Análisis de Sistemas No Lineales

(1)

Técnicas Lineales de Estabilización Técnicas de Estabilización No Lineales

Análisis de Sistemas No Lineales

Técnicas de Estabilización

Dr. Fernando Ornelas Tellez

Universidad Michoacana de San Nicolas de Hidalgo Morelia, Michoacán

(2)

Contenido

1 Técnicas Lineales de Estabilización

Retroalimentación lineal de estado

Retroalimentación lineal de estados observados Pre-alimentación

Control integral, control PID

2 Técnicas de Estabilización No Lineales

Transformación de Coordenadas

Difeomorfismo y Transformaciones de Estado

Linealización Exacta por Retroalimentación de Estado (Intro) Observadores No Lineales de Estado (Intro)

(3)

Técnicas Lineales de Estabilización

Técnicas de Estabilización No Lineales

Introducción

Analizar sistemas complejos que estén compuestos por varias entra-das y salientra-das, variantes en el tiempo o no, se volverá tedioso si se analiza desde un punto de vista clásico de control. De hecho si el sistema es de carácter no lineal, no es posible realizar un análisis basado en métodos clásicos como lo es la función de transferencia para el caso lineal. En tal caso, es conveniente recurrir al concepto de representación en espacio de estado (Control Moderno).

Una representación en espacio de estado es el planteamiento de un sistema que vienen descrito por ecuaciones diferenciales de orden n, a una representación simplificada de n ecuaciones diferenciales de primer orden. Cabe señalar que un aumento en el orden del sistema no aumenta la complejidad de análisis del mismo, ni tampoco se aumenta sustancialmente cuando se tienen sistemas MIMO.

(4)

Intro.

Definición

El estado de un sistema dinámico es el conjunto más pequeño de

variables (denominadasvariables de estado) de modo que el

conocimiento de estas variables en t = t0, junto con el

conocimiento de la entrada para t t0, determina por completo el

comportamiento del sistema para cualquier tiempo t t0.

Se hace el señalamiento que las variables de estado no necesitan se cantidades medibles u observables físicamente (p. e., flujos magnéti-cos en un motor son usualmente parte de las variables de estado). Dada la representación en espacio de estado, se pueden utilizar di-ferentes técnicas para modificar su comportamiento y/o asegurar su estabilidad, por ejemplo, mediante ubicación de polos.

(5)

Outline

1 Técnicas Lineales de Estabilización

Control integral, control PID 2 Técnicas de Estabilización No Lineales

(6)

Ubicación de Polos y Control Óptimo

Dar una descripción de la técnica de estabilización por ubicación de polos y por control óptimo.

Dar definiciones de controlabilidad (al menos dos). Simulaciones para ambas técnicas de estabilización.

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Retroalimentación lineal de estados observados

Pre-alimentación

Outline

1 Técnicas Lineales de Estabilización Retroalimentación lineal de estado

Pre-alimentación

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Retroalimentación de Estados Observados

Dar una descripción de la técnica de observación del estado. Explicar el estimador de estado óptimo por filtro de Kalman1

(Dual del control óptimo).

Dar definiciones de observabilidad (al menos dos).

Simulaciones para ambas técnicas de observación y estimación de estado.

1_{Optimal Control and Estimation, Robert F. Stengel, Dover Publications,}

1994.

(9)

Pre-alimentación

Outline

Pre-alimentación

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Pre-alimentación

Considere el esquema de control de temperatura

Si repentinamente existe, por ejemplo, una fuerte disminución de la temperatura de entrada del fluido que desea calentarse, el sensor de temperatura T1 percibirá este efecto en la temperatura de salida

transcurrido un cierto tiempo (cuando el fluido haya salido del intercambiador), y sólo entonces podrá efectuarse alguna acción de

control para corregir dicho efecto.

