FUNDAMENTO DE MATEMÁTICAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS.
Se denomina expresión algebraica a toda combinación de símbolos y letras, conectados por las operacio- nes fundamentales del álgebra. Ejemplos:
a. 3a + 5b b. 8x2 – 3 y3 c. 2x – 5y +3z d. – 4xy5 e. 6x3 f.
a x 5 6
Cuando en una expresión algebraica aparece únicamente la operación de multiplicación de números y potencias positivas enteras de las literales, ésta recibe el nombre de término. En los ejemplos anteriores, son términos:
Ejemplo Términos
a.
3a, 5b
b.
8x2, - 3y3 2x, - 5y, 3z c.
Los números que están multiplicando a las letras se les llaman coeficientes y las letras se denominan parte literal o factor literal. Usualmente la parte literal está compuesta por base y exponente. En el siguiente cuadro se muestra la base y el exponente de los factores literales de – 4xy5:
P arte literal Base x
Exponente x 1
y5 y 5
Las expresiones que constan de un solo término se les llaman monomio y si tienen más de un término son polinomios. Son ejemplos de polinomios:
a. x2 – 3x + 1 + x3 – 9x4 b. 5x4 – 8 + 2x – x2 c. 4 + 8x2 – 7x d. 8x – 2x2 + 9 – 5x3 e. – x3 + 2x
f. 7x3y4 – 4 x4y2 + x2y3 – 5xy
Para las OPERACIONES que siguen, se tiene en cuenta los resultados obtenidos en el capitulo anterior, cuando se estudiaron los conjuntos numéricos.
SUMA Y RESTA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS.
Ejemplos:
1. La suma de 2x – 3y + 5 con x + 2y – 1, es:
(2x – 3y + 5) + (x + 2y – 1) = 2x – 3y + 5 + x + 2y – 1 =
= (2x + x) + (2y – 3y) + (5 – 1) Propiedad conmutativa y asociativa = (2 + 1) x + (2 – 3) y + (5 – 1) Propiedad distributiva
= 3 x – 1 y + 4 Propiedad cerrada = 3 x – y + 4 Propiedad Modulativa.
2. La diferencia entre 2x – 3y + 5 y x + 2y – 1 es:
(2x – 3y + 5) – (x + 2y – 1) = 2x – 3y + 5 – x – 2y + 1 = (2x – x) + (– 3y – 2y) + (5 + 1) = (2 – 1) x – (3 + 2) y + (5 + 1)
= 1 x – 5 y + 6 = x – 5 y + 6.
ACTIVIDADES.
1. Para cada uno de los siguientes casos, halla la suma de los dos polinomios y luego resta el segundo del primero:
a. 2a + 3b – 4 y a – 2 b + 3 b. 2 x + y + 5 y 3y – 2 z – 4 c. a – 2 b + 3c y 2 a + 4 b – c d. 2(x – 3 y) y – ( 2x + y)
e. 4 x + 3 y + z y 2 x + 3 y – 2 z f. – (x + 2 y – z) y 3(x – y + 2 z)
g. 9
5 3 14 4
3 2
x
x y
2 3 7 6 3 8 2
x
x h. 3 2 3 2
5 4 3
8 7
2x y x y xy y 3 2 3 2
10 3 3
4 4
3x y x y xy
2. Elimina los signos de agrupación y reduce los términos semejantes (términos con igual parte literal):
a. x – (2 y + 3 x) – 2 y e. 8 x + [(3 x – 2 y) + (6 x – 9) – (x + y)]
b. 3 x – (2y – 4 x) + 6 y f. 3 y – [2 y + 3 x – (2 x – 3 y)] + 4 x c. (2 x – 3 y) + (y – 4 z) – (z – 3 x) g. 2 x – {3 y – [5 x – (7 y – 6 x)]}
