la cantidad total de amigos que irán al cine?

3.2

(9)

5. ¿Cuál es el precio inicial de cada entrada?

6. Según lo visto en sesiones anteriores, ¿qué contenido te fue útil para resolver este problema?

(10)

Tiempo estimado

15 minutos

sección 4: preguntas de modelamiento

a continuación se presentan cinco preguntas tipo psu, las que serán desarrolladas conjuntamente por ustedes y su profesor. si tienes cualquier duda acerca de estos contenidos, consulta a tu profesor, ¡ahora es el momento!

1

Si una de las soluciones para x en la ecuación 2x² + 3ax – 32 = 0 es 2, entonces la otra solución es A) – 16

B) – 8 C) – 4 D) 4 E) 8

2

Sea la ecuación 2x + 1 = 15

x , con x ≠ 0. ¿Cuál es su conjunto solución?

A) – 3

2 , 5

B) – 5

2 , 3 C) – 5, 3 2 D) – 3, 5

2

E) No existe solución en los reales.

3

Las soluciones de la ecuación 2 • (3 – 4x) + 8x • (3x + 1) = 0 son A) ± 4i

B) ± i

2 C) ± 2i

D) ± i

4

(11)

4

En la figura, ABCD es un cuadrado y APQR es un rectángulo, tal que BP = 2, PQ = 5 y AD = x, con x > 5. Si el área sombreada es 30, entonces la ecuación que permite encontrar el valor de x es

C D

R

A P

Q

B A) x² – 25 = 0

B) x² – 5x + 40 = 0 C) x² – 5x + 30 = 0 D) x² – 5x – 30 = 0 E) x² – 5x – 20 = 0

5

Se puede afirmar que la ecuación x² + mx + n = 0 tiene solución en los reales, si:

(1) m es positivo.

(2) n es negativo.

A) (1) por sí sola.

B) (2) por sí sola.

C) Ambas juntas, (1) y (2).

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).

E) Se requiere información adicional.

(12)

Tiempo estimado

10 minutos

sección 5: preguntas elementales

Es momento de poner a prueba tus conocimientos y habilidades sobre estos contenidos. A continuación debes contestar cinco ejercicios de dificultad fácil, los que son útiles para medir qué tanto has entendido y aprendido durante esta sesión.

6

Un paralelepípedo tiene base cuadrada de lado x cm y su altura mide 6 cm. Si el área total del paralelepípedo es 30 cm², la ecuación que permite calcular el valor de x es

A) x² + 24x – 30 = 0 B) x² + 12x – 30 = 0 C) x² + 12x – 15 = 0 D) x² + 6x – 15 = 0 E) x² + 6x – 30 = 0

7

La(s) solución(es) de la ecuación x • (x – 5) = 2 • (x – 6) es (son) A) 1

B) 1 y 6 C) 5 y 6 D) – 7 y 12 E) 3 y 4

8

La suma de las soluciones para x en la ecuación 2x² – mx – n = 0, con m y n números reales, es

A) – m

2

B) – n

2

C) m

2

D) n

2

E) m + n

9

Para que la ecuación kx² – 4x + 2 = 3 tenga solución en los reales para x, k debe tomar valores

(13)

10

^{Sea x}² – 8x + 2 • (4 – k) = 0 una ecuación en x. ¿Para qué valores de k se cumple que la ecuación tiene soluciones complejas?

A) k > 4 B) k < 4 C) k > – 4 D) k < – 4

E) k ≤ – 4

(14)

Tiempo estimado

10 minutos

sección 6: preguntas intermedias

Es tiempo de enfrentarse a cinco ejercicios de dificultad media, los que están presentes en mayor medida en la PSU. ¡Anímate a resolverlos!

11

Un almacén vende semanalmente x unidades de pilas, donde el valor del precio de venta se obtiene de la expresión (2x + 100). Si el ingreso se genera como el producto entre el precio de venta y el número de artículos vendidos,

¿cuántas pilas se deben vender para conseguir un ingreso de $ 1.950?

A) 65 B) 36 C) 30 D) 15 E) 12

12

Si m y n son las soluciones para x en la ecuación x² + ax + b = 0, con a y b números reales distintos de cero, entonces

¿cuál de las siguientes ecuaciones tiene como soluciones para x al conjunto

{

^m³^{y 3}ⁿ

}

^?

A) bx² – 3ax + 9 = 0 B) x² + 3ax + 9 = 0 C) bx² – 3a + 9 = 0 D) x² – 3ax + 9 = 0 E) bx² + 3ax + 9 = 0

13

Si el conjunto solución para x en la ecuación ax² + bx + 1 = 0 es {– 3, 3}, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) El discriminante de la ecuación es cero.

