TEMA 4 Modelos discretos elementales. Ecuaciones en diferencias

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TEMA 4

Modelos discretos elementales.

Ecuaciones en diferencias

Chelo Ferreira Gonz´alez

Avicenna (980-1037)

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1. Introducci ´on. Modelos matem´aticos

2. Métodos numéricos. Resoluci ón de sistemas lineales y ecuaciones no lineales 3. Aproximaci ón de funciones: interpolaci ón y ajuste

4. Modelos discretos elementales. Ecuaciones en diferencias

5. Estad´ıstica descriptiva. An´alisis de datos

6. Variable aleatoria. Distribuciones de probabilidad 7. Distribuciones de probabilidad importantes

8. Estimaci ´on de par´ametros por intervalos de confianza

9. Contraste de hip ótesis. Introducci ón al análisis de la varianza 10. Correlaci ón y regresi ón. El modelo de regresi ón simple

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• Introducci ´on a las ecuaciones en diferencias

• Ecuaci ´on en diferencias de segundo orden con coeficientes constantes

• Sistemas de ecuaciones en diferencias

Clases estimadas para este tema: 4 clases

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1.I^NTRODUCCION A LAS ECUACIONES EN DIFERENCIAS´

Objetivo: Plantear y resolver modelos deterministas elementales discretos en el tiempo

Problema (Malthus) el tama ño de la poblaci ón en un a ño es pro- porcional al tama ño en el a ño anterior

y(k) = Ay(k − 1), A ∈ R

Problema (Verhulst) modelo m ´as realista: el crecimiento est ´a limi- tado por alguna causa (espacio, alimento,...)

y(k) − y(k − 1) = Ay(k − 1) (M − y(k − 1)) , A > 0, M ∈ R

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una ecuaci ´on en diferencias (ED) de orden n relaciona las funciones reales y(k + n), y(k + n − 1), . . . , y(k + 1), y(k), n ∈ N ED lineal de orden n con coeficientes constantes

a_ny(k + n) + a_n−1y(k + n − 1) + · · · + a₁y(k + 1) + a₀y(k) = h(k) si h(k) = 0 se denomina ecuaci ´on homog ´enea

Propiedad Si y₁(k), y₂(k), . . . , y_n(k) son soluciones de la ED lineal homog énea anterior, entonces cualquier combinaci ón lineal suya tambi én es soluci ón de la ecuaci ón.

un conjunto de n soluciones linealmente independientes para una ED lineal homog ´enea se denomina sistema fundamental de so- luciones.

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Propiedad Cualquier soluci ón de una ED lineal homog énea puede expresarse como combinaci ón lineal del sistema fundamental de soluciones

y_h(k) = C₁y₁(k) + C₂y₂(k) + · · · + C_ny_n(k),

donde las n constantes se determinar ´an a partir de las n condicio- nes iniciales del problema que vendr ´an dadas en la forma

y(0) = a₁, y(1) = a₂, · · · , y(n − 1) = a_n

Una soluci ón particular es una soluci ón cualquiera de la ecuaci ón completa

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Propiedad Si y_h(k) es la soluci ón de la ecuaci ón homog énea e y_p(k) es una soluci ón particular de la ecuaci ón completa, entonces la suma de ambas soluciones es la soluci ón de la ecuaci ón completa.

soluci ón = soluci ón homog énea + soluci ón particular

ED lineal de primer orden con coeficientes constantes a₁y(k + 1) + a₀y(k) = h(k)

HOMOG ´ENEA:

a₁y(k + 1) + a₀y(k) = 0 ⇔ y(k + 1) = Ay(k) soluci ´on (sustituciones sucesivas): y(k) = A^ky(0)

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2._ED LINEAL DE SEGUNDO ORDEN CON COEFICIENTES CONSTANTES

ED lineal de segundo orden con coeficientes constantes

y(k + 2) + a₁y(k + 1) + a₀y(k) = h(k) observar el coeficiente de mayor orden

HOMOG ´ENEA: y(k + 2) + a₁y(k + 1) + a₀y(k) = 0

buscamos las soluciones de la denominada ecuaci ´on caracter´ıstica s² + a₁s + a₀ = 0,

para la que distinguiremos:

1. dos ra´ıces reales y distintas s₁ y s₂. y₁(k) = s^k₁, y₂(k) = s^k₂ forman un sistema fundamental. La soluci ón general de la homog énea ser á

y_h(k) = C₁s^k₁ + C₂s^k₂

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2. ra´ız real doble s₁. y₁(k) = s^k₁, y₂(k) = ks^k₁ forman un sistema fundamental. La soluci ón general de la homog énea ser á

y_h(k) = C₁s^k₁ + C₂ks^k₁

3. dos ra´ıces complejas conjugadas s₁ = a + ib, s₂ = a − ib. La soluci ´on general de la homog ´enea la podremos escribir en la forma

y_h(k) = C₁r^kcos (kα + C₂) , r = √

a² + b², α = arctan b a

Ejercicio: Resolver las siguientes ecuaciones en diferencias:

y(k + 2) − 2y(k + 1) − 3y(k) = 0, y(0) = 1, y(1) = 2 y(k + 1) − 6y(k) + 9y(k − 1) = 0, y(0) = 2, y(1) = −2

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B ´USQUEDA DE SOLUCIONES PARTICULARES: aplicaremos el m ´etodo de los coeficientes indeterminados. Consideraremos dos aspectos:

El primer aspecto seg ún sea la funci ón h(k) (vemos las m ás senci- llas)

Si es h(k) = d^k y d no es soluci ón de la caracter´ıstica, ensayaremos soluciones particulares en la forma y_p(k) = Ad^k determinando la constante A por substituci ón directa en la ecuaci ón.