d. (2 x – 3 y) – (8 x + 6 y + 5) h. 9 x – (2 y – 3 x) – {y – (2 y – x)} – [2 y + (4 x – 3 y)]
3. Utiliza paréntesis para encerrar los tres últimos términos de los siguientes polinomios:
a. a2 – b2 + 2 b c – c2 c. 16 – x2 + 2 x y – y2 b. 16 – 4y2 – 4 y – 1 d. 9 x2 – 9 y2 – 6 x y – x2
4. Encuentra el valor de cada una de las siguientes expresiones, cuando las letras se cambian por los valo- res indicados:
a. 3 x + 4; x = 1 e. 2 x – 3 x y + y2; x = 2, y = – 3 b. 3 x2 – 2 x + 1; x = – 2 f. 4 x – 3 y; x = – 1, y = 3 c. x2 – 7 x + 10; x = 2 g. 2 x + 3 y; x = – 2, y = 3
d. – 3 x2 – 4 x + 3; x = – 4 h. 3 x2 + 2 x y – 4 y2; x =– 3, y = 1
5. Una expresión algebraica con una variable seguida de una rayita vertical con dos valores en sus extre- mos, se interpreta así: se reemplaza la letra x por el valor situado en la parte superior y se resta con el valor obtenido al cambiar la variable por el valor colocado en la parte inferior. Ejemplo:
2 x2 – 5 x 2(3) 5(3) [2(2) 5(2)] 18 15 (8 10) 5 2
3 2 2
Encuentra el valor de las siguientes expresiones:
a. 2 x + 5 1
2 b. x2 – 6 x + 9
1 3
c. x2 – a2 a
a d. 5 x2 – 4 x + 6
2 1
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS.
Cuando los factores de un producto son iguales, el producto se llama una potencia del factor repetido.
Exponentes Enteros.
Si n es un entero positivo, el símbolo bn, leído potencia enésima de b, es el producto de n factores cada uno igual a b. Esto es:
b
=
b n * b *b * ... * b
n factores de b b es la base y n el exponente.
PROPIEDADES.
Si a, b son números reales, n y m son números enteros, se tienen las siguientes propiedades:
i. b n * b m = b n + m ii. (b )n m bnm iii. (ab)n anbn
iv.
n n n
y x y x)
( v. n m n
m
x x
x
vi.n n
x
x 1
ACTIVIDADES.
1. Simplificar las siguientes expresiones:
a. 23 + 52 b. (– 2)5 c. (7 x3)2
d. (–3y2x4)3 e. 90 + 3 -1 f. (– 5) - 2
2. Realiza las operaciones indicadas, escribiendo el resultado sin exponentes cero ni negativos:
a. (a2)6
· a
– 2 b. 4a – 1 (3a2)3 c. (22·
x3)3 d. a – 2·
a2 · a4 e.2 2
) 2 (
) 6 (
a
a f.
4 2
4 2
) 2 (
) ( 3
a a
g.
m
a
a3 h.
1 1 2
m m
a
a
i.4 4 4
) (
) )(
( xy
xy y x
j. a 1 b 1
k.
b a
1 1
3
4 l.
1 1 2
a b
ab a
m. ab 1 ba 1 n. (a 1 b 1)(a b) 1 o. (a 1 b 1) 1 3. Realiza las siguientes operaciones, reduciendo los términos semejantes:
a. (4x 3)(3x 6) b. (x 3)(2x 5) c. (x2 xy y2)(x y) d. (x2 xy y2)(x y) e. (x y)(x y) f. (x a)(x b)
g. (x y)2 h. (a b)3 i. (x y)3
j. (a2n 7an 10)(an 1) k. (6x2y3 4x3y2 10xy) (2xy) l. (8x2y3 10x3y) (2x2y)
m. 1)
5 )(1 5 5
(2x x n. )
5 )(3 5
(3x y x y o.
7 4
6 4
9 4 3 2
y x
y x
p. (2x4 – 5x3 + 6x2 – 4x – 105) ÷ (x+2) q. (x5 – 16x3 – 202x + 81) ÷ (x – 4) r. (x3 – 2x2 + x – 2) ÷ (x – 2) s. (x3 – x2 + 2x – 2) ÷ (x + 1)
NOTACIÓN CIENTÍFICA.
