guia de diseño para golpe de ariete

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DEPARTAMENTO DE DISEÑO MECANICO 903-P3060-T11-GUD-056 Rev. 1

GUIA DE DISEÑO PARA GOLPE DE ARIETE

T11GU056/22/01/02/mrp/SP 1 de 68 IN-0038MSW/13/Sep.99.R4C FECHA DATE OBJETO OBJECT ELABORO Iniciales REVISO Iniciales APROBO Iniciales/Cargo ENE. 2002 Corrección Formula 7.4.1.A AV ET ET/GD

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T11GU056/22/01/02/mrp/SP 2 de 68 IN-0038MSW/13/Sep.99.R4C I n d i c e Página 1. INTRODUCCIÓN... 4 2. REFERENCIAS ... 5 3. NOMENCLATURA... 6 4. DEFINICIONES... 7 5. SISTEMAS A EVALUAR ... 9 6. CONSIDERACIONES DE DISEÑO ... 10 7. GOLPE DE ARIETE... 13 7.1. Generalidades ... 13

7.2. Ecuaciones Fundamentales del Golpe de Ariete ... 13

7.3. Propagación de las Ondas Elásticas... 14

7.3.1. Velocidad de Propagación de la Onda... 14

7.3.2. Reflexión y Transmisión de Ondas... 15

7.4. Causas del Golpe de Ariete: Casos Considerados ... 18

7.4.1. Cierre de una válvula ... 19

7.4.2. Detención de una bomba por falla en el suministro de energía eléctrica ... 24

7.5. Fenómenos Relacionados con el Golpe de Ariete en Oleoductos ... 25

8. MÉTODOS PROPUESTOS PARA EL ANÁLISIS DE GOLPE DE ARIETE ... 26

8.1.1. Cierre de válvulas ... 27

8.1.2. Detención de una bomba por falla en el suministro de energía eléctrica ... 30

8.2. Método de las Características ... 32

8.2.1. Ecuaciones de Compatibilidad ... 33

8.2.2. Condiciones de frontera para una tubería de características constantes ... 35

8.2.3. Cálculo del factor de fricción ... 37

8.2.4. Condiciones de frontera para sistemas compuestos... 37

8.2.5. Criterios de estabilidad y convergencia... 40

9. CONTROL Y ATENUACIÓN DE LOS EFECTOS DEL GOLPE DE ARIETE... 43

9.1. Válvulas de Alivio ... 43

9.2. Volantes de Inercia ... 45

9.3. Tanques de Aire Comprimido ... 45

ANEXO I TABLAS DE EJEMPLOS DE ESFUERZOS ADMISIBLES ... 47

ANEXO II TOLERANCIAS PARA EL ESPESOR DE TUBERÍAS ... 50

ANEXO III VELOCIDAD DE LA ONDA PARA DIFERENTES FLUIDOS EN TUBERIAS DE ACERO... 52

ANEXO IV MODULO DE COMPRESIBILIDAD DE HIDROCARBUROS ... 54

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T11GU056/22/01/02/mrp/SP 3 de 68 IN-0038MSW/13/Sep.99.R4C

ANEXO VI RAYS QUICK’S WATERHAMMER CHART FOR UNIFORM GATE OPERATION... 58 ANEXO VII GRAFICAS PARA EL ANALISIS DE GOLPE DE ARIETE ... 60 ANEXO VIII TABLAS Y GRAFICAS DE LA SECCION VIII DEL CODIGO ASME

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1. INTRODUCCIÓN

Los sistemas de tuberías que transportan hidrocarburos están sujetos a cambios bruscos en sus condiciones hidráulicas debido a los requerimientos de operación típicos del sistema y a situaciones de emergencia. Estos cambios están asociados al bloqueo de la tubería debido al cierre de válvulas y detención de bombas, y que cuando son cambios bruscos se generan condiciones transitorias en el flujo conocidas como Golpe de Ariete. El Golpe de Ariete genera variaciones grandes en las condiciones de flujo (presión y velocidad) a todo lo largo del sistema que pueden ocasionar daños mecánicos a las tuberías por el incremento de la presión interna, por presiones de vacío y por pulsaciones.

El análisis de Golpe de Ariete consiste en calcular, para distintos puntos del sistema de tuberías, las variaciones de presión y velocidad respecto al tiempo. El perfil de presión obtenido a lo largo de todo el sistema permite determinar y localizar las sobrepresiones y presiones de vacío originadas por el fenómeno, además de establecer los tiempos de cierre de válvulas y las modificaciones requeridas por el sistema.

En el diseño de sistemas de tuberías nuevos el análisis de Golpe de Ariete permite determinar el tiempo y secuencia de cierre de las válvulas, el espesor y material de las tuberías y el rating de válvulas y accesorios, así como los dispositivos de alivio que requiera el sistema. Para sistemas de tuberías existentes, el análisis permite evaluar las modificaciones posibles y los sistemas de alivio requeridos.

El análisis de Golpe de Ariete es un estudio de ingeniería muy importante para garantizar la integridad y seguridad del sistema de tuberías, ya que la ocurrencia del fenómeno puede ocasionar rotura o colapso total del mismo.

Este análisis debe realizarse durante la Ingeniería Básica de un proyecto o en las etapas iniciales de la Ingeniería de Detalles, debido fundamentalmente a que sus resultados pueden requerir modificación que afecte la procura de materiales, la filosofía de operación y cierre de emergencia y la ingeniería del Proyecto. La decisión respecto al tipo de medidas a tomar (modificación del diseño, sistemas de alivio o restricción en la operación) para proteger al sistema de tuberías del Golpe de Ariete, debe responder a un análisis costo-beneficio para sistemas nuevos, siempre que el estudio se realice en las etapas tempranas de la ingeniería.

En cualquier caso, para sistemas de tubería nuevos o modificación de existentes que involucren cambios en sus condiciones de operación, el diseñador deberá verificar la ocurrencia del Golpe de Ariete y garantizar la integridad y seguridad del sistema.

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OBJETIVOS

El presente documento tiene como objetivos principales:

•= Servir de fuente de consulta sobre el fenómeno de Golpe de Ariete, sus implicaciones en la operación de sistemas de transporte de líquidos, especialmente de hidrocarburos, y sobre los distintos métodos de cálculo.

•= Proponer una metodología para el cálculo manual del Golpe de Ariete. •= Establecer criterios de diseño para el análisis de Golpe de Ariete. ALCANCE

Los métodos propuestos son métodos manuales, basados en ecuaciones y gráficas que permiten hacer cálculos de las variaciones iniciales de presión que pueden generarse por efecto del Golpe de Ariete en un sistema de tuberías, con el objeto de diseñar la tubería de manera que el sistema soporte estas variaciones de presión.

Se incluye también una revisión de las ecuaciones necesarias para la aplicación del Método de las Características, método que al programarlo en una computadora permite obtener una descripción detallada del fenómeno si se disponen de ciertos datos específicos sobre los elementos del sistema a analizar.

Ninguno de los métodos propuestos, a excepción del Método de la Características, están diseñados para obtener un perfil completo de presiones y velocidades en función del tiempo. Sólo contemplan la estimación de las variaciones máximas de presión que pueden presentarse debido al cierre de una válvula o a la detención de una bomba.

