Tema 11. Integral indefinida. M´etodos de integraci´on

Tema 11. Integral indefinida. M´etodos de integraci´on

Profesor Andr´es D´ıaz Jim´enez [email protected]

IES ALPAJ ´ES

9 de mayo de 2013

Primitiva de una funci´on f (x)

Primitiva de una funci´on f (x)

Sea f y F dos funciones reales definidas en un mismo dominio. Decimos que las funci´on F es una primitiva de f si y s´olo si

F^′(x) = f (x)

Ejemplo f (x) = 2x F (x) = x², G(x) = x² + 1 y H(x) = x²− 7 son primitivas Primitiva de una funci´on f (x).¿Cu´antas primitivas tiene una funci´on?

Una funci´on tiene infinitas primitivas y la diferencia entre dos de sus primitivas es una constantes.

En efecto F1 y F2 son dos primitivas de la funci´on f (x) entonces F1 − F² = C, (F1 − F²)^′ = f (x) − f(x) = por tanto la diferencia es una constante

Integral indefinida de una funci´on f (x)

Integral indefinida

Dada una funci´on f (x) llamamos integral indefinida de la funci´on f y lo representamos Z

f(x)dx Al conjunto de las primitivas F (x) de la funci´on f (x).

Ejemplo

Z

x²dx = x³ 3 + C Z 1

x dx = ln x + C Z

sen x dx = − cos x + C

Z 1

1 + x² dx = arc tg x + C Z

e^xdx = e^x+ C

Integral indefinida de una funci´on f (x). Propiedades

Integral indefinida. Propiedades

Integral de la suma de funciones.

Z

(f (x) + g(x)) dx = Z

f(x) dx + Z

g(x) dx Integral de la diferencia de funciones.

Z

(f (x) − g(x)) dx = Z

f(x) dx − Z

g(x) dx Integral de una constante por una funci´on

Z

kf(x) dx = k Z

f(x) dx

Integral indefinida de una funci´on f (x). Propiedades

Z

(2x + cos x) dx = x² + sen x + C Z

(3 − sen x) dx = 3x + cos x + C Z

5x³dx = 5 Z

x³dx = 5x⁴ 4 + C Z

7e^xdx = 7 Z

e^xdx = 7e^x+ C Z

4√

xdx = 4 Z

x¹² dx + K = 4x¹²⁺¹

1

2 + 1 + K = 4x³²

3 2

+ K = 8√ x³ 3 + K Z x+ 1

x dx = Z 

1 + 1 x



dx = x + ln |x| + K Z x²

x² + 1 dx =

Z x² + 1 − 1

x² + 1 dx = Z 

1 − 1 x² + 1

 dx

Integral indefinida de una funci´on f (x). Tabla de primitivas

Z

f(x)dx = F (x) + C Z

dx = x + C Z

xⁿ dx = xⁿ⁺¹ n+ 1 + C

Z

(f (x))ⁿ · f^′(x)dx = f(x)ⁿ⁺¹ n+ 1 + C Z dx

x = ln |x| + C

Z f^′(x)

f(x)dx = ln |f(x)| + C Z

e^xdx = e^x+ C

Z

e^f(x) · f^′(x)dx = e^f(x)+ C Z

a^xdx = 1

ln a · a^x+ C

Z

a^f(x)· f^′(x)dx = a^f(x) · logae+ C Z

cos xdx = sen x + C

Z

cos f (x) · f^′(x)dx = sen f (x) + C Z

sen xdx = − cos x + C

Z

sen f (x) · f^′(x)dx = − cos f(x) + C

Integral indefinida de una funci´on f (x). Tabla de primitivas

Z 1

cos²xdx = tg x + C

Z 1

cos²f(x)· f^′(x)dx = tg f (x) + C

Z 1

1 + x²dx = arc tg x + C

Z f^′(x)

1 + f (x)dx = arc tg f (x) + C

R 1

sen²xdx= − cotg x + C

Z 1

sen²f(x) · f^′(x)dx = − cotg f(x) + C

Z 1

√1 − x²dx= arc sen x + C

Z

1

p1 − f²(x) · f^′(x)dx = arc sen f (x) + C

M´etodos de integraci´on. Integral por partes

Integral por partes

Z

u· dv = u · v − Z

v · du Ejemplo

Z

xln xdx

u = ln x dv = x du = 1

xdx v = x² 2 Z

xln xdx = x²

2 ln x − Z x²

2 1

xdx = x²

2 ln x − 1 2

Z

xdx = x²

2 ln x − x² 4 + C

Integrales racionales

Integrales racionales

Las integrales racionales son integrales de la forma Z P(x)

Q(x)dx Donde P (x) y Q(x) son polinomios

Ejemplo

Z 2

x− 3dx Z x+ 1

x² − 3x + 3dx

Integrales racionales

Integrales racionales

Z A

x− adx = A ln |x − a| + C Ejemplo

Z 2

x− 1dx = 2 ln |x − 1| + C

Integrales racionales

Integrales racionales

Z A

(x − a)dx = A

(1 − n)(x − a)ⁿ⁻¹ + C Ejemplo

Z 3

(x − 4)⁵dx = − 3

4(x − 4)⁴ + C

Integrales racionales

Integrales racionales

Z P(x) Q(x)dx

Con grP (x) ≥ grQ(x). Hacemos la divisi´on entera de P (x) entre Q(x) y obtenemos Cociente + Resto

Q(x) Ejemplo

Z x² + 3x + 1 x− 1 dx =

Z x² + 3x + 1 x− 1 dx = Efectuamos el cociente entero y obtenemos

x² + 3x + 1 = (x + 4)(x − 1) + 5 Z (x + 4)(x − 1) + 5

x− 1 dx =

Z  (x + 4)^✘(x − 1)^✘✘✘✘

✘✘✘✘

x− 1 + 5

x− 1

 dx =

Z

(x + 4)dx + 5

Z 1

x− 1dx =

= x²

2 + 4x + 5 ln |x − 1| + C

Integrales racionales

Integrales racionales

Z P(x) Q(x)dx

Con grP (x) ≤ grQ(x). Hacemos la divisi´on entera de P (x) entre Q(x) y obtenemos Cociente + Resto

Q(x) Ejemplo

Z 2x + 1 x² − 3x + 2dx

x² − 3x + 2 = (x − 2)(x − 1) 2x + 1

x² − 3x + 2 = A

x− 2 + B x− 1 2x + 1

x² − 3x + 2 = A(x − 1)

x− 2 + B(x − 2) x− 1 2x + 1 = A(x − 1) + B(x − 2) Le damos los valores x = 1 y x = 2 obteniendo:

 A= 5

⇒

 A = 5

Integrales racionales

Z 3x + 5

x³ − x² − x + 1dx Factorizamos el denominador

x³ − x² − x + 1 = (x − 1)²(x + 1) 3x + 5

x³ − x² − x + 1 = A

x+ 1 + B

x− 1 + C (x − 1)² 3x + 5

x³ − x² − x + 1 = A(x − 1)² + B(x + 1)(x − 1) + C(x + 1) (x + 1)(x − 1)²

3x + 5 = A(x − 1)² + B(x + 1)(x − 1) + C(x + 1) Sustituimos x = 1,x = −1 y x = 0







2C = 8 4A = 2 A− B + C = 5

⇒ C = 4 A = 1

2 B = −1 2

Z





 1 2

x+ 1 + −1 2

x− 1 + 4 (x − 1)²





dx = 1

2ln |x + 1| − 1

2ln |x − 1| − 4

x− 1 + C