Tema 5. Geometr´ıa del espacio tridimensional
Profesor Andr´ es D´ıaz Jim´ enez [email protected]
IES ALPAJ ´ES
January 12, 2017
El espacio af´ın tridimensional.
El espacio af´ın tridimensional (R
3, V
3, T )
El espacio af´ın tridimensional (R 3 , V 3 , T ) consta de:
El conjunto R 3 cuyos elementos se denominan puntos del espacio.
El conjunto V 3 de los vectores libres del espacio.
La operaci´ on suma de puntos con vectores (traslaci´ on del punto P con respecto al vector − → u ):
sea P = (x, y, z) ∈ R 3 y − → u = (a, b, c) ∈ V 3
Q = P + − → u = (x + a, y + b, z + c) Q es la traslaci´ on del punto P mediante el vector − → u
Ejemplo: Sea A(−1, 2, 4) y − → u = (0, −1, 6)
Q = P + − → u = (−1 + 0, 2 − 1, 6 + 4) = (−1, 1, 10)
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El espacio af´ın tridimensional. Sistemas de referencia
Sistemas de referencia del espacio af´ın tridimensional (R
3, V
3, T )
llamamos sistema de referencia del (R 3 , V 3 , T ) al conjunto:
R = {O, − → u 1 , − → u 2 , − → u 3 } Con O ∈ R 3 y B = {− → u 1 , − → u 2 , − → u 3 } es una base del conjunto V 3 Nosotros siempre utilizaremos como sistema de referencia:
R = n
O, − → i , − →
j , − → k
o Con O = (0, 0, 0) − →
i = (1, 0, 0), − →
j = (0, 1, 0), − →
k = (0, 0, 1)
El espacio af´ın tridimensional. Punto medio M de dos puntos
Punto medio de dos puntos
Dados dos puntos A(x 0 , y 0 , z 0 ) y B(x 1 , y 1 , z 1 ) definimos el punto medio M como:
M = x 0 + x 1
2 , y 0 + y 1
2 , z 0 + z 1 2
Ejemplo: Hallar el punto medio que se encuentra entre los puntos A(1, −1, 3) y B(2, −2, 7)
M = 1 + 2
2 , −1 − 2
2 , 7 + 3 2
= 3 2 , − 3
2 , 5
Ejercicio: hallar el sim´ etrico del punto A(0, −1, 4) con respecto a B(2, −1, 3)
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El espacio af´ın tridimensional. Puntos alineados
Puntos alineados
Dados tres puntos A, B y C decimos que est´ an alineados s´ı el rango de la matriz rg( −→
AB, −→
AC) = 1 Ejemplo: Comprobar si los puntos A(1, −3, 2), B(2, 0, 1) y C(0, 2, 1) est´ an alineados
Ejercicio de PAU:Sean los puntos
A(λ, 2, λ) B(2, −λ, 0) C(λ, 0, λ + 2)
Existe alg´ un valor de λ para que los puntos A, B, C est´ en alineados. En el caso de que no est´ en
alineados comprobar si el tri´ angulo A, B, C es is´ osceles.
El espacio af´ın tridimensional. Puntos coplanarios
Puntos coplanarios
Dados los puntos A, B, C, D puntos de R 3 decimos que son coplanarios si y s´ olo si rg( −→
AB, −→
AC, − − → AD) = 2
1
Ejemplo 1 Dados los puntos A(0, 0, 1), B(1, 0, −1), C(0, 1, −2) y D(1, 2, 0) demostrar que no son coplanarios.
2
Ejemplo 2 Dados los puntos A(1, −3, 0), B(3, 1, −2), C(7, 2, 3), D(5, −2, 5) Demostrar que son coplanarios. . Demostrar que el pol´ıgono ABCD es un paralelogramo y calcular su ´ area.
3
Ejemplo 3 Los puntos A(1, 1, 1), B(2, 2, 2), C(1, 3, 3) son tres v´ ertices consecutivos de un paralelogramo, calcular el v´ ertice D
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El espacio af´ın tridimensional. Rectas
Rectas
Llamaremos recta en el espacio af´ın tridimensional al conjunto de puntos:
r ≡ Q = P + λ− → u λ ∈ R, P ∈ R 3 y − → u ∈ V 3
A la expresi´ on anterior la llamaremos ecuaci´ on vectorial de la recta r. Al vector − → u le llamaremos vector director de la recta r.
Ejemplo: Hallar la ecuaci´ on vectorial de la recta que pasa por el punto P (−1, 2, 3) y tiene como vector director − → u (−1, 7, 6).
Q = P + λ− → u
(x, y, z) = (−1, 2, 3) + λ(−1, 7, 6)
El espacio af´ın tridimensional. Rectas. Ecuaciones.
Rectas. Ecuaciones
Dado un punto P (x 0 , y 0 , z 0 ) y un vector director u = (a, b, c)
1
Ecuaci´ on vectorial de la recta.
(x, y, z) = (x 0 , y 0 , z 0 ) + λ(a, b, c)
2
Ecuaciones param´ etricas de la recta
x = x 0 + λa y = y 0 + λb z = z 0 + λc
3
Ecuaci´ on continua de la recta. Para obtenerla despejamos λ en las ecuaciones anteriores.
λ = x − x 0 a λ = y − y 0
b λ = z − z 0
c Igualamos las ecuaciones anteriores y obtenemos:
x − x 0
a = y − y 0
b = z − z 0 c
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El espacio af´ın tridimensional. Rectas. Ecuaciones.
Ejemplo:
Hallar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto P (−1, −2, 3) y tiene como vector director − → u = (−1, 3, 4)
Ecuaci´ on vectorial.
(x, y, z) = (−1, −2, 3) + λ(−1, 3, 4) Ecuaciones param´ etricas.
x = −1 − λ y = −2 + 3λ
z = 3 + 4λ Ecuaci´ on continua
x + 1
−1 = y + 2
3 = z − 3
4
El espacio af´ın tridimensional. Rectas. Ecuaciones.
