Sea C un arco de curva en Rn dada por la funci´on x : [a, b

CURVAS RECTIFICABLES Y LONGITUD DE ARCO

FERNANDO REVILLA JIM ´ENEZ

Resumen. Definimos los conceptos de arco de curva rectificable y lon- gitud de arco. Demostramos una f´ormula para calcular la longitud de los arcos de curvas de clase C¹.

´Indice

1. Curvas rectificables 1

2. Curvas de clase C¹ 3

1. Curvas rectificables

1.1. Definici´on. Sea C un arco de curva en Rⁿ dada por la funci´on x : [a, b] → Rⁿ, t 7→ x = x(t),

y no se imponen condiciones a x. Consideremos el conjunto P = {P : P es partici´on de [a, b]}.

Para cada partici´on P : a = t₀, t₁, . . . , t_n−1, t_m = b de [a, b] consideramos la poligonal de E : x(t0), x(t1), . . . , x(tm−1), x(tm) y su correspondiente longi- tud

s(P ) = |x(t₁) − x(t₀)| + |x(t₂) − x(t₁)| + . . . + |x(t_m) − x(t_m−1)|

=

m

X

i=1

|x(t_i) − x(ti−1)| .

Se dice que C es rectificable si el conjunto {s(P ) : P ∈P} est´a acotado.

1.2. Definici´on. Si C es un arco de curva rectificable, definimos su longitud L(C) como

L(C) = sup{s(P ) : P ∈P}.

Key words and phrases. Curvas rectificables, longitud, arco.

1

1.3. Ejemplo. El arco de par´abola C dado por x(t) = (t, t²) con t ∈ [0, 1]

es rectificable. En efecto sea la partici´on P de [0, 1] dada por 0 = t₀ < t₁<

. . . < tn= 1. Tenemos s(P ) =

n

X

i=1

|x(t_i) − x(ti−1)| =

n

X

i=1

(ti, t²_i) − (ti−1, t²_i−1) 

=

n

X

i=1

(t_i− t_i−1, t²_i − t²_i−1) ≤

n

X

i=1

|t_i− t_i−1| +

t²_i − t²_i−1 

=

n

X

i=1

(|t_i− t_i−1| + |t_i− t_i−1| |t_i+ t_i−1|) =

n

X

i=1

(t_i− t_i−1)(1 + t_i−1+ t_i).

Ahora bien, se verifica 0 ≤ t_i−1< t_i ≤ 1 y por tanto 1 + t_i−1+ t_i ≤ 3. Por otra parte,Pn

i=1(ti− t_i−1) = 1 con lo cual s(P ) ≤ 3Pn

i=1(ti− t_i−1) = 3 es decir, el arco C es rectificable.

1.4. Ejemplo. La curva del plano

Γ :







x = t si 0 ≤ t ≤ 1 y =

( t cos1

t si 0 < t ≤ 1 0 si t = 0.

no es rectificable. Para demostrarlo, consideramos particiones de [0, 1] de la forma

P : 0, 1

(n − 1)π, 1

(n − 2)π, . . . , 1 2π, 1

π, 1.

Los puntos de la poligonal que corresponden a la partici´on P son M0= (0, 0), M1=

 1

(n − 1)π, 1

(n − 1)πcos(n − 1)π

 ,

M₂ =

 1

(n − 2)π, 1

(n − 2)πcos(n − 2)π

 , . . .

Mn−2 = 1 2π, 1

2πcos 2π



, Mn−1= 1 π,1

π cos π



, Mn= (1, cos 1).

La suma de las distancias de los segmentos de la poligonal es s(P ) = |M0M1| + |M₁M2| + · · · + |M_n−2Mn−1| + |M_n−1Mn|

=    

 1

(n − 1)π, 1

(n − 1)π cos(n − 1)π

    +

 1

(n − 2)π − 1

(n − 1)π, 1

(n − 2)πcos(n − 2)π − 1

(n − 1)π cos(n − 1)π

    + · · · +

 1 − 1

π, cos 1 − 1 πcos π

    .