(11)

Pre-alimentación

Ahora bien, siendo la temperatura de entrada una perturbación medi-ble, resulta lógico pensar que se podría efectuar una acción correctiva más rápida si se informa al controlador de dicho cambio en la variable de carga. Este es el principio básico del control prealimentado. Este tipo de control es denominado feedforward “alimentar hacia adelante” - en contraposición al control realimentado o feedback.

(12)

Pre-alimentación

Descripción y simulación de un ejemplo.

(13)

Outline

2 Técnicas de Estabilización No Lineales Transformación de Coordenadas

(14)

Retro de Estado

Considere la ecuación del péndulo [1] ¨

✓ = asin ✓ b ˙✓ + cT .

Considerando el cambio de variables x1= ✓ y x2= ˙✓, se llega a

la representación de espacio de estado ˙x1 = x2

˙x2 = asin (x1+ ) bx2+ cT .

El control del ángulo del péndulo a una posición de equilibrio está dado por

T = asin

c + K x.

(15)

Retro de Estado y Observador

Se desea usar únicamente la información de la salida para estabilizar el sistema previo, es decir, controlar el péndulo a partir únicamente de la medición del ángulo ✓, pero no medir la velocidad angular ˙✓. Si se desea emplear la ley de control obtenida con anterioridad, se debe proceder a diseñar un observador de estado como

˙ˆx = Aˆx + Bu L (y xˆ1) .

Entonces la ley de control viene dada por

T = asin

(16)

Control Integral

En el ejemplo previo, el problema de regulación a un ángulo constante se redujo a un problema de estabilización al hacer el desplazamiento del PE deseado al origen. La técnica anterior es buena cuando se conocen los parámetros del sistema exactamente, pero puede ser inadecuado ante incertidumbres paramétricas.

Ahora se analizará un enfoque de control integral que asegura

re-gulaciónrobusta ante tales incertidumbres e incluso perturbaciones

externas (constantes).

Simulación de sistema con incertidumbres...

(17)

Control Integral

El diseño del controlador con un término integral se establece al definir el error como e = y yr, e integrando

˙x0 = e.

Con esta nueva variable de estado, el orden del sistema aumenta para obtener

˙x = f (x, u)

˙x0 = y yr.

Haciendo una linealización del sistema anterior sobre un punto desea-do, para obtener una retro de estadesea-do, se puede llegar al sistema au-mentado

˙x = Ax + Bu

(18)

˙x = Ax + Bu

˙x0 = Cx yr

y la ley de control robusta estabilizante queda determinada por

u = K1x K3x0, K1 = [k1 k2] , K3 = k3.

Considere el péndulo simple ˙x1 = x2

˙x2 = asin (x1) bx2+ cT .

El control con término integral para el control del ángulo está dado por

T = k1 (x1 xd) k2x2 k3x0

o con observador T = k1 (x1 xd) k2xˆ2 k3x0, con ˙x0 = x1 xd

(19)

Control Integral (Forma alternativa para el control integral)

Modelar la perturbación d como

˙x = Ax + B(u + d) ˙

d = 0

con salida

y = Cx. Entonces diseñe un observador como

˙ˆx ˙ˆd ! = ✓ A 0 ◆ ˆ x + ✓ B 0 ◆ u + ✓ B 0 ◆ ˆ d + ✓ L1 L2 ◆ (y C ˆx) y finalmente la retroalimentación u = K1x + Kˆ 2d.ˆ

(20)

Tarea: Control Integral para un Motor de CD

Considerando que la velocidad angular esta dada por x1 = ! y la

corriente por x2 = i

˙x1 = a11x2 b

˙x2 = a12x1 a22x2+ c u

Diseñe un controlador con un termino integral para el motor con los siguientes parámetros: km =0.9483 ⇤ 1.066, ke = km, Je =0.0221,

Ra = 2.58, La =0.028, TL = 0, a11 = km/Je, b = TL/Je, a12 =

ke/La, a22= Ra/La, c = 1/La.

