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1. Números reales y sucesiones 11 Conjuntos numéricos

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1. Números reales y sucesiones

11 Conjuntos numéricos

Los números surgieron ante la necesidad de contar, medir e intercambiar cosas. En el transcurso de la historia se han ido desarrollando distintos conjuntos numéricos a medida que el progreso los fue haciendo necesarios. Los números más conocidos son los números naturales, que se usan para contar. Si añadimos los números negativos obtenemos los números enteros. Cocientes de números enteros generan los números racionales. Si incluimos todos los números que se pueden expresar con decimales pero no en forma de fracción (números irracionales), obtenemos los números reales; si a éstos les añadimos los números imaginarios, tendremos los números complejos, es decir, todos los números necesarios para resolver cualquier ecuación algebraica. En los niveles de secundaria se utilizan los números reales que comprenden dos grandes grupos: los números racionales y los números irracionales.

NÚMEROS RACIONALES

Números naturales

Son los números que utilizamos para contar y ordenar los objetos: 1, 2, 3, …

ℕ= { 1, 2, 3,... }

Si se incluye el cero,

ℕ= { 0, 1, 2,3, ... }

Números enteros

Los números naturales no permiten expresar situaciones de la vida cotidiana tales como temperaturas sobre cero y bajo cero, alturas sobre el nivel del mar y por debajo del nivel del mar, saldos bancarios acreedores y saldos deudores, etc. Para expresar estas y otras situaciones análogas se crearon los números negativos, que son el resultado de restarle a un número natural otro mayor:

−1,−2,−3,...

que son los opuestos de los números naturales. Así, los números enteros están formados por los números naturales, el cero y los números negativos.

Por tanto, los números enteros son todos los números naturales y sus opuestos:

ℤ= { 0,±1,±2,±3,... } = { −3,−2,−1, 0,+1,+2,+3, ... }

Los números enteros se pueden representar gráficamente asociando a cada número un punto de una recta que se denomina recta real. En ella, se toma un punto como origen al que se le asocia el número 0. A la derecha del cero, a distancias iguales, se sitúan los números positivos y a la izquierda se sitúan los números negativos:

Números racionales

Los números enteros no permiten expresar situaciones en las que sea necesario fraccionar la unidad como, por ejemplo, la porción de tarta que le corresponde a cada uno de los invitados a una fiesta. Para este fin, se introdujeron los números fraccionarios o fracciones, es decir, el cociente de dos números enteros

a

y

b

:

a b

Los números enteros junto con las fracciones forman el conjunto de los números racionales

. Se caracterizan porque todos ellos se pueden expresar en forma de fracción y su expresión decimal es un un número entero, un número decimal con un número finito de cifras decimales o un número decimal con cifras decimales que se repiten periódicamente:

(2)

ℚ  { números enteros: 2 1 =2

números decimales exactos: 45 25 =1,88

números decimales periódicos { mixtos: puros: 11 9 12 7 =1,222... =0,58333...

NÚMEROS IRRACIONALES

Los números racionales tienen una expresión decimal exacta o periódica y pueden expresarse en forma de fracción. Desde muy antiguo, se conocen números cuya expresión decimal no es periódica y, por tanto, no se pueden expresar en forma de fracción. Los números de este tipo se denominan números irracionales:

Los números irracionales son aquéllos que no se pueden expresar en forma de fracción y tienen una expresión decimal infinita no periódica.

Para poder trabajar con estos números se utilizan aproximaciones exactas cuyo valor es muy cercano al suyo. Por ejemplo, 2,2 es una aproximación a las decenas del número irracional

5 . Puede parecer que los números irracionales no tienen una conexión con la realidad. Sin embargo, han ido surgiendo de acuerdo con las necesidades de cada momento de la historia.

Son irracionales:

• las expresiones radicales no enteras como  2 o  3 .

• algunos números de especial relevancia que tienen un nombre especial, como  (pi),

 (número de oro), e (número e).

• los resultados de las operaciones con estos números:  21

NÚMEROS IRRACIONALES DE ESPECIAL RELEVANCIA

La raíz cuadrada de 2:

2

La raíz cuadrada de 2, conocida como constante pitagórica, se denota mediante

2

. Se trata de un número real positivo que al multiplicarlo por sí mismo se obtiene 2. Posiblemente sea el primer número irracional conocido.

