La Función Exponencial y la Función Logarítmica

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Cap´ıtulo 7

La Funci´on Exponencial y la Funci´on

Logar´ıtmica

M.Sc. Alcides Astorga M., Lic. Julio Rodr´ıguez S.

Instituto Tecnol´ogico de Costa Rica Escuela de Matem´atica

· · ·

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Cr´editos

Primera edici´on impresa: Rosario ´Alvarez, 1984.

Edici´on LaTeX: Marieth Villalobos, Alejandra Araya, Jessica Chac´on, Mar´ıa Elena Abarca, Lisseth Angulo. y Walter Mora.

Colaboradores: Cristhian Paéz, Alex Borbón, Juan José Fallas, Jeffrey Chavarr´ıa Edición y composición final: Walter Mora.

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Contenido

7.1 La funci´on exponencial . . . 3

7.1.1 Representación del gráfico de la función exponencial . . . 4

7.1.2 Algunas propiedades de la funci´on exponencial . . . 5

7.1.3 La funci´on exponencial de base e ≈ 2, 718281... . . . 5

7.2 La funci´on logar´ıtmica y sus propiedades . . . 6

7.2.1 Representación del gráfico de la función logar´ıtmica . . . 8

7.2.2 Algunas propiedades de la funci´on logar´ıtmica . . . 9

7.2.3 La funci´on logar´ıtmica de base e (e ≈ 2, 718281) . . . . 9

7.2.4 La funci´on logar´ıtmica de base 10 . . . 9

7.2.5 Propiedades de los logaritmos . . . 10

7.1 La funci´

on exponencial

En temas anteriores, hemos definido el significado de expresiones de la forma ax_{, con “a” un n´}_{umero real}

posi-tivo y x un n´umero racional, por ejemplo conocemos el significado de 20_{, 2}3_{, 2}5_{, 2}3

5, 212 , pero por el contrario

no conocemos el significado de expresiones como 2√3_{, 2}π_{, etc. Puesto que en este cap´ıtulo nos interesa estudiar}

expresiones de la forma ax_{, aceptaremos sin demostrar, que estas expresiones est´an definidas para todo n´}_umero

real x, si a ∈ R, a > 0.

Definici´on 1

Sea a ∈ R, a > 0, a 6= 1, se llama funci´on exponencial de base “a”, y se denota Exp_a, a la funci´on definida por:

Exp_a: R −→ ]0, +∞[

x −→ ax

Observaciones

1. De la definici´on anterior se tiene que Expa(x) = ax

2. La restricci´on a > 0, es indispensable, pues si a fuera cero o un n´umero negativo, se presentar´ıan algunas expresiones no definidas en R, tales como 0−1_{, (−2)}1

2, 00, etc.

(4)

3. El caso a = 1 se ha excluido debido a que en este caso se tendr´ıa 1x_{= 1, para cada x ∈ R, o sea que 1}x

es una funci´on constante.

Ejemplos de funciones exponenciales

a.) La funci´on f definida por f (x) = 2x _{es la funci´on exponencial de base 2.}

b.) La funci´on g definida por g(x) = µ

1 2

¶x

es la funci´on exponencial de base 1 2

7.1.1 Representaci´

on del gr´

afico de la funci´

on exponencial

Ejemplo 1

Considere las funciones exponenciales definidas respectivamente por: Exp₂(x), Exp1 2(x)

Realice el trazo de estas funciones.

Soluci´on

Para realizar el trazo de estas funciones debemos construir, para cada una de ellas una tabla de valores conve-niente de la manera siguiente:

(5)

7.1.2 Algunas propiedades de la funci´

on exponencial

Si f (x) = ax; a > 1 1. f (x) > 0, para toda x ∈ R 2. f (0) = 1 3. f (1) = a 4. f es biyectiva.

5. f es creciente en todo su dominio.

6. Si x tiende a +∞ entonces ax _{tiende a +∞}

7. Si x tiende a −∞ entonces ax _{tiende a 0}

Si g(x) = ax; 0 < a < 1

1. g(x) > 0; para toda x ∈ R

2. g(0) = 1

3. g(1) = a

4. g es biyectiva.

5. g es decreciente en todo su dominio.

6. Si x tiende a +∞ entonces ax _{tiende a 0.}

7. Si x tiende a −∞ entonces ax _{tiende a +∞}

Nota:

Las operaciones con funciones exponenciales satisfacen las propiedades definidas para las potencias racionales.

7.1.3 La funci´

on exponencial de base e ≈ 2, 718281...

