EXPRESIONES ALGEBRAICAS

(1)

1. Expresión Matemática

Es una representación matemática formado por números y/o letras anexados por diferentes operadores matemáticos. Ejemplos:  2 3 7 3x y (xy)  7 3 2b 3 c a      senxcosy  _3log_a_arctg ₃4 OBSERVACIÓNES 4

2e ; 7  ; sen45son expresiones numéricas.

2. Notación Matemática

Es aquella representación simbólica de una expresión matemática que nos permite diferenciar a las constantes de las variables.

3. Variables

Son aquellas expresiones que para el problema cambian de valor. Generalmente se les representa mediante las últimas letras del alfabeto.

(x, y, z, …) 4. Constante

Son aquellas expresiones que tienen un valor fijo para todo el problema. Ejemplos:  2 3 5 2 4 6 9 12 ( , , ) 3 5 3 P x y z  x y z  x y  x y z Variable :

x y z

, ,

Constantes:

3; 5; 3



 _{( , , )} 3 3 2 4 5 2 3 25 4 5 Q a b c a b c ea b c a bc Variable :

a b c

, ,

Constantes:

; ;

2

4 e

5 

_

EJERCICOS DE APLICACIÓN 1. Indica las variables y constantes en:

a. _{J x y}_{( , )}₂₁₉_{x y}2 4₂₀₀₅_{x y}12 6 Variable : ________________________ Constante : ________________________ b. _{( , , )} ₃ 4 5 ₂ 4 7 4 6 5 3 M a b c  a b  ea c  b c Variable : ________________________ Constante : ________________________ c. _{Q x y z}_{( , , )}₂_{a b x}5 5 6₆_{a b y}5 6 7₂₁₉_{a b z}6 7 2005 Variable : ________________________ Constante : ________________________ 5. Expresiones algebraicas

Es una expresión matemática en la cual figuran constantes y variables con las que se realiza operaciones de adición, sustracción, multiplicación, división, elevación a exponente natural y extracción de una raíz aritmética, en un número limitado de veces. Ejemplos  2 1 ( ) 3 J x x  x  x  6 2 3 ( ) 2 x x M x x x       3 219 2 5 3 4 4 ( , ) 3 x 4 Q x y x y x y y       OBSERVACIÓN a. J x( )    x x x ... No es una expresión algebraica, porque tiene infinitos términos.

b. _{M x}_{( )}₃_xx₄_xx1 No es una expresión algebraica, porque la variable “x” aparece como exponente.

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

(2)

6. Término algebraico

Es aquella expresión algebraica que solo contiene productos y cocientes de números y letras.

Ejemplo a. A x( )3x219 b. 4 13 ( , ) 2005 B x y   x y c. 7 8 16 ( , ) 9 x C x y y  OBSERVACIÓN 2

3x 7xyes una expresión algebraica que consta de dos términos algebraicos.

7. Partes de un término algebraico Posee tres partes:

1. Coeficiente o parte constante (incluye el signo) 2. Variable o parte variable

3. Exponentes de las variables Sea:

PROBLEMA DE APLICACIÓN

1. Ubica en el recuadro las partes que se indican en cada término algebraico.

8. Clasificación de las expresiones algebraicas

Las expresiones algebraicas se pueden clasificar tomando en cuenta la forma o naturaleza de sus exponentes y por su extensión o número de términos.

SEGÚN LA NATURALEZA DEL EXPONENTE a. Expresión algebraica racional (E.A.R)

Una expresión algebraica se llama racional, si los exponentes de las variables son números enteros.  _{J x}_{( )}₄_x3₂_{x y}2  4 3 5 ( ) 3 2 M x  x x  x  3 7 ( , ) 2 4 3 y Q x y  e  

Las expresiones algebraicas racionales pueden ser:

Expresión algebraica racional entera (E.A.R.E.)

Una expresión racional se llama entera respecto de las variables dadas, si no contiene la operación de división por cada variable dada.

