GYMNÁZIUM BUDĚJOVICKÁ. MATEMÁTICAS. LA CIRCUNFERENCIA. TEORÍA.

G

YMNÁZIUM

B

UD_ĚJOVICKÁ

. M

ATEMÁTICAS

.

L

A

C

IRCUNFERENCIA

.

T

EORÍA

.

Í

NDICE:

1.

Definición. Ecuaciones. Elementos.

2.

Posiciones relativas.

2.1.

Una recta y una circunferencia.

2.2.

Dos circunferencias.

3.

Rectas tangentes a una circunferencia.

4.

Potencia de un punto respecto de una circunferencia.

1.- D

EFINICIÓN

. E

CUACIONES

. E

LEMENTOS

.

Una circunferencia se puede definir de varias formas, todas ellas equivalentes. Nosotros adoptaremos la siguiente

definición:

Una circunferencia es el lugar de los puntos del plano P cuya distancia a un punto fijo C, llamado centro, es constante. A la distancia, r, de cualquier punto de la circunferencia al centro se llama radio.

Los elementos de una circunferencia son, fundamentalmente, el centro y el radio. Aunque hay muchas otras cosas que se pueden hallar de una circunferencia.

Para hallar la ecuación de la circunferencia, es decir, la relación algebraica que cumplen las coordenadas de los puntos de ésta, basta tomar la definición y desarrollarla analíticamente en coordenadas. Concretamente, si P ,

( )

x y es un punto del plano, C

(

x₀,y₀

)

es el centro y r el radio, entonces P está en la circunferencia si, y sólo si, d

( )

P,C =r , es decir,

( ) (

)

(

x y x y

)

r

d , , 0, 0 = . Pero la distancia entre dos puntos del plano viene dada por el teorema de Pitágoras, ya que podemos

considerarnos un triángulo cuya hipotenusa tiene longitud, precisamente, esta distancia. Por tanto d

(

( ) (

x,y, x₀,y₀

)

)

=r equivale a

(

x−x₀

) (

2 + y −y₀

)

2 =r. Nótese que, al no saber la posición de P y C en el plano, deberíamos tener unos valores absolutos, pero estos no causan efecto por estar dichas cantidades elevadas al cuadrado. Elevando la expresión anterior al cuadrado, tenemos la ecuación de la circunferencia

(

) (

)

2 2 0 2 0 y y r x x− + − =

Si desarrollamos los cuadrados y restamos 2

r en ambos miembros de la ecuación , tenemos

0 2 2 2 2 0 0 2 2 0 0 2 _{− + + − + − =} r y y y y x x x

x . Renombrando coeficientes, y reescribiéndolo por grados, llegamos a

0 2 2+ + + + = c by ax y x

que es otra forma de expresar la circunferencia y también es muy útil. Obsérvese que la segunda es lineal en a, b y c mientras que la primera ecuación es cuadrática en x0,y0,r. Por el contrario, la primera nos da claramente el centro y el

radio de la circunferencia, mientras que en la segunda éstos están ocultos en los valores de los parámetros a, b y c y hay que desenmascararlos. De cualquier forma, hay que saber pasar de una a la otra y viceversa.

Dos circunferencias se dicen concéntricas si tienen el mismo centro. Si c₁ y c₂ son circunferencias concéntricas, entonces la ecuación permanece invariante salvo por la parte del término independiente. En efecto, sean c₁ y c₂

circunferencias concéntricas de ecuaciones

(

) (

)

2

1 2 0 2 0 1 x x y y r c : − + − = y

(

) (

)

2 2 2 0 2 0 2 x x y y r c : − + − = .

Desarrollando las ecuaciones tenemos 2 2

(

2

)

0

1 2 0 2 0 0 0 2 2 1 x +y − x x− y y+ x +y −r = c : y

(

)

0 2 2 2 2 2 0 2 0 0 0 2 2 2 x +y − x x− y y+ x +y −r =

c : . Es decir, sólo varía la parte del término independiente. Así,

{

x2 +y2+3x−y+c=0, c∈R

}

representa una familia (conjunto) de circunferencias todas ellas con el mismo centro. Una propiedad interesante sobre las circunferencias, que permite calcular algunos ejercicios es que el centro equidista de todos los puntos de la circunferencia, es decir, su distancia a cualquier punto de la circunferencia es siempre la

misma (e igual al radio). Dados dos puntos de la circunferencia, A y B, el centro debe estar en la mediatriz del segmento AB.

Ejemplo 1. Cómo cuadrar la ecuación para hallar el centro y el radio de la circunferencia. Ejemplo 2. Circunferencias concéntricas.

Ejemplo 3. Circunferencia con el centro situado en una recta dada. Ejemplo 4. Circunferencia tangente a una recta dada. Tipo I. Ejemplo 5. Circunferencia tangente a una recta dada. Tipo II.

2.- P

OSICIONES

R

ELATIVAS

.

2.1.- U

N

P

UNTO

Y U

NA

C

IRCUNFERENCIA

.

Respecto de una circunferencia, un punto puede ser interior a ella, estar inscrito o ser exterior a la circunferencia. Para saber qué situación se tiene podemos hallar la distancia entre el punto y el centro y comparar el resultado con el radio. Pero hay una segunda forma más rápida. La ecuación de la circunferencia proviene de obligar a que la distancia del punto P de la circunferencia tenga distancia al centro exactamente r. Así, tenemos

P interior ⇔ d

(

P;O

)

<r ⇔ d

(

P;O

)

−r <0 ⇔ Ecuación <0 P inscrito ⇔ d

(

P;O

)

=r ⇔ d

(

P;O

)

−r =0 ⇔ Ecuación =0 P exterior ⇔ d

(

P;O

)

<r ⇔ d

(

P;O

)

−r <0 ⇔ Ecuación >0

Resumiendo, basta sustituir las coordenadas del punto en la ecuación. Si el resultado es negativo, el punto es interior, si es 0, entonces está inscrito y si el resultado es positivo entonces el punto es exterior.

Observación: Esto coincide precisamente con la potencia de un punto respecto de una circunferencia (punto 4)

2.2.- U

NA

R

ECTA

Y U

NA

C

IRCUNFERENCIA

.