Eliminando el primer y ´ultimo t´ermino de la suma anterior, s(P ) ≥

n−2

X

k=1

 1

kπ − 1

(k + 1)π, 1

kπcos kπ − 1

(k + 1)πcos(k + 1)π

   

≥

n−2

X

k=1

1

kπ cos kπ − 1

(k + 1)π cos(k + 1)π    

≥

n−2

X

k=1

(−1)^k

kπ − (−1)^k+1 (k + 1)π    

=

n−2

X

k=1

1

kπ + 1

(k + 1)π    

≥ 2 π

n−2

X

k=1

1 k + 1. Entonces,

n→+∞l´ım s(P ) ≥ l´ım

n→+∞

2 π

n−2

X

k=1

1 k + 1 = 2

π

+∞

X

k=1

1

k + 1 = +∞, lo cual implica que Γ no es rectificable.

2. Curvas de clase C¹

2.1. Teorema. Todo arco de curva de clase C¹ es rectificable.

Demostraci´on. Sea x = (x₁, . . . , x_n) : [a, b] → Rⁿ un arco de curva de clase C¹. Entonces, las funciones x⁰₁, . . . , x⁰_n son continuas en [a, b] y por tanto est´an acotadas es decir, existen constantes positivas M1, . . . , Mn tales que

 x⁰_n(t)

≤ M₁, . . . , x⁰_n(t)

≤ M_n ∀t ∈ [a, b].

Sea P una partici´on de [a, b] determinada por los puntos a = t₀ < t₁< . . . <

tm= b. Para cada i ∈ {1, . . . , m} tenemos

|x(t_i) − x(t_i−1)| = q

(x₁(t_i) − x₁(t_i−1))²+ . . . + (x_n(t_i) − x_n(t_i−1))²

≤ |x₁(t_i) − x₁(t_i−1)| + . . . + |x_n(t_i) − x_n(t_i−1)| .

Por el teorema del valor medio de Lagrange, existen ξ₁, . . . , ξ_nen el intervalo (ti−1, ti) tales que

|x₁(ti) − x1(ti−1)| = x⁰₁(ξ1)

(ti− t_i−1) . . .

|x_n(ti) − xn(ti−1)| =

x⁰_n(ξn)

(ti− t_i−1).

En consecuencia,

|x(t_i) − x(t_i−1)| ≤ |x₁(t_i) − x₁(t_i−1)| + . . . + |x_n(t_i) − x_n(t_i−1)|

≤  x⁰₁(ξ₁)

+ . . . +

x⁰_n(ξ_n)


(t_i− t_i−1) ≤ (M₁+ . . . + M_n) (t_i− t_i−1).

Si s(P ) es la longitud de la poligonal determinada por P tenemos s(P ) =

m

X

i=1

|x(t_i) − x(ti−1)| ≤ (M1+ . . . + Mn)

m

X

i=1

(ti− t_i−1)

= (M₁+ . . . + M_n) (b − a).

Es decir, el conjunto {s(P ) : P ∈ P} est´a acotado y por tanto el arco de

curva es rectificable. 

2.2. Teorema. Sea x : [a, b] → Rⁿ un arco de curva de clase C¹ (y por tanto rectificable). Entonces, su longitud es

s = Z b

a

 x⁰(t)

dt.

Demostraci´on. Si x = (x1, . . . , xn) entonces x⁰(t)

= q

(x⁰₁(t))²+ . . . + (x⁰_n(t))²

y al ser las funciones x⁰_i continuas en [a, b] tambi´en es continua x⁰ en [a, b]

y por tanto existe R_b

a|x⁰(t)| dt. Por definici´on de longitud de arco, s = sup{s(P ) : P ∈ P} y tenemos que demostrar que para todo  > 0 se verifica la desigualdad

s − Z b

a

x⁰(t) dt

< .

Al ser las funciones x⁰₁, . . . , x⁰_n continuas en el intervalo cerrado [a, b], son uniformemente continuas y por tanto existe δ₁> 0 tal que

x⁰_k(t) − |x⁰_k(t⁰)

< 

3n(b − a) si t, t⁰ ∈ [a, b] con  t − t⁰

< δ1 (1) y para todo k = 1, . . . , n. Por definici´on de integral, existe δ2 > 0 tal que para toda partici´on P : a = t₀ < t₁ < . . . < t_m= b que cumple |t_i− t_i−1| < δ₂ se verifica

Z _b

a

x⁰(t) dt −

m

X

i=1

x⁰(θ_i)(t_i− t_i−1)      