Posteriormente diseñe un observador en espacio de estados para ob-servar la corriente ˆx2 y utilícela en el controlador considerando que

sólo se dispone de la medición de la velocidad angular x1 = !.

!ref =100 rad/s.

(21)

Outline

(22)

Derivada de Lie

Definición

Sea h :Rn_{! R una}_{función escalar} _{suave, y f :}_Rn_{! R}n _un

campo vectorial suave enRn_,_{entonces la Derivada de}_{Lie de h con}

respecto a f es una función escalar definida por Lfh =rhf = @h @x f (x) = n X i=1 @h @xi fi(x)

=) es la derivada direccional de h en la dirección del vector f .

(23)

Derivadas de Lie-Recursividad

Las derivadas de Lie pueden definirse recursivamente

L0fh = h

Lifh = Lf(Lif 1h) =r(Lif 1h)f

para i = 1, 2 . . .

Análogamente, si g es otro campo vectorial, LgLfh = Lg(Lfh) =r(Lfh)g

(24)

Ejemplos: Derivada de Lie

Sea f (x) = 2 4 x1+ e x2_x₃ x1+2x3 sin x1 3 5 , g (x) = 2 4 00 1 3 5 , h(x) = x1+ x2 Determinar: L0 fh(x), Lfh(x), L2fh(x)y LgLfh(x).

(25)

Corchete de Lie

Definición

Sean f :Rn_{! R}n _{y g :}_Rn_{! R}n _{campos vectoriales} _{suaves en}_Rn_,

entonces el Corchete de Lie de f y g es un tercer campo vectorial definido por [f , g ] = rgf rfg = @g @x f (x) @f @x g (x)

El corchete de Lie se indica también de forma recursiva como ad_fkg (x) =hf , ad_fk 1g (x)i

para k 1, con ad0

(26)

Ejemplos: Corchete de Lie

Sea f (x) = 2 4 x1+ e x2_x₃ x1+2x3 sin x1 3 5 , g (x) = 2 4 00 1 3 5 , h(x) = x1+ x2 Determinar: [f , g] (x) y [f , adfg (x)] = [f , [f , g ]].

(27)

Tarea

Dado el sistema ˙x = f (x) + g (x)u y = h(x) = x1+ x2 con f (x) =  2x1+ ax2+sin x1 x2cos x1 g (x) =  0 cos(2x1) hallar L0 fh(x), Lfh(x), L2fh(x), LgLfh(x)y [f , g] (x).

(28)

Propiedades del Corchete de Lie

i.- bilinealidad:

[↵1f1+ ↵2f2, g ] = ↵1[f1.g ] + ↵2[f2, g ]

[f , ↵1g1+ ↵2g2] = ↵1[f , g1] + ↵2[f , g2]

donde f , f1, f2, g , g1, g2 son campos vectoriales suaves y ↵1, ↵2

cons-tantes escalares.

(29)

Propiedades del Corchete de Lie (cont.)

ii.- Anticonmutatividad

[f , g ] = [g , f ] –

iii.- Identidad de Jacobi

Ladfgh = LfLgh LgLfh

(30)

La identidad de Jacobi puede usarse recursivamente. Por ejemplo:

L_ad2

fgh = Ladf(adfg )h LadfgLfh

= Lf [LfLgh LgLfh] [LfLg LgLf] Lfh

= L2fLgh 2LfLgLfh + LgL2fh

Identidades análogas pueden obtenerse para corchetes de Lie de ma-yor orden.

(31)

Outline

(32)

Difeomorfismo

Definición

Una función :Rn_{! R}n_,_{derivada de una región ⌦, se llama}

Difeomorfismo si es suave, y su inversa ⌦ 1 _{existe y es suave. Si ⌦}

coincide conRn ₌_{) difeomorfismo global}

Sea (x) una función suave definida en una región ⌦ en Rn_{. Si}

la matriz Jacobiana r es no singular en un punto x = x0 de ⌦,

entonces (x) define un difeomorfismo local en una subregión de ⌦.