La posición relativa de una recta r respecto a una circunferencia c puede ser exterior, si no corta a la circunferencia en ningún punto, tangente, si corta a la circunferencia en un único punto, y secante, si corta a la circunferencia en dos puntos distintos.

Vamos a ver dos formas distintas de estudiar la posición relativa de una recta respecto a una circunferencia. Método I: Comparar la distancia d, del centro de la circunferencia c a la recta s, con el radio r de la circunferencia.

r

d > La recta está más alejada del centro que los propios puntos de la circunferencia. La recta es exterior. r

d = La recta está a la misma distancia del centro que los puntos de la circunferencia. La recta es tangente a la circunferencia y el punto de la recta más cercano al centro es el de tangencia.

r

d < La recta está más cerca de la recta que los puntos de la circunferencia. Como la recta es infinita, hay puntos que están más cerca del centro que los propios de la circunferencia y que están tan alejados del centro como queramos. En particular los hay que están justo a distancia r del centro, es decir, están en la circunferencia. Hay un total de dos puntos y la recta es secante.

Método II: Estudiar el sistema formado por las ecuaciones de la recta y la circunferencia. Sistema Incompatible (no hay solución). Entonces la recta es exterior.

Sistema Compatible con solución única (doble). Entonces la recta es tangente. Sistema Compatible con dos soluciones (simples). La recta es secante.

El método I es más rápido, pero el método II da también los puntos de intersección. Si sólo hay que hallar la posición relativa, el método I es más recomendable. Si además hay que hallar los puntos de intersección, entonces el método II suele ser más cómodo.

2.3.- D

OS

C

IRCUNFERENCIAS

.

La posición relativa de dos circunferencias puede ser:

Exteriores. No hay intersección común y los centros están fuera de la otra circunferencia.

Tangentes exteriores. Hay un punto de intersección y los centros están fuera de la otra circunferencia. Secantes. Hay dos puntos de intersección.

Tangentes interiores. Hay un punto de intersección y los centros están dentro de la circunferencia mayor. Interiores. No hay intersección común y los centros están dentro de la circunferencia mayor.

Coincidentes. Las dos circunferencias son la misma.

De nuevo, veremos dos métodos para analizar la posición relativa de dos circunferencias. Método I: Comparar la distancia entre los centros con la suma y resta de los radios.

Sean c₁ y c₂ las circunferencias, con centros C₁y C₂ y radios r₁ y r₂. Por simplificar, supongamos r₁ ≥r₂ >0. Sea

(

C1 C2

)

d

d = , . Tenemos los siguientes casos:

2 1 r

r

d > + . Entonces las circunferencias son exteriores.

2 1 r

r

d = + . Las circunferencias son tangentes exteriores.

1 2 2

1 r d r r

r + > > − . Las circunferencias son secantes.

1 2 r

r

d = − . Las circunferencias son tangentes interiores. d

r

Método II: Resolver el sistema formado por la ecuaciones de las dos circunferencias. En este método, hay dos pares de casos que se solapan y necesitamos la potencia para poder decidir en qué caso estamos.

No hay solución y las potencias de un centro respecto de la otra circunferencia son positivas. Las circunferencias son exteriores.

No hay solución y al menos una de las potencias de un centro respecto de la otra circunferencia es negativa. Las circunferencias son interiores.

Hay una solución única (que será doble) y las potencias de un centro respecto de la otra circunferencia son positivas. Las circunferencias son tangentes exteriores.

Hay una solución única (que será doble) y al menos una de las potencias de un centro respecto de la otra circunferencia es negativa. Las circunferencias son tangentes interiores.

Hay dos soluciones (que serán simples). Las circunferencias son secantes.

Recordemos que la potencia de un punto P ,

( )

ab respecto de una circunferencia 2 + 2 + + + =0

C By Ax y x c : es el

número que resulta de sustituir las coordenadas de P en la ecuación de la circunferencia (sin el =0), es decir,

( )

P c a b Aa Bb C

P = 2 + 2 + + +

, .

Ejemplo 6. (Posición relativa de una recta y una circunferencia). Ejemplo 7. (Posición relativa de dos circunferencias).

3.- RECTAS TANGENTES.

En este apartado vamos a hallar la ecuación de las rectas tangentes a una circunferencia que cumplen ciertos requisitos como puede ser, pasar por un punto de la circunferencia P, o por un punto externo a la circunferencia P, o tener una pendiente determinada. Veremos varios métodos para hallar las ecuaciones de las rectas tangentes.

Método I: Mediante la recta polar de un punto respecto de una cónica.

Dada una cónica general de ecuación 2+ 2+ + + + =0

F Ey Dx Cxy By Ax , donde A,B,C,D,E,F∈R y A,B,C no son

simultáneamente nulas para que la cónica no sea degenerada, podemos siempre asociar a la cónica una función

R R R2× 2 →

:

q que a cada par de puntos del plano ∈_R2

Q

P, , P

(

x₁,y₁

) (

,Q x₂,y₂

)

, se le asocia un número mediante la cónica, de la forma:

(

P Q

)

q

(

(

x y

) (

x y

)

)

Axx By y x y x y x x y y F q = = + +C +C +D +D +E +E + 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1, , , , .

Así, decimos que P y Q son puntos conjugados respecto de la cónica si q

( )

P,Q =0 y lo escribiremos P≈Q. Tenemos los siguientes hechos:

1. Si P≈Q entonces Q≈P.

2. P es un punto de la cónica si, y sólo si, P≈P.

3. Fijado un punto P∈R, el conjunto de los puntos del plano P′ tales que P ≈P′ forman una recta, llamada recta

polar de P respecto de la cónica.

4. Si P es un punto de la cónica, entonces su recta polar es tangente a la cónica.

5. Si P es "exterior" a la cónica (al sustituir las coordenadas de P en la cónica el valor numérico es positivo), entonces la recta polar corta a la cónica en dos puntos. En cada uno de esos punto, la tangente a la cónica pasa por P.

Se puede ver una demostración (los puntos 4 y 5 en el caso particular de la circunferencia) en el apéndice.