Ejemplo: hallar las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos P (0, −4, 5) y Q(−1, 0, 4) Para obtener las ecuaciones de la recta necesitamos un punto por ejemplo el Q(−1, 0, 4) y un vector director − → u = −→
P Q por tanto:
−→ P Q = Q − P = (−1, 0, 4) − (0, −4, 5) = (−1, 4, −1)
Ecuaci´ on vectorial.
(x, y, z) = (−1, 0, 4) + λ(−1, 4, −1) Ecuaciones param´ etricas.
x = −1 − λ y = 4λ z = 4 − λ Ecuaci´ on continua
x + 1
−1 = y
4 = z − 4
−1
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El espacio af´ın tridimensional. Planos.
Planos
Un plano es el lugar geom´ etrico de los puntos del espacio af´ın de dimensi´ on 3 que cumplen la ecuaci´ on:
Ax + By + Cz = D
π = (x, y, z) ∈ R 3 /Ax + By + Cz = D
Un plano es un subespacio af´ın de dimensi´ on 2. A la ecuaci´ on Ax + By + Cz = D se llama ecuaci´ on general o ecuaci´ on impl´ıcita del plano.
Ejemplo:
π ≡ −x + y + 2z = 3
El espacio af´ın tridimensional. Planos.
Para obtener las ecuaciones de un plano necesitamos:
Planos. Requisitos para obtener las ecuaciones
Un punto que pertenezca al plano y dos vectores paralelos a ´ el.
Tres puntos que pertenezcan al plano.
Una recta y punto exterior a esta que pertenezcan al plano Dos rectas que pertenezcan al plano.
Un punto y dos rectas (que se cruzan o cortan) paralelas al plano.
Un punto y un vector perpendicular al plano.
Un punto y una recta perpendicular al plano.
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Ecuaciones vectorial. Ecuaciones param´ etricas.
Para obtener las ecuaciones de un plano necesitamos un punto P (x 0 , y 0 , z 0 ) que pertenezca a ´ el y dos vectores paralelos al plano − → u (a 1 , b 1 , c 1 ) − → v (a 2 , b 2 , c 2 )
Planos. Ecuaci´ on vectorial. Ecuaciones param´ etricas
Ecuaci´ on vectorial
(x, y, z) = (x 0 , y 0 , z 0 ) + λ(a 1 , b 1 , c 1 ) + µ(a 2 , b 2 , c 2 ) Ecuaciones param´ etricas.
x = x 0 + λa 1 + µa 2 y = y 0 + λb 1 + µb 2 z = z 0 + λc 1 + µc 2
Ecuaci´ on impl´ıcita del plano:
x − x 0 y − y 0 z − z 0 a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2
= 0 De aqu´ı obtenemos:
Ax + By + Cz + D = 0
Ecuaciones del plano ejemplos.
Ejemplo hallar el plano que contiene a la punto P (2, −1, 4) y es paralelo a los vectores
−
→ u = (3, 1, 2) y − → v = (1, −3, 7)
(x, y, z) = (2, −1, 4) + λ(3, 1, 2) + µ(1, −3, 7)
x = 2 + 3λ + µ y = −1 + λ − 3µ
z = 4 + 2λ + 7µ
x − 2 y + 1 z − 4
3 1 2
1 −3 7
= (x − 2)
1 2
−3 7
− (y + 1)
3 2 1 7
+ (z − 4)
3 1 1 −3
13(x − 2) − 19(y + 1) − 10(z − 4) = 0 ⇒ 13x − 26 − 19y − 19 − 10z + 40 = 0
13x − 19y − 10z − 5 = 0
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Ecuaciones del plano ejemplos.
Ejemplo: hallar la ecuaci´ on del plano que contiene a los puntos A(0, −1, 3), B(−1, 2, 4) y C(2, 5, 0).
Hallamos dos vectores paralelos al plano π:
−→ AB = B − A = (−1, 2, 4) − (0, −1, 3) = (−1, 3, 1) AC = C − A = (2, 5, 0) − (0, −1, 3) = (2, 6, −3) Ecuaciones param´ etricas:
x = −λ + 2µ y = −1 + 3λ + 6µ
z = 3 + λ − 3µ Ecuaci´ on impl´ıcita
x y + 1 z − 3
−1 3 1
2 6 −3
= 0
−15x − y − 12z + 35 = 0
Ecuaciones del plano ejemplos.
Ejemplo: hallar la ecuaci´ on del plano que pasa por el punto P (2, 0, 3) y por la recta de ecuaci´ on.
x − 1
2 = y + 3
1 = z − 2 3
El plano contiene al punto P (2, 0, 3) al punto Q(1, −3, 2) y es paralelo al vector − → u (2, 1, 3), obtenemos otro vector paralelo −→
P Q, por tanto:
−→ P Q = (1, −3, 2) − (2, 0, 3) = (−1, −3, −1)
x − 2 y z − 3
2 1 3
−1 −3 −1
= 0
8x − y − 5z − 1 = 0
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Ecuaciones del plano ejemplos.
Ejemplo: hallar la ecuaci´ on del plano que pasa por el origen y es paralelo a las rectas : r ≡ x − 1 = y + 1
2 = z − 2
3 y s ≡ x = y = z El plano queda determinado por los vectores
−
→ u (1, 2, 3) y − → v (1, 1, 1) y el punto
O(0, 0, 0) Por tanto
x y z 1 2 3 1 1 1
= 0
−x + 2y − z = 0
Ecuaciones del plano. Ecuaci´ on normal del plano.
Ecuaci´ on normal del plano
Sea P (x 1 , y 1 , z 1 ) ∈ π y − → n = (A, B, C) un vector perpendicular al plano π y sea Q(x, y, z) un punto cualquiera del plano π entonces se verifica:
−→ P Q · − → n = 0 Por tanto
(x − x 1 , y − y 1 , z − z 1 ) · (A, B, C) = 0 ⇒ A(x − x 1 ) + B(y − y 1 ) + C(z − z 1 ) = 0 Operando
Ax + By + Cz + D = 0
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Ecuaciones del plano. Ecuaci´ on normal del plano.