Geométricamente es la longitud de la diagonal de un cuadrado de longitud igual a la unidad (ver figura al margen); el valor de la longitud de esta diagonal se puede averiguar mediante el Teorema de Pitágoras:

Diagonal=  1

2

1

2

=  2

Su valor numérico, aproximado a 50 posiciones decimales, es:

1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694…

El número

El número pi, cuyo símbolo es

, se define como el cociente entre la longitud y el diámetro de una circunferencia. En la actualidad se conocen más de un millón de de sus cifras decimales. Se emplea frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería. El valor numérico de  truncado a sus diez primeras posiciones decimales, es: 3,1415926535

(3)

El número áureo

El número áureo o número de oro es un número irracional cuya expresión decimal es:

= 1  5

2 =1,61803398874989484820...

Su nombre se debe a la inicial del nombre del escultor griego Fidias que lo tuvo presente en sus obras.

Los pitagóricos lo descubrieron al estudiar la relación entre lo que mide la diagonal de un pentágono regular y uno de sus lados. (El símbolo de la escuela pitagórica era una estrella de cinco puntas inscrita en un pentágono regular).

NÚMEROS REALES

El conjunto formado por los números racionales y los números irracionales se llama conjunto de números reales y se designa por ℝ . Todo número real se puede representar sobre una recta de forma que no queden huecos. Una recta donde se representan los números reales se denomina recta real. Para indicar el hecho de que la recta real no tiene principio ni fin, se utilizan los símbolos

−∞

y

∞

. (Éstos se sitúan al comienzo y al final de la recta y no son números reales.)

El proceso para situar un número real en la recta depende de cómo sea el número. Fijados sobre la recta dos puntos, el origen y la unidad, a los que se les asigna el 0 y el 1, se toma como unidad de medida el segmento entre 0 y 1 y se lleva hacia la derecha de 1 y hacia la izquierda de 0 obteniéndose la ubicación de los números enteros positivos y de los enteros negativos respectivamente. Los números racionales e irracionales se ubican entre dos números enteros de forma aproximada. (En algunos casos se pueden representar de forma exacta, como se verá en las actividades de tecnología).

(4)

21 Intervalos en la recta real

Para poder montarse en una máquina del parque de diversiones hay que medir 3 pies (90 cm) o más de altura. Si designamos mediante x a la altura de un cliente, el conjunto de todos los valores de x que permiten que el cliente monte en la máquina se puede representar con x≥3 . Esta desigualdad es un ejemplo de intervalo.

Un intervalo en la recta real es todo subconjunto de la misma comprendido entre dos puntos que se denominan extremos.

Si el lado de la izquierda no se delimita, se interpreta como

−∞

, y si es el lado de la derecha el que no se delimita, se interpreta como

+ ∞

. (El caso límite es aquél en que no se delimita ni la izquierda ni la derecha, en cuyo caso el intervalo coincide con el conjunto de todos los números reales

).

Tipos de intervalos acotados (con extremos izquierdo y derecho)

Un intervalo abierto de extremos

a

y b , a , b son todos los números x comprendidos entre a y b sin incluir los extremos:

Se expresa mediante a , b y, en notación de conjunto a< x< b

Un intervalo cerrado de extremos a y b , son todos los números comprendidos entre a y b incluyendo ambos extremos.

Se expresa mediante y, [a , b] en notación de conjunto

a≤x≤b

Un intervalo semiabierto a la izquierda:

Se expresa mediante y,

(a , b ]

en notación de conjunto

a< x≤b

Un intervalo semiabierto a la derecha:

Se expresa mediante y,

[ a , b)

en notación de conjunto

a≤x< b

(5)

Tipos de intervalos NO acotados (sin extremo izquierdo y/o derecho)

(−∞ , a ) x< a

(−∞ , a ] x≤a

(a ,+ ∞) x> a

[ a ,+ ∞ ) x≥a

Observa que los extremos

−∞

y

∞

son siempre abiertos:

 −∞,4 ]

,

 −∞,4 

,

[ 5,∞ 

,

[

5,∞

. ¿Por qué?