Para una circunferencia de ecuación x2 +y2+ax+by+c =0, la recta polar de P

( )

m,n tiene ecuación 0 2 2 2 2 + + + + = + ⋅ + ⋅m y n x m y n c x a a b b _{, es decir,}

(

_2m+_a

) (

_x+ _2n+_b

)

_y +_am+_bn+_2c =₀

Una forma también útil de tener la recta polar es a partir de la ecuación

(

x−x

) (

+ y −y0

)

2 =r

2

0 . La recta polar tiene

ecuación

(

x −x0

)(

m−x0

) (

+ y−y0

)(

n−y0

)

=r2. Circunferencia, k

(

x−x

) (

+ y −y0

)

2 =r 2 0 : 2₊ 2_{+ + + =}0 c by ax y x k : Punto, P

( )

m,n P

( )

m,n Polar de P respecto de c,

(

x−x0

)(

m−x0

) (

+ y −y0

)(

n−y0

)

=r2 x⋅m+y⋅n+ 2x+ 2m+ 2y+ 2n+c =0 b b a a

Observación: Para recordar la ecuación de la polar, lo más fácil es recordar lo siguiente. Los cuadrados se desdoblan en un producto y las variables con exponente 1 se desdoblan en una suma. Una vez desdobladas, una de las letras se queda como está y en la otra se sustituye el punto P

( )

m,n .

La recta polar tiene la particularidad de que los puntos de intersección con la circunferencia son, precisamente, los puntos de tangencia de las rectas tangentes a la circunferencia por el punto P.

Así, dado un punto P del plano, para hallar las rectas tangentes a la circunferencia que pasan por P:

− Hallamos la polar de P respecto de la circunferencia c.

− Hallamos los puntos Q y R de intersección de la polar con la circunferencia.

− Las tangentes son, respectivamente, las rectas que pasan por P y Q y por P y R que son, a su vez, las rectas polares de Q y R, respectivamente.

Método II: Utilizando derivadas.

Dada una curva definida mediante una expresión algebraica, la derivada de ésta en un punto de la curva, nos da la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto de tangencia. Esto nos permite hallar la recta tangente a una circunferencia, conocido, bien el punto de tangencia, bien la pendiente de la recta tangente.

Método III: Familia paramétrica de curvas que pasan por el punto P.

Dado un punto P

( )

m,n , el conjunto de las rectas que pasan por P viene dado por y−n =λ

(

x−m

)

, λ∈R, junto con la recta vertical x =m. El problema consistiría en hallar los valores de λ que hacen que las rectas sean tangentes a la circunferencia. Esto se puede conseguir, por ejemplo, obligando a que el sistema

(

)

   − = − = + + + + m x n y c by ax y x λ 0 2 2

tenga una única solución.

Si el punto P

( )

m,n está en la circunferencia, se pueden utilizar además las derivadas. Es decir, una mezcla de los métodos II y III.

Ejemplo 8. (Recta tangente a una circunferencia que pasa por un punto P de la circunferencia).

Ejemplo 9. (Recta tangente a una circunferencia que pasa por un punto P exterior a la circunferencia).

4.- P

OTENCIA

D

E

U

N

P

UNTO

R

ESPECTO

D

E

U

NA

C

IRCUNFERENCIA

.

Dado un punto P del plano y una circunferencia c, consideramos una recta secante con respecto a la circunferencia. Sean A,A′ los puntos de corte. Si tomamos otra recta y denominamos por B,B′ los puntos de corte, entonces PA⋅PA′=PB⋅PB′. Esto se demuestra por semejanza de triángulos.

Tenemos la igualdad de ángulos ∠A′AB′=∠A′BB′, pues son ángulos inscritos que ven el mismo arco. Sus suplementarios también son iguales ∠PAB′=∠PBA′. Así que los triángulos

BP

A′ y B′AP son semejantes y, por tanto, sus lados homólogos son proporcionales. En particular

A P PB B P PA ′

′ = , que nos da la igualdad

deseada.

Llamamos potencia de un punto P a una circunferencia c a la cantidad constante Pot

( )

P,c =PA⋅PA′.

Una expresión interesante se obtiene tomando algunos puntos especiales. Así podemos escribir, Pot

( )

P,c =PT2, donde T es el punto de tangencia de la circunferencia respecto de P, es decir, la recta que une P y T es tangente a la circunferencia c, justo en T. También tenemos que Pot

( )

P,c =d2 −r2, donde d es la distancia de P al centro C y r el radio de la circunferencia. En efecto, basta tomar la secante que pasa por el centro para obtener

( ) (

)(

)

2 2 r d r d r d c P

Pot , = + − = − . Esta fórmula es la que nos permite calcular la potencia de forma rápida, ya que, si nos fijamos bien, compara el cuadrado de la distancia del punto al centro con el cuadrado del radio. Esto es precisamente lo que hacemos al sustituir las coordenadas de un punto en la ecuación de la circunferencia. Concretamente, si P

( )

m,n es un

punto del plano y 2 ₊ 2_{+ + + =}0

c by ax y x

c : una circunferencia, entonces Pot

( )

P c =m2 +n2 +am+ny+c

, .

( )

P c =d2 −r2 >0

Pot , , la distancia es mayor, y el punto es exterior a la circunferencia.

( )

P c =d2 −r2 =0

Pot , , la distancia al centro es igual que el radio, luego el punto está en la circunferencia.

( )

P c =d2 −r2 <0

Pot , , la distancia es menor, así que el punto es interior a la circunferencia.

Llamamos eje radical de dos circunferencias al lugar geométrico de los puntos del plano que tienen la misma potencia respecto de las dos circunferencias. La ecuación de dicho lugar geométrico se calcula igualando las ecuaciones de

las circunferencias. Concretamente, si c :1 x2+y2 +ax+by+c=0 y 0

2 2

2 x +y +a′x+b′y+c′=

c : son dos

circunferencias, entonces Pot

(

P,c₁

)

=Pot

(

P,c₂

)

nos da x2 +y2+ax+by+c= x2+y2 +a′x+b′y+c′

, de donde

(

a−a′

) (

x+ b−b′

)

y+c−c′=0 es la ecuación del eje radical. De aquí se deduce que el eje radical es una recta.

El eje radical tiene propiedades interesantes. Es perpendicular a la recta que une los centros de las circunferencias. Si dos circunferencias son secantes, entonces los puntos de intersección pertenecen al eje radical. Esto permite dibujar fácilmente el eje radical de dos circunferencias.