(33)

Un difeomorfismo puede utilizarse para transformar un sistema no lineal en otro, tal como se hace con sistemas lineales.

Considere el sistema descrito por

˙x = f (x) + g (x)u

y = h(x)

y sea z un nuevo conjunto de estados definido por z = (x). Entonces ˙z = @ @x ˙x = @ @x(f (x) + g (x)u).

(34)

Puede escribirse la nueva representación en espacio de estados como ˙z = f⇤(z) + g⇤(z)u

y = h⇤(z)

donde se ha utilizado x = 1_(z).

(35)

Linealización Exacta por Retroalimentación de Estado (Intro)

Observadores No Lineales de Estado (Intro)

Outline

(36)

Intro.: Linealización Exacta por Retro. de Edo.

(Linealización entrada-Estado)

Considere el sistema

˙x = f (x) + g (x)u (1)

y = h(x).

¿Existirá una ley de control por retro de estado u = ↵(x) + (x)v y un difeomorfismo

z = (x)

que transforme el sistema no lineal en uno linealequivalente?

˙x = A x + B v , v = K x.

(37)

Ejemplo: Linealización Exacta para el Péndulo

Considere el modelo del péndulo con x1= ✓ , x2 = ˙✓y T = u+Tss

dado como ˙x1 = x2 ˙x2 = a [sin (x1+ ) sin ] b x2+ c u si se elige u = a c [sin (x1+ ) sin ] + 1 cv para cancelar a [sin (x1+ ) sin ], entonces se llegará

˙x1 = x2

(38)

Ley de Control Linealizante y Estabilizante

Dado el sistema lineal

˙x1 = x2

˙x2 = b x2+ v .

Para este sistema lineal equivalente se puede diseñar v = K x = k1x1+ k2x2.

La ley total de control aplicada al sistema resultante está dada como

u = a

c [sin (x1+ ) sin ] +

1

c (k1x1+ k2x2) .

(39)

La Linealización por Retro No es Robusta

Considere el sistema dinámico nominal

˙x = x3+ u

y sea el sistema real

˙x = (1 ✏) x3+ u, ✏ >0.

Linealizar el sistema basándose en el sistema nominal. Entonces se perderá la estabilidad del sistema original cuando se linealice por retro de estado.

(40)

SL a partir de la Estructura del SNL

No se puede realizar la cancelación de las no linealidades para un sistema no lineal en general.

Por lo tanto, para lograr tener un sistema lineal equivalente a partir de uno no lineal, se requiere que este último, tenga ciertaestructura. La estructura es [1]

˙x = A x + B 1(x) [u ↵(x)] (2)

y la acción de control linealizante viene dada por u = ↵(x) + (x)v .

(41)

El SNL sin la Estructura

Suponga que el SNLno tiene la estructura de (2).

Bajo la condición anterior, no necesariamente implica que no se

pue-da linealizar por retroalimentación. Esto debido a queel modelo de

estado no es único.

Dependerá de la elección de las variables de estado, entonces para otra representación en variables de estado podría existir.

(42)

Ejemplo: Cambio de Variables de Estado

Sea el sistema

˙x1 = asin x2

˙x2 = x12+ u.

No se puede diseñar u tal que se cancele el término a sin x2.

Sin embargo, proponiendo el siguiente cambio de variables

z1 = x1

z2 = asin x2

(43)

se llega a ˙z1 = z2 ˙z2 = a cos x2 dx2 dt = a cos x2 x12+ u Seleccionando u = x2 1 +_a_{cos x}1 2v, para ⇡ 2 < x2 < ⇡ 2 se logrará la linealización. Expresando en términos de z

x1 = z1 x2 = sin 1⇣z_a2 ⌘ ˙z1 = z2 ˙z2 = acos h sin 1⇣z2 a ⌘i ⇥ z₁2+ u⇤

(44)

Sistema Linealizable Entrada-Estado

Definición

Un sistema no lineal

˙x = f (x) + g (x)u (3)

donde f : Dx ! Rn y g : Dx ! Rn⇥p son lo suficientemente suaves

sobre el dominio Dx ⇢ Rn, se dice serlinealizable entrada-estado si

existe un difeomorfismo : Dx ! Rn tal que Dz = (Dx) contiene

el origen y un cambio de variables z = (x) que transforma el sistema (3) en la forma

˙z = A z + B 1(x) [u ↵(x)] (4)

con (A, B) controlable y (x) no singular para todo x 2 Dx.