En la página de VITUTOR (http://www.vitutor.com/di/re/r4e.html) puedes practicar ejercicios sobre intervalos.

3 El infinito

El concepto de infinito aparece en varias ramas de la filosofía, la matemática y la astronomía, en referencia a una cantidad sin límite o final contrapuesto al concepto de finitud. Su significado semántico es "que no tiene fin".

4 Radicales

Las expresiones que se escriben con el símbolo √

n

, con n>1 , se denominan radicales.

Se llama raíz n-sima (o radical de índice natural n ) de un número a al número b que elevado a n nos da a :

n

a=b ⇔ b

n

=a

(6)

na

se llama radical; a radicando y n índice de la raíz.

Veamos unos ejemplos:

• √

3

64=4 porque 4

3

=64

• √

4

81=±3 porque (±3)

4

= 81

• √

5

−32=−2 porque (−2)

5

=−32

• √

3

−64=−4 porque (−4 )

3

=−64

• √

4

625=±5 porque (±5)

4

=625

• √ −100 no existe. (La potencia de índice par de cualquier número es siempre positiva).

En general, la raíz enésima es un número irracional. Por ejemplo, la raíz cúbica de 60 es poco más de 3,9 (3,914867641...).

Si el radicando es positivo, siempre existe la

n

a cualquiera que sea el valor de

n

.

Si n es par, hay dos raíces opuestas. (4=±2 ;

4

256=±4 )

• Si el radicando es negativo solo existen sus raíces de índice impar. ( √ −4 NO EXISTE;

3

−27=−3 )

El resultado numérico de un radical se denomina raíz.

En la expresión

n

a=b ⇔b

n

= a

n → índice

a → radicando b → raíz

√ → signo radical

na → radical

Número de raíces:

Ninguna: Si el radicando es negativo y el índice es par (

4

−20; √ −100

)

Una: Si el índice es impar (

3

−27=−3; √

3

27=3

)

Dos: Si el índice es par y el radicando positivo (

4

16=±2 ;25=±3

)

Radicales equivalentes: Si el índice de un radical y el exponente de su radicando son

proporcionales respectivamente al índice de otro radical y al exponente de su radicando, los dos radicales son equivalentes:

3

8

5

=

6

8

10

= 32

Esta propiedad permite simplificar radicales.

(7)

Actividades

1. Calcula y escribe todas sus raíces:

a)

3

27=

b)

3

8=

c)

5

7

5

=

d)

4

16=

a)

3

27= √

3

3

3

=3

3

3

=3

1

=3

b)

3

8= √

3

2

3

=2

33

=2

1

=2

c)

5

7

5

=7

55

=7

1

=7

d)

4

16=

4

2

4

= 2

44

=2

1

=±2

2. Calcula las siguientes raíces y escribe el resultado en forma de potencia:

a)

3

8

=3

8 /2

= 3

4 b)

3

5

6

=

c)

4

7

12

=

d)

3

2

15

=

a)

3

8

=3

8 /2

= 3

4

b)

3

5

6

=5

63

=5

2

c)

4

7

12

=7

124

=7

3

d)

3

2

15

= 2

153

= 2

5

3. Simplifica los siguientes radicales:

a)

6

5

3

=

b) 18

7

12

=

c) 12

5

4

=

d)

9

a

3

=

a)

6

5

3

=5

3 6

=5

1 2

= √ 5

b) 18

7

12

=7

1218

= 7

23

=

3

49

c) 12

5

4

=5

124

= 5 3

1

=

3

5

d)

9

a

3

= a

39

= a

13

=

3

a

(8)

Potencias de exponente fraccionario

n

a

p

=a

np

Actividades

4. Expresa en forma de potencia:

a)

4

2

3

=

b)

7

3

=

c)

6

−2

7

=

d)

3

a

2

·

5

a

3

=

a)

4

2

3

= 2

34 b)

√ 7

3

=7

3 2

c)

6

−2

7

=

No existe la raiz de índice par de un número negativo.

d)