Análogamente, llamamos centro radical de tres circunferencias al punto que tiene la misma potencia respecto de las tres circunferencias. El centro radical se puede calcular como solución del sistema formado por las ecuaciones de dos de los tres ejes radicales.

5.- E

JERCICIOS

R

ESUELTOS

.

Ejemplo 1: (Cómo cuadrar la ecuación para hallar el centro y el radio de la circunferencia).

Hallar el centro y el radio de la circunferencia x2 +y2 +x−6y+1=0

Solución:

Para pasar a la ecuación

(

x−x₀

) (

2+ y−y₀

)

2 =r2, hay que agrupar los términos en x dentro de un binomio al cuadrado y, análogamente, los términos en y dentro de otro binomio al cuadrado. Para ello, habrá que averiguar quién es A y quién B en la fórmula

(

A±B

)

2 = A2 ±2AB+B2. 0 1 6 2 2 _{+ + − + =} y x y

x Necesitamos que el coeficiente de x2 e y2 sea igual a 1. Se escriben las x primero, luego las y, y finalmente el término independiente.

0 1 6 2 2 _{+ + − + =} y y x

x Se escriben los términos en x e y como 2⋅x⋅? y 2⋅y⋅? respectivamente. 0 1 3 2 2 ₂1 2 2 _{+ ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ + =} y y x

x + ₄1+9−1 _{Una vez que sabemos quién es el segundo término del binomio de}

las x y el de las y, se suman sus cuadrados en ambos miembros de la ecuación. También hay que quitar el término independiente del primer miembro.

1 9 9 3 2 2 2 ₄1 4 1 2 1 2 _{+ ⋅ ⋅ + + − ⋅ ⋅ + = + −} y y x

x Se agrupan términos dentro de un binomio al cuadrado, teniendo en

cuenta el signo del doble producto y las fórmulas

(

)

2 2 2 2AB B A B A± = ± + .

(

)

(

)

4 33 2 2 2 1 + −₃ = + y x

Ahora se obtiene fácilmente el centro como _C

(

− ₂1_,3

)

_{y el radio}

2 33 =

r . Obsérvese que en la fórmula, x₀ ey₀ aparecen con un signo – que es necesario obtener. Asimismo, el radio aparece como una cantidad al cuadrado. Podemos escribir cualquier cantidad positiva como la raíz cuadrada de su cuadrado. Así,

(

)

2

(

)

2 33₄

2 1 + −₃ = + y x se convierte en

( )

(

)

(

)

( )

2 4 33 2 2 2 1 3 = − + − − y

x y llegando a los valores antes dados de C y r.

Solución: _C

(

− ₂1_,3

)

_y

2 33 =

r

Ejemplo 2: (Circunferencias concéntricas).

Dada la circunferencia de ecuación 2x2+2y2 +3x−8y−10=0 hallar una circunferencia concéntrica de que pase por el punto P

(

2,−7

)

Solución:

Método I: Hallar el centro y el radio.

0 10 8 3 2 2x2+ y2 + x− y− = 0 5 4 2 3 2 2 _{+ + − − =} y x y x 0 5 4 2 2 3 2 + + − − = y y x x 0 5 2 2 2 ₄3 2 2 _{+ ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ − =} y y x x 5 4 4 2 2 2 2 ₁₆9 16 9 4 3 2 _{+ ⋅ ⋅ + + − ⋅ ⋅ + = + +} y y x x

(

)

(

)

16 153 2 2 4 3 + −₂ = + y x

Ahora se obtiene fácilmente el centro como _C

(

−₄3_,2

)

_{y el radio}

4 153 =

r . Por tanto el centro es _C

(

− ₄3_,2

)

_{. El radio}

cambia. El radio es la distancia del centro a cualquier punto de la circunferencia. Así pues

( )

(

)

(

)

4 1417 16 1417 16 121 2 2 4 3 _{7 2 81} 2+ + − − = + = = = =d PC

r , . Por tanto la circunferencia buscada es

Solución:

(

)

(

)

16 1417 2 2 4 3 + −₂ = + y x

Método II: Hallar a ,,b c en la ecuación 2 ₊ 2 _{+ + + =}0

c by ax y

x .

Las circunferencias concéntricas con 2x2+2y2+3x−8y −10=0 son de la forma 2x2 +2y2 +3x−8y +c =0. Como sabemos que ésta pasa por el punto P

(

2,−7

)

, basta sustituir en la ecuación y hallar c.

( )

7 3 2 8

( )

7 0 2 2 2⋅ 2+ ⋅ − 2 + ⋅ − ⋅ − +c = 0 168 8 3 2 2 168 0 56 6 98 8+ + + +c = → c =− → x2+ y2 + x− y − =

Ejemplo 3: (Circunferencia con el centro en una recta conocida)

Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos A

(

−2,3

)

, B

( )

1,2 y tiene su centro sobre la recta de ecuación 0 2 2 − = − y x r : Solución:

Sabemos que el centro está en la mediatriz de cualquier par de puntos de la circunferencia, luego está en la intersección de la mediatriz de AB y de la recta r. Hallemos la mediatriz:

( ) ( )

= →

(

+

) (

2 + −

)

2 =

(

−

) (

2 + −

)

2 → 2 1 3 2 y x y x B P d A P d , , 4 4 1 2 9 6 4 4 2 2 2 2 + + + − + = − + + − + y y x x y y x x +2x+4y −5 0 8 2 6x− y+ = :2 0 4 3x−y + =

Hallamos el centro como la intersección de la mediatriz de AB con la recta r.

   = + − = − − 0 4 3 0 2 2 y x y x

( )

   = + − = + + − × − × 0 8 2 6 0 2 2 2 1 y x y x

Sumando las ecuaciones: 5x+10=0 → x =−2 → y =3⋅

( )

−2 +4 =−2. Luego el centro es C

(

−2,−2

)

. El radio se puede hallar como la distancia del centro a uno de los puntos de la circunferencia.

( ) (

= 1+2

) (

2 + 2+2

)

2 = 9+16 =5

=dC A

r , . La circunferencia es

(

x+2

) (

2+ y+2

)

2 =25 o bien en su forma

extendida x2 +y2+4x+4y −17=0. Solución:

(

x+2

) (

2+ y +2

)

2 =25

Ejemplo 4: (Circunferencia tangente a una recta conocida. Tipo I).