(45)

Condiciones de un Sistema Linealizable Entrada-Estado

Suponga que un sistema no lineal se puede linealizar por retro de estado. Dado z = (x), entonces

˙z = @ @x ˙x = @ @x [f (x) + g (x)u] . Si ˙z = A z + B 1_{(x) [u} _{↵(x)] = A (x) + B} 1_{(x) [u} _↵(x)]_, entonces @ @x [f (x) + g (x)u] = A (x) + B 1_{(x) [u} _↵(x)]

Por lo tanto, cualquier difeomorfismo (x) que transforma (3) a (4), debe satisfacer @ @xf (x) = A (x) B 1_(x)↵(x) ₍₅₎ @ @xg (x) = B 1_(x)

(46)

Comentarios

De esta manera, si existe para algunas ↵, , A y B, entonces el

sistema no lineal se puede linealizar por retro de estado. En

conse-cuencia, se puede deducir que el difeomorfismo no es único.

La existencia de , ↵, , A y B tal que se satisfagan las dos con-diciones previas, son concon-diciones necesarias y suficientes para que el sistema (3) sea linealizable entrada estado.

(47)

Matrices(A, B) forma Canónica Controlable

Sin perder generalidad, considérese el caso SISO y donde las matrices

Ay B se eligen con la forma canónica de controlabilidad, entonces

la transformación puede escribirse como [1]

(x) = 2 6 6 6 6 6 4 1(x) 2(x) ... n 1(x) n(x) 3 7 7 7 7 7 5 .

(48)

Matrices(A, B) forma Canónica Controlable

@ ₁(x) @x f (x) = 2(x) ... @ n 1(x) @x f (x) = n(x) @ n(x) @x f (x) = ↵(x)/ (x)

Note que las expresiones anteriores se determinan en función de

1(x).

(49)

Matrices(A, B) forma Canónica Controlable

La segunda igualdad dada en (5) queda expresada como

@ ₁(x) @x g (x) = 0 ... @ n 1(x) @x g (x) = 0 @ n(x) @x g (x) = 1/ (x) 6= 0

(50)

Matrices(A, B) forma Canónica Controlable

En resumen, teniendo(A, B) en la forma Canónica Controlable, 1(x)

debe satisfacer @ i(x) @x g (x) =0, i =1, 2, ..., n 1; @ n(x) @x g (x)6= 0 (6) donde i+1(x) = @_@xi(x)f (x).

Si se puede terminar 1(x) que satisfaga (6), entonces

(x) = 1

(@ n/@x) g (x);

↵(x) = (@ n/@x) f (x)

(@ n/@x) g (x)

Por lo que el problema queda resulto al determinar 1(x)que

satis-faga (6). Adicionalmente, se cumpla lacondición (0) = 0.

(51)

Ejemplo: Linealización entrada-estado

Considere el sistema

˙x1 = asin x2

˙x2 = x12+ u.

Así, f (x) =⇥asin x2, x12

⇤T

, mientras que g(x) = [0, 1]T_{. Por lo}

que se debe cumplir @ 1(x)

@x g (x) = @ ₁(x) @x2 =0 (i.e., 1(x1)), con 1(0) = 0; @ _@x2(x)g (x) = @_@x2(x) 2 6= 0 y 2(x) = @ ₁(x) @x f (x) = @ ₁(x) @x1 a sin x2. Entonces, @ 2(x) @x2 = @ ₁(x) @x1 acos x2 6= 0, esto es @ ₁(x) @x1 6= 0 y cos x2 6= 0, i.e., ⇣ x2< ⇡₂ ⌘ .