2. REFERENCIAS

•= Código ASME B31.4: “Pipeline transportation systems for liquid hydrocarbons and other liquids”. Edición de 1994

•= Código ASME B31.3: “Chemical plant and petroleum refinery piping”. Edición de 1993

•= ASME Boiler & Pressure Vessel Code. Section VIII, Div. 1 & 2 •= "Pipeline Hiydraulics". Humble Pipeline Company. EXXON •= Norma API 5L "Specification for Line Pipe". Edición de 1995

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•= GARZÓN, Alvaro: “Golpe de Ariete”. Informe de la pasantía realizada en Inelectra en el lapso julio-diciembre 1997.

•= MENDEZ; Manuel Vicente: “Tuberías a Presión en los Sistemas de Abastecimiento de Agua” Publicaciones Universidad Católica Andrés Bello, Caracas, 1995.

•= PARMAKIAN, John: “Waterhammer Analysis” Dover Publications Inc., New York, 1963. 161 pág

•= WYLIE, E. Bejamin y Victor L Streeter: “Fluid Transients in Systems” Prentice-Hall Inc., Englewood Cliffs, NJ, 1993. 463 pág

3. NOMENCLATURA

a [ft/s] Velocidad de propagación de la onda elástica

A Constante adimensional

A [in2] Área transversal interna de la tubería

B Constante adimensional

BPD [BPD] Caudal en barriles por día

Di [in2] Diámetro interno de la tubería

De [in2] Diámetro externo de la tubería

E [psi] Módulo de elasticidad de la tubería

E Factor por unión soldada

f Factor de fricción

f Onda de presión que se propaga en dirección +x

F Onda de presión que se propaga en dirección -x

g [ft/s2] Aceleración de la gravedad

GPM [gpm] Caudal en galones por minuto

H [ft] Altura piezométrica

Ho [ft] Altura piezométrica en régimen permanente

∆Ho [ft] Magnitud de la onda de presión inicial

I [lb.ft2] Momento de inercia de las partes giratorias del motor y de la bomba

K[psi] Módulo de compresibilidad del fluido

K Coeficiente de pérdidas de la válvula

k Factor a dimensional

L [in] Longitud de diseño (distancia entre soportes)

L [ft] Longitud de la tubería 2⋅ L

a Tiempo de fase de la tubería

m [lb] Masa de las partes giratorias del motor y de la bomba

No [rpm] Velocidad de giro de la bomba en condiciones de operación

N Factor adimensional del tiempo de cierre de la válvula

Pa [psi] Presión admisible externa (absoluta)

Pext [psi] Presión externa (absoluta)

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∆Po [psi] Magnitud de la onda de presión inicial

Po [psi] Presión máxima de operación (presión maxima en régimen

permanente)

∆Ps [psi] Magnitud de la onda de presión atenuada

Pss [psi/milla] Gradiente de presión en régimen permanente

∆PB [psi] Diferencial de presión en la bomba en condiciones de operación

Q [ft3/s] Caudal

Qo [ft3/s] Caudal en régimen permanente

R [ft] Radio de giro

Re Número de Reynolds

r Factor de reflexión de onda

s Factor de transmisión de onda

S [psi] Esfuerzo admisible de la tubería

sg Gravedad específica del fluido

tcorr [in] Espesor de corrosión

tfab [in] Tolerancia de fabricación

p

t [in] Espesor de la tubería determinado por presión interna

n

t [in] Espesor nominal de la tubería

t [seg] Tiempo T [°F] Temperatura del fluido

V [ft/s] Velocidad del fluido

Vo [ft/s] Velocidad del fluido en régimen permanente

W [lbf] Peso de las partes giratorias del motor y de la bomba

X [millas] Distancia

X Factor de atenuación de onda

Φ Grado de obturación de la válvula

0

η Eficiencia de la bomba en condiciones de operación

ν [ft2_/s] _{Viscosidad cinemática}

f

ρ [lb/ft3_] _{Densidad del fluido a la temperatura de operación}

ρ Constante adimensional característica de la tubería

4. DEFINICIONES

•= Atenuación: disminución en la magnitud de la onda de presión inicial, debido a la fricción, a medida que se desplaza aguas arriba en la tubería.

•= Cavitación: fenómeno que se produce cuando la presión interna absoluta en algún punto del flujo en la tubería desciende por debajo del valor de la presión de vaporización del líquido para la temperatura local, y que se caracteriza por la aparición de burbujas de vapor que son arrastradas por la corriente, y que al entrar en zonas de mayor presión, implotan erosionanado la superficie metálica.

•= Cierre lento de una válvula: cierre que se realiza en un tiempo mayor al tiempo de fase de la tubería aguas arriba de la válvula (ver definición de tiempo de fase de una

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•= Cierre rápido de una válvula: cierre que se realiza en un tiempo menor o igual al tiempo de fase de la tubería aguas arriba de la válvula (ver definición de tiempo de

fase de una tubería).

•= Cierre uniforme de una válvula: cierre en el cual el área efectiva de flujo en la válvula se reduce de manera constante con el tiempo (cierre lineal de la válvula). •= Condición de frontera: condición externa a la tubería (tanque, válvula, bomba, etc.)

que permite relacionar la respuesta de la tubería al comportamiento de esta condición.

•= Espesor nominal de la tubería: según el código ASME es el espesor listado en las especificaciones de tuberías y que está sujeto a tolerancias.

•= Flujo estacionario: es aquel flujo en el que las condiciones hidráulicas en un punto determinado de la tubería no varían con el tiempo.

•= Flujo transitorio: es aquel flujo en el que las características hidráulicas en una determinada sección de la tubería varían de un instante de tiempo al otro.

•= Golpe de Ariete: onda de presión dinámica generada en el flujo en una tubería que resulta de un retardo o aceleración brusca en el fluido.

•= Paro lento de una bomba: detención de una bomba cuando el tiempo que transcurre desde la interrupción de energía hasta que comienza la reversión del flujo es mayor que el tiempo de fase de la tubería de descarga.

•= Paro rápido de una bomba: detención de una bomba cuando el tiempo que transcurre desde la interrupción de energía hasta que comienza la reversión del flujo es menor o igual que el tiempo de fase de la tubería de descarga.

•= Presión admisible externa: máxima presión externa absoluta a la que puede ser sometida una tubería.

•= Presión interna de diseño: según el código ASME es la presión usada para el diseño por presión de componentes de sistemas de tuberías.

•= Presión máxima de operación: según el código ASME se define como la máxima presión a la que una tubería o un equipo están sujetos durante condiciones normales de servicio en estado estacionario.

•= Régimen permanente: ver flujo estacionario

•= Separación de la columna de líquido: fenómeno que ocurre cuando en un fluido se forma una cavidad de vapor que abarca toda la sección transversal de la tubería

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separando al flujo en dos columnas, y que cuando desaparece puede producir sobrepresiones considerables debido al impacto de las dos columnas.

•= Temperatura de diseño: según la sección B31.4 del código ASME es la temperatura del metal esperada durante condiciones normales de operación. La sección B31.3 establece que es aquella temperatura que coincide con la presión para la cual se requiere el mayor espesor de tuberías y rating de accesorios.