Hallar la ecuaci´ on del plano perpendicular al vector ~ u = (−1, 3, 2) y contiene al punto P (3, −2, 7)
π ≡ −1(x − 3) + 3(y + 2) + 2(z − 7) = 0 ⇒ −x + 3 + 3y + 6 + 2z − 14 = 0
π ≡ −x + 3y + 2z − 5 = 0
Ecuaciones del plano. Ecuaci´ on normal del plano.
Hallar la ecuaci´ on del plano que pasa por el punto P (−3, 2, 4) y es perpendicular a la recta:
x − 1 3 = y
2 = 2 − z 2
El vector − → n = (3, 2, −2) es perpendicular al plano π que buscamos, la ecuaci´ on del plano ser´ a:
π ≡ 3x + 2y − 2z + D = 0
Como el punto P ∈ π al sustituir sus coordenadas en la ecuaci´ on de π dar´ a 0 por tanto:
3(−3) + 2 · 2 − 2 · 4 + D = 0 ⇒ −9 + 4 − 8 + D = 0 ⇒ D = 13 π ≡ 3x + 2y − 2z + 13 = 0
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Ecuaciones del plano. Ecuaci´ on normal del plano.
Hallar la ecuaci´ on del plano que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular a los planos:
π 1 : 5x − y − 7z = 1 π 2 : 2x + 3y + z = 5
Intersecci´ on de dos planos. Ecuaciones impl´ıcitas o cartesianas de la recta
Ecuaciones impl´ıcitas o cartesianas de la recta
Una recta queda determinada por la intersecci´ on de dos planos, por tanto la recta puede quedar determinada por el sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones de ambos planos.
π 1 ≡ Ax + By + Cz + D = 0 π 2 ≡ A 0 x + B 0 y + C 0 z + D = 0 r ≡
Ax + By + Cz + D = 0 A 0 x + B 0 y + C 0 z + D = 0
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Intersecci´ on de dos planos. Ecuaciones impl´ıcitas o cartesianas de la recta
Ejemplo Hallar las ecuaciones param´ etricas de la recta:
r ≡ 2x − y + z − 2 = 0 x − y + z + 1 = 0
Este ejercicio se puede hacer de diversas formas: Escribimos los vectores normales de cada uno de los planos:
− →
n π = (2, −1, 1)
− →
n π
0= (1, −1, 1)
El producto vectorial de los vectores anteriores ser´ a un vector director de la recta r
−
→ u =
−
→ i − → j − →
k 2 −1 1 1 −1 1
= − − → j − − →
k
Por tanto − → u (0, −1, −1) A continuaci´ on hallamos un punto cualquiera de la recta para ello le damos por ejemplo a z = 0 y resolvemos ´ el sistema:
2x − y = 2
x − y = −1
Intersecci´ on de dos planos. Ecuaciones impl´ıcitas o cartesianas de la recta
r ≡ 2x − y + z − 2 = 0
x − y + z + 1 = 0 ⇒ r ≡ 2x − y = −z + 2 x − y = −z − 1
Resolvemos el sistema compatible indeterminado. Para ello utilizamos una inc´ ognita como par´ ametro.
x =
2 − z −1
−z − 1 −1
2 −1 1 −1
y =
2 2 − z 1 −z − 1
2 −1 1 −1
z = λ
x = −3
−1 y = −z − 4
−1 z = λ
x = 3 y = 4 + λ
z = λ
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Intersecci´ on de dos planos. Ecuaciones impl´ıcitas o cartesianas de la recta
Ejemplo Dada la recta
r : x − 2z − 1 = 0 x + y + z − 4 = 0
Obtener la recta que pasa por el punto P (1, 0, 5) y corta perpendicularmente a r.
Pasamos la recta a param´ etricas
x − 2z − 1 = 0
x + y + z − 4 = 0 =⇒ x = 2z + 1
x + y + z − 4 = 0 =⇒ x = 2z + 1
2z + 1 + y + z − 4 = 0
x = 1 + 2λ y = 3 − 3λ z = λ
=⇒ P r (1, 3, 0) u ~ r = (2, −3, 1) Llamamos s a la recta soluci´ on s = π 1 T π 2 de tal forma que
1
π 1 es un plano que contenga a P y a la recta r con ello conseguimos que la recta r y s se cortan.
2
π 2 es el plano que es perpendicular a r y que pasa por P con ello conseguimos que sean
perpendiculares
Intersecci´ on de dos planos. Ecuaciones impl´ıcitas o cartesianas de la recta
Calculamos π 1
π 1 :
P = (1, 0, 5)
~
u r = (2, −3, 1)
−−→ P r P = (1, 0, 5) − (1, 3, 0) = (0, −3, 5) Por tanto
π 1 :
x − 1 y z − 5
0 −3 5
2 −3 1
= 0 =⇒ π 1 : 12x + 10y + 6z − 42 = 0 =⇒ π 2 : 6x + 5y + 3z − 21 = 0
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Intersecci´ on de dos planos. Ecuaciones impl´ıcitas o cartesianas de la recta
Calculamos π 2
π 2 : P = (1, 0, 5)
π 2 ⊥ r =⇒ ~ n π
2= ~ u r = (2, −3, 1) 2 · 1 − 3 · 0 + 3 · 5 + D = 0 =⇒ 2 + 15 + D = 0
D = −17 =⇒ π 2 : 2x − 3y + z − 17 = 0 Por tanto
s = π 1 \
π 2 ≡ 6x + 5y + 3z − 21 = 0
2x − 3y + z − 17 = 0
Rectas como intersecci´ on de dos planos
1
Ejemplo 1 Obtener la ecuaci´ on de la recta incluida en el plano z = 0, con direcci´ on perpendicular a ~ u = (2, −1, 4) y que pasa por el punto (1, 1, 0).
2
Ejemplo 2 Se consideran el punto P (1, 0, 1), la recta r ≡ x − 1 1 = y
2 = z + 1
−1 y el plano
π : x + y + z = 0. Determinar la ecuaci´ on de la recta s que contiene a P , corta a la recta r y es paralela al plano π
3
Ejemplo 3Dado el punto P (0, 1, 1) y las rectas r : x − 1
2 = y + 1
1 = z
−1 s : x = 0 y = 0
Determinar la recta que pasa por el punto P , tiene direcci´ on perpendicular a la recta r y corta a la recta s.