Escribe la ecuación de la circunferencia de centro C

(

2,−1

)

y tangente al eje OX.

Sea r el eje OX, que tiene ecuación r :y =0. Podemos calcular el radio de la circunferencia como la distancia del centro C a la recta r. Recordemos que la distancia de un punto P ,

( )

ab a una recta r :Ax+By +C=0 viene dada por la fórmula

( )

2 2 B A C Bb Aa r P d + + + =

, . Por tanto el radio es

( )

( )

1

1 1 1 0 0 1 1 2 0 2 2 + = = + − ⋅ + ⋅ = =dCr

r , . La circunferencia es por tanto

Solución:

(

x−2

) (

2 + y+1

)

2 =1

Ejemplo 5: (Circunferencia tangente a una recta conocida. Tipo II).

Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por A

( )

0,1 y B

( )

1,0 y es tangente a la recta r :x−2y+4=0

Solución:

Vamos a hallar el centro de la circunferencia estableciendo ecuaciones a partir de los datos. Como tenemos dos puntos de la circunferencia, sabemos que el centro debe estar en la mediatriz del segmento que los une, es decir, C∈oAB. Esto nos

dará una ecuación de primer grado en x₀ e y₀. Por otra parte, sabemos que la circunferencia es tangente a r. Esto nos dice que la distancia del centro a r debe ser igual a la distancia a cualquier otro punto, por ejemplo, el punto A. Esto nos dará una ecuación de segundo grado. El sistema nos dará dos soluciones, es decir hay dos circunferencias que cumplen estos requisitos.

Condición 1: El centro está en la mediatriz del segmento AB.

( ) ( )

= → 2 +

(

−1

)

2 =

(

−1

)

2 + 2 → −2 +1=−2 +1 → x y y x y x B P d A P d , , y = x. Sustituyendo las

coordenadas del centro C

(

x₀,y₀

)

en la ecuación de la mediatriz tenemos y₀ = x₀. Condición 2: La condición de tangencia.

( ) ( )

( )

(

)

2 0 2 0 2 2 0 0 1 2 1 4 2 − + = − + + − → =dC A x y x y r P

d , , Elevamos al cuadrado para eliminar las raíces.

(

2 4

)

5

(

2 0 1

)

2 0 2 0 2 0 0 − y + = x +y − y + x 5 10 5 5 16 8 4 16 4 0 2 0 2 0 0 0 0 0 2 0 2 0 + y + − x y + x − y = x + y − y + x 0 11 6 8 4 4 0 0 0 0 2 0 2 0 +y + x y − x + y − = x

Hallamos el centro con las dos condiciones. Resolvemos el sistema formado por las dos ecuaciones encontradas:

   = − + − + + = 0 11 6 8 4 4 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 y x y x y x x y

Sustituyendo en la segunda ecuación:

0 11 6 8 4 4 0 0 0 0 2 0 2 0 +x + x x − x + x − = x 0 11 2 9 0 2 0 − x − = x

cuyas soluciones son 11₉ 0 = x y x0 =−1. Para 11₉ 0 = x el centro es

( )

11₉ 9 11_, C y el radio

( )

( ) (

2 11₉

)

2 5₉5 9 11 + −₁ = = =dC A r , .

Para x₀ =−1 el centro es C

(

−1,−1

)

y el radio =

( )

= 12 +

( )

1+12 = 5 A C d r , . Solución:

(

) (

)

2 125₈₁ 9 11 2 9 11 1 x− + y− = c : y c :₂

(

x+1

) (

2+ y +1

)

2 =5

Ejemplo 6: (Posición relativa de una recta y una circunferencia).

Comprueba que la recta s :3x−4y −26=0 es tangente a la circunferencia x2 +y2 −6x−4y−12=0: Halla el punto de tangencia. Solución: Método I: 0 12 4 6 2 2 _{+ − − − =} y x y x

(

) (

2

)

2 2 5 2 3 + − = − y x

( )

3,2 C y r =5

( )

( )

5 5 25 4 3 26 2 4 3 3 2 2 = = − + − ⋅ − ⋅ = =dCr d ,

Como d =r la recta s es tangente a la circunferencia.

El punto de tangencia se puede hallar resolviendo el sistema formado por ambas ecuaciones:

   → ₌ = − − − + = − − − 4 26 3 2 2 0 12 4 6 0 26 4 3 _y x y x y x y x

( )

6 4

( )

12 0 2 9 156₁₆ 676 6 3 26 12 0 4 26 3 2 4 26 3 2 2 = − + − − + → = − − − + − _x − _x − + _{x x} x x x x x 0 900 300 25x2 − x+ = 0 36 12 2 _{− + =} x x

ecuación que tiene solución doble x =6. De aquí _y =18−₄26 =−2 El punto de tangencia es P

(

6,−2

)

Solución: tangente en P

(

6,−2

)

Método II:

Resolvemos directamente el sistema

   = − − − + = − − 0 12 4 6 0 26 4 3 2 2 y x y x y x

Este sistema lo acabamos de resolver y se obtuvo una única solución, doble x =6,y =−2. Por tanto la recta es tangente en el punto P

(

6,−2

)

.

Ejemplo 7: (Posición relativa de dos circunferencias)

Estudiar la posición relativa de las circunferencias 2 2 4 1 0

1 x +y + x− =

c : y 2 2 8 6 5 0

2 x +y − x− y+ =

c : . Halla sus

puntos de intersección si los hay. Método I: 0 1 4 2 2 + + − = x y x 0 1 4 2 2 _{+ + − =} y x x +4+1

(

x+2

)

2+y2 =5 0 5 6 8 2 2 _{+ − − + =} y x y x

0 5 6 8 2 2 _{− + − + =} y y x x +16+9−5

(

x−4

) (

2+ y−3

)

2 = 20 5 1 = r y r2 = 20 =2 5. Entonces

(

) ( )

(

20 43

) (

2 4

)

2 32 36 9 45 3 5 = = + = + − − = − =d , , , d 5 3 2 1 +r = r y r₂ −r₁ = 5

Como d =3 5 =r₁ +r₂, las circunferencias son tangentes exteriores.