•= Tiempo de fase de una tubería: tiempo que tarda la onda de presión en recorrer la tubería y regresar al lugar donde se originó la perturbación. Es igual a 2L/a seg.

5. SISTEMAS A EVALUAR

Debido a que la ocurrencia del Golpe de Ariete puede comprometer la seguridad e integridad del sistema de tuberías, es importante definir aquellos sistemas que requieran análisis de este fenómeno. El código ASME B31 establece que deben calcularse las variaciones de presión originadas por el Golpe de Ariete para ser tomadas en cuanta en la determinación de la presión de diseño.

No existe un criterio específico para saber si un determinado sistema requiere de un estudio de Golpe de Ariete, pero en general, aquellos sistemas de tuberías de gran diámetro y gran longitud se consideran críticos para los efectos del Golpe de Ariete. Esto se debe principalmente a que:

•= Las líneas de gran diámetro generalmente manejan grandes caudales, y la magnitud de la variación inicial de la presión de un sistema sujeto a Golpe de Ariete es mayor para sistemas que manejen grandes caudales.

•= Las líneas de gran longitud requieren tiempos de cierre de válvulas mayores para minimizar la magnitud de las sobrepresiones.

Además, si los sistemas tienen las siguientes características, es mayor la necesidad del análisis de Golpe de Ariete:

•= Líneas con estación de bombeo intermedia: la detención de bombas puede ocasionar Golpe de Ariete si no es un proceso debidamente controlado.

•= Líneas sujetas a paradas de emergencia: una situación de emergencia implica generalmente cierres rápidos de válvulas, lo cual puede ocasionar Golpe de Ariete. •= Líneas cuya rotura representa gran peligro para terceros o produzcan graves daños

ambientales.

•= Líneas críticas para la operación: líneas cuyo servicio sea indispensable para el funcionamiento de una planta, refinería, etc.

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•= Líneas que el Cliente solicite.

Es una práctica común no realizar análisis de Golpe de Ariete a líneas de pequeño diámetro y caudales pequeños con muchas conexiones y ramificaciones, y que además manejen productos no contaminantes y no críticos para el proceso.

6. CONSIDERACIONES DE DISEÑO

El cálculo de las presiones de diseño y de los espesores requeridos por las tuberías se hace según el código ASME B31.4 o B31.3 de acuerdo a las características del sistema a analizar, a las especificaciones del Proyecto y siguiendo las prácticas de diseño de ingeniería.

•= Cálculo de la presión interna de diseño

El código ASME en la sección B.31.4 especifica que todos los componentes de las tuberías deben diseñarse para una presión interna de diseño que no debe ser menor que la presión máxima de operación. La sección B31.3 especifica que la presión interna de diseño no debe ser inferior que la presión en la condición más severa durante el servicio.

Para sistemas sujetos a presión por bloqueo de bombas centrífugas, la presión de diseño suele establecerse como el 120% de la presión de descarga, considerando el shut-off de las bombas.

Si el sistema no está protegido por válvulas de alivio, en la presión de diseño debe considerarse la presión máxima que se puede desarrollar como resultado de la falla de una válvula de control, del bloqueo de una bomba o del cierre inadvertido de una válvula. Entonces, tomando en cuenta el Golpe de Ariete, la presión de diseño queda definida como:

o o

diseño P P

P =1,2. +∆ (6.A)

donde Po representa la presión de operación máxima y ∆Po la sobrepresión

originada por el Golpe de Ariete. El valor de ∆Po se determina de acuerdo al caso

de Golpe de Ariete considerado según la metodología de cálculo propuesta en la sección 8.

•= Variación de las condiciones normales de operación

El código ASME en la sección B.31.4 indica que deben hacerse cálculos de las ondas de presión producidas por cambios en la velocidad del fluido debido a la detención de unidades de bombeo, cierre de válvulas o bloqueo del flujo. También especifica que deben proveerse controles y equipos de protección adecuados de manera que el aumento de presión no exceda la presión interna de diseño en un 10% en ningún equipo o elemento del sistema. Según la sección B31.3, se aceptan

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variaciones ocasionales sobre la presión de diseño de acuerdo a la ocurrencia de las mismas.

•= Cálculo del espesor nominal de la tubería según presión interna

Según ambas secciones del código ASME (B31.3 y B31.4), el espesor nominal de la tubería debe ser igual o mayor que el espesor determinado por la siguiente ecuación:

t_n _{= +}t_p t_corr ₊t_fab (6.B)

Según la sección B31.4, el espesor calculado por presión viene dado por:

t P D

S p

d e

= ₂._. (6.C)

y el esfuerzo admisible de la tubería por:

S = 0 72, . .E esfuerzo minimo de fluencia (6.D)

En el anexo I se encuentra un extracto de la sección B31.4 del código con los valores del factor por unión soldada E y del esfuerzo admisible S para los aceros más utilizados.

La sección B31.3 propone la siguiente ecuación para obtener el espesor calculado por presión: t P D E S p d e = ⋅ . . 2 (6.E)

En este caso el esfuerzo admisible S es función de la temperatura de diseño, y se encuentra en el anexo A-1 en dicha sección del código. El factor por unión soldada E se obtiene en las tablas A-1A o A-1B.

En el anexo II están las tolerancias de fabricación establecidas por la Norma API-5L.

•= Cálculo de la presión externa admisible

En las tuberías sujetas a los efectos del Golpe de Ariete puede ocurrir que debido a la reflexión y transmisión de las sobrepresiones se generen presiones de vacío de considerable magnitud, lo que puede ocasionar que ocurra un falla por colapso debido a presión externa.

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En el caso más desfavorable, donde no existe atenuación de la onda de presión, la magnitud de esta presión negativa es igual a la magnitud de la sobrepresión inicial (ver sección 7.4, donde se encuentra descrito este fenómeno).

La sección B31.4 del código ASME establece que los componentes de un sistema de tuberías deben diseñarse para soportar el máximo diferencial entre presión interna y externa al cual estará sometido. El espesor de tuberías seleccionado debe prevenir el colapso de las mismas.

La sección B31.3 especifica que para tuberías bajo presión externa, el espesor de pared debe determinarse según lo indicado en la Sección VIII del código ASME “Boiler and Pressure Vessel ”, usando como longitud de diseño L la distancia entre dos secciones rigidizadas.

El procedimiento para determinar la presión externa admisible según este código y para tuberías conDo_t _{≥ 10 , es el siguiente:}

1. Se determinan las relacionesDo_t _{y L D}

ode la tubería

2. Con estos valores se halla la constante A en la figura G del anexo VIII 3. Con el valor de A se obtiene el valor de B en las figuras CS-2 o CS-3 del

anexo VIII, de acuerdo al módulo de elasticidad del material, el cual se obtiene de la tabla TM-1 del anexo VII usando la temperatura de diseño de la línea.

