Problema de interpolaci´ on polinomial.

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Problema de interpolaci´ on polinomial.

Reducci´ on a un sistema de ecuaciones lineales

1. Idea de la interpolaci´on polinomial. Consideremos la siguiente situaci´on: se tienen los valores de una funci´on f en algunos puntos x1, x2, . . . , xn, pero no se sabe ninguna f´ormula para la funci´on f, o la f´ormula es demasiado complicada. El objetivo es calcular los valores de f en otros puntos.

Para esto se construye un polinomio p cuyos valores en los puntos xk (1 ≤ k ≤ n) coinciden con los valores de f, es decir p(xk) = f(xk). Bajo ciertas condiciones (a saber, cuando la funci´on es muy suave) el polinomio p aproximar´a a la funci´on original f tambi´en en otros puntos.

2. Aplicaciones de la interpolaci´on polinomial.

Calcular r´apidamente los valores de funciones complicadas, usando las tablas de sus valores y la interpolaci´on.

Aproximar curvas complicadas, por ejemplo, las formas de letras en tipograf´ıa.

En m´etodos num´ericos: para la integraci´on num´erica y la soluci´on num´erica de ecuaciones diferenciales.

Aproximar procesos complicados, hacer predicciones.

3. Observaciones sobre el grado del polinomio interpolante.

Si est´an dados dos puntos (x1, y1), (x2, y2), con x1 < x2, entonces existe una recta oblicua (si y1 6= y2) o horizontal (si y1 = y2) que pasa por estos dos puntos.

Algebraicamente esto significa que siempre existe un polinomio p de grado ≤ 1 tal que p(x1) = y1, p(x2) = y2.

Si est´an dados tres puntos (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), con x1 < x2 < x3, entonces existe una par´abola (sim´etrica respecto a un eje vertical) o una recta que pasa por estos puntos. Algebraicamente esto significa que podemos encontrar un polinomio interpolante de grado ≤ 2.

Para n puntos ser´a natural buscar un polinomio de grado ≤ n − 1.

Interpolaci´on polinomial, reducci´on a un sistema lineal, p´agina 1 de 3

(2)

Empecemos con ejemplos simples para comprender el problema.

4. Ejemplo: polinomio interpolante que pasa por dos puntos dados. Construir un polinomio

p(x) = c0+ c1x (1)

tal que

p(−3) = 2, p(1) = −2. (2)

Usando la f´ormula (1) escribimos las dos condiciones (2) como el siguiente sistema de dos

ecuaciones:

c0 − 3c1 = 2;

c0 + c1 = −2.

Las inc´ognitas de este sistema de ecuaciones lineales son los coeficientes c0 y c1 del poli- nomio. Escribimos el sistema en la forma matricial y lo resolvemos con la eliminaci´on de Gauss–Jordan:

 1 −3 2

1 1 −2



∼ 1 −3 2

0 4 −4



∼ 1 −3 2

0 1 −1



∼ 1 0 −1 0 1 −1

 . Respuesta:

p(x) = −1 − x.

Comprobamos que el polinomio p satisface las condiciones (2):

p(−3) = −1 − (−3) = 2; X p(1) = −1 − 1 = −2. X

Geom´etricamente hemos encontrado una recta que pasa por los dos puntos dados:

0 1

1 (−3, 2)

(1, −2)

Interpolaci´on polinomial, reducci´on a un sistema lineal, p´agina 2 de 3

(3)

5. Ejemplo: polinomio interpolante que pasa por tres puntos dados. Construir un polinomio p(x) = c0+ c1x + c2x2 tal que

p(−2) = 9, p(3) = 4, p(4) = 15.

Sustituyendo p(x) por c0+c1x+c2x2obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:



c0 − 2c1 + 4c2 = 9;

c0 + 3c1 + 9c2 = 4;

c0 + 4c1 + 16c2 = 15.

Las inc´ognitas de este sistema son los coeficientes del polinomio. Escribamos el sistema en la forma matricial y resolvamos usando el m´etodo de eliminaci´on de Gauss–Jordan:

1 −2 4 9

1 3 9 4

1 4 16 15

∼

1 −2 4 9

0 5 5 −5

0 6 12 6

∼

1 −2 4 9

0 1 1 −1

0 1 2 1

∼

1 0 6 7

0 1 1 −1

0 0 1 2

∼

1 0 0 −5 0 1 0 −3

0 0 1 2

 . Respuesta:

p(x) = −5 − 3x + 2x2. Comprobaci´on:

2 −3 −5

−2 2 −7 9 X

2 −3 −5

3 2 3 4 X

2 −3 −5

4 2 5 15 X

Geom´etricamente hemos encontrado una par´abola sim´etrica respecto a un eje vertical que pasa por los tres puntos dados:

Para dibujar la par´abola escribimos el trino- mio p en la siguiente forma (“completamos al cuadrado”):

p(x) = 2

 x − 3

4

2

−49 8 .

En esta representaci´on se ven bien las coor- denadas del v´ertice:

3

4, −49 8 .

Interpolaci´on polinomial, reducci´on a un sistema lineal, p´agina 3 de 3

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