ECUACION CUADRÁTICA O DE SEGUNDO GRADO DEFINICION: Sea a, b, y c

(1)

LICEO BICENTENARIO – MOLINA

“Excelencia en Libertad, autonomía en el saber”

Departamento de Matemática Profesor: Patricio Arévalo Sánchez

ECUACION CUADRÁTICA O DE SEGUNDO GRADO

DEFINICION: Sea a, b, y c  ℝ, a≠0, entonces, ax² + bx + c =0 es una ecuación cuadrática.

Por ejemplo:

5x² +8x+3=0 4x² +9x-4=0 x² - 6x+7=0 4x² + 8 =0

9x² - 2x = 0 , etc., son ecuaciones de segundo grado.

Actividad N° 1. Escriba tres ecuaciones cuadráticas:

...

Clasificación de las ecuaciones de segundo grado:

Pura, si b=0 : ax² + c=0

Ej. : 2x² - 18 =0 Incompletas

Binomia ,si c=0 : ax² + bx=0

Ej. : 4x² + 28x =0

Particular, si a=1 x²+px+q=0

Ej. : x²+5x+6=0 Completas

General, si a  1:

ax²+bx+c=0 Ej. : 3x²+5x-9=0

Actividad N° 2: Escriba una ecuación de cada tipo.

...

Resolución de una ecuación cuadrática Incompleta Pura (x²+c=0) : Una ecuación de este tipo se resuelve mediante despeje de la incógnita.

Ejemplo. Resolver la ecuación 2x² - 18 =0 . Solución:

2x² – 18 = 0 2x² = 18 x² =

2 18 x² = 9 / √ x²  9 x =  3

Es decir:

x1 = 3 x2 = -3 Comprobación:

Si x = 3

2 (3)² - 18 = 0 2  9 - 18 = 0 18 - 18 = 0 0 = 0 Si x = -3

2  (-3)² - 18 = 0 2  9 - 18 = 0 18 - 18 = 0

0 = 0

Observación: Las raíces de una E.C.I.P.

son de igual valor absoluto pero de distinto signo.

Actividad N° 3: Resolver la

siguiente ecuación 4(x² – 15) = x² + 15 ... ...

... ...

Actividad N°4:Comprobar la ecuación anterior.

Para x = ... Para x = ...

... ...

Resolución de una Ecuación Cuadrática Incompleta Binomia (x²+bx=0): en este caso, en primer lugar se procede a factorizar por la incógnita para luego igualar a cero a cada

(2)

factor, de donde se obtienen ambas soluciones.

Ejemplo. Resolver la siguiente ecuación:

4x² + 32x = 0 /factorizando x( 4x + 32) = 0

x = 0 Además:

4x + 32 = 0 4x = -32 x =

4

32 x = -8 Esto es :

x1 = 0 x2 = -8 Comprobación: Para x = 0

40² + 32 0 = 0 0 + 0 = 0 0 = 0 (V)

Para x = -8 4(-8)2 + 32 (-8) = 0 464 + (-256) = 0 256 + (-256) = 0 0 = 0 (V)

Nota : Las raíces de una E.C.I.B. son diferentes, una es cero y la otra distinta de cero.

Actividad N° 5: Resolver la siguiente ecuación 3x²+5x=x²-7x

Solución:

3x² + 5x = x² –7x

...………...

...….……...

...………...

...……...

……...

Actividad N° 6.Comprobar la ecuación anterior.

Si x = ....

...

Si x= ...

...

Guía de ejercicios. Resolver y comprobar las siguientes ecuaciones (Solo para entibiar la muñeca).

1. 3x² – 48 = 0 2. x²–70 =30 3. x² – 10 =71

4. 4x²+10 =2x²+18 5. 7x²+8=4x²+83

6. 5x²+23=4x²+167

7. x²-25 = -7- x² 8. 2(x²-2) = -2 9. 5(x²- 4) = 4(x² + 8) -3

10. x(2x – 3) –3(5 – x) = 83

11. (3x+5)(4x+3)=(5x-3)(2x-9)+80x+20 12. (2x + 5 )(2x – 5) =11

13. (2x+3)(2x-3)=135

14. (2x-3)(3x-4) – 40 = (x-13)(x-4) 15. (7+x)² +(7-x)² =130

16. 3x² +21x = 0 17. X² –x = 0 18. x² +x = 0 19. (x-2)(x-3)=6 20. (x-2)(x+5) =9x-10

21. (2x+6)(2x-6) = (2x+9)(3x-4)