4. La presión externa admisible se calcula según la expresión:

P B D t a o = ⋅ ⋅ ç ÷ 4 3 (6.F)

Para valores de A que caigan a la izquierda de la línea correspondiente al módulo de elasticidad, el valor de Pa se obtiene por:

P A E D t a o = ⋅ ⋅ ⋅ æèç ö÷ 2 3 (6.G)

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5. Este valor de Pa representa la presión externa admisible de la tubería, y debe

ser mayor que la presión externa a la que puede estar sometida la tubería, calculada por:

(

)

P_ext = P_atm− P_o −∆ (6.H) P_o

7. GOLPE DE ARIETE

7.1. Generalidades

El fenómeno de Golpe de Ariete es ocasionado por la transformación brusca de energía cinética del fluido en energía de presión o viceversa. Estas transformaciones generan ondas elásticas que se manifiestan como variaciones en la presión y velocidad del flujo, y en las propiedades del fluido, y viajan a lo largo de la tubería con velocidad cercana a la del sonido.

Estas ondas se originan en un sistema de tuberías cuando ocurren cambios repentinos en la operación de algún elemento, como cambios accidentales o planeados en la apertura de las válvulas, accionamiento o detención de unidades de bombeo o cambios en el nivel de tanques o recipientes a presión.

Las ondas de presión pueden ser positivas (sobrepresiones) o negativas (depresiones). Las sobrepresiones originadas pueden aumentar la presión total interna hasta llegar a superar la presión máxima admisible, lo que puede ocasionar daños mecánicos graves a las tuberías y accesorios. Las ondas negativas pueden disminuir la presión total hasta generar cavitación, separación de la columna de líquido o el colapso de la tubería por efecto de la presión externa.

7.2. Ecuaciones Fundamentales del Golpe de Ariete

Las ecuaciones fundamentales del régimen transitorio en tuberías se obtienen aplicando la ecuación de continuidad y de movimiento a un elemento de fluido, tomando en cuenta la variabilidad temporal de la presión y velocidad del flujo, y la elasticidad del fluido y de la tubería (la ecuación de Bernoulli no puede aplicarse porque el fluido se considera compresible). Las variables dependientes son la altura de presión (altura piezométrica) H y la velocidad promedio en una sección transversal V. Las variables independientes son la distancia x y el tiempo t; con lo que se tiene H = H(x,t) y V =

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Estas ecuaciones constituyen un sistema de ecuaciones en derivadas parciales no lineales cuya solución analítica es excesivamente compleja, por lo que se recurre a procedimientos numéricos. La simplificación de estas ecuaciones conlleva a dos ecuaciones llamadas ecuaciones fundamentales del Golpe de Ariete, cuyas soluciones son: H H F t x a f t x a o − = ç − ÷ + æ_èç + ö÷ (7.2.A) V V g a F t x a f t x a o − = − é ç − ÷ − æ_èç + ö÷ ë ê ú (7.2.B)

Para obtener estas soluciones se despreció el efecto de la fricción y la variación en la velocidad del fluido a lo largo de la tubería, además de asumir que la velocidad de la onda a es mucho mayor que la velocidad del fluido en régimen permanente.

Como las ecuaciones fueron deducidas para cierre de una válvula, la distancia x está medida desde el extremo aguas abajo de la tubería, debido a que la perturbación inicial ocurre en este punto y luego se propaga aguas arriba. Entonces la dirección positiva de

V es la dirección decreciente de x.

De las ecuaciones 7.2.A y 7.2.B se deduce que, dimensionalmente, F es una altura de presión medida en las mismas unidades que H y que se desplaza inalterada con una velocidad a en el sentido contrario al movimiento del fluido. Similarmente, f representa una onda de presión que se propaga en sentido contrario a F.

La ecuación 7.2.A implica que, para un tiempo t y un punto en la tubería de coordenada

x, el aumento de presión es igual a la suma de las ondas de presión F y f, las cuales se propagan a lo largo de la tubería con velocidad constante a. Cuando una onda F “se encuentra” con una onda f, ninguna se atenúa o cambia su forma; son sus efectos superpuestos los que determinan las condiciones transitorias de flujo (presión y velocidad), en esa sección de la tubería. La ecuación 7.2.B es una relación entre la magnitud de estas ondas de presión y el cambio en velocidad que ocurre en una determinada sección de la tubería.

7.3. Propagación de las Ondas Elásticas 7.3.1. Velocidad de Propagación de la Onda

Los cambios localizados que se producen en la presión y velocidad del flujo se propagan a lo largo de la tubería con una velocidad cercana a la velocidad del sonido en ese medio, pero afectada por la elasticidad de la tubería. La velocidad de propagación a de la onda elástica en tuberías que transportan líquidos está determinada por las

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propiedades del fluido y por la geometría y las propiedades elásticas de la tubería, y viene dada por:

ö ççè æ ⋅ + ⋅ = n i f t E D K g a 1 12 ρ (7.3.1.A)

El módulo de compresibilidad K promedio para hidrocarburos es función de la temperatura y de la gravedad específica API, y viene dado por una aproximación de la gráfica del anexo IV:

K =105 722708 0 00819, − , .°API −0 00219, .T (7.3.1.B)

Para aceros al carbono usados en tuberías, el módulo de elasticidad es: E = 30 10⋅ 6psi

En el anexo III se encuentra una gráfica donde es posible determinar el valor de a directamente conociendo el módulo de compresibilidad K y la gravedad específica sg del fluido, y la relación entre el diámetro y el espesor de la tubería Di_t

n .

7.3.2. Reflexión y Transmisión de Ondas

La magnitud y dirección de una onda de presión es modificada cada vez que se encuentra a su paso por la tubería con un elemento tal como un tanque, una válvula o con un cambio en las características y/o material de la tubería. A partir de las ecuaciones (7.2.A) y (7.2.B), de la ecuación de continuidad y conociendo las condiciones de flujo que impone cada uno de estos elementos, puede determinarse la magnitud de las ondas transmitidas y reflejadas en función de la magnitud de la onda inicial.

•= En un tanque de altura constante Ho:

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Como la altura Ho se mantiene constante:

ö ç è æ − − = − Þ − = a L t F a g V V f F _o 2 (7.3.2.A)

Esta expresión implica que cuando una onda F alcanza el extremo aguas arriba de la tubería, se genera una onda f de la misma magnitud pero de signo contrario, lo que ocasiona que el cambio en velocidad sea el doble que en otros puntos de la tubería.

•= En un extremo cerrado:

Figura 2.- Reflexión de la onda en un extremo cerrado Como en el extremo cerrado Vo = 0:

F f H H F t L

a o

= − = 2 ç − ÷ (7.3.2.B)

Esta expresión quiere decir que en un extremo cerrado la onda de presión se refleja completamente sin cambio de signo, y su magnitud es el doble de la intensidad de la onda inicial F.

•= En un cambio en el área de la sección transversal

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Si la onda se transmite de la tubería 1 a la tubería 2, se tiene:

F₂ = sF₁ (7.3.2.C) f₁ =rF₁ (7.3.2.D) donde: s r− = 1 (7.3.2.E) con: s A a A a A a a D a D a D = ⋅ + = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ 2 2 1 1 1 1 2 2 2 12 2 12 1 22 (7.3.2.F) r A a A a A a A a a D a D a D a D = − + = ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ 1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 (7.3.2.G)

En el caso de una cambio de área en la sección transversal de la tubería, parte de la onda inicial es reflejada y parte es transmitida en la misma dirección, y sus magnitudes están determinadas por los factores de transmisión y reflexión de onda, s y r respectivamente. Estos factores dependen de las secciones transversales de las tuberías y de la velocidad de propagación de onda. Como el valor de a depende también del espesor de la tubería y de las propiedades del material, ocurre una reflexión de onda cada vez que hay un cambio en el espesor, área o material de la tubería.