1. Escribe el prefijo empleado para designar a las siguientes potencias de 10:
Potencia Prefijo Representación Potencia Prefijo Representación
106 1 10 1
10 1
103 2 10 2
10 1
102 3 10 3
10 1
2. Realiza las siguientes operaciones:
a. 6,8 x 103 = b. 0,0432 x 104 = c. 2,0368 x 102 = d. 385,1 x 10-2 = e. 67,8 x 10-3 f. 6,89 x 108 =
3. La vida le ha planteado al hombre situaciones en las cuales después de realizar algunas medidas, éstas quedan expresadas con números demasiados grandes o muy pequeños. Así, la masa de la tie- rra es de 5980 000 000 000 000 000 000 000 kilogramos y el radio de un átomo de hidrógeno es de 0,000000005 centímetros. Para simplificar la escritura de números similares a estos, se creó la notación científica. Ésta consiste en escribir un número como el producto de una potencia de 10, por un número comprendido entre 1 y 10. Las cantidades anteriores se escriben en notación científica de la siguiente manera:
24 24
24
10 98 , 5 10
10 00000 0000000000 5980000000
x x
9 9
9 9
10 5 10
5 10
10 000000005 .
0 x x
Escribe ahora los siguientes números en notación científica:
a. 350 000 b. 0,0029 c. 58 000 000
d. 0,000013 e. 450 000 000 f. 0,00000103
Realiza las siguientes operaciones, escribiendo el resultado en notación científica:
a. (0.90324)(0.0005432) b. (3000)2(200000)3(0.0000000001)
c. 12
12
10
* 01 . 3
10
* 25 .
8 d.
5 3
) 20000000 (
) 1000000 (
) 4000 (
4. Representa en notación científica la información suministrada a continuación:
a. La altura de la torre de Pissa es de 54,5 metros.
b. La altura del monte Everest es de 8 880 metros.
c. El diámetro de una estrella gigante es de 3 100 000 000 000 metros.
d. La distancia que viaja la luz en un año es de 11 000 000 000 000 000 metros.
e. El peso promedio del hombre normal es de 72 kiligramos.
f. El peso de la atmósfera terrestre es de 5 100 000 000 000 000 000 kilogramos.
g. En un mes hay 2 550 000 segundos.
h. En promedio la duración de la vida de un hombre es de 2 000 000 000 segundos.
i. La velocidad de la tierra en su traslación es de 106 000 Kilómetros por hora.
j. La masa del átomo de carbono 12 es de 0.00000000000000000000 002 gramos k. El número de Avogadro es 602 000 000 000 000 000 000 000
FACTORIZACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS.
Cada término que interviene en una multiplicación o producto, se llama factor. Factorizar una expresión algebraica, consiste en escribirla como el producto de dos o más factores. Las situaciones más comunes, los describimos a continuación:
1. Descomponer en factores 2ax2 4ay2 8a2x Solución:
x a ay ax2 4 2 8 2
2 = 2ax2 2*2ay2 4*2a*ax = 2a(x2 2y2 4ax). Cerrada y distributiva.
2. Descomponer en factores x(a 2b) 3y(a 2b) Solución:
) 2 ( 3 ) 2
(a b ya b
x = (a 2b)(x 3y) 3. Descomponer en factores x2 4y2
Solución:
2 2 4y
x = (x 2y)(x 2y)
4. Descomponer en factores x2 8x 16 Solución:
16
2 8 x
x = (x 4)2
5. Descomponer en factores x2 7x 12 Solución:
12
2 7x
x = (x 4)(x 3)
6. Descomponer en factores 2x2 5x 12 0
En este caso efectuamos el producto del coeficiente de x2 por el término independiente – 12, resultando – 24. Se buscan dos números cuyo producto sea – 24 y la suma 5, obteniéndose 8 y – 5. Reescribimos el término en x de la ecuación original, con estos números:
0 12 3 8
2x2 x x 2x(x 4) 3(x 4) 0 (x 4)(2x 3) 0 x 4 0 2x 3 0
4
x x 32
.
7. Descomponer en factores x3 8y6 Solución:
6 3 8y
x = x3 (2y2)3 (x 2y2)(x2 2xy2 4y4) ACTIVIDADES.
