DIBUJO TÉCNICO II ÍNDICE:

ÍNDICE:

TEMA I: LUGARES GEOMÉTRICOS Y PROPORCIONALIDAD...3

1.1.: LUGAR GEOMÉTRICO...3

1.2.: PROPORCIONALIDAD: TEOREMA DE THALES...4

1.3.: MEDIA PROPORCIONAL...4

1.4.: TERCERA PROPORCIONAL...5

1.5.: CUARTA PROPORCIONAL...5

1.6.: SECCIÓN AÚREA...6

TEMA II: LA CIRCUNFERENCIA...7

2.1.: ÁNGULOS DE LA CIRCUNFERENCIA...7

2.2.: ARCO CAPAZ...8

2.3.: POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO A UNA CIRCUNFERENCIA...9

2.4.: EJE RADICAL...9

2.5.: RECTIFICACIONES DE ARCOS Y CIRCUNFERENCIAS...12

TEMA III: CONSTRUCCIONES POLIGONALES...13

3.1.: PUNTOS Y RECTAS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO...14

3.2.: POLÍGONOS REGULARES...15

3.3.: EQUIVALENCIA DE FIGURAS PLANAS...17

TEMA IV: TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS...18

4.1.: HOMOGRAFÍAS Y HOMOLOGÍA...19

4.2.: LA INVERSIÓN...23

TEMA V: TANGENCIAS...25

5.1.: ESTUDIO SISTEMÁTICO DE TANGENCIAS...26

TEMA I: LUGARES GEOMÉTRICOS Y PROPORCIONALIDAD.

1.1. LUGAR GEOMÉTRICO:

Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que satisfacen determinadas condiciones o propiedades geométricas.

* Así, por ejemplo, la MEDIATRIZ de un segmento se definiría como el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de dos puntos fijos, extremos del segmento.

Traza la mediatriz del segmento AB:

* La BISECTRIZ de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de dos rectas.

Traza la bisectriz del ángulo “rs”:

Cuando las rectas “r” y “s” no se cortan dentro de los límites del dibujo realizaremos el siguiente trazado:

Traza la bisectriz del ángulo “rs”:

1.2.: PROPORCIONALIDAD: TEOREMA DE THALES.

Este teorema geométrico nos dice que dadas dos rectas convergentes cualesquiera cortadas por secantes paralelas, los segmentos determinados en una de ellas son proporcionales a los segmentos determinados en la otra:

División de un segmento en partes iguales basada en el teorema de Thales:

1.3.: MEDIA PROPORCIONAL:

Dados dos segmentos “a” y “b” se llama MEDIA PROPORCIONAL de ambos (“x”) a aquel que cumple la siguiente proporción:

a x=

x b→ x

2_{=a×b → x=√a×b}

Tenemos dos trazados gráficos para hallar la media proporcional de dos segmentos. Ambos se basan en dos teoremas formulados por Pitágoras:

TEOREMA de la ALTURA (en todo triángulo rectángulo, la altura -x- relativa a la hipotenusa es la media proporcional o geométrica de las dos proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa: a y b). (1)

(1) Teorema de la altura: (1) Demostración matemática:

(a+b)2_=c2_+d2_{= x}2_+b2_{+ x}2_+a2_=2x2_+b2_+a2

a2_+2ab+b2_=2x2_+b2_+a2_{→ x}2_=a×b

(2) Teorema del cateto: (2) Demostración matemática:

a2 =x2 + y2 → y2 =a2 −x2 x2 =b2 +h2 → h2 =x2 −b2 y2=(a−b)2 +h2 a2 −x2 =(a−b)2 + x2 −b2 a2−x2 =a2 −2ab+b2 + x2 −b2 −2x2_{=−2ab → x}2_=a×b

1.4.: TERCERA PROPORCIONAL:

Dados dos segmentos “a” y “b” llamamos tercero proporcional (“x”) a aquel que cumple la siguiente proporción:

a b=

b x

1.5.: CUARTA PROPORCIONAL:

Dados tres segmentos “a”, “b” y “c” llamamos cuarto proporcional (“x”) a aquel que cumple la siguiente

proporción:

a b=

c x

1.6.: SECCIÓN AÚREA:

Esta es una proporción de gran importancia en la historia de las artes desde la época clásica. Tal vez se deba a que el valor de esta proporción (Φ) número sagrado de los griegos, posee asombrosas propiedades matemáticas (aritméticas, algebráicas o geométricas):