3a2·

5 a3

=

a

2 3+3

5

=a

19 15

5. Expresa en forma de radical las siguientes potencias:

a) x

2

3

=

b) x

1 3· x

2 3

=

c) x

2

3

=

d)

a

− 12

=

a) x

2

3

= √

3x2 b) x

1 3· x

2 3

=

x

1 3+2

3

=

x

3 3

=x

c) x

2

3

= √

3x−2

=

3 x

1

2 d)

a

12

= a 1

12

= 1 a

6. Expresa como una sola potencia las siguientes operaciones y si el exponente es fraccionario escribe el radical equivalente:

a)

3

5 2·5

5

2

=

b)

5

5 2

: 3

5 2

=

c)

3

5 2·3

1

4

=

d)

3

2 3

:3

3 4

=

a)

3

5 2·5

5

2

=(3 · 5)

5 2

=15

5 2

= √ 15

5

b)

5

5 2

: 3

5

2

= ( 5 3 )

53

=

3

( 5 3 )

5

c)

3

5 2·3

1 4

=3

5 2+1

4

=3

10 4+1

4

=3

11 4

= √

4

3

11

d)

3

2 3

:3

3 4

=3

2 33

4

=3

8−9 12

=3

−1

12

=

12

3

−1

=

12

1 3

(9)

Actividades

7. Escribe bajo el signo del radical las siguientes expresiones:

a)

2 √

3

7=

b)

5

6

7=

c)

7 √

3

7=

d)

2

2 3

√ 4=

a)

2 √

3

7= √

3

2

3· 7=

3

8 · 7=

3

56

b)

5 √

6

7=

6

5

6· 7

c)

7 √

3

7= √

3

7

3·7=

3

7

4

d)

2

2 3

√ 4=4 √

3

4= √

3

4

3· 4=

3

4

4

= √

3

( 2

2

)

4

=

3

2

8

8. Extrae los factores que se pueda, fuera del signo radical:

a)

162=

b)

3

81· a

7

· b

6

=

c)

6

x

7

=

d)

3

686=

a) Como 162=81·2=34·2

√ 162= √ 3

4· 2=32·

√ 2=9 √ 2

b)

3

81· a

7

· b

6

=

3

3

4

· a

7

· b

6

=3 · a

2

· b

2 3

3· a

c)

6 x7

=x

6 x

d) Como 686=343·2=73·2

3

686= √

3

7

3· 2=7

3

2 Extraer e introducir factores del o en el signo radical

Para extraer factores:

Se descompone el radicando en factores. Si un exponente es mayor que el índice, se divide dicho exponente por el índice. El cociente obtenido es el exponente del factor fuera del radicando y el resto es el

exponente del factor dentro del radicando.

3

243=

3

3

5

= 3

3

3

2

Para introducir factores: en un radical se multiplica el exponente del factor por el índice del radical:

2 √

3

1 4 =

3

2 4

3

=

3

2

(10)

Actividades

9. Expresa con un radical único las siguientes expresiones:

a)

5 √ 7−8 √ 7+ 6 √ 7=

b)

1

2 √ 7+8 √ 7=

c)

√ 2+3 √ 18=

d)

5+180−80=

a)

5 √ 7−87+67=(5−8+6)·7=37

b)

1

2 √ 7+8 √ 7= ( 1 2 + 8 ) 7= 17 2 √ 7

c)

2+318=2+39 · 2=2+ 92=102

d)

5+180−80=5+5· 36−16 · 5=

√ 5+6 √ 5−4 √ 5=3 √ 5

En general:

• Para simplificar una raíz, se expresa en forma de exponente racional y se simplifica dicho exponente:

10

2

5

=2

105

=2

12

=2

• Para reducir dos o más raíces a índice común, se considera el mcm de los denominadores de los exponentes, calculándose fracciones equivalentes de dichos exponentes, de denominador el mcm calculado:

2,

35 

623 6

52

• Para introducir un factor dentro de una raíz se eleva el factor a la potencia que indica el índice:

x ·

3

x=

3

x

3

· x=

3

x

4

• Para sacar factores fuera de un radical, se descompone dicho radical en producto de factores, realizándose los cocientes de los exponentes de cada factor:

2

3

x

5

y

6

= 2 x

2

y

3

2x

Suma y resta de radicales

Solo se pueden sumar o restar radicales semejantes, es decir aquéllos que tienen el mimo índice y el mismo radicando.