 3 2 ( ) 3 2 3 J x  x  x   _{( , )} 6 _{( 7} ₅₎ 3 2 y M x y ex   xy  1 2 6 3 4 ( , , ) Q x y z a x  b y c z e

Expresión algebraica racional fraccionaria (E.A.R.E.)

Una expresión racional donde se define una división que tenga en el divisor por lo menos una variable. Ejemplos.  219 2005 ( ) 2 3 J x x x     2 3 2 12 ( , ) ( ) M x y ex y x y xy         Q x y z( , , ) 12ab 16bc 18ac x y x z y z       OBSERVACIÓN

Recuerda que las variables presentan exponente negativo o existe el denominador con variable. b. Expresión algebraica irracional(E.A.I.)

Son aquellas expresiones algebraicas en donde se define por lo menos una radicación que involucre a las variables.

 2 4 ( ) 219 3 M x  x x x x  A x y( , ) x y2xy  _{P x y z}_{( , , )}_{2 3}_x3₃_y ₁ 4_z₁ OBSERVACIÓN

Las expresiones algebraicas irracionales presentan radicales afectando a la parte variable.

(3)

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1. Señale con un aspa (X) la clasificación de las expresiones algebraicas tomando en cuenta los exponentes de las variables.

VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN MATEMÁTICA Consiste en sustituir las variables por números o constantes efectuando las operaciones indicadas, el valor resultante recibe el nombre de valor numérico de la expresión matemática. Ejemplos: 1. Sea:

P x

( )



2 x



3

para

x



2 (2)

2(2) 3 1

P



 

2. Sea: 2

5 ( , , )

1 a b

c

Q a b c

a







para

a

 

2

;

1

4 b



_;

c



0, 6

Resuelve TEOREMAS Sea: 1 2 0 1 2 0

( )

n n n

...

_n

;

0 P x



a x



a x





a x



 

a



1. Suma de los coeficientes:

0 1 2 3

(1)

...

_n

P



a

 

a

  

a

2. Término independiente:

(0)

_n

P



a

POLINOMIOS 1. Definición.

Es la expresión algebraica que consta de dos o más términos, en el cual los exponentes de las variables son números enteros no negativos. Ejemplos.



P x

( )



3 x



5

 5

( , )

5 Q x y



x



y

 3 2

( , , )

2 M x y z

 

x y z

Un polinomio es la suma algebraica de monomios.

Expresión algebraica racional entera Expresión algebraica racional fraccionaria Expresión algebraica irracional 2 2 2

( , )

J x y



x



y



z

( , )

U x y



ax



b y

( , )

3

e

A x y



x





2 ( , )

x

y

N x y

xy





3 2

( )

2 ( 7

2)

A x



x









x

2 4 5 6 3

4

3

16 ( )

x

T x

y







4 1 1/ 2 5

( , )

2 S x y



x



e





y

 1 2 3

1 ( )

0!

1!

2!

3!

x

k x





(4)

2. Monomio

Es la expresión algebraica racional entera que consta de un solo término, en el cual los exponentes de las variables son cantidades enteras no negativas. Ejemplos.  7 3

( ; )

2 M x y

 

x y

 9 5 6

( ; )

6 R x y

 

x y z

3. Binomio: Es la suma algebraica de dos monomios. 4. Trinomios: Es la suma algebraica de tres monomios. Para “n” monomios se llamará polinomios de “n” términos. Ejemplos:

 2

1 x



;

x

2



1;

xyz



2 xyz

4son binomios.

 2 3

3 4



x



x

;

x



4 xyz



219

son trinomios.

5. Polinomios de una variable

Es aquella expresión algebraica de la siguiente forma general: 1 2 0 1 2 0

( )

n n n

...

_n

;

0 P x



a x



a x





a x



 

a



Donde: 0

,

1

,

2

,... ;

n

a a a

a

Coeficientes

:

x

Variable

:

n

Grado del polinomio

0

:

a

Coeficiente principal

:

n

a

Término independiente GRADOS DE UN POLINOMIO I. GRADOS DE UN MONOMIO

a. Grado Relativo (G.R.) Respecto a una variable es el exponente de dicha variable.

b. Grado Absoluto (G.A.) Esta dado por la suma de los grados relativos de las variables.