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Intersecci´ on de dos planos. Ecuaciones impl´ıcitas o cartesianas de la recta
Ejemplo: Ecuaciones de la recta que pasa por el punto (3,2,1) y es paralela al plano π : 2x + y − 3z + 5 = 0 y corta a la recta x − 2
5 = y + 2
1 = z − 1
−1
Vamos a obtener la recta que buscamos como intersecci´ on de dos planos π 0 y π 00 π 0 plano paralelo a π y que contiene a P (3, 2, 1)
π 00 plano que contiene a las recta r y al punto P (3, 2, 1)
π 0 ≡ 2x + y − 3z + D = 0 2 · 3 + 2 − 3 · 1 + D = 0 D = −5
π 0 ≡ 2x + y − 3z − 5 = 0
− →
v π
00= (3, 2, 1) − (2, −2, 1) = (1, 4, 0) π 00 =
x − 3 y − 2 z − 1
5 1 −1
1 4 0
= 0 π 00 ≡ 4x − y + 19z − 29 = 0
s ≡
2x + y − 3z − 5 = 0
Ecuaciones del plano. Ecuaci´ on normal del plano.
Dados el punto A(1,-2,-3) , la recta r : x + y + 1 = 0
z = 0 y el plano π : x − 2y − 3z + 1 = 0 se pide:
Ecuaci´ on del plano que pasa por A, es paralelo a r y perpendicular a π.
Escribimos la recta r en param´ etricas
r ≡
x = −1 − λ y = λ z = 0
El plano soluci´ on π 0 es paralelo al vector director de r, ~ u r = (−1, 1, 0) y contiene al punto A(1, −2, −3) y paralelo al vector normal del plano π ~ n π = (1, −2, −3)
x − 1 x + 2 z + 3
−1 1 0
1 −2 −3
= 0 =⇒ π 0 ≡ −3x − 3y + z = 0
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Ecuaciones del plano. Ecuaci´ on normal del plano.
Dados el punto A(1,-2,-3) , la recta r : x + y + 1 = 0
z = 0 y el plano π : x − 2y − 3z + 1 = 0 se pide:
Ecuaci´ on de la recta que pasa por A, corta a r y es paralela a π.
r 0 Se obtiene como intersecci´ on de dos planos
Un plano π 1 que contiene a A y paralelo al plano π.
Un plano π 2 que contiene a A y a la recta r
π 1 ≡ x − 2y − 3z + D = 0
Que A ∈ π 1 implica que las coordenadas de A cumplen la ecuaci´ on de π 1 por tanto
1 − 2(−2) − 3(−3) + D = 0 =⇒ 1 + 4 + 9 + D = 0 =⇒ D = −14 =⇒ π 1 ≡ x − 2y − 3z − 14 = 0 Para el plano π 2 necesito dos vectores paralelos los y un punto: ~ u r , −−→
P r A y el punto A
−−→ P r A = (1, −2, −3) − (−1, 0, 0) = (2, −2, −3)
x − 1 y + 2 z + 3
2 −2 −3
−1 1 0
= 3x + 3y + 3 = 0 =⇒ π 2 ≡ x + y + 1 = 0
Posici´ on relativa de una recta y un plano
Posici´ on relativa de una recta y un plano
Las posiciones de una recta r y un plano π son:
Recta y planos secantes: tienen un punto en com´ un.
Recta y plano paralelos: no tienen ning´ un punto en com´ un.
Recta contenida en el plano: todos los puntos de la recta est´ an contenidos en el plano.
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Posici´ on relativa de una recta y un plano
Ejemplo Hallar la posici´ on relativa de la recta
x = λ y = 1 − 2λ
z = 3 + λ y el plano
π ≡ 3x − y + 2z − 1 = 0
Sustituimos un punto gen´ erico P (λ, 1 − 2λ, 3 + λ) ∈ r en la ecuaci´ on del plano π 3λ − (1 − 2λ) + 2(3 + λ) − 1 = 0
3λ − 1 + 2λ + 6 + 2λ − 1 = 0 7λ + 4 = 0
λ = − 4 7 Al obtener un valor de λ = − 4
7 hemos obtenido el punto de intersecci´ on del plano π con la recta: r
Posici´ on relativa de una recta y un plano
Ejemplo. Hallar la posici´ on relativa de la recta
x = 2 − λ y = 1 + λ z = 3 + 4λ y el plano
π ≡ x − 11y + 3z + 5 = 0
Sea P (2 − λ, 1 + λ, 3 + 4λ) ∈ r. Lo sustituimos en la ecuaci´ on del plano π.
2 − λ − 11(1 + λ) + 3(3 + 4λ) + 5 = 0 ⇒ 2 − λ − 11 − 11λ + 9 + 12λ + 5 = 0 5 = 0
La ecuaci´ on no tiene soluci´ on por tanto la recta r y el plano π son paralelos.
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Posici´ on relativa de una recta y un plano
Ejemplo. Hallar la posici´ on relativa de la recta
x = −1 + 3λ y = 3 + λ z = 2 − 2λ y el plano
π ≡ 5x − 13y + z + 42 = 0
Sea P (1 + 3λ, 3 + λ, 2 − 2λ) ∈ r. Lo sustituimos en la ecuaci´ on del plano π.
5(−1 + 3λ) − 13(3 + λ) + 2 − 2λ + 42 = 0 ⇒ −5 + 15λ − 39 − 13λ + 2 − 2λ + 42 = 0 0 = 0
Esta ecuaci´ on tiene infinitas soluciones para λ por tanto la recta r pertenece al plano π.
Posici´ on relativa de dos rectas
Dados el plano π ≡ 2x + ay + 4z + 25 = 0 y la recta:
r ≡ x + 1 = y − 1
2 = z + 3 5
Calcular los valores de a para los que la recta r est´ a contenida en el plano π.