•= En derivaciones a dos o más tuberías:

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De manera similar al caso anterior se tiene:

F₂ = F₃ = sF₁ (7.3.2.H) f₁ = rF₁ donde: s r− = 1 con: s A a A a A a A a a a D a a D a a D a a D = + + = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ 2 2 1 1 1 1 2 2 3 3 2 3 1 2 2 3 1 2 1 3 2 2 1 2 3 2 (7.3.2.I) r A a A a A a A a A a A a a a D a a D a a D a a D a a D a a D = − − + + = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 2 3 12 1 3 22 1 2 32 2 3 12 1 3 22 1 2 32 (7.3.2.J)

En el caso de una onda de presión que se encuentra con una derivación de la tubería, la magnitud de las ondas de presión transmitidas es la misma, sin importar las respectivas áreas transversales.

7.4. Causas del Golpe de Ariete: Casos Considerados

El fenómeno de Golpe de Ariete puede originarse en sistemas de tuberías por diversas causas, siempre y cuando involucren cambios bruscos en la velocidad del fluido. Estos cambios están generalmente relacionados con el accionamiento de válvulas y bombas. Los cálculos de Golpe de Ariete producido por el cierre de válvulas están orientados a establecer un tiempo de cierre que permita minimizar las sobrepresiones generadas y que además sea compatible con la filosofía de operación y de parada de emergencia (ESD) del sistema.

En el caso de estaciones de bombeo, siempre que exista una modificación en la velocidad de giro de las bombas se generará un régimen transitorio en el flujo. El caso más crítico de Golpe de Ariete ocurre cuando hay una detención accidental de las bombas, lo cual puede originar sobrepresiones y depresiones considerables en las tuberías.

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7.4.1. Cierre de una válvula

Las válvulas juegan un papel importante en los estudios de Golpe de Ariete, ya que el tiempo y la velocidad de cierre de las mismas son determinantes en la magnitud de las sobrepresiones generadas. Haciendo los cierres muy lentamente se puede llevar la magnitud de estas sobrepresiones a valores muy pequeños. Pero cierres muy lentos no son siempre favorables para el proceso o para situaciones de emergencia, como por ejemplo si se requiere cerrar una válvula debido a un derrame de un fluido tóxico o contaminante.

Figura 5.- Sistema con válvula que se cierra instantáneamente.

En el caso de cierre instantáneo de la válvula, se tiene que para el instante de cierre (t=

0), se genera una onda de presión positiva que se mueve aguas arriba frenando el fluido a sus pasos hasta lograr su reposo, comprimiéndolo y dilatando las paredes de la tubería. Cuando esta onda alcanza al extremo aguas arriba de la tubería (t=L/a), todo el fluido se encuentra bajo una presión adicional ∆Ho .

Como la altura del tanque se mantiene constante, se tiene un desbalance en el momento en que llega la onda de presión, lo que ocasiona que el fluido comience a circular en sentido contrario. La presión en el fluido vuelve al valor que tenía antes del cierre de la válvula, la tubería recupera sus dimensiones originales y el fluido adquiere una velocidad Vo en sentido contrario al original. Para t = 2L/a, la onda ha llegado a la

válvula y se han restablecido las condiciones normales en la tubería con excepción de la velocidad del fluido Vo que ahora tiene dirección hacia el tanque.

Como la válvula está cerrada no se puede mantener flujo a través de ella y por lo tanto se desarrolla una presión negativa -∆Ho. Esta onda de presión se propaga nuevamente aguas arriba frenando el fluido y expandiéndolo debido a la baja presión, ocasionando que se contraigan las paredes de la tubería.

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Cuando esta onda de presión negativa llega al extremo superior de la tubería (t=3L/a), el fluido se encuentra en reposo con una presión menor, en -∆Ho de la que tenía antes del cierre. En estas condiciones se tiene nuevamente un desbalance en el tanque lo que provoca que el fluido comience a moverse otra vez hacia la válvula. En el momento que la onda llega a la válvula todas las condiciones son exactamente iguales a las que se tenían antes del cierre, ocurrido 4L/a seg antes.

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Figura 6.- Evolución de las condiciones de flujo durante el cierre instantáneo de una válvula

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Este proceso se repite cada 4L/a seg (ver figura 7). Los efectos de la fricción (no tomados en cuenta en la descripción anterior) y la elasticidad imperfecta tanto del fluido como de la tubería ocasionan que las oscilaciones se amortigüen hasta que el fluido alcance un estado de reposo permanente (ver figura 8).

Figura 7.- Evolución transitoria de la sobrepresión durante el cierre instantáneo de una válvula

Figura 8.- Evolución transitoria de la sobrepresión durante el cierre instantáneo de una válvula tomando en cuenta los efectos de la fricción

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Si el cierre de la válvula ocurre en un tiempo menor al tiempo de fase (t=2L/a), la onda reflejada no ha tenido tiempo de llegar a la válvula (f=0). Entonces, según las ecuaciones 7.2.A y 7.2.B, la sobrepresión inicial es igual a

o

o _g V

a

H = ⋅

∆ (7.4.1.A)

Este valor es conocido como el valor extremo del Golpe de Ariete, y representa el valor máximo que puede alcanzar la onda de presión. Entonces el caso más desfavorable es el de cierre instantáneo de la válvula, o lo que es lo mismo, cierres rápidos o en tiempos menores que el tiempo de fase de la tubería aguas arriba. Es por esto que es deseable conocer que tan rápido pueden hacerse los cierres de las válvulas manteniendo las sobrepresiones bajo límites tolerables.

Si el cierre de la válvula es lento, la magnitud de la sobrepresión generada depende de la ley de cierre de la válvula, la cual indica la variación del área efectiva de flujo con el tiempo durante la maniobra de cierre. Los métodos propuestos consideran cierre instantáneo y cierre uniforme (variación lineal del área de flujo en la válvula, lo que indica velocidad de cierre constante).

La onda de presión negativa puede ocasionar que la presión en alguna sección de la tubería alcance el valor de la presión de vaporización y aparezcan burbujas de vapor en el fluido originándose la cavitación. Si el tamaño de estas cavidades o burbujas de vapor abarca la totalidad de la sección de la tubería, se presenta el fenómeno llamado separación de columna de líquido. Se forman entonces dos columnas de líquido separadas por una zona de vapor, por lo que la tubería queda sometida a la acción de la presión externa y a la posibilidad de una falla por colapso. Cuando la cavidad desaparece, el impacto entre las dos columnas de líquido pueden producir sobrepresiones de considerable magnitud.

