4. Ampliación de EDP. Resolución numérica

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4. Ampliaci ón de EDP. Resoluci ón num érica

Ampliaci ón de Matem áticas y M étodos Num éricos

Ma_{Luz Mu ˜noz Ruiz}

Jos é Manuel Gonz ález Vida Francisco Jos é Palomo Ruiz Francisco Joaqu´ın Rodr´ıguez S ánchez

Departamento de Matem ´atica Aplicada Universidad de M ´alaga

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´Indice

1 _{Introducci ´on}

Ecuaciones en derivadas parciales Problemas de valor inicial y de frontera

Ecuaciones en derivadas parciales lineales con coeficientes constantes

2 _{Resoluci ´on num ´erica}

Introducci ´on

M ´etodo de diferencias finitas

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Ecuaciones en derivadas parciales

´Indice

Problemas de valor inicial y de frontera

2 _{Resoluci ón num érica} Introducci ón

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Definiciones

Definici ´on

Unaecuaci ón en derivadas parciales (EDP) es una ecuaci ón en que la inc ógnita es

un campo escalar u definido en U ⊂ Rn_{y en la que aparecen sus derivadas parciales,}

siendo el mayor ´ındice de derivaci ón parcial que aparece en la ecuaci ón el que se llamar á orden de la misma.

Observaci ´on

Nosotros estudiaremos estudiaremos el caso de dos variables independientes, esto es, el caso en que u = u(x, y), con (x, y) ∈ U ⊆ R2_{). Estas EDP se pueden expresar en}

la siguiente forma: F x, y, u,∂u ∂x, ∂u ∂y, ∂2_u ∂x2, ∂2_u ∂y2, ∂2_u ∂x∂y, . . . = 0, o, escribiendo las parciales de forma simplificada:

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Definiciones

Observaci ´on

A veces, en las aplicaciones f´ısicas, la variable independiente y se identifica con el tiempo y se suele representar por t.

Por ejemplo, la ecuaci ´on

ut+ cux= 0

es una EDP de primer orden conocida comoecuaci ón del transporte o ecuaci ón de advecci ón.

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´Indice

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Definiciones

Observaci ´on

Para restringir las soluciones de una EDP se utilizancondiciones iniciales y/o condiciones de contorno o de frontera. Cuando se imponen condiciones de ambos

tipos se habla de un problema mixto. Ejemplos de estos tipos de condiciones son las condiciones de Cauchy, de Dirichlet o de Neumann.

Definiciones

Condiciones de Cauchy: Se dan generalmente en EDP en las que interviene el

tiempo. Se buscan soluciones u conociendo el valor de u, ut, . . . (tantas

derivadas con respecto al tiempo como sean necesarias para determinar la soluci ´on) en t = 0.

Condiciones de Dirichlet: Se buscan soluciones u en una determinada regi ´on

D⊆ Rn_{conociendo el valor de u en los puntos x pertenecientes a la frontera ∂D}

de la regi ´on.

Condiciones de Neumann: Se buscan soluciones u en una determinada regi ´on

D⊆ Rn_{conociendo el valor de}∂u

∂nen los puntos x pertenecientes a la frontera,

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´Indice

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Definiciones

Repasemos ahora un tipo particular de EDP, centr ´andonos en las de segundo orden.

Definici ´on

Se dice que una EDP de segundo orden es unaEDP lineal con coeficientes constantes si se puede escribir de la forma

A1u+ A2ux+ A3uy+ A4uxx+ A5uxy+ A6uyy= f (x, y),

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Definiciones

Definici ´on

Una EDP lineal con coeficientes constantes

A1u+ A2ux+ A3uy+ A4uxx+ A5uxy+ A6uyy= f (x, y),

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Ejemplos

Ecuaci ´on de ondas: Es la que satisface una funci ´on u(x, t) que representa las

oscilaciones de una cuerda:

utt− c2uxx= 0.

Ecuaci ´on del calor: Describe la evoluci ´on de la temperatura de una barra

homog ´enea de secci ´on constante:

ut− c2uxx= 0.

Ecuaci ´on de Laplace: describe el potencial u del campo el ´ectrico en las

regiones de un plano que no contienen cargas: uxx+ uyy= 0.

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M ´etodo de separaci ´on de variables

El m étodo de separaci ón de variables se basa en buscar una soluci ón de la forma u(x, y) = f (x)g(y).