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Posici´ on relativa de dos rectas
Posici´ on relativa de dos rectas
Las posici´ on relativa de dos rectas r y s.
Rectas secantes: las rectas se cortan en un punto
Recta se cruzan en el espacio: las rectas no son paralelas y no se cortan.
Rectas paralelas.
Rectas coincidentes.
Posici´ on relativa de dos rectas
Posici´ on relativa de dos rectas
Sea r ≡ P r + λ− → u r y la recta s ≡ P s + λ− → u s .
rg(− → u r , − → u s ) rg(− → u r , − → u s , −−→
P r P s ) Posici´ on de r y s rectas
Caso 1 2 3 Rectas cruzadas
Caso 2 2 2 Rectas secantes
Caso 3 1 2 Rectas paralelas
Caso 4 1 1 Rectas coincidentes
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Posici´ on relativa de dos rectas
Ejemplo: Estudiar la posici´ on relativa de las rectas:
r ≡
x = λ y = 2 − λ z = 1 + 3λ
s ≡
x = 1 − λ y = 2 + 3λ
z = −2λ Obtenemos los puntos y vectores directores de las rectas.
P r (0, 2, 1) − → u r = (1, −1, 3) P s (1, 2, 0) − → u s = (−1, 3, −2)
−−→ P r P s = (1, 2, 0) − (0, 2, 1) = (1, 0, −1) 1 −1 3
−1 3 −2
!
1 −1
−1 3
= 3 − 1 = 2 6= 0 ⇒ rg(− → u r , − → u s ) = 2
1 −1 3
−1 3 −2
1 −1 3
−1 3 −2
= −9 6= 0 ⇒ rg(− → u r , − → u s , −−→
P r P s ) = 3
Posici´ on relativa de dos rectas
Ejemplo: Estudiar la posici´ on relativa de las rectas:
r : x − 1 = y − 2 = z − 1
2 s : x − 3
−2 = y − 3
−1 = z + 1 2 Obtenemos los puntos y vectores directores de las rectas.
P r (1, 2, 1) − → u r = (1, 1, 2) P s (3, 3, −1) − → u s = (−2, −1, 2)
−−→ P r P s = (3, 3, −1) − (1, 2, 1) = (2, 1, −2)
1 1 2
−2 −1 2
!
1 1
−2 −1
6= 0 ⇒ rg(− → u r , − → u s ) = 2
1 1 2
−2 −1 2
2 1 −2
1 1 2
−2 −1 2
2 1 −2
= 0 ⇒ rg(− → u r , − → u s , −−→
P r P s ) = 2
Las rectas se cortan.
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Posici´ on relativa de dos rectas
Ejemplo: Estudiar la posici´ on relativa de las rectas:
r : x − 1 = y − 2 = z − 1
2 s : x − 3
−2 = y − 3
−1 = z + 1 2
Las rectas r y s se cortan vamos a hallar el punto de corte. Para ello escribimos las rectas en param´ etricas:
r ≡
x = 1 + λ y = 2 + λ z = 1 + 2λ
s ≡
x = 3 − 2τ y = 3 − τ z = −1 + 2τ Igualamos las ecuaciones:
1 + λ = 3 − 2τ 2 + λ = 3 − τ 1 + 2λ = −1 + 2τ
Despejamos, para ello restamos la segunda ecuaci´ on de la primera::
1 = τ
Sustituimos en la primera ecuaci´ on
Posici´ on relativa de dos rectas. Ecuaciones impl´ıcitas
Posici´ on relativa de dos rectas. Ecuaciones impl´ıcitas
Consideremos las rectas r y s dadas por las ecuaciones impl´ıcitas.
r :
Ax + By + Cz = D
A 0 x + B 0 x + C 0 z = D 0 s :
A 00 x + B 00 y + C 00 z = D 00 A 000 x + B 000 x + C 000 z = D 0000 Escribimos las cuatro ecuaciones en un sistema:
Ax + By + Cz = D A 0 x + B 0 x + C 0 z = D 0 A 00 x + B 00 y + C 00 z = D 00 A 000 x + B 000 x + C 000 z = D 0000 Obtenemos las matrices de los coeficientes A y la matriz ampliada A
A =
A B C
A 0 B 0 C 0 A 00 B 00 C 00 A 000 B 000 C 000
A 0 =
A B C D
A 0 B 0 C 0 D 0 A 00 B 00 C 00 D 00 A 000 B 000 C 000 D 000
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Posici´ on relativa de dos rectas. Ecuaciones impl´ıcitas
Posici´ on relativa de dos rectas. Ecuaciones impl´ıcitas
rango de A rango de A’ Posici´ on de las rectas
Caso 1 3 4 Rectas cruzadas.
Caso 2 3 3 Rectas secantes.
Caso 3 2 3 Rectas paralelas.
Caso 4 2 2 Rectas coincidentes.
Posici´ on relativa de dos rectas. Ecuaciones impl´ıcitas
Hallar la posici´ on relativa de las rectas:
r :
x + y + z = 3
2x − y + 3z = 12 s :
3x + y − z = −1
−x + 4y − 5z = −20
x + y + z = 3 2x − y + 3z = 12
3x + y − z = −1
−x + 4y − 5z = −20
A =
1 1 1
2 −1 3
3 1 −1
−1 4 −5
A 0 =
1 1 1 3
2 −1 3 12
3 1 −1 −1
−1 4 −5 −20
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Posici´ on relativa de dos rectas. Ecuaciones impl´ıcitas
Calculamos el rango de
A =
1 1 1
2 −1 3
3 1 −1
−1 4 −5
1 1 2 −1
= −1 − 2 = −3 6= 0
1 1 1
2 −1 3 3 1 −1
= 14 6= 0 ⇒ rg(A) = 3
Estudiamos el rango de A 0 para ello calculamos
1 1 1 3
2 −1 3 12
3 1 −1 −1
−1 4 −5 −20
=
3 0 4 15 2 −1 3 12 5 0 2 11 7 0 7 28
= −1
3 4 15 5 2 11 7 7 28
= −7
3 4 15 5 2 11 1 1 4
= 0
Posici´ on relativa de dos rectas. Recta que se apoya en dos rectas que se cruzan.