Ejemplo: Sea: 2 3 4 9 13

( , , )

3 M x y z



a b x y z

Completa:

. .( )

4 G R x



G R y

. .( )



___

. .( )

____

G R z



G A M

. .(

)



___

II. GRADOS DE UN POLINOMIO

a. Grado Relativo (G.R.) Respecto a una variable, esta dado por el mayor exponente de dicha variable en el polinomio.

b. Grado Absoluto (G.A.) Esta dado por el mayor grado absoluto que presentan los términos del polinomio. Ejemplo: Sea 2 4 8 3 2 6 4 5 5

( , )

2

3

4 M x y



x y



x y



x y

. .( )

5 G R x



G R y

. .( )



___

. .(

)

___

G A M



POLINOMIO ESPECIALES

Son aquellos polinomios que obedecen a ciertas características y de acuerdo a ello son:

I. Polinomio homogéneo.

Es aquel polinomio de dos o más variables en el cual todos sus monomios presentan el mismo grado absoluto.

Ejemplo:

2 3 4 3 2

( ; )

219 2005

2 J x y



x y



x y



x y

GA=5 GA=5 GA=5 II. Polinomio ordenado

Un polinomio es ordenado, con respecto a una de sus variables, cuando los exponentes de dicha variable van aumentando o disminuyendo. Ejemplo: 9 7 2 5 4 6 2

( ; )

3

12

7 Q x y



y



y x



y x



x y

Es creciente respecto a “x”

Es decreciente respecto a “y” III. Polinomio completo

Un polinomio es completo respecto a alguna de sus variables si esta presenta todos los exponentes es decir desde el mayor exponente hasta el de menor exponente.

Ejemplo:

5 3 2 4

( )

2 3 2

4

7 P x



x



x

 

x



x



x

El polinomio es completo respecto a “x” pero desordenado.

IV. Polinomio completo y ordenado

Un polinomio es completo y ordenado con respecto a alguna de sus variables cuando satisfacen las definiciones de polinomio completo; así como la de polinomio ordenado en forma simultánea.

Ejemplo:

2 3 4 5

( )

2005 3

24

19

17 M x





x



x



x



x



x

El polinomio

M x

( )

es completo respecto a “x” y ordenado en forma creciente.

V. Polinomios idénticos (≡)

Dos polinomios reducidos, del mismo grado con las mismas variables son idénticos cuando los coeficientes que afectan a sus términos semejantes son iguales. Ejemplo: Sea:

P x y

( ; )



ax

2



3 xy cy



2 2 2

( ; )

219 2005

Q x y



x



bxy



y

Si:

P x y

( ; )



Q x y

( ; )

2 2 2 2

3

219 2005

ax



xy cy





x



bxy



y

219; 3

;

2005

a



b c



(5)

VI. Polinomio idénticamente nulo(≡0)

Un polinomio es idénticamente nulo cuando todos sus coeficientes son ceros; se anulan, por lo tanto, para cualquier valor que se le asigne a la variable.

Sea:

P x

( )



Ax

2



Bx C



Si:

P x

( )



0

2

0 Ax



Bx C

 

0;

0 A

B

C

 



Ejemplo: Sea: 2 2

( ; )

(

2)

(

3)

(

4)

J x y



a



x

 

b

xy

 

c

y

( ; )

0 J x y



2 2

(

a



2)

x

 

(

b

3)

xy

 

(

c

4)

y



0

2 0;

3 0;

4

0 a

b

c

  

 

2;

3;

4 a



b



c



VII. Polinomio mónico

Un polinomio será Mónico cuando su coeficiente principal sea la unidad.

Ejemplo: 2

( )

5

3 J x



x



x



3 4

( )

4 5

7 M x

 

x



x



x

VIII. Polinomio constante

Un polinomio de una o más variables es constante si adopta el mismo valor numérico para cualquier valor asignado a cada una de sus variables.

a.

J x

( )



3

b.