Φ=1,618

Φ

2

=2,618

1

Φ =0,618

Dos segmentos “a” y ”b” se dice que tienen una proporción aúrea cuando el segmento menor es al mayor como el mayor es a la suma de los dos, es decir, siendo “a” mayor que “b”:

b

a

=

a

a

+b

El valor numérico de la proporción es constante y lo determinamos así: b a= a a+b → b×(a+b)=a 2 → a2 −b2 −ab=0 →

a

2

−b

2

−ab

b

2

=

0

b

2

→(

a

b

)

2

−(

a

b

)−1=0 →

a

b

=

√

5

+1

2

=1,618 (ϕ)

Si multiplicamos la equaciónϕ2=ϕ+1 por ϕn−2 , obtendremos

ϕ

n

=ϕ

n−1

+ϕ

n−2 lo cual quiere decir que en cualquier progresión o serie de términos que tenga Φ por razón entre dos téminos sucesivos, cada término es igual a la suma de los dos anteriores (de ahí la fácil obtención gráfica de una serie conociendo dos términos sucesivos y mediante movimientos de compás):

OTRAS OBTENCIONES GRÁFICAS:

Dado un segmento AB determinar su división aúrea: Dado un segmento AB determinar un punto C que cumpla la proporción indicada:

TEMA II: LA CIRCUNFERENCIA.

La circunferencia se define como el lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan de un punto fijo (centro de la circunferencia).

2.1.: ÁNGULOS DE LA CIRCUNFERENCIA:

ÁNGULO CENTRAL ÁNGULO INSCRITO 1 ÁNGULO INSCRITO 2 ÁNGULO INSCRITO 3

Cuyo vértice coincide con el centro de la circunferencia.

Con el vértice sobre la circunf. y los lados cuerdas de ella.

̂V=AOB₂̂

El valor de los ángulos inscritos es igual a la mitad del central correspondiente:

̂V=AOB₂̂

̂V= ̂AVC− ̂BVC=AOC₂̂ −BOC₂̂ =AOB₂̂

ÁNGULO SEMINSCRITO ÁNGULO INTERIOR ÁNGULO EXTERIOR ÁNG. CIRCUNSCRITO

Igual que el inscrito pero con uno de sus lados tangente a la circunferencia.

̂V=AOB̂ 2

El que tiene su vértice en el interior de la circunferencia. Su valor es la semisuma de los centrales correspondientes:

̂V=A´ ̂BB ´+ A ̂A ´ B=A ´ ̂OB´₂ +AOB₂̂ →A´ OB´+AOB

2

El que tiene su vértice en el exterior de la circunferencia. Su valor es igual a la semidiferencia de los centrales.

̂V=A´ ̂BB ´−A ̂A ´B=A ´ ̂OB´₂ −AOB₂̂ →A´ OB´−AOB

2

Caso límite del ángulo exterior con sus lados tangentes a la

circunferencia.

̂V=ARS− ̂̂ ASR 2

2.2.: ARCO CAPAZ:

Se llama ARCO CAPAZ de un segmento AB para un ángulo dado,

_α

, al lugar geométrico de los puntos del plano desde los que se ve el segmento AB fijo bajo dicho ángulo. a

Este lugar es un arco de circunferencia que tiene por extremos los del segmento.

TRAZADO DEL ARCO CAPAZ:

1. Trazamos la mediatriz del segmento AB. 2. Llevamos a partir de uno de los extremos

del segmento AB el ángulo dado:

_α

3. Por el mismo extremo se traza una

perpendicular a esta línea recién trazada hasta que corte a la mediatriz del

segmento.

4. Este punto de intersección es el centro del arco capaz que trazaremos hasta los extremos A y B.

Este es el lugar geométrico buscado pues desde cualquier punto del arco AB el

segmento se ve desde un ángulo AVB cuyo valor es la mitad del central correspondiente.

Si se completa el arco de centro “O” por el otro semiplano de AB, se obtiene el arco capaz para el ángulo suplementario de

_α.

De lo anterior se deduce que el arco capaz para un ángulo de 90o _{será siempre una semicircunferencia o,}

lo que es lo mismo, que cualquier triángulo inscrito en una semicircunferencia con un lado en su diámetro será un triángulo rectángulo.

2.3.: POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO A UNA CIRCUNFERENCIA:

Se llama potencia de un punto “P” respecto a una circunferencia, situados ambos en el mismo plano, al producto de los segmentos determinados por dicho punto y los de intersección con la circunferencia de cualquier secante a ella trazado por “P”. La potencia es constante e

independiente de la secante elegida.