<  3 (2)

si θi ∈ [t_i−1, ti] para todo i = 1, . . . , m. Intercalando convenientemente va- lores en la partici´on anterior, podemos suponer que P verifica |ti− t_i−1| <

m´ın{δ₁, δ₂} y podemos aplicar a P las desigualdades (1) y (2). Tenemos 

s − Z b

a

 x⁰(t)

dt    

≤ |s − s(P )| +    

s(P ) − Z b

a

 x⁰(t)

dt    

<  3 +

s(P ) − Z b

a

 x⁰(t)

dt    

. (3)

Aplicando el teorema del valor medio de Lagrange a las funciones x₁, . . . , x_n a cada uno de los intervalos [t0, t1], [t1, t2], . . . , [tm−1, tm] existen valores θ_k,i∈ [t_i−1, t_i] con k = 1, . . . , n, i = 1, . . . , m tales que

x_k(t_i) − x_k(t_i−1) = x⁰_k(θ_k,i)(t_i− t_i−1).

Entonces, s(P ) =

m

X

i=1

|x(t_i) − x(t_i−1)| =

m

X

i=1

|(x₁(t_i) − x₁(t_i−1), . . . , x_n(t_i) − x_n(t_i−1))|

=

m

X

i=1

 x⁰₁(θ1,i), . . . , x⁰₁(θn,i)


(ti− t_i−1).

Sumando y restandoPm

i=1|x⁰(t)| (ti− t_i−1), 

s(P ) − Z b

a

x⁰(t) dt

≤     

m

X

i=1

 x⁰₁(θ_1,i), . . . , x⁰₁(θ_n,i)
 −

x⁰(t) 

!

(t_i− t_i−1)      +

m

X

i=1

 x⁰(t)

(ti− t_i−1) − Z b

a

 x⁰(t)

dt     

≤

m

X

i=1

| x⁰₁(θ1,i), . . . , x⁰₁(θn,i)
 −

x⁰(t)|

+     

m

X

i=1

 x⁰(t)

(ti− t_i−1) − Z b

a

 x⁰(t)

dt     

. (4) Por la desigualdad (2) tenemos

m

X

i=1

x⁰(t_i)(t_i− t_i−1) −

Z _b

a

x⁰(t) dt

<  3.

Por otra parte, si u = (u1, . . . , un), v = (v1, . . . , vn) son vectores de Rⁿ se verifica

||u| − |v|| ≤ |u − v| ≤

n

X

k=1

|u_k− v_k| y por la desigualdad (1) se verifica para i = 1, . . . , m : | x⁰₁(θ1,i), . . . , x⁰₁(θn,i)


− x⁰(t)|

≤

x⁰₁(θ1,i) − x⁰₁(ti) +. . .+

x⁰_n(θn,i) − x⁰_n(ti) 

< 

3n(b − a)+ . . . + 

3n(b − a) =  3(b − a). De las desigualdades (4) deducimos

s(P ) − Z _b

a

x⁰(t) dt

<  3(b − a)

m

X

i=1

(t_i− t_i−1) + 

3 = (b − a) b − a + 

3 = 2

3 . Aplicando la desigualdad (3),

s − Z _b

a

x⁰(t) dt

<  3+2

3 =  que es lo que quer´ıamos demostrar.

 2.3. Ejemplo. Calculemos la longitud del arco de la h´elice circular

x(t) :







x(t) = a cos t y(t) = a sin t z(t) = bt.

t ∈ [0, 1].

Las funciones x(t), y(x), z(t) son de clase 1 (m´as a´un de clase infinito) en R, en consecuencia la h´elice circular es rectificable en todo intervalo real [α, β].

Su longitud es s =

Z 1 0

s

 dx dt

2

+ dy dt

2

+ dz dt

2

dt = Z 1

0

pa²sin²t + a²cos²t + b²dt

= Z 1

0

pa²+ b²dt =p

a²+ b².

Monograf´ıas matem´c aticas por Fernando Revilla Jim´enez se dis- tribuye bajo la licencia Creative Commons Atribuci´on-NoComercial- SinDerivar 4.0 Internacional.

M´as material en http://www.fernandorevilla.es

Fernando Revilla Jim´enez. Jefe del Departamento de Matem´aticas del IES San- ta Teresa de Jes´us de la Comunidad de Madrid y Profesor de M´etodos Ma- tem´aticos de la Universidad Alfonso X El Sabio de Villanueva de la Ca˜nada, Madrid (Hasta el curso acad´emico 2008-2009).

E-mail address: [email protected]