Q x y

( ; )



2 APLICAMOS LO APRENDIDO

1. Escribe SI, si es un polinomio y NO, si no lo es.

a. 9

( ) 17

2

1 P x



x



x



______ b. 2

( ; )

5

2 Q x y



x



xy



______ c.

( )

521

1

5

1

2 R x



x





x



______ d.

( )

17

5 F x

x





______

2. De las siguientes expresiones de variables “x” e “y”

 3 4

219 x



2005

x



3

 5 3

7 x



6 xy





6



5

6

3 x



4 

x

 4

2 3 5

5 x

x





 6 5 2

8

219 x



x



 2 4

7 x

x



3 x



8

Se puede afirmar: a) 3 son irracionales b) 3 son racionales enteras c) 2 son irracionales d) 2 son racionales enteras e) 3 son racionales fraccionarias

3. Si: 2

( )

2

1 P x



x



Calcula:

(2) (1)

(0) (2)

( 2)

( 1)

P

E

P





 



a) 1 c) 3 e) 0 b) 2 d) 4 4. Siendo: 2

1 ( )

x

P x

x





2

1 ( )

x

Q x

x





( , )

x

y

F x y

y

x

 

Calcula:

F P



(2), (2)

Q



a)

15

16

c)

16

15

e) 2 b) 1 d)

16

5

5. ¿Cuál es el valor numérico de la expresión?

1 1 1

3

1

3 x

x

  



_

_

_

_

_

_

_





_{ }

_

_

_

_







_

_





_

_







para:

1

3 x

 

a)

1

4

c)

1

2

e)

9

2

b) 2 d) 4 6. Si: 99 94

( )

2

64

5 P x



x



x

 

x

Calcula:

E



P

(2)

  

P

( 1)

P

(1)

a) -141 c) -72 e) -66 b) -143 d) -75

(6)

7. Si:



2



2 5;" " 2;" "

( )

_xx x es par_{x es impar}

F x



_ Calcula:

F F

( (4))

a) 6 c) 11 e) 16 b) 9 d) 14 8. Si:

Q

1

4 x

2

2 x

5 x



_



_

_









Calcula:

3

2 Q

 

_{ }

 

a) 12 c) 14 e) 13 b) 15 d) 16

9. Sean las expresiones:

(

1)

3 P x

  

x

(

1)

2

1 Q x

 

x



3

(

7)

M x

 

x

(

2) 1

N x

 

Calcula:

P Q M N

( (

( (10))))

a) 0 c) 7 e) 10 b) 20 d) 8 10. Dado el polinomio: 15 19

( )

2

4 F x



x



x

 

x

I. Su grado es 19.

II. El término independiente es 4. III. El polinomio tiene 4 términos. IV. La suma de coeficientes es 10. V. Su mayor coeficiente es 3.

¿Cuántos enunciados verdaderos hay?

a) 1 c) 3 e) 5

b) 2 d) 4

11. Dado los polinomios:

2 6 4 2 5 7 7 6

( , )

2

219 P x y



a x y



b x y



x y

I. G.R.(x)>G.R.(y)

II. G.A.(P)=14

III. La suma de coeficientes es: 2 2

2

219 a



b



. a) FFV c) VFV e) FVF b) FVV d) VVV 12. Dado el monomio: 2 2 3 3 2

( , )

(

1)

n n

M x y



n



x



y

 Se tiene: G.R.(x)=7

Calcula: G.R.(y) + coeficiente (M)

a) 17 c) 2 e) 41 b) 20 d) 35 13. Dado el polinomio: 2 1 6 4 4

( , )

m n m n m n

P x y



x



y





x



y



x



y

 Si el G.R.(x)=20 y el grado absoluto es igual a 40, calcula el G.R.(y).

a) 22 c) 20 e) 18

b) 24 d) 28

15 45 30

( )

3

5

7

1 P x



x



x



x



9 12 18

( )

7

3

219 Q x



x



x



x



Calcula

_{G A}

_{. .}



9

_{P Q}





a) 2 c) 4 e) 6 b) 3 d) 5

( )

: . .( )

7 . .( )

3 P x y Q x en el cual G A P

 

G A Q



Indica cuántas de estas proposiciones son falsas:



_{G A P Q}

_{. .}









₇



_{G A P Q}

_{. .}









₃



_{G A P Q}

_{. .}



_.