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Posici´ on relativa de dos rectas. Recta que se apoya en dos rectas que se cruzan.
Dadas dos rectas que se cruzan podemos hallar la recta que se apoya en ellas y que pasa por un determinado punto P .
Ejemplo: hallar la ecuaci´ on de la recta que pasa por el punto P (2, −1, 0) y por las rectas r : x + 1
2 = y
5 = z − 2
−1 s : x + 1 = y − 1
3 = z − 3
−1 Escribimos las ecuaciones en param´ etricas:
r ≡
x = −1 + 2λ y = 5λ z = 2 − λ
x = −1 + λ y = 1 + 3λ
z = 3 − λ obtenemos los vectores directores y los puntos de las rectas r y s:
P r (−1, 0, 2) − → u r (2, 5, −1) P s (−1, 1, 3) − → u s (1, 3, −1) Comprobamos que las rectas se cruzan
−−→
Posici´ on relativa de dos rectas. Recta que se apoya en dos rectas que se cruzan.
2 5 −1 1 3 −1
!
2 5 1 3
= 1 6= 0 ⇒ rg(− → u r , − → u s ) = 2 Las rectas se cortan o se cruzan:
2 5 −1 1 3 −1 0 1 1
2 5 −1 1 3 −1 0 1 1
= 2 6= 0 ⇒ rg(− → u r , − → u s , −−→
P r P s ) = 3
Las rectas se cruzan.
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Posici´ on relativa de dos rectas. Recta que se apoya en dos rectas que se cruzan.
Para obtener la recta t que se apoya en r y s y pasa por el punto P (2, −1, 0) calcularemos los planos:
π es el plano que contiene al punto P y a la recta r.
π 0 el plano que contiene a la recta s y al punto P . La recta t = π ∩ π 0
Vamos a calcular la ecuaci´ on del plano π para ello calculamos el vector
−−→ P P r = (−1, 0, 2) − (2, −1, 0) = (−3, 1, 2)
El plano π queda determinado por el punto P (2, −1, 0) y los vectores − → u r (2, 5, −1), −−→
P P r (−3, 1, 2)
x − 2 y + 1 z
2 5 −1
−3 1 2
= 0
π ≡ 11x − y + 17z − 23 = 0
Vamos a calcular la ecuaci´ on del plano π 0 para ello calculamos el vector
−−→
Posici´ on relativa de dos rectas. Recta que se apoya en dos rectas que se cruzan.
Vamos a calcular la ecuaci´ on del plano π 0 para ello calculamos el vector
−−→ P P s = (−1, 1, 3) − (2, −1, 0) = (−3, 2, 3)
El plano π 0 queda determinado por el punto P (2, −1, 0) y los vectores − → u s (1, 3, −1), −−→
P P s (−3, 2, 3)
x − 2 y + 1 z
1 3 −1
−3 2 3
= 0
11x + 11z − 22 = 0 ⇒ x + z − 2 = 0
t = π ∩ π 0 ⇒ t ≡ 11x − y + 17z − 23 = 0 x + z − 2 = 0
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Recta perpendicular a dos rectas que se cruzan.
Recta perpendicular a dos rectas que se cruzan.
La recta perpendicular a dos rectas que se cortan se puede hacer de muchas formas, veamos c´ omo con un ejemplo.
Hallar la recta perpendicular a las rectas
r ≡
x = 5 + λ y = −1 z = 8 + 2λ
s ≡
x = 2 + 3λ y = 2 − λ z = −1 + 4λ Obtenemos los puntos y los vectores directores de las rectas:
P r (5, −1, 8) − → u r (1, 0, 2) P s (2, 2, −1) − → u s (3, −1, 4) Comprobamos que las rectas se cruzan
−−→ P r P s = (2, 2, −1) − (5, −1, 8) = (−3, 3, −9) Hallamos el rg(− → u r , − → u s ) y rg(− → u r , − → u s , −−→
P r P s )
1 0 2
3 −1 4
!
1 0 3 −1
= −1 6= 0 ⇒ rg(− → u r , − → u s ) = 2
1 0 2
3 −1 4
−3 3 −9
1 0 2
3 −1 4
−3 3 −9
= 9 6= 0 ⇒ rg(− → u r , − → u s , −−→
P r P s ) = 3
Las rectas se cruzan
Andr´es D´ıaz (IES ALPAJ ´ES) Matem´aticas II January 12, 2017 52 / 70
Recta perpendicular a dos rectas que se cruzan.
Una forma de afrontar el problema es calcular la recta t como intersecci´ on de dos planos:
Plano π paralelo a un vector − n → rs perpendicular a los vectores − → u r y − → u s y que contenga a la recta r Plano π 0 paralelo a un vector − n → rs perpendicular a los vectores − → u r y − → u s y que contenga a la recta s Calculamos el vector − n → rs
−
→ i − → j − →
k
1 0 2
3 −1 4
= 2 − →
i + 2 − → j − − →
k
− →
n rs = (2, 2, −1)
Calculamos el plano π determinado por el punto P r (5, −1, 8) y los vectores
− →
n rs = (2, 2, −1), − → u r (1, 0, 2)
x − 5 y + 1 z − 8
1 0 2
2 2 −1
= 0
Recta perpendicular a dos rectas que se cruzan.
Calculamos el plano π 0 que viene determinado por el punto P s (2, 2, −1) y los vectores
− →
n rs = (2, 2, −1), − → u s (3, −1, 4)
x − 2 y − 2 z + 1
3 −1 4
2 2 −1
= 0
π 0 ≡ −7x + 11y + 8z = 0 La recta t que buscamos se obtiene
t = π ∩ π 0 ⇒ t ≡ −4x + 5y + 2z + 9 = 0
−7x + 11y + 8z = 0
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Recta perpendicular a dos rectas que se cruzan.