(52)

Ejemplo: Linealización entrada-estado

Proponiendo 1(x1) = x1, se llega a la solución propuesta en el

ejemplo anterior de linealización entrada-estado. Esto es: z1 = 1(x1) = x1

y

z2 = 2(x1) = a sin x2.

También podría ser 1(x1) = x1 + x13, dando por resultado una

transformación distinta pero igualmente valida.

Tarea:Revisar ejemplo 12.2 y 12.3 de Khalil, segunda edición.

(53)

Linealización Entrada-Salida

En ocasiones se está interesado en tener una realización lineal entre la entrada de un sistema no lineal con respecto a una determinada salida. A este problema se le llamalinealización entrada-salida. Para abordar este problema, se introducen los conceptos de grado relativo del sistema y dinámica cero.

Definición

Considere un sistema no lineal de orden n dado como ˙x = f (x) + g (x) u

y = h(x)

Elgrado relativo r del sistema se define como el número de veces que hay que derivar la salida y hasta que explícitamente aparece la entrada u.

(54)

Grado Relativo y Dinámica Cero

Determine el grado relativo del Oscilador de Van del Pol [1](pp. 549, pdf) cuando y = x1 y cuando y = x2.

¿Que pasa con la dinámica residual?

Si la dinámica resultante o residual, conocida como dinámica cero,

es estable, se dice que el sistema es defase mínima, de lo contrario, defase no mínima.

Tarea:Simular el convertidor Boost (modelo promediado) con salida

y = x1 (corriente), y posteriormente con salida y = x2 (voltaje).

Controlar el voltaje en ambos casos. (Usarcontrol por bloques) ˙x1 = x_L2u + E_L

˙x2 = _RCx2 +x_C1u.

(55)

Difeomorfismo para Grado Relativo r < n

Si al realizar la derivada de la salida de un sistema aparece alguna de las entradas y ésta es acompañada por un término g(x) 6= 0, entonces se puede realizar la linealización entrada-salida [1]. El difeomorfismo toma la forma z = (x) = 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 1(x) ... r(x) 1(x) ... n r(x) 3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 = 2 4 ⇠ ⌘ 3 5 = 2 4 Parte linealizable Diámica cero 3 5 donde @ i

@x g (x) =0 para 1  i  n r, 8x 2 Dx.La dinámica cero

(56)

Comentarios sobre Grado Relativo

Si el sistema no lineal y su salida tienen grado relativo r = n, entonces el sistema es linealizable entrada-estado y linealizable entrada-salida [1].

Si r < n, entonceshay dinámica cero. Una forma de avaluar la esta-bilidad de la dinámica cero es proponiendo una función de Lyapunov y verificar su estabilidad (no siempre es sencillo diseñar la función de Lyapunov); otra forma sería linealizar la dinámica cero y analizar su estabilidad con mediante métodos utilizados en sistemas lineales, siendo local el resultado.

(57)

Ejemplo: Linealización Entrada-Salida

Considere el sistema [3] ˙x = 2 4 x1xx12 x2 3 5 + 2 4 e x2 1 0 3 5 u y = h(x) = x3

Determine el difeomorfismo para representar el sistema con su parte linealizable ⇠ y su dinámica cero ⌘.

SOL:Considere z = (x) =⇥ 1(x) 2(x) 1(x) ⇤, donde 1(x) =

h(x), 2(x) = Lfh(x),

@ ₁

(58)

Ejemplo: Linealización Entrada-Salida

Considerando (0) = 0, se tiene 1(x) = h(x) = x3, 2(x) = Lfh(x) = x2, mientras que @ ₁ @x g (x) = @ ₁ @x₁ e x2₊@ 1 @x₂ =0.