₁₀



 

3

. .

21 G A P





_{G A}

_{. .}

 

3

_Q



₁





2 4



. .

14 G A P



Q





_{G A P}

_{. .}



2



_Q

7





₀





4



. .

.

19 G A P Q







3 6



. .

3 G A P



Q



a) 1 c) 3 e) 5 b) 2 d) 4

(7)

16. Sabiendo que los términos semejantes:

2 9 3 16 3 5

5 x

a

y

b

; 6

x

a

y

b son semejantes. Reconoce otro término semejante a las anteriores. a)

x y

7 23 c) 21 4

x y

e) 5 20

x y

b)

x y

23 7 d) 4 21

x y

17. Si en el polinomio: 2 3 5 4 6 2

( , )

4

m n m

8

m n m

7

m n m

P x y



x

 

y





x

 

y





x

 

y

 Se verifica que la relación entre los grados relativos de “x” e “y” es 2 y además que el menor exponente de “y” es 3. Halla su grado absoluto.

a) 15 c) 17 e) 21

b) 16 d) 18

18. Si el grado absoluto de:

2 3 1 3 1 3 3

( , )

a b

7

a b

5

a b

P x y



x y



x y



x y

 , es igual a la mitad de la suma de los exponentes de todas sus variables.

Calcula: G.R.(y)

a) 2 c) 4 e) 6

b) 3 d) 5

19. ¿Cuáles de los siguientes polinomios son homogéneas? (puedes marcas más de uno)

a)

J x y

( , )



2 x

5



3 x y

4



10 x y

3 2



15 x y

2 3



9 y

5 b)

T x y

( , )



219 x

3



2015

y

3



7 xy

2

 

5 33

x y

2 c)

A x y

( , )



a xy

2 3



b x y c xy

3 2



4



y

6 d) 6 6 2 2 2

( , , )

2

2 2015

A x y z



x



y



x y z

20. Ordena en forma ascendente los siguientes polinomios: a)

J x

( )

 

45 x

3



32 x

2

 

17 13

x

_________________________________________ b)

M x

( )



4 x



7 x

5



8 x

3



7 x

2



5

_________________________________________ c)

N y

( )



3 y

7

 

12 9

y

12



2015

y

20



4 y

3 _________________________________________ d)

Q y

( )



y

2



4 y

25



2 y

8



17 y

16



6 y

5 _________________________________________

21. Ordenas en forma descendente los siguientes polinomios. a. 4 2 7

( )

23

13

16

13 J x



x



x



x



x

_________________________________________ b. 2 6 3 8

( ) 13

6

7

12

13 M x



x



x



x



x



x

_________________________________________ c. 3 2

( )

2 3

4

5 N x

 

x



x



x

-________________________________________ d. 33 46 4 26

( )

2

13

25 Q y



y



y



y



y

_________________________________________ 22. Dado los polinomios:

a.

J x

( )

 

3 x

m



3 x

4



5 x

3



4 x

2



2 x



1

b.

M x

( )



2 x

n



3 x

2



7 x



12

c.

N x

( )

 

4 5

x



3 x

2



219 x

3



4 x

q d. 2 3 4

( )

2 2

13

27

5

2

p

Q x

 

x



x



x



x



x

Si todos los polinomios son completos y ordenados entonces, ¿cuál es el valor de “m+n+p+q”?

a) 16 c) 17 e) 19 b) 15 d) 18 23. Si 2 2

( ; )

3 P x y



ax



y

2 2

( ; )

2 (

1)

Q x y



x

 

b

y

Sabiendo que:

P x y

( ; )



Q x y

( ; )

Halla “a+b” a) 6 c) 8 e) 10 b) 7 d) 9 24. Si el polinomio: 3 2

( )

(

2)

(3

9)

7 P x



a



x



b



x

 

c

es idénticamente nulo. Halla: “a+b+c”

a) 11 c) 13 e) 15

b) 12 d) 14

25. Calcula: “a+b+c” si el polinomio:

3 2 5 8 4 10 9

( ; )

a

5

b

6

c

P x y



x



y



x



y



x y



x y

es homogénea. a) 44 c) 42 e) 40 b) 43 d) 41

(8)

NADA HAY TAN CONTAGIOSO COMO EL OPTIMISMO.