Pasamos la recta a param´ etricas:
−4x + 5y = 9 − 2z
−7x + 11y = −8z Aplicamos la regla de Cramer:
x =
−9 − 2 z 5
−8 z 11
−4 5
−7 11
y =
−4 −9 − 2 z
−7 −8 z
−4 5
−7 11
z = λ
x = −99 + 18z
−9 y = −63 + 18z
−9 z = λ
x = 11 − 2λ y = 7 − 2λ
z = λ
Recta perpendicular a dos rectas que se cruzan.
Hallar la recta perpendicular a las rectas
r ≡
x = 5 + λ y = −1 z = 8 + 2λ
s ≡
x = 2 + 3λ y = 2 − λ z = −1 + 4λ Un punto gen´ erico de la recta r R(5 + λ, −1, 8 + 2λ)
Un punto gen´ erico de la recta s S(2 + 3τ, 2 − τ, −1 + 4τ ) Calculamos un vector gen´ erico −→
RS = (2 + 3τ, 2 − τ, −1 + 4τ ) − (5 + λ, −1, 8 + 2λ)
−→ RS = (−3 + 3τ − λ, 3 − τ, −9 + 4τ − 2λ) El vector −→
RS es perpendicular al mismo tiempo a las dos rectas r y s y por tanto a sus vectores directores − → u r y − → u s :
( −→
RS · − → u r = 0
−→ RS · − → u s = 0 ⇒
(−3 + 3τ − λ, 3 − τ, −9 + 4τ − 2λ) · (1, 0, 2) (−3 + 3τ − λ, 3 − τ, −9 + 4τ − 2λ) · (3, −1, 4)
−3 + 3τ − λ + 2(−9 + 4τ − 4λ) = 0
3(−3 + 3τ − λ) − (3 − τ ) + 4(−9 + 4τ − 2λ) = 0
Andr´es D´ıaz (IES ALPAJ ´ES) Matem´aticas II January 12, 2017 56 / 70
Recta perpendicular a dos rectas que se cruzan.
21 + 5λ − 11τ = 0 48 + 11λ − 26τ = 0 ⇒
5λ − 11τ = −21 11λ − 26τ = −48
Resolvemos este sistema de ecuaciones en λ y τ : multiplicamos por -11 la primera ecuaci´ on y la sumamos a 5 veces la segunda ecuaci´ on
−55λ + 121τ = 231 55λ − 130τ = −240
9τ = 9 ⇒ τ = 1 5λ − 11 = −21 ⇒ λ = −10
5 = −2
Por tanto R(3, −1, 4) y S(5, 1, 3). La recta t queda determinada por los puntos R ,S. Para ello calculamos
−→ RS = (5, 1, 3) − (3, −1, 4) = (2, 2, −1)
x = 5 + 2λ
y = 1 + 2λ λ ∈ R
Posici´ on relativa de dos rectas
Hallar las ecuaciones de la recta que se apoya en
r ≡ x = y = z s ≡ x = 2 y = 1 y paralela a la recta
t ≡ x + y = 0 x − z = 0 Escribimos las recta s y t en param´ etricas
t ≡
x = λ y = −λ z = λ
s ≡
x = 2 y = 1 z = λ Hallamos la recta soluci´ on r 0 como intersecci´ on de dos planos
Plano π paralelo a un vector director de la recta t, ~ u t y que contenga a la recta r Plano π 0 paralelo a un vector director de la recta t, ~ u t y que contenga a la recta s Hallamos π
P r = (0, 0, 0) u ~ r = (1, 1, 1) u ~ t = (1, −1, 1)
x y z
1 1 1
1 −1 1
= 2x − 2z = 0 π ≡ x − z = 0
Andr´es D´ıaz (IES ALPAJ ´ES) Matem´aticas II January 12, 2017 58 / 70
Posici´ on relativa de dos rectas
Hallamos el plano π 0
P s = (2, 1, 0) u ~ s = (0, 0, 1) π 0 ≡
x − 2 y − 1 z
0 0 1
1 −1 1
= 0 =⇒ π 0 ≡ x + y − 3 = 0 La recta r 0 soluci´ on del ejercicio
r 0 ≡
x − z = 0
x + y − 3 = 0
Posici´ on relativa de dos planos.
Posici´ on relativa de dos planos.
Dados dos planos π y π 0 de ecuaciones
π : Ax + By + Cz + D = 0 π 0 : A 0 x + B 0 y + C 0 z + D = 0 Para estudiar la posici´ on relativa estudiamos el sistema
Ax + By + Cz + D = 0 A 0 x + B 0 y + C 0 z + D = 0 A =
A B C
A 0 B 0 C 0
A 0 =
A B C −D
A 0 B 0 C 0 −D 0
rango de A rango de A’ Posici´ on relativa de los planos
Caso 1 2 2 Planos secantes
Caso 2 1 2 Planos paralelos
Caso 3 1 1 Plano coincidentes
Andr´es D´ıaz (IES ALPAJ ´ES) Matem´aticas II January 12, 2017 60 / 70
Posici´ on relativa de dos planos.
Estudiar la posici´ on relativa de los planos
π : x + y − 5z = −4 π 0 : 3x − y + 2z = 1 Para ello estudiamos el sistema
x + y − 5z = −4 3x − y + 2z = 1
A 1 1 −5
3 −1 2
!
A 0 = 1 1 −5 −4
3 −1 2 1
!
Para calcular el rango de A y A 0
1 1 3 −1
= −4 ⇒ rg(A) = 2 y rg(A 0 ) = 2
Por tanto los planos son secantes y se cortan en una recta. Vamos a hallar las ecuaciones
param´ etricas de dicha recta para ella tomamos como par´ ametro z.
Posici´ on relativa de dos planos.
x + y = −4 + 5z 3x − y = 1 − 2z Aplicamos la regla de Cramer:
x =
−4 + 5 z 1 1 − 2 z −1
1 1 3 −1
y =
1 −4 + 5 z 3 1 − 2 z
1 1 3 −1
z = λ
S 3 − 3λ
−4 , 13 − 17λ
−4 , λ
λ ∈ R Hemos obtenido un punto de la recta P
− 3 4 , − 13
4 , 0
y − → u 3 4 , 17
4 , 1
como vector director podemos utilizar cualquier vector proporcional a − → u por tanto utilizaremos como vector director (3, 17, 4)
x = − 3 4 + 3λ y = − 13
4 + 17λ z = 4λ
λ ∈ R
Andr´es D´ıaz (IES ALPAJ ´ES) Matem´aticas II January 12, 2017 62 / 70
Haz de planos paralelos.
