PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEM ´ATICAS SUPERIORES (FASC´ICULO 4)

SUPERIORES (FASC´ICULO 4)

FERNANDO REVILLA

Resumen. Cada fasc´ıculo de estos Problemas resueltos de matem´aticas superiores consta de 5 problemas resueltos. Pueden considerarse como anexos a mis librosProblemas resueltos de ´algebrayProblemas resueltos de an´alisis matem´atico.

´Indice

1. Estudio de la biyectividad de f (X) = (A ∩ X, B ∩ X) 1 2. Extremos de f : (R⁺)³ → R, f(x, y, z) = x^myⁿz^p sobre un plano 2 3. L = l´ımx→0

x²e^x

5x − 5e^x+ 5 sin usar la regla de L’Hˆopital 3 4. Diagonalizaci´on de A ∈ R^2×2 con funciones hiperb´olicas 4 5. Infinitud de los n´umeros primos, demostraci´on topol´ogica 4

1. Estudio de la biyectividad de f (X) = (A ∩ X, B ∩ X) Sean A y B dos partes no vac´ıas de un conjunto E y

f : P(E) → P(A) × P(B), f (X) = (A ∩ X, B ∩ X).

(a) Estudiar la inyectividad de f.

(b) Estudiar la sobreyectividad de f.

(c) Determinar f⁻¹ en los casos en los que f sea biyectiva.

SOLUCI ´ON. (a) Veamos que f es inyectiva si y s´olo si A ∪ B = E. En efecto, supongamos que f es inyectiva. Tenemos

f (E) = (A ∩ E, B ∩ E) = (A, B).

Por otra parte

f (A ∪ B) = (A ∩ (A ∪ B), B ∩ (A ∪ B)) = (A, B).

Es decir f (E) = f (A ∪ B), luego A ∪ B = E por ser f inyectiva. Rec´ıproca- mente, supongamos que A ∪ B = E. Entonces,

f (X) = f (Y ) ⇒ (A ∩ X, B ∩ X) = (A ∩ Y, B ∩ Y )

Key words and phrases. Problemas, resueltos, matem´aticas, superiores, fasc´ıculo.

1

⇒

A ∩ X = A ∩ Y

B ∩ X = B ∩ Y ⇒ (A ∩ X) ∪ (B ∩ X) = (A ∩ Y ) ∪ (B ∩ Y )

⇒ X ∩ (A ∪ B) = Y ∩ (A ∪ B) ⇒ X ∩ E = Y ∩ E ⇒ X = Y y por tanto, f es inyectiva.

(b) Veamos que f es sobreyectiva si y solamente si A ∩ B = ∅. En efecto, si f es sobreyectiva existe X ∈ P(E) tal que f (X) = (A, ∅). Entonces, A ∩ X = A y B ∩ X = ∅. De aqu´ı se deduce A ⊂ X ⊂ B^c, luego A ∩ B = ∅.

Rec´ıprocamente, si A ∩ B = ∅, sea (X, Y ) ∈ P(A) × P(B). Tenemos f (X ∪ Y ) = (A ∩ (X ∪ Y ), B ∩ (X ∪ Y ))

= ((A ∩ X) ∪ (A ∩ Y ), (B ∩ X) ∪ (B ∩ Y )) = (X ∪ ∅, ∅ ∪ Y ) = (X, Y ), luego f es sobreyectiva.

(c) De los apartados anteriores, f es biyectiva si y s´olo si, A y B son com- plementarios en E. Si es biyectiva,

f⁻¹: P(A) × P(B) → P(E), f⁻¹(X, Y ) = X ∪ Y.

 2. Extremos de f : (R⁺)³ → R, f(x, y, z) = x^myⁿz^p sobre un plano Hallar, caso de existir, los valores extremos de la funci´on

f : R⁺
3

→ R, f (x, y, z) = x^myⁿz^p (m.n.p enteros positivos) con x + y + z = a (a ∈ R⁺).

SOLUCI ´ON. El problema es equivalente a hallar los extremos de la funci´on g : Ω → R, g(x, y) = x^myⁿ(a − x − y)^p

en el abierto Ω = {(x, y) ∈ R²: x > 0, y > 0, a − x − y > 0}. Puntos cr´ıticos de g,







∂g

∂x = 0

∂g

∂y = 0

⇔ . . . ⇔

([ma − my − (m + p)x] x^m−1yⁿ(a − x − y)^p−1 [na − nx − (n + p)y] x^myⁿ⁻¹(a − x − y)^p−1. Como x > 0, y > 0, y a − x − y > 0, el sistema anterior es equivalente a

(m + p)x + my = ma nx + (n + p)y = na, cuya ´unica soluci´on es

P =

 ma

m + n + p, na m + n + p

 ,

y se comprueba inmediatamente que P ∈ Ω. El hessiano de g en P es Hg(P ) = detgxx(P ) gxy(P )

g_yx(P ) g_yy(P )



= . . .

= (m + n + p)

 ma

m + n + p

2(m+n+p−2)

m^2m−1n²ⁿ⁻¹p^2p−1> 0.

Por otra parte,

∂g

∂x(P ) = . . .

= −(m + p)

 ma

m + n + p

m−1 na m + n + p

n pa m + n + p

p−1

< 0.

Dado que g ∈ C²(Ω), deducimos por un conocido teorema que g alcanza un m´aximo en el punto P. Hallando la z que corresponde al punto P, obtenemos fm´ax

 ma

m + n + p, na

m + n + p, pa m + n + p



= m^mnⁿp^p

 a

m + n + p

m+n+p

.