Los triángulos P-A1-B2 y P-A2-B1

son semejantes pues en ambos casos tienen ángulos iguales en “P” y en A2 y B2 por ser ángulos

inscritos en el mismo arco A1-B1,

por lo tanto. PA₁ PB₂= PB₁ PA₂→ PA_1×PA₂₌PB_1×PB₂ VALOR DE LA POTENCIA:

Cogemos una secante cualquiera, por ejemplo la que pasa por el centro:

- POTENCIA = (d-r) x (d+r) = (d2 _{– r}2₎

- Cuando “P” es exterior la potencia es positiva pues d>r.

- Cuando “P” es interior la potencia es negativa pues d<r.

- Si “P” pertenece a la circunferencia la potencia es 0 (PA1 x PA2 = 0 x PA2 = 0).

SEGMENTO REPRESENTATICO DE LA POTENCIA:

- Si “P” es exterior el punto “T” es la situación límite de la secante, cuando A1 y A2 coinciden:

POTENCIA = PA1 x PA2 = PT x PT = PT2

(PT2 _{= d}2 _{– r}2_).

- Si “P” es interior, el segmento “h” (=HP), semicuerda normal al diámetro que pasa por “P”, es media proporcional entre PB y PA, dado que el triángulo HAB será rectángulo en ”H” y por lo tanto:

h2 _{= -PA x PB = -(d+r) x (d-r) = d}2 _{– r}2

2.4.: EJE RADICAL:

Se llama eje radical de dos circunferencias al lugar geométrico de los puntos del plano que las contiene que tienen la misma potencia (variable para cada punto) respecto a ambas.

El eje radical de dos circunferencias es una recta perpendicular a la recta que une los centros. A continuación veremos su obtención en diferentes casos:

EJE RADICAL DE DOS

CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES: Trazamos una de las tangentes

exteriores a a ambas circunferencias y por su punto medio (“P”), que tiene la misma potencia con respecto a ambas, dibujamos la perpendicular a la recta que une los centros (O1 y O2).

Esta recta será el eje radical de las dos circunferencias.

OTRO MÉTODO PARA EL EJE RADICAL DE DOS

CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES: Trazamos una circunferencia auxiliar (Ca ) que sea secante a las dadas (O1 y

O2) y obtenemos los dos respectivos

ejes radicales que se cortan en el punto “P” y, por él, trazamos la perpendicular a O1 y O2 que será el eje radical de las

dos circunferencias iniciales.

EJE RADICAL DE DOS

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES O INTERIORES:

El eje radical será la tangente común a ambas circunferencias pues el punto de tangencia es el que tiene potencia nula para ambas.

EJE RADICAL DE DOS

CIRCUNFERENCIAS SECANTES: El eje radical pasará por los puntos de intersección de ambas circunferencias puesto que ambos tienen potencia nula.

EJE RADICAL DE DOS

CIRCUNFERENCIAS INTERIORES: Trazamos una circunferencia auxiliar (Ca ) que sea secante a las dadas (O1 y

O2) y obtenemos los dos respectivos ejes

radicales que se cortan en el punto “P” y, por él, trazamos la perpendicular a O1

y O2 que será el eje radical de las dos

circunferencias iniciales.

CENTRO RADICAL DE TRES CIRCUNFERENCIAS:

Se llama “centro radical de tres circunferencias al ponto que tiene las misma potencia para las tres. Para hallarlo trazamos una circunferencia auxiliar (Ca ) que sea secante a las

dadas (O1 , O2 y O3). Obtenemos los

tres respectivos ejes radicales que se cortan en los puntos “P” y “Q” por los que trazaremos las perpendiculares a O1 - O2 y a O2 - O3 que serán los ejes

radicales en ambos casos y que se cortan en el punto que es el centro radical de las tres circunferencias iniciales pues tiene la misma potencia con respecto a ellas.

CASO PARTICULAR CON LAS

CIRCUNFERENCIAS CONCÉNTRICAS: Vemos que en este caso los ejes radicales auxiliares resultan paralelos y su

intersección “P” se aleja hasta el infinito (punto impropio) independientemente de la secante utilizada.

La solución sería, por lo tanto, la recta del infinito o impropia del plano que contiene a las circunferencias.