Nosotros lo aplicaremos a la b úsqueda de soluci ón de la ecuaci ón del calor y de la ecuaci ón de ondas, por tanto, buscaremos soluciones

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M ´etodo de separaci ´on de variables

Para ello, habremos de realizar los siguientes pasos: Obtener dos ecuaciones diferenciales ordinarias.

Hallar las soluciones de las dos ecuaciones diferenciales ordinarias obtenidas que cumplan las condiciones de frontera.

Formar una apropiada combinaci ´on lineal de las soluciones halladas que satisfaga las condiciones iniciales del problema.

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Soluci ´on de la ecuaci ´on del calor

La ecuaci ´on

ut− c2uxx= 0,

en la que la constante c est á relacionada con una propiedad del material conocida como difusividad t érmica, describe la evoluci ón de la temperatura en una barra homog énea de secci ón constante. Suponemos que la superficie de la barra est á aislada, de modo que el calor s ólo fluye longitudinalmente, y haremos coincidir la barra con el eje x. Buscamos una soluci ón que satisfaga las condiciones de contorno

u(0, t) = 0, u(l, t) = 0,

para todo t, es decir, los extremos de la barra est án a temperatura 0. Consideramos adem ás la condici ón inicial

u(x, 0) = ϕ(x),

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Soluci ´on de la ecuaci ´on del calor

El m étodo de separaci ón de variables nos permite determinar la soluci ón del problema anterior u(x, t) = ∞ X n=1 Ansen nπ l x e−c2(nπl) 2 t_,

con Anlos coeficientes del desarrollo en serie de Fourier en senos de la funci ´on ϕ(x)

en el intervalo (0, l), es decir, An= 2 l Zl 0 ϕ(x) sen nπ l x dx. Ejemplo 1

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Soluci ´on de la ecuaci ´on de ondas

La ecuaci ´on

utt− c2uxx= 0,

en la que la constante c se refiere a la velocidad de propagaci ´on de la onda, modela las vibraciones de una cuerda extendida entre dos puntos x = 0 y x = l. El movimiento se produce en el plano xy, de manera que cada punto de la cuerda se mueve perpendicularmente al eje x. La funci ´on u(x, t) denota el desplazamiento de la cuerda en el instante de tiempo t > 0 medido desde el eje x, con las condiciones de frontera

u(0, t) = 0, u(l, t) = 0,

para todo t, esto es, nuestra cuerda est ´a sujeta en los extremos. Adem ´as, consideramos las condiciones iniciales

u(x, 0) = ϕ(x), ut(x, 0) = ψ(x),

para todo x, siendo ϕ(x) funci ´on que nos da la forma inicial de la cuerda y ψ(x) las que nos da la velocidad inicial de la misma.

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Soluci ´on de la ecuaci ´on de ondas

El m étodo de separaci ón de variables nos permite determinar la soluci ón del problema anterior u(x, t) = ∞ X n=1 Ancos nπc l t + Bnsen nπc l t sen nπ l x , donde Any Bnvienen dados por

An = 2 l Z l 0 ϕ(x) sen nπ l x dx, Bn = 2 nπc Z l 0 ψ(x) sen nπ l x dx. Ejemplo 2

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Introducci ´on

´Indice

2 _{Resoluci ´on num ´erica}

Introducci ´on

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Introducci ´on

Preliminares

Las ecuaciones en derivadas parciales rigen multitud de fen ómenos f´ısicos, de los que la difusi ón del calor, la propagaci ón de ondas electromagn éticas o la vibraci ón de una membrana son s ólo algunos ejemplos.

Para estudiar estos fen ómenos es necesario conocer adem ás de las ecuaciones el dominio sobre el que se aplican y una cierta informaci ón adicional sobre la soluci ón en la frontera del dominio, que hemos llamado condiciones de contorno si nos referimos a la frontera ”espacial” y condiciones iniciales si nos referimos a la frontera ”temporal”. Cuando no se conoce la soluci ón exacta de estos problemas (lo que supone la situaci ón m ás frecuente) e incluso en algunas ocasiones en las que s´ı se conoce (pero su tratamiento no es operativo) se hace necesario recurrir a la obtenci ón de

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Introducci ´on

Preliminares

Para obtener aproximaciones num éricas restringiremos el estudio a un n úmero finito de puntos del dominio, lo que se conoce comodiscretizaci ón del dominio. Es para

esos puntos para los que conoceremos la soluci ón num érica aproximada. Entonces se realiza ladiscretizaci ón de las ecuaciones, proceso del que se obtendr á un sistema

de ecuaciones algebraicas cuya soluci ón es la aproximaci ón buscada. El tama ño de este sistema suele requerir del uso de programas inform áticos para su resoluci ón. Dependiente del tipo de discretizaci ón que se realice se obtendr á un tipo de m étodo u otro. Los m ás usados son elm étodo de diferencias finitas (MDF), el m étodo de elementos finitos (MEF) y el m étodo de vol úmenes finitos (MVF). Nosotros

estudiaremos ´unicamente el primero de ellos.