 3. L = l´ımx→0

x²e^x

5x − 5e^x+ 5 sin usar la regla de L’Hˆopital Si usar la regla de L’Hˆopital, calcular el l´ımite

L = l´ım

x→0

x²e^x 5x − 5e^x+ 5

SOLUCI ´ON. Podemos expresar L = l´ım

x→0

e^x 5

x²

1 + x − e^x = 1 5 l´ım

x→0

x² 1 + x − e^x

| {z }

A

y por tanto, basta hallar A. Sea x > 0 y consideremos la funci´on F : [0, x] → R, F (t) = t²− x²

1 + x − e^x(1 + t − e^t).

Es inmediato verificar las hip´otesis del teorema de Rolle para F en [0, x]

obteniendo un ξ ∈ (0, x) tal que x²

1 + x − e^x = 2ξ 1 − e^ξ. Usando que e^ξ− 1 ∼ ξ cuando ξ → 0,

l´ım

x→0⁺

e^x 5

x²

1 + x − e^x = 1 5 l´ım

ξ→0⁺

2ξ

−ξ = −2 5.

Usando la misma funci´on F en el intervalo [x,0] con x < 0 obtenemos l´ım

x→0⁻

e^x 5

x²

1 + x − e^x −2 5,

con lo cual L = −2/5. 

4. Diagonalizaci´on de A ∈ R^2×2 con funciones hiperb´olicas Estudiar para qu´e valores de x ∈ R la siggiente matriz es diagonalizable en R

A =cosh x sinh x sinh x cosh x

 . En cada caso, hallar la forma can´onica de A.

SOLUCI ´ON. Polinomio caracter´ıstico de A

χ(λ) = λ²− (traza A)λ + det A = λ²− (2 cosh x)λ + cosh²x − sinh²x

= λ²− e^x+ e^−x
λ + 1.

Valores propios de A

λ²− e^x+ e^−x
λ + 1 = 0 ⇔ λ = e^x+ e^−x± q

(e^x+ e^−x)²− 4 2

= e^x+ e^−x±√

e^2x+ e^−2x− 2

2 = e^x+ e^−x±

q

(e^x− e^−x)² 2

= e^x+ e^−x± (e^x− e^−x)

2 = {e^x, e^−x}.

Entonces, e^x = e^−x ⇔ e^2x = 1 ⇔ 2x = 0 ⇔ x = 0. Para x = 0 obtenemos la matriz A = I, que es diagonal. Si x 6= 0, tenemos e^x 6= e^−x y A es diagonalizable en R al tener dos valores propios reales simples. Concluimos que A es diagonalizable para todo x ∈ R siendo su matriz diagonal;

D =e^x 0 0 e^−x

 .

 5. Infinitud de los n´umeros primos, demostraci´on topol´ogica

Desarrollamos la demostraci´on de Furstenberg de la infinitud de los n´umeros primos basada en ideas topol´ogicas.

Proporcionar una demostraci´on topol´ogica de la infinitud de los n´umeros primos

SOLUCI ´ON. Para cada a, b n´umeros enteros con b 6= 0 consideramos el sub- conjunto de Z :

a + b Z = { . . . , a − 2b , a − b , a , a + b , a + 2b , . . . }, y la clase B de subconjuntos de Z :

B = { a + b Z : a, b ∈ Z , b 6= 0 }

es decir, B es la clase de todas las progresiones aritm´eticas no constantes en Z . Dado que a + b Z = a − b Z tambi´en podemos suponer que b > 0.

Veamos que B cumple las dos conocidas condiciones para formar base de

una topolog´ıa en Z.

(i) Como 0 + 1 Z = Z se verifica trivialmente que Z es uni´on de elementos de B.

(ii) Sean a + b Z y a⁰+ b⁰ Z elementos de B y c ∈ (a + b Z) ∩ (a⁰+ b⁰ Z) , entonces a + b Z = c + b Z y a⁰+ b⁰ Z = c + b⁰ Z . Si d es el m´ınimo com´un m´ultiplo de b y b⁰es claro que c ∈ c + d Z ⊂ (c+b Z)∩(c+b⁰ Z) . Concluimos pues que B es base para una topolog´ıa T en Z.

Para cada primo p el subconjunto de Z,

F_p = Z − ( (1 + p Z) ∪ (2 + p Z) ∪ . . . ∪ ((p − 1) + p Z) )

es cerrado pues es el complementario de una uni´on de abiertos (que es abier- to). Sea ahora F = S

pFp en donde p var´ıa en el conjunto de los n´umeros primos. Si solamente existiera un n´umero finito de primos, entonces F ser´ıa uni´on finita de cerrados y por tanto, cerrado. Dado que F_p= p Z todo entero k 6= ±1 pertenece a alg´un Fp, es decir Z − F = {−1, 1} . Pero claramente {−1, 1} no es abierto por no ser uni´on de progresiones aritm´eticas no cons- tantes y por tanto F no es cerrado.

Por tanto, de la hip´otesis de existir solamente un n´umero finito de primos llegamos al absurdo de que existe un conjunto F en una topolog´ıa T que es a la vez cerrado y no cerrado. Se concluye pues que existen infinitos n´umeros

primos. 

Problemas resueltos de matem´c aticas superiores por Fernando Re- villa se distribuye bajo la licencia Creative Commons Atribuci´on- NoComercial-SinDerivar 4.0 Internacional.

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Fernando Revilla. Jefe del Departamento de Matem´aticas del IES Santa Teresa de Jes´us de la Comunidad de Madrid y Profesor de M´etodos Matem´aticos de la Universidad Alfonso X El Sabio de Villanueva de la Ca˜nada, Madrid (Hasta el curso acad´emico 2008-2009).

E-mail address: frej0002@ficus.pntic.mec.es