2.5.: RECTIFICACIONES DE ARCOS Y CIRCUNFERENCIAS:

Rectificar una curva es hallar gráficamente un segmento que tenga la misma longitud que dicha curva. Para la rectificación de la circunferencia y arcos de la misma existen diferentes métodos pero vamos a estudiar uno que, con algunas especificaciones, nos puede servir para todos los casos:

Rectificación de un arco MN:

1. En el caso de que no se encuentre ya localizado, hallamos el centro del arco MN mediante la intersección de las mediatrices de la cuerda y semicuerda del arco. 2. Trazamos la circunferencia que completa el arco MN. 3. Por uno de los extremos del arco (M) trazamos un

diámetro y una perpendicular a él (r).

4. Prolongamos este diámetro y llevamos sobre esta prolongación 3/8 de la longitud del diámetro hasta el punto “Q”.

5. Unimos este punto “Q” con el otro extremo del arco (N) y la intersección de esta recta con “r” nos define el punto “P”.

6. El segmento MP es la rectificación del arco MN.

Caso particular:

Lógicamente este método no es aplicable cuando el arco MN tiene su punto “N” más cerca de “Q” que el de la tangente a la circunferencia trazada desde “Q” (como podemos comprobar en el caso del ángulo α del trazado del apartado anterior). En este caso dividiremos el arco MN en dos de menor medida (por ejemplo restándole 90o_{) y rectificando ambos por separado}

sobre la misma recta “r”.

Rectificación de arcos de 180o _y

360o_:

De lo anterior podemos deducir cómo se rectificaría un ángulo de 180 (sumando las respectivas rectificaciones de 90o _{sobre la}

recta) y una circunferencia completa.

Otro método de rectificación de una circunferencia.

3.1.: PUNTOS Y RECTAS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO:

1. BISECTRICES: Son las rectas que dividen los ángulos de un triángulo en dos ángulos iguales y cuyos puntos equidistan de los lados de dicho ángulo. Se cortan en in punto llamado INCENTRO (centro de la

CIRCUNFERENCIA INSCRITA pues está a la misma distancia de los tres lados).

2. BISECTRICES EXTERIORES: Son las que bisecan los ángulos exteriores del triángulo. Se cortan dos a dos dando tres

EXICENTROS (centros de las tres CIRCUNFERENCIAS EXINSCRITAS). 3. MEDIATRICES: Son las mediatrices de los

tres lados del triángulo, por lo tanto sus puntos equidistan de los extremos de dichos lados. Se cortan en un punto llamado

CIRCUNCENTRO (centro de la

CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA pues equidista de los tres vértices del triángulo). 4. MEDIANAS: Son las rectas que unen los

vértices del triángulo con los puntos medios de los lados opuestos. Se cortan en un punto llamado BARICENTRO. Cumplen dos

propiedades:

- Que si unimos los pies de las medianas obtendremos un triángulo cuyos lados son paralelos a los del ABC con la mitad de su medida.

- Que la distancia del baricentro a un vértice es igual a dos tercios de la medida total de la mediana

correspondiente.

5. ALTURAS: Son las perpendiculares trazadas desde cada vértice al lado opuesto. Se cortan en un punto llamado ORTOCENTRO y si unimos los pies de las tres alturas obtenemos el llamado TRIÁNGULO ÓRTICO.

6. CEVIANAS: Son cualquier recta que una un vértice con un punto cualquiera del lado

3.2.: POLÍGONOS REGULARES:

Se llaman Polígonos Regulares a aquellos en los que todos sus lados y sus ángulos son iguales. Existen muy variados métodos particulares para obtener los diferentes polígonos regulares a partir de la medida de la circunferencia que los circunscribe o la medida de su lado. Solo hablaremos de los más sencillos de estos métodos particulares y de dos métodos generales para dibujarlos.

Construcciones simples a partir del radio de la circunferencia que los circunscribe:

TRIÁNGULO CUADRADO OCTÓGONO HEXÁGONO

Construcciones simples a partir del lado del polígono. Recuerda que el hexágono es el único polígono regular en el que coincide la medida de su lado con la del radio de la circunferencia que lo circunscribe:

TRIÁNGULO CUADRADO HEXÁGONO

MÉTODO GENERAL DE DIVISIÓN DE UNA CIRCUNFERENCIA EN PARTES IGUALES O DE INSCRIBIR UN POLÍGONO REGULAR EN ELLA:

1. En este método se trata de dividir la circunferencia en tantas partes iguales como deseemos (o lados haya de tener el polígono). Para ello empezamos por dividir su diámetro vertical en ese número de partes. Luego hacemos los dos arcos con centro en los extremos del diámetro y su medida como radio y el punto donde se corten lo unimos con la segunda división (siempre, independientemente del número de partes en que lo hayamos dividido). Ya tenemos el lado del polígono (en el ejemplo: pentágono) y solo nos queda transportarlo sobre la circunferencia.

