SIMULACIÓN POR EL METODO DE ELEMENTOS FINITOS DEL
PROCESO DE SECADO DE GRANOS DE ARROZ
Nicolás Morello, Ezequiel Quevedo, Leandro Tavolini
Grupo de Investigación en Tecnología de la Maquinaria AgrícolaFacultad Regional Villa María Universidad Tecnológica Nacional 5900 Av. Universidad 450 Villa María. Argentina
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Palabras claves: Difusión, elementos finitos, transferencia de masa, humedad.
Resumen. En el presente trabajo se estudia el fenómeno de transferencia de masa y
energía producido durante el proceso de secado de cereales, con el objeto de determinar la distribución espacial de estas variables a diferentes tiempos de operación.
Este proceso consiste en el calentamiento del grano por circulación de aire a temperatura predeterminada y la disminución del contenido de humedad del interior de éste por difusión de vapor.
El conocimiento de la distribución y el gradiente de humedad y temperaturas en cada punto y para cualquier instante permite determinar los parámetros de secado óptimos evitando efectos indeseables y de alto costo económico como son la ruptura o quiebre del producto entre otros.
El software MATLAB fue utilizado para la resolución de las ecuaciones diferenciales que gobiernan este fenómeno, obteniéndose de la literatura las propiedades físico-químicas requeridas para la simulación.
Los resultados obtenidos se compararon con datos experimentales demostrándose un buen acuerdo entre estos.
1 INTRODUCCION
El secado de granos es objeto de variados estudios teóricos, debido a fenómenos asociados como son la ruptura de los mismos [1], [2].
Este proceso implica la pérdida parcial de la humedad en el grano por circulación de un flujo de aire caliente de baja humedad durante un tiempo de contacto predeterminado.
El conocimiento de la distribución y el gradiente de humedades dentro del grano permite determinar el proceso de secado óptimo, y determinar las causas de fisuras y rupturas, que conducen al quiebre posterior del grano [3].
2 DESARROLLO
2.1 Modelo geométrico y matemático adoptado
En este trabajo se procura encontrar la distribución de humedad (concentración de agua) en granos individuales de arroz sometidos a un proceso de secado, en un ambiente de temperatura y humedad constantes.
La geometría adoptada para el grano de arroz es una simplificación ya propuesta, que considera el mismo como un elipsoide de revolución formado por tres capas concéntricas, denominadas endospermo, salvado y cáscara [4].
El modelo matemático que describe este problema consiste en la transmisión simultánea de calor y masa en la mencionada geometría de capas compuesta y se describe por las clásicas ecuaciones diferenciales a derivadas parciales de conducción en estado no estacionario [5].
Fig.1. Geometría adoptada para el grano de arroz
Un modelo simplificado del fenómeno y adoptado para este estudio, asume que puede despreciarse el proceso asociado de transmisión de calor por radiación y conducción. Se considera también la no dependencia de la difusividad con la temperatura, sin una apreciable pérdida en la calidad de los resultados [6], [7].
Las propiedades físicas y térmicas de las diferentes capas del grano de arroz y las características del aire de secado corresponden a datos experimentales publicados [8], [9]. El movimiento de la humedad en un medio poroso durante el secado puede responder, según la literatura, a los siguientes mecanismos [10]:
1- Difusión liquida: Debido a los gradientes de concentración de la humedad. 2- Difusión del vapor: Debido a los gradientes de presión parcial del vapor.
3- Flujo de líquido o vapor: Debido a diferencias en la presión que existe en el interior de los poros y el medio secante.
4- Movimiento del líquido: Debido a fuerzas capilares (Flujo capilar).
5- Difusión superficial: Movimiento debido a la difusión en la superficie del poro.
6- Efusión (Flujo Knudsen): Se presenta cuando el camino libre medio de las moléculas de vapor es del orden del diámetro de los poros.
7- Movimiento del líquido debido a la gravedad.
proceso se ha decidido considerar únicamente el movimiento del agua contenida en el grano en la forma de vapor.
El proceso de transferencia de masa para las diferentes zonas del grano de arroz puede ser descripto mediante la siguiente expresión:
( )
(
. c)
D c t ∂ = ∇ ∇ ∂ Ec.1Donde: c = concentración de humedad del grano referido a base seca D = Difusividad del vapor de agua almacenado en el grano
Para evitar grandes fluctuaciones de humedad en las semillas y con ello disminuir problemas de fisuras en los granos, se recomienda efectuar la cosecha del arroz, cuando la humedad de las semillas esta entre el 20% y el 24%.
Por este motivo y teniendo en cuenta que los datos de publicaciones ya existentes parten de un valor de 23,8% de humedad en el grano, se decide tomar para el presente estudio un valor inicial de humedad igual a este último a los fines de obtener una comparación equivalente entre resultados.
Dadas las características de simetría geométrica que presenta este problema, el mismo se resuelve como un modelo axisimétrico utilizando a tal fin un sistema de coordenadas cilíndrico con el eje radial y el eje transversal coincidiendo con el semieje mayor y menor de los elipsoides, respectivamente.
Fig. 2. Representación axisimétrica del grano de arroz La Ec 1 explicitada para este sistema de coordenadas es:
c c c c c D r D r t r r z z ∂ =∂ ⎛ ∂ ⎞+∂ ⎛ ∂ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ⎝ ∂ ⎠ ∂ ⎝ ∂ ⎠ Ec.2
Las condiciones de contorno necesarias para la resolución de la Ec.2 son las siguientes:
(
m c)
D h c c n ∞ ∂ = − ∂ Ec.3 0, 0 0 r z c n = = ∂ ⎛ ⎞ = ⎜∂ ⎟ ⎝ ⎠ Ec.4Donde: hm = coeficiente convectivo de transferencia de masa
La Ec.3 establece un intercambio de masa a través la superficie exterior del grano mediante un mecanismo de convección y la Ec.4 considera aisladas las superficies que coinciden con los planos de simetría.