VIVIR CON UN AMIGO OPTIMISTA ES ENCONTRAR LA CLAVE DE LA FELICIDAD.EL LLANTO DE LOS OTROS SUELE HACERNOS LLORAR; PERO LA RISA DE LOS OTROS, INVARIABLEMENTE, IRRESISTIBLEMENTE, NOS HARÁ REÍR.

AMADO NERVO

QUÉ FÁCIL, YA LO SÉ

1. Si el polinomio: 3 1 2 8

( ; )

a a b

2

b

P x y



ax





abx



y



by

 es homogénea. La suma de sus coeficientes es:

a) -3 c) 11 e) 16

b) 3 d) 14

2. Dado el polinomio homogéneo:

3 2 4 2 7 1 3

( ; )

5

a b a b a a b

P x y



x



y



x y



x



y

 Calcula: G.A.(P) + ab a) 5 c) 10 e) -10 b) 15 d) -5 3. El siguiente polinomio:

 

4 3 9 3 2

( )

5

a

10

a b

20

b c a

P x



x





x

 



x

  Es ordenado en forma creciente y completo. Calcula: “ab + bc + ac”.

a) 15 c) 22 e) 29

b) 20 d) 27

4. Si el polinomio es completo y ordenado:

0 5 3 6 2 ( )

( )

3

p n

4

n m

7

m m p

P x



x

 



x

 



x





x

  Calcula: (m+n+p) a) 21 c) 23 e) 25 b) 22 d) 24

5. Si el polinomio de 14 términos es completo y ordenado: 4 1 2 3

( )

n

...

a a a

P x



x



x





x





x

 Calcula: “a + n” a) 3 c) -4 e) 12 b) 9 d) 16

6. Un polinomio cuadrático P(x) cumple las condiciones:

(1)

2 (3)

P



P

y

P

(2) 2

 

3 (4)

P

Calcula:

P

(5)

a) 0,8 c) 1,2 e) 1,6

b) 1 d) 1,4

7. Halla “a + b + p” en:





5





3 5 3 2 3 ( 7) 14 24 10 a a b a  x  b  x  p  x  x  a) 21 c) 23 e) 28 b) 22 d) 24 8. Si el monomio: 3

( ; )

2

b a b a b

M x y



a x



y

 es de grado 12 y GR(x)= 11 Indica el coeficiente. a) 2 c) 18 e) 500 b) 12 d) 250

9. Si el G.R.(x) es “a” y el G.R.(y) es “b”. ¿Cuál es el G.A.(M)? 4 1 7 4 3

.

( ; )

.

a b b a

x

y

M x y

x

y

   



a) 1 c) 3 e) 9 b) 2 d) 4 10. En el siguiente polinomio: 3 2 6 2 3

( ; )

5

n m n n m n m

P x y



x



y



z





x



y



z

 Donde: G.R.(x) – G.R.(y) = 3 y GA(P)= 13 Calcula: 2m – n

a) 5 c) 7 e) 12

b) 6 d) 9

11. Si: P(x) es de 5to grado. Q(x) es de 4to grado. R(x) es de 3er grado.

Halla el grado de:









4 3 2

.

P

Q

R

P Q P Q



a) 3 c) 5 e) 2 b) 4 d) 6 12. Si:

F x



3

  

1 

x

5  







...

7 ...





 

1 

F F

F



F F y



Halla: “y” a) 1 c) -1 e) -2 b) 0 d) 2 13. Si

P x

( )



3 x



8

y

P Q x

( ( ))



6 x



5

Calcula: Q(5) a) 1 c) 5 e) 9 b) 3 d) 7