Para hallar el punto de tangencia, lo más cómodo es resolver el sistema que forman las ecuaciones de las circunferencias:

   = + − − + = − + + 0 5 6 8 0 1 4 2 2 2 2 y x y x x y x

Un sistema polinómico, no lineal de segundo grado no tiene un método común de resolución. No obstante, como nuestras ecuaciones son de circunferencias, la parte cuadrática siempre es de la forma x2 +y2. Así que, salvo que se pueda hacer de forma más directa, restaremos las ecuaciones para obtener una ecuación lineal en x e y que sustituiremos en una de las ecuaciones anteriores, resolviendo finalmente el sistema.

( )

12 6 6 0 0 5 6 8 0 1 4 1 0 5 6 8 0 1 4 2 2 2 2 2 2 2 2 = − + →    = − + + − − = − + + − ×    = + − − + = − + + y x y x y x x y x y x y x x y x

dividiendo por 6 y despejando y, queda y =1−2x. Se sustituye en la primera ecuación del sistema.

(

1 2

)

4 1 0 1 4 4 4 1 0 5 0 0 1 4 2 2 2 2 2 2 2 + + − = → + − + − = → + − + + − = → = x x x x x x x x x y x

Que tiene solución doble x =0. De aquí y =1−2⋅0=1. Por tanto el punto de tangencia es P

( )

0,1 . Solución: Tangentes exteriores en el punto P

( )

0,1

Método II:

Se resuelve el sistema formado por las dos ecuaciones de las circunferencias. Ya lo hemos hecho en el método I y hemos obtenido una solución única y doble x =0,y =1. Las circunferencias son tangentes. Ahora hay que decidir si son interiores o exteriores.

Hallamos la potencia de uno de los centros, respecto de la otra circunferencia, por ejemplo P

(

C1,c2

)

. También en el

método anterior obtuvimos los centros. En particular C₁

(

−2,0

)

y C₂

( )

4,3 . Entonces

(

C₁ c₂

)

=P

(

C₁

(

−20

)

c₂ x2 +y2 −8x−6y+5=0

)

=

( )

−2 2 +02−8⋅

( )

−2 −6⋅0+5 =4+16+5= 25>0

P , , , :

(

C₂ c₁

)

=P

(

C₂

( )

43 c₁ x2 +y2+4x−1=0

)

=42+32 +4⋅4−1=16+9+16−1=40>0

P , , , :

Como las potencias son positivas, las circunferencias son tangentes exteriores. Solución: Tangentes exteriores en el punto P

( )

0,1

Ejemplo 8: (Recta tangente a una circunferencia que pasa por un punto P de la circunferencia).

Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto B

( )

5,3 y tiene centro en A

( )

3,2 . Halla la ecuación de la tangente a dicha circunferencia en el punto B. Halla el área del triángulo formado por esta tangente y los ejes cartesianos.

Primero hay que hallar la ecuación de la circunferencia. r =d

( )

A,B = 22 +11 = 5, luego c :

(

x−3

) (

2+ y−2

)

2 =5. Método I: (recta polar)

La polar del punto B

( )

5,3 a la circunferencia, tiene ecuación

(

x−3

) (

2+ y −2

)

2 =5 →

(

x−3

)(

5−3

) (

+ y −2

)(

3−2

)

=5 → 2x−6+y −2−5=0 → 2x+y−13=0 Como el punto B está en la circunferencia, la polar es la recta tangente a la circunferencia por B.

Solución: 2x+y −13=0 Método II: (derivadas)

Derivamos respecto a x la ecuación de la circunferencia

(

x−3

) (

2 + y −2

)

2 =5 → 2

(

x−3

) (

+2y −2

)

⋅y′=0 y despejamos y′, pues ésta es la pendiente de la recta tangente en el punto

( )

x,y de la circunferencia. En este caso el punto

( )

5,3 B . ₁2 2 2 3 =− =− − = ′ ₋− y x

y . Conocida la pendiente y el punto, la recta tiene ecuación y −3= −2

(

x−5

)

Solución: 2x+y −13=0

Método III: (familia paramétrica de rectas)

Consideramos la familia de rectas que pasan por B

( )

5,3 , y −3=λ

(

x−5

)

junto con x−5=0. Obligamos a que el

sistema

(

) (

)

(

)

    − = − = − + − 5 3 5 2 32 2 x y y x

λ tenga una única solución. Despejamos y en la ecuación lineal y =3+λ

(

x−5

)

y

sustituimos en la cuadrática.

(

1 5

)

5 9 6 2 2 _{− + + +}λ ₋ λ ₌ x x x 5 10 10 2 25 1 9 6 2 2 2 2 2_{− + + + + + − − =} x x x x x λ λ λ λ λ

(

1+λ2

)

x2−2

(

3−λ+5λ2

) (

x+51−2λ+5λ2

)

=0

Esta ecuación en x, tiene solución única cuando su discriminante es 0, es decir, cuando

(

3 5

)

20

(

1

)(

1 2 5

)

0 4 −λ+ λ2 2 − +λ2 − λ+ λ2 =

(

9 25 6 30 10

) (

201 2 5 2 5

)

0 4 +λ2+ λ4 − λ+ λ2− λ3 − − λ+ λ2+λ2 − λ3+ λ4 = 0 100 40 120 40 20 100 40 124 24 36− λ+ λ2 − λ3 + λ4 − + λ− λ2 + λ3 − λ4 = 0 4 16 16+ λ+ λ2 = 0 4 4+ λ+λ2 =

Que tiene una única solución doble λ = −2.

Por otro lado, el sistema

(

) (

)

    = − = − + − 0 5 5 2 32 2 x y x

tiene dos soluciones, luego no sirve.

Tenemos que hay una única recta tangente que pasa por el punto B

( )

5,3 , y−3=−2

(

x−5

)

. Solución 2x+y −13=0

Ejemplo 9: (Recta tangente a una circunferencia que pasa por un punto P exterior a la circunferencia). Calcula las tangentes a la circunferencia x2 +y2 −4x+6y+8=0 desde el punto P

( )

7,2 .