En todos estos m ´etodos es necesario realizar tambi ´en el estudio de la consistencia, estabilidad y convergencia, as´ı como del orden de convergencia.

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´Indice

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Preliminares

El m étodo de diferencias finitas se basa en sustituir las derivadas de una ecuaci ón diferencial por aproximaciones en diferencias finitas, que utilizan únicamente el valor de la funci ón en un conjunto de nodos.

Recordemos las f ´ormulas de derivaci ´on ya estudiadas:

F ´ormulas descentradas de dos puntos:

f0(x) =f(x + h) − f (x) h + O(h),

f0(x) =f(x) − f (x − h) h + O(h).

F ´ormula centrada de dos puntos:

f0(x) =f(x + h) − f (x − h)

2h + O(h

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Preliminares

De modo an álogo a como se obtienen las f órmulas anteriores se pueden obtener tambi én aproximaciones para la segunda derivada.

La f ´ormula centrada est ´andar es:

f00(x) =f(x + h) − 2f (x) + f (x − h)

h2 + O(h

2_).

A continuaci ón introduciremos el m étodo de diferencias finitas con un ejemplo: la aproximaci ón de la ecuaci ón del calor.

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Aproximaci ´on de la ecuaci ´on del calor

Vamos a considerar pues la ecuaci ´on de inc ´ognita u(x, t) siguiente: ut− c2uxx= 0, 0 ≤ x ≤ l, t ≥ 0,

con condici ´on inicial

u(x, 0) = ϕ(x) y condiciones de contorno

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Aproximaci ´on de la ecuaci ´on del calor

Discretizamos el dominio utilizando un tama ˜no de paso fijo h = ∆x para la variable espacial y un tama ˜no de paso fijo k = ∆t para la variable temporal.

De este modo, si dividimos [0, l] en N subintervalos de igual tama ˜no, h = l N, cada nodo xjdel eje x es de la forma

xj= jh, j= 0, . . . , N.

Del mismo modo, cada nodo tndel eje t es de la forma

tn= nk, n= 0, 1, 2, . . .

Vamos a buscar aproximaciones al valor de u en los puntos de la malla xj, tn,

aproximaciones a las que llamaremos uj,n, esto es,

uj,n≈ u(xj, tn), j= 0, . . . , N, n = 0, 1, 2, . . .

(Aunque lo hemos escrito as´ı, evidentemente, en alg ´un momento dejaremos de hacer iteraciones en tiempo).

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Aproximaci ´on de la ecuaci ´on del calor

Para obtener un primer esquema aproximamos la derivada respecto al tiempo usando la primera de las f ´ormulas descentradas que hemos visto:

ut(xj, tn) =

uj,n+1− uj,n

k + O(k).

Y aproximamos la segunda derivada espacial usando la f ´ormula centrada antes introducida:

uxx(xj, tn) =

uj+1,n− 2uj,n+ uj−1,n

h2 + O(h

2_).

Sustituyendo en la ecuaci ´on del calor obtenemos una ecuaci ´on en diferencias: uj,n+1− uj,n

k − c

2uj+1,n− 2uj,n+ uj−1,n

h2 = 0,

que despejando uj,n+1queda:

uj,n+1= uj,n+ c2

k

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Aproximaci ´on de la ecuaci ´on del calor

Usando la notaci ´on

s= c2k h2

el esquema en diferencias finitas anterior se puede escribir como uj,n+1= suj−1,n+ (1 − 2s)uj,n+ suj+1,n.

Las condiciones iniciales para la ecuaci ´on en diferencias anterior vienen dadas por uj,0= ϕ(xj, 0), j= 0, . . . , N.

Asimismo, tambi ´en disponemos de condiciones de contorno:

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Aproximaci ´on de la ecuaci ´on del calor

Observaciones

Fij ´emonos en que para calcular las aproximaciones correspondientes al tiempo tn+1, uj,n+1, hacemos uso, para cada nodo xj, de los valores

correspondientes al tiempo tndenotados por uj,n, uj−1,ny uj+1,n.

Esto es lo que se conoce comodominio de dependencia num ´erico o stencil.