Definici´on 2 La funci´on definida por:

Exp_e: R −→ ]0, +∞[,

x −→ ex

Se llama funci´on exponencial de base e. Escribimos f (x) = ex _{o f (x) = Exp} e(x)

Dado que e > 1 esta funci´on posee las mismas propiedades de la funci´on exponencial de base “a > 1”.

Ejercicios 1

(6)

7.2 La funci´

on logar´ıtmica y sus propiedades

Como la función exponencial es biyectiva, entonces existe su función inversa, a esta función la llamamos función logar´ıtmica.

Definici´on 3

Sea a ∈ R, a > 0 y a 6= 1, sea f la funci´on definida por f (x) = Exp_a(x), la funci´on f−1_{, inversa de f , se}

llama funci´on logar´ıtmica de base a y la denotamos “log_a”. As´ı tenemos que:

Exp_e: R −→ ]0, +∞[, donde y = ax

x −→ y

entonces:

log_a : ]0, +∞[ −→ R, donde x = log_ay y −→ x

Por lo anterior podemos decir que:

Si a ∈ R, a > 0, a 6= 1, x ∈ R, y ∈ ]0, +∞[

log_ay = x ⇐⇒ ax_{= y}

La expresi´on logay se lee “logaritmo de y en base a”

Observaciones

1. La función logar´ıtmica está definida únicamente para números reales mayores que cero.

2. La base de la funci´on logar´ıtmica es un n´umero real positivo diferente de uno.

Ejemplo 2

a. 8 = 23=⇒ 3 = log28

(7)

c. log 2 µ 1 2 ¶ = −1 =⇒ 2−1 =1 2 d. log162 = 1 4 =⇒ (16) 1 4 = 2 Ejemplo 3

Para cada una de las siguientes expresiones, calcule el valor de la letra para que la igualdad sea verdadera.

1. log2N = 4

2. log_c32 = 5

3. log3(1/9) = b

Soluci´on

1. Si log₂N = 4 entonces 24_{= N , o sea 16 = N}

2. Si logc32 = 5 entonces: c5 _{= 32} (c5)15 = (32)15 c = (25₎1 5 c = 2 3. Si log₃(1/9) = b entonces: 3b ₌ 1 9 3b _{= 3}−2 b = −2 Ejercicios 2

(8)

1. log_x1 = 0 2. log_x(x2_{+ x) = 2} 3. log2(−x + 1) = 3 4. log42 = x + 1 5. logx+14 = 2 6. log_x(2x2_{− x) = 2} 7. log2 1 4 = x 8. log8N = −1 2 9. log−8x = 1 3 10. log6x−17(x2− 9) = 1 11. log2(x2+ 2x) = x

7.2.1 Representaci´

on del gr´

afico de la funci´

on logar´ıtmica

Ejemplo 4

Considere las funciones logar´ıtmicas f y g, definidas respectivamente por f (x) = log2x, g(x) = log1 2x

Realice el trazo de estas funciones.

Soluci´on

(9)

7.2.2 Algunas propiedades de la funci´

on logar´ıtmica

Si f (x) = log_ax; a > 1

1. loga1 = 0, pues a0= 1

2. log_aa = 1, pues a1_{= a}

3. f es biyectiva.

4. f es creciente en todo su dominio.

5. Si x tiende a +∞ entonces logax tiende a +∞

6. Si x tiende a 0 tomando valores positivos entonces logax tiende a −∞

Si g(x) = log_ax; 0 < a < 1

1. loga1 = 0, pues a0= 1

2. log_aa = 1, pues a1_{= a}

3. g es biyectiva.

4. g es decreciente en todo su dominio.

5. Si x tiende a +∞ entonces logax tiende a −∞

6. Si x tiende a 0 tomando valores positivos entonces logax tiende a +∞

7.2.3 La funci´

on logar´ıtmica de base e (e ≈ 2, 718281)

Definici´on 4

La funci´on f definida por:

f : ]0, +∞[ −→ R, x −→ log_ex

se llama funci´on logar´ıtmica de base e, y escribimos ln(x) o sea ln(x) = logex.

Los logaritmos de base e se llaman logaritmos neperianos o logaritmos naturales.

La función logar´ıtmica de base e posee las mismas propiedades de la función logar´ıtmica de base a, con a > 1. La expresión ln x se lee “logaritmo natural de x”.

7.2.4 La funci´

on logar´ıtmica de base 10

Definici´on 5

(10)

f : ]0, +∞[ −→ R, x −→ log₁₀x

se llama funci´on logar´ıtmica de base 10 y escribimos log(x) o sea log(x) = log₁₀x.

Los logaritmos de base 10 se laman logaritmos decimales.