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7.4.2. Detención de una bomba por falla en el suministro de energía eléctrica

Condiciones de operación, y el caso más crítico ocurre debido a una interrupción instantánea del suministro de potencia. En este caso, la operación de la bomba pasa por tres zonas o fases de funcionamiento, que son:

•= Zona de Operación de Bomba: En el instante en que falla el suministro de energía eléctrica, la bomba comienza a detenerse pues la única energía disponible para moverla es la energía cinética de los elementos rotantes del motor y de la bomba y la del agua que está entrando a la bomba. Como está energía es usualmente pequeña comparada con la requerida para mantener el flujo en contra de la presión en la descarga, la reducción de la velocidad de giro de la bomba es rápida, y en consecuencia el flujo también se reduce.

•= Zona de Disipación de Energía: La velocidad de la bomba se reduce a un punto donde no puede seguir bombeando en contra de la presión existente. Si no hay válvula de retención ocurre una reversión del flujo mientras el rotor sigue girando en el sentido original.

•= Zona de Operación de Turbina: Cuando el rotor se detiene por completo la bomba comienza a girar en sentido contrario actuando como turbina, y a medida que la velocidad alcanza su valor máximo el flujo que circula invertido se reduce rápidamente.

Como resultado de los cambios rápidos en el flujo cuando la bomba trabaja en la Zona de Operación de Bomba, se forman ondas de presión negativa que se desplazan a lo largo de la tubería de descarga, y ondas de presión positivas que viajan aguas arriba de la bomba por la tubería de succión (que generalmente se desprecian si la longitud de la tubería es pequeña). El fenómeno de propagación de estas ondas es similar al descrito en el caso del cierre de una válvula.

Como las ondas generadas inicialmente son negativas, puede ocurrir que la presión en la tubería de descarga alcance el valor de la presión de vaporización y se presente cavitación o separación de columna de líquido, tal como se describió en el caso del cierre de una válvula.

Ahora, si hay una válvula check en la tubería de descarga, ésta se cierra en lo que comienza la reversión del flujo y la bomba trabajará sólo en la primera zona. El cierre de esta válvula produce una sobrepresión que se transmitirá de regreso aguas abajo. La magnitud de esta sobrepresión depende de la rapidez de cierre de la válvula, entre otros parámetros. Si se desprecian los efectos de la fricción y se asume que la válvula cierra rápidamente en el momento de inicio de la reversión de flujo, se puede suponer que la sobrepresión en la válvula es igual a la depresión inicial generada en la bomba. Sin embargo, si el cierre de ésta válvula se retrasa momentáneamente por alguna razón (malfuncionamiento, inercia de la válvula, etc.), la sobrepresión en ese punto puede ser considerablemente más alta. Es importante destacar que el valor de la onda negativa

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inicial en la bomba es independiente de la presencia de la válvula check si el paro de la bomba es lento.

Para conocer el comportamiento de las ondas de presión en las tuberías de descarga es necesario conocer la inercia del motor y de la bomba, y las curvas características de la bomba en las tres zonas de operación, las cuales describen la variación del torque y la velocidad de giro en función del caudal y la presión. En la mayoría de los casos, el fabricante de la bomba sólo suministra la curva característica para la zona de operación de bomba, lo que permite una descripción bastante precisa del fenómeno hasta el punto donde comienza la reversión del flujo. Ahora, si existe una válvula check en la descarga, sólo se requiere conocer el comportamiento de la bomba cuando el flujo conserva su dirección original.

Los métodos propuestos para resolver este caso de Golpe de Ariete se limitan al cálculo de las ondas iniciales de presión en la bomba y en la tubería de descarga, y el tiempo de detención de la bomba, entre otros. En uno de ellos es necesario conocer los parámetros de funcionamiento en condiciones normales de operación y la inercia del motor y de la bomba, además de las características de la tubería de descarga, mientras que en el otro método sólo hay que conocer el diferencial de presión en la bomba y los diámetros de las tuberías de succión y descarga.

7.5. Fenómenos Relacionados con el Golpe de Ariete en Oleoductos

Los estudios del fenómeno de Golpe de Ariete han sido desarrollados en su mayoría para sistemas de transporte de agua, pero existen ciertas diferencias importantes en relación a los oleoductos: las tuberías que transportan crudos generalmente son muy largas, están construidas de acero dúctil y presentan pérdidas por fricción considerables. Además, los hidrocarburos son, respecto al agua, menos densos, más viscosos y tienen una presión de vapor mayor.

En tuberías largas y en casos de fricción muy alta, como son los oleoductos, ocurre que la caída presión a lo largo de la tubería en estado estacionario puede ser mucho mayor que la magnitud de la onda de presión inicial generada, por ejemplo, por el cierre de una válvula. Por los efectos de la fricción la magnitud de esta onda disminuye a medida que se desplaza aguas arriba, fenómeno es conocido como atenuación.

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Por otro lado ocurre que la magnitud de la onda muchas veces no es suficiente para detener completamente el fluido a su paso. Cuando la onda de presión se transmite en la tubería se encuentra con que la presión del fluido aguas arriba es mucho mayor debido a la fricción, esta diferencia de presión es transmitida aguas abajo y se suma al aumento de presión inicial debido al cierre de la válvula (donde el fluido se detuvo completamente). Esto ocasiona que la presión en la válvula continúe aumentando un cierto tiempo después de que se generó la primera onda. Este fenómeno de aumento de presión luego de que la onda de presión pasa es llamado “line pack”.

8. MÉTODOS PROPUESTOS PARA EL ANÁLISIS DE GOLPE DE ARIETE

Existen cantidad de métodos desarrollados para el análisis del fenómeno de Golpe de Ariete. La gran mayoría de estos métodos permite obtener un perfil completo de presiones y velocidades en la tubería en función del tiempo, pero no son métodos de aplicación directa. Entre los métodos más recomendados están el Método Gráfico de Bergeron-Schnyder, el cual requiere la elaboración de gráficas manuales, y el Método de las Características que necesita del uso de computadoras. Ambos métodos exigen gran cantidad de datos del sistema a analizar (ley de cierre de las válvulas, curvas características de las bombas, etc.), lo cual no siempre está disponible, sobre todo si el análisis se hace durante una Ingeniería Básica.

Los métodos propuestos en este manual permiten hacer cálculos directos, mediante la aplicación de fórmulas sencillas y del uso de gráficas, de las variaciones iniciales de presión. Estos resultados son necesarios para determinar la presión interna de diseño y el tiempo mínimo de cierre de válvulas. Para sistemas complejos, donde existan uniones y derivaciones y se contemple el cierre simultáneo de varias válvulas, los métodos propuestos requieren de una serie de simplificaciones que si bien permiten estimar las variaciones iniciales de presión para el cierre de una válvula o el paro de una bomba, no son capaces de describir el régimen transitorio creado por más de una perturbación en el sistema.

Es importante destacar que el Golpe de Ariete es un fenómeno bastante complejo, donde las condiciones en un punto de la tubería vienen dadas por la superposición de ondas generadas y reflejadas por una o más perturbaciones en la operación del sistema.

Estos métodos no son válidos cuando en alguna sección de la tubería se alcanza la presión de vaporización, pues la aparición de vapor ocasiona que se genere en la tubería una compleja situación hidráulica y termodinámica que las ecuaciones desarrolladas para el análisis de Golpe de Ariete no describen.

