Lunes 03 de mayo 3° de Secundaria Matemáticas
Uso de regla y compás para trazar las alturas en un triángulo
Aprendizaje esperado: Explora características y propiedades de las figuras y cuerpos
geométricos.
Énfasis: Usar regla y compás para trazar las alturas de triángulos.
¿Qué vamos a aprender?
¿Sabías que, desde Pitágoras, nacido en Samos, Grecia, en el año 579 antes de nuestra era,
la matemática en la Antigüedad era sinónimo de geometría? ¿Y que las actuales
herramientas de la regla y el compás son un símil de la cuerda que se ocupaba entonces?
¿Qué hacemos?
Para Platón, que era de Atenas, Grecia, nacido en el 427 antes de nuestra era, seguidor de
las ideas del maestro Pitágoras, lo más importante era pensar las cosas y deducir la verdad
de éstas a partir de la observación.
Platón consideró fundamental que aquellos que desean acceder al conocimiento, debían de
hacerlo a partir del estudio de la geometría, norma que se subrayó con la frase expuesta en
el dintel de la Academia:
De igual manera, a Platón se le debe la restricción del uso de la regla y el compás como
instrumentos únicos para el trazo de objetos geométricos construibles, ya que él creía que
eran los únicos objetos capaces de respetar la configuración de la simetría.
Pero ¿por qué la regla y el compás? porque son los instrumentos que precisan y facilitan la
construcción de las curvas, las rectas y las circunferencias.
Asimismo, todas las construcciones con regla y compás debían ser aplicaciones sucesivas
de cinco construcciones básicas, usando en cada una de ellas puntos, rectas y círculos.
Estas cinco construcciones posibles son:
1) Crear una recta que une dos puntos preexistentes, aunque en el mundo real sólo es
posible construir un segmento de recta.
2) Crear el círculo con centro en un punto dado, y cuyos puntos, cualesquiera de ellos,
tocan otro punto dado.
3) Crear el punto en el que se intersecan dos rectas no paralelas.
4) Crear el punto o la pareja de puntos en los que se intersecan, si lo hacen, una línea y un
círculo.
Y crear el punto o la pareja de puntos en los que se intersecan, si lo hacen, dos círculos.
Como se ha demostrado, las construcciones en la Antigüedad se realizaban empleando las
cinco construcciones posibles permitidas. Lo anterior es mediante la intersección de rectas
y circunferencias, usando exclusivamente la regla no graduada y el compás, los
instrumentos divinos, considerados así por Platón.
Para él, todos los instrumentos de medida eran imperfectos, con excepción de la regla y el
compás.
Sin embargo, las construcciones con regla y compás llevaron a los griegos a tres problemas
que no pudieron resolver.
1. Dado un cubo de cierto tamaño, ¿es posible construir otro cubo con el doble del
volumen?
2. ¿Es posible trisecar un ángulo?
3. ¿Es posible cuadrar el círculo?
La “duplicación del cubo” consiste en construir con regla y compás la arista de un cubo
cuyo volumen sea el doble del volumen de un cubo dado.
La “trisección del ángulo” consiste en construir con regla y compás las semirrectas que
dividen un ángulo en tres ángulos iguales.
Y la “cuadratura del círculo” consiste en construir con regla y compás un cuadrado con la
misma área que un círculo dado.
A partir de estos reconocidos problemas, al no hallarles solución, muchos matemáticos,
siglos más tarde, se dedicaron a su estudio.
El compás antiguo o euclidiano estaba construido de manera que, cuando se levantaba de la
superficie, sus brazos se cerraban automáticamente, lo que imposibilitaba trasladar las
medidas. Pero este compás era útil en tanto que ambos brazos hicieran contacto con el
papel.
Como se hace notar, el compás antiguo y el moderno son semejantes —aunque con el
primero se pueden hacer construcciones menos precisas—, ya que las patas podían cerrarse
o abrirse inadvertidamente. Mientras que, con el segundo compás, se puede estar seguro de
que la abertura requerida es la que se necesita.
Es importante mencionar que el compás es un instrumento de medición, pues, a partir de
éste, se pueden reproducir distancias con precisión en las construcciones geométricas.
Es así como, durante la sesión, ustedes utilizarás el compás moderno para los trazos de
triángulos y sus alturas.
Con esto último, se puede observar la influencia que tuvieron tanto Pitágoras como Platón
en el desarrollo de la geometría, misma que aún se reconoce en las distintas ramas de la
matemática.
Puedes notar lo indispensable que es el legado de Pitágoras y Platón en el pensamiento
actual y la geometría.
Es así como, para comenzar la práctica, se reitera emplear únicamente la regla, el compás y
el transportador para trazar un triángulo, y que después se les clasifique según los criterios
existentes.
Para tal efecto, observa el siguiente audiovisual, si te es posible, replícalo al trazar su
propio triángulo.
Para aprender a trazar triángulos con regla y compás:
1. Video 1
https://youtu.be/ESYruhvB5-4
Primero se identifican las medidas del triángulo a trazar: 7 cm, 6 cm y 5 cm.
Y se traza el primer segmento de recta, llamado AB, con la medida de 7 cm, utilizando la
regla.
A continuación, se abre el compás a 6 cm, que es la medida del segmento de recta CA.
Al tener 6 cm en el compás, se hace el centro en el primer extremo del segmento de recta y
se traza un arco.
Después se abre el compás 5 cm, se asigna el centro en el otro extremo del segmento de
recta y se traza otro arco que corte al primero.
El punto de corte de los dos arcos es el tercer vértice del triángulo que se forma; desde este
mismo punto, se realiza la unión de los otros dos vértices.
Con esto, se ha trazado el triángulo, pero falta clasificarlo según la medida de sus lados y
sus ángulos. Por la medida de sus lados, se sabe que un lado mide 7 cm; otro, 6 cm, y otro
más de 5 cm.
Por lo tanto, de acuerdo con la medida de sus lados, el triángulo es escaleno.
Para clasificarlo por sus ángulos, se utiliza el transportador: se alinea la marca central del
transportador con el cero y se observa que mide 45°.
Y de nueva cuenta se realiza lo mismo con el otro ángulo: se alinea a la marca central del
transportador con el cero para reconocer que este ángulo mide 55°.