El esquema anterior es un ejemplo dem ´etodo expl´ıcito, ya que en ´el los valores

uj,n+1aparecen dados expl´ıcitamente, valga la redundancia (podemos expresarlo

coloquialmente diciendo que aparecen ”despejados”).

Desgraciadamente, a pesar lo intuitivo de su obtenci ´on, el esquema anterior presenta problemas de estabilidad, lo que adem ´as deriva en problemas de convergencia.

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Aproximaci ´on de la ecuaci ´on del calor

Para intentar solventar este problema consideraremos la misma aproximaci ´on de la derivada con respecto al tiempo anterior:

ut(xj, tn) =

uj,n+1− uj,n

k + O(k), pero una aproximaci ´on diferente de la segunda derivada espacial:

uxx(xj, tn) =

uj+1,n+1− 2uj,n+1+ uj−1,n+1

h2 + O(h

2_),

lo que sustituyendo en la ecuaci ´on da lugar a uj,n+1− uj,n k − c 2uj+1,n+1− 2uj,n+1+ uj−1,n+1 h2 = 0, o equivalentemente, uj,n+1= uj,n+ c2 k h2 uj+1,n+1− 2uj,n+1+ uj−1,n+1 .

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Aproximaci ´on de la ecuaci ´on del calor

Usando de nuevo la notaci ´on

s= c2k h2

el esquema en diferencias finitas anterior se puede escribir como uj,n+1= uj,n+ s(uj−1,n+1− 2uj,n+1+ uj+1,n+1),

o bien como

−suj−1,n+1+ (1 + 2s)uj,n+1− suj+1,n+1= uj,n.

De nuevo las condiciones iniciales vienen dadas por uj,0= ϕ(xj, 0), j= 0, . . . , N,

y las de contorno por

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Aproximaci ´on de la ecuaci ´on del calor

Observaciones

Ahora, para calcular las aproximaciones uj,n+1hacemos uso de uj,n, pero tambi ´en

de uj−1,n+1, y uj+1,n+1,por lo que este m ´etodo tiene un stencil diferente.

El esquema anterior es un ejemplo dem ´etodo impl´ıcito, para cuya resoluci ´on

hemos de resolver una sistema de ecuaciones acopladas. Este esquema es estable y convergente.

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Aproximaci ´on de la ecuaci ´on del calor

Observaciones

Se pueden construir una gran variedad de m étodos para la ecuaci ón del calor utilizando distintas f órmulas de derivaci ón.

Que el anterior m étodo expl´ıcito no sea estable no significa que no existan otros m étodos expl´ıcitos que s´ı funcionen bien para esta ecuaci ón, adem ás de ser de m ás f ácil resoluci ón que los m étodos impl´ıcitos.

Una estrategia habitual es utilizar un promedio entre un esquema expl´ıcito y un esquema impl´ıcito. Un ejemplo, utilizando el esquema expl´ıcito y el esquema impl´ıcito anterior para la ecuaci ´on el calor, es el conocido como esquema de Crank-Nicolson.

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Ejemplo 1

Resolver la ecuaci ´on del calor en una barra de longitud 10 unidades, con c = 1, condiciones de contorno nulas y condici ´on inicial

ϕ(x) = sen πx 10

. Como la soluci ´on de la ecuaci ´on del calor es

u(x, t) = ∞ X n=1 Ansen nπ l x e−c2(nπl) 2 t_,

con Anlos coeficientes del desarrollo en serie de Fourier en senos de la funci ´on ϕ(x)

en el intervalo (0, l), An= 2 l Zl 0 ϕ(x) sen nπ l x dx, en este caso tenemos:

u(x, t) = ∞ X n=1 Ansen nπ 10x e−(nπ10) 2 t_. Volver

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Ejemplo 1 (continuaci ´on)

Y como la condici ´on inicial viene ya expresada como una serie de Fourier en que el ´unico sumando no nulo es sen πx

10

, correspondiente a n = 1, deducimos que

An=

(

1 si n = 1, 0 si n > 1, por lo que, finalmente, tenemos que

u(x, t) = sen π 10x e−(10π) 2 t_. Volver

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Ejemplo 2

Una cuerda de guitarra, de longitud l, est á sujeta por sus extremos. Se ta ñe la cuerda en x = a, desplaz ándola una distancia h. H állese la forma de la cuerda en cualquier instante posterior al ta ñido.