Ejercicios 3

Considere las funciones definidas por: 1. f (x) = ln(x) 2. h(x) = log₂(x + 2) 3. p(x) = ln(−x + 3) 4. g(x) = e−x 5. m(x) = 3x_{+ 1} 6. q(x) = log₁₀(1 − 3x)

Para cada una de las funciones anteriores determine:

a. Determine su m´aximo dominio real. b. Realice su trazo.

7.2.5 Propiedades de los logaritmos

Propiedad I

Sea a ∈ R, a > 0 y a 6= 1, como Exp_a y log_a son funciones mutuamente inversas entonces al calcular la composici´on de estas dos funciones se obtiene :

a. [Exp_a◦ log_a](x) = x, con x ∈ R y x > 0 b. [log_a◦Exp_a](x) = x, con x ∈ R

Por (a) se tiene:

x = [Exp_a◦ log_a](x)

= Exp_a[log_a(x)] por definici´on Exp_a(x) = ax

= a log_a(x)

(11)

Por (b) se tiene:

x = [loga◦Expa](x)

= loga[Expa(x)] por definici´on Expa(x) = ax

= logaax

Por lo tanto: logaax= x (I-b)

Ejemplo 5

a. log₃32_{= 2} _{(porpropiedad I − b)}

b. 5log57= 7 (por propiedad I-a)

Ejemplo 6

Resuelva las siguientes ecuaciones, aplicando las propiedades I-a y I-b.

a. 3−2x+5_{= 1}

b. ln[(x + 3)(x + 5)] = ln 15

Soluci´on

a. 3−2x+5_{= 1}

Si 3−2x+5_{= 1 entonces aplicando log}

3x a ambos t´erminos de la igualdad se obtiene que:

log₃3−2x+5_{= log}

31

Como log33−2x+5= −2x + 5 (por I-b) y log31 = 0, entonces:

−2x + 5 = 0 −2x = −5 x = −5 −2 x = 5 2 As´ı el conjunto soluci´on de 3−2x+5_{= 1 es}

½ 5 2

(12)

b. ln[(x + 3)(x + 5)] = ln 15

Si ln[(x + 3)(x + 5)] = ln 15, entonces aplicando Expex a ambos t´erminos de la igualdad se tiene que:

eln [(x+3)(x+5)]_{= e}ln 15

Como eln [(x+3)(x+5)]_{= (x + 3)(x + 5) y e}ln 15_{= 15 (por I-a)}

Entonces: (x + 3)(x + 5) = 15 Por lo que: x2_{+ 8x + 15 = 15} x2_{+ 8x + 15 − 15 = 0} x2_{+ 8x = 0} x(x + 8) = 0 x = 0 o x = −8

As´ı obtenemos dos posibles soluciones para la ecuaci´on propuesta; para averiguar si efectivamente son soluciones de la ecuaci´on se debe realizar la prueba en ln[(x + 3)(x + 5)] = ln 15 y descartar aquellos valores para la x, que no proporcionen una igualdad verdadera.

Prueba:

(i) Para x = 0, Sustituyendo:

ln [(0 + 3)(0 + 5)] = ln 15 ln (3 · 5) = ln 15 ln 15 = ln 15 Por lo que 0 es una soluci´on de la ecuaci´on original.

(ii) Para x = −8, Sustituyendo:

(13)

Por lo que −8 es una soluci´on de la ecuaci´on original. Por lo tanto S = {0, −8}.

Observaci´on

En el proceso de resolución de ecuaciones que involucren logaritmos, los valores de la incógnita, que se obtienen, no siempre son soluciones de la ecuación original, por lo tanto para determinar el conjunto solución es necesario verificar cuales de los valores obtenidos son soluciones de la ecuación original.

Propiedad II

Sea a ∈ R, a > 0, a 6= 1, x ∈ R, y ∈ R

ax_{= a}y_{=⇒ x = y}

Demostraci´on

Si ax_{= a}y _{entonces aplicando log}

a a ambos miembros de la igualdad:

logaax = logaay por (I-b)

(14)

Resolver la ecuación 2 x 4 = 32 Solución 2x 4 = 32 2x 22 = 25 2x−2 _{= 2}5 _{Por propiedad II} x − 2 = 5 x = 7 Por lo tanto S = {7} Propiedad III Sean a ∈ R, a > 0, a 6= 1, x ∈ ]0, +∞[, y ∈ ]0, +∞[ logax = logay =⇒ x = y Demostración

