Modelo dinámico del sistema térmico Tanques interconectados
1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
El sistema mostrado consta de dos tanques aislados térmicamente y conectados con una tubería corta, a través de los cuales fluye agua, Al tanque 1 se le está suministrando un calor ( ) 1 q& t y al tanque 2 un calor ( ) 2 q& t . La temperatura del agua en la entrada del tanque 1 es de 25oC y el valor de estabilización de ( ) 3 T t debe ser 80oC.
Asumir las cantidades que no se especifican.
Para hallar el modelo dinámico del sistema y solucionarlo se asumirá lo siguiente:
· Fluido de densidad constante
· El material de aislamiento en ambos tanques es polietileno, con k=0.34W/mK.
· El tanque tiene forma cilíndrica con diámetro de 0.4m y altura 0.4m y espesor
· L=4mm. Con estas dimensiones el volumen del tanque es V=0.0502m3, la masa
· es m = Vr =50.2kg y el área de transferencia de calor es A=0.754m2. , con
· k=0.34W/mK.
· El flujo másico de entrada es 0.5kg/s
· Los contenidos másicos de los tanques son iguales entre si y constantes (por ello
· se tomarán los flujos de salida iguales a los de entrada)
· Los calores ( ) 1 q& t y ( ) 2 q& t son funciones escalón.
· Se obtendrán las soluciones para cambios escalón en los calores de entrada
· q 15KW 1 D& = y q 10KW 2 D& =
· Se suponen constantes las propiedades y se evalúan a 300K:
· Propiedades del H20: Cp=Cv=4186J/kgK, r =1kg/L
La resistencia térmica del tanque es 0.004 0.0156º 0.34 * 0.754
th
L K
R kA W
donde se supuso que el espesor del tanque es pequeño comparado con su diámetro.
Planteando un balance de energía en estado dinámico en el tanque 1 se tiene:
Ec. (1) 1 2( )t 1( )t 2( )t ( 2( )t )
th th
T T d T
mCpT mCpT q mCv
R R dt
Ahora con un balance de energía en estado dinámico en el tanque 2 se obtiene:
Ec. (2) 2( )t 3( )t 2( )t 3( )t ( 3( )t )
th th
T T d T
mCpT mCpT q mCv
R R dt
DAR SOLUCIÒN A:
1. Montar las ecuaciones en SIMULINK. [10 puntos]
2. Ajustar todos los parámetros para lograr estado estable. Establezca gráficas para T2(t), T3(t). [10 puntos]
3. En una gráfica muestre el comportamiento de las temperaturas si se produce un aumento del 75% en el q1(t) en el tiempo t=10min. (explique por qué se dio esa respuesta). [10 puntos]
4. En una gráfica muestre el comportamiento de la temperatura T2(t) y T3(t) si: el flujo másico disminuye al 50% en t=5min, luego en t=50min q1(t) aumenta en un 75%, más tarde en t=100min q2(t) aumenta en un 25% y finalmente en el t=150min el flujo másico se duplica. (explique por qué se dio esa respuesta) [10 puntos]
5. Obtener las siguientes funciones de transferencia: [20 puntos]
* T2(s)/q1(s)
* T3(s)/q1(s)
* T3(s)/q2(s)
6. Obtener analíticamente la respuesta de la temperatura T2(t) si se produce un aumento del 75% en el q1(t) en el tiempo t=10min, comparar la solución con la respuesta
obtenida en la pregunta No. 3. [20 puntos]
7. Qué efecto sobre la respuesta del proceso tienen los siguientes parámetros:
[10 puntos]
* Resistencia térmica de los tanques.
* Volumen de los tanques.
* Tipo de aislante térmico de los tanques
SOLUCION DEL CUESTIONARIO 1. Ecuaciones diferenciales montadas en SIMULINK.
Para iniciar la simulación hacemos q1 (t)= 0 y q2 (t) =0; con estos valores la temperatura de salida T2 (t) y T3 (t) deben ser iguales a la temperatura T1 de entrada o sea 25ºC (298 ºK).
Es decir sin adición de calor todas las temperaturas deben ser iguales.