Se incluye también una revisión de las ecuaciones necesarias para aplicar el Método de las Características de manera de poder obtener la variación en la presión y el caudal en función del tiempo. Este método sí permite representar con detalle el fenómeno cuando es causado por la operación de diversos elementos en el sistema (varias válvulas y/o varias bombas) en sistemas de tuberías más complejos.

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Cada método utiliza una notación propia, pero en este manual se unificó la nomenclatura a fin de simplificar el uso de cada uno de ellos.

8.1.1. Cierre de válvulas

8.1.1.1 Cierre instantáneo de válvula (cierre rápido): Ecuaciones de la EXXON

Como cierre instantáneo de válvula se considera cualquier cierre realizado en un tiempo menor al tiempo de fase de la tubería aguas arriba de la válvula (cierre rápido). La sobrepresión originada debido a un cierre con estas características es independiente del tiempo en que se realice y de la ley de cierre de la válvula. El valor que toma esta sobrepresión es el valor extremo del Golpe de Ariete de la ecuación 7.4.1.A, por lo que siempre el cierre instantáneo de una válvula es el caso más desfavorable.

Este método de cálculo analítico es una combinación de curvas generalizadas adimensionales y de relaciones numéricas usadas para estimar la sobrepresión inicial debida al cierre rápido de una válvula y la atenuación de la onda.

Es válido para sistemas compuestos por una sóla tubería, donde debe asumirse que: •= Las pérdidas por fricción en flujo turbulento varían con el cuadrado de la velocidad

del fluido

•= El módulo de compresibilidad del crudo es constante •= La tubería es larga o se ignoran las ondas reflejadas Procedimiento:

A. Se calcula la velocidad de propagación de la onda mediante la ecuación 7.3.1.A

B. La magnitud de la sobrepresión inicial en la válvula se calcula por:

∆P a GPM sg Di a BPD sg Di o = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ − 5 48 10 6260 3 2 2 , . . (8.1.1.1.A)

Este valor de Po es equivalente al de la ecuación 7.4.1.A.

C. El factor de atenuación de onda se halla por la expresión: X P x P ss o = _∆. (8.1.1.1.B)

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D. Del gráfico del anexo V se obtiene el valor de la relación ∆

∆ P P s o para poder determinar la magnitud de la onda atenuada Ps. Para t = 0 (instante del cierre) se

puede aproximar mediante: ∆ ∆ P P T gh X s o = −1 ç ÷ 2 (8.1.1.1.C)

E. El tiempo de llegada de la onda de presión al punto x millas aguas arriba de la tubería, viene dado por:

t x

a

= 5280. (8.1.1.1.D)

Si se quiere calcular el tiempo de fase de la tubería, a partir de la ecuación anterior se llega a:

( )

t L

a

= 5280 2. (8.1.1.1.E)

donde L es la longitud en millas de la tubería aguas arriba de la válvula. 8.1.1.2 Cierre uniforme (cierre lento): Gráfica del Parmakian

Como cierre lento de una válvula se considera cualquier cierre realizado en un tiempo mayor al tiempo de fase de la tubería aguas arriba de la válvula. La onda reflejada llega a la válvula antes que concluya el cierre, por lo que el valor de la sobrepresión generada está determinado por el efecto de la superposición de la onda inicial y la onda reflejada, y siempre es menor que el valor máximo indicado por la ecuación 7.4.1.A para cierres rápidos.

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Para el cálculo se utiliza una gráfica extraída del “Waterhammer Analysis” de John Parmakian, que permite determinar la sobrepresión inicial conociendo el tiempo de cierre de la válvula, siempre y cuando este cierre sea uniforme, como el mostrado en la figura 11.

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En la figura, Φ representa el grado de apertura de la válvula, es decir, la posición del elemento de obturación de la misma. En una válvula de compuerta o de globo Φ representa la relación entre la altura de la sección de flujo y el diámetro de la válvula, mientras que para una válvula de mariposa o de esfera Φ es el ángulo de giro del obturador. El cierre uniforme o lineal de una válvula implica cierre a velocidad constante.

Procedimiento:

A. Se calcula la velocidad de propagación de la onda mediante la ecuación 7.3.1.A B. Se halla el factor adimensional N, el cual expresa el tiempo de cierre de la válvula

en función del tiempo de fase:

N t a

L cierre

= ₂_⋅ ⋅ (8.1.1.2.A)

C. La constante _{ρ de la tubería se obtiene por la expresión:}

D. Con los valores de N y ρ se obtiene de la figura del anexo VI el valor de la constante K.

E. La sobrepresión inicial en la válvula es :

∆H_o = ⋅ ⋅ ⋅2 ρ K H_o ∆P_o = ⋅ ⋅ ⋅2 ρ K P_o (8.1.1.2.C)

Es importante destacar que si N≤1 el cierre de la válvula se realizó en un tiempo igual o menor al tiempo de fase (2L/a seg), entonces K=1 y el valor de la sobrepresión inicial corresponde al cierre instantáneo de válvula (ecuación 7.4.1.A).

8.1.2. Detención de una bomba por falla en el suministro de energía eléctrica 8.1.2.1 Gráficas propuestas por Parmakian

Estas 8 gráficas, propuestas en el “Water Hammer Analysis” de John Parmakian, son útiles para determinar:

∗= Onda negativa inicial en la bomba

∗= Onda negativa inicial en la longitud media de la tubería de descarga ∗= Sobrepresión inicial en la bomba

∗= Sobrepresión inicial en la longitud media de la tubería de descarga ∗= Máxima velocidad en reversa

∗= Tiempo de reversión del flujo

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∗= Tiempo de máxima velocidad en reversa

Estas gráficas están basadas en dos parámetros independientes: ρ, la constante de la tubería, y k⋅ ⋅2 L_a, una constante que incluye el efecto de la inercia del motor y del tiempo de fase de la tubería de descarga.

Limitaciones:

•= Bomba de flujo radial sin válvula check en la descarga •= Tubería de descarga de características uniformes Procedimiento:

A. Se halla el tiempo de fase de la tubería de descarga: 2 ⋅ L a B. Se determina la constante k:

(

)

(

)

k H Q W R N GPM P W R N o o o o o o o f o = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 91600 _{6 338} 2 _η 2 2 _η 2 _ρ , (8.1.2.1.A) Se determina la constante 2ρ: 2 7 0903 10 4 2 ρ = ⋅ ρ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − a V g H a GPM g P D op op f i , (8.1.2.1.B)

C. Con los valores de k⋅ ⋅2 L_a y 2 se hallan cada uno de los parámetros en el anexo VII.

NOTA: El término W.R2 es característico del momento de inercia de las partes giratorias del motor y de la bomba, el cual viene dado por:

I m R W R g = ⋅ 2 = ⋅ 2 W R⋅ 2 = ⋅I g_(8.1.2.1.C) 8.1.2.2. Ecuaciones de la EXXON

Estas ecuaciones permiten calcular la magnitud de la sobrepresión en la succión de la bomba y la magnitud de la depresión en la descarga, las cuales son función de los diámetros de ambas tuberías y del diferencial de presión de la bomba, sin importar la presencia o no de válvula check. También es posible obtener, mediante las ecuaciones y gráficas propuestas para el caso de cierre instantáneo de válvula, la atenuación de la onda y el tiempo que tarda la onda en alcanzar una determinada sección de la tubería.