II) a = 9

III) b = – 18 A) Solo I B) Solo II C) Solo II y III D) I, II y III

(15)

14

Si (3 – 5i) es una de las soluciones para x en la ecuación x² – ax – b = 0, entonces los valores de a y b, respectivamente, son

A) – 6 y 34 B) 2 y 34 C) 6 y 34 D) 6 y – 34 E) – 2 y – 34

15

Dos móviles, A y B, parten a encontrarse por un camino recto que inicialmente los separa 54 km, en el que la distancia recorrida del móvil A, medida en km, se obtiene de la expresión s(t) = – 2t² + 30t, donde t corresponde al tiempo en horas transcurridos desde que comienza su movimiento. Se puede determinar el tiempo que tardarán en encontrarse por primera vez, si:

(1) La distancia recorrida por el móvil B está dada por x(t) = s(t) 26. (2) El móvil B recorre solo 2 km hasta encontrarse con el móvil A.

(16)

Tiempo estimado

10 minutos

sección 7:

preguntas avanzadas

Finalmente, te presentamos cinco ejercicios de dificultad alta, los que requieren que pongas a prueba todas tus capacidades y, en algunas ocasiones, otros contenidos que no son propios de la sesión pero que son claves al momento de la resolución. ¡Mucha concentración y a resolver!

16

¿Cuál es el valor de k para que las soluciones reales de x en la ecuación x² + 17x + k = 0 difieran en 3 unidades?

A) 130 B) – 10 C) – 7 D) – 70 E) 70

17

La suma de dos números es – 2 y la suma de sus cuadrados es 34. La suma de los cubos de dichos números es A) – 68

B) – 8 C) 98 D) 152

E) ninguno de los valores anteriores.

18

En la ecuación x + 1

x + 2 + x – 1

x – 3 = 1, ¿cuál(es) de los siguientes valores para x satisface(n) la ecuación?

I) 1 II) i

III) – i

A) Solo I B) Solo II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III

(17)

19

El interés compuesto puede usarse para determinar el monto C cuando un capital inicial k se invierte en una tasa de interés anual i %, durante t años, de modo tal que C = k

(

^{1 + i}¹⁰⁰

)

^t. Si una persona invierte inicialmente $ 1.000 en una cuenta de ahorros cuyo interés compuesto se paga una vez al año y, al cabo de 2 años, el monto en la cuenta fue de $ 5.000, entonces ¿cuál fue la tasa de interés anual aplicada?

A) (– �5 – 1) • 100%

B) (�5 – 1) • 100%

C) (1– �5 ) • 100%

D) 2 • 100%

E) 2%

20

Se puede afirmar que la ecuación cuadrática mx² + nx + p = 0, con m ≠ 0, tiene soluciones para x reales e iguales, si:

(1) x = – n 2m (2) n² – 4mp = 0

(18)

Compruebo lo aprendido

A continuación encontrarás una lista con los conocimientos y habilidades que se han medido con la ejercitación de esta sesión, indicando las preguntas que tienen relación con dicho punto. Marca aquellos aspectos en los que hayas logrado progresar y refuerza en casa los que aún no has podido desarrollar.

Determino las raíces de una ecuación de segundo grado mediante factorización o el uso de la fórmula general (preguntas 1, 2, 3, 7, 10, 14, 16 y 18).

Analizo y determino el tipo de raíces que tiene una ecuación de segundo grado con base en sus parámetros (5, 8, 9, 12, 13 y 20).

Resuelvo problemas en contextos en los que se justifica la utilización de la ecuación de segundo grado (4, 11, 15, 17 y 19).

(19)

tabla de corrección

Ítem Alternativa Habilidad Dificultad estimada

1 Comprensión Fácil

2 Comprensión Media

3 Aplicación Fácil

4 Aplicación Difícil

5 ASE Media

7 Aplicación Fácil

9 ASE Fácil

10 ASE Fácil

11 Aplicación Media

14 ASE Media

15 ASE Media

16 ASE Difícil

17 ASE Difícil

18 ASE Difícil

19 ASE Difícil

20 ASE Difícil

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Katherine González Terceros Equipo Editorial

Rodrigo Cortés Ramírez Pablo Echeverría Silva Marcelo Gajardo Vargas Andrés Grandón Guzmán Equipo Gráfico y Diagramación Pamela Martínez Fuentes Vania Muñoz Díaz Elizabeth Rojas Alarcón Equipo de Corrección Idiomática Paula Santander Aguirre Imágenes

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