Grafico de Temperatura T2(t) = 25ºC (298 ºK) con q1 (t)= 0 y q2 (t) =0 Con el comando plot graficamos:
plot(pfinal2(:,1),pfinal2(:,2));grid on ;xlabel('tiempo');ylabel('T3(t)');title('temperatura de salida del sistema T3(t)')
Temperatura T3(t) 25ºC (298 ºK) con q1 (t)= 0 y q2 (t) =0 2 Ajustar los parámetros para lograr el estado estable
El estado estable se alcanza cuando la temperatura T3 se estabiliza en 80ºC (353 ºK), para ello se adicionó progresivamente calores q1 y q2 a los tanques, hasta que con calor en q1 (t) = 60100 Watts y q2 (t) = 60400 Watts, alcanzó la temperatura de salida de 80ºC, (353 ºK)
Nota:
Existe infinidad de parejas q1 (t), q2 (t) para los cuales también se puede lograr una temperatura de salida T3 de 80ºC, (353 ºK)
La temperatura T2 en estado estable fue 325.9ºK
Las Temperaturas T2 y T3 se estabilizan en 325.9 ºK y 353ºK respectivamente en Estado Estacionario
Con el comando Plot graficamos los resultados para las temperaturas Graficas para T2(t) y T3(t) en condiciones de estado estable.
plot(pfinal1(:,1),pfinal1(:,2),pfinal1(:,1),pfinal1(:,3));grid on;xlabel('tiempo');ylabel('T2(t) y T3(t)');title('Temperaturas T2(t) y T3(t)')
Las graficas de T2 y T3 en Estado Estacionario.
3) Para un 75% de aumento en el q1 (t) en el tiempo t=10 min y q2 (t) sin variar.
La temperatura T2 se estabiliza en 73.8º C (346.8ºK) y T3 =373.3ºK.
Con el comando Plot :
plot(pfinal1(:,1),pfinal1(:,2),pfinal1(:,1),pfinal1(:,3));grid on;xlabel('tiempo');ylabel('T2(t) y T3(t)');title('Temperaturas T2(t) y T3(t)')
Las graficas de T2 y T3 en estado estable Explicación:
Esta respuesta obedece a que se ha suministrado energía calorífica adicional al calor en estado estable un (deltaq1 (t)) del orden de 45075J/s o su equivalente de 45.075 Kw. El sistema responde aumentando la temperatura de salida del tanque uno T2(t)=346.8ºK y del tanque 2 T3(t)=373.3ºK.
El efecto sería similar si incrementamos el valor de q2(t) ,también debe incrementarse la temperatura de salida T3(t).
4) Comportamiento de las temperaturas T2 y T3 ante variaciones de flujo másico y flujos de calor en el tiempo
Consideración:
a) El caudal se representará como una entrada escalón y no como una constante.
4 a) MÈTODO PASO A PASO
Step 1
Comportamiento de T2 y T3 si flujo másico disminuye un 50% en t=5min
T2= 352.1ºK y T3= 403.4 ºK Con el comando Plot obtenemos la grafica:
plot(pfinal1(:,1),pfinal1(:,2),pfinal1(:,1),pfinal1(:,3)); grid on ;xlabel('tiempo');ylabel('T2(t) y T3(t)');title('Temperaturas T2(t) y T3(t) con cambios en flujo másico')
Las graficas de T2 y T3 si flujo másico disminuye un 50% en t=5min
Step 2
Si en t=50min q1 (t) aumenta un 75% como se comporta T2 y T3
Con cambios en flujo másico y aumento del %75 en q1 (t)
plot(pfinal1(:,1),pfinal1(:,2),pfinal1(:,1),pfinal1(:,3));grid on ;xlabel('tiempo');ylabel('T2(t) y T3(t)');title('Temperaturas T2(t) y T3(t) con cambios en flujo másico y q1(t)')
Las graficas de T2 y T3 si q1 (t) aumenta un 75% en t=50min
Los valores se establecen en: T2(t)= 392.7ºK y T3(t)= 441.7ºK Step 3
Si en t=100min q2(t) aumenta un 25% como se comporta T2 y T3
Con cambios en flujo másico, q1 (t), q2 (t).