Ejemplo:

3 √ 7+87−67=(3+8−6)

7=5

7

En general, hay que extraer factores del signo radical y sumar los términos semejantes:

32−50+98=

25

2 · 52+

2 ·72=22

2−5

2+7

2=

4

2−5

2+7

2=6

2

(11)

• Para sumar o restar radicales, se suman o restan los coeficientes de los radicales semejantes:

7  5115−5=175

− 1

2 √ 20+ 3

5 √ 20= ( 1 2 + 3 5 ) 20= −5+ 6 10 20= 10 1 20= 10 1 · 2 5= 1 5 5

− 1

8  45 3

4  5=− 3

8  5 3

4  5=−− 3 8  3

4  5= −36 8  5= 3

8  5

• Para multiplicar o dividir radicales se reducen a índice común realizándose las correspondientes operaciones entre potencias:

2 ·5 ·3=2 · 5· 3=30

2 ·

35=

623· 52=

6 200

 2

3

5 = 

6

2 5

32

=

6

25 8

TRABAJO I

Realiza un cuadro resumen sobre los distintos tipos de números que has estudiado poniendo los ejemplos que creas conveniente.

TRABAJO II

Realiza un cuadro resumen sobre los distintos tipos de intervalos describiéndolos en sus tres formas: gráfica, en forma de desigualdad y como intervalo.

TRABAJO III

Realiza un cuadro resumen sobre los radicales: definición; equivalencia con las potencias y las principales operaciones estudiadas en clase que pueden realizar con ellos, resolviendo los siguientes ejercicios:

• Escribe los radicales como potencia de exponente fraccionario: a) 

5

3 ; b) 

5

x

3

• Escribe las siguientes potencias como radicales: a) 7

1

2

; b) 5

2 3

• Introduce los factores dentro del radical: a) 2 ·

4

3 ; b) x

2

·

7

x

3

• Extrae los factores que se pueda del radical: a) 

4

128 ; b)

7

x

30

; c)

7

x

84

• Realiza las operaciones indicadas expresando el resultado con un solo radical:

40390

(12)

5 Regularidades numéricas

En numerosas ocasiones aparecen secuencias de números que siguen una pauta o regla de formación, como por ejemplo la pauta seguida para la numeración de los diferentes portales de una calle de una ciudad.

La primera y más importante secuencia de números es la de los números naturales:

1, 2, 3, 4, 5, 6, … A partir de ella se pueden crear muchas otras como las siguientes:

• Números pares: 2, 4, 6, 8, …

• Números impares: 1, 3, 5, 7, 9, …

• Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, …

• Cuadrados de los números naturales: 1, 4, 9, 16, …

• Cubos de los números naturales: 1, 8, 27, 64, 125, …

• Potencias de 2: 2, 4, 8, 16, …

• Raíces cuadradas de los números naturales: 1,

2

,

3

• Inversos de los números naturales: 1,

1 2

,

1 3

, ...

Las secuencias numéricas anteriores se llaman sucesiones.

Una sucesión numérica es una secuencia de números, ordenados uno detrás de otro, que siguen una ley de formación:

a

1

, a

2

, a

3

,

a

1 es el primer término,

a

2 el segundo término, …

a

n y es el enésimo término o término general de la sucesión (cualquier término).

Una sucesión es infinita si cada término tiene un sucesor. El sucesor de

a

n es

a

n+1 . El anterior de

a

n es

a

n−1 .

No debe confundirse un término

a

n con la posición n que ocupa dentro de la sucesión.

TÉRMINO GENERAL

El término general de una sucesión es la expresión que nos permite obtener cualquiera de sus términos. Se pueden distinguir los tres casos siguientes:

En numerosas ocasiones, el término general se puede expresar en función del lugar

n

que ocupa cada término en la sucesión. Por ejemplo, en la sucesión 1, 5, 9, 13, 17..., el término general se puede expresar como

a

n

= 4n−3

. Si en esta expresión se sustituye

n

por 1, 2, 3, … se obtienen respectivamente los términos primero, segundo, tercero, etc. de la sucesión.