2. Este mismo método puede adaptarse a cuando el dato inicial es la medida del lado del polígono pues basta con dividir una circunferencia cualquiera en el número de lados que haya de tener el polígono (pentágono en el ejemplo), dibujar los radios y llevar entre dos de ellos la medida dada (AB) de la manera en que se indica en el ejemplo. Al hallar este punto ya tenemos el radio de la circunferencia del polígono buscado y sus vértices en las intersecciones de ésta con los radios.

MÉTODO GENERAL DADO EL LADO DEL POLÍGONO (AB):

A partir de la medida del lado (AB), buscamos el centro de la circunferencia de radio AB (donde esta medida cabrá seis veces) y el diámetro vertical lo dividimos desde abajo en doce partes iguales que serán los respectivos centros de los polígonos regulares de ese número de lados.

En este ejemplo se construye un pentágono tomando como centro de la circunferencia (que lo circunscribirá) la división número 5 y radio hasta los extremos A o B. Después se t r a s l a d a l a m e d i d a A B s o b r e e s t a circunferencia.

CASO PARTICULAR:

Solo estudiaremos un caso particular del trazado de un pentágono a partir de su lado (AB) ya que este caso utiliza la relación aúrea que existe entre la diagonal de un pentágono y su lado.

Para ello determinaremos primero la medida de la diagonal (según hemos estudiado antes) y

trazaremos dos arcos con este radio desde los puntos A y B que se cortan en el vértice superior. Luego basta con trazar los arcos de medida AB que

POLÍGONOS REGULARES ESTRELLADOS:

Los polígonos regulares estrellados son aquellos en los que sus vértices no se unen de uno en uno sino de dos en dos (razón = 2), de tres en tres (razón = 3), etc... En los ejemplos anteriores vemos un pentágono estrellado de razón dos y un heptágono estrellado de razón 3. Dependiendo del número de lados y de la razón usada volveremos al punto de partida al final u obtendremos dos polígonos con la mitad de lados.

3.3.: EQUIVALENCIA DE FIGURAS PLANAS:

La EQUIVALENCIA es una transformación anamórfica que relaciona figuras o polígonos que poseen la misma área o superficie.

HALLAR EL POLÍGONO EQUIVALENTE A OTRO CON UN NÚMERO MENOR DE LADOS:

- Si queremos, por ejemplo, transformar el cuadrilátero ABCD en un triángulo equivalente basta con trazar una diagonal del cuadrilátero y una paralela a ella por uno de sus vértices (D) y comprobaremos que todos los posibles triángulos con un vértice sobre esta paralela son equivalentes entre sí pues comparten la base (AC) y la altura (h). Prolongamos, por lo tanto, el lado AB hasta que corte a la paralela a la diagonal y obtenemos el punto “E” que convierte el cuadrilátero inicial en un triángulo equivalente.

TRANSFORMAR UN RECTÁNGULO EN UN

CUADRADO EQUIVALENTE:

- Dado un rectángulo ABCD sabemos que su área es el producto de sus lados (AB x BC) por lo tanto un cuadrado equivalente será aquel cuyo lado sea la media proporcional entre AB y BC (BE).

TRANSFORMAR UN RECTÁNGULO EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO EQUIVALENTE:

Tenemos más de una forma de hacerlo sabiendo que el área del triángulo es base por altura dividido entre 2.

- Obtenemos el triángulo ABE tomando como base AB y duplicando la altura BC hasta el punto “E”.

- Obtenemos el triángulo BCF o bien manteniendo la altura (BC) y duplicando la base AB (FB) o aplicando el trazado explicado en el primer trazado de este apartado.

TEMA IV: TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS.

4.1.: HOMOGRAFÍAS Y HOMOLOGÍA:

Se denomina HOMOGRAFÍA a cualquier transformación proyectiva que establece una correspondencia entre dos formas geométricas, de modo que a un elemento, punto o recta, de una de ellas le corresponde otro elemento de la misma especie, punto o recta, de la otra. Son transformaciones homográficas: la traslación, las simetrías, el giro, la homotecia, así como la homología y su caso particular la afinidad que a continuación vamos a estudiar. L a HOMOLOGÍA en el plano es una transformación homográfica que se genera a partir de secciones de proyecciones. Tiene una aplicación directa en los abatimientos y secciones planas en el sistema diédrico.