De este modo, sólo queda por realizar la medida del tercer ángulo. Para ello se emplean los
conocimientos previos, sabiendo que la suma de los ángulos internos de un triángulo es de
180°; si se suman 45° más 55°, se obtiene 100°, mismos que al restarse a 180°, dan como
resultado 80°.
Para comprobar que efectivamente el último ángulo mide 80°, se toma el transportador, se
alinea con el cero y se verifica su medida. Así, se tiene que este triángulo se clasifica por
sus lados en un triángulo escaleno, y que, por sus ángulos, en un triángulo acutángulo.
Otro de los matemáticos que contribuyó en el desarrollo y la solución de triángulos
rectángulos fue Euclides.
Euclides, que vivió entre el tercer y segundo siglo antes de nuestra era, fue un matemático
griego reconocido en la actualidad por sus escritos, una serie de libros en donde sintetiza
los conocimientos matemáticos conocidos hasta entonces.
En su teorema, Euclides propone que, en todo triángulo rectángulo, cuando se traza la
altura que corresponde al vértice del ángulo recto con respecto a la hipotenusa, se forman
dos triángulos rectángulos.
Para este caso, se toma un fragmento del teorema de Euclides para comprender las alturas
de un triángulo y así trazarlas.
Las alturas son las rectas que pasan por uno de sus vértices, y perpendiculares al lado
opuesto de dicho vértice, o a su prolongación.
Un triángulo tiene tres alturas:
Para demostrarlo, traza las alturas en un triángulo acutángulo, por lo que requieres tu
cuaderno u hojas, lápiz o lápices de colores, y la escuadra o regla.
Se considera como vértice A, asegurándose que la escuadra esté apoyada en su totalidad en
el lado opuesto, y que pase por el vértice. Después se traza la línea perpendicular y, para
ello, se emplea la regla u otra escuadra.
Con esto, se tiene la altura que va del vértice A con el lado opuesto. No se tiene por objeto
dividir el triángulo, sino formar ángulos rectos.
Y se repite el procedimiento para el lado B: se apoya la escuadra en el lado opuesto al
vértice B y se dibuja el segmento de recta del vértice B al lado opuesto con una línea
perpendicular, asegurándose de que se forme un ángulo recto de 90 grados.
De esta manera, se obtiene una segunda altura.
Y se repite el procedimiento para el lado que falta, en este caso, el C.
Apoyando la escuadra en el lado C, y que coincida con el vértice C, se traza la línea
perpendicular.
Es así como las tres alturas de un triángulo se cortan en un mismo punto llamado
ortocentro, identificado en color amarillo.
¿Reconociste cómo las alturas se intersecan en un punto? Este punto es el antes
mencionado, ortocentro.
Se sigue con un nuevo ejemplo al trazar las alturas en un triángulo obtusángulo.
En color verde se tiene un triángulo obtusángulo con vértices ABC.
Primero se dibuja una línea perpendicular al vértice A y hasta la prolongación del lado
opuesto.
Y se dibuja la segunda altura, coincidiendo el vértice B con el lado opuesto.
Mientras que, para la tercera altura, se prolonga de nueva cuenta el segmento de recta del
lado opuesto al vértice C.
Y se apoya la escuadra en esa misma prolongación hasta coincidir el vértice C con la
prolongación, y trazar la altura.
Finalmente, se verifica que las tres alturas coincidan en el ortocentro que se localiza fuera
del triángulo.
¿Reconociste cómo las alturas se intersecan en un punto? Ya sabes que este punto es el
ortocentro.
Asimismo, notaste que las ubicaciones del ortocentro del triángulo acutángulo y
obtusángulo son distintas.
Para ello, observa el siguiente audiovisual, en el que el triángulo acutángulo y el ortocentro
se encuentra dentro del triángulo; en el triángulo rectángulo se encuentra en el ángulo recto,
y en el triángulo obtusángulo está en el exterior del triángulo.
2. Video 2
https://youtu.be/f8xiu2saBjA
Utilizando un programa de geometría, se trazan las alturas de tres distintos triángulos, y
observa cómo el ortocentro cambia de posición de acuerdo con el tipo de triángulo trazado.
En algunos triángulos se encuentra al centro, mientras que, en otros, en un vértice o en el
exterior.
Se traza un triángulo, verificando la medida de sus ángulos para obtener un triángulo
acutángulo.
Ya se sabe que las alturas de un triángulo son las rectas que pasan por uno de sus vértices, y
que son perpendiculares al lado opuesto del mismo o a su prolongación.
Se traza la altura del vértice A utilizando el lado opuesto, la del vértice B y la del C;
observa cómo las alturas se intersecan en el punto llamado ortocentro. De este modo, se
interactúa con la forma de este triángulo acutángulo para observar cómo se mueve el
ortocentro sin salir del triángulo trazado.
Después se mueve el vértice A para formar un triángulo rectángulo. Es así como se
reconoce que el ortocentro se encuentra en el vértice donde se forma el ángulo recto o de 90
grados, y se interactúa con la forma del triángulo, desplazando el vértice A hacia la derecha
hasta formar nuevamente un triángulo rectángulo invertido. Y, finalmente, se verifica
nuevamente que el ortocentro está donde se forma el ángulo recto.
Pero se mueve una vez más uno de los vértices hasta formar un triángulo obtusángulo para
observar cómo el ortocentro sale del triángulo. Esto se debe a que la altura se traza
utilizando uno de sus lados proyectado. Si se mueve uno de los vértices hacia la izquierda
hasta formar nuevamente un triángulo obtusángulo, el ortocentro sale del triángulo.
Tomando en cuenta que un triángulo tiene tres alturas, la que se necesita es la formada con
el vértice donde se encuentra el ángulo recto y que corta perpendicularmente el lado
opuesto al ángulo recto.
Retomando el teorema de Euclides: se tiene que, en todo triángulo rectángulo:
Cuando se traza la altura que corresponde al vértice del ángulo recto con respecto a la
hipotenusa, se forman dos triángulos rectángulos.
Ya sabes que este teorema te permite inferir que:
Los ángulos de los tres triángulos son iguales, y que son semejantes entre sí, lo que
significa sus lados semejantes son proporcionales entre sí.
Con esto, se da por sentado que, desde la semejanza de triángulos, se establecen dos
teoremas: el teorema de la altura y el teorema de los catetos.
El teorema de la altura relaciona la altura de un triángulo rectángulo con las proyecciones
de los catetos sobre la hipotenusa, por lo que permite calcular la altura de un triángulo
rectángulo cuando se tienen estas proyecciones.
La fórmula del teorema de la altura es “h” al cuadrado, igual a “m” por “n”.
Para emplear el teorema de la altura, primero se debe comprender qué son las proyecciones
de los catetos sobre la hipotenusa.
Se comienza del siguiente triángulo rectángulo, colocado de forma que la hipotenusa queda
en la parte de abajo:
En donde:
El lado a es el cateto mayor.
El lado b es el cateto menor.
Y el lado c es la hipotenusa.
Es decir, si se instala un foco de luz encima del triángulo, la sombra que proyecta el lado
“a” sobre la hipotenusa corresponde a la proyección del cateto mayor en la hipotenusa y
que, a su vez, corresponde al segmento en color rojo o “m”.
De la misma manera, la sombra que proyecta el lado “b” sobre la hipotenusa corresponde a
la proyección del cateto menor en la hipotenusa, y que corresponde al segmento en color
amarillo o “n”.
Es importante destacar que ambas proyecciones están separadas por una línea vertical, que
corresponde a la altura del triángulo rectángulo, y que la altura separa, a su vez, el triángulo
en otros dos triángulos rectángulos.
En ambos triángulos que son semejantes se compara su relación entre el cateto menor y el
cateto mayor.
Obteniendo así “h” entre “n” es igual a “m” entre “h”.
De donde se despeja “h”, que corresponde a la altura del triángulo rectángulo original.
Para ello, se multiplican en cruz ambas fracciones, pasando cada denominador,
multiplicando al miembro contrario.
Así, se opera en ambos miembros; queda “h” cuadrada en uno de ellos.
Y se despeja la altura para obtener la fórmula que relaciona la altura con las proyecciones
de los catetos en la hipotenusa: “h” es igual a raíz cuadrada de “m por n”.
Este teorema tiene distintas aplicaciones desde la Antigüedad, por ejemplo, calcular alturas
o distancias. Actualmente, su aplicación es empleada para la ingeniería y la física, por
mencionar algunas.
Con estos nuevos conocimientos, se puede calcular una distancia sin recorrerla. Asimismo,
se puede calcular un recorrido o elegir la distancia más corta. Además, se pueden calcular
distancias de difícil acceso, como lo hacen los topógrafos e ingenieros.
De este modo, ya se puede aplicar lo aprendido en una situación-problema y encontrar su
solución.
Las casas de Ana, de su amiga, de su abuelita y la escuela secundaria se encuentran
ubicadas como se muestra en la imagen.
La distancia de la casa de la abuelita a la secundaria es de 1.5 km, y entre la casa de la
abuelita y la casa de Ana es 0.54 km.
Además, su amiga afirma que la distancia de su casa a la casa de Ana es mayor que la de
casa de Ana a la de la abuelita, pero menor que la distancia de la casa de Ana a la
secundaria.
De este modo, se debe identificar que la figura es un triángulo rectángulo, y que la distancia
entre la casa de Ana a la de su amiga corresponde a la altura que está trazada en el triángulo
rectángulo mayor del esquema. Con estos datos, se puede aplicar el teorema de la altura.
Se sabe que de la casa de Ana a la de su abuelita son 0.54 km y de la casa de su abuelita a
la secundaria son 1.5 km.
Eso hace que, de la casa de Ana a la secundaria, sean 0.96 km.
Y aplicando el teorema de la altura:
Se tiene que la distancia de la casa de Ana a la casa de su amiga es la raíz cuadrada de
multiplicar las distancias de su casa a la secundaria, y de su casa a la de su abuelita, lo cual
da 0.72 km.
Así, la amiga de Ana tiene razón en su afirmación, debido a que 0.72 km es mayor que 0.54
km y menor a 0.96 km.
Repasa lo aprendido.
Pitágoras, Platón y Euclides han tenido una gran influencia en la geometría y en las
distintas ramas de la matemática.
En la Antigüedad se utilizaba un compás euclidiano y una regla no graduada para trazar
todas las figuras a partir de la recta o segmentos de recta y del círculo o arcos.
Los triángulos son figuras planas que resultan de unir 3 puntos con líneas rectas, y se
clasifican según la longitud de sus lados y sus ángulos.
Las alturas de los triángulos son las rectas que pasan por uno de sus vértices y son
perpendiculares al lado opuesto de dicho vértice, o a su prolongación.
En el triángulo acutángulo, el ortocentro se encuentra dentro del triángulo; en el triángulo
rectángulo está donde se ubica el ángulo recto, y en el triángulo obtusángulo, en el exterior
del triángulo.
El Reto de Hoy:
Consulta tu libro de texto de Matemáticas de tercer grado de secundaria para profundizar en
el tema y encontrar algunos ejemplos para practicar.
Martes 04 de mayo 3° de Secundaria Matemáticas
Rectas notables del triángulo
Aprendizaje esperado: Explora características y propiedades de las figuras y cuerpos geométricos.
Énfasis: Usar regla y compás para trazar rectas notables en un triángulo.
¿Qué vamos a aprender?
Cuando se mira hacia cualquier dirección, se identifican múltiples imágenes, objetos y situaciones que remiten a conceptos relacionados con la geometría.
Seguramente identificas formas y propiedades geométricas en la apariencia de una cancha de futbol, de basquetbol o de voleibol. Incluso puedes notar distintas formas geométricas en tu cotidiano, por ejemplo, el aro del tablero de basquetbol o un rectángulo, tanto en una portería como en la cancha de tenis.
De este modo, se tiene por objetivo desarrollar la destreza al utilizar instrumentos geométricos para consolidar conceptos que relacionan las propiedades de muchos elementos geométricos.
¿Qué hacemos?
La geometría destaca por su aplicación en la ciencia, así como en distintos casos para las matemáticas; también por la destreza que requiere para practicarla, pues incentiva una importante capacidad de razonamiento deductivo.
Los instrumentos geométricos empleados en la actualidad se han desarrollado a lo largo de los siglos.
Aunque la geometría se creó por una necesidad referente a la medición de terrenos, ha desarrollado a través de muchos años el carácter que posee como una importante herramienta basada en el razonamiento lógico deductivo.
Entonces, los aprendizajes esperados en geometría para la educación básica son los que se refieren a la geometría conocida como euclidiana.
En la actualidad, la geometría se extiende a nuevas aplicaciones más allá de las que denota su concepto: “la medida de la Tierra”. Lo anterior se hace notar en programas de geometría dinámica y diversas herramientas para el diseño gráfico.
Herramientas que han extendido la utilidad de la geometría, comparada al uso que emplearon distintas culturas en la Antigüedad.
Además, existe una influencia del razonamiento geométrico en el desarrollo de las matemáticas: la calidad del razonamiento lógico deductivo es, quizá, el mayor aporte de la geometría a las matemáticas, cuyo origen se remonta a las construcciones geométricas con regla y compás.
Pero ¿cómo se realizan estas aplicaciones?
A continuación, se presentan construcciones geométricas que describen la mediana, la mediatriz y la bisectriz en un triángulo. Se le conoce como mediatriz a la recta perpendicular a un segmento que lo corta en su punto medio, o lo biseca, como se hace notar en el siguiente audiovisual.
1. MAT3_B5_PG2_V1_SEM32_VIDEO1
https://youtu.be/v5_xauZuMFM
Los arcos de circunferencia en la descripción anterior representan trazos auxiliares en la construcción de la mediatriz del segmento. Por ello, su calidad es más tenue. Sin embargo, los trazos auxiliares validan la certeza de una construcción geométrica correcta. La experiencia al practicar las construcciones permite saber que, si el radio de los arcos de circunferencia es demasiado pequeño, éstos no se intersecan.
En consecuencia, al construir las mediatrices de los tres lados de un triángulo cualquiera, se encuentran otras propiedades.
Aunque primero se ha de conocer la construcción con los instrumentos geométricos.
2. MAT3_B5_PG2_V1_SEM32_VIDEO2A
https://youtu.be/il4OxqfBXz4
El circuncentro es el punto donde se intersecan las mediatrices de un triángulo, y su nombre se refiere a que este punto es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.
En otras palabras, el circuncentro es el centro de la circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo.
3. MAT3_B5_PG2_V1_SEM32_VIDEO3A
https://youtu.be/QraOPVFqVn4
La relación entre las mediatrices del triángulo, el circuncentro y la circunferencia circunscrita son útiles herramientas en la
resolución de problemas, y si se desarrollan a partir de las construcciones, se favorece su comprensión.
Existen programas de geometría dinámica que permiten realizar este tipo de construcciones.
Sin embargo, las construcciones hechas con regla y compás proporcionan cierta ventaja al favorecer la consolidación de destreza y habilidades motrices que dan sentido a la relación entre los elementos geométricos.
Pero las construcciones por medio de los programas de geometría dinámica también se sustentan en los mismos principios, aunque también se debe tener una idea clara de lo que se pretende construir para introducir las instrucciones precisas y conseguir el objetivo deseado, como se plantea a continuación.
4. MAT3_B5_PG2_V1_SEM32_VIDEO4
https://youtu.be/E0F6ZBe2LyY
Sea, por ejemplo, la construcción de la circunferencia circunscrita a un triángulo dado ABC.
La localización de la mediatriz de un segmento está predeterminada entre las herramientas del programa, por lo que basta indicar la acción correspondiente y señalar cada segmento para que aparezcan cada una de las mediatrices del triángulo.
En este caso, se obtiene la concurrencia en el punto, que es el circuncentro “D”.
Se selecciona la opción para construir una circunferencia con centro en el circuncentro “D” y como radio, de la distancia a cualquiera de los vértices se obtiene la circunferencia circunscrita.
Ya se presentaron las construcciones de la mediatriz y la circunferencia circunscrita a un triángulo.
Inicialmente, utilizando sólo regla y compás, y después, con un programa de geometría dinámica.
Puesto que el propósito de la sesión así lo indica, se favorecen las construcciones con regla y compás. De este modo, es indispensable tomar nota, ensayar las construcciones y realizar el siguiente análisis para una bisectriz.
Además, puedes incorporar nuevos términos a tu acervo de conceptos matemáticos, relacionarlos con esquemas y mantener así su definición, propiedades y utilidad.
Ahora, observa el siguiente audiovisual que describe la construcción de la bisectriz de un ángulo dado.
5. MAT3_B5_PG2_V1_SEM32_VIDEO 5
https://youtu.be/_2XauKsixvQ
Puedes ensayar la construcción de la bisectriz de distintos ángulos, como el agudo, el recto y el obtuso.
Se sabe que, si la bisectriz divide al ángulo a la mitad, o en dos ángulos iguales, también significa que todos los puntos se encuentran a la misma distancia de ambos “rayos” o lados del ángulo.
Al igual sucede con la mediatriz, en la que existen relaciones geométricas al construir las bisectrices de tres ángulos en un triángulo cualquiera, como se describe a continuación.
6. MAT3_B5_PG2_V1_SEM32_VIDEO 6ª
https://youtu.be/xlxBHxDANho
El incentro es el punto de intersección de las bisectrices de un triángulo.
Y su nombre se debe a que ese punto es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.
7. MAT3_B5_PG2_V1_SEM32_VIDEO 7ª
https://youtu.be/hqm1Az9e0ho
La circunferencia que se genera es tangente a los tres lados del triángulo. Esto significa que la circunferencia inscrita toca en un solo punto a cada uno de los lados del triángulo.
El circuncentro corresponde a la circunferencia circunscrita, y el incentro a la circunferencia inscrita en el triángulo.
Procura realizar construcciones limpias y precisas. La eficiencia del aporte que representa el despliegue de razonamientos y habilidades geométricas se adquiere de manera paulatina. Por ello, durante los años que conciernen a su educación, se incluyen
contenidos geométricos que favorecen su aprendizaje y
perfeccionamiento.
Esto quiere decir que los conceptos y las características que se presentan son complementarios a otros.
Por ejemplo, los ángulos entre paralelas cortadas por una transversal, la simetría, los ángulos suplementarios, la homotecia y la semejanza de triángulos, entre otros. Por estas razones, se deben asociar las propiedades descritas a los contenidos geométricos antes mencionados.
Si existe un estrecho vínculo entre la lectura de comprensión y el pensamiento lógico, ¿qué se debe hacer ante una acción geométrica? Primero se debe entender muy bien cuál es su intención y sus condiciones. Por ejemplo, utilizar los sentidos ante situaciones que favorezcan su resolución con aprendizajes ya adquiridos.
Para demostrarlo, se tiene una lectura que expone la relación entre el pensamiento y los sentidos.
Se sabe que la literatura no es ajena a las ciencias o las matemáticas. En la lectura anterior se elogia el uso del pensamiento y de todos los sentidos. Por ello, se intuye por qué las escuelas griegas antiguas destacan la geometría: por ser un ejercicio para la razón y los sentidos.
Entonces, se puede decir que emplear los instrumentos geométricos representan una experiencia indispensable para las matemáticas. En efecto, y esta vez se describen los atributos de las medianas de un triángulo.
Al igual que en el caso de la mediatriz y la bisectriz, la mediana tiene ciertas características cuando se trazan en el triángulo las tres medianas correspondientes.
8. MAT3_B5_PG2_V1_SEM32_VIDEO 8
https://youtu.be/djQBXYjqYRQ
A diferencia del circuncentro y el incentro, el baricentro no es el centro de una circunferencia en particular. Sin embargo, es un punto que describe importantes propiedades.
Una de esas propiedades indica que el baricentro divide a cada mediana a los dos tercios de su longitud total.
Entonces significa que la longitud de la mediana entre el vértice y el baricentro equivale a dos tercios de la longitud total de la mediana.
Otra de las propiedades del baricentro es que se le considera el “centro de gravedad” del triángulo. Para la geometría euclidiana, el baricentro, centro de gravedad o centroide es el punto en que el triángulo alcanza el equilibrio de modo ideal.
Y para recapitular la sesión, se tiene que: conociste, a través de las descripciones, construcciones geométricas a partir de segmentos, rectas, ángulos y circunferencias. Las propiedades que se consideraron, además de promover el razonamiento lógico, son de gran utilidad al estudiar geometría analítica y trigonometría en grados posteriores.
Desarrolla tus propias construcciones. De tener la posibilidad, comparte tus observaciones con tus compañeros y tu maestra o maestro.
Jueves 06 de mayo 3° de Secundaria Matemáticas
Mediatriz y bisectriz
Aprendizaje esperado: Explora características y propiedades de figuras y cuerpos geométricos.
Énfasis: Resolver problemas que impliquen el uso de las
propiedades de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo.
¿Qué vamos a aprender?
El uso de las propiedades de rectas, como la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo, son herramientas útiles en la solución de problemas geométricos.
¿Qué hacemos?
Comienza con la mediatriz de un segmento, que se define como la línea recta perpendicular a dicho segmento trazada por su punto medio.
En el segmento de recta AB, el punto P es el único punto que pertenece al segmento de recta y que se encuentra a la misma distancia de los puntos extremos A y B. De este modo, el punto P es el punto medio del segmento.
La línea recta perpendicular al segmento de recta AB que pasa por el punto medio P es la mediatriz.
Trázala con la ayuda de la regla y del compás.
Apoya el compás en un extremo del segmento (punto A) y se abre a una distancia mayor que la mitad del mismo segmento.
Después se traza un segmento de circunferencia. Se apoya el compás en el otro extremo del segmento (punto B) y se traza un segmento de circunferencia con el mismo radio que el anterior.
Y, finalmente, con la regla se unen los puntos de intersección C y D de los segmentos de circunferencia para obtener la mediatriz.
La mediatriz también tiene como características que cualquier punto en ella se encuentra a la misma distancia de los puntos extremos A y B.
Otra forma en la que puedes obtener la mediatriz de un segmento es con escuadras y una regla graduada.
Por ejemplo, dado el segmento de recta PQ, se localiza el punto medio M usando la regla para medir el segmento y dividirlo en dos. En este caso, el segmento tiene 13 centímetros y el punto medio M se indica a 6.5 centímetros.
Con las escuadras se traza una perpendicular al segmento PQ, usando el ángulo de 90 grados y que pase por el punto M.
Y, finalmente, se extiende la recta en ambos sentidos para obtener la mediatriz del segmento PQ.
Una de las propiedades de esta recta es que cualquier punto sobre la mediatriz se encuentra a la misma distancia de los extremos del segmento; es decir que es equidistante, lo que se emplea en la solución de diversos problemas y situaciones.
En el segmento anterior se puede escoger de forma aleatoria cualquier punto sobre la mediatriz, y éste tiene la misma distancia hacia los puntos P y Q.
Del mismo modo, este otro punto, S, también pertenece a la mediatriz, y su distancia hacia P es de 15 cm, y su distancia hacia Q también es de 15 cm.
En conclusión, no existen puntos fuera de esa recta que cumplan la condición de estar a la misma distancia de los extremos P y Q.
Es de notar que la mediatriz es una recta, por lo que se extiende en ambas direcciones de forma infinita.
Otra propiedad de la mediatriz es que forma un ángulo de 90 grados con el segmento de recta. Dicho de otra manera, un segmento de recta y su mediatriz son perpendiculares.
Con base en lo anterior, se tiene que:
Los puntos A, B y C representan la ubicación de tres poblados diferentes para los que se desea construir un hospital que esté a la misma distancia de los tres poblados.
Pero ¿en dónde se le debe localizar al punto D que representa al hospital?
Para resolverlo, se debes unir con un segmento los poblados A y B; se traza la mediatriz del segmento AB para tener todos los puntos que están a la misma distancia de esos dos poblados.
Del mismo modo se hace para los poblados B y C, y se traza la mediatriz del segmento BC.
Al tener ya trazadas las dos rectas mediatrices, se obtiene el punto de intersección de ambas, lo que significa que sí existe un punto en común que está a la misma distancia del poblado A y del poblado B, y al mismo tiempo, está a la misma distancia del poblado B y del poblado C.
Al punto de intersección de las dos mediatrices se le denomina circuncentro y tiene la característica de ser equidistante con los 3 puntos.
Si se traza un círculo con centro en D hasta el punto A, se puede observar que la distancia a cada poblado es la misma, ya que son radios de la misma circunferencia.
De este modo, se demuestra que el uso y conocimiento de la mediatriz permite dar respuesta a situaciones como la anterior. Trabaja ahora situaciones con bisectrices.
La bisectriz de un ángulo es la recta que pasa por el vértice del ángulo y determina dos ángulos iguales.
Asimismo, la bisectriz es el eje de simetría del ángulo.
Además, el segmento de recta perpendicular desde un punto de un lado que forma al ángulo, hacia la bisectriz, será equidistante a su segmento simétrico.
Ahora observa cómo se traza la bisectriz de un ángulo.
Se apoya el compás en el vértice del ángulo (punto O) y se realiza una marca a la misma distancia en los segmentos que forman el ángulo.
Con este paso, se tienen localizados dos puntos, M y N, que son equidistantes al vértice.
Se apoya el compás en M y se traza un arco de circunferencia; se tiene cuidado de que la abertura del compás sea adecuada, que significa que sea mayor a la abertura del ángulo.
Después se apoya el compás en N y, con la misma abertura, se encuentra el punto de intersección P con el último arco trazado. Por último, se une el vértice O del ángulo con el punto P y se obtiene así la bisectriz del ángulo.
A continuación, se usa la bisectriz de un ángulo para la construcción que explora las relaciones de un triángulo y sus ángulos internos y externos.
El ejercicio se construye de la siguiente manera:
En el triángulo ABC se traza la bisectriz del ángulo alfa y la bisectriz del ángulo gamma, que es el ángulo exterior del triángulo.
Al punto de intersección de las dos bisectrices lo nombramos D y con éste se forma el triángulo ACD.
Ante este caso, la pregunta es: ¿cuál es el valor del ángulo “x” en el vértice D?
Analizando el diagrama y empleando la información que se obtiene del enunciado, el triángulo ABC tiene de ángulo en el vértice A el
valor de alfa, y beta, el valor del ángulo en el vértice B. Además, el valor del ángulo externo en el vértice C vale gamma.
Para el triángulo ADC, el valor del ángulo en el vértice A es de “alfa medios” porque el segmento AD se construye bisectriz del ángulo alfa y el ángulo en el vértice D, no lo conoces y por el momento se le asigna el valor de “x”.
Además, el segmento CD es mediatriz del ángulo gamma que, en consecuencia, el ángulo exterior del triángulo ADC en el vértice C tiene un valor de “gamma medios”.
Con respecto al ángulo exterior de un triángulo, se toma en cuenta que su valor es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes a éste, lo que puedes comprobar si analizas que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180 grados, siendo así suplementarios, al igual que un ángulo interior y el exterior del triángulo en el mismo vértice son también suplementarios, de ahí su equivalencia.
Lo anterior, como se demuestra, es una relación de igualdad que involucra a la incógnita “x” y que permite encontrar su valor. Centra tu atención en el triángulo ABC y en su ángulo exterior gamma, cuyo valor es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes, en este caso, alfa más beta.
En un segundo análisis, el triángulo ADC tiene como ángulo exterior en el vértice C un ángulo con valor de “gamma medios”, que es igual a sus correspondientes ángulos interiores no adyacentes. Para este caso, son “alfa medios” más “x”.
Al despejar el valor de gamma, se obtiene que es igual a alfa más 2x.
Se realiza el trabajo algebraico correspondiente con las dos igualdades para encontrar el valor de “x”.
Por un lado, se sabe que el valor de gamma es igual a alfa más beta, mientras que, en la otra igualdad, gamma es igual a alfa más 2x.
Se igualan las dos expresiones y se tiene que alfa más 2x es igual a alfa más beta. Y despejando el valor de “x”, se obtiene que es igual a “beta medios”.
Así, se ha resuelto la pregunta: ¿cuál es el valor del ángulo “x” en el vértice D si se tiene que es la mitad del valor del ángulo beta?
Se observa que esta condición siempre se va a cumplir para cualquier triángulo, así como del triángulo generado con la intersección de las bisectrices de alfa y gamma.
Para comprobar lo anterior, se asignan diferentes valores para alfa y beta.
Para alfa igual a 44 grados y beta igual a 70 grados.
En el triángulo ABC se calcula el ángulo exterior en el vértice C, que es gamma con la suma de los ángulos interiores no adyacentes. Para ello se suman alfa y beta, que es igual a 114 grados.
Para el triángulo ADC, formado con las bisectrices, se considera que el ángulo exterior en el vértice C es “gamma medios”, que es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes, que es “alfa medios” más “x”, es decir, la incógnita que se busca calcular. Entonces, “alfa medios” es igual a 22 grados y “gamma medios” es igual a 57 grados; “x” es igual a 57 menos 22 grados, que es 35 grados.
Así, el valor de “x” es 35 grados, que es la mitad del ángulo beta que tiene un valor de 70 grados.
Traza un triángulo con las medidas que quieras; traza las bisectrices de los ángulos e, igual que en el ejercicio anterior, encuentra el punto de intersección en ambas bisectrices y verifica que el ángulo en el vértice de intersección cumpla con ser la mitad del ángulo beta.
Otro caso por analizar es la cantidad de mediatrices y bisectrices en polígonos regulares.
Ambas rectas tienen coincidencia con el eje de simetría de los polígonos regulares.
El primero de los polígonos regulares es el triángulo equilátero, en el cual la mediatriz de cada uno de sus lados coincide con la bisectriz de cada uno de sus ángulos. De esta manera se obtienen 3 rectas, que son al mismo tiempo mediatrices, bisectrices y ejes de simetría.
En el cuadrado, las mediatrices y las bisectrices son sólo dos. En este caso, no coinciden.
En el pentágono regular sucede lo que en el triángulo equilátero; cada una de las 5 mediatrices coincide con las bisectrices de los 5 ángulos y son ejes de simetría.
En el hexágono regular son 3 mediatrices y 3 bisectrices. Al igual que en el cuadrado, las rectas no coinciden.
En el heptágono regular son siete mediatrices que coinciden con las siete bisectrices.
Mientras que en el octágono se pueden trazar 4 mediatrices y 4 bisectrices sin coincidir los dos grupos.
De este modo, se puede identificar un patrón en el número de mediatrices y bisectrices en los polígonos regulares.
Para los polígonos regulares con un número impar de lados, las mediatrices coinciden con el número de bisectrices y con el número de lados, que son las mismas rectas en la figura.
En tanto que, para los polígonos regulares con un número par de lados, el número de mediatrices y de bisectrices que se pueden trazar es igual a la mitad del número de lados, teniendo que para ambos grupos no coinciden.
De esta manera, se puede asegurar que, en un polígono regular de 24 lados, al tener un número par de lados, se pueden trazar 12 mediatrices y 12 bisectrices.
Y para un polígono regular con 17 lados es posible trazar 17 mediatrices y 17 bisectrices.
Se pueden retomar las características del octágono regular, que puedes dibujar con un mínimo de trazos porque sólo precisa de una mediatriz y dos bisectrices.
Trázalo, replica los pasos a seguir en tu cuaderno.
Se traza un segmento de recta AB del tamaño que ocupará todo el octágono.
Se traza la mediatriz de dicho segmento para formar rectas perpendiculares. Se utiliza la regla, se mide el segmento y se determina el punto medio O.
Se utiliza la escuadra y se traza la mediatriz.
Después, manteniendo el compás con la misma abertura, se trazan las dos bisectrices que cortan en dos a los ángulos de 90 grados.
Y, por último, con el compás se hace centro en el punto O y se marca la distancia OB en todas las rectas.
Se tiene como resultado que, al unir todos los puntos, se traza un octágono regular.
Con esta figura regular es posible crear diferentes patrones vistosos y agradables a la vista; por ejemplo:
Cada una de las figuras que se muestran están construidas en su totalidad por octágonos regulares. En algunas ocasiones uno al lado de otro o también sobreponiendo los octágonos para crear diferentes patrones.
Realiza alguna combinación de formas y colores con los octágonos para practicar la mediatriz y la bisectriz.
Para continuar con el uso de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo, se construye uno de los sólidos platónicos: el icosaedro, formado por 20 triángulos equiláteros. Si deseas construirlo necesitas de tu compás, escuadra, un poco de cartón, estambre de color, tijeras, pegamento líquido o pistola de silicón.
Para comenzar, traza en tu cuaderno un cuadrado con la mayor precisión posible; procura cargarlo un poco a la izquierda en la hoja y, de ser posible, que sea similar a la siguiente imagen. Puedes apoyarte de la cuadrícula de las hojas del cuaderno para trazarlo.
No requiere de ninguna medida en especial, únicamente hacer los trazos con limpieza y precisión.
Para esto, se nombran los vértices del cuadrado como A, B, C, D, en el orden que se muestra en la imagen.
El siguiente elemento que se necesita es el punto medio del segmento AB y aquí se utiliza la mediatriz.
No se necesita trazar la mediatriz, sólo marcar la intersección con el segmento AB, que es el punto medio M.
El siguiente paso es prolongar el segmento AB hacia el lado del punto B:
Se apoya el compás en el punto M y se abre hasta el vértice C para después trasladar esa distancia hasta la prolongación del segmento AB.
A ese punto de intersección se le nombra punto E.
Después se traza una perpendicular al segmento AB que pase por el punto E y se intersecte con la prolongación del segmento DC. A este punto se le nombra punto F.
Con los puntos AEFD se ha creado un rectángulo que suele denominarse rectángulo áureo porque posee una proporcionalidad entre sus lados igual a la razón áurea.
En casa verifica esta proporción, mide la longitud de la base y divídela entre la medida de la altura; el resultado debe ser aproximadamente 1.6180. Lo anterior, sin importar la medida que se haya elegido.
Para continuar, se requiere encontrar el centro de este rectángulo, y se trazan las bisectrices de los ángulos interiores del rectángulo.
Se unen los puntos de intersección de las cuatro bisectrices como se muestra, y se tiene que el punto de intersección de los dos segmentos es el centro del rectángulo.
Para terminar, se apoya el compás al centro del rectángulo, se abre hasta la intersección con el segmento DF y se marcan las intersecciones en el otro segmento.
Se les denominan G y H a los puntos de intersección respectivamente y los unimos con un segmento de recta.
Para la construcción del icosaedro se necesitan tres piezas como la anterior; rectángulos áureos con el segmento GH marcado.
La forma más sencilla de trasladar las medidas al cartón que emplearás es posicionar la hoja con el dibujo sobre el cartón, y sin que ésta se mueva, con la punta del compás se marcan los puntos A, E, F, D, G y H únicamente, el resto de los trazos y puntos fueron auxiliares y ya no se requieren.
Una vez que se marcaron los puntos en el cartón, se recortan los tres rectángulos requeridos.
En dos de ellos recortan el segmento GH, y en el tercer rectángulo se recorta desde el punto G pasando por el punto H y hasta el final de la figura.
Se comienza con la construcción física del icosaedro insertando los dos primeros rectángulos hasta la mitad para insertar, por último, el tercer rectángulo, aprovechando que se extendió el corte hasta el final de la figura.
Una vez en su lugar, se puede usar pegamento para unir el corte extra del último rectángulo.
Para finalizar el icosaedro, se pega el estambre a uno de los vértices de los rectángulos y desde ahí, a cada uno de los 5 vértices a su alrededor. Se repite el procedimiento con todos los vértices, y sin pasar 2 veces por el mismo lugar, hasta terminar la figura.
Se te recomienda buscar un patrón de armado donde tengas que recortar el menor número de veces el estambre.
También se puede reemplazar el estambre por popotes o palillos de madera, que en ambos casos queda bien.
El saber trazar la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo, y conocer bien todas sus propiedades, te permite usarlas como herramientas en un sinfín de procedimientos, cálculos y problemas.
El Reto de Hoy:
Busca a tu alrededor posibles usos de la mediatriz y la bisectriz, y así practicar el trazo de estas rectas en tu cuaderno.
Viernes 07 de Mayo 3° de Secundaria Matemáticas
Construcción de polígonos
Aprendizaje esperado: Explora características y propiedades de las figuras y cuerpos geométricos.
Énfasis: Construir polígonos regulares a partir de distintos datos.
¿Qué vamos a aprender?
Aprenderás a construir polígonos regulares a partir de distintas informaciones, tales como la medida de un ángulo, un ángulo interno o un ángulo central.
Como has experimentado antes, la geometría aporta actividades que te apoyan a desarrollar habilidades y destrezas al elaborar los trazos que se proponen.
Se llama polígono a la figura geométrica plana formada por una secuencia finita de segmentos consecutivos llamados lados, unidos por ángulos interiores, que encierran una región en el plano.
Cuando sus lados y ángulos son iguales, se dice que el polígono es regular.
La clasificación de los polígonos regulares por el número de lados inicia con el triángulo equilátero, cuadrángulo, pentágono, hexágono, heptágono, octágono, nonágono, decágono, endecágono, entre otros.
Como primer ejemplo de construcción, traza un polígono dado únicamente un lado.
Cabe aclarar que, cuando el trazo se realiza a partir de uno de sus lados, el procedimiento es diferente e independiente según las características del polígono.
Así, traza los polígonos de 5 y 7 lados con regla y compás. Ten a la mano tu hoja o cuaderno para trazar.
Trazo 1
Construcción de un polígono regular de 5 lados o pentágono regular dado un lado AB de 8 cm.
1. Pentágono, dado un lado
https://youtu.be/cluYEZmMOV4
Ahora continua con el trazo 2 de un heptágono regular o polígono de 7 lados; es preciso que sigas detalladamente las instrucciones.
2. Heptágono, dado un lado
https://youtu.be/II4EzGjDFis
Si seguiste bien las instrucciones, el trazo realizado debió quedar excelente; si no fue así, ese será el motivo de la siguiente actividad: repite el trazo de los dos polígonos regulares y la idea es que te queden cada vez mejor.
Ahora traza otros polígonos regulares, pero utilizando como base otro dato: el ángulo central.
Construye un hexágono y un octágono.
Para trazar cualquier polígono, independientemente del número de lados a partir de un ángulo central, el procedimiento que se sigue es el mismo en todos ellos.
Primero se debe conocer el valor del ángulo que se medirá y lo trazarás a partir del centro de la circunferencia sobre el radio,
esto se determina dividiendo los 360 grados entre el número de lados.
Observa este proceso con el trazo de un hexágono. Trazo 3
Para el hexágono se divide 360 entre 6 ángulos; se tiene un ángulo central de 60 grados.
3. Hexágono, ángulo central
https://youtu.be/lHhr7wqbWwo
Para cualquier polígono regular que desees trazar a partir de su ángulo central, el procedimiento es el mismo que se utilizó en el video. Así, para todos los polígonos regulares que se pueden trazar dado un radio de la circunferencia y su ángulo central, se utiliza la expresión:
Ángulo central = 360 entre número de lados.
Los polígonos regulares están formados por triángulos en su interior. Dichos triángulos son isósceles, que se forman con segmentos que van del centro del polígono hacia los vértices del mismo. Están formados con el ángulo central y dos ángulos iguales que están en el lado del polígono.
El ángulo interior de un polígono es el ángulo formado entre dos lados consecutivos y se encuentra dentro de él.
De este modo, un lado de los triángulos interiores que se forman desde el centro es una bisectriz del ángulo interior del polígono. Por lo que los ángulos de esos triángulos que están en los lados del polígono son iguales, y la suma de los dos es igual al ángulo interior del polígono que se forma entre dos lados.
Por ejemplo, en el hexágono, que se forma con triángulos equiláteros con ángulos de 60 grados, por lo que su ángulo interior es el doble de esta cantidad, que es igual a 120 grados.
Traza ahora polígonos regulares a partir de sus ángulos interiores. Describirás uno de los procedimientos que puedes utilizar.
Trazo 4
Inicia por un pentágono.
Se debe conocer el ángulo interior del polígono, el que se calcula mediante la fórmula:
Ángulo interior igual a 180 por “n” menos 2, todo entre n, en donde “n” es el número de lados del polígono.
Así, para el pentágono “n” es igual a 5, y se tiene ángulo interior es igual a 180 por 5 menos 2, todo entre 5, que es igual a 180 por 3 entre 5, igual a 108.
Para la construcción considera un pentágono con un radio de 8 cm. Como el ángulo interior que es de 108 grados, haciendo uso del triángulo isósceles ABC que se forma dentro del pentágono se tiene que tanto el ángulo <OAB= <OBA = 54 grados por ser la mitad del ángulo interior de 108 grados.
4. Pentágono, Angulo interior
https://youtu.be/yP_uPscqdVM
Seguramente el trazo que acabas de realizar también te quedará muy bien. Recuerda que la habilidad se adquiere con la práctica; realiza estos trazos para que logres un alto grado de destreza. Con el procedimiento anterior se puede trazar el polígono regular que se desee, incluso si se desconoce el radio de la circunferencia en que va a ser inscrito, éste se puede calcular mediante funciones trigonométricas.
También puedes trazar polígonos regulares con circunferencias cuyo radio sea arbitrario, pues lo que estás requiriendo es el ángulo interior.
Recuerda que un polígono regular es semejante a otro que tenga el mismo número de lados y sea regular.
Has aprendido cómo trazar polígonos regulares dados uno de sus lados, un ángulo central o un ángulo interior.
Realiza diversos polígonos utilizando los procedimientos anteriores.
El Reto de Hoy:
Si cuentas con los materiales correspondientes, elabora un hexaflexágono, que es un polígono dinámico a base de triángulos equiláteros.
Se requiere cartulina, pegamento, juego geométrico y colores, que se mencionaron al inicio. Existen en internet diversos tutoriales para lograrlo.
Diviértete realizando diseños geométricos diversos que ayuden a reafirmar los conocimientos trabajados en la sesión.