Descomponer completamente en factores, las siguientes expresiones algebraicas:
a. 4x 20 k. 8x6n 27y3m
b. 10x 15xy l. x6 y6
c. 3x3y 9x2y6 m. 1000 x 3
d. 3y(2x 5) 4x(2x 5) n. (x2 6x 9) (y2 4y 4)
e. z3(x 3y) (x 3y) o. x2 7x 10
f. 9 a 2 p. x2 3x 10
g. (x 2y)2 z2 q. x2 17x 60
h. x2 10xy 25y2 r. (2x)2 4(2x) 3
i. x2 8x 16 s. 2x2 3x 2
j. a3 8 t. 5x2 13x 6
Consideremos los siguientes polinomios: D(x) = 2x3 + 3x2 – 2x+ 21, Q(x) = x + 3. Realiza la división de D(x) entre Q(x), indicando el cociente y el residuo. El algoritmo de la división nos permite establecer la siguiente igualdad: D(x) = Q(x) · C(x) + R(x), donde C(x) es el cociente y R(x) el residuo. Cuando el resi- duo no es un polinomio en x, se acostumbra a representar simplemente con una R.
Cuando R(x) = 0, se tiene que D(x) = Q(x) · C(x), siendo Q(x) y C(x) factores de D(x).
TEOREMA DEL RESIDUO.
Si un polinomio D(x) se divide entre x – r para obtener un cociente C(x) y un residuo R, se cumplirá que D(r) = R.
Demostración:
Por el algoritmo de la división: D(x) = (x – r) · C(x) + R, por lo tanto D(r) = (r – r) · C(r) + R. De aquí se obtiene que D(r) = R
ACTIVIDADES.
Encontrar el residuo de las siguientes divisiones, sin efectuarlas:
1. (5x3 – 14x + 3) ÷ (x – 2) 2. (x2 – 7x + 10) ÷ (x – 5) 3. (3x2 – 13x + 4) ÷ (x – 4) 4. (x5 – 3x3 + 5x – 7) ÷ (x + 2)
5. (2x3 + 6x2 – 12x + 1) ÷ (2x + 1)
6. (3x4 – 4x3 + 4x2 – 10x + 8) ÷ (3x – 1) TEOREMA DEL FACTOR.
Se dice que un número real r es una raíz de un polinomio D(x) si se cumple que D(r) = 0.
Sea D(x) un polinomio: “r es una raíz de D(x) si y sólo si x – r es un factor de D(x)”
Demostración:
Primera parte: r es una raíz, se cumplirá que D(r) = R = 0. Pero como D(x) = (x – r) · C(x) + R, se tendrá que D(x) = (x – r) · C(x) + 0 = (x – r) · C(x), esto es (x – r) es un factor de D(x).
Segunda parte: (x – r) es un factor de D(x). Se cumplirá que D(x) = (x – r) · C(x). De aquí obtenemos D(r) = R = 0 y por lo tanto r es una raíz.
Ejemplo:
Usar el teorema del factor para encontrar los factores de D(x) = x3 – 3x2 – x + 3.
Encontramos los factores de 3:1, 3, – 1, – 3. Ahora, encontramos que D(– 1) = 0, D(1) = 0 y D(3) = 0. Por lo tanto (x – (– 1)), (x – 1) y (x – 3) son factores de D(x), por ello: D(x) = (x + 1) (x – 1) (x – 3)
ACTIVIDADES.
Comprobar que el primer polinomio es un factor del segundo:
1. x – 1 ; 4x3 + 3x2 – 5x – 2 2. y + 1; y4 – 1
3. x + 2; x3 – 2x2 – 5x + 6 4. x – 2; 2x3 – 11x2 + 17x – 6 DIVISIÓN SINTÉTICA.
Las divisiones entre binomios de la forma ax + b, pueden simplificarse si se emplea un método conocido con el nombre de división sintética. El procedimiento se ilustra con el siguiente ejemplo:
Dividir 3x3 – 4x2 – 2x – 7 entre (x – 2). Primero mostramos el proceso normal:
3x3 4 x2 2x 7
2x
- - -
3x2
+ +
-
2
x 2
3x3
-
6 x22 x2
- -
2x 4x
- - -
4 3 3x3
2 x2
2x 2x
7
OBSERVACIONES:
1. Al realizar la división los polinomios se ordenan con relación a una variable y en consecuencia podremos obviar la escritura las potencias de la variable y conservar sus coeficientes.