Dos figuras planas secciones de una misma radiación se llamas homólogas u homológicas y cumplen siempre estas dos leyes (tanto en el espacio como en el plano, tras abatir):

1. Dos puntos homólogos están alineados con un punto “O” (centro de homología) vértice del haz de rayos proyectantes. Dicho centro se considera un punto doble en la homología (coincide con su homólogo).

2. Las rectas homólogas se cortan en puntos de la misma recta “e” (eje de homología) intersección de los planos que contienen y generan las dos figuras. Todos los puntos del eje son “dobles” (coinciden con su homólogo). Si una recta es paralela al eje, su homóloga también lo será pues ambas se encontrarán en el punto impropio de dicho eje (en el infinito).

ELEMENTOS QUE DETERMINAN UNA HOMOLOGÍA:

El centro, eje y un par de puntos

RECTAS LÍMITE EN UNA HOMOLOGÍA:

En homología se pueden calcular los puntos homólogos de los puntos impropios o del infinito de los planos que determinan las figuras

homólogas (Π Φ Π´).

Estos puntos forman las RECTAS LÍMITES (RL y RL´), una de cada plano.

Así pues existen dos rectas límites que son paralelas al eje y la distancia de una de ellas al eje de homología ha de ser la misma que la de la otra al centro de homología. Esto podemos comprobarlo en el trazado adjunto donde, al abatir el plano Π Φ el centro “O” sobre el Π´, vemos la posición relativa que toman ambas.

En este trazado vemos cómo se hallan ambas rectas límite en una homología. Primero determinamos la dirección de los puntos impropios de, por ejemplo, las rectas BC y B´C´ (P∞ y Q´∞ respectivamente) y trazamos paralelas a ellas por el centro “O” (ya que sus homólogos han de estar alineados con estos puntos impropios y “O”). Si “P∞” está en la recta AB su homólogo “P´” estará en A´B´. Así obtenemos “P´” y por él trazamos una paralela al eje que será RL´. Procedemos igual para hallar “Q” y la recta RL. Observa el romboide que se forma entre O, Q, P´ y el punto del eje donde se cortan AB y A´B´.

Una homología también puede quedar definida por una recta límite sustituyendo a cualquiera de los elementos necesarios antes citados (el centro, eje y un par de puntos o rectas homólogas) ya que, de hecho, una recta límite equivale a un par de rectas homólogas pues siempre se conoce la recta impropia (su homóloga). Reproduce el trazado y después determina la otra recta impropia (RL´):

Se denomina HOMOLOGÍA INVOLUTIVA a aquella en la que el centro “O” equidista de los planos Π Φ Π´y, por lo tanto, las rectas límites se confunden y son la paralela media entre el centro y el eje (A) o, si abatimos en sentido contrario, el centro se sitúa sobre el eje y las rectas límites equidistan del eje y el centro (B). Halla la figura homóloga del triángulo ABC en los dos casos:

HOMOLOGÍAS ESPECIALES:

Cuando en una homología el centro y/o el eje son impropios se dan las llamadas homologías especiales en las que se cumplen las mismas leyes de la homología:

AFINIDAD OBLICUA

Cuando el centro “O” está en el infinito las rectas que unen pares de puntos homólogos son paralelas entre sí formando con el eje un ángulo distinto de 90o_.

AFINIDAD ORTOGONAL

Las rectas que unen puntos homólogos forman con el eje un ángulo de 90o_{. Esta homología tiene para}

nosotros una importancia fundamental pues es la que se da en sistema diédrico entre una figura en el espacio y sus proyecciones vertical y horizontal.

HOMOTECIA

Cuando el centro eje está en el infinito (porque los

TRASLACIÓN

4.2.: LA INVERSIÓN:

Se dice que dos puntos son INVERSOS cuando cumplen las siguientes condiciones: 1. Estar alineados con un punto fijo “C”, llamado CENTRO de INVERSIÓN.

2. Que el producto de las distancias de los puntos inversos al centro de inversión sea una constante (k), llamada POTENCIA de INVERSIÓN.

Relacionando esto con la “Potencia de un punto respecto a la circunferencia” deducimos que:

* Dos pares de puntos inversos son concíclicos, es decir pertenecen a la misma circunferencia. Así si tenemos el centro de inversión y dos puntos inversos (A y A´) y queremos hallar el inverso de otro punto B, bastará con trazar la circunferencia que pase por los tres puntos dados y su intersección con la recta que une B con el centro de inversión nos dará el punto B´(inverso de B).

Con una inversión positiva (k>0): Con una inversión negativa (k<0):

Y cuando los tres puntos se encuentran alineados podemos relacionarlo con la “Media proporcional” para obtener el inverso de B (B´).