Ejemplo. Resolver la ED

y(k + 2) − 2y(k + 1) − 3y(k) = 2^k

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Si es h(k) = s^k y s es soluci ón de la caracter´ıstica, ensayaremos soluciones particulares en la forma y_p(k) = Akd^k determinando la constante A por sustituci ón directa en la ecuaci ón. Adem ás, iremos aumentando el grado de k en y_p(k) por cada una de las veces que est á repetida la ra´ız.

Ejemplo. Resolver la ED

y(k + 1) − 3y(k) + 2y(k − 1) = 2^k

Si es h(k) = kⁿ hay que ensayar un polinomio de grado n en k Ejemplo. Resolver la ED

y(k + 2) − 2y(k + 1) − 3y(k) = 4k

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El segundo aspecto que consideraremos es:

si h(k) es la suma de funciones conocidas ensayaremos como soluci ´on particular la suma de las soluciones particulares para cada funci ´on,

si fallan las soluciones anteriores propuestas, las multiplicamos por k, k²,... y probaremos si alguna de estas funciona.

¿C ´omo evoluciona la poblaci ´on para k → ∞? caso de ra´ıces reales:

- Si los valores absolutos de ra´ıces < 1 se extingue. Estable - Si ra´ız de mayor valor absoluto =1 tiende a un proceso estacio-

nario (situaci ´on de equilibrio). Neutralmente estable

- Si hay una ra´ız con valor absoluto > 1 crece indefinidamente.

Inestable

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3.SISTEMAS DE ECUACIONES EN DIFERENCIAS

un sistema de tres ecuaciones en diferencias de primer orden











x(k + 1) = a₁₁x(k) + a₁₂y(k) + a₁₃z(k) y(k + 1) = a₂₁x(k) + a₂₂y(k) + a₂₃z(k) z(k + 1) = a₃₁x(k) + a₃₂y(k) + a₃₃z(k)

X_k+1 = AX_k, X_k =







x(k) y(k) z(k)







, A =







a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃







el sistema tiene soluci ´on si la matriz es diagonalizable, por lo que tendremos tres vectores propios independientes (tantos vectores como el n ´umero de ecuaciones en diferencias del sistema)

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supongamos que λ₁, λ₂,..., λ_n, son los n valores propios de vectores propios v₁, v₂,..., v_n, de un sistema de n ecuaciones en diferencias de orden 1. Entonces, la soluci ´on viene dada por

X_k = C₁λ^k₁v₁ + C₂λ^k₂v₂ + · · · + C_nλ^k_nv_n

Un caso de sistemas de ED son los denominados procesos de Markov, y verifican

- Todos los elementos de la matriz son no negativos.

- La suma de los elementos de cada columna es exactamente 1.

- Uno de los valores propios es siempre 1.

- Los dem ´as valores propios tienen valor absoluto menor que 1.

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la estabilidad de las soluciones de un sistema de ED viene dado por la norma del vector soluci ´on X_k cuando k → ∞:

- Si tiende a 0 la poblaci ´on se extingue y el sistema es estable.

- Si tiende a un valor estacionario denominado poblaci ´on de equilibrio el sistema es neutralmente estable.

- Si tiende a ∞ la poblaci ´on crece indefinidamente y el sistema es inestable.

los valores absolutos de los valores propios gobiernan la estabilidad del sistema:

- Si los valores propios tienen valor absoluto < 1, el proceso es estable.

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- Si todos los valores propios tienen valor absoluto ≤ 1 el proceso es neutralmente estable. El estado estacionario (de equilibrio) se determina con el vector propio asociado al valor propio 1.

- Si alguno de los valores propios tiene un valor absoluto > 1, entonces el proceso es inestable.

Problema Los ratones tienen dos caminos: el A con un trozo de queso y el B con queso y descarga el ´ectrica. Aprenden cada d´ıa, de modo que si un d´ıa van al A, al siguiente d´ıa el 90 % va al A y el 10 % al B; mientras que los que van al B un d´ıa, al d´ıa siguiente el 70 % va al A y el resto sigue por el B.

- Construir la matriz del proceso, ¿es de Markov?

- ¿Qu é ocurrir á en una situaci ón de tiempo indefinido?

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Si denominamos Ak los que van por el camino A en el d´ıa k y Bk los que van por B, entonces tendremos:

A_k+1 = 0.9A_k + 0.7B_k B_k+1 = 0.1A_k + 0.3B_k

A B

!

k+1

= 0.9 0.7 0.1 0.3

! A B

!

k

claramente es un proceso de Markov.

Los valores propios son 1 y 0.2. El vector propio asociado al valor propio 1 es (7, 1).

Sobre el total de ratones (7+1=8), tendremos que a lo largo del tiempo el 87.5 % (7 de 8) ir ´a por el camino A, y el 12.5 % (1 de 8) ir ´a por el camino B .