2. Como el coeficiente del primer término del divisor es 1, cuando se divida el primer término del dividendo (o el primer término de los residuos parciales) entre él, y se multiplica cada cociente por él, se repetirán los primeros los primeros términos del dividendo (encerrados en óvalos).
3. Los segundos términos en los residuos parciales son repeticiones de términos del dividendo (son los que se “bajan”) , ellos también pueden omitirse (son los encerrados en cuadrados)
4. Por comodidad el primer término del divisor será omitido.
5. Cada coeficiente del cociente, excepto el primero, está representado por el coeficiente del primer término en cada residuo parcial, por ello, todo el cociente será omitido.
Teniendo en cuenta las anteriores observaciones, nos queda la siguiente estructura:
3 - 4 - 2 - 7 - 2 - 6
2
-
2 4
- -
4 3
Lo anterior podemos escribirlo en tres renglones. Para ello, trasladamos los números que están encima de las rayitas, al segundo renglón y los que estén por debajo, al tercer renglón, junto con el primer coeficiente del dividendo:
3
-
4-
2-
7-
2-
6 2-
2
4
-
-
4 3
3
+ +
Por el teorema del resido D (2) = – 3 = R, le cambiaremos el signo al número que está en el divisor y podremos sumar los productos parciales en vez de restarlos. Llegamos a la expresión:
3
-
4-
2-
7 2+
6 2+
2
4
+
-
4 3
3
+ +
El cociente tendrá un grado menos que el dividendo y sus coeficientes resultan al escoger los números del tercer renglón que están a la izquierda del – 3. El residuo es el número que se ha separado:
Cociente: 3x2 + 2x + 2; Residuo: – 3.
ACTIVIDADES.
Utiliza la división sintética para encontrar el cociente y el resido en cada una de las siguientes divisiones:
1. (6x4 – x3 – 42x2 + 15x + 50) ÷ (x – 2) 2. (x4 – 14x3 + 2x2 + 49x – 36) ÷ (x + 2) 3. (3x3 + 4x2 – 5x – 6) ÷ (x – 2) 4. (4x3 – 7x + 5) ÷ (2x + 3)
Utiliza el teorema del factor y la división sintética, para encontrar algunas raíces reales de los siguientes polinomios:
1. P(x) = x4 +2x3 – 3x2 – 4x + 4 2. P(x) = x3 – 4x2 + 6x – 4 3. P(x) = x4 + x3 – 11x2 – 9x + 18 4. P(x) = x3 – 5x2 – 17x + 21 FRACCIONES ALGEBRAICAS
Siguiendo la propiedad de las fracciones mediante la cual podemos multiplicar o dividir los dos términos y esta no cambia, podemos escribir fracciones algebraicas de una manera muy simplificada.
Ejemplos. Transformar las siguientes fracciones, en otras más sencillas:
1. 2
4 3 2 4 2
4 3 4 2 3 6 2
7 4 3 3 6
7 4
3 2 3
2 2 2 3
2 2 12
8
x y y x x
y y x y
x y x y
x y x
2.
2 3
5 )
2 )(
3 2 (
) 2 )(
5 ( 6 2
10 7
2 2
x x x
x x x x
x x x
3. x x x
x x
x
1 1 2
2 1
2 2 4
En este caso, encontramos el mínimo común múltiplo de los denominadores, factorizándolos:
) 1 )(
1 ( ) 1
( 2 2
2 2
4 x x x x x x
x ; x2 2x 1 (x 1)2; x = x
El m.c.m es x2(x 1)2(x 1). Teniendo a esta expresión como denominador, la dividimos entre cada denominador de las fracciones dadas y el cociente lo multiplicamos por el correspondiente numerador:
x x x
x x
x
1 1 2
2 1
2 2
4 =
) 1 ( ) 1 (
) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( 1 1 ) 1 (
2 )
1 )(
1 (
1
2 2
2 2
2
2 x x x
x x x x x x x x x
x x
x x
) 1 ( ) 1 (
) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( 1 1 ) 1 (
2 )
1 )(
1 (
1
2 2
2 2
2
2 x x x
x x x x x x x x x
x x
x
x =
) 1 ( ) 1 (
1 3 2 2
2 2
2 3 4
x x x
x x x
4. 2 ( 4)2
) 2 ( 2 ) 4 )(
4 )(
4 ( 2
) 2 )(
4 ( 4 ) 4 )(
4 (
) 2 ( 4 ) 4 ( 2
) 4 ( 16
8 4 8 2
4
x x x
x x
x x x
x x x
x x
x x
x
5. 2 3
) 5 ( 2 ) 3 2 ( 6
) 3 ( 4 ) 3 (
) 5 ( 3 18 12
12 4 3 15 3 12 4
18 12 3 15 3
x x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
ACTIVIDADES.