plot(pfinal1(:,1),pfinal1(:,2),pfinal1(:,1),pfinal1(:,3));grid on ;xlabel('tiempo');ylabel('T2(t) y T3(t)');title('Temperaturas T2(t) y T3(t) con cambios en flujo masico , q1(t)y q2(t)')
Las gráficas de T2 y T3 si t=100min q2(t) aumenta un 25%
Los valores se establecen en: T2(t)=392.7ºK y T3(t)=455.3ºK Step 4
Finalmente si en t=150min el flujo másico se duplica, como es el comportamiento de T2 y T3 Con cambios en flujo masico,q1(t),q2(t) y doble del flujo masico:
plot(pfinal1(:,1),pfinal1(:,2),pfinal1(:,1),pfinal1(:,3));grid on ;xlabel('tiempo');ylabel('T2(t) y
T3(t)');title('Temperaturas T2(t) y T3(t) con cambios en flujo masico , q1(t)y q2(t),doble de flujo')
Los valores obtenidos son . T2(t)=346.8ºK y T3(t)=380.3ºK
4b) APLICANDO SIGNAL BUILDER
El sistema de ecuaciones también puede ser evaluado aplicando el bloque Signal Builder al flujo másico ya que este factor varía dos veces durante el análisis.
Los calores se consideran como step.
Modelo de ecuaciones en SIMULINK aplicando Signal Builder
El comportamiento de las temperaturas T3 y T4 ante las cuatro (4) entradas escalón se grafica
>> plot(pf(:,1),pf(:,2),pf(:,1),pf(:,3));grid on;xlabel('tiempo (s)');ylabel('T2 y T3 enºK');title('COMPORTAMIENTO DE T2 Y T3 EN EL TIEMPO')
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
x 104 0
50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
tiempo (s)
T2 y T3 enºK
COMPORTAMIENTO DE T2 Y T3 EN EL TIEMPO
T2(t) T3(t)
Conclusiones: Cuando el flujo másico se reduce en 50% la temperatura T2(t) y T3(t) se incrementan debido a que el tiempo de permanencia del fluido en los tanques aumenta, teniendo más tiempo para desarrollar la transferencia de calor.
Si incrementamos q1 (t) con el flujo másico reducido en 50% la temperatura T2 (t) y T3(t) se incrementan por incremento de la energía suministrada.
Si incrementamos q2 (t), la temperatura T2(t) se mantiene en su valor ya que no se ve afectado y se incrementa T3(t) porque el incremento de energía fue solo en el tanque 2.
Si se dobla el flujo másico la temperaturas T2(t) y T3(t) disminuyen debido a que el calor suministrado se distribuye en el doble del flujo másico lo que significa menor energía calorífica suministrada por unidad de masa de entrada y el tiempo de permanencia del fluido en los tanques disminuye.
5) Obtener las Función de transferencia
a) Obtener la Función de transferencia T2(s)/q1(s)
Partiendo del balance de energía en estado dinámico en el tanque 1:
2( ) 2( )
2( ) 1( )
( )
1 t t t t
th th
T T d T
mCpT mCpT q mCv
R R dt
Ec1
Aplicando el siguiente proceso matemático:
1. Evaluando la Ec1 en estado estacionario Ec2 2. Restando Ec1 de Ec2
3. Expresar la diferencia en términos de variables de desviación 4. Agrupando los términos comunes a la salida T2(s)
5. Establecer la Función de transferencia T2(s)/q1(s)
2( ) 1
1( ) 1
1
* 1
* 1
1
th
s th
s th
th
R
T mCpR K
Q mCvR S
mCpR S
Donde 1 º *
4.635848132 1
th th
R K s
K K
mCpR J
y 1 1.6236 min
1
th th
mCvR
mCpR
b) Partiendo del balance de energía en estado dinámico en el tanque 2:
3( ) 3( )
2( ) 3( ) 2( )
( )
t t
t t t
th th
T T d T
mCpT mCpT q mCv
R R dt
Utilizando variables de desviación, la Función de transferencia T3(s)/q2(s)
considerando que la variable de desviación de T2 = T2( )t = 0 a fin de poder establecer el efecto de la adición de calor en el tanque 2 sobre la temperatura final T3.