Las condiciones iniciales del problema determinan que a t = 0, c = c0
2.2 Resolución por elementos finitos
La representación axisimétrica del grano de arroz que se muestra en la Fig.2 fue discretizada en un número adecuado de elementos triangulares utilizando las herramientas de generación de malla que provee MATLAB [11].
Fig. 3. Discretización del dominio de resolución
Basándose en este método, el contenido de humedad en el interior del grano de arroz puede ser representado por un conjunto discreto de funciones lineales definidas en un número finito de nodos, que mediante la aplicación de un modelo de aproximación de Galerkin y el teorema de Green a la Ec.2, en conjunto con las condiciones de contorno descriptas en las Ec.3 y Ec.4, permiten transformar a ésta en el sistema de ecuaciones algebraicas dado por la Ec.5
{ }
c[ ]
D c{ } { }
0 t ∂ + = ∂ Ec.5Donde: {c} es el vector de valores de humedad en los nodos de la malla [D] es la matriz de difusividad
Dada la existencia de un término dependiente del tiempo, el sistema de ecuaciones representados por la Ec. 5 tiene resolución por un esquema de Crank–Nicholson, siendo este incondicionalmente estable, presentando una precisión de segundo orden respecto al tiempo.
3 RESULTADOS
Se obtiene la distribución de humedad en el grano para diferentes instantes en el intervalo de 0 a 20 horas, lo cual se muestra en la Fig. 4.
Los valores de humedad correspondientes a cada nodo, fueron promediados para obtener un único valor de humedad y ser comparados con los resultados experimentales [12][13].
Fig. 4. Distribución de humedad para un tiempo de 20 horas
La evolución en el tiempo del contenido de humedad promediado se muestra en la Fig. 5 donde puede apreciarse su disminución gradual hasta alcanzar aproximadamente el estado de régimen. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0.22 0.24 Tiempo (hs) C ont eni do de hum ed ad ( % )
Fig. 5. Evolución del promedio del contenido de humedad en el interior del grano En la Tabla 1 se comparan con valores experimentales y los obtenidos por el método numérico descrito en la bibliografía.
Tabla 1. Evolución de del contenido de humedad promediado
Tiempo (h) cexp c (1) c MATLAB 0.0 0.238 0.2380 0.2380 2.5 0.162 0.1590 0.1490 5.0 0.135 0.1320 0.0980 7.5 0.121 0.1180 0.0738 10.0 0.112 0.1090 0.0628 20.0 0.103 0.1002 0.0563 (1) Sarker y col, 1994 4 CONCLUSIONES
El estudio muestra que el programa MATLAB es una herramienta adecuada para la simulación y estimación de la distribución de humedad en el interior de granos individuales de arroz durante el proceso de secado mediante la aplicación del método de elementos finitos.
Los resultados muestran un adecuado acuerdo con los valores experimentales y de la literatura aún considerando las simplificaciones citadas.
Las zonas de mayor gradiente de humedad son zonas factibles de generarse fisuras por lo que el conocimiento y predicción de estas resulta de suma importancia.
Adecuar los parámetros del proceso en función del tiempo de secado para obtener un rendimiento óptimo representa un importante beneficio económico.
5 REFERENCIAS
[1] Sarker, N.N., Farouk S.M. (1989): Some Factor Causing Rice Milling Losses in
Banggladesh Agric. Mech .in Asia, Africa and Latin America, 20(2): 49.
[2] Kunze, O.R. (1979): Fissuring of the Rice Grain After Heated Air Drying Trans. of the ASAE, 22(5):1197.
[3] Yang, W. Jia, C. C.Howell, T. (2003): Relationship of Moisture Content Gradients and Glass Transition Temperatures to Head Rice Yield during Cross-Flow Drying
Biosystems Engineering 86(2): 199.
[4] Sarker N. N. (1993): Fissuring Rough Rice Due to Transient Heated Air Drying PhD Dissertation Texas A&M University College Station TX 77843.
[5] Crank, J., Nicolson, PA. (1947): Practical method for numerical evaluation of
solutions of partial deferential equations of the heat conduction type. Proceedings of
Cambridge Philosophical Society, 43: 50.
[6] Suarez, C., Viollaz, P. E., Chirife, J. (1980): Difusional Analysis of Air Drying of Grain
Sorghum. J. of Food Technology, 15: 523-531.
[7] Aguerre, R. J., Suarez, C., Viollaz, P. E. (1984): Analysis of the Interface Conditions
during Drying of Rice. J. of Food Technology, 19: 315-323.
[8] League L. Jenkins B.M. (1991): Modeling pre-harvests stress-cracking of rice kernels
part 2: Implementation and use of the model Transactions of the ASAE .35(6): 1955.
[9] Wu, B. Yang, W. Jia, C. A (2004): Three dimensional Numerical Simulation of Transient Heat and Mass Transfer inside a Single Rice Kernel during the Drying
Process Biosystems Engineering 87(2): 191.
[10] José Hernández Rodriguez y Pedro Quinto Diez, Secado de medios porosos: Una revisión a las teorías actualmente en uso; Científica, 9 (002), 63-71 (2004).
[11] www.mathworks.com. (2005): Partial Differential Equation Toolbox User Guide
Version 1.0.
[12] Haghighi, K., Segerlind, L. Modeling simultaneous heat and mass transfer in an
isotropic sphere: A finite element approach. Trans. of the ASAE, 31(2): 629–637. (1988).
[13] Sarker N.N., Kunze o.R., Strouboulis T. (1994): Finite Elements Simulation of Rouget