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Es importante destacar que según estas dos ecuaciones, las ondas de presión debidas a la detención de una bomba no dependen del tipo de fluido ni del caudal manejado, lo cual puede arrojar resultados similares en sistemas de tuberías muy distintos entre sí. Tampoco se toma en cuanta la inercia del motor y de la bomba, factor importante en la determinación de las variaciones iniciales de presión, pues a mayor inercia más lento será el paro de la bomba y menores las magnitudes de las ondas de presión.

Las limitaciones son las mismas que para el caso del cierre instantáneo de válvula. Procedimiento:

A. La onda de presión en la succión se determina mediante:

(

)

∆P succ A ∆ ∆ A A P D D D P o desc desc succ B i i i B desc desc succ = ₊ ⋅ = ₊ ⋅ 2 2 2 (8.1.2.2.A)

B. La onda de presión en la descarga viene dada por:

(

)

∆P desc A ∆ ∆ A A P D D D P o succ desc succ B i i i B succ desc succ = − ₊ ⋅ = − ₊ ⋅ 2 2 2 (8.1.2.2.B)

8.2. Método de las Características

Este método se basa en la transformación de las ecuaciones de cantidad de movimiento y continuidad, las cuales forman un par de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. La conversión de estas ecuaciones en ecuaciones diferenciales ordinarias, resolviéndolas luego mediante un esquema explícito de diferencias finitas, permite hallar las condiciones de flujo generadas por el Golpe de Ariete.

En este método, una tubería es dividida en un número de tramos N, cada uno de longitud ∆x:

∆x L N= (8.2.A)

con intervalos de tiempo ∆t tales que

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En un plano x-t, como se muestra en la figura 12, se representan entonces las condiciones de flujo en cada uno de estos tramos para determinados intervalos de tiempo.

Figura 12.- Malla rectangular para la solución de las ecuaciones de características Conociendo las condiciones en los puntos A y en B (caudal Q y altura piezométrica H) para un tiempo t, se pueden hallar las condiciones en el punto P para t+_{∆t si se conocen} las rectas diagonales de la malla C+ y C- (líneas características). Integrando las ecuaciones de cantidad de movimiento y de continuidad se llega a las ecuaciones de estas rectas, llamadas ecuaciones de compatibilidad, las cuales son relaciones algebraicas que describen la variación de H y Q en estado transitorio.

8.2.1. Ecuaciones de Compatibilidad

La solución de un problema de Golpe de Ariete comienza con las condiciones del flujo en régimen permanente (condiciones normales de operación) en t=0. El método consiste en encontrar H y Q para puntos alternos en la malla (plano x-t) a lo largo de t=∆t, luego para t=2∆t, y así sucesivamente hasta cubrir un tiempo determinado del fenómeno.

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Para cada punto P del interior de la malla en una sección i, las dos ecuaciones de compatibilidad, válidas a lo largo de las dos líneas características C+ y C,- son resueltas simultáneamente para las incógnitas Qi y Hi, y pueden ser escritas como:

C H+_: _i ₌C_P ₋B Q_P_⋅ _i_(8.2.1.A)

C H−_: _i ₌C_M ₋B_M_⋅Q_i_(8.2.1.B)

donde los coeficientes CP BP CM y BM son constantes conocidas al momento de aplicar

las ecuaciones, ya que dependen de las condiciones de flujo en el intervalo de tiempo anterior. Vienen dados por:

C_P = H_i−1+ ⋅B Q_i−1 (8.2.1.C) B_P = + ⋅B R Q_i₋₁ (8.2.1.D) C_M = H_i+1− ⋅B Q_i+1 (8.2.1.E) B_M = + ⋅B R Q_i+1 (8.2.1.F) Donde: B a g A = _⋅ (8.2.1.G) R f x g D A = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ∆ 2 2 (8.2.1.H)

La constante B, generalmente llamada impedancia característica de la tubería, depende de las propiedades físicas del fluido y la tubería. R es el coeficiente de resistencia de la tubería, donde el factor de fricción f puede ser una constante o ser ajustado durante los cálculos con el número de Reynolds local en cada tramo para cada intervalo tiempo. Resolviendo el sistema formado por las ecuaciones 8.2.1.A y 8.2.1.B se obtiene:

H C B C B B B i P m M P P M = ⋅ +₊ ⋅ (8.2.1.I) Q C C B B I P M P M = −₊ (8.2.1.J)

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8.2.2. Condiciones de frontera para una tubería de características constantes

Las condiciones de frontera en una tubería suministran ecuaciones auxiliares sobre el comportamiento de los elementos que constituyen estas condiciones (bombas, válvulas, etc.) permitiendo hallar las condiciones de flujo en los extremos de la tubería donde sólo hay disponible una de las dos ecuaciones de compatibilidad (C+ o C-)

En las condiciones de frontera el subíndice 1 indica las condiciones aguas arriba, y el subíndice NS se refiere a las condiciones aguas abajo.

•= Tanque de altura constante en el extremo aguas arriba

H₁ = H_R (8.2.2.A) Q H C B M M 1 1 = − (8.2.2.B)

donde HR es la elevación de la superficie del tanque desde el nivel de referencia.

•= Bomba centrífuga en el extremo aguas arriba con curva característica altura-caudal conocida

Si se conoce la curva característica de la bomba, se tiene:

(

)

H₁ = H_S +Q₁⋅ a₁+ ⋅a Q₂ ₁ (8.2.2.C)

(

)

(

)

Q a BM a BM a a CM HS 1 2 1 1 2 2 1 2 4 = _⋅ ⋅_ê − − − + ⋅ − _ú (8.2.2.D)

donde HS es la altura de shut-off de la bomba, y a1 y a2 son constantes que dependen de

la curva característica.

•= Válvula en el extremo aguas abajo

Si el nivel de referencia de elevación se toma en la válvula, entonces:

(

)

Q_NS = −B C_P_⋅ _v+ B C_P_⋅ _v 2 + ⋅ ⋅2 C C_v _P (8.2.2.E)

(

)

H Q H Q NS NS op op = ⋅ ⋅ 2 2 τ (8.2.2.F)

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(HNS también puede hallarse por la ecuación 8.2.1.A).

donde: C_v

(

Qop

)

_H op = ⋅τ _⋅ 2 2 (8.2.2.G) τ = K_Ko _(8.2.2.H)

El coeficiente τ representa la apertura de la válvula como función del tiempo, donde Ko

es el coeficiente de la válvula en estado estacionario. El coeficiente K de la válvula es función del grado de obturación Φ de la misma. La relación entre Φ y K debe ser obtenida del catálogo técnico de la válvula.

Para poder determinar τ en función de t es necesario conocer la ley de cierre de la válvula: Φ en función de t. El cierre no necesariamente tiene que ser uniforme como el de la figura 11, puede ser una cierre que se realice a distintas velocidades, como el que puede observarse en la figura 13.

Figura 13.- Ejemplo de cierre de una válvula a distintas velocidades •= Extremo cerrado aguas abajo

Q _{N S} = 0 (8.2.2.I)