3( ) 1 2( )
2( ) 1 1( )
1
* 1
* 1
1
th
s th s
s th s
th
R
T mCpR K T
Q mCvR S S Q
mCpR
1
th th
K R
mCpR
=4.6358x 10e-4 (ºK*s)/J y
1
th th
mCvR
mCpR
=97.4164s
Comentario: Al ser dos sistemas idénticos en materiales, flujos y dimensiones, se comprueba que el efecto de q1 (t) sobre T2 es similar al de q2 (t) sobre T3.
c) Partiendo del balance de energía en estado dinámico en el tanque 2: para evaluar la función de transferencia 3( )
1( ) s
s
T
Q se debe considerar que
q
2( )t debe permanecer constante.3( ) 3( )
2( ) 3( ) 2( )
( )
t t
t t t
th th
T T d T
mCpT mCpT q mCv
R R dt
2 3( )
2
1( )
( * 1)
s th
s th th
T mCpR
Q mCpR S mCpR
6) Analíticamente el aumento de un 75% en q1(t) tiene el siguiente efecto sobre T2
Para una entrada escalón 1( ) 1.75* 60100 105175 Q s
S S
Evaluar
2( ) 1( )
1
1 1 105175
* 1 * 1*
1 1
1.6236 min 1
th th
th th
s s
th th th
th
th th
R R
mCpR mCpR
T Q
S mCvR S S
mCpR K R
mCpR
mCvR
mCpR
Donde 2( )t 2 lim 2( )s * 0
T T T S s
2( ) 2
0
1 105175
lim * *
* 1
1
th th t
th
th s
R
T T mCpR S
mCvR S
mCpR S
2( ) 2 *105175
1
th t
th
T T R
mCpR
2( )t 298º 48.75º 346.7º
T K K K
Se verifica que el resultado concuerda con el obtenido del numeral 3.
7- Efectos sobra respuesta del proceso
Basados en el conocimiento propio del proceso y del resultado de los efectos con el software se evidencian algunas conclusiones.
Consideración: Bajo la consideración de mantener q1 (t) = 60100 Watts y q2 (t) = 60400 Watts que corresponden al calor en estado estable y el además del flujo másico constante.
1
th th
K R
mCpR
y
1
th th
mCvR
mCpR
Resistencia térmica y Tipo de aislante térmico
Si la resistencia térmica de los tanques se incrementa la temperatura sube debido a la reducción del flujo de calor hacia el medio ambiente.
Este es un incremento moderado de algunos grados sobre el valor de estado estable la salida aumente, debido a que aumenta la ganancia del proceso K.
El material de aislamiento de los tanques tiende a reducir fugas de calor al medio ambiente si el tipo de aislamiento es mejor se reducen las fugas de calor al medio. Para resistencias térmicas 10 veces mayores la temperatura T3, solo incrementa 3ºK.
Al aumentar el valor de la Resistencia térmica el valor de (tao ) del proceso aumenta levemente, iniciando con 97.4 s para Rth de 0.0156ºK/W hasta 99.92 s para Rth de 0.1ºK/W Este factor afecta levemente el tiempo de estabilización del proceso.
Este factor tiene un efecto moderado sobre las temperaturas de salida.
Volumen de los tanques: Si se varia el volumen de los tanques se cambia la masa total contenida en los mismos, esto implica reducción de la temperatura de salida ya que se requiere mayor cantidad de energía q1 (t) y q2 (t) para volverlo al estad estable inicial.
El tiempo de estabilización (tao) se ve aumentado en relación directa con este factor, tomando más tiempo para alcanzar un estado estable en una masa mayor con el mismo suministro de calor y caudal.
Las temperaturas T2 y T3 no se ven afectadas Ejemplo si se duplica el V también lo hace (tao)
Resumen
Con este proyecto fue posible aplicar una metodología para el análisis de sistemas dinámicos en estado transitorio, a fin de poder predecir en ellos las respuestas del mismo ante cambios en sus entradas, calculando las ganancias y los tiempos de estabilización, que corresponden a los factores más importantes del proceso y que definen su personalidad.
Metodología de análisis matemático
Para ello se debe iniciar con el balance de masa y de energía en estado transitorio.