• A veces el término general de una sucesión se puede expresar en función del término o los términos inmediatamente anteriores. Por ejemplo, en la sucesión de los números pares cada término se obtiene del anterior sumándole 2 unidades, es decir:

a

n

=a

n−1

+2

. Se dice que estas sucesiones se han definido por recurrencia o que son recurrentes. Una sucesión famosa que se define por recurrencia, es la sucesión de Fibonacci que estudiaremos más adelante en este tema.

• Otras veces no es posible encontrar un expresión para el término general y debemos conformarnos con la descripción de la sucesión. Por ejemplo, la sucesión en la que cada elemento es el número de letras que tiene la palabra que designa al correspondiente número natural, o la sucesión de los números primos.

(13)

Actividades

10. Escribe la expresión del término general de las sucesiones presentadas al comienzo de este artículo.

a) Números pares: 2, 4, 6, 8, … b) Números impares: 1, 3, 5, 7, 9, … c) Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, … d) Cuadrados de los números naturales:

1, 4, 9, 16, …

e) Cubos de los números naturales:

1, 8, 27, 64, 125, … f) Potencias de 2: 2, 4, 8, 16, …

g) Raíces cuadradas de los números naturales:

1,

2

,

3

h) Inversos de los números naturales:

1,

1 2

,

1 3

, ...

a)

2 n

b)

a

n

=2 n−1

c)

a

n

= 4 n

d)

a

n

= n

2

e)

a

n

= n

3

f)

a

n

=2

n

g) an

= √

n h)

a

n

= 1

n

11. Escribe los cinco primeros términos de las sucesiones definidas por los siguientes términos generales:

a)

a

n

=−n+6

b)

a

n

= n

2

− 2n+5

a) 5, 4, 3, 2, 1.

b) 4, 5, 8, 13, 20.

12. Escribe el término general de las sucesiones cuyos primeros términos se indican y calcula el término

a

100 .

a) 10, 13, 16, 19...

b) 21, 17, 13, 9, 5, … c) 2, 7, 12, 17, …

a)

a

n

=3 n+7

;

a

100

= 3· 100+7=307

b)

a

n

=−4 n+25

;

a

100

=−4· 100+25=−375

c)

a

n

=5 n−3

;

a

100

=5 · 100−3=497

13. ¿Qué lugar que ocupa el término -10408 en la sucesión cuyo término general es

a

n

=−n+5

?

−10408=−n+5→n=10408+5→n=10413

Las sucesiones como las del ejercicio 12 cuyos términos se forman a partir del primero sumándole una cantidad (positiva o negativa) que se llama diferencia d de la sucesión se denominan progresiones aritméticas. En estos casos, existe una fórmula para obtener la expresión del término general de la sucesión:

a

n

=a

1

+( n−1)· d

Compruébalo.

Las sucesiones cuyos términos se forman a partir del anterior multiplicándole por una cantidad que se llama razón r de la sucesión se denominan progresiones geométricas: 1, 2, 4, 8, 16... También en estos casos existe una fórmula que permite obtener la expresión del término general de la sucesión:

a

n

=a

1

·r

(n−1)

(14)

6 La sucesión de Fibonacci

La sucesión de Fibonacci es una secuencia de números enteros descubierta por matemáticos hindúes hacia el año 1135 y descrita por primera vez en Europa gracias a Fibonacci (Leonardo de Pisa) con su problema de la crianza de conejos:

Una pareja de conejos recién nacida tarda un mes en alcanzar la fertilidad. A partir de entonces procrea cada mes una nueva pareja. En un corral se tiene una pareja de conejos recién nacidos. ¿Cuántos habrá al cabo de 12 meses?”

El número de parejas de conejos sigue la sucesión:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …

Esta sucesión se puede definir por recurrencia: “Los dos primeros términos son 1 y, a partir del tercero, cada término es la suma de los dos que le anteceden”.

Los sucesivos cocientes de dos términos consecutivos tienden al número áureo (con siete términos ya se consigue una aproximación de dos cifras decimales), es decir:

a

n +1

a

n

= =1, 618033989...

TRABAJO IV

Compruébalo realizando el cálculo de la expresión anterior hasta el término octavo y represéntalo gráficamente.

TRABAJO V

Realiza un cuadro resumen sobre las sucesiones de tipo aritmético basándote en estos apuntes o, mejor, en la página de “Math is fun”: http://www.mathsisfun.com/algebra/sequences- series.html.