Eligiendo 1(x) = x1 ex2+1, se cumple la restricción anterior, y se

satisface que (0) =⇥ 1(0) 2(0) 1(0) ⇤=0. Adicionalmente,

el Jacobiano resulta en @ (x) @x = 2 4 00 01 10 1 ex2 ₀ 3 5

el cual es no singular para todo x, resultando en una transformación global.

(59)

Ejemplo: Linealización Entrada-Salida

Finalmente el sistema transformado resulta en ˙z1 = z2

˙z2 = ( 1 + z3+ ez2) z2+ u

(60)

Controlabilidad para Sistemas No Lineales

La prueba de controlabilidad débil (local) se resume como

1 Sea la matriz de control g(x) =⇥ _b₁ _b₂ _{· · · b}_m ⇤and

0 = span{g(x)} = span (bi) , 1  i  m.

2 Let ₁ ₌ ₀_{+ [f (x), b}_i_{] + [b}_j_{, b}_i_{] ,} 1  j  m, donde

[f (x), b] es el corchete de Lie, donde la notacion + indica la suma de spans.

3 Sea _k ₌ _k ₁_{+ [f (x), d}_j_{] + [b}_i_{, d}_j_{] ,} 1  i 

m, 1  j  n, donde dj es una base para k 1.

4 La prueba termina cuando _k+1 ₌ _k. Finalmente, un

sistema es débilmente controlable si

rank{ C} = rank { k} = n 8x.

(61)

Ejemplo: Controlabilidad para Sistemas No Lineales

Considere el oscilador de Van der Pol

˙x1 = x2

˙x2 = x1+ 1₂ 1 x12 x2+ x1u. (7)

La controlabilidad débil resulta en

0 =  0 x1 C = 1 = 0+ [f (x), g (x)] = " 0 x1 x1 x2+1₂ 1 x12 x1 #

(62)

Outline

(63)

Observabilidad para Sistemas No Lineales

Para el caso lineal hay que verificar que la siguiente matriz O = ⇥

c cA · · · cAn 1 ⇤T sea de rango completo.

Para un sistema no lineal [5]

˙x = f (x)

y = h(x)

la generalización de observabilidad es que la siguiente matriz sea de rango completo para todo x:

O , @ @x 2 6 6 6 4 h(x) Lfh(x) ... Ln_f 1h(x) 3 7 7 7 5.

(64)

Sistema Transformado (cont.)

Para el sistema transformado lineal, se puede diseñar un observador para estimar ˆz tal que kˆz zk ! 0 cuando t ! 1.

Dado que es el difeomorfismo

ˆ

x, 1(ˆz)

entonces se tendría un observador para el sistema no lineal.

(65)

Controlabilidad, Observabilidad y Linealización

Teorema

Considere el sistema no lineal ˙x = f (x) + g(x)u y sea (xe, ue)un

PE. Asuma una región U que contiene al PE. Si sistema linealizado a partir del no lineal en el PE es controlable, entonces hay una región donde el sistema no lineal eslocalmentecontrolable. El mismo concepto se puede aplicar para observabilidad.

Comentarios finales: el diseño de observadores para sistemas no li-neales, es un problema en general difícil, pero hay ciertas clases de sistemas para los cuales se tienen resultados para hacer diseño.

(66)

[allowframebreaks]For Further Reading

H. Khalil,

Nonlinear Systems,

Prentice-Hall, 2002. J-J. E. Slotine and W. Li,

Applied Nonlinear Control,

Prentice-Hall, 1991. A. Isidori,

Nonlinear Control Systems,

Springer-Verlag, 1995. M. Vidyasagar,

Nonlinear Systems Analysis,

Prentice-Hall, 1993. C. E. D’Attellis,

Introducción a los Sistemas No Lineales de Control y sus Aplicaciones,

AADECA, 1992. S. H. Strogatz,

Nonlinear Dynamics and Chaos,

Perseus Publishing, 2002. S. Someone.

On this and that.

Journal on This and That. 2(1):50–100, 2000.