Con una inversión positiva (k>0): Con una inversión negativa (k<0):

* La figura inversa de una circunferencia que pasa por el centro de inversión es una recta que no pasa por dicho centro y es perpendicular a la recta que une el centro de la circunferencia con el de inversión. Asimismo podemos decir que la figura inversa de una recta es un circunferencia que pasa por el centro de inversión y tiene su centro en la perpendicular a la recta desde él.

*L a f i g u ra i nv ers a d e u n a circunferencia que no pasa por el centro de inversión es otra circunferencia que tampoco pasa por él.

Observa que aunque su forma es homotética la correspondencia entre sus puntos no es la habitual, salvo en el caso de los puntos de tangencia (A y A´). Tampoco son inversos los centros.

* Se llama Circunferencia de Autoinversión (Ca) a

aquella cuyos puntos son todos inversos de sí mismos, es decir que su distancia al centro de inversión es √k.

Se llaman Circunferencias Dobles las que están compuestas por pares de puntos inversos. El centro de inversión puede estar dentro, fuera de ellas o coincidir con su centro y su potencia puede ser positiva o negativa:

CONSERVACIÓN DE LOS ÁNGULOS EN LA INVERSIÓN:

Los ángulos formados por dos líneas que se cortan (rectas o curvas) y por sus inversas son iguales. Se entiende que el ángulo entre dos curvas es el formado por sus tangentes en el punto donde se cortan.

TEMA V: TANGENCIAS.

Comenzaremos por repasar algunos conceptos básicos en las tangencias:

Dos circunferencias tangentes exteriores tienen sus centros alineados con el punto de tangencia.

Dos circunferencias tangentes interiores tienen también sus centros alineados con el punto de tangencia.

El punto de tangencia entre una circunferencia y una recta se halla en la perpendicular a la recta trazada por el centro.

Todas las circunferencias de radio ”R” tangentes a una recta tienen sus centros sobre una paralela a ella a la distancia “R”.

Todas las circunferencias de radio dado (R 2) tangentes exteriores a

otra (R1 ) tienen sus centros en una

circunferencia de radio R1 +R2 .

Todas las circunferencias de radio dado (R 2) tangentes interiores a otra

(R1 ) tienen sus centros en una

circunferencia de radio R2 -R1. Aplicando lo que hemos aprendido en las unidades anteriores podemos solucionar un caso de tangencias con diferentes métodos: DILATACIÓN, RADICALIDAD o INVERSIÓN. Veamos un ejemplo: traza las circunferencias tangentes a otra (O) y a una recta (r) en un punto (P) de ella.

Como los centros buscados han de estar en la perpendicular a “R” por “P”, desplazamos sobre ella la medida “R” que hemos restado a la circunferencia dejándola reducida a su centro “O”. Las mediatrices de O-(P+r) y O-(P-r) nos darán O1 y O2 .

Trazamos una circunferencia auxiliar con centro sobre la perpendicular a “r” por “P” y determinamos el centro radical de las soluciones y la dada (√k) que nos da en ella los puntos T1 y T2 y

uniéndolos con “O” los centros.

Considerando la circunferencia y recta dadas figuras inversas (positivamente con C1 y

negativamente con C2 ) basta con

hallar en cada caso los puntos inversos de “P” (T1 y T2).

5.1.: ESTUDIO SISTEMÁTICO DE TANGENCIAS:

El estudio sistemático de tangencias es un conjunto de casos que relacionan tres variables: (P) un punto, (R) una recta y (C) una circunferencia, en diez casos de los que estudiaremos los ocho primeros:

1. PPP: Circunferencia que pasa por tres puntos dados. (Caso ya estudiado).

2. PPR: Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una recta.

Por los puntos “A” y ”B” pasará el eje radical de todas las circunferencias que pasen por ellos (incluidas las soluciones) que cortará a “r” (eje radical de las circunferencias tangentes a ella) en el punto “CR “. Tomamos una circunferencia auxiliar que pase por “A” y “B” y determinamos la potencia (√k) que tiene con respecto a ella el punto “CR”. Esta medida la tomamos como radio para, con centro en “CR”, encontrar los puntos T1 y T2.

Después trazando las perpendiculares a “r” por estos puntos encontramos O1 y O2 en sus intersecciones con la

mediatriz de AB.

4. RRR: Circunferencias tangentes a tres rectas (4 soluciones ya vistas

en “Triángulos”).