Transformar las siguientes fracciones en otras más sencillas:
a. 2 3 3 4
xy a
y x
a b.
3 2
2 3a a
ab a
c.
x x x
2 2 1
d.
4 4 4
2 2
x x x
e.
9 7 4 6
3
2x x
f.
x x x
x 3
2 1
g.
x y x x
y x
5 3 2 3 5
2
3 h.
37 2 3
3
3 2
a a a
i.
5 4
1 12
7 3 2
2 2
2
x x
x x
x x
x j.
x xy
y x x x y
2
2 1
6 2 2
1
k.
2 2
2 2 2 4 4
)
( xy y
y x y x
y y
x y
x l.
y x
y xy x y x
y x
x 2 2
3 3
2
2 2
m.
9 6
4 12 9
15 2
2 2
2
y y
y y
y
y n.
2 2 10 7
6 5
2 2
x x x
x x x
o.
4 3 5 3
3 2 5 4
y x
y x
p.
2 2
1 1
1 1
y x
y x
q.
y x y x x
y x x y
r.
h x h x
1 1
EXPONENTES RACIONALES.
La raíz enésima de un número real positivo, es otro número real tal que multiplicado ene veces por él mismo, nos resulta el primer número. En símbolos:n a b bn a. La letra n es el índice, la a, el radi- cando, la b es la raíz y el símbolo , el radical.
Ejemplos:
8 2 2
8 3
3 ; 3( 27) 3 ( 3)3 27; 481 3 34 81
Como n n m
m
a a )
( tendremos que n
m
m a
na .
Por lo tanto n a podrá escribirse como b bn a an
1
, es decir que se cumplirá n a an
1
.
Si elevamos a la potencia n, la anterior igualdad, nos queda: (n a)n (an)n (na)n a
1
Además, se tienen las siguientes propiedades:
Raíz de un producto: nab na nb Raíz de un cociente: n n n
b a b a
Raíz de una raíz:m na mna ACTIVIDADES.
1. Encuentra el valor de las siguientes expresiones:
a. 2
1
2 5 b. 4
3
81 c. 2
1
49) (16
d. 5
4
) 32
( e. 5
3 10) 2
( f. 3
2 6) 2 (
2. Elimina los exponentes negativos, simplifica y expresa en forma de radical:
a. (x34) 15 b. (x 14) 15 c. (x14)(x 15) 3. Simplifica las siguientes expresiones, eliminando radicales del denominador:
a. 8 b. 98 c. 340
d. 27x3y5 e. 192 ba3 7 f. a2b2 b2c2
g. a 2 b 2 h.
3
3 y x
i. 4
2 4
64 2
z y x
4. Racionalizar el denominador de una fracción consiste en eliminar de allí las expresiones que contengan radicales. Analicemos dos casos:
a. El denominador es un monomio. En este caso multiplicaremos los dos términos de la fracción por un radical tal que transforme el denominador en un radical con raíz exacta. Ejemplos:
i. 2
6 2 2
2 3 2 3
ii. 2
4 2
4 2
2 2 1 2
1 3
3 3 3 3 2 3
3 2 3
b. El denominador es un binomio. En este caso el factor racionalizador es el conjugado del denomina- dor (binomio cuyo segundo término tiene signo contrario que el binomio inicial). Ejemplo:
i. 2
15 2 8 3 5
3 15 2 5 ) 3 ( ) 5 (
) 3 5 ( ) 3 5 )(
3 5 (
) 3 5 )(
3 5 ( 3 5
3 5
2 2
2
Ahora, racionaliza:
5 3
316 4
3 2
3 2
1 1 x x
x x