Si log_ax = log_ay entonces aplicando Exp_a a ambos miembros de la igualdad:

alogax = alogay por (I-a)

x = y

Ejemplo 9

Resolver ln (x2_{− 3x + 2) = ln (x}2_{− 5x + 5)}

Soluci´on

ln (x2_{− 3x + 2) = ln (x}2_{− 5x + 5)} _{Por propiedad III}

(15)

ln (x2_{− 3x + 2) = ln (x}2_{− 5x + 5)} Si x = 3 2; ln "µ 3 2 ¶2 − 3 · µ 3 2 ¶ + 2 # = ln "µ 3 2 ¶2 − 5 · µ 3 2 ¶ + 5 # ln µ −1 4 ¶ = ln µ −1 4 ¶ Como ln µ −1 4 ¶

no est´a definido en R, entonces 3

2 no es soluci´on de la ecuaci´on. Por lo tanto S = ∅

Ejercicios 4

Resuelva para x cada una de las siguientes ecuaciones. 1. 3 = 2ex 2. 7 = e−6x 3. 11 = 2 x 3 4. √5 = √rx 5 5. ex_{= 81} 6. 3−x_{= 27} 7. 92x_{= 3 · 27}x 8. 3x+1_{= 729} 9. 4 · 16x_{= 64}x−1 10. 54x2_−4x−3 = 1 11. 8x−1_{· 2}x_· 1 4x−2 = 1 16 12. √125x_· 1 25x−1 = √ 5x Propiedad IV Sean a ∈ R, a > 0, a 6= 1, x ∈ ]0, +∞[, y ∈ ]0, +∞[ entonces:

log_a( x · y) = log_ax + log_ay

Demostraci´on

Sean M = log_ax; N = log_ay (i)

De M = log_ax se tiene que aM _{= x; de N = log}

ay se tiene que aN = y

As´ı:

x · y = aM_{· a}N

(16)

Aplicando loga a ambos miembros de la igualdad se tiene que:

log_a(x · y) = log_aaM +N _{P or(I − b)}

log_a(x · y) = M + N Pero M = logax y N = logay por lo que:

loga( x · y) = logax + logay

Ejemplo 10

Sabiendo que log 2 ' 0, 30103 y log 3 ' 0, 47712. Determine el valor de log 12

Soluci´on Como:

log 12 = log (4 · 3) por propiedad III = log 4 + log 3

= log(2 · 2) + log 3 por propiedad III = log 2 + log 2 + log 3

= 2 log 2 + log 3 = 2 · 0, 30103 + 0, 47712 = 1, 07918

Por lo tanto log 12 ' 1, 07918

Ejemplo 11

Resolver log (x − 3) + log (x + 2) = log (5x − 14)

Soluci´on

log (x − 3) + log (x + 2) = log (5x − 14) por propiedad IV log [(x − 3) · (x + 2)] = log (5x − 14) por propiedad III

(x − 3) · (x + 2) = 5x − 14

x2_{− x − 6 − 5x + 14 = 0}

x2_{− 6x + 8 = 0}

(17)

Prueba: log (x − 3) + log (x + 2) = log (5x − 14)

a. Si x = 4

log (4 − 3) + log (4 + 2) = log (5 · 4 − 14) log (1) + log (6) = log (6)

0 + log (6) = log (6) log (6) = log (6) Por lo tanto 4 es soluci´on

b. Si x = 2

log (2 − 3) + log (2 + 2) = log (5 · 2 − 14) log (−1) + log (4) = log (−4)

Como log (−1) y log (−4) no est´an definidos en R, tenemos que 2 no es soluci´on.

.._{.S = {4}} Propiedad V Sean a ∈ R, a > 0, a 6= 1, x ∈ ]0, +∞[, n ∈ R entonces: log_a xn_{= n · log} ax Demostraci´on

Sea x = ay _{con y ∈ R entonces log} ax = y

as´ı log_axn_{= log}

a(ay)n= logaay·n= y · n

o sea log_axn _{= y · n}

pero como y = logax, tenemos que logaxn= n · logax

Ejemplo 12

Resolver 2 log(1 − 2x) = log(−x + 1)

(18)

2 log(1 − 2x) = log(−x + 1) por propiedad V log(1 − 2x)2 _{= log(−x + 1) por propiedad III}

(1 − 2x)2 _{= (−x + 1)} 1 − 4x + 4x2 _{= −x + 1} 4x2_{− 3x = 0} x(4x − 3) = 0 x = 0 y x = 3 4 Prueba: 2 log(1 − 2x) = log(−x + 1)

a. Si x = 0

2 log(1 − 2 · 0) = log(−0 + 1) 2 log(1) = log(1)