5. PPC: Circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a otra:

La recta que une “A” y ”B” será el eje radical de todas las circunferencias que pasen por ellos (incluidas las dos soluciones). Tomamos una circunferencia auxiliar que pase por “A” y “B” y hallamos el punto “CR” (intersección de los ejes radicales). Determinamos la potencia (√k) que tiene con respecto a la centro “O” y ya encontramos

T1. Esta medida (√k) la tomamos como radio para, con centro en “CR”, encontrar el punto T2. Hallamos O1 y O2

en las intersecciones de la mediatriz de AB con los radios de “O” trazados por los puntos de tangencia.

6. PRC: Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a otra

y a una recta.

Obtenemos dos soluciones (O1 y O2) cuando consideramos a la circunferencia “O” y a la recta “r” inversos con

centro de inversión C1. Como las soluciones tienen que tener un punto en cada una de ellas (T) habrán de ser

“dobles” y si pasan por “P” también tendrán que pasar por su inverso “P´”, Lo hallamos con los puntos inversos 1 y 1´. Reducimos el caso a PPR. (Observa que los puntos de tangencia de cada solución son inversos).

Las otras dos posibles soluciones (O3 y O4, ésta fuera del papel): considerando a la circunferencia “O” y a la

recta “r” inversos con centro de inversión C2. Hallamos “P´” con los puntos inversos 2 y 2´.

En este caso consideramos a la circunferencia “O” inversa de sí misma con “P” como centro de inversión y, trazando la circunferencia de autoinversión (radio=√k) hallamos la circunferencia inversa de “r” (O´) en la misma

7. RRC: Circunferencias tangentes a dos rectas y a una circunferencia.

Restamos a la circunferencia “O” su radio y también dilatamos positiva y negativamente a las rectas “r” y “s”. Así el caso queda reducido a PPR en ambos casos hallando en “r” y “s” T1, T2, T3 y T4 (deshaciendo la dilatación)y

los correspondientes centros.

8. PCC: Circunferencias que pasan por un punto y son tangentes a otras dos.

Las dos primeras soluciones (O1 y O2) las hallamos considerando a las circunferencias dadas (O y O´) inversas con centro C1. Como las soluciones tienen que tener un punto en cada una de ellas (T) habrán de ser “dobles” y

si pasan por “P” también tendrán que pasar por su inverso “P´”. El caso queda reducido a PPC tomando como “C” cualquiera de las dos circunferencia iniciales.

Para las otras dos soluciones (O3 y O4) consideramos a las circunferencias dadas (O y O´) inversas con centro C2. Como las soluciones tienen que tener un punto en cada una de ellas (T) habrán de ser “dobles” y si pasan

por “P” también tendrán que pasar por su inverso “P´”. El caso queda reducido a PPC tomando como “C” cualquiera de las dos circunferencia iniciales.

9. RCC: Circunferencias tangentes a una recta y a otras dos.

(No estudiaremos este caso).

Este caso se reduce al PRC restando su radio a una de las circunferencias dadas dejándola reducida a su centro y aplicando la dilatación a los otros dos datos (circunferencia y recta).

10. CCC: Circunferencias tangentes a otras tres.

(No estudiaremos este caso).

Este caso se reduce al PCC restando su radio a una de las circunferencias dadas dejándola reducida a su centro y aplicando la dilatación a las otras dos.

TEMA VI: CURVAS CÓNICAS.

Recordemos que las curvas cónicas provienen de las secciones de un cono y su definición:

1. CIRCUNFERENCIA: Se obtiene cortando al cono con un plano

perpendicular a su eje y es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto (centro de la circunferencia).

2. ELIPSE: Se obtiene cortando al cono con un plano oblicuo a su eje y

es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos (focos) es constante (AB).

3. PARÁBOLA: Se obtiene cortando al cono con un plano paralelo a su

generatriz y es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a un punto (foco) y a una recta (directriz) es la misma.

Recordemos también su trazado por puntos a partir de su definición como lugar geométrico:

ELIPSE por PUNTOS ELIPSE por AFINIDAD

PARÁBOLA por PUNTOS HIPÉRBOLA por PUNTOS

Para el trazado de las tangentes a las cónicas debemos conocer estas circunferencias y sus propiedades:

CIRCUNFERENCIA PRINCIPAL: Es la que tiene el centro

en el de la elipse y diámetro su eje mayor (AB). Contiene los pies de las perpendiculares a las tangentes trazadas desde los focos.

CIRCUNFERENCIAS FOCALES: Tienen sus centros en

los focos y radio AB. Contienen a los simétricos de los focos con respecto a las tangentes.