Método I: (recta polar)

La recta polar del punto P

( )

7,2 respecto de la circunferencia dada, tiene ecuación

0 8 2 3 3 7 2 2 2 7 0 8 6 4 2 2 _{+ − + + = → ⋅ + ⋅ − − ⋅ + + ⋅ + =} y x y x y x y x 0 5 5x+ y = x y =−

Los puntos de intersección de la polar con la circunferencia son las soluciones del sistema

0 4 5 0 8 10 2 0 8 6 4 0 8 6 4 2 2 2 2 2 2 = + − → = + − → = + − − + →    − = = + + − + x x x x x x x x x y y x y x

que tiene solución x=4 y x=1. Luego las soluciones del sistema son Q

(

4,−4

)

y R

( )

1,−1 . Las rectas tangentes son aquellas que pasan por P y Q y por P y R.

: PQ r

(

7

)

2 12 0 3 6 2 − → − − = − − = − x x y y

(

7

)

2 3 0 6 3 2 = − → − − = − x x y y rPR : Solución r :2x −y −12=0 y s :x−2y−3=0 Método II: (familia paramétricas de rectas)

Las rectas que pasan por P

( )

7,2 son y−2=λ

(

x−7

)

junto con x−7=0 El sistema    + − = = + + − + x y y x y x λ λ 7 2 0 8 6 4 2 2

debe tener una única solución.

(

2 7

)

2 4 6

(

2 7

)

8 0 2 _{+ − + − + − + + =} x x x x λ λ λ λ 0 8 6 42 12 4 14 4 28 49 4 2 2 2 2 2 _{+ + + − + − − + − + + =} x x x x x x λ λ λ λ λ λ λ

(

1+λ2

)

x2−2

(

2−5λ+7λ2

) (

x+ 24−70λ+49λ2

)

=0 Su discriminante debe ser 0, así pues

(

2 5 7

) (

41

)(

24 70 49

)

0 4 − λ+ λ2 2 − +λ2 − λ+ λ2 =

(

4 25 49 20 28 70

) (

424 70 49 24 70 49

)

0 4 + λ2 + λ4− λ+ λ2 − λ3 − − λ+ λ2 + λ2− λ3+ λ4 = 0 196 280 292 280 96 196 280 212 80 16− λ+ λ2 − λ3 + λ4 − + λ− λ2 + λ3 − λ4 = 0 80 200 80+ − 2 = − λ λ 0 2 5 2− λ+ λ2 =

cuyas soluciones son λ =2 y λ = ₂1_{. Por tanto las rectas tangentes son}

(

7

)

2 12 0 2 2= − → − − = − x x y y y _y −2= ₂1

(

_x−7

)

→ _x−2_y−3=0 Solución r :2x −y −12=0 y s :x−2y−3=0

Ejemplo 10: (Recta tangente a una circunferencia que tiene una pendiente conocida)

Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la circunferencia x2 +y2+2x−4y −3=0 que sean perpendiculares a la recta s :x−y +3=0

Solución:

Método I: (recta polar)

La recta polar de un punto P

( )

m,n respecto de la circunferencia x2 +y2+2x−4y−3=0 tiene ecuación

(

1

) (

2

)

2 3 0 0 3 2 2 − − = → + + − + − − = − + + +ny x m y n m x n y m n mx

Esta recta será la tangente. Para que sea perpendicular a s, su pendiente debe ser −1 = −₁1 =−1

s m . Por tanto 1 2 1 − = − + − n m . Esto nos da la relación m−n+3=0. Como el punto P

( )

m,n lo podemos tomar donde queramos, podemos tomarlo en la circunferencia. Así su polar será la recta tangente a ésta. Por tanto m y n cumplen las condiciones

   = + − = − − + + 0 3 0 3 4 2 2 2 n m n m n m

(

3

)

2 2 4

(

3

)

3 0 2 2 4 6 0 2 2 3 0 2+ + + − + − = → + − = → + − = m m m m m m m m

que tiene soluciones m=1, m=−3 y de aquí m=1 → n =4 y m =−3 → n =0. Los puntos buscados son

( )

14

1 ,

P y P2

(

−3,0

)

. Finalmente, las rectas tangentes son r1 :x+y−5=0 y r2 :x+y+3=0

Solución: r1 :x+y−5=0 y r2 :x+y+3=0

Método II: (derivadas)

La derivada de la ecuación de la circunferencia es x+yy′+1−2y′=0 y de aquí x _y

y′= ₂₋+1_{. Tiene que ser perpendicular a}

la recta s, de donde y′= −1 y tenemos que x+1=y −2 → x−y+3=0. Donde

( )

x,y es un punto de la circunferencia. Así que cumple su ecuación. Tenemos pues el sistema

   = + − = − − + + 0 3 0 3 4 2 2 2 y x y x y x

cuya solución, como ya hemos visto, es P1

( )

1,4 y P2

(

−3,0

)

. Las rectas tangentes son, por tanto,

Solución: r1 :x+y−5=0 y r2 :x+y+3=0

Ejemplo 11: (Centro radical)

Hallar el centro radical de las circunferencias c :1 x2 +y2+2x−4y+1=0, 6 2 0

2 2 2 x +y +x− y+ = c : y 0 21 2 2 2 2 3 x +y + x+ y− = c : Solución:

Las ecuaciones de los ejes radicales son:

0 1 2 0 2 1 6 4 2 2 6 1 4 2 2 2 2 2 2 1 → x +y + x− y+ = x +y +x− y+ → x−x− y+ y+ − = → x+ y− = rcc . 0 1 2 2 1 x+ y − =

rcc : , rc₂c₃ :x+8y −23=0 y rc₃c₁ :3y −11=0. El centro radical es la solución del sistema formado

por los tres ejes radicales      = − = − + = − + 0 11 3 0 23 8 0 1 2 y y x y x .

La tercera ecuación nos da _y = 11_{3 y sustituyendo en la primera obtenemos}

3 19 3 22 1− =− = x . Solución:

(

11₃

)

3 19_, − C

6.- A

PÉNDICE

(S

OBRE

L

A

R

ECTA

P

OLAR

):

Dada una cónica general de ecuación Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0, donde A,B,C,D,E,F∈R y C

B

A, , no son simultáneamente nulas para que la cónica no sea degenerada, podemos siempre asociar a la cónica una función q:R2×R2 →R que a cada par de puntos del plano P,Q∈R2, P

(

x₁,y₁

) (

,Qx₂,y₂

)

, se le asocia un número mediante la cónica, de la forma:

(

P Q

)

q

(

(

x y

) (

x y

)

)

Axx By y x y x y x x y y F q = = + +C +C +D +D +E +E + 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1, , , , .