22. (8x+3)(2x-5)-(3x+5)(3x-5) = 2(11x+5) 23. (x+3)² – (8x-9)² =0

24. (x+4)² + (x-3)² = (x+5)² 25. (x+13)² = (x+12)² + (x-5)²

Resolución de una Ecuación

Cuadrática Completa Particular

(x²+px+q=0)

Una ecuación de este tipo se puede resolver de mediante los siguientes métodos:

a) Por descomposición en factores . b) Por fórmula.

a) Para resolver una E.C.C.P. mediante este método es conveniente considerar los siguientes pasos:

1. Descomponer en factores el primer miembro de la ecuación (factorizar).

2. Igualar a cero cada uno de los factores.

3. Resolver las ecuaciones simples que se obtienen en cada factor.

(3)

Ejemplo. Resolver la ecuación x²+6x+8=0

Solución:

x² + 6x +8 = 0 / factorizando

(x+2)(x+4) = 0 / igualando a cero c/fact.

x + 2 = 0 y x + 4 = 0 x = -2 x = -4 Es decir:

x1 = -2  x2 = -4 Comprobación:

Si x=-2 Si x=-4 (-2)²+6(-2)+8= 0 (-4)²+6(-4)+8=0 4 + -12 + 8 = 0 16+ -24+8 =0 12 + ^–12 = 0 (v) 24+ ^-24 = 0 (v) Actividad N° 7.Resolver mediante factorización x²+2x -15=0

...

Actividad N° 8.Comprobar la ecuación anterior.

Para x = .... Para x = ....

...

Ejercicios. Resolver y

comprobar descomponiendo en

factores

:



i) x² + 7x + 10 = 0 ii) x² + 5x + 6 = 0 iii) 27 – 6x = x²

iv) ( x – 2 )( x – 1 ) = 12 v) 6 = (x + 2 )( x + 1)

vi)

2 = (5 – x) (6 – x)

b) Resolución mediante fórmula

: En este caso bastara con sustituir los valores de los coeficientes en la siguiente formula:

p q x p 

4 2

2

Ejemplo. Resolver la ecuación x² - 10x + 16 = 0

Solución:

En esta ecuación, tenemos que:

p = -10 y q = 16 , luego:

x =

 

4 16 10 2

10  ² 

x = 16

4 5 100

x = 5 2516

x = 5 9 x = 5  3 Luego:

x1 = 5 + 3 = 8



x2 = 5 – 3 = 2 Comprobación:

Si x = 8, tenemos que:

8² – 10  8 + 16 = 0 64 - 80 + 16 = 0 80 - 80 = 0 0 = 0 V

Si x = 2, se tiene que:

2² – 10  2 + 16 = 0 4 - 20 + 16 = 0 20 - 20 = 0 0 = 0 V

Actividad N° 9. Resolver mediante formula:

x² + 6x + 8= 0

...

Actividad N° 10 Comprobar la ecuación anterior.

(4)

Si x =... Si x= ...

... ...

Ejercicios. Resolver mediante fórmula las siguientes ecuaciones:

i) x² + 6x + 8 = 0 ii) x² – 2x = 3 iii) 10 + 7x = – x² iv) 0 = 3 x² – 3(3x + 4)

v) 3 (x² + 3x ) – 2(x² +x-5)=0 vi) – (11x – 28) + 2 x² = 0

vii) 4(2x + 3) = 4 x²

Resolución de una Ecuación

Cuadrática Completa General (ax²+bx+c=0).

Este tipo de ecuación se resuelve utilizando la siguiente formula:

a ac b

x b

2

2 4



 

Ejemplo. Resolver:

2x²- 4x - 6 = 0

(En esta ecuación: a=2; b=-4



c = -6)

a ac b

x b

2

24



 

   

2 2

6 2 4 4

4 ²









  x

4 48 16

4 

 x

4 64 4

 x

4 8 4



x

Luego:

4 8 4

1

 

x

4 12

1 

x

x1 = 3

Además:

4 8 4

2

 

x

4 4

2



x x2 = - 1

Comprobación: A.C.D.U.

Actividad N° 11. Resolver :

2 x²+ 10x + 12 = 0

--- --- --- --- --- --- --- --- ---

Ejercicios. Resolver y comprobar las siguientes ecuaciones:

i) 4 x² - 12 = 8x ii) 3 x² = 3(3x + 4)

iii) 7( x – 5 )= (x-2 )(3x – 23) iv) x(2x – 10)= 3(x-2)

v) 6(x² +1) – 8x= 5x vi) 12 –x = 4(x² -x-5) vii) x(2x + 3) = 2(6 – x)

viii) 2(11x² – 3x)= (5x – 2)² + 4

ix) (2x-3)² =3(x² –3x)+49 Sugerencia: Resolver a lo menos el 100%