Establecer el valor de las entradas y salidas del sistema en un punto de operación, (estado estable)
Definir cuáles serán las entradas (STEP), salidas (Scope) y los parámetros que se consideran como constantes.
Se debe verificar que se cuente con el mismo número de ecuaciones que de incógnitas (salidas).
Verificar la linealidad o no de las ecuaciones, de no ser lineal, aplicar método de liberalización.
Evaluar la ecuación en estado estacionario
Restar a la ecuación general en estado transitorio la ecuación en estado estable.
Expresar la diferencia en términos de variables de desviación
Agrupando los términos comunes a la salida T2(s)
Establecer la Función de transferencia T2(s)/q1(s)
Evaluar la respuesta de una salida frente a cambios en las entradas, aplicando el teorema 2( )t 2 lim 2( )s * 0
T T T S s
Modelamiento del sistema en SIMULINK
A partir de las ecuaciones en estado transitorio se pueden modelar el sistema, con el uso del software Matlab y su complemento SIMULINK, el cual proporciona un entorno grafico que permite agregar bloques de constantes, operaciones matemáticas, entradas (Step), salidas (scope-display), integradores etc.
Se debe tener presente la correspondencia de las unidades
Estado estable del sistema: En SIMULINK llevamos el sistema a condiciones de estado estable, para esto asumimos una temperatura de salida T2(t)=52.8°C equivalente a 325.85°K .Con estos datos en la ecuación uno en estado estable obtenemos q1(t)=60100J/s.
Con el valor de q1(t)=60100J/s remplazamos en q2(t) y obtenemos para estado estable q2(t)=60400J/s para lograr una temperatura T3(t)=253°K o su equivalente de 80°C.
La temperatura de salida se puede obtener con diferentes combinaciones de q1(t) y q2(t) de tal forma que se obtenga T3(t)=80°C o su equivalente 353°K.
Linealizaciòn: En este caso no fue necesario linealizar las ecuaciones diferenciales del sistema, en todo caso, SIMULINK puede manejar modelos no lineales.
Funciones de transferencia :
Para obtener las funciones de transferencia se parte de la ecuación de energía para el tanque 1, se obtiene la ecuación de estado estable y utilizando variables de desviación obtenemos T2s/Q1s.
Para obtener T3s/Q2s aplicamos superposición es decir la variable de desviación Q1s debe ser cero ya que q1(t)=q1(trazo). Esto permite darle el mismo tratamiento para obtener T3s/Q2s .
Para obtener T3/Q1 consideramos que la variable de desviación Q2=0 ya que q2(t)=q2(trazo), relacionando T2/Q1 obtenemos T3/Q1.
Gráficos: Los gráficos obtenidos muestran el comportamiento del sistema ante las variaciones del flujo másico, q1(t), y q2(t).
Consideraciones del modelo:
Los agitadores solo se usan para homogenizar las temperaturas interna de los tanques y la energía que aportan al sistema es despreciable comparada con q1(t) y q2(t).
El tubo de unión de los tanques debe ser pequeño y aislado térmicamente para evitar el efecto de enfriamiento por recorrido del tubo.
Cambios en la respuestas si:
En Simulink es posible observar el cambio en la respuesta ante la variación de diversos tipos de entradas, como en este caso, evaluar el efecto del aumento en la Resistencia térmica y en el volumen de los tanques.
Aplicación de proceso:
El sistema se puede emplear para desengrasar piezas mecánicas a temperaturas de 80°C, agua para lavar y desengrasar carros u otros vehículos.
Bibliografía
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"Ingeniería de control moderna". Prentice Hall. 1997. 3era. edición.
Análisis y control de sistemas eléctricos, neumáticos, mecánicos, electromecánicos e hidráulicos retroalimentados. Diseño de compensadores. Contiene análisis y diseño en espacio de estado. Uso de MatLab.
B. C. KUO.
"Automatic control systems". Prentice Hall. 1995.
Análisis y compensación de sistemas hidroeléctricos y mecánicos retroalimentados.
Ejemplos de motores, control de nivel y control de trayectoria en vehículos aéreos.
Contiene espacio de estado e introducción a sistemas discretos y control digital.