Así, decimos que P y Q son puntos conjugados respecto de la cónica si q

( )

P,Q =0 y lo escribiremos P≈Q. Tenemos los siguientes hechos:

1. Si P≈Q entonces Q≈P.

2. P es un punto de la cónica si, y sólo si, P≈P.

3. Fijado un punto P∈R, el conjunto de los puntos del plano P′ tales que P ≈P′ forman una recta, llamada recta

polar de P respecto de la cónica.

4. Si P es un punto de la cónica, entonces su recta polar es tangente a la cónica.

5. Si P es "exterior" a la cónica (al sustituir las coordenadas de P en la cónica el valor numérico es positivo), entonces la recta polar corta a la cónica en dos puntos. En cada punto, la tangente a la cónica pasa por P.

Demostración:

Punto 1: es trivial pues se debe a la simetría de la función q respecto de las coordenadas de los puntos.

Punto 2: se debe a que P es un punto de la cónica si sus coordenadas satisfacen la ecuación, es decir, si q

( )

P,P =0. Punto 3: fijamos las coordenadas de P

(

x₁,y₁

)

P. Entonces al variar las coordenadas de Q ,

( )

x y en el plano de forma que

( )

PQ =0

q , , obtenemos Ax₁x+By₁y+C₂x₁y+C₂xy₁+D₂x₁+D₂x+E₂y₁+E₂y+F =0_{, donde el primer miembro no es} sino un polinomio de primer grado en las variables x e y, y por tanto una recta en el plano.

Punto 4: vamos a simplificar los cálculos. Lo demostraremos sólo en el caso de la circunferencia. En tal caso, no hay problema en suponer que el centro de la circunferencia es el origen de coordenadas O

( )

0,0 y la ecuación es por tanto de la forma x2+y2 =r2. Sea P un punto de la circunferencia P

(

x₁,y₁

)

. Entonces hay que demostrar que el sistema formado por la circunferencia y la recta polar de P tienen solución única y es el punto P.

   = + = + 2 1 1 2 2 2 r y y x x r y x

Como el punto P

(

x₁,y₁

)

es de la circunferencia, ambas coordenadas no pueden ser simultáneamente 0. Supongamos por

tanto y₁≠0. Entonces 1 1 2 y x x r

y = − , que sustituyendo en la ecuación de la circunferencia nos da 2

2 1 1 2 2 r y x x r x _ =       ₋ + y quitando denominadores 2 0

(

)

2

(

2

)

0 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 4 2 2 1x +r − r x x+x x −r y = → x +y x − r xx+r r −y = y . En el término en 2 x podemos cambiar 2 1 2 1 y x + por 2

r y en el término independiente podemos cambiar 2 1 2 y r − por 2 1 x . Así, nos queda 2 2 0 1 2 1 2 2 2 − + = x r x x r x r . Dividimos por 2

r y hallamos el discriminante de la ecuación 2 2 0

1 1 2− + = x x x x , 0 4 4 12 2 1 − = =

1

y

y = y que x=x₁,y =y₁ es, en efecto, solución del sistema, pues el punto P satisface la ecuación de la circunferencia. Esto nos dice que la recta polar tiene que ser tangente a la circunferencia.

Punto 5: es fácilmente demostrable en el caso de la circunferencia. Que el punto sea exterior, equivale a que al sustituir las coordenadas del punto en la ecuación de la circunferencia, el valor numérico es positivo. (la distancia al centro es mayor que r2). Por tanto, en este caso bastará con demostrar que si P

(

x₁,y₁

)

es un punto tal que 12 2 0

2 1 +y −r > x , entonces el sistema    = + = + 2 1 1 2 2 2 r y y x x r y x

tiene dos soluciones. De nuevo vamos a suponer y₁ ≠0 ya que ambas coordenadas de P no pueden ser simultáneamente nulas. Bastará para ello ver que la ecuación que resulta de sustituir la ecuación de la recta en la de la circunferencia, tiene discriminante positivo. En este caso tenemos

(

)

2

(

)

0 0 2 2 _{1 1}2 2 2 ₁2 ₁2 ₁2 2 2 ₁ 2 2 ₁2 4 2 2 1x +r − r xx+x x −r y = → x +y x − r xx+r r −y = y , cuyo discriminante es

(

) (

)

4

(

)

0 4 4 12 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 4 _{− + − = + − >} = ∆ r x x y r r y y r x y r

y por tanto el sistema tiene dos soluciones.

Debe ser claro que si el punto P

(

x1,y1

)

es interior a la circunferencia, entonces el discriminante será negativo y la recta

polar no cortará a la circunferencia.

Para demostrar el punto 5, queda únicamente por ver que si la recta polar de P corta a la circunferencia en dos puntos Q y R, las rectas que pasan por P y Q y por P y R son, respectivamente, tangentes a la circunferencia. Pero esto es claro pues si Q está en la polar de P, entonces P está en la polar de Q. Además, la polar de Q es tangente a la circunferencia.

Observación 1: Si se quiere, se puede ver q como un producto de matrices:

(

) (

)

(

) (

)

          ⋅           ⋅ = 1 1 ₂ 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 y x F B A y x y x y x q E D E C D C ,

de donde se obtienen propiedades inmediatas como que q es simétrica y bilineal (en el plano proyectivo).

Observación 2: Hay una conexión entre la recta polar y la razón doble de cuatro puntos. Se llama razón doble de cuatro puntos alineados A, B, C y D al cociente

BD BC AD AC

: . Cuando los cuatro puntos alineados están situados de forma que su razón doble es –1, se dice que están o que forman una cuaterna armónica. Dado un punto del plano P y una circunferencia c (una cónica en general), decimos que P′ es conjugado de P si A,A′,P,P′ están en cuaterna armónica, siendo A y A′ los puntos de intersección de la recta que une P con P′, con la circunferencia c.

El lugar geométrico de los puntos conjugados de P respecto de la circunferencia c se denomina recta polar de P respecto de la circunferencia. El porqué el conjunto de estos puntos es una recta no lo veremos aquí.