Haz de planos paralelos
Dado un plano π ≡ Ax + By + Cz + D = 0 los planos paralelos a π son de la forma Ax + By + Cz + K = 0 K ∈ R
Halla la ecuaci´ on del plano que pasa por el punto P (1, −1, −3) y es paralelo al plano π ≡ 3x − 2y + z − 3 = 0 El plano π 0 que buscamos tendr´ a de ecuaci´ on
π 0 ≡ 3x − 2y + z + K = 0 Sustituimos el punto P (1, −1, −3) en la ecuaci´ on de π 0
3 + 2 − 3 + K = 0 ⇒ K = −2
π 0 ≡ 3x − 2y + z − 2 = 0
Posici´ on relativa de tres planos.
Ejemplo Dados los planos π 1 ≡ ax + y − z + 1 = 0 y π 2 ≡ x + ay + z − 2 = 0, determine, en caso de que existan el valor o posibles valores del par´ ametro a para cada uno de los siguientes supuestos.
1
Que π 1 y π 2 sean paralelos.
2
Que π 1 y π 2 sean perpendiculares.
3
Que la intersecci´ on de π 1 y π 2 sea perpendicular al plano x = y.
Andr´es D´ıaz (IES ALPAJ ´ES) Matem´aticas II January 12, 2017 64 / 70
Posici´ on relativa de tres planos.
Posici´ on relativa de tres planos
Dados tres planos
π 1 ≡ Ax + By + Cz = D π 2 ≡ A 0 x + B 0 y + C 0 z = D 0 π 3 ≡ A 00 x + B 00 y + C 00 z = D
Ax + By + Cz = D A 0 x + B 0 x + C 0 z = D 0 A 00 x + B 00 y + C 00 z = D 00 A =
A B C
A 0 B 0 C 0 A 00 B 00 C 00
A 0 =
A B C D
A 0 B 0 C 0 D 0 A 00 B 00 C 00 D 00
rango de A rango de A’ Posici´ on de los planos
Caso 1 3 3 Los planos se cortan en un punto.(Figura 1) Caso 2 2 3 Planos secantes dos a dos (figura 2). Dos
planos paralelos cortados por el otro (figura 3).
Caso 3 2 2 Planos secantes y distintos (figura 4). Dos
Posici´ on relativa de tres planos.
Andr´es D´ıaz (IES ALPAJ ´ES) Matem´aticas II January 12, 2017 66 / 70
Posici´ on relativa de tres planos.
Estudiar la posici´ on de los planos:
π 1 ≡ x + 3y + 2z = 1 π 2 ≡ 2x − y + z = −2 π 3 ≡ 4x − 5y − 3z = −3 Obtenemos las matrices A y A 0
A =
1 3 2
2 −1 1 4 −5 −3
A 0 =
1 3 2 1
2 −1 1 −2 4 −5 −3 −3
Calculamos el rango de de A y A 0
1 3 2 −1
= −7 6= 0 ⇒ rg(A) ≥ 2 Los planos π 1 , π 2 se cortan en una recta
1 3 2
Posici´ on relativa de tres planos.
Ejemplo de posici´ on relativa de tres planos dependiendo de un par´ ametro
Discutir la posici´ on relativa de los tres planos siguientes seg´ un los distintos valores de a.
π 1 ≡ 3x − ay + 2z − (a − 1) = 0 π 2 ≡ 2x − 5y + 3z − 1 = 0 π 3 ≡ x + 3y − (a − 1)z = 0 Escribimos las ecuaciones de los planos en forma de sistema:
3x − ay + 2z = a − 1 2x − 5y + 3z = 1 x + 3y − (a − 1)z = 0
A =
3 −a 2 2 −5 3 1 3 1 − a
3 −a 2 2 −5 3 1 3 1 − a
= −2 a 2 + 14 a − 20
−2 a 2 + 14 a − 20 = 0 ⇒ a 2 − 7 a + 10 = 0 a = 7 ± √
49 − 40
2 = 7 ± 3
2 a = 5, a = 2
Andr´es D´ıaz (IES ALPAJ ´ES) Matem´aticas II January 12, 2017 68 / 70
Posici´ on relativa de tres planos.
Para a = 5
A =
3 −5 2 2 −5 3 1 3 −4
A 0 =
3 −5 2 4 2 −5 3 1 1 3 −4 0
3 −5 2 −5
= −5 6= 0 ⇒ rg(A) = 2
3 −5 4 2 −5 1
1 3 0
= 30 6= 0 ⇒ rg(A) 6= rg(A 0 ) El sistema es incompatible. Estudiamos la posici´ on relativa de los planos dos a dos.
π 1 , π 2
rg 3 −5 2 4 2 −5 3 1
= 2 ⇔
3 −5 2 −5
= −5 6= 0 Los planos se cortan en una recta.
π 1 , π 3
rg 3 −5 2 4 1 3 −4 0
= 2 ⇔
3 −5 1 3
= 14 6= 0 Los planos se cortan en una recta. π 2 , π 3
2 −5 3 1
2 −5
Posici´ on relativa de tres planos.
Para a = 2
A =
3 −2 2 2 −5 3 1 3 −1
A 0 =
3 −2 2 1 2 −5 3 1 1 3 −1 0
3 −2 1 2 −5 1
1 3 0
= 0
3 −2 2 −5
= −11 ⇒ rg(A) = rg(A 0 ) = 2
El sistema es compatible indeterminado los tres planos se cortan en una recta. Ninguna de las ecuaciones es proporcional a las otras por tanto ninguno de los planos son coincidentes.
Para a 6= 5 a 6= 2 el sistema es compatible determinado los planos se cortan en un punto.
Andr´es D´ıaz (IES ALPAJ ´ES) Matem´aticas II January 12, 2017 70 / 70