Hemos de resolver la ecuaci ´on de ondas con condiciones de contorno homog ´eneas, y condiciones iniciales la forma inicial de la cuerda,

u(x, 0) = ϕ(x) =        hx a si 0 ≤ x ≤ a, h(l − x) l− a si a ≤ x ≤ l, y la velocidad inicial de la misma,

ut(x, 0) = ψ(x) = 0.

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Ejemplo 2 (continuaci ´on)

Como la soluci ón de la ecuaci ón de ondas es u(x, t) = ∞ X n=1 Ancos nπc l t + Bnsen nπc l t sen nπ l x , con An= 2 l Z l 0 ϕ(x) sen nπ l x dx, Bn= 2 nπc Zl 0 ψ(x) sen nπ l x dx, en este caso tenemos que Bn= 0, y únicamente hemos de calcular An:

An = 2 l Z a 0 hx a sen nπ l x dx+2 l Z l a h(l − x) l− a sen nπ l x dx = 2hl 2

a(l − a)n2_π2sen

nπa l

.

Por tanto, la forma de la cuerda en el instante t viene dada por u(x, t) = 2hl 2 a(l − a)π2 ∞ X n=1 1 n2sen nπa l cos nπc l t sen nπ l x . Volver

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Ejemplo 3

Hacer una iteraci ´on del esquema expl´ıcito en el caso en que N = 4. Como N = 4, se tiene que h = l

4, y los nodos espaciales son: x0= 0, x1= l 4, x2= l 2, x3= 3l 4, x4= l.

Partimos de los valores de la funci ´on, conocidos en t0= 0, y hacemos una iteraci ´on en

tiempo para aproximaciones de los valores de la funci ´on en t1= k.

Es decir, conocemos los siguientes valores gracias a las condiciones iniciales (que han de ser compatibles con las condiciones de contorno consideradas en los extremos del intervalo): u0,0= ϕ(x0) = 0, u1,0= ϕ(x1), u2,0= ϕ(x2), u3,0= ϕ(x3), u4,0= ϕ(x4) = 0. Volver

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Ejemplo 3 (continuaci ´on)

Y buscamos aproximaciones de los valores de la funci ´on en t1= k, teniendo en cuenta

que ya conocemos los valores correspondientes a la frontera: u0,1= 0,

u1,1= su0,0+ (1 − 2s)u1,0+ su2,0 → u1,1= (1 − 2s)u1,0 +su2,0 ,

u2,1= su1,0+ (1 − 2s)u2,0+ su3,0 → u2,1= su1,0 +(1 − 2s)u2,0 +su3,0,

u3,1= su2,0+ (1 − 2s)u3,0+ su4,0 → u3,1= su2,0 +(1 − 2s)u3,0,

u4,1= 0.

Fij ´emonos en que lo anterior puede expresarse matricialmente (obviando los valores en la frontera, que ser ´an siempre conocidos):

  u1,1 u2,1 u3,1   =   1 − 2s s 0 s 1 − 2s s 0 s 1 − 2s   ·   u1,0 u2,0 u3,0   . Volver

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Ejemplo 4

Hacer una iteraci ´on del esquema impl´ıcito en el caso en que N = 4. De nuevo, los nodos espaciales son:

x0= 0, x1= l 4, x2= l 2, x3= 3l 4, x4= l,

y partimos de los valores de la funci ´on en t0= 0 para obtener aproximaciones de los

valores de la funci ´on en t1= k.

Conocemos pues los siguientes valores:

u0,0= ϕ(x0) = 0, u1,0= ϕ(x1), u2,0= ϕ(x2), u3,0= ϕ(x3), u4,0= ϕ(x4) = 0. Volver

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Ejemplo 4 (continuaci ´on)

Y buscamos aproximaciones de los valores de la funci ´on en t1= k, teniendo en cuenta

que ya conocemos los valores correspondientes a la frontera. El esquema en este caso queda:

u0,1= 0,

−su0,1+ (1 + 2s)u1,1− su2,1= u1,0 → (1 + 2s)u1,1 −su2,1 = u1,0,

−su1,1+ (1 + 2s)u2,1− su3,1= u2,0 → −su1,1 +(1 + 2s)u2,1 −su3,1= u2,0,

−su2,1+ (1 + 2s)u3,1− su4,1= u3,0 → −su2,1 +(1 + 2s)u3,1= u3,0,

u4,1= 0.

Por tanto, para encontrar los nuevos valores hemos de resolver el siguiente sistema:   1 + 2s −s 0 −s 1 + 2s −s 0 −s 1 + 2s   ·   u1,1 u2,1 u3,1   =   u1,0 u2,0 u3,0   . Volver