2 · 0 = 0 0 = 0 Por lo tanto 0 es soluci´on

b. Si x = 3 4 2 log µ 1 − 2 ·3 4 ¶ = log µ −3 4 + 1 ¶ 2 log µ 1 −3 2 ¶ = log µ 1 4 ¶ 2 log µ −1 2 ¶ = log µ 1 4 ¶ como log µ −1 2 ¶

no está definido en R, en-tonces 3 4 no es solución. Propiedad VI Sean a ∈ R, a > 0, a 6= 1, x ∈ ]0, +∞[, y ∈ ]0, +∞[ entonces: log_a x y = logax − logay Demostración loga x y = loga(x · y −1₎ _{por propiedad IV}

= logax + logay−1 por propiedad V

= log_ax + −1 · log_ay

= log_ax − log_ay

O sea loga

x

(19)

Ejemplo 13

Resolver ln (x − 10) − ln (x − 7) = ln 2

Soluci´on

ln (x − 10) − ln (x − 7) = ln 2 por propiedad VI

ln x − 10

x − 7 = ln 2 por propiedad III x − 10 x − 7 = 2 x − 10 = 2(x − 7) x − 10 = 2x − 14 −x + 4 = 0 x = 4 Prueba: ln (x − 10) − ln (x − 7) = ln 2 ln (4 − 10) − ln (4 − 7) = ln 2 ln (−6) − ln (−3) = ln 2

Como ln (−6) y ln (−3) no est´an definidos en R entonces 4 no es soluci´on, por lo tanto S = ∅

Ejemplo 14 Verifique que log2

· 23x_{· x}2_{· 5} √ 8 · 2x5 ¸ = 3x + 2 · log25 − 3 2− x 5 Soluci´on log2 · 23x_{· x}2_{· 5} √ 8 · 2x5 ¸ = log2(23x· x2· 5) − log2( √ 8 · 2x5 )

= log223x+ log2x2+ log25 − (log2

√

8 + log22x

5

) = log223x+ log2x2+ log25 − log2

√

8 − log22x

5

= 3x · log₂2 + 2 · log₂x + log₂5 − log₂812 − x5· log

(20)

Ejercicios 5

1. Verifique cada una de las siguientes identidades:

a. log · x3_{· 10}2x 10x2 ¸ = 3 · log x + 2x − x2 b. log3 3 q 2√3 = log3 3 √ 2 − log3 6 √ x Ejemplo 15 1. Resuelva 9 · 32x_{− 15 · 3}x_{− 6 = 0} Soluci´on 9 · 32x_{− 15 · 3}x_{− 6 = 0} 9 · (3x₎2_{− 15 · 3}x_{− 6 = 0} Sea y = 3x _(*) 9 · y2_{− 15 · y − 6 = 0} y = −1 3 , y = 2 De (*) tenemos que: a. 3x₌ −1 3 S1= ∅ ¿Por qu´e?. b. 3x_{= 2 =⇒ x = log} 32 =⇒ S2= {log32}

Por lo tanto S = {log32}

2. Resuelvaplog2x = log2

√ x

(21)

p log2x = log2 √ x p log2x = 1 2 · log2x ¡p log2x ¢2 = µ 1 2 · log2x ¶2 log2x = 1 4 · (log2x) 2 log2x − 1 4· (log2x) 2 _{= 0} log₂x · (1 −1 4 · log2x) = 0

As´ı log2x = 0 ´o 1 −

1 4 · log2x = 0 Caso I log2x = 0 ⇐⇒ x = 20⇐⇒ x = 1 Caso II 1 −1 4 · log2x = 0 ⇐⇒ 1 = 1 4· log2x ⇐⇒ 4 = log2x ⇐⇒ x = 16 Por lo tanto S = {1, 16} Ejercicios 6

(22)

1. 32x+2_{− 5 · 3}x+1_{− 6 = 0} 2. 9x−2_{+ 3}x−1_{− 2 = 0} 3. 27x+3₌ ( √ 3)x 9x−2 4. 31−2x_{= 2}x+5 5. 107−2x_{= 3}5−3x 6. 5x+2_{= 4}x−1 7. − log(x − 1) = 2 8. − log₂(x − 2) = 1 9. log √x =√ln x 10. 2 log(1 + x) log(x + 2) = 0 11. −1 + log x = −1 − log x log x + 1 12. log (x8_{) = (ln x)}4 13. log x3_{= (log x)}3 14. log x4_{= log}4_x

15. 2 log₅(x − 2) − log₅(x + 4) = log₅3

16. log(2x + 7) − log(x − 1) = log 5