7 El número e

El número e, también conocido como constante de Napier o Número de Euler, es uno de los números reales más relevantes relacionado con múltiples situaciones que generalmente pasan desapercibidas.

Se trata de un número irracional trascendente cuyos primeras cifras decimales son:

e ≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995...

El descubrimiento del número e se le acredita a Jakob Bernoulli en el s. XVI, que al estudiar el

(15)

( 1+ 1 n )

n

Los términos de esta sucesión se aproximan al número e conforme n se hace grande:

n ( 1+ 1 n )

n

1 2 5 10 1000 100000

Si completas la tabla, verás que cada término se va aproximando cada vez más al número e. Dentro de los irracionales, e es un número Trascendente, ya que no puede ser obtenido directamente como resolución de una ecuación algebraica.

7 El concepto de logaritmo

El concepto de logaritmo, que se estudia ampliamente en una etapa educativa posterior, se debe a John Napier con la finalidad de simplificar el proceso de los cálculos en física, matemáticas y astronomía. Está estrechamente relacionado con el número e. Con el fin de estudiar brevemente en qué consiste, vamos a analizar una potencia sencilla de base positiva, por ejemplo:

2

3

=8

8 es el resultado de elevar 2 al exponente 3:

8=2

3

2 es la raíz de índice 3 (cúbica) del número 8:

2= √ 8

3 es el exponente al que hemos de elevar 2 para que nos dé 8:

3=log

3

( 8)

Las tres afirmaciones son tres modos diferentes de expresar una misma cosa y cada una de ellas se puede escribir del modo abreviado que se indica. Las dos primeras ya las conoces; observa la tercera. Ésta puede leerse de dos maneras equivalentes:

3 es el exponente al que hemos de elevar 2 para que nos dé 8:

3=log

3

( 8)

3 es el logaritmo en base 2 del número 8

Por tanto, la palabra logaritmo, aunque al principio suene un poco rara, tiene el significado de exponente.

Insistimos: decir, por ejemplo, que el logaritmo en base 10 del número 10 000 es 4 es lo mismo que afirmar que 10 elevado a 4 es igual a 10 000:

log

10

10000=4 ⇔ 10

4

=10000

(16)

Dados dos números positivos a y b, se llama logaritmo en base b del numero a al número n al que debe elevarse b para que dé a:

log

b

a=n⇔ b

n

=a

Ejemplos

• log

2

64=6

porque

log

2

32

• log

3

27=3

porque

3

3

=27

• log

5

0,008=−3

porque

5

−3

= 1

5

3

= 0,008

Históricamente, en el cálculo de logaritmos, se ha trabajado con la base 10 (logaritmo decimal) y la base e (logaritmo natural o neperiano). En ambos casos no se escribe la base quedando ésta sobreentendida:

log

10

→log log

e

→ln→ L

Las calculadoras científicas disponen de una tecla para el cálculo de cada una de estas funciones. Para usarlas en el cálculo de logaritmos de cualquier base, se puede utilizar una fórmula que permite cambiar de base:

log

b

N = log N log b

Entre las propiedades de los logaritmos citamos:

• El logaritmo de 1 es 0 en cualquier base porque cualquier número elevado a 0 es 1:

log

b

b=1

log

b

(

A · B

) = log

bA+ lobbB

log

b

( B A ) = log

b

A−lob

b

B

(17)

Actividades

14. ¿Cuál es el valor de las siguientes expresiones?

a)

log

7

49

b)

log 1000

c)

log

2

32

a)

2 porque 7

2

=49

b)

3 porque 10

3

=1000

c)

5 porque 2

5

=32 15.

Escribe expresiones equivalentes a las

siguientes utilizando el concepto de logaritmo, es decir, la expresión “log”:

a)

5

2

=25

; b)

7

3

=243

c)

6

0

=1

; d)

5

−2

=0,04

16. ¿Por qué no tiene sentido la expresión

log (−100)

?

17. Usa la calculadora: a)

log

7

23

; b)

log 325

; c)

log

2

30

En la página de “ematemáticas” puedes practicar el concepto de logaritmo:

http://www.ematematicas.net/logaritmo.php

Referencias

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