1
14488..220044..221111..113344//ppoolliilliibbrrooss//zz__bbaassuurraa//PPoolliilliibbrrooss//PPrroobbaabbiilliiddaadd//ddoocc//UUnniiddaad d 33//33..66..HHTTM M 11//66
VII.1. Distribución Uniforme
VII.1. Distribución Uniforme
VI
VI
I.1.1
I.1.1
.
.
Función
Función
de
de
Densidad
Densidad
Una variable aleatoria continua
Una variable aleatoria continua X X se apega a un modelo probabilístico uniforme ense apega a un modelo probabilístico uniforme en
el intervalo [
el intervalo [a, ba, b], si todos los puntos del intervalo tienen la misma probabilidad de], si todos los puntos del intervalo tienen la misma probabilidad de
ocurrencia.
ocurrencia.
Definic
Definición. ión. Una Una variable variable aleatoria aleatoria X X está está distribuidistribuida da uniformementuniformemente e en en el el
intervalo [a, b], en donde a y b son finitos, si su función de densidad es:
intervalo [a, b], en donde a y b son finitos, si su función de densidad es:
La gráfica que representa esta distribución es:
La gráfica que representa esta distribución es:
Poner gráfica
Poner gráfica
De acuerdo a lo anterior, una variable aleatoria distribuida uniformemente, tiene
De acuerdo a lo anterior, una variable aleatoria distribuida uniformemente, tiene
una función de densidad que es una constante en el intervalo de definición [
una función de densidad que es una constante en el intervalo de definición [a, ba, b].].
A
A fifin n de de satisfacer satisfacer la la cocondicindición ón de de que que , , la la fufuncinción ón de de densidaddensidad
debe ser igual al recíproco de la longitud del intervalo.
debe ser igual al recíproco de la longitud del intervalo.
Para cualquier subintervalo [
Para cualquier subintervalo [c, c, d d ], en donde], en donde aa cc<<dd bb, , llaa P(c P(c xx d)=d)=
. Así, la probabilidad sólo depende de la magnitud del
. Así, la probabilidad sólo depende de la magnitud del
subintervalo y no de la ubicación del mismo.
subintervalo y no de la ubicación del mismo.
VI
VI
I. 1.
I. 1.
2.
2.
Función de
Función de
Distribu
Distribu
ción Acumu
ción Acumu
lada.
lada.
La Función de Distribución Acumulada está dada por:
La Función de Distribución Acumulada está dada por:
, por lo que:
2
255//0033//113 3 33..6 6 DDiissttrriibbuucciióón n uunniiffoorrmme e dde e pprroobbaabbiilliiddaadd
Ejemplo 7. 1. Sea
Ejemplo 7. 1. Sea X X una línea cuyos valores se apegan a una distribuciónuna línea cuyos valores se apegan a una distribución
uniforme. Se elige un punto al azar sobre el segmento de la línea [0, 2]. ¿Cuál es la
uniforme. Se elige un punto al azar sobre el segmento de la línea [0, 2]. ¿Cuál es la
probabi
probabilliidad de qudad de que el e el punpunto elto elegegiido se endo se encucuenentre entre entre 1 y tre 1 y 1.5?.1.5?.
Solución.
Solución.
Se ha establecido que para cualquier subintervalo que está dentro del intervalo
Se ha establecido que para cualquier subintervalo que está dentro del intervalo
donde tiene validez la distribución, la probabilidad se calcula mediante la siguiente
donde tiene validez la distribución, la probabilidad se calcula mediante la siguiente
expresión: expresión: P(c P(c xx d)=d)= En consecuencia: En consecuencia:
Ejemplo 7.2. La cantidad de refresco que se despacha en un baso es una variable
Ejemplo 7.2. La cantidad de refresco que se despacha en un baso es una variable
aleatoria que se distribuye en forma uniforme entre [130, 160] mililitros. Calcular
aleatoria que se distribuye en forma uniforme entre [130, 160] mililitros. Calcular
la probabilidad de que un vaso contenga a lo más 140 mililitros.
la probabilidad de que un vaso contenga a lo más 140 mililitros.
Solución.
Solución.
Deseamos encontrar P(
Deseamos encontrar P( x x 140) y sabemos que el planteamiento corresponde a la140) y sabemos que el planteamiento corresponde a la
función de distribución acumulada para el valor 140. Utilizando la expresión
función de distribución acumulada para el valor 140. Utilizando la expresión
correspondiente vista anteriormente tenemos:
correspondiente vista anteriormente tenemos:
Ejemplo 7. 3. Se sabe que el peso
Ejemplo 7. 3. Se sabe que el peso X X de ciertos bloques de acero, es una variablede ciertos bloques de acero, es una variable
aleatoria continua distribuida uniformemente en el intervalo [50,70] toneladas.
aleatoria continua distribuida uniformemente en el intervalo [50,70] toneladas.
Encontrar:
a)
a)
b)
b)
Ejemplo 7. 4. Suponga que la variable aleatoria
Ejemplo 7. 4. Suponga que la variable aleatoria X X está distribuida uniformementeestá distribuida uniformemente
en el intervalo
en el intervalo [[--aa,, a]a]. Determinar el valor de. Determinar el valor de aa de modo que se satisfaga quede modo que se satisfaga que
P( P( x x > 1) = 1/3> 1) = 1/3 Solución. Solución. Tenemos que Tenemos que
Por otra parte sabemos que:
Por otra parte sabemos que:
por l
por lo queo que::
Ejemplo 7. 5. Suponga que
Ejemplo 7. 5. Suponga que X X está distribuida uniformemente en el intervalo [2, 8].está distribuida uniformemente en el intervalo [2, 8].
a)
a) CalculCalcular ar P(2P(2 ££ x x ££ 7)7)
b)
b) DetDetermermiinanar el r el vvalalor de lor de la cona constanstantetek,k, de modo que: P(de modo que: P( X > k X > k ) = 0.30) = 0.30
Solución.
Solución.
De acuerdo a lo visto anteriormente sabemos que
2
255//0033//113 3 33..6 6 DDiissttrriibbuucciióón n uunniiffoorrmme e dde e pprroobbaabbiilliiddaadd a)
a) Calcular la probabilidad de que el tiempo en que se realiza un experimentoCalcular la probabilidad de que el tiempo en que se realiza un experimento
esté entre 1.5 y 3 minutos.
esté entre 1.5 y 3 minutos.
b)
b) Si se realizan 5 experimentos ¿Cuál es la probabilidad de que 2 de ellos seSi se realizan 5 experimentos ¿Cuál es la probabilidad de que 2 de ellos se
realicen en un tiempo de entre 1.5 y 3 minutos?
realicen en un tiempo de entre 1.5 y 3 minutos?
Solución.
Solución.
a)
a) Sabemos Sabemos queque
c)
c) Si analizamos esta pregunta y tomamos en cuenta el resultado del incisoSi analizamos esta pregunta y tomamos en cuenta el resultado del inciso
anterior, nos damos cuenta que se debe utilizar la distribución binomial, en la que
anterior, nos damos cuenta que se debe utilizar la distribución binomial, en la que
p
p = 0.5,= 0.5, qq = 0.5,= 0.5, nn = 5 y= 5 y x x = 2, por lo que:= 2, por lo que:
VII. 1. 3. Media o Esperanza.
VII. 1. 3. Media o Esperanza.
En el capítulo anterior vimos que la media o valor esperado de una
En el capítulo anterior vimos que la media o valor esperado de una
variable
variable aleatoraleatoriia a continucontinua a es es . . Si Si referimreferimosos
esta expresión al intervalo [
esta expresión al intervalo [a, a, bb] y utilizamos la función de densidad de la] y utilizamos la función de densidad de la
distribución, tenemos que:
distribución, tenemos que:
Ejemplo 7. 6. Sea una variable aleatoria que se distribuye en forma uniforme en el
Ejemplo 7. 6. Sea una variable aleatoria que se distribuye en forma uniforme en el
intervalo [2, 6]. Calcular la media o valor esperado.
intervalo [2, 6]. Calcular la media o valor esperado.
Solución.
Solución.
Sabemos que
Solución.
Solución.
a)
a) SaSabemos bemos que que y y sustitusustituyendo yendo valvaloreores s tenemostenemos
. Despejando nos queda
. Despejando nos queda bb = 2(40,000) – 30,000 == 2(40,000) – 30,000 =
50,000 50,000 c) c) P(P( x x > 34,000) = 1-> 34,000) =
1-VII. 1. 4. Variancia.
VII. 1. 4. Variancia.
También vimos que la variancia se calcula con la siguiente expresión:
También vimos que la variancia se calcula con la siguiente expresión:
, donde
, donde .. Si nuevamenteSi nuevamente
referimos esta expresión al intervalo [
referimos esta expresión al intervalo [a, ba, b] y utilizamos la función de densidad de] y utilizamos la función de densidad de
la distribución, tenemos:
la distribución, tenemos:
Sustituyendo valores tenemos:
Sustituyendo valores tenemos:
=
=
Este resultado indica que la variancia de
Este resultado indica que la variancia de X X no depende individualmente deno depende individualmente de aa y dey de
b
b, sino sólo de (, sino sólo de (b-ab-a))22, es decir, del cuadrado de su diferencia. Por lo tanto, las, es decir, del cuadrado de su diferencia. Por lo tanto, las
variables aleatorias distribuidas uniformemente en un intervalo (no necesariamente
variables aleatorias distribuidas uniformemente en un intervalo (no necesariamente
el mismo), tendrán variancias iguales si las longitudes de los intervalos son iguales.
2
255//0033//113 3 33..6 6 DDiissttrriibbuucciióón n uunniiffoorrmme e dde e pprroobbaabbiilliiddaadd Solución.
Solución.
Lo primero que debemos conocer es el intervalo [a, b] donde tiene validez la
Lo primero que debemos conocer es el intervalo [a, b] donde tiene validez la
función, para lo cual debemos calcular los valores de
función, para lo cual debemos calcular los valores de aayybb. Con los datos que. Con los datos que
proporci
proporcionona el a el problproblemema podema podemos estos establablecer uecer un n sisistemstema de 2 ecua de 2 ecuaciacioneones con s con 22
incógnitas, como veremos a continuación. Sabemos que:
incógnitas, como veremos a continuación. Sabemos que:
y
y tambtambién ién queque
Despejando de la ecuación (1) obtenemos
Despejando de la ecuación (1) obtenemos bb = 2 = 2 – – aa y haciendo lo propio de lay haciendo lo propio de la
ecuación
ecuación (2) (2) tenemtenemos os que que y y sacando sacando raíz raíz cuadradcuadradaa
, por lo que
, por lo que bb= 4 += 4 + aa..
Igualando las ecuaciones nos queda 2 –
Igualando las ecuaciones nos queda 2 – aa = 4 += 4 + aa. Despejando tenemos que. Despejando tenemos que aa ==
--1. 1. SustiSustituytuyendoendo aa = = --1 en 1 en lla ecuacia ecuaciónónbb = 4 += 4 + aaobtenemosobtenemos bb= 3.= 